B Vektoren

B Vektoren
1
Vektoren in der Ebene und im Raum
x3
H
G
F
E
D
A
B
x1
C
x2
Ein Vektor ist die Menge
aller gleichlangen, zueinander parallelen und gleichorientierten Pfeilen.
Im nebenstehenden
___›Quader stellen
___›
die Pfeile AB und
DC
zum Beispiel
_› __›
den Vektor a = EF dar und heißen
daher Repräsentanten des Vektors.
Der entgegengesetzt orientierte
_›
Vektor –a heißt Gegenvektor.
()
a1
_›
Die Länge, d. h. der Betrag | a | eines Vektors a2 , wird wie folgt berechnet:
a3
_›
_
| a | = 9a 21 + a 22 + a 23 .
Hat ein Vektor den Betrag 1, so heißt dieser Einheitsvektor.
Sind A(1 | 0 | 0) und B(1 | 7 | 0) wie oben gegeben, so berechnen wir den Vektor
_›
___›
_›
___›
( )
b1 – a1
( ) ()
1–1
0
0–0
0
a = AB mittels Differenz der Koordinaten: a = AB = b2 – a2 = 7 – 0 = 7 .
b3 – a3
An diesem Vektor lässt sich einfach dessen Länge erkennen, die offensichtlich
_›
_
7 LE beträgt (da | a | = 902 + 72 + 02 = 7).
17
B Vektoren
2
Rechnen mit Vektoren
Anschaulich wird bei der Addition von zwei Vektoren das Ende eines
Repräsentanten an die Spitze des anderen angelegt. Die Summe entspricht
dem Verbindungsvektor vom Ende des ersten zur Spitze des zweiten Pfeils:
__›
b
_›
_›
a
__›
a+b
Diese Vorgehensweise ist Ihnen bereits aus der Physik bekannt (KräfteParallelogramm).
Rechnerisch werden lediglich die einzelnen Komponenten beider Vektoren
addiert:
_›
()
1
__›
()
4
_›
__›
( ) ()
1+4
5
3+6
9
a = 2 ; b= 5 ⇒ a +b= 2+5 = 7 .
3
6
Die Subtraktion entspricht der Addition eines Gegenvektors zu einem Vektor.
Für die Vektoraddition gelten
die bekannten
__› _ Gesetze:
_› __› _› _›
_› __›
_›
›
Assoziativgesetz:
a+b
+
c
=
a
+
(
b
+
c
)
=
(
a
+ b) + c
_› __› __› _›
Kommutativgesetz:
a+b=b+a
Wird derselbe Vektor mehrfach aneinander gehängt, erhält man ein Vielfaches
von ihm.
Rechnerisch liegt eine skalare Multiplikation, d. h.
_››
eine
Multiplikation eines Vektors mit einer reellen
a
_›
Zahl (k · a), vor:
_››
a
_››
a
_›
_›
_›
() () () ()
1
1
1
3
3
3
9
( )
3 · a1
_›
a + a + a = 2 + 2 + 2 = 6 = 3 · a2 = 3 · a
3
_›
_›
3 · a3
Für k > 0 sind a und k · a gleichgerichtet.
_›
_›
Für k < 0 sind a und k · a entgegengesetzt gerichtet.
Für k = 0 entsteht der Nullvektor.
Für die skalare Multiplikation gelten die bekannten Gesetze:
_›
_›
Assoziativgesetz:
(k · l) · a = k · (l · a)
__›
_›
_›
_›
_› __›
_›
Distributivgesetze:
(k + l) · a = k · a + l · a und k · (a + b) = k · a + k · b
18
3
Lineare Abhängigkeit / Unabhängigkeit
_›
Ist der Vektor a eine Summe aus skalaren Multiplikationen von Vektoren
_›
_›
_›
_›
_›
a1, …, an, so heißt a = k1 · a1 + … + kn · an Linearkombination der Vektoren
_›
_›
a1, …, an.
_›
_›
Die Vektoren a1, …, an heißen linear abhängig, wenn mindestens einer von
ihnen als Linearkombination der anderen darstellbar ist. Anderenfalls heißen
sie linear unabhängig.
Zwei linear abhängige Vektoren heißen auch kollinear, drei linear abhängige
Vektoren werden komplanar genannt.
_›
_›
Tipp: Häufig ist es einfacher, die Gleichung k1 · a 1 + … + kn · a n = 0 aufzustellen.
