Repetition Begriffe Stochastik

Repetition Begriffe
Stochastik
14. Juni 2012
Stochastik
Zufallsexperiment
Stochastik
Zufallsexperiment
Ein Zufallsexperiment ist ein Experiment mit ungewissem Ergebnis
(Ausgang).
Stochastik
Stichprobenraum
Stochastik
Stichprobenraum
Der Stichprobenraum Ω besteht aus allen möglichen Ergebnissen ω
eines Zufallsexperiments.
Stochastik
Ereignis
Stochastik
Ereignis
Ein Ereignis ist eine Teilmenge A eines Stichprobenraums.
Stochastik
Elementarereignis
Stochastik
Elementarereignis
Ein Elementarereignis ist ein Ereignis, das aus einem Element
besteht.
Stochastik
das sichere Ereignis
Stochastik
das sichere Ereignis
der Stichprobenraum Ω
Stochastik
das unmögliche Ereignis
Stochastik
das unmögliche Ereignis
die leere Menge (∅)
Stochastik
das Gegenereignis zu A
Stochastik
das Gegenereignis zu A
A=Ω\A
Stochastik
Das Ereignis A oder B“ (nichtausschliessend) tritt ein.
”
Stochastik
Das Ereignis A oder B“ (nichtausschliessend) tritt ein.
”
A∪B
Stochastik
Das Ereignis A und B“ tritt ein.
”
Stochastik
Das Ereignis A und B“ tritt ein.
”
A∩B
Stochastik
Wenn Ereignis A eintritt, dann tritt auch Ereignis B ein.
Stochastik
Wenn Ereignis A eintritt, dann tritt auch Ereignis B ein.
A⊂B
Stochastik
Ereignisse A und B sind unvereinbar.
Stochastik
Ereignisse A und B sind unvereinbar.
A∩B =∅
Stochastik
Diskreter Stichprobenraum Ω
Stochastik
Diskreter Stichprobenraum Ω
Der Stichprobenraum ist entweder endlich:
Ω = {ω1 , ω2 , . . . , ωm }
oder abzählbar:
Ω = {ω1 , ω2 , . . . }
Stochastik
Menge aller Ereignisse E eines diskreten Wahrscheinlichkeitsraums.
Stochastik
Menge aller Ereignisse E eines diskreten Wahrscheinlichkeitsraums.
In einem diskreten (d. h. endlichen oder abzählbaren)
Wahrscheinlichkeitsraum Ω kann die Menge aller Teilmengen von
Ω gebildet werden:
P(Ω) = {A | A ⊂ Ω}
(Potenzmenge von Ω)
In diesem Fall bildet die Potenzmenge eine Ereignisalgebra, die
auch mit E bezeichnet wird.
Stochastik
Definition der Wahrscheinlichkeiten für die (Elementar-)Ereignisse
eines diskreten Stichprobenraums Ω
Stochastik
Definition der Wahrscheinlichkeiten für die (Elementar-)Ereignisse
eines diskreten Stichprobenraums Ω
Eine Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse p(ωi ) müssen
die folgenden beiden Bedingungen erfüllen:
I
p(ωi ) ≥ 0
Stochastik
Definition der Wahrscheinlichkeiten für die (Elementar-)Ereignisse
eines diskreten Stichprobenraums Ω
Eine Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse p(ωi ) müssen
die folgenden beiden Bedingungen erfüllen:
I
I
p(ωi ) ≥ 0
m
X
p(ωi ) = 1
i=1
∞
X
bzw.
p(ωi ) = 1
i=1
falls Ω abzählbar
Stochastik
Definition der Wahrscheinlichkeiten für die (Elementar-)Ereignisse
eines diskreten Stichprobenraums Ω
Eine Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse p(ωi ) müssen
die folgenden beiden Bedingungen erfüllen:
I
I
p(ωi ) ≥ 0
m
X
p(ωi ) = 1
i=1
∞
X
bzw.
p(ωi ) = 1
falls Ω abzählbar
i=1
können aber ansonsten beliebig“ gewählt werden. Damit lässt sich
”
die Wahrscheinlichkeit für ein beliebigies Ereignis A ⊂ Ω definieren:
X
P(A) =
p(ωi )
ωi ∈A
Die so definierten Wahrscheinlichkeiten erfüllen die Axiome von Kolmogoroff.
