Foilien

Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3
Stochastik
Marco Boßle
Jörg Hörner
Marcel Thoms
Mathematik–Online
Herbst 2011
PV-Kurs HM 3
Stochastik
1-1
Zusammenfassung
Wahrscheinlichkeitsraum (WR):
Menge der Elementarereignisse Ω (Ergebnismenge)
Ereignismenge M ⊆ P(Ω) (σ-Algebra)
Wahrscheinlichkeitsverteilung p : M → [0, 1]
I
Endlicher oder abzählbarer WR:
Elementarwahrscheinlichkeiten p({ω})
X
X
p(M) =
p({ω}) , p(Ω) =
p({ω}) = 1
ω∈M
I
ω∈Ω
Ω ⊆ Rn : Verteilungsfunktion F oder Dichte f
F (x) = F (x1 , ..., xn ) = p((−∞, x1 ) × · · · × (−∞, xn ))
Zx1
Zxn
Z
F (x) =
...
f (y ) dyn · · · dy1 ,
f (y ) dy = 1
−∞
PV-Kurs HM 3
Stochastik
−∞
Rn
Zusammenfassung
2-1
Wahrscheinlichkeitsverteilungen:
Laplaceverteilung L(Ω): p(M) =
#(M)
(Gleichverteilung)
#(Ω)
Binomialverteilung B(n, p): Ω = {0, . . . , n} , p({`}) = n` p ` (1 − p)n−`
Hypergeometrische Verteilung H(n, m, k) :
Ω = {0, . . . , k} , p({`}) =
n
`
m
k−`
n+m
k
Geometrische Verteilung G (p) : Ω = N , p({`}) = (1 − p)`−1 p
λ`
Poissonverteilung P(λ) : Ω = N0 , p({`}) = e −λ
`!
Gleichverteilung: Ω = [a, b] , p([c, d]) = (d − c)/(b − a)
−λx
Exponentialverteilung: Ω = R+
0 , f (x) = λe
Normalverteilung: N(µ, σ 2 ) , Ω = R , f (x) =
PV-Kurs HM 3
Stochastik
2
2
√1 e −(x−µ) /(2σ )
σ 2π
Zusammenfassung
2-2
Andere Verteilungen
Urnenexperimente
Kombinationsmöglichkeiten bei Auswahl von k aus n Elementen:
Reihenfolge
relevant
nicht relevant
n+k −1
k
mit Wiederholungen
n
k n
ohne Wiederholungen n(n − 1) · · · (n − k + 1)
k
Modellierung durch Zufallsvariablen
X : Ω → Ω̃ ,
PV-Kurs HM 3
Stochastik
pX (A) = p({ω ∈ Ω|X (ω) ∈ A})
Zusammenfassung
2-3
Bedingte Wahrscheinlichkeit:
p(A ∩ B)
p(A|B) =
,
p(B)
p(B|A) =
p(A ∩ B)
p(A)
Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit:
A1 ∪ A2 = Ω , A1 ∩ A2 = ∅ : p(B) = p(B|A1 )p(A1 ) + p(B|A2 )p(A2 )
Ak : Zerlegung von Ω in disjunkte Teilmengen:
X
p(B) =
p(B|Ak )p(Ak )
k
Formel von Bayes:
p(A1 |B) =
p(B|A1 )p(A1 )
p(B|A` )p(A` )
, p(A` |B) = P
p(B|A1 )p(A1 ) + p(B|A2 )p(A2 )
k p(B|Ak )p(Ak )
Unabhängigkeit von n Ereignissen A1 , . . . , An :
!
