Lösung Arbeitsblatt Geometrie / Trigonometrie

Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW)
Hochschule für Technik
Institut für Mathematik und Naturwissenschaften
Lösung Arbeitsblatt Geometrie / Trigonometrie
Modul: Mathematik
Datum: 2016
Dozent: Brückenkurs Mathematik 2016
Winkelbeziehugen
1. Aufgabe
(a) Bestimmen Sie die Winkel α und β:
Lösung:
Der Winkel δ ist einerseits Innenwinkel eines rechtwinkligen Dreiecks:
α + δ + 90◦ = 180◦ ⇒ δ = 90◦ − α
und im weiteren gilt:
β + δ + β = 180◦ ⇒ δ = 180◦ − 2β
Setzt man die Ausdrücke gleich, findet man die Beziehung:
90◦ − α = 180◦ − 2β ⇒ β =
Im zweiten rechtwinkligen Dreieck gilt weiter
α + β = 90◦
90◦ + α
2
Mathematik
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2016
Den Ausdruck für β einsetzen:
90◦ + α
= 90◦
2
3α + 90◦ = 180◦
3α = 90◦
α+
⇒ α = 30◦
Nun noch den Winkel β:
90◦ + α
120◦
⇒β=
=β=
= 60◦
2
2
(b) Bestimmen Sie im gegebenen Trapez den Winkel α in Abhängigkeit der Winkel
δ und :
Lösung:
Für die eingezeichneten Winkel gilt:
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• 2φ + δ = 180◦
⇒φ=
2016
δ
180◦ − δ
= 90◦ −
2
2
• 2γ + δ = γ=
−δ
2
• 2β + γ = 180◦
180◦ − γ
γ
= 90◦ −
2
2
−δ
−δ
= 90◦ − 2 = 90◦ −
2
4
β =
• α + β + φ = 180◦
a = 180◦ − β − φ
δ
−δ
◦
◦
◦
− 90 −
= 180 − 90 −
4
2
−δ δ
+δ
=
+ =
4
2
4
2. Aufgabe
Bestimmen Sie in den nachfolgenden Figuren den Winkel β in Abhängigkeit des
Winkels α.
?
?
Lösung:
• In der ersten Figur kann mit dem eingezeichneten Hilfsdreieck gearbeitet werden:
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2
360o 2 90o 2
180o 2
β = 180◦ − 2α
• Mit dem verlängerten Radius auf den Tangentenberührungspunkt findet man:
90o
o
90
45 o
2
90o
45o
2
45o
β = 45◦ +
2
α
2
Strahlensatz und Pythagoras
3. Aufgabe
Gegeben sei das allgemeine Dreieck ABC mit den Seiten a = 9cm, b = 5cm und c =
11cm. Weiter sei das Dreieck A0 B 0 C, welches durch Parallelverschiebung der Seite
c entsteht, so dass der Umfang U 0 = 10cm beträgt. Bestimmen Sie die Seitenlängen
des Dreiecks A0 B 0 C und das Verhältnis der Flächeninhalte der beiden Dreiecke.
C
A'
B'
B
A
Lösung:
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• Mit Strahlensatz:
a0 b
b0
a
= 0; = 0
c
c c
c
0
0
0
0
0
0
0
0
Mit a + b + c = U folgt b = U − a − c folgt:
a
a0 b
U 0 − a0 − c 0
= 0; =
c
c c
c0
Ergibt lineares Gleichungssystem:
ca0 − ac0 = 0
ca0 + (b + c) c0 = cU 0
Lösung:
18
cm = 3.6cm
5
22
cm = 4.4cm
=
5
a0 =
c0
⇒ b0 = U 0 − a0 − c0 = 10cm − 3.6cm − 4.4cm = 2cm
• oder: In ähnlichen Dreiecken ist das Verhältnis entsprechender Seiten konstant,
also
a0
b0
c0
= = =k
a
b
c
Somit findet man für die Umfänge:
U 0 = a0 + b0 + c0 = ka + kb + kc = k (a + b + c) = kU
⇒k=
U0
U0
10cm
=
=
= 0.4
U
a+b+c
25cm
• Flächenverhältnis: Es gilt:
F =
chc
2
Somit für das ähnliche Dreieck:
F0 =
Verhältnis:
c0 h0c
kckhc
chc
=
= k2
= k2F
2
2
2
F0
= k 2 = (0.4)2 = 0.16
F
4. Aufgabe
In der untenstehenden Skizze kennt man das Verhältnis der parallelen Abschnitte
AB
2x
2
=
=
CD
3x
3
und die Strecken AD = 20cm und BC = 15cm. Bestimmen Sie die Entfernung des
Schnittpunkts S von den Punkten A, B, C und D.
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Lösung:
Mit dem Strahlensatz findet man:
AS
20cm − y
2x
=
=
DS
y
3x
⇒ y = DS = 12cm
⇒ AS = 8cm
BS
15cm − z
2x
=
=
CS
z
3x
⇒ z = CS = 9cm
⇒ BS = 6cm
5. Aufgabe
In einem rechtwinkligen Dreieck mit dem Hypotenusenabschnitt-Verhältnis pq = k,
teilt die Höhe das Dreieck in zwei weitere rechtwinklige Dreiecke. Bestimmen Sie
das Flächen-Verhältnis der beiden neuen Dreiecke zu dem ursprünglichen Dreieck:
p
c
a
h
q
b
Lösung:
Es sei A die Fläche des grossen Dreiecks und Ap , Aq die Flächen der Dreiecke über
den Hypotenusenabschnitten. Es gilt nun:
√
pq (p + q)
hc
A=
=
2
2
√
pqp
hp
Ap =
=
2
2
√
pqq
hq
Aq =
=
2
2
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Die gesuchten Verhältnisse sind somit:
√
pqp
2
√
pq(p+q)
2
√
Ap
=
A
=
p
1
=
p+q
1+
pqq
2
√
pq(p+q)
2
Aq
=
A
=
q
=
p+q
q
p
p
q
=
1
1+
1
k
=
k
k+1
1
1
=
+1
k+1
6. Aufgabe
Bestimmen Sie in den nachfolgenden Figuren die Grösse x in Abhängigkeit des
Radius R.