Stochastik
Axiome von Kolmogoroff
Stochastik
Axiome von Kolmogoroff
Eine Funktion P : E → [0, 1] mit den folgenden Eigenschaften
I
P(A) ≥ 0 für alle A ∈ E
I
P(Ω) = 1
I
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) für A, B ∈ E mit A ∩ B = ∅
erfüllt die Axiome von Kolmogoroff.
Die dritte Bedingung kann induktiv auf abzählbar viele paarweise disjunkte
Ereignisse A1 , A2 , . . . erweitert werden.
Stochastik
Ereignisalgebra
Stochastik
Ereignisalgebra
Eine Ereignisalgebra (σ-Algebra) E ist eine Teilmenge der
Potenzmenge P(Ω) mit folgenden Eigenschaften:
I
Ω∈E
Stochastik
Ereignisalgebra
Eine Ereignisalgebra (σ-Algebra) E ist eine Teilmenge der
Potenzmenge P(Ω) mit folgenden Eigenschaften:
I
Ω∈E
I
A∈E ⇒B∈E
Stochastik
Ereignisalgebra
Eine Ereignisalgebra (σ-Algebra) E ist eine Teilmenge der
Potenzmenge P(Ω) mit folgenden Eigenschaften:
I
Ω∈E
I
A∈E ⇒B∈E
I
A1 , A2 , . . . ∈ E ⇒ A1 ∪ A2 ∪ . . . ∈ E
Stochastik
Folgerungen aus den Axiomen von Kolmogoroff
(A, B sind beliebige Ereignisse in Ω)
Stochastik
Folgerungen aus den Axiomen von Kolmogoroff
(A, B sind beliebige Ereignisse in Ω)
I
0 ≤ P(A) ≤ 1
Stochastik
Folgerungen aus den Axiomen von Kolmogoroff
(A, B sind beliebige Ereignisse in Ω)
I
0 ≤ P(A) ≤ 1
I
P(A) =
Stochastik
Folgerungen aus den Axiomen von Kolmogoroff
(A, B sind beliebige Ereignisse in Ω)
I
0 ≤ P(A) ≤ 1
I
P(A) = 1 − P(A)
Stochastik
Folgerungen aus den Axiomen von Kolmogoroff
(A, B sind beliebige Ereignisse in Ω)
I
0 ≤ P(A) ≤ 1
I
P(A) = 1 − P(A)
I
P(∅) =
Stochastik
Folgerungen aus den Axiomen von Kolmogoroff
(A, B sind beliebige Ereignisse in Ω)
I
0 ≤ P(A) ≤ 1
I
P(A) = 1 − P(A)
I
P(∅) = 0
Stochastik
Folgerungen aus den Axiomen von Kolmogoroff
(A, B sind beliebige Ereignisse in Ω)
I
0 ≤ P(A) ≤ 1
I
P(A) = 1 − P(A)
I
P(∅) = 0
I
A⊂B ⇒
Stochastik
Folgerungen aus den Axiomen von Kolmogoroff
(A, B sind beliebige Ereignisse in Ω)
I
0 ≤ P(A) ≤ 1
I
P(A) = 1 − P(A)
I
P(∅) = 0
I
A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B)
Stochastik
Folgerungen aus den Axiomen von Kolmogoroff
(A, B sind beliebige Ereignisse in Ω)
I
0 ≤ P(A) ≤ 1
I
P(A) = 1 − P(A)
I
P(∅) = 0
I
A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B)
I
P(A ∪ B) =
Stochastik
Folgerungen aus den Axiomen von Kolmogoroff
(A, B sind beliebige Ereignisse in Ω)
I
0 ≤ P(A) ≤ 1
I
P(A) = 1 − P(A)
I
P(∅) = 0
I
A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B)
I
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
(Additionssatz)
Stochastik
Festlegung der Wahrscheinlichkeitfunktion P für
gleichwahrscheinliche Ereignisse (Laplace)
Stochastik
Festlegung der Wahrscheinlichkeitfunktion P für
gleichwahrscheinliche Ereignisse (Laplace)
Ist Ω endlich und gilt p(ω1 ) = p(ω2 ) = · · · = p(ωm ), so folgt:
p(ωi ) =
1
m
Stochastik
Festlegung der Wahrscheinlichkeitfunktion P für
gleichwahrscheinliche Ereignisse (Laplace)
Ist Ω endlich und gilt p(ω1 ) = p(ω2 ) = · · · = p(ωm ), so folgt:
p(ωi ) =
1
m
Besteht A ⊂ Ω aus g (verschiedenen) Elementarereignissen, so gilt
P(A) = g ·
g
Anzahl günstige Fälle“
1
”
=
=
m
m
Anzahl mögliche Fälle“
”
Stochastik
Emprische Festlegung der Wahrscheinlichkeitfunktion P.