\
Y
p
Ak =
p(Ak ) , ∀K ⊆ {1, . . . , n}
k∈K
PV-Kurs HM 3
Stochastik
k∈K
Zusammenfassung
2-4
Momente von reellwertigen Zufallsvariablen (Ω̃ ⊆ R)
Erwartungswert: (Erstes Moment)
E (X ) =
X
Z∞
x f (x) dx
x p({x}) , E (X ) =
x∈Ω̃
−∞
Varianz: (Zweites zentrales Moment)
D(X ) = E ((X − E (X ))2 ) = E (X 2 ) − (E (X ))2
Rechenregeln:
E (αX + βY ) = αE (X ) + βE (Y ) ,
PV-Kurs HM 3
Stochastik
D(αX + β) = α2 D(X )
Zusammenfassung
2-5
Erwartungswert und Varianz bei speziellen Verteilungen:
Binomialverteilung B(n, p) : E (X ) = np , D(X ) = np(1 − p)
Geometrische Verteilung G (p) : E (X ) = 1/p , D(X ) = (1 − p)/p 2
Poissonverteilung P(λ) : E (X ) = λ , D(X ) = λ
Gleichverteilung auf [a, b] : E (X ) = (a + b)/2 , D(X ) = (b − a)2 /12
Exponential-λ-Verteilung: E (X ) = 1/λ , D(X ) = 1/λ2
Normalverteilung N(µ, σ 2 ) : E (X ) = µ , D(X ) = σ 2
PV-Kurs HM 3
Stochastik
Zusammenfassung
2-6
Zufallsvektoren X = (X1 , . . . , Xn )
Erwartungswerte: (erste Momente)
Z
E (Xk ) = xk f (x1 , . . . , xn ) dx
Rn
Kovarianz: (Zweite zentrale Momente)
cov(Xj , Xk ) = E ((Xj − E (Xj ))(Xk − E (Xk )))
Rechenregeln bei unabhängigen Xk :
Verteilfunktion: FX (x) = FX1 (x1 ) · · · · · FXn (xn )
Dichte: fX (x) = fX1 (x1 ) · · · · · fXn (xn )
E (Xj Xk ) = E (Xj )E (Xk ) ,
PV-Kurs HM 3
Stochastik
D(Xj + Xk ) = D(Xj ) + D(Xk )
Zusammenfassung
2-7
Approximation der B(n, p) Verteilung:
Seltenes Ereignis (kleines p)
Poissonverteilung P(λ) mit λ = np : p(k) ≈ e −np
(np)k
k!
Häufige Wiederholung (großes n)
Normalverteilung N(µ, σ 2 ) mit µ = np , σ 2 = np(1 − p):
p({k, . . . , `}) ≈ p(a ≤ (X − µ)/σ < b) ≈ Φ(b) − Φ(a)
mit a = (k − 1/2 − µ)/σ , b = (` + 1/2 − µ)/σ
Parameterschätzung bei Beobachtungen x1 , ..., xn :
P
Erwartungswert: E (X ) ≈ x̄ P
= n1 nk=1 xk
n
1
2
Varianz: D(X ) ≈ s̃ 2 = n−1
k=1 (xk − x̄)
B(n, p)-Verteilung: p ≈ x̄/n
Poisson-Verteilung: λ ≈ x̄
Exponential-Verteilung: λ ≈ 1/x̄
N(µ, σ 2 )-Verteilung: µ ≈ x̄, σ 2 ≈ s̃ 2
Maximum-Likelihood-Schätzung:
Wähle u so, dass p(X = x, u) maximal ist.
PV-Kurs HM 3
Stochastik
Zusammenfassung
2-8
Aufgabe 4.1 (I1438)
In einer Urne befinden sich drei rote und drei grüne Kugeln, in einer
zweiten Urne befinden sich drei rote und drei blaue Kugeln.
Aus diesen Urnen wird (ohne zurücklegen) zweimal eine Kugel gezogen,
indem zunächst zufällig eine Urne ausgewählt und dann dieser Urne
zufällig eine Kugel entnommen wird.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten p(A) und p(B) folgender
Ereignisse:
A: beide Kugeln sind rot.
B: beide Kugeln haben dieselbe Farbe.
Vergleichen Sie die Ergebnisse mit den Wahrscheinlichkeiten p2 (A) und
p2 (B) bei einer Ziehung von zwei Kugeln ohne Zurücklegen aus einer Urne
mit allen 12 Kugeln.