R
R
x
x
Lösung:
• Mit dem eingezeichneten Hilfsdreieck findet man:
R
R x
x
R
2
x
2
(R − x)
=
R2 − 2Rx + x2 =
0 =
0 =
3R2 =
√
± 3R =
x
2
R
x +
+x
2
R2
x2 +
+ Rx + x2
4
3R2
x2 + 3Rx −
4
2
3R
9R2 3R2
x+
−
−
2
4
4
2
3R
x+
2
3R
x1,2 +
2
2
√
3R
± 3R −
= x1,2
2
√
3
x=
3−
R
2
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• Mit dem eingezeichneten Hilfsdreieck findet man:
R x
R
x
R
R x
(R + x)2 = R2 + (R − x)2
R2 + 2Rx + x2 = R2 + R2 − 2Rx + x2
4Rx = R2
R
x =
4
7. Aufgabe
Bestimmen Sie in untenstehender Figur den Radius x des kleinen Kreises in Abhängigkeit
des Seitenlänge a des Quadrates.
Lösung:
Im eingezeichneten, rechtwinkligen Dreieck gilt:
a
2
x2 + x2 =
−x
2
2
a
2x2 =
− ax + x2
4
a2
x2 + ax −
= 0
4
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−a ±
x1,2 =
q
2
a2 − 4 ∗ 1 ∗ − a4
√
−a ± 2a
=
2
2∗1
Nur die positive Lösung kommt in Frage:
√
√
2a − a
2−1
=
a = 0.2071a
x=
2
2
8. Aufgabe
Bestimmen Sie y in Abhängigkeit von r.
y
3
r
2
r
Lösung:
Im eingezeichneten, rechtwinkligen Dreieck gilt:
y
3
r
2
a= r + y
b = 2r + y
r
c = 3r
c2
(3r)2
9r2
2y 2 + 6ry − 4r2
=
=
=
=
a2 + b 2
(r + y)2 + (2r + y)2
r2 + 2ry + y 2 + 4r2 + 4ry + y 2
0
q
−6r ± (6r)2 − 4 ∗ 2 ∗ (−4r2 )
y1,2 =
2∗2
36r2 + 32r2
=
4
√
−6r ± 2r 17
=
4√
−3r ± r 17
=
2
−6r ±
√
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√
17 − 3
r = 0.5616r
y1 =
2
√
− 17 − 3
y2 =
r = −3.5616r
2
Die zweite Lösung ist negativ und kommt daher nicht als Lösung in Frage. Der
gesuchte Radius ist somit:
√
17 − 3
r = 0.5616r
y=
2
9. Aufgabe
Bestimmen Sie in einem gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse c = 10cm die Längen der Seitenhalbierenden und den Radius des Inkreises.
Lösung:
sa
c
a
sc
r
a
• Seiten:
a2 + a2 = c 2
√
√
c
2
2
c=
10cm = 7.07cm
a= √ =
2
2
2
• Seitenhalbierende:
c
10cm
sc = =
= 5cm
2
2
r √
√
√
a 2
5
10
10
sa =
+ a2 =
a=
c=
10cm = 7.91cm
2
2
4
4
• Inkreisradius:
r2 + r2 = (sc − r)2
2r2 = s2c − 2rsc + r2
r2 + 2rsc − s2c = 0
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p
4s2c − 4 ∗ 1 ∗ (−s2c )
r =
√ 2∗1
√
√ −2sc ± 8sc
= −sc ± 2sc = −1 ± 2 sc
=
2
−2sc ±
nur die positive Lösung:
√
√
√
c
2−1
r=
2 − 1 sc =
2−1
=
10cm = 2.07cm
2
2
10. Aufgabe
Bestimmen Sie den Radius des kleinen Kreises (x) in Abhängigkeit der Seitenlänge
des Quadrates (s).
s
s
x
Lösung:
s
s
x
s/2+x
s/2-x
s/2
Es gilt:
s
2
+x
2
=
s
2
−x
2
+
s 2
2
2
s2
s
s2
+ sx + x2 =
− sx + x2 +
4
4
4
2
s
2sx =
4
s
x =
8
11. Aufgabe
Bestimmen Sie x in Abhängigkeit von R.
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x
R
Lösung:
R/2+x
x
x
R
R/2+y
R-x
x
y
Die beiden rechtwinkligen Dreiecke liefern die Gleichungen:
2
2
R
R
2
+x
= x +
+y
2
2
(R − x)2 = x2 + y 2
Die zweite Gleichung nach y aufgelöst ...
q
y = (R − x)2 − x2
... und in der ersten Gleichung eingesetzt:
2
2
q
R
R
2
2
2
= x +
+x
+ (R − x) − x
2
2
q
R2
R2
2
2
+ Rx + x = x +
+ R (R − x)2 − x2 + (R − x)2 − x2
4
4
q
Rx = R (R − x)2 − x2 + R2 − 2Rx
√
3x − R =
R2 − 2Rx
9x2 − 6Rx + R2 = R2 − 2Rx
9x2 = 4Rx
x1 = 0
Scheinlösung!
4
x2 =
R
9
Es gilt somit:
4
x= R
9
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2016
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12. Aufgabe
Bestimmen Sie in einem gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreieck mit Kathetenlänge
s, die Radien des In- und des Umkreises.
Lösung:
s 2
RU
s
s 2
RI
2
s 2
2
RI
RI
s
RI
• Hypotenuse:
h=
√
s2 + s2 =
√
2s2 =
√
2s
• Umkreisradius (Umkreis ist Thaleskreis!):
√
h
s 2
RU = =
2
2
• Inkreisradius:
!2
√
s 2
− RI
= RI2 + RI2
2
√
√
s 2
− RI =
2RI
2
√
√ s 2
= RI 1 + 2
2
√ √
√ √
s 2 2−1
s 2− 2
s 2
√ =
RI =
=
2
2
2 1+ 2
13. Aufgabe
Bestimmen Sie x in Abhängigkeit von r:
x
r
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Lösung:
Pythagoras im markierten rechtwinkligen Dreieck liefert die Lösung:
r
xr
2
r− x
r
2
2
(r − x)
r2 − 2rx + x2
x2 − 2rx +
x1,2
√
=
r 2
2
+
r 2
2
r2
=
2
r2
= 0
2
q
− (−2r) ± (−2r)2 − 4 (1)
r2
b2 − 4ac
2
=
=
2a
2 (1)
√
√ √
2r ± 4r2 − 2r2
2r ± 2r
2± 2
1
=
=
=r
r 1± √
2
2
2
2
−b ±
Von den beiden Lösungen kommt nur diejenige mit dem Minusvorzeichen infrage:
1
x=r 1− √
= 0.293r
2
Trigonometrie
14. Aufgabe
Von einem rechtwinkligen Dreieck ABC (Hypotenuse c), kennt man die Kathete
b = 12m und die Seitenhalbierende sc = 6.5m. Bestimmen Sie alle Seiten und
Winkel dieses Dreiecks.