Stochastik
Emprische Festlegung der Wahrscheinlichkeitfunktion P.
Stellt man fest, dass sich bei vielen Wiederholungen eines Versuchs
die relativen Häufigkeiten von Ereignissen stabilisieren, können die
Wahrscheinlichkeiten P(A) idealisiert als Grenzwerte“ dieser
”
relativen Häufigkeiten aufgefasst werden.
Stochastik
Bedingte Wahrscheinlichkeit P(A | B)
Stochastik
Bedingte Wahrscheinlichkeit P(A | B)
Wahrscheinlichkeit des Eintreffens von Ereignis A unter der
Bedingung dass das Ereignis B eingetroffen ist:
P(A | B) =
P(A ∩ B)
P(B)
P(B) 6= 0
Stochastik
Multiplikationssatz für Ereignisse A und B
Stochastik
Multiplikationssatz für Ereignisse A und B
Sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten P(A | B) und P(B | A)
gegeben, so lassen sich die Wahrscheinlichkeiten der Durchschnitte
berechnen:
P(A ∩ B)
Stochastik
Multiplikationssatz für Ereignisse A und B
Sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten P(A | B) und P(B | A)
gegeben, so lassen sich die Wahrscheinlichkeiten der Durchschnitte
berechnen:
P(A ∩ B) = P(A) · P(B | A)
Stochastik
Multiplikationssatz für Ereignisse A und B
Sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten P(A | B) und P(B | A)
gegeben, so lassen sich die Wahrscheinlichkeiten der Durchschnitte
berechnen:
P(A ∩ B) = P(A) · P(B | A) = P(B) · P(A | B)
Stochastik
Unabhängigkeit der Ereignisse A und B
Stochastik
Unabhängigkeit der Ereignisse A und B
Die Ereignisse A und B heissen unabhängig, wenn gilt:
P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
Stochastik
Zufallsvariable (Zufallsgrösse)
Stochastik
Zufallsvariable (Zufallsgrösse)
Eine Zufallsvariable (Zufallsgrösse) ist eine Funktion
X: Ω→R
die jedem Ergebnis ω des Zufallsversuchs eine reelle Zahl
x = X (ω) zuordnet.
x heisst Realisierung der Zufallsvariablen
Stochastik
Verteilung einer Zufallsvariablen (Zufallsgrösse) X
Stochastik
Verteilung einer Zufallsvariablen (Zufallsgrösse) X
Die Abbildung, die jeder Teilmenge A ⊂ R die Wahrscheinlichkeit
P(X ∈ A) = P {ω : X (ω) ∈ A}
zuordnet, heisst Verteilung von X .
Stochastik
Diskrete Zufallsvariable
Stochastik
Diskrete Zufallsvariable
Eine Zufallsvariable (Zufallsgrösse) heisst diskret, wenn X endlich
viele Werte
I
x1 , x2 , . . . , xn
oder abzählbar viele Werte
I
x1 , x2 , . . .
annehmen kann.