Hat diese nur die triviale Lösung k1 = … = kn = 0, so sind die Vektoren linear unabhängig. Ist mindestens ein Skalar ungleich 0, so sind die Vektoren linear abhängig.
4
Teilverhältnisse
Die Vektorrechnung lässt sich für die Lösung geometrischer Probleme einsetzen. Dabei
sind häufig Teilverhältnisse (zum Beispiel Seitenverhältnisse einer Figur) von Interesse.
D
__›
b
C
F
E
4 cm
A
6 cm
_›
a
B
In welchem Verhältnis teilt E die Diagonale AC?
Zur Lösung suchen Sie eine geschlossene Pfeilkette, die den Punkt E enthält.
Dazu „wandern“ Sie die Pfeile entlang, bis Sie über den Punkt E wieder an Ihrem
Ausgangspunkt landen.
___› ___› ___› _›
Eine geschlossene Pfeilkette ist etwa: AB + BE + EA = 0
__›
_›
Als Nächstes drücken Sie diese Kette nun durch die Basisvektoren a und b aus.
Unbekannte Teilverhältnisse bezeichnen Sie dabei z. B. mit r und s:
19
B Vektoren
___›
___›
_›
___›
___›
___›
AB = a, BE = r · BF, EA = s · CA
Leider können Sie im ersten Schritt nur eine Seite direkt durch den Basisvektor
ausdrücken. Für die anderen Seiten „erwandern“ Sie einen Umweg durch die
Benutzung eben dieser Vektoren:
___›
___›
___›
__›
_›
BF = – BA + }46 · AD = – a + }46 · b
___›
___›
__›
___›
_›
CA = CB + BA = – b – a
Die
Sie nun in Ihre anfangs aufgestellte Pfeilkette ein:
_›
___› Ergebnisse
___› ___› setzen
AB + BE + EA = 0
_›
(
_›
__›
)
__›
_›
_›
a + r –a + }46 · b + s (–b – a) = 0
_›
_›
__›
__›
_›
_›
Multiplizieren Sie jetzt die Klammern a – r · a + }46 r · b – s · b – s · a = 0
_›
(
)
__›
_›
und klammern Sie die Basisvektoren aus: (1 – r – s) · a + }46 r – s · b = 0
Die Basisvektoren spannen ja das Parallelogramm auf, d. h. sie sind __linear
_› unab_›
›
hängig. Dies bedeutet doch, dass jede Linearkombination l · a + µ · b = 0 nur die
triviale Lösung l = µ = 0 haben kann.
Daraus folgt also 1 – r – s = 0 und }46 r – s = 0 ⇒ }46 r = s
6
Setzen Sie die zweite Gleichung in die erste ein, so erhalten Sie r = }
.
10
4
Dies in die zweite Gleichung eingesetzt, ergibt s = }
.
10
Die Variablen r und s drücken die unbekannten Teilverhältnisse der Strecken AC
___›
___›
___›
___›
6
4
und BF aus: BE = }
· BF und EA = }
· CA.
10
10
Dies bedeutet also, dass die Strecke BF durch E im Verhältnis von 6:4, und die
Strecke CA durch E im Verhältnis von 4 : 6 geteilt wird.
Antwort: Die Diagonale wird im Verhältnis 4 : 6 geteilt.
20
5
Aufgaben
_›
___›
1. Geben Sie die Koordinatendarstellung des Vektors a = AB an.
a) A ( 1 | 2); B ( 3 | 4)
b) A (– 9 | 0); B ( 2 | –7)
c) A (1 | 2 | 3); B (0 | –3 | 4)
_›
_›
2. Die Vektoren a und b spannen vom Punkt A ein
Dreieck auf. Bestimmen Sie die Koordinaten der
Eckpunkte B und C des Dreiecks ABC:
_›
_›
( )
( )
C
_›
a
a)
a = 23 ; b = 02
_›
_›
9
1
b) A (7 | 0 | –1); a = 2 ; b = 2
–4
1
A ( 1 | 2);
()
()
__›
A
b
B
3. Bilden die Punkte A, B, C und D ein Parallelogramm?
a) A ( 1 | 3); B ( 7 | 3); C ( 1 | 2); D ( 4 | 9)
b) A (1 | 2 | 4); B (6 | –3 | 2); C (2 | –4 | 3); D (–3 | 1 | 5)
c) A (–2 | 1 | –3); B (3 | 6 | 2); C (4 | 4 | 1); D (1 | 1 | 8)
4. Besitzt das Dreieck ABC einen rechten Winkel?
a) A (5 | 2 | 1); B (–8 | 1 | 1); C (4 | 4 | 2)
b) A (4 | 1 | 11); B (3 | –4 | 8); C (–1 –2 6)
5. Drücken Sie folgende Terme durch einen Vektor aus:
( ) ( ) ()
( ) () ( )
0
2
–2
2
6
2
a) 2 · –1 + }12 4 – 5 · 1
10
6
3
9
6
2
b) – 1 + }23 –9 + 4 · 2
6. Bestimmen Sie die reellen Zahlen r, s und t so, dass die Vektorgleichungen erfüllt
sind.