Lösung:
• In einem rechtwinkligen Dreieck entspricht die Seitenhalbierende der Hypotenuse gerade dem Radius des Thaleskreis. Somit lässt sich die Hypotenuse
berechnen:
c = 2sc = 2 ∗ 6.5m = 13m
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• Seite a mit Pythagoras:
a=
√
c 2 − b2 =
q
(13m)2 − (12m)2 = 5m
• Winkel:
5m
α = arcsin
= arcsin
= 22.62◦
c
13m
β = 90◦ − α = 90◦ − 22.62◦ = 67.28◦
γ = 90◦
a
15. Aufgabe
Von einem rechtwinkligen Dreieck ABC, kennt man die Kathete a = 5cm und die
Höhe hc = 3cm. Bestimmen Sie alle Seiten und Winkel dieses Dreiecks.
Lösung:
• Hypotenusenabschnitt p mit Pythagoras:
q
p
2
2
p = a − hc = (5cm)2 − (3cm)2 = 4cm
• Seite c mit Strahlensatz:
a
c
=
a
p
a2
(5cm)2
c =
=
= 6.25cm
p
4cm
• Seite b mit Pythagoras:
q
√
2
2
b = c − a = (6.25cm)2 − (5cm)2 = 3.75cm
• Winkel:
5cm
α = arcsin
= arcsin
= 53.13◦
c
6.25cm
β = 90◦ − α = 90◦ − 53.13◦ = 36.87◦
γ = 90◦
a
16. Aufgabe
Einem Kreis mit Radius R = 10cm ist ein Trapez ABCD einbeschrieben. Vom
Trapez kennt man die parallelen Trapezseiten a = AB = 16cm und c = CD =
12cm. Bestimmen Sie den Flächeninhalt und die Längen der Diagonalen.
Lösung:
Gemäss untenstehender Skizze gibt es zwei Lösungen:
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c
h2
R
e
R
h1
a
Mit Pythagoras können die Hilfsgrössen h1 und h2 berechnet werden:
r
a 2
a 2
R2 = h21 +
⇒ h1 = R2 −
= 6cm
2
2
r
c 2
c 2
2
2
⇒ h2 = R2 −
= 8cm
R = h2 +
2
2
Die Trapezhöhe ist nun einerseits die Summe der Hilfshöhen oder deren Differenz:
H1 = h1 + h2 = 14cm
H2 = h2 − h1 = 2cm
Die gesuchten Flächen:
a+c
H1 = 196cm2
2
a+c
F2 =
H2 = 28cm2
2
Da die Trapeze symmetrisch sind, sind die beiden Diagonalen gleich lang (e = f ).
q
2
2
e
=
f
=
H12 + a+c
= 19.80cm
a−c
1
1
2
2
2
q
e =H + a−
⇒
2
2
e2 = f2 = H22 + a+c
= 14.14cm
2
F1 =
17. Aufgabe
Berechnen Sie in einem allgemeinen Dreieck ABC aus den gegebenen Grössen die
fehlenden Seitenlängen und Winkel.
C
b
a
sc
A
c
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hc
B
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(a) a = 5m, c = 7m und α = 40◦ .
Lösung:
SSW-Problem mit zwei Lösungen:
sin (α)
c sin (α)
sin (γ)
γ = 64.15◦
=
⇒ sin (γ) =
⇒ 1
γ2 = 115.85◦
c
a
a
α + β + γ = 180◦ ⇒ β = 180◦ − α − γ ⇒
β1 = 75.85◦
β2 = 24.15◦
b
a
a sin (β)
b = 7.54m
=
⇒b=
⇒ 1
b2 = 3.18m
sin (β)
sin (α)
sin (α)
(b) a = 7km, b = 4km und F = 10km2 .
Lösung:
Mit der Flächenformel den Zwischenwinkel bestimmen (es gibt zwei Lösungen):
2F
1
γ = 45.58◦
⇒ 1
F = ab sin (γ) ⇒ sin (γ) =
γ2 = 134.42◦
2
ab
Nun liegt ein SWS-Problem vor:
c2 = a2 + b2 − 2ab cos (γ) ⇒
cos (α) =
c1 = 5.08km
c2 = 10.21km
b2 + c2 − a2
α = 100.19◦
⇒ 1
α2 = 29.33◦
2bc
α + β + γ = 180◦ ⇒ β = 180◦ − α − γ ⇒
β1 = 34.22◦
β2 = 16.25
(c) sc = 6cm, hc = 5cm und β = 70◦ .
Lösung:
Im rechtwinkligen Dreieck (mit hc ) a bestimmen:
sin (β) =
hc
hc
⇒a=
= 5.32cm
a
sin (β)
Im Dreieck mit der Seitenhalbierenden c bestimmen (SSW → nur eine Lösung!):
sin (δ)
sin (β)
a sin (β)
=
⇒ sin (δ) =
⇒ δ = 56.44◦
a
sc
sc
β + δ + ε = 180◦ ⇒ ε = 180◦ − β − δ = 53.56◦
c 2
p
= a2 + s2c − 2asc cos (ε) ⇒ c = 2 a2 + s2c − 2asc cos (ε) = 10.27cm
2
Im grossen Dreieck die restlichen Grössen bestimmen (SWS):
b2 = a2 + c2 − 2ac cos (β) ⇒ b = 9.82cm
b 2 + c 2 − a2
cos (α) =
⇒ α = 30.60◦
2bc
α + β + γ = 180◦ ⇒ γ = 180◦ − α − β = 79.40◦
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(d) a = 6cm, c = 10cm und α = 25◦ .
