Lineare Iterationsverfahren

Lineare Iterationsverfahren
Lineare Iterationsverfahren
Lineare Iterationsverfahren
Definition
Eine Matrix A ∈ Kn×n heißt zerlegbar oder reduzibel, wenn es
nichtleere Teilmengen N1 , N2 ⊂ N = {1, 2, . . . , n} gibt mit
N1 ∩ N2 = ∅
N1 ∪ N2 = N
aij = 0 ∀i ∈ N1 und j ∈ N2
Andernfalls ist A unzerlegbar bzw. irreduzibel.
Lineare Iterationsverfahren
Aufgabe
Man kann die Zerlegbarkeit einer Matrix mittels einer graphischen
Methode bestimmen. Hierzu zeichne man die Knoten 1 bis n. Falls
ein aij 6= 0 ist, zeichne man einen Pfeil von Knoten i zum Knoten
j. Die Matrix ist dann unzerlegbar, wenn man entlang der Pfeile
von jedem Knoten zu jedem anderen Knoten gelangen kann.
Prüfen Sie die Zerlegbarkeit der folgenden Matrizen mittels der
graphischen Methode!




3 2 0 0 0 0
1 2 0 0 0 0
0 0 1 0 3 0
3 0 −1 0 0 0




5 0 2 0 0 0
0 0 0 0 0 5




A=
 , B = 0 6 0 0 0 0
0
0
0
0
0
1




2 0 0 0 0 0
0 0 1 2 0 0
0 0 0 −3 0 0
0 0 0 0 1 4
Lineare Iterationsverfahren
a) Berechnen Sie mit dem Jacobi-Verfahren die ersten drei
Iterationen xk , k = 1, 2, 3 des linearen Gleichungssystems
15x1 + 2x2 = −1
x1 − 4x2 = −9
wobei x0 der Nullvektor ist.
b) Begründen Sie, dass die Folge (xk ) konvergiert.
Lineare Iterationsverfahren
Gegeben sei folgendes Gleichungssystem
3x1 − 1x2 + 1x3 = 1
3x1 + 6x2 + 2x3 = 0
3x1 + 3x2 + 7x3 = 4
Treffen sie eine Aussage über die Konvergenz für das
Jacobi-Verfahren!
Lineare Iterationsverfahren
Aufgabe
Zu berechnen sei y = exp(−1/x2 ) für x ∈ R \ {0}.
a) Man führe für den auf dieser Darstellung beruhenden
Algorithmus eine differentielle Fehleranalyse durch und beurteile
dessen Stabilität.
b) Man berechne mit Hilfe des Algorithmus den Wert y für
x = 0.5673 unter Verwendung der Arithmetik in F10,3