TRIGONOMETRIE

TRIGONOMETRIE
[© J. Möller, WS Überlingen]
TRIGON = Dreieck
Die Trigonometrie ist der Zweig der Mathematik, der sich mit der Berechnung von Seiten und
Winkeln in rechtwinkligen und allgemeinen Dreiecken befasst.
Die Grundfigur der Trigonometrie ist das rechtwinklige Dreieck. Mit ihm fangen wir an.
Alle Dreiecke sind ähnlich, d.h. ihre Form ist gleich. Die Dreiecke stimmen überein in

allen Winkeln

allen Seitenverhältnissen.
Für die Berechnung der Seitenverhältnissen ist es egal, welches der Dreiecke man betrachtet.
-1© J. Möller 2012
ZEICHNE EIN BELIEBIGES DREIECK mit α = 30°.
Hypotenuse
Gegenkathete
α = 30°
Ankathete
HYPOTENUSE = LÄNGSTE SEITE, LIEGT GEGENÜBER VOM RECHTEN WINKEL
GEGENKATHETE = DEM WINKEL GEGENÜBERLIEGENDE KATHETE
ANKATHETE = AM WINKEL ANLIEGENDE KATHETE
BESTIMME DIE SEITENVERHÄLTNISSE IM DREIECK
Dazu werden zunächst die die drei Seiten gemessen:

Gegenkathete:
5,8 cm

Ankathete:
9,9 cm

Hypotenuse:
11,5 cm
Es ergeben sich folgende Seitenverhältnisse:

Gegenkathete 5,8

 0,58 . . .
Ankathete
9,9
genauer Wert  0,5773 . ..

Gegenkathete 5,8

 0,504 . . .
Hypotenuse 11,5
genauer Wert  0,5000

Ankathete
9,9

 0,86 . . .
Hypotenuse 11,5
genauer Wert  0,8660 . ..
-2© J. Möller 2012
MERKE
Tangens 
Gegenkathete
Ankathethe
Sinus 
Gegenkathete
Hypotenuse
Cosinus 
Ankathete
Hypotenuse
BESTIMMUNG SPEZIELLER WERTE DURCH RECHNUNG
tan 30 
sin 30 
60°
2
cos 30 
1
3
30°
1
 0,5773...
3
1
 0,5000
2
3
 0,8660...
2
aus demselben Dreieck erhält man
1
2
3
 1, 732...
1
sin 60 
3
 0,8660...
2
cos 60 
1
 0, 5000
2
1
tan 45   1, 000
1
45° 2 tan 60 
1 45° sin 45 
1
 0, 7071...
2
cos 45 
1
 0, 7071...
2
1 1
α ≈ 0°
1
tan 0 
0
 0 und
1
tan 90 
sin 0 
0
 0 und
1
1
sin 90   1
1
cos 0 
0
 0 und
1
cos 90 
0
1

0
0
0
1
-3© J. Möller 2012
ZUSAMMENFASSUNG UND ÜBERSICHT

0
30
tan 
0
0
1
1
 0,5773
3
sin 
0
0
1
cos 
1
1
1
45
60
90
1
1
1
3
 1, 7320
1
1

0
1
 0,5
2
1
 0, 7071
2
3
 0,8660
2
1
1
1
3
 0,8660
2
1
 0, 7071
2
1
 0,5
2
0
0
1
Alle anderen Werte entnimmt man dem TR.
AUFGABE 1
Jemand sieht ein Haus im Abstand von 8,20 m unter einem Höhenwinkel von   35 .
Wie hoch ist das Haus, wenn die Augenhöhe des Betrachters a = 1,70 m beträgt?
SKIZZE
RECHNUNG
G
A

h
 tan 
e
| Gl. umstellen
h  e  tan 
| bekannte Werte einsetzen
h  8, 2  tan 35  5,74 m
H  h  a  5, 74 m  1, 70 m  7, 44 m
-4© J. Möller 2012
AUFGABE 2
Eine Kirche ist 54 m hoch. Jemand sieht den Turm unter einem Höhenwinkel   25 , seine
Augenhöhe beträgt a = 1,60 m. Wie weit ist er von der Kirche entfernt?
SKIZZE
Vorbetrachtung
h  H  a  54 m  1, 60 m  52, 4 m
RECHNUNG
G
A

h
 tan 
e
h  e  tan 
e
| Gl. umstellen
 e
h
tan 
| bekannte Werte einsetzen
52, 4
 112, 37 m
tan 25
AUFGABE 3
h=2m
tan  
G
A
tan  
2
5
tan   0, 4
| tan  1 [shift / tan]
α=?
e=5m
Winkel   21,8
-5© J. Möller 2012
12 MUSTERAUFGABEN
c
Skizze
a