Lösung:
Achtung: Ergibt zwei Lösungen!
• Sinussatz:
sin (α)
c sin (α)
sin (γ)
=
⇒ sin (γ) =
= 0.7044
c
a
a
⇒ γ1 = a sin (0.7044) = 44.78◦
⇒ γ2 = 180◦ − 44.78◦ = 135.22◦
• Winkelsumme:
β1 = 180◦ − α − γ1 = 100.22◦
β2 = 180◦ − α − γ2 = 9.78◦
• Kosinussatz:
p
a2 + c2 − 2ac cos (β1 ) = 12.54m
p
a2 + c2 − 2ac cos (β2 ) = 4.21m
=
b1 =
b2
(e) a = 4m, β = 40◦ und sc = 6cm (Seitenhalbierende von c).
Lösung:
• Sinussatz (es gibt nur eine Lösung!):
sin (δ)
sin (β)
a sin (β)
=
⇒ sin (δ) =
= 0.4285 ⇒ δ = a sin (0.4285) = 25.37◦
a
sc
sc
• Winkelsumme:
180◦ = β + δ + γa ⇒ γa = 180◦ − β − δ = 114.63◦
• Kosinussatz:
c 2
p
= a2 +s2c −2asc cos (γa ) ⇒ c = 2 a2 + s2c − 2asc cos (γa ) = 14.14cm
2
• Kosinussatz:
b2 = a2 + c2 − 2ac cos (β) ⇒ b =
p
a2 + c2 − 2ac cos (β) = 17.07cm
• Kosinussatz:
cos (α) =
b 2 + c 2 − a2
= 0.9846 ⇒ α = a cos (0.9846) = 10.06◦
2bc
• Winkelsumme:
180◦ = α + β + γ ⇒ γ = 180◦ − α − β = 129.94◦
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2016
(f) a = 4m, b = 10m und hc = 3m.
Lösung:
Es gibt zwei Lösungen!
sin (β) =
hc
a
hc
3m
⇒ β1 = arcsin
= arcsin
= 48.5904◦
a
4m
⇒ β2 = 180◦ − β1 = 131.4096◦
sin (α)
a
=
sin (β)
b
4m sin (48.5904◦ )
a sin (β1 )
= arcsin
= 17.4576◦
⇒ α1 = arcsin
b
10m
a sin (β2 )
= 17.4576◦ = α1
⇒ α2 = arcsin
b
= 180◦
⇒ γ1 = 180◦ − α1 − β1 = 113.9520◦
⇒ γ2 = 180◦ − α2 − β2 = 31.1328◦
α+β+γ
p
a2 + b2 − 2ab cos (γ1 ) = 12.1851m
p
⇒ c2 = a2 + b2 − 2ab cos (γ2 ) = 6.8936m
⇒ c1 =
(g) α = 30◦ , b = 5cm und sc = 3cm.
Lösung:
Es gibt zwei Lösungen!
sin (δ)
b
sin (α)
sc
=
b sin (α)
⇒ δ1 = arcsin
= 56.4427◦
sc
⇒ δ2 = 180◦ − δ1 = 123.5573◦
α + δ + ε = 180◦
⇒ ε1 = 180◦ − α − δ1 = 93.5573◦
⇒ ε2 = 180◦ − α − δ2 = 26.4427◦
c 2
2
= b2 + s2c − 2bsc cos (ε)
⇒ c1 = 11.9769cm
⇒ c2 = 5.3436cm
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Mathematik
Lösung Arbeitsblatt Geometrie / Trigonometrie
2016
a2 = b2 + c2 − 2bc cos (α)
⇒ a1 = 8.0450cm
⇒ a2 = 2.6976cm
sin (β)
b
=
sin (α)
a
b sin (α)
⇒ β1 = arcsin
= 18.1044◦
a1
b sin (α)
= 67.9323◦
⇒ β2 = arcsin
a2
α+β+γ
= 180◦
⇒ γ1 = 180◦ − α − β1 = 131.8956◦
⇒ γ2 = 180◦ − α − β2 = 82.0677◦
18. Aufgabe
Eine Last F = 5kN ist an der nachfolgenden Aufhängung angebracht (AC = 2m,
BC = 1m). Bestimmen Sie die Kräfte in den beiden Stäben (die Kraft wirkt in
Stabrichtung).
A
α
C
B
F
Lösung:
Damit die Konstruktion hält, muss sich das System im statischen Gleichgewicht
befinden, d.h. die Summe aller Kräfte muss Null ergeben. Die beiden gesuchten
Kräfte wirken in Richtung der Stäbe und somit ergibt sich:
F1
α
F2
A
α
C
F
B
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Mathematik
Lösung Arbeitsblatt Geometrie / Trigonometrie
2016
F
F
⇒ F1 =
F1
sin (α)
F
F
⇒ F2 =
tan (α) =
F2
tan (α)
sin (α) =
Nun braucht man noch den Winkel α:
BC
tan (α) =
⇒ α = arctan
AC
BC
AC
= arctan
1m
2m
= 26.57◦
Und somit für die gesuchten Kräfte:
F
5000N
=
= 11180N
sin (α)
sin (26.57◦ )
F
5000N
=
= 10000N
=
tan (α)
tan (26.57◦ )
F1 =
F2
19. Aufgabe
Bestimmen Sie die fehlenden Seiten und Winkel des Dreiecks ABC mit a = 11m,
hb = 3m und α = 70◦ .
C
a
D
hb
α
B
A
Lösung:
• Seite c mit Trigo im Dreieck ABD:
sin (α) =
c =
hb
c
hb
3m
=
= 3.19m
sin (α)
sin (70◦ )
• Winkel γ mit Sinussatz im Dreieck ABC:
sin (γ)
sin (α)
=
c
a c sin (α)
γ = arcsin
a
3.19m ∗ sin (70◦ )
= arcsin
11m
◦
= 15.83
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Mathematik
Lösung Arbeitsblatt Geometrie / Trigonometrie
2016
• Winkel β im Dreieck ABC mit Winkelsumme:
β = 180◦ − α − γ
= 180◦ − 70◦ − 15.83◦
= 94.19◦
• Seite b mit Sinussatz im Dreieck ABC:
b
a
=
sin (β)
sin (α)
sin (β)
b = a
sin (α)
sin (94.19◦ )
= 11m
sin (70◦ )
= 11.67m
20. Aufgabe
Zwei Schiffe A und B liegen vor der Küste vor Anker. Wie weit sind die beiden
Schiffe voneinander entfernt?
