Mechanik I / Prof. Popov / Vorlesung 7. Fachwerke. Verfahren zur

Mechanik I / Prof. Popov / Vorlesung 7.
Fachwerke. Verfahren zur Ermittlung der Stabkräfte: Knotenpunktverfahren.
Literatur: Hauger, Schnell und Groß. Technische Mechanik 1 (Statik), 6.1, 6.2, 6.3.1.
I. Fachwerke.
Grundelement eines Fachwerkes
ist ein Dreieck. Auch bei einer
gelenkigen Verbindung ist das ein
starres Gebilde: f = 9 , v = 6 , der
restlichen Freiheitsgrade n = 9 − 6 = 3 gibt es
genau so viel wie bei einem starren Körper.
Erweiterung durch zwei weitere Stäbe (und 3
Gelenke) führt nicht zu einer Änderung der
Zahl der Freiheitsgrade. Dieses Verfahren
kann beliebig fortgesetzt werden.
Ist dieses Fachwerk statisch
bestimmt?
IV. Bildungsgesetze für Fachwerke
(1) Weitere Dreiecke hinzufügen ⇒ Einfaches Fachwerk
(2) Zwei einfache Fachwerke starr (aber statisch bestimmt, d.h. dreiwertig) verbinden:
oder
II. Ideales Fachwerk
(1) Alle Stäbe sind reibungsfrei gelenkig verbunden
(2) Alle Kräfte greifen nur in den Knoten (Gelenken) an
(3) Alle Stäbe sind gewichtslos (folgt aus dem
Punkt 2)
Aus den Gleichgewichtsbedingungen für jeden einzelnen Stab folgt, dass in einem idealen Fachwerk alle Stäbe nur auf Zug oder
Druck beansprucht sind.
III. Statische Bestimmtheit der Fachwerke
- mit drei Stäben
- mit einem Gelenk
und einem Stab
(3) Irgendwo einen Stab rausnehmen und woanders anbringen.
⇒
V. Ermittlung der Stabkräfte: Knotenpunktverfahren
Man schneidet alle Knotenpunkte frei und
stellt für sie Kräftegleichgewichtsbedingungen auf.
Oft ist es sinnvoll, zunächst die nicht belasteten Stäbe (Nullstäbe) zu finden. Folgende
Regel können dabei helfen:
Es ist üblich, die Stäbe mit arabischen Zahlen
und die Knoten mit römischen Zahlen zu
nummerieren. Dank den Annahmen eines idealen Fachwerkes brauchen wir nicht, die
Gleichgewichtsbedingungen für die Stäbe
aufzustellen. Stattdessen schneiden wir eine
kleine Umgebung eines Knotens frei. An der
wirkt nun eine zentrale Kräftegruppe. Zur
Ermittlung der Stabkräfte stehen zwei Kräftegleichgewichtsbedingungen an jedem Knoten
zur Verfügung. Damit erhalten wir im o.g.
Beispiel insgesamt 7 × 2 = 14 Gleichungen
zur Bestimmung der 14 Unbekannten (11
Stabkräfte und drei Lagerkräfte).
Bei einem ebenen Fachwerk mit k Knoten, s
Stäben und r Lagerreaktionen hat man 2k
Gleichungen für die s+r Unbekannten. Die
notwendige Bedingung für die statische Bestimmtheit ist 2k=s+r .
Standardverfahren zur Ermittlung der Stabkräfte:
1. Alle Knoten und Stäbe nummerieren
2. Nullstäbe bestimmen
3. Das System als Ganzes freischneiden, Auflagerreaktionen bestimmen
4. Alle Knoten freischneiden und Stabkräfte
auftragen
5. Kräftegleichgewicht für jeden einzelnen
Knoten aufstellen
6. Das Gleichungssystem lösen
7. Alle Ergebnisse in eine Tabelle eintragen
1
Beispiel. Das unten gezeigte Fachwerk wird
durch die Kraft F belastet. Zu bestimmen sind
alle Lager- und Stabkräfte.
1
S1 = − A = − F ; S3 = − S1 / sin α = F / 3sin α ;
3
S 2 = S6 = − S3 cos α = − F cos α / 3sin α ;
S11 = − Bv / sin α = −2 F / 3sin α ;
S12 = S8 = BH − S11 cos α = 2 F cos α / 3sin α ;
F
2F
F
;
+
=−
S7 = −
sin α 3sin α
3sin α
Aus Geometrie folgt:
sin α = 1/ 5 , cos α = 2 / 5 .
Somit ergibt sich:
1
5F
;
S1 = − A = − F ; S3 = − S1 / sin α =
3
3
2F
2 5F
;
S 2 = S6 = −
; S11 = −
3
3
4F
5F
S12 = S8 =
; S7 = −
;
3
3
Lösung.
1. Alle Knoten und Stäbe nummerieren
2. Nullstäbe bestimmen
3. Das System als Ganzes freischneiden, Auflagerreaktionen
bestimmen:
7. Alle Ergebnisse in eine Tabelle eintragen
BH = 0
Si
M ( A) : −4lF + 6lBv = 0
2
⇒ Bv = F
3
M
( B)
1
i
−
F
2
1
−
3
3
2
3
5
3
4
5
0
0
6
−
7
2
3
−
8
5
3
4
3
9
10
0
0
11
−
12
13
2 5
4
0
3
3
Ist das ein statisch bestimmtes Fachwerk?
1
: 2lF − 6lA = 0 ⇒ A = F
3
4. Alle Knoten freischneiden und Stabkräfte auftragen:
5. Kräftegleichgewicht für jeden einzelnen Knoten aufstellen:
I)
→:
II)
III)
IV)
↑:
↑:
→:
→:
V)
↑:
→:
VI)
VIII)
↑:
→:
→:
↑:
S 2 + S3 cos α = 0
S1 + S3 sin α = 0
S1 + A = 0
S6 − S2 = 0
S8 − S3 cos α + S7 cos α = 0
S3 sin α + S7 sin α = 0
− S6 − S7 cos α + S11 cos α = 0
F + S7 sin α + S11 sin α = 0
S12 − S8 = 0
BH − S12 − S11 cos α = 0
Bv + S11 sin α = 0
6. Das Gleichungssystem lösen:
3
2
1
...und dieser Brückenträger?
4
8
7
6
5
Reihenfolge der Lösung
2