b
TANGENS
tan  
gegeben
gesucht
1)
b  7m ,   35
a=?
2)
a  11m ,   17, 2
b=?
3)
a = 12m , b = 23m
 ?
G
A
………………………………………………………………………………………………..
sin  
SINUS
4)
c  13,3m ,   48
a=?
5)
a  55m ,   16
c=?
6)
a = 15m , c = 55m
 ?
G
H
………………………………………………………………………………………………..
COSINUS
cos  
7)
c  25m ,   77
b=?
8)
b  112m ,   12
c=?
9)
b = 109m , c = 144m
 ?
A
H
………………………………………………………………………………………………..
SATZ des PYTHAGORAS
a ²  b²  c²
10)
a  11m , b  16m
c ?
11)
a  14m , c  27m
b?
12
b  17m , c  20m
a?
……………………………………………………………………………………………….
13)
Herbert sieht einen Kirchturm unter dem Höhenwinkel   27,3 . Seine waagerechte
Entfernung zum Turm beträgt 121m. Wie hoch ist der Kirchturm, wenn die
Augenhöhe a = 1,70 m beträgt?
-6© J. Möller 2012
LÖSUNGEN
TANGENS
gesucht
ANSÄTZE
ERGEBNISSE
1)
b  7m ,   35
a=?
a
 tan 
b
 a  b  tan  = 4,90 m
2)
a  11m ,   17, 2
b=?
a
 tan 
b
 b
3)
a = 12m , b = 23m
 ?
tan  
a
b
a
= 35,53 m
tan 
   27,55° | tan 1
………………………………………………………………………………………………..
SINUS
4)
c  13,3m ,   48
a=?
a
 sin 
c
 a  c  sin  = 9,88 m
5)
a  55m ,   16
c=?
a
 sin 
c
 c
6)
a = 15m , c = 55m
 ?
sin  
a
c
a
= 199,54 m
sin 
   15,83° | sin 1
………………………………………………………………………………………………..
COSINUS
7)
c  25m ,   77
b=?
b
 cos 
c
 b  c  cos  = 5,62 m
8)
b  112m ,   12
c=?
b
 cos 
c
 c
9)
b = 109m , c = 144m
 ?
cos  
b
c
b
= 114,50m
cos 
   40,80° | cos  1
………………………………………………………………………………………………..
SATZ des PYTHAGORAS
10)
a  11m , b  16m
c ?
c  a ²  b² = 19,42 m
11)
a  14m , c  27m
b?
b  c ²  a ² = 23,09 m
12
b  17m , c  20m
a?
a  c ²  b² = 10,54 m
……………………………………………………………………………………………….
13)
Herbert
sieht
einen
Kirchturm
unter
dem
Höhenwinkel
  27,3 . Seine
waagerechte Entfernung zum Turm beträgt 121m. Wie hoch ist der Kirchturm, wenn
die Augenhöhe a = 1,70 m beträgt?
H = 64,15 m
-7© J. Möller 2012
B
ÜBUNGEN
sin  
G
H
cos  
G
H
tan  
G
A
c
a
1.

A
a)
a = 3,7 cm / c = 5,9 cm
b)
a = 10,1 cm / b = 7,8 cm
c)
b = 11,1 cm / c = 17,0 cm
d)
b = 29,3 cm / a = 21,7 cm
C
b
berechne jeweils den Winkel 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------2.
Berechne jeweils a und danach b:
a)
α = 35° / c = 7,0 cm
b) c = 6,0 cm / β = 68°
c)
c = 5,72 cm / γ = 21°
---------------------------------------------------------------------------------------------------------3.
Eine Leiter mit der Länge l = 7,20 m lehnt an einer Hauswand. Die Leiter bildet mit der
Hauswand oben einen Winkel von 20°. Wie groß ist der waagerechte Abstand des
unteren Leiterendes von der Hauswand?
4.
Ein stabiles Brett soll für eine Laderampe mit der
Höhe h = 1,60 m hergestellt werden. Dabei soll der
Neigungswinkel α höchstens 27° betragen .Wie lang
muss das Brett sein?
-8© J. Möller 2012
5.
Gegeben
b = 12 cm, c = 25 cm
Gesucht
a ,  ,  , Dreiecksfläche
ERGEBNISSE
1.
  38,83 ,
  52,32 ,
  49, 23 ,
  36,52
2.
a)
a  4, 01 cm , b  5, 73 cm
b)
a  16, 01 cm , b  14,85 cm
c)
a  14,90 cm , b  15,96 cm
3.
a  2, 46 m
4.
c  3,52 m
5.
a  27, 73 cm ,   25,64 ,   90    64,36
A
g h
 .......  150 cm 2
2
-9© J. Möller 2012
KLÄRUNG VERSCHIEDENER BEZEICHNUNGEN
Höhenwinkel
Erhebungswinkel
Steigungswinkel