A
α
C
B
γ δ
β
D
a
Daten:
a
α
β
γ
δ
=
=
=
=
=
50m
41.5◦
16.3◦
75.2◦
27.9◦
Lösung:
• Seite BC mit Sinussatz im Dreieck BCD:
BC
a
=
◦
sin (γ + δ)
sin (180 − β − γ − δ)
sin (γ + δ)
BC = a
sin (180◦ − β − γ − δ)
sin (103.1◦ )
= 50m
sin (60.6◦ )
= 55.90m
Seite 22 / 37
Mathematik
Lösung Arbeitsblatt Geometrie / Trigonometrie
2016
• Seite AC mit Sinussatz im Dreieck ACD:
a
AC
=
◦
sin (γ)
sin (180 − α − β − γ)
sin (γ)
AC = a
◦
sin (180 − α − β − γ)
sin (75.2◦ )
= 50m
sin (47◦ )
= 66.10m
• Seite AB mit Cosinussatz im Dreieck ABC:
AB 2 = AC 2 + BC 2 − 2 ∗ AC ∗ BC ∗ cos (α)
p
AC 2 + BC 2 − 2 ∗ AC ∗ BC ∗ cos (α)
AB =
q
=
(66.1m)2 + (55.9m)2 − 2 (66.1m) (55.9m) cos (41.5◦ )
= 44.26m
21. Aufgabe
Berechnen Sie von den beiden nachfolgenden Figuren die fehlenden Grössen:
c
d
b
a
h
q
h
e
p
c
f
b
a
(a) Rechtwinkliges Dreieck: Gegeben h = 12cm und q = 15cm.
Lösung:
• Seite b mit Pythagoras:
q
p
√
2
2
b = h + q = (12cm)2 + (15cm)2 = 3 41cm = 19.21cm
• Seite c mit dem Satz des Euklids:
b2 = cq
√
2
3 41cm
b2
123
c=
=
=
cm = 24.60cm
q
15cm
5
⇒
• Hypotenusenabschnitt p:
p = c − q = 24.60cm − 15cm = 9.60cm
• Seite a mit Pythagoras:
a=
q
p
p2 + h2 = (9.60cm)2 + (12cm)2 = 15.37cm
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Mathematik
Lösung Arbeitsblatt Geometrie / Trigonometrie
2016
(b) Trapez: Gegeben a = 20cm, c = 4cm, b = 12cm und h = 6cm.
Lösung:
• Länge Projektion von b auf a:
q
√
√
2
2
ba = b − h = (12cm)2 − (6cm)2 = 6 3cm = 10.39cm
• Länge Projektion von d auf a:
da = a − c − ba = 20cm − 4cm − 10.39cm = 5.61cm
• Seite d:
q
p
2
2
d = da + h = (5.61cm)2 + (6cm)2 = 8.21cm
• Diagonale e:
q
q
2
2
e = (da + c) + h = (5.61cm + 4cm)2 + (6cm)2 = 11.33cm
• Diagonale f :
q
q
2
2
f = (ba + c) + h = (10.39cm + 4cm)2 + (6cm)2 = 15.59cm
22. Aufgabe
Bestimmen Sie den eingezeichneten Winkel:
Lösung:
2
• Grünes Dreieck:
x=
√
22 + 52 =
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√
x
x
5
29 = 5.3852
1
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Lösung Arbeitsblatt Geometrie / Trigonometrie
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• Rotes Dreieck:
1
tan (ϕ) = ⇒ ϕ = arctan
x
1
1
= 10.5197◦
= arctan √
x
29
23. Aufgabe
Wieviele Kilometer beträgt die Länge des Breitenkreises, auf dem Berlin liegt (ϕ =
52◦ 300 , rE = 6370km). Bestimmen Sie zudem die Geschwindigkeit mit welcher sich
Berlin um die Erdachse dreht.
ϕ
rE
B
M
Lösung:
• Abstand Berlin zur Drehachse:
cos (ϕ) =
rB
rE
⇒ rB = rE cos (ϕ) = 6370km cos (52◦ 300 ) = 3789km
• Umfang (Länge) des Breitenkreises:
UB = 2rB π = 2 ∗ 3789km ∗ π = 23810km
• Geschwindigkeit:
vB =
∆s
23810km
km
m
=
= 991.96
= 275.55
∆t
24h
h
s
24. Aufgabe
Von einem Trapez kennt man a = 69.3m, c = 13.4m, ha = 41.9m und β = 48.5◦ . Berechnen Sie die restlichen Seiten und Winkel, die Diagonalen und den Flächeninhalt.
c
δ
d
α
e
γ
b
f
ha
a
Seite 25 / 37
β
Mathematik
Lösung Arbeitsblatt Geometrie / Trigonometrie
Lösung:
• Seite b:
cos (β) =
ha
ha
41.9m
⇒b=
=
= 63.234m
b
cos (β)
cos (48.5◦ )
• Projektion von b auf a:
q
p
2
2
u = b − ha = (63.234m)2 − (41.9m)2 = 47.359m
• Projektion von d auf a:
v = a − c − u = 69.3m − 13.4m − 47.359m = 8.541m
• Winkel γ:
γ = 180◦ − β = 180◦ − 48.5◦ = 41.5◦
• Seite d:
q
p
2
2
d = v + ha = (8.541m)2 + (41.9m)2 = 42.762m
• Winkel α:
sin (α) =
ha
41.9m
=
= 0.98 ⇒ α = 78.479◦
d
42.762m
• Winkel δ:
δ = 180◦ − α = 180◦ − 78.479◦ = 101.521◦
• Fläche:
A=
69.3m + 13.4m
a+c
ha =
41.9m = 1733m2
2
2
• Diagonale e :
e=
p
a2 + b2 − 2ab cos (β) = 54.714m
f=
p
a2 + d2 − 2ad cos (α) = 73.806m
• Diagonale f :
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2016
Mathematik
Lösung Arbeitsblatt Geometrie / Trigonometrie
2016
Trigonometrische Funktionen
25. Aufgabe
Skizzieren Sie die Graphen der folgenden Funktionen:
(a)
π
f1 (x) = y = 2 sin 4x −
4
Lösung:
Sinusfunktion mit der Amplitude yb = 2, der Kreisfrequenz ω = 4 (Frequenz
ω
f = 2π
= π2 , Periodendauer T = f1 = π2 ) und der Phasenverschiebung ϕ0 = − π4 .