PV-Kurs HM 3
Stochastik
Aufgabe 4.1 (I1438)
3-1
Lösung 4.1 (I1438)
Ereignisse:
A: beide Kugeln sind rot
B: beide Kugeln haben dieselbe Farbe
C1 : beide Kugeln aus gleicher Urne p(C1 ) = 1/2
C2 : Kugeln aus verschiedenen Urnen p(C2 ) = 1/2
Bedingte Wahrscheinlichkeiten:
3
6
3·2
p(A|C1 ) =
=
= 1/5
/
2
2
6·5
33
1
p(A|C2 ) =
=
66
4
p(B|C1 ): andere Farbe gleiche Fall wie rot p(B|C1 ) = 2p(A|C1 ) = 2/5
p(B|C2 ): Kugeln müssen rot sein p(B|C2 ) = p(A|C2 ) = 1/4
PV-Kurs HM 3
Stochastik
Lösung 4.1 (I1438)
4-1
Formel der totalen Wahrscheinlichkeit:
p(A) = p(A|C1 )p(C1 ) + p(A|C2 )p(C2 ) =
11
11
9
+
=
52
42
40
p(B) = p(B|C1 )p(C1 ) + p(B|C2 )p(C2 ) =
21
11
13
+
=
52
42
40
Alle Kugeln in einer Urne:
6
12
6·5
p2 (A) =
/
=
= 5/22
2
2
12 · 11
Ereignis D: beide Kugeln sind grün
3
12
3·2
p2 (D) =
/
=
= 1/22
2
2
12 · 11
PV-Kurs HM 3
Stochastik
Lösung 4.1 (I1438)
4-2
Analog für blau , daher
p2 (B) = p2 (A) + 2p2 (D) = 7/22
Vergleich:
p(A) = 9/40 = 99/440 < 100/440 = 5/22 = p2 (A)
p(B) = 13/40 = 143/440 > 140/440 = 7/22 = p2 (B)
PV-Kurs HM 3
Stochastik
Lösung 4.1 (I1438)
4-3
Klausuraufgabe 5 (Schneider F11)
Eine zweidimensionale Zufallsvariable (X , Y ) besitze die Dichte
1 für 0 < x < 1 und 0 < y < 3x 2 ,
f (x, y ) =
0 sonst ,
Skizzieren Sie in einem Koordinatensystem den Bereich, in dem f von
Null verschieden ist und weisen Sie nach, dass es sich um eine
Wahrscheinlichkeitsdichte handelt.
Zeigen Sie dass X und Y stochastisch abhängig sind. Bestimmen Sie
des weiteren die Standardabweichung von X .
Bestimmen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit
P(X > 13 | 2X + Y < 1) .
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Stochastik
Klausuraufgabe 5 (Schneider F11)
5-1
Lösung Klausuraufgabe 5
Bedingung für Wahrscheinlichkeitsdichte
Z
f (x, y ) ≥ 0 ,
f (x, y )d(x, y ) = 1
R2
Erste Bedingung erfüllt.
Zweite Bedingung:
Z1 Z3x 2
Z1
dy dx =
0
PV-Kurs HM 3
Stochastik
0
3x 2 dx = 1
0
Lösung Klausuraufgabe 5
6-1
Bedingung für Unabhängigkeit: E (X · Y ) = E (X )E (Y )
Z1
Z1 Z3x 2
E (X ) =
x dy dx = 3x 3 dx = 3/4
0
0
0
Z1 Z3x 2
E (Y ) =
Z1
y dy dx =
0
0
0
3x 2
Z1 Z
E (XY ) =
Standardabweichung: σ =
2
Z1
xy dy dx =
0
p
0
0
2 2
Z1
x x dy dx =
0
0
9x 5
dx = 3/4
2
E (X 2 ) − E (X )2 :
Z1 Z3
E (X ) =
9x 4
dx = 9/10
2
3x 4 dx = 3/5
0
p
p
σ = 3/5 − 9/16 = 3/80
PV-Kurs HM 3
Stochastik
Lösung Klausuraufgabe 5
6-2
Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) =
P(A ∩ B)
.
P(B)
Hier: A : X > 1/3 , B : Y < 1 − 2X
Schnittstellen von y = 3x 2 und y = 1 − 2x: x = −1 und x = 1/3 .
y = 1 − 2x schneidet x-Achse bei x = 1/2 .
Damit lässt sich P(A ∩ B) bestimmen:
Z1/2
1−2x
Z
P(A ∩ B) =
1/3
Z1/2
1 − 2x dx = 1/6 − 1/4 + 1/9 = 1/36 .
dy dx =
0
1/3
Für P(B) wird noch der zweite Gebietsteil berücksichtigt:
Z1/3Z3x 2
P(B \ A) =
0
0
Z1/3
dy dx =
3x 2 dx = 1/27 .
0
Ergebnis:
P(A|B) =
PV-Kurs HM 3
Stochastik
P(A ∩ B)
1/36
=
= 3/7 .
P(B)
1/36 + 1/27
Lösung Klausuraufgabe 5
6-3
Klausuraufgabe 6 (Schneider F11)
In einem Binnenmeer befinden sich vier Arten von Fischen. 50% aller
Fische sind rot, 25% aller Fische sind schwarz, 15% aller Fische sind gelb
und 10% aller Fische sind grün .