0°
Tiefenwinkel
Senkungswinkel
Neigungswinkel
  Sehwinkel
a  Augenhöhe
Steigungsdreieck
Steigung 
Gegenkathete
 tan 
Ankathete
BEISPIELE
16
16%  100
 0,16  tan 
  12  tan 12  0, 2125  21,25
100  21, 25%
   9, 09
- 10 © J. Möller 2012
DIE ZAHNRADBAHN
Eine Zahnradbahn hat eine Steigung von 27% auf einer Fahrstrecke von 1,8 km.
Wie groß ist der Steigungswinkel?
Wie groß ist der Höhenunterschied?
Wie groß ist die waagerechte Entfernung?
s
27

h
100

a
tan   27% 
27
 0, 27    15,11
100
h
 sin 
s
 h  s  sin   1800  sin15,11  469, 2 m
a
 cos 
s
 a  s  cos   1800  cos15,11  1737,8 m (aufgerund et )
- 11 © J. Möller 2012
DER BLICK AUS DEM FENSTER
Jemand schaut aus einem Fenster, das h = 9,20 m über dem Boden liegt. Von dort aus sieht er
den Fuß eines Fabrikschornsteines unter dem Tiefenwinkel  = 15,6°, die Spitze unter dem
Höhenwinkel  = 54,3°.
Wie weit ist der Schornstein vom Fenster (waagerecht) entfernt?
Wie hoch ist der Schornstein?
SKIZZE
h2
H

a

h

PLAN
a
RECHNUNG
h
 tan 
a
h2
 tan 
a
h2
 a

H
h
tan 
 a
 h2  a  tan 
9, 2
 32,95 m
tan15, 6
 h2  32, 95  tan 54, 3  45,86 m
H  h  h2  9, 20 m  45,86 m  55, 06 m
PRÜFEN
Das Ergebnis prüfen, falls maßstabgetreu gezeichnet wurde.
- 12 © J. Möller 2012
VERALLGEMEINERUNG
H  h  h2
| h2  a  tan  einsetzen
H  h  a  tan 
|a 
H  h
h
 tan 
tan 
h
einsetzen
tan 
| h ausklammern
FORMEL
 tan  
H  h  1 
 tan  
ANWENDUNG
 tan 54,3 
H  9, 2  1 
  55, 06 m
 tan15, 6 
- 13 © J. Möller 2012
BESTIMMUNG EINER KIRCHTURMHÖHE
Gegeben:
Standlinie
s = 70 m
Augenhöhe
a = 1,70 m
Höhenwinkel
  15 und   29
Gesucht:
Kirchturmhöhe H = ?
Es wird zunächst eine Hilfsgröße x eingeführt, die aber später in der Rechnung wieder
beseitigt werden muss.
Ansatz:
[Gleichungssystem mit 2 Unbekannten h und x]
großes Dreieck
h
 tan 
xs
kleines Dreieck
h
 tan 
x

xs 
 x

s
h
tan 
h
tan 
| ( )
h
h

tan  tan 
| h ausklammern
 1
1 
s  h 


 tan  tan  
h
Formel:
Rechnung:
h
s
 1
1 
 tan   tan  



| nach h umstellen
s
 1
1 
 tan   tan  


70
1 
 1



 tan15 tan 29 
 36,3 m
H  h  a  36,3 m  1, 7 m  38 m
- 14 © J. Möller 2012
DER EIBSEE
Ein Beispiel aus der Landvermessung zeigt, was der Tangens noch alles kann. Vom
Punkt U am Ufer des Eibsees (980 m über NN) sieht man einen Berggipfel unter einem
Neigungswinkel  = 22,23°. Vom gegenüberliegenden Uferpunkt G aus misst man den
Neigungswinkel  = 28,18°. Wie hoch liegt der Gipfel über NN, wenn die Messpunkte eine
Standlinie von UG = 1150 m Länge festlegen? (NN ist die Abkürzung für Normalnull, das ist
der Meeresspiegel.)
RECHNUNG
h
d
 1
1 
 tan   tan  



1150
1
1


 tan 22, 230  tan 28,180 


 1982 m
H  h  a  1982 m  980 m  2962 m über NN
- 15 © J. Möller 2012
BLICK AUF DEN FLUSS
β
α
h
Fluss
x
b
a
Von einem Turm aus, der die Höhe h = 45 m hat, wird ein Flussbett betrachtet, das unter dem
Sehwinkel   13 erscheint.
Der Turm ist vom Flussufer b = 24 m entfernt.
Bestimme die Breite des Flusses.
PLAN
      a  x ( Flussbreite)
RECHNUNG
tan  
b
h
 tan  
24
 0, 5333    28, 07
45
    28, 07  13  41, 07
a
 tan 41, 07  a  h  tan 41, 07  45  tan 41, 07  39, 21 m
h
x  a  b  15, 21 m
ANTWORT
Der Fluss ist circa 15 m breit.
- 16 © J. Möller 2012
BLICK AUF DEN SEE
β
α
h
β
α
SEE
x
b
a
Von einem Turm aus, der die Höhe h = 61 m hat, erscheinen die Ufer eines Sees unter dem
Tiefenwinkeln   27 und   71  .
Wie breit ist der See?