(b)
f2 (x) = y =
1
cos (2x)
3
Lösung:
Kosinusfunktion mit der Amplitude yb = 31 , der Kreisfrequenz ω = 2 (Frequenz
ω
= π1 , Periodendauer T = f1 = π) und der Phasenverschiebung ϕ0 = 0.
f = 2π
(c)
f3 (x) = y = 4 sin
1
2π
x+
2
3
Lösung:
Sinusfunktion mit der Amplitude yb = 4, der Kreisfrequenz ω = 12 (Frequenz
ω
1
f = 2π
= 4π
, Periodendauer T = f1 = 4π) und der Phasenverschiebung
.
ϕ0 = 2π
3
(d)
f4 (x) = y = sin (3x) + 2 cos (3x)
Lösung:
√
√
Sinusfunktion mit der Amplitude yb = 12 + 22 = 5, der Kreisfrequenz ω = 3
3
ω
= 2π
, Periodendauer T = f1 = 2π
) und der Phasenverschie(Frequenz f = 2π
3
2
bung ϕ0 = arctan 1 = 1.1071 (Überlagerung gleichfrequenter Schwingungen:
√
y = sin (3x) + 2 cos (3x) = 5 sin (3x + 1.1071)).
(e)
f5 (x) = y =
1
(1 − cos (2x))
2
Lösung:
Kosinusfunktion mit der Amplitude yb = 21 , der Kreisfrequenz ω = 2 (Frequenz
ω
f = 2π
= π1 , Periodendauer T = f1 = π), der Phasenverschiebung ϕ0 = π
(wegen negativem Vorzeichen!) und einem Offset yOf f set = 12 .
(f)
π
2π
f6 (x) = y = sin (5x) + sin 5x +
+ sin 5x +
3
3
Lösung:
Umformen:
y = sin (5x)+sin (5x) cos
π 3
+cos (5x) sin
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π 3
+sin (5x) cos
2π
2π
+cos (5x) sin
=
3
3
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Lösung Arbeitsblatt Geometrie / Trigonometrie
2016
√
√
√
3
1
3
1
cos (5x)− sin (5x)+
cos (5x) = sin (5x)+ 3 cos (5x) =
= sin (5x)+ sin (5x)+
2
2
2
2
√ !!
q
√ 2
3
π
= 2 sin 5x +
= 12 + 3 sin 5x + arctan
1
3
Sinusfunktion mit der Amplitude yb = 2, der Kreisfrequenz ω = 5 (Frequenz
ω
5
f = 2π
= 2π
, Periodendauer T = f1 = 2π
) und der Phasenverschiebung ϕ0 = π3 .
5
26. Aufgabe
Benutzen Sie die Formel
cos(α2 − α1 ) = cos(α1 ) cos(α2 ) + sin(α1 ) sin(α2 )
um einen analytischen Ausdruck für cos(15◦ ) zu finden.
Lösung:
cos (15◦ ) = cos(45◦ − 30◦ ) = cos(45◦ ) cos(30◦ ) + sin(45◦ ) sin(30◦ ) =
√
√
√
√ √
2 3
21
6+ 2
+
=
=
2 2
2 2
4
27. Aufgabe
Benutzen Sie die Formel
cos(α + β) = cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β)
um die Doppelwinkelformel für den Cosinus herzuleiten: cos(2γ) =?
Lösung:
cos (2γ) = cos (γ + γ) = cos (γ) cos (γ) − sin (γ) sin (γ) = cos2 (γ) − sin2 (γ)
28. Aufgabe
Benutzen Sie die folgenden beiden Formeln
cos (2α) = cos2 (α) − sin2 (α)
sin2 (α) + sin2 (α) = 1
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Mathematik
Lösung Arbeitsblatt Geometrie / Trigonometrie
2016
um die Doppelwinkelformel für den Sinus herzuleiten: sin(2γ) =?
Lösung:
q
p
2
2
sin (2γ) = 1 − cos (2γ) = 1 − cos2 (γ) − sin2 (γ) =
q
= 1 − cos4 (γ) + 2 cos2 (γ) sin2 (γ) − sin4 (γ) =
q
= sin2 (γ) + cos2 (γ) − cos4 (γ) + 2 cos2 (γ) sin2 (γ) − sin4 (γ) =
q
= sin2 (γ) 1 − sin2 (γ) + cos2 (γ) (1 − cos2 (γ)) + 2 cos2 (γ) sin2 (γ) =
q
= 4 cos2 (γ) sin2 (γ) = 2 sin (γ) cos (γ)
29. Aufgabe
Bestimmen Sie die Überlagerung der folgenden harmonischen Schwingungen:
(a)
3 sin (x) + 4 cos (x) =?
Lösung:
√
C = A2 + B 2 = 5, ϕ = arctan
B
4
= arctan
= 0.9273
A
3
⇒ 3 sin (x) + 4 cos (x) = 5 sin (x + 0.9273)
(b)
5 sin (3x) − 12 cos (3x) =?
Lösung:
C=
√
A2
+
B2
B
12
= 13, ϕ = arctan
= arctan −
= −1.1760
A
5
⇒ 5 sin (3x) − 12 cos (3x) = 12 sin (3x − 1.1760)
(c)
2 sin
x
4
+ 2 cos
x
4
=?