Die schwarzen Fische gelten als Delikatesse. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit sind bei einem Fang von 1200 Fischen mehr als
279 schwarz?
Ein Fischer fängt 400 Fische. Geben Sie ein Intervall an, in dem mit
95% Wahrscheinlichkeit die Anzahl der gefangenen roten Fische liegt.
Die grünen Fische sind vom Aussterben bedroht. Wie viele Fische
muss man mindestens fangen, um mit 84% Sicherheit zu sagen, dass
noch mindestens 4% grüne Fische im Binnenmeer leben.
Hinweis: Gehen Sie davon aus, dass die Gesamtzahl der Fische im Meer
sehr groß gegenüber der Anzahl der gefangenen Fische ist, und benutzen
Sie den zentralen Grenzwertsatz.
PV-Kurs HM 3
Stochastik
Klausuraufgabe 6 (Schneider F11)
7-1
Lösung Klausuraufgabe 6
Bernoulli-Experiment: schwarzer Fisch oder nicht
I
I
Erfolgswahrscheinlichkeit p = 25% = 1/4
n = 1200 Wiederholungen
Anzahl der Erfolge: B(n, p) verteilt
Approximation durch Normalverteilung N(µ, σ 2 ):
I
I
µ = np
= 300
p = 1200 · 1/4p
σ = np(1 − p) = 1200 · 1/4 · 3/4 = 15
Mehr als 279 Erfolge
279 − 300
15
= Φ(7/5) ≈ .9192 .
P(279 < X ) = 1 − P(X ≤ 279) ≈ 1 − Φ
PV-Kurs HM 3
Stochastik
Lösung Klausuraufgabe 6
8-1
Experiment: roter Fisch oder nicht
I
I
Erfolgswahrscheinlichkeit p = 50% = 1/2
n = 400 Wiederholungen
Approximation durch Normalverteilung N(µ, σ 2 ):
I
I
µ = np
p200
p = 400 · 1/2 =
σ = np(1 − p) = 400 · 1/2 · 1/2 = 10
Intervall I = (200 − r , 200 + r ) mit P(X ∈ I ) = 95%
r −r
!
P(X ∈ I ) ≈ Φ
−Φ
= 2Φ(r /10) − 1 = .95
10
10
Φ(r /10) = 0.975
r /10 = 1.96
PV-Kurs HM 3
r
= 19.6
I
= (180.4, 219.6)
Stochastik
Lösung Klausuraufgabe 6
8-2
Experiment: grüner Fisch oder nicht
I
I
Erfolgswahrscheinlichkeit p = 10% = 1/10
n Wiederholungen
Approximation durch Normalverteilung N(µ, σ 2 ):
I
I
µ = np
p
p = n/10
σ = np(1 − p) = n · 1/10 · 9/10
Ab welchem n ist P(X > 4n/100) mindestens 84%
4n/100 − n/10
p
P(X > 4n/100) = 1 − P(X ≤ 4n/100) ≈ 1 − Φ
9n/100
√ n !
= Φ
= .84
5
√
n
= 1
5
n = 25
PV-Kurs HM 3
Stochastik
Lösung Klausuraufgabe 6
!
8-3
Aufgabe 4.4 (I1451)
Sei
fα (x) =
αx1 x2 für x = (x1 , x2 ) ∈ [0, 2]2 ,
0
sonst ,
und
A : min(x1 , x2 ) > 1 ,
B : (x1 − 1)2 + (x2 − 1)2 ≤ 1 .
Bestimmen Sie α so, dass fα (x) die Dichte einer Zufallsvariablen ist, und
bestimmen Sie für diese Dichte die Wahrscheinlichkeiten p(A) , p(B) und
p(A ∩ B) .
Sind A und B stochastisch unabhängig?
PV-Kurs HM 3
Stochastik
Aufgabe 4.4 (I1451)
9-1
Lösung 4.4 (I1451)
Bedingung für Wahrscheinlichkeitsdichte
Z
f (x) ≥ 0 ,
f (x)dx = 1
R2
Erste Bedingung erfüllt für α > 0.
Zweite Bedingung:
Z2 Z2
1 1
!
αx1 x2 dx1 dx2 = α 4 4 = 4α = 1 ⇒ α = 1/4 .