PLAN
a
RECHNUNG
h
 tan 
a
 a
h
61

 119, 72 m
tan  tan 27
h
 tan 
b
 b
h
61

 21, 00 m
tan  tan 71
b
x
x  a  b  119, 72 m  21, 00 m  98, 72 m
ANTWORT
Der See ist circa 99 m breit.
- 17 © J. Möller 2012
BESTIMMUNG EINES PYRAMIDEN-NEIGUNGSWINKELS
PYRAMIDE
h
a  8,1 cm
h  12 cm
α
x
a
a
QUADRAT
d
a
a
RECHNUNG
d  a 2  a 2  8,12  8,12  131, 22  11, 46 cm
x
d 11, 46

 5, 73 cm
2
2
tan  
h 12

 2, 0942 | tan 1
x 5, 73
  64, 47
- 18 © J. Möller 2012
ERGÄNZUNGEN
G  h a 2  h 8,12 12


 4  8,12  262, 44 cm3
3
3
3
Volumen
VPyr 
Kante
s  h 2  x 2  122  5, 732  13,3 cm
ZIRKEL MITBRINGEN
- 19 © J. Möller 2012
DER ÜBERGANG VOM RECHTWINKLIGEN ZUM
ALLGEMEINEN DREIECK
HERLEITUNG DES SINUSSATZES
[Der ZENTRIWINKELSATZ besagt, dass ein Zentriwinkel ist immer doppelt so groß ist wie
der entsprechende Peripheriewinkel.]
C
γ
b
2
Umkreis
r
β
Mittelpunkt
γ
r
α
α
A
a
2
r
β
c
2
B
. . . . das Dreieck mit seinem Mittelpunkt impfen . . .
MERKE
Den Mittelpunkt des Umkreises findet man als Schnittpunkt der Mittellote.
Jedes Dreieck kann in rechtwinklige Teildreiecke untergliedert werden, indem man die
Mittellote und die Umkreisradien einzeichnet. Mit Hilfe der Figur kann der SINUSSATZ
hergeleitet werden.
- 20 © J. Möller 2012
Der Sinus für die Teildreiecke lautet:
a
a
sin   2 
r
2r
b
b
sin   2 
r
2r
c
c
sin   2 
r
2r
Durch Umstellen nach 2 r ergibt sich:
a
sin 
b
2r 
sin 
c
2r 
sin 
2r 
Durch Gleichsetzen erhält man den
SINUSSATZ
a
b
c


2r
sin  sin  sin 
oder
sin  sin  sin 


a
b
c
MERKE
Der Sinussatz findet immer dann Anwendung, wenn zu einer Seite auch der
gegenüberliegende Winkel gegeben ist. Es muss immer ein WINKEL-SEITE-PÄRCHEN
bekannt sein. Folgende Fälle sind möglich:
a und 
b und 
c und 
oder
a und  und   a und 
b und  und   b und 
c und  und   c und 
Bei allen anderen Fällen findet der Sinussatz keine Anwendung.
- 21 © J. Möller 2012
VORWÄRTSEINSCHNEIDEN
Vor der Küste liegt ein Schiff S vor Anker. Um die Entfernung des Schiffes zum Ufer zu
bestimmen, legt man am Ufer eine Standlinie AB = s = 114m fest. Von dort aus misst man
die Winkel α =  SAB = 38,2° und β =  SBA = 47,1°. Berechne die beiden Entfernungen
AS = b und BS = a.
SKIZZE
PLAN

RECHNUNG
  180      180  38, 2  47,1  94, 7
 a  b
a
s

sin  sin 
a
s  sin  114  sin 38, 2

 70, 7 m
sin 
sin 94, 7
b
s

sin  sin 
b
| sin 
| sin 
s  sin  114  sin 47,1

 83,8 m
sin 
sin 94, 7
- 22 © J. Möller 2012
ENTFERNUNGSBESTIMMUNG
Bestimme die Entfernung PB = a.
PLAN
    a  PB
RECHNUNG
sin  sin 