Stochastik
Verteilung einer diskreten Zufallsvariablen (Zufallsgrösse) X
Stochastik
Verteilung einer diskreten Zufallsvariablen (Zufallsgrösse) X
Ist X eine diskrete Zufallsgrösse, so gilt:
P(X = xi ) = P {ω ∈ Ω : X (ω) = xi }
und für eine beliebige Menge A ⊂ R gilt
X
P(X ∈ A) =
P(X = xi )
xi ∈A
Stochastik
Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen (Zufallsgrösse) X
Stochastik
Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen (Zufallsgrösse) X
X
E (X ) = µ =
xi p(xi )
i
Stochastik
Varianz und Standardabweichung einer diskreten Zufallsvariablen
(Zufallsgrösse) X
Stochastik
Varianz und Standardabweichung einer diskreten Zufallsvariablen
(Zufallsgrösse) X
Var(X ) = σ 2 =
X
i
(xi − µ)2 p(xi )
Stochastik
stetige Zuvallsvariable (Zufallsgrösse) X
Stochastik
stetige Zuvallsvariable (Zufallsgrösse) X
Eine Zufallsvariable X , deren mögliche Werte ein endliches oder
unendliches Intervall bilden, heisst stetig.
Stochastik
Dichtefunktion einer stetigen Zufallsvariable X
Stochastik
Dichtefunktion einer stetigen Zufallsvariable X
f heisst Dichtfeunktion, wenn f (x) ≥ 0 für alle x und
Z ∞
f (x) dx = 1
−∞
Stochastik
Verteilung mit Dichtefunktion f
Stochastik
Verteilung mit Dichtefunktion f
Die Verteilung X hat die Dichtefunktion f , wenn für alle a < b gilt:
Z
P(a ≤ X ≤ b) =
f (x) dx
a
Für jedes x gilt dann P(X = x) = 0.
b
Stochastik
Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariablen (Zufallsgrösse) X
Stochastik
Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariablen (Zufallsgrösse) X
Z
∞
E (X ) = µ =
x f (x) dx
−∞
Stochastik
Varianz und Standardabweichung einer stetigen Zufallsvariablen
(Zufallsgrösse) X
Stochastik
Varianz und Standardabweichung einer stetigen Zufallsvariablen
(Zufallsgrösse) X
2
Z
∞
Var(X ) = σ =
−∞
(x − µ)2 f (x) dx
Stochastik
Binomialverteilte Zufallsgrösse
Stochastik
Binomialverteilte Zufallsgrösse
Eine Zufallsvariable (Zufallsgrösse) X heisst binomialverteilt, wenn
gilt:
n x
P(X = x) = Pn,p (x) =
p (1 − p)n−x (0 < p < 1)
x
X ist die Anzahl Erfolge bei n unabhangigen Wiederholungen des
Versuchs und der konstanten Erfolgswahrscheinlichkeit p.
Binomialverteilte Zufallsgrössen sind diskret und endlich.
Stochastik
Normalverteilung
Stochastik
Normalverteilung
Die stetige Zufallsvariable X heisst normalverteilt mit den
Parametern µ und σ 2 , wenn ihre Dichtefunktion gleich der
Gaussschen Glockenfunktion ϕ ist:
ϕµ,σ (x) = √
(x−µ)2
1
e− 2σ2
2π σ
Stochastik
Erwartungswert µ und Varianz σ 2 einer normalverteilten
Zufallsgrösse X
Stochastik
Erwartungswert µ und Varianz σ 2 einer normalverteilten
Zufallsgrösse X
Ist X normalverteilt mit den Parametern µ und σ 2 , so ist
E (X ) = µ
und
Var(X ) = σ 2
Stochastik
Transformation einer normalverteilten Zufallsgrösse X auf die
standardisierte Form.
Stochastik
Transformation einer normalverteilten Zufallsgrösse X auf die
standardisierte Form.
Ist X normalverteilt mit den Parametern µ und σ 2 , so ist
Z=
X −µ
σ
normalverteilte Zufallsvariable (Zufallsgrösse) mit µ = 0 und
σ 2 = 1 (Standardnormalverteilung).
Stochastik
Grundgedanke des Signifikanztests (Hypothesentest)
Stochastik
Grundgedanke des Signifikanztests (Hypothesentest)
Signifikanztests werden verwendet, wenn über die Verteilung einer
Zufallsgrösse eine begründete Vermutung vorliegt. Da man diese
nicht direkt beweisen kann, versucht man sie indirekt zu
bestätigen, indem man
Stochastik
Grundgedanke des Signifikanztests (Hypothesentest)
Signifikanztests werden verwendet, wenn über die Verteilung einer
Zufallsgrösse eine begründete Vermutung vorliegt. Da man diese
nicht direkt beweisen kann, versucht man sie indirekt zu
bestätigen, indem man
I
eine Gegenhypothese (die Nullhypothese H0 ) aufstellt, und
Stochastik
Grundgedanke des Signifikanztests (Hypothesentest)
Signifikanztests werden verwendet, wenn über die Verteilung einer
Zufallsgrösse eine begründete Vermutung vorliegt. Da man diese
nicht direkt beweisen kann, versucht man sie indirekt zu
bestätigen, indem man
I
eine Gegenhypothese (die Nullhypothese H0 ) aufstellt, und
I
diese Nullhypothese zu wiederlegen (verwerfen) sucht.