2 2
0
0
Wahrscheinlichkeiten der Teilmengen:
Z2 Z2
Z
p(A) =
f (x) dx =
1
A
PV-Kurs HM 3
Stochastik
x1 x2
14−1 4−1
dx1 dx2 =
= 9/16 = .5625
4
4 2
2
1
Lösung 4.4 (I1451)
10-1
Kreis mit (verschobenen) Polarkoordinaten
x1 = 1 + r cos(ϕ) ,
p(B) =
1
4
x2 = 1 + r sin(ϕ) ,
r ∈ [0, 1] , ϕ ∈ [0, 2π) ,
Z1 Z2π
(1 + r cos ϕ)(1 + r sin ϕ)rdϕ dr
0
=
1
4
0
1
Z Z2π
0
=
=
PV-Kurs HM 3
r + r 2 cos ϕ + r 2 sin ϕ + r 3 sin ϕ cos ϕdϕ dr
0
1 2 1 2π
3
1
2π
[r /2]0 [ϕ]0 + [r 3 /3]10 [sin ϕ]2π
0 + [r /3]0 [− cos ϕ]0
4
+ [r 4 /4]10 [ 21 sin2 ϕ]2π
0
1
(π + 0 + 0 + 0) = π/4 ≈ .7854
4
Stochastik
Lösung 4.4 (I1451)
10-2
Schnittmenge Viertekreis → ϕ ∈ [0, π/2)
p(A ∩ B) =
1
(π/4 + 1/3 + 1/3 + 1/8) = π/16 + 19/96 ≈ .3943
4
p(A)p(B) = 9π/64 6= π/16 + 19/96 ⇒ nicht unabhängig.
PV-Kurs HM 3
Stochastik
Lösung 4.4 (I1451)
10-3
Aufgabe 4.6 (I1618)
Zur Analyse der Dauer von Arbeitslosigkeit wird der Zusammenhang
zwischen Ausbildungsniveau und Dauer der Arbeitslosigkeit untersucht.
Unter 152 Arbeitslosen ohne Ausbildung waren 98 kurzzeitig, 32
mittelfristig und 22 längerfristig arbeitslos.
a) Schätzen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass ein
Arbeitsloser ohne Ausbildung kurzfristig, mittelfristig oder langfristig
arbeitslos ist und geben Sie für jede der Schätzungen ein
(approximatives) 97%-Konfidenzintervall an.
b) Wieviel größer müßte die Stichprobe sein, um die Länge der
Konfidenzintervalle zu vierteln?
PV-Kurs HM 3
Stochastik
Aufgabe 4.6 (I1618)
11-1
Lösung 4.6 (I1618)
Schätzung von p der B(n, p)-Verteilung: p = x/n
pk
= 98/152 = 49/76 ≈ 0.6447 ,
pm = 32/152 = 4/19 ≈ 0.2105 ,
pl
= 22/152 = 11/76 ≈ 0.1447 .
Berechnung der Intervalle:
Approximative-Normalverteilung: µ = np , σ 2 = p(1 − p)n
Gesucht: Ip = [p − δ/n, p + δ/n] bzw. I = [µ − δ, µ + δ] mit
X − µ
δ
97% = P(X ∈ I ) = P (|X − µ| < δ) = P <
σ σ
δ
δ
= Φ
−Φ −
= 2Φ(δ/σ) − 1 ⇒ Φ(δ/σ) = 1.97/2 = 0.985
σ
σ
p
Tabelle der Φ-Funktion → δ/σ ≈ 2.17 ⇒ δ ≈ 2.17 p(1 − p)n
!
PV-Kurs HM 3
Stochastik
Lösung 4.6 (I1618)
12-1
Somit
p
98/152 · 54/152 · 152 ≈ 12.8
δk
≈
δm
⇒ pk ∈ [(98 − 12.8)/152, (98 + 12.8)/152] = [.5605, 0.7290]
p
≈ 2.17 32/152 · 120/152 · 152 ≈ 10.907
δl
2.17
⇒ pm ∈ [(32 − 10.907)/152, (32 + 10.907)/152] = [.1388, 0.2823]
p
≈ 2.17 22/152 · 130/152 · 152 ≈ 9.413
⇒ pl ∈ [(22 − 9.413)/152, (22 + 9.413)/152] = [.0828, 0.2067] .
p
Länge der Intervalle: 2δ/n = 2 · 2.17 p(1 − p)/n ⇒ ñ = 16n.
PV-Kurs HM 3
Stochastik
Lösung 4.6 (I1618)
12-2