b
s
sin  
b  sin  154  sin 18

 0, 6101 | sin 1
s
78
  37, 6
  180      124, 4
sin  sin 

a
s
a
s  sin  78  sin 124, 4

 208, 27 m
sin 
sin 18
- 23 © J. Möller 2012
WOLKENHÖHE UND SPIEGELUNG AM WASSER
WOLKE
γ
TURM
α
x
H
β
h
c
β
δ
β
WASSER
Von einem 80 m hohen Turm aus sieht man eine Wolke unter dem Höhenwinkel α = 40° und
ihr Spiegelbild im See unter dem Tiefenwinkel β = 52°. Wie hoch schwebt die Wolke über
dem See?
ALLE WINKEL BERECHNEN
  180  2  180  104  76
    40  52  92
  180        180  40  52  76  12
h
 sin 
c
x
sin (   )
H
 sin 
x
 c

c
sin 
h
80

 101,52 m
sin  sin 52
 x
c  sin (   ) 101,52  sin 92

 487,97 m
sin 
sin 12
 H  x  sin   487,97  sin 52  384,5 m
- 24 © J. Möller 2012
BERGHÖHENBESTIMMUNG
Auf einem Berggipfel befindet sich ein Turm. Man will heraus finden, wie viel höher dieser
als der eigene Standort liegt
Welche Messungen müssen durchgeführt werden?
SKIZZE
Gemessen werden die Horizontalwinkel α = 61° und β = 73°, die Länge der horizontalen
Standlinie s = 351m und der Höhenwinkel δ = 26,7°. Berechne h.
Den Höhenwinkel könnte man auch von B aus messen, wobei sich für δ ein anderer Wert
ergeben würde.
PLAN
   ACB  b  h
RECHNUNG
  180      46
b
s

sin  sin 
b
s  sin  351  sin 73

 466, 62 m
sin 
sin 46
h
 tan 
b
h  b  tan   466, 62  tan 26, 7  234, 69 m
- 25 © J. Möller 2012
HÖHENMESSUNG
C
δ
h=?
x
γ
β
s
α
B
D
A
MESSWERTE
s = AB = 671m
α = 26,57°
β = 59°
γ = 47,29°
Bestimme die Höhe h.
RECHNUNG
Winkel  CAB      47, 29  26,57  20,72
Winkel  ABC  180      180  26,57  59  147,57
Winkel
      59  47, 29  11, 71
x
s

sin 147,57 sin 
h
 sin 
x
 x
s  sin 147,57 671 sin 147,57

 1772,96 m
sin 
sin 11, 71
 h  x  sin   1772,96  sin 26,57  1302, 76 m
- 26 © J. Möller 2012
AUFGABE AUS DEM LEBEN
JUNGER HERR TRIFFT DAME SEINES HERZENS
Augenhöhe des Herrn
a = 1,8 m
Augenhöhe der Dame
b = 1,6 m
Balkonhöhe
h = 8,0 m
FRAGEN
a)
Zunächst ist der Herr 20m von dem Haus entfernt. Unter welchem Sehwinkel α sieht er
die Dame, die auf dem Balkon steht?
b)
Auf welcher Linie müsste sich der Herr bewegen, wenn er die Dame stets unter
demselben Sehwinkel erblicken wollte? Konstruiere diese Linie.
c)
Nun bewegt sich der Herr auf einer geraden Linie auf die Dame zu. Bei welchem
Abstand x zum Haus sieht er die Dame unter dem größten Sehwinkel?
Wie kann man das Problem durch Konstruktion lösen?
d)
Wie groß ist der maximale Sehwinkel β? Berechne den Abstand x, der zu dem
maximalen Sehwinkel β gehört.
- 27 © J. Möller 2012
LÖSUNGSBLATT
- 28 © J. Möller 2012
- 29 © J. Möller 2012
BEWEIS DES ZENTRIWINKELSATZES
C
1 2
γ = 1+2
M
1
1
1
2
2γ
2
2
B
A
Der Zentriwinkel (2γ) ist immer doppelt so groß wie der entsprechende Peripheriewinkel γ.
Der Beweis ergibt sich aus der Gleichschenkligkeit der Teildreiecke und aus der Tatsache,
dass ein Außenwinkel immer so groß wie die Summe der beiden nicht anliegenden
Innenwinkel ist.
[Wiederholung aus der Unterstufe]
- 30 © J. Möller 2012
Probleme, die nicht mit dem Sinussatz lösbar sind:
(1)
Seite-Seite-eingeschlossener Winkel gegeben, gegenüberliegende Seite gesucht
(2)
Drei Seiten gegeben, Winkel gesucht
WIEDERHOLUNG SATZ DES PYTHAGORAS
C
b²
E
A
a²
B
c²
a 2  b2  c 2
BEWEIS DURCH FLÄCHENVERWANDLUNG
Rechteck
Scherung
Drehung
Scherung