Lösung:
C=
√
√
B
π
+
= 8, ϕ = arctan
= arctan (1) =
A
4
x
x √
x π ⇒ 2 sin
+ 2 cos
= 8 sin
+
4
4
4 4
A2
B2
30. Aufgabe
Vereinfachen Sie:
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Lösung Arbeitsblatt Geometrie / Trigonometrie
2016
(a)
sin (α)
=?
tan (α)
Lösung:
sin (α)
sin (α) cos (α)
sin (α)
= sin(α) =
= cos (α)
tan (α)
sin (α)
cos(α)
(b)
1
− sin (α) tan (α) =?
cos (α)
Lösung:
1
1
sin (α)
1 − sin2 (α)
cos2 (α)
−sin (α) tan (α) =
−sin (α)
=
=
= cos (α)
cos (α)
cos (α)
cos (α)
cos (α)
cos (α)
(c)
1
− 1 =?
(α)
cos2
Lösung:
1
cos2 (α)
1 − cos2 (α)
sin2 (α)
1
−
1
=
−
=
=
= tan2 (α)
cos2 (α)
cos2 (α) cos2 (α)
cos2 (α)
cos2 (α)
(d)
sin (α)
=?
1 + tan12 (α)
Lösung:
sin (α)
sin (α)
=
2 (α) =
1
1 + tan2 (α)
1 + cos
2
sin (α)
sin (α)
sin2 (α)+cos2 (α)
sin2 (α)
=
sin (α)
1
sin2 (α)
= sin3 (α)
(e)
1 + cos (α)
sin (α)
+
=?
cos (α) + 1
sin (α)
Lösung:
sin (α)
1 + cos (α)
sin (α) (1 − cos (α))
1 + cos (α)
+
=
+
=
cos (α) + 1
sin (α)
(1 + cos (α)) (1 − cos (α))
sin (α)
=
sin (α) (1 − cos (α)) 1 + cos (α)
sin (α) (1 − cos (α)) 1 + cos (α)
+
=
+
=
2
1 − cos (α)
sin (α)
sin (α)
sin2 (α)
=
1 − cos (α) 1 + cos (α)
1 − cos (α) + 1 + cos (α)
2
+
=
=
sin (α)
sin (α)
sin (α)
sin (α)
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Lösung Arbeitsblatt Geometrie / Trigonometrie
2016
(f)
s
1 − cos2 (α)
=?
1 − sin2 (α)
Lösung:
s
cos2
1−
(α)
=
2
1 − sin (α)
s
sin2 (α)
=
cos2 (α)
q
tan2 (α) = tan (α)
(g)
sin (x) sin (x − y) − cos (x) cos (x − y) =?
Lösung:




sin (x) sin (x − y)−cos (x) cos (x − y) = sin (x) sin x − y −cos (x) cos x − y  =
| {z }
| {z }
u

u



= − cos (x) cos (u) − sin (x) sin (u) = − cos (x + x − y) = − cos (2x − y)
|
{z
}
cos(x+u)
(h)
cos2 (x) − sin2 (y)
=?
cos (x + y) cos (x − y)
Lösung:
... =
cos2 (x) − sin2 (y)
=
(cos (x) cos (y) − sin (x) sin (y)) (cos (x) cos (y) + sin (x) sin (y))
=
=
cos2 (x) − sin2 (y)
=
cos2 (x) cos2 (y) − sin2 (x) sin2 (y)
cos2 (x) − sin2 (y)
=
cos2 (x) cos2 (y) + cos2 (x) sin2 (y) − cos2 (x) sin2 (y) − sin2 (x) sin2 (y)
cos2 (x) − sin2 (y)
=
=
cos2 (x) cos2 (y) + sin2 (y) − sin2 (y) cos2 (x) + sin2 (x)
=
cos2 (x) − sin2 (y)
=1
cos2 (x) − sin2 (y)
(i)
s
1 − tan2 (x)
+ sin2 (x) =?
tan2 (x) + 1
Lösung:
s
v
u
sin2 (x)
u 1 − cos
2 (x)
1 − tan (x)
2
t
+
sin
(x)
=
+ sin2 (x) =
2
2
sin
(x)
tan (x) + 1
+1
2
2
cos (x)
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Lösung Arbeitsblatt Geometrie / Trigonometrie
2016
v
v
u cos2 (x)−sin2 (x)
u cos2 (x)−sin2 (x)
u
u
2
cos (x)
cos2 (x)
= t sin2 (x)+cos2 (x) + sin2 (x) = t
+ sin2 (x) =
1
cos2 (x)
cos2 (x)
s
=
q
cos2 (x) − sin2 (x) cos2 (x)
2
+
sin
(x)
=
cos2 (x) − sin2 (x) + sin2 (x) =
cos2 (x)
1
p
= cos2 (x) = cos (x)
31. Aufgabe
(a) Bestimmen Sie alle Winkel α ∈ [0◦ , 360◦ ], die die folgende Gleichung erfüllen:
cos(2α) + sin(α) = 0
Lösung:
cos(2α) + sin(α) = 0
1 − 2 sin2 (α) + sin(α) = 0
| {z } | {z }
u2
u
2u2 − u − 1 = (2u + 1) (u − 1) = 0
1
210◦ + k360◦
u1 = − = sin (α) → α =
330◦ + k360◦
2
u2 = 1 = sin (α) → α = 90◦ + k360◦
⇒ L = {90◦ , 210◦ , 330◦ }
(b) Bestimmen Sie alle x ∈ [0, 2π], die die folgende Gleichung erfüllen:
π
+ cos (x) = 0
cos x −
3
Lösung:
π
cos x −
+ cos (x) = 0
3
π π cos (x) cos
+ sin (x) sin
+ cos (x) = 0
3
3
√
3
3
cos (x) +
sin (x) = 0
2
2
√
π
3 sin x +
=0
3
π
π
sin x +
= 0 → x = kπ −
3
3
2π 5π
,
⇒L=
3 3
Seite 32 / 37
Mathematik
Lösung Arbeitsblatt Geometrie / Trigonometrie
(c) Bestimmen Sie alle x ∈ [0, 2π], die die folgende Gleichung erfüllen:
π
sin (2x) + cos x +
=0
2
Lösung:
π
sin (2x) + cos x +
=0
2
2 sin (x) cos (x) − sin (x) = 0
sin (x) (2 cos (x) − 1) = 0
sin (x) = 0 → x1 = kπ
1
→ x2 =
2 cos (x) − 1 = 0 → cos (x) =
2
π
5π
⇒ L = 0, , π, , 2π