Stochastik
Vorgehen bei einem Signifikanztest (Hypothesentest)
Stochastik
Vorgehen bei einem Signifikanztest (Hypothesentest)
I
Wähle eine Testgrösse T mit der Eigenschaft, dass extreme
Werte für die Vermutung sprechen, die man bestätigen
möchte.
Stochastik
Vorgehen bei einem Signifikanztest (Hypothesentest)
I
Wähle eine Testgrösse T mit der Eigenschaft, dass extreme
Werte für die Vermutung sprechen, die man bestätigen
möchte.
I
Wähle eine kleine Wahrscheinlichkeit α (Signifikanzniveau). In
der Regel α = 5% oder α = 1%.
Stochastik
Vorgehen bei einem Signifikanztest (Hypothesentest)
I
Wähle eine Testgrösse T mit der Eigenschaft, dass extreme
Werte für die Vermutung sprechen, die man bestätigen
möchte.
I
Wähle eine kleine Wahrscheinlichkeit α (Signifikanzniveau). In
der Regel α = 5% oder α = 1%.
I
Bestimme den Verwerfungsbereich. Dies ist ein Intervall
(einseitiger Test) oder die Vereinigung zweier Intervalle
(zweiseitiger Test) an den Rändern der Zufallsgrösse, so dass
die Testgrösse höchstens mit der Wahrscheinlichkeit α in das
Intervall (oder eines der beiden Teilintervalle) fällt.
Stochastik
Vorgehen bei einem Signifikanztest (Hypothesentest)
I
Wähle eine Testgrösse T mit der Eigenschaft, dass extreme
Werte für die Vermutung sprechen, die man bestätigen
möchte.
I
Wähle eine kleine Wahrscheinlichkeit α (Signifikanzniveau). In
der Regel α = 5% oder α = 1%.
I
Bestimme den Verwerfungsbereich. Dies ist ein Intervall
(einseitiger Test) oder die Vereinigung zweier Intervalle
(zweiseitiger Test) an den Rändern der Zufallsgrösse, so dass
die Testgrösse höchstens mit der Wahrscheinlichkeit α in das
Intervall (oder eines der beiden Teilintervalle) fällt.
I
Entscheidungsregel: Fällt die Zufallsgrösse in den
Verwerfungsbereich, wird die Nullhypothes verworfen.
Andernfalls wird sie beibehalten.
Stochastik
Fehlermöglichkeiten beim Signifikanztest:
Stochastik
Fehlermöglichkeiten beim Signifikanztest:
I
Fehler 1. Art: H0 wird verworfen obwohl H0 richtig ist. Die
Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler ist höchstens α.
Stochastik
Fehlermöglichkeiten beim Signifikanztest:
I
Fehler 1. Art: H0 wird verworfen obwohl H0 richtig ist. Die
Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler ist höchstens α.
I
Fehler 2. Art: H0 wird beibehalten obwohl H0 falsch ist. Die
Grösse dieses Fehlers (β) hängt davon ab, wie die
Zufallsgrösse wirklich verteilt ist (oder welche Verteilung wir
vermuten).
Stochastik
Fehlermöglichkeiten beim Signifikanztest:
I
Fehler 1. Art: H0 wird verworfen obwohl H0 richtig ist. Die
Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler ist höchstens α.
I
Fehler 2. Art: H0 wird beibehalten obwohl H0 falsch ist. Die
Grösse dieses Fehlers (β) hängt davon ab, wie die
Zufallsgrösse wirklich verteilt ist (oder welche Verteilung wir
vermuten).
Verkleinern wir den Fehler 1. Art, so vergrössern wir dadurch
automatisch den Fehler 2. Art.