 Parallelogramm 
 Parallelogramm 
 Quadrat
- 31 © J. Möller 2012
DER SATZ DES PYTHAGORAS FÜR SPITZWINKLIGE DREIECKE
y
C
b²
a²
D
b
H
b
α
A
c
c
c²
E
B
x
PRINZIP
Das Dreieck wird mit dem Höhenschnittpunkt „geimpft“. Dadurch entsteht eine auf dreifache
Weise ausgewogene Figur. Die Flächen halten sich das Gleichgewicht.
- 32 © J. Möller 2012
VORBETRACHTUNG
aus  AEC folgt :
x
 cos 
b
 x  b  cos 
aus  ABD folgt :
y
 cos 
c

y  c  cos 
obere grüne Fläche  b  y  b  c  cos 
untere grüne Fläche  c  x  c  b  cos 

die Flächen sind gleich groß.
HERLEITUNG DES COSINUSSATZES
a 2  b 2  c 2  2 grüne Flächen
a 2  b 2  c 2  2 b c  cos 
  ist der von den Seiten b und c eingeschlossene Winkel
oder
b 2  a 2  c 2  2 a c  cos 
  ist der von den Seiten a und c eingeschlossene Winkel
oder
c 2  a 2  b 2  2 a b  cos 
  ist der von den Seiten a und b eingeschlossene Winkel
ANWENDUNG FÜR
C
Seite
A
gegenüberliegende Seite
gesucht
Winkel
Seite
B
- 33 © J. Möller 2012
BEISPIEL
C
b = 374 m
a=?
SEE
α = 67°
A
c = 417 m
B
MESSUNGEN
b  374 m
c  417 m
  67
Bestimme die Entfernung BC = a.
RECHNUNG
a 2  b2  c 2  2bc  cos 
a 2  3742  417 2  2  374  417  cos 67  191889, 71 |
a  438 m
WINKEL
sin  sin 

b
a
 sin  
b  sin 
a
   51,81
  180      61,19
- 34 © J. Möller 2012
UMKEHRUNG DES COSINUSSATZES
Falls ein Winkel gesucht wird, muss der Cosinus-Satz umgestellt werden.
2 b c  cos   b2  c 2  a 2 |: (2 b c)
b2  c2  a 2
cos  
(2 b c)
oder
a 2  c2  b2
cos  
(2 a c)
oder
a 2  b2  c2
cos  
(2 a b)
C
ANWENDUNG FÜR
Seite
A
Winkel gesucht
Seite
Seite
B
- 35 © J. Möller 2012
BEISPIEL
C
b
DACHSTUHL
a
h
α=?
A
β=?
c
Breite: c = 9m, Sparrenlängen: a = 10,2m und b = 7,5m
Bestimme die beiden Basiswinkel.
Bestimme die Höhe h.
Bestimme die Fläche des Dreieckes.
RECHNUNG
cos  
b2  c 2  a 2 7,52  92  10, 22

 0, 2460 | cos 1    75, 76
(2  b  c)
(2  7,5  9)
sin  sin 

b
a
 sin  
b  sin  7,5  sin 75,56

 0,71206    45, 40
a
10, 2
  180      58,84
HÖHE
h
 sin 
b
FLÄCHE
A 
 h  b  sin   7,5  sin 75, 76  7, 27 m
c  hc
 32, 71 m2
2
- 36 © J. Möller 2012
B
FORMEL ZUR BERECHNUNG VON DREIECKSFLÄCHEN
C
b
h
α
A
Dreiecksfläche 
B
c
Grundseite  Höhe
2
A 
c  hc
2
A 
c  b  sin 
2
|
hc
 sin 
b
 hc  b  sin  einsetzen
1
1
A   b  c  sin    Seite  Seite  Sinus (eingeschl. Winkel )
2
2
oder
1
A   a  c  sin 
2
oder
1
A   a  b  sin 
2
RECHENBEISPIELE
b = 6 cm, c = 7 cm, α = 43°
1
1
A   b  c  sin    6  7  sin 43  14,32 cm2
2
2
Falls drei Seiten gegeben sind, muss zuerst mit dem Cosinus-Satz ein Winkel bestimmt
werden:
a = 7,8 cm, b = 9,2 cm, c = 11,4 cm
   42,86  A  35, 67 cm2
- 37 © J. Möller 2012
VORWÄRTSEINSCHNEIDEN NACH ZWEI PUNKTEN
Es soll die Entfernung zwischen zwei unzugänglichen Punkten P und Q bestimmt werden.
Dazu legt man im Gelände eine waagerechte Standlinie AB fest, von der aus die beiden
Punkte P und Q angepeilt werden.
Um die Strecke PQ = x berechnen zu können, muss man vier Winkel und die Länge der
Standlinie messen.
Folgende Werte werden gemessen:
AB = s = 489,4m, α1 = 28,4° und α2 = 89,7°, β1 = 136,1° und β2 = 62,8°
Wie groß ist die Strecke PQ = x?
PLAN
γ1 → Winkelsumme
γ2 → Winkelsumme
a
→ Sinussatz
b
→ Sinussatz
δ → Winkeldifferenz
x → Cosinussatz
- 38 © J. Möller 2012
RECHNUNG
 1  180  1  1  15,5
 2  180   2   2  27,5
b1
s