3
3
π
+ 2kπ
3
5π
+ 2kπ
3
(d) Bestimmen Sie alle x ∈ [0, π], die die folgende Gleichung erfüllen:
cos (2x) = −
1
2
Lösung:
1
cos (2x) = −
2
2π
+ 2kπ
3
2x =
4π
+ 2kπ
3
π
+ kπ
3
x=
2π
+ kπ
3
π 2π
⇒L=
,
3 3
(e) Bestimmen Sie alle x ∈ [0, 2π], die die folgende Gleichung erfüllen:
sin (x) + sin2 (x) = 0
Lösung:
sin (x) + sin2 (x) = 0
sin (x) (1 + sin (x)) = 0
sin (x) = 0 → x1 = kπ
3π
1 + sin (x) = 0 → sin (x) = −1 → x2 =
+ 2kπ
2
3π
⇒ L = 0, π, , 2π
2
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2016
Mathematik
Lösung Arbeitsblatt Geometrie / Trigonometrie
(f) Bestimmen Sie alle x ∈ [0, 2π], die die folgende Gleichung erfüllen:
cos (x) + cos (2x) = 0
Lösung:
cos (x) + cos (2x) = 0
cos (x) +2 cos2 (x) −1 = 0
| {z }
| {z }
u
u2
2u2 + u − 1 = (2u − 1) (u + 1) = 0
π
1
+ 2kπ
3
u1 = = cos (x) → x1 =
5π
+ 2kπ
2
3
u2 = −1 = cos (x) → x2 = π + 2kπ
π
5π
⇒L=
, π,
3
3
(g) Bestimme Sie alle x ∈ [0, 2π], die die folgende Gleichung erfüllen:
sin (x) − cos (2x) = 0
Lösung:
sin (x) − cos (2x) = 0
sin (x) − (1 − 2 sin (x)) = 0
2 sin2 (x) + sin (x) −1 = 0
| {z } | {z }
u
u2
2u2 + u − 1 = (2u − 1) (u + 1) = 0
π
1
+ 2kπ
6
u1 = = sin (x) → x1 =
5π
+ 2kπ
2
6
3π
u2 = −1 = sin (x) → x2 =
+ 2kπ
2
π 5π 3π
⇒L=
, ,
6 6 2
(h) Bestimme Sie alle reellen Zahlen x, die die folgende Gleichung erfüllen:
cos (2x) =
1
2
Lösung:
1
cos (2x) =
2
π
+ 2kπ
3
2x =
5π
+ 2kπ
3
π
+ kπ
6
x=
5π
+ kπ
6
π
5π
⇒L=
+ kπ,
+ kπ
6
6
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2016
Mathematik
Lösung Arbeitsblatt Geometrie / Trigonometrie
2016
(i) Lösen Sie die folgende Gleichung (geben Sie alle Lösungen im Intervall [0◦ , 360◦ ]
an):
1
2 sin (α) + = 0
2
Lösung:
1
2 sin (α) + = 0
2
1
sin (α) = −
4
◦
−14.4775 + k360◦
α=
194.4775◦ + k360◦
⇒ L = {194.4775◦ , 345.5225◦ }
(j) Lösen Sie die folgende Gleichung (geben Sie alle Lösungen im Intervall [0◦ , 360◦ ]
an):
sin2 (α) − cos2 (α) = 1
Lösung:
sin2 (α) − cos2 (α) = 1
− cos2 (α) = 1 − sin2 (α)
− cos2 (α) = cos2 (α)
0 = 2 cos2 (α)
0 = cos (α) → α = 90◦ + k180◦
⇒ L = {90◦ , 270◦ }
(k) Lösen Sie die folgende Gleichung (geben Sie alle Lösungen im Intervall [0, 2π]
an):
sin (x) + cos (2x) = 0
Lösung:
sin (x) + cos (2x) = 0
sin (x) +1 − 2 sin2 (x) = 0
| {z }
| {z }
u
u2
−2u2 + u + 1 = − (2u + 1) (u − 1) = 0
7π
1
+ 2kπ
6
2u + 1 = 0 → u1 = sin (x) = − → x1 =
11π
+ 2kπ
2
6
π
u − 1 = 0 → u2 = sin (x) = 1 → x2 = + 2kπ
2
π 7π 11π
⇒L=
, ,
2 6 6
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Mathematik
Lösung Arbeitsblatt Geometrie / Trigonometrie
(l) Welche Zahlen x ∈ [0, 2π] erfüllen die Gleichung:
sin (x) + tan (x) = 0
Lösung:
sin (x) + tan (x) = 0
sin (x) +
sin (x)
=0
cos (x)
sin (x) cos (x) + sin (x)
=0
cos (x)
sin (x) (cos (x) + 1)
=0
cos (x)
sin (x) = 0 → x1 = kπ
cos (x) + 1 = 0 → cos (x) = −1 → x2 = π + 2kπ
⇒ L = {0, π, 2π}
(m) Bestimme Sie alle reellen Zahlen x, die die folgende Gleichung erfüllen:
2 sin (x) − 3 cos (x) =
3
2
Lösung:
3
2
√
3
13 sin (x − 0.9828) =
2
3
sin (x − 0.9828) = √ = 0.4160
2 13
0.4291 + 2kπ
x − 0.9828 =
2.7125 + 2kπ
1.4119 + 2kπ
x=
3.6953 + 2kπ
2 sin (x) − 3 cos (x) =
⇒ L = {1.4119 + 2kπ, 3.6953 + 2kπ}
(n) Bestimme Sie alle reellen Zahlen x, die die folgende Gleichung erfüllen:
4 sin (3x) + 3 cos (3x) =
5
2
4 sin (3x) + 3 cos (3x) =
5
2
Lösung:
5
2
1
sin (3x + 0.6435) =
2
5 sin (3x + 0.6435) =
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2016
Mathematik
Lösung Arbeitsblatt Geometrie / Trigonometrie
3x + 0.6435 =
π
+ 2kπ
6
5π
+ 2kπ
6
=
0.5236 + 2kπ
2.6180 + 2kπ
−0.1199 + 2kπ
1.9745 + 2kπ
−0.0400 + 2kπ
3
0.6582 + 2kπ
3
3x =
x=
2kπ
2kπ
, 0.6582 +
⇒ L = −0.0400 +
3
3
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