() () ( ) ( )
3
2
–2
2
6
2
a) 8 = r · 4 + s · 1 + t
–1,5
3
0
b)
( ) () () ( )
–1,5
6
12
–2
2 = r· 2 + s· 2 + t 3
–4
–10
–6
–3
7. Die Punkte A, B und C sind jeweils
Mittelpunkte
der Kanten eines Quaders.
___
_ _›
›
›
a) Zeigen Sie, dass die Vektoren
a , ___
b und 0A linear abhängig sind.
___›
_› _›
›
b) Stellen Sie die Vektoren 0B und 0C als Linearkombination der Vektoren a , b
_›
und c dar.
21
B Vektoren
8. Untersuchen Sie die folgenden Vektoren auf lineare Abhängigkeit.
()()()
–8
a) –6 ,
–4
3
2 ,
–1
–4
4
6
()()()
–8
b) –6 ,
–4
9. Für welche reellen Werte von a sind die Vektoren
3
2 ,
–1
–4
–2
8
( )( )( )
–3
1 ,
a
11
5 ,
–8
–2
–8 linear abhängig?
–4
10. Der Punkt M sei Mittelpunkt der Seite AB im Parallelogramm ABCD. In welchem
Verhältnis teilt die Strecke DM die Diagonale AC?
11. Zeigen Sie, dass sich die Diagonalen im Parallelogramm gegenseitig halbieren.
12. Untersuchen Sie, in welchem Verhältnis sich zwei Seitenhalbierende in einem
Dreieck schneiden.
22
Lösungen von Seite 21
B
Vektoren
_›
_›
1. a) a = ( 22 )
_›
( )
b) a = 11
–7
___›
___›
_›
___›
___›
_›
___›
___›
_›
___›
___›
()
–1
c) a = –5
1
2. a) 0B = 0A + b = ( 12 ) + ( 02 ) = ( 14 ) ⇒ B ( 1 | 4)
( ) ( ) ( )
0C = 0A + a = 12 + 23 = 35 ⇒ C ( 3 | 5)
( ) () ()
() () ( )
7
1
8
–1
1
0
b) 0B = 0A + b = 0 + 2 = 2 ⇒ B (8 | 2 | 0)
_›
7
9
16
–1
–4
–5
0C = 0A + a = 0 + 2 = 2 ⇒ C (16 | 2 | –5)
___›
___›
___›
___›
___
___
___
___
›
›
›
›
3. z. Z.: | AB | = | DC | ? | AD | = | BC | ? AB = r · DC ? BC = s · AD
___›
a) | AB | = | ( 6 ) | = 6
0
___›
| DC | = | ( –3 ) | = 9_
58
kein Parallelogramm
–7
5
_
b) | AB | = –5 = 954
–2
___
5
_
| DC› | = –5
= 954
–2
___›
___
| AD› | =
___
| BC› | =
___
|( )|
|( )|
|( )| 9
|( )| 9
|( )| 9
|( )| 9
–4
–1
1
_
= 18
–4
–1
1
_
= 18
A, B, C, D bilden ein Parallelogramm
5
›
_
c) | AB | = 5 = 75
5
___›
| DC | =
___
›
4. a) | AB | =
3
3
–7
_
= 67
|( )|
–13
–1
0
kein Parallelogramm
|( )|
|( )|
___›
___›
12
–1
_
_
_
= 9170 ; | AC | = 2 = 96 ; | BC | = 3 = 9154
1
_2
_2
1
_2
z. Z.: (nach Pythagoras) 9154 + 96 0 9170 ⇔ 154 + 6 ≠ 170 ⇒ es existiert
kein rechter Winkel.
___
___
___
›
›
›
_
_
_
b) Mit | AB | = 935 , | AC | = 959 und | BC | = 924 gilt:
59 = 35 + 24, was einen senkrechten Winkel in B bestätigt.
82
3085_Buch.indb 82
23.11.2007 15:36:07