sin 1 sin  1
 b 1
s  sin 1
 1269,84 m
sin  1
b2
s

sin  2 sin  2
 b 2
s  sin  2
 942, 68 m
sin  2
   2  1  61,3
COSINUSSATZ
x 2  b12  b2 2  2 b1 b2  cos 
x  1162, 5 m
- 39 © J. Möller 2012
- 40 -
© J. Möller 2012
α
1
EINHEITSKREIS
-1
+1
60°
90°
120°
150°
180°
Der Winkel wird abgetragen in Bogenmaß,
d.h. der Kreisumfang ≡ 360°
2 π·r ≡ 360° | r = 3 cm
6 π ≡ 360° | π ≈ 3
≈ 18 cm ≡ 360° | :12
1,5 cm ≡ 30°
[siehe Zeichnung]
30°
sin α
Die Sinuskurve und die Cosinuskurve
360°
cos α
α
MERKE
Zu einem positiven Sinus-Wert gehören im Bereich zwischen 0° und 180° immer zwei
Winkel, die diesen Wert erfüllen.
BEISPIELE
  30
sin   0,5   1
 2  150
Allgemein gilt
  53,13
sin   0,8   1
 2  126,87
sin   sin (180   )
AUFGABE
Gegeben ist ein Dreieck mit c = 6 cm, b = 14 cm und α = 25°.
C
Wie groß ist der Winkel β?
Zuerst konstruiere, dann rechne.
KONSTRUKTION
A
β'
α
c = 6 cm
B
RECHNUNG
a 2  b 2  c 2  2bc  cos 
sin  sin 

b
a
 a  8,93 cm
 sin  
b  sin 
a
   41,5     180  41,5  138,5
ÜBUNGEN [Konstruiere und rechne.]
1.
c = 5 cm, b = 8 cm, α = 40°, gesucht β.
[102,3°]
2.
a = 10 cm, c = 7,5 cm, β = 30°, gesucht α.
[103°]
3.
a = 4,2 cm, b = 5 cm, c = 8 cm, gesucht γ.
[120,57°]
4.
gleichschenkliges Dreieck mit a = b = 7 cm, c = 5 cm, h = ?
[6,54cm]
5.
Quader mit l = 5 cm, b = 4 cm, h = 2 cm.
Wie groß ist der Winkel, den die Raumdiagonale mit der Grundfläche bildet?
[17,34°]
- 41 © J. Möller 2012
- 42 © J. Möller 2012
PYRAMIDE
Höhe h = 20 m
Gesucht sind die Winkel α, β und γ.
DACH
Gegeben
a = 12m, b = 8,8m, l = 5,4m, h = 4,8m
Gesucht sind die Neigungswinkel für
a)
die Seitenflächen
b)
die Vorderflächen
c)
die Kanten
- 43 © J. Möller 2012
WÜRFEL
Bestimme beim Würfel den Winkel zwischen Raumesdiagonale und Würfelfläche.
Außerdem bestimme den Winkel zwischen Würfelkante und Raumesdiagonale.
β
D
a
α
d
RECHNUNG
Flächendiagonale d  2  a
Raumesdiagonale
tan  
D  3a
a
a
1


 0, 7071    35, 26 und
d
2
2 a
  54, 74
- 44 © J. Möller 2012
OKTAEDER
Welchen Winkel bilden beim Oktaederl zwei gegenüberliegende Flächen miteinander?
Welchen Winkel bilden zwei benachbarte Flächen miteinander?
γ
2
a
a
h
x
α
2
a
a
RECHNUNG
h
tan

2
2 a 1
  2 a
2
2
d

2

2

h 12  2  a
 1
 2
x
2 a
 90 

2
x


2
a 1
 a
2 2
 54, 74    109, 47
 35, 26    70,53
- 45 © J. Möller 2012
PYRAMIDE
Ein Turmdach hat die Gestalt einer senkrechten quadratischen Pyramide mit der Grundkante
a = 6m und der schrägen Seitenkante s = 9m.
Bestimme durch Zeichnung und Rechnung:
a)
den Neigungswinkel einer Seitenkante,
b)
den Neigungswinkel einer Seitenfläche,
c)
den Winkel zwischen zwei benachbarten Dachflächen,
d)
die Größe des Pyramidenvolumens.
e)
Das Dach soll mit Ziegeln gedeckt werden. Wie groß sind alle Dachflächen zusammen?
S
s
h
E
δ
z
F
A
β
α
z
D
x
y
M
a
C
a
B
- 46 © J. Möller 2012
LÖSUNGEN
a)
2 x  a ²  a ²  8, 48
x  4, 24 cm
s
h
cos  
x
| cos 1
s
  61,87
α
x
h  s ²  x ²  7,94 m
b)
tan  
h
| tan 1
y
h
  69,3
β
S
y=
c)
a
= 3 cm
2
s
h
E
s
δ
z
z
D
a
d
A
C
a
B
MERKE
Sucht man den Winkel, den zwei Flächen miteinander bilden, so muss sich dazu eine Ebene
denken, die auf der Schnittgeraden der beiden Flächen senkrecht steht.
- 47 © J. Möller 2012
Gegeben
s9m / a6m
Gesucht

und
S
z
s=9
s
3 1
| cos 1
cos    
s 9 3
a
2
  70,53
E
z
γ
z
 sin 
a
B
C
a
=3
2
z  a  sin   5, 66 m
E
cos

2

x
| cos 1
z
δ
z
  97,18
D
ERGEBNIS
δ
2
z
x
B
Der Winkel zwischen zwei benachbarten Dachflächen beträgt 97,18°.
G  h a2  h


 95, 28 m3
3
3
d)
VPyr
e)
4  A 
4 g h
 2  g  h  2  a  FS  2  6  32  92  113,84 m2
2
- 48 © J. Möller 2012
KUGEL UND EBENE
Eine Kugel rollt eine Ebene hinunter (siehe Zeichnung).
Trifft die Kugel die Würfelecke?
Wie sieht die Falllinie aus?
Welchen Winkel bildet die schräge Ebene mit der Horizontalebene?
Bestimme zunächst die Winkel  ,  und  .
z
4
Kugel
3
2
1
2
3
4
4,5
y


1
2

3
A
4
9
x
- 49 © J. Möller 2012
LÖSUNGEN
tan  
1
   18, 43
3
tan  
2
3
   33, 69
3
1

2 3
3
tan  
   35, 26
Winkel zwischen Horizontalebene und schräger Ebene
Das Problem wird aus der Vogelperspektive
betrachtet, wobei die Kugel die waagerechte Linie
senkrecht trifft. Man muss also die Größe h
bestimmen.
4,5
4,5
tan  
9
y
h
F
  26, 565
h
 sin 
9
A
9
h  9  sin 26, 565  4, 025
tan  
a
3

h 4, 025

  36, 7
x
Ergebnis:
 ist noch größer als  und ist damit der größtmögliche Winkel.
- 50 © J. Möller 2012
TRIGONOMETRIE-FORMELSAMMLUNG
Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck
sin  
G
H
cos  
A
H
tan  
G
 Steigung
A
H

Satz des Pythagoras
c  a ²  b²
G
A
a  c²  b²
b  c²  a²
besondere Werte der Winkelfunktionen
Winkel
Die Sinuskurve und die Cosinuskurve
sinus cosinus tangens
0
0
30
1
2
1
45
1
2
2
60
1
2
3
90
3
1
2
2
1
2
3
1
3
sin α
+1
cos α
1
α
1
30°
60°
90°
120°
150°
180°

0
C

a
b
c


 2r
sin  sin  sin 
MERKE
r
b
sin  sin  sin 


a
b
c
oder
a
M
r
ein Pärchen muss bekannt sein
A
r


c
Cosinussatz
a ²  b ²  c ²  2bc  cos 
b ²  a ²  c ²  2ac  cos 
c ²  a ²  b ²  2ab  cos 
cos  
b²  c ²  a ²
2bc
360°
-1
Berechnungen am allgemeinen Dreieck
Sinussatz
270°
3
1
2
1
EINHEITSKREIS
0
B
s-w-s, Seite gesucht
oder cos  
a ²  c ²  b²
2ac
oder cos  
a ²  b²  c ²
2ab
s-s-s, Winkel gesucht
Flächeninhalt eines Dreieckes
A  12 bc  sin 
oder
A  12 ac  sin 
oder
A  12 ab  sin 
oder
A
g h
2
- 51 © J. Möller 2012
α
FORMELSAMMLUNG FÜR FLÄCHEN
a
Quadrat
A  a  a  a²
U  4a
Rechteck
A  a b
U  2a  2b
a
b
a
Dreieck
A
h
g h
2
g  Grundseite h  Höhe
g
Parallelo gramm
A  g h
h
g
Raute oder Rhombus
e
f
e
Drachen
f
A
e f
2
e und f  Diagonalen
c
Trapez
h
A
a
r
r2
r
ac
h
2
a und c  Grundseiten
Kreis
A    r²
U    d  2  r
  3,14
d  Durchmesser
r  Radius
- 52 © J. Möller 2012