Übungsaufgaben Kapitel 3

Übungsaufgaben: Wahrscheinlichkeitsrechnung
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Aufgabe 1
Aus einem Skatspiel mit 32 Karten wird zufällig eine Karte gezogen. Dabei sei D das
Ereignis “Es wird eine Dame gezogen” und H das Ereignis “Die gezogene Karte ist eine
Herzkarte”. Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
a)
b)
c)
d)
W (D)
W (H ∩ D)
W (H / D)
W (H ∪ D )
(
e) W H ∪ D
)
Anmerkung: Ein Skatspiel besteht aus 32 Spielkarten: Die acht Einzelkarten “7, 8, 9, 10,
Bube, Dame, König, As” kommen jeweils als “Kreuz, Pik, Herz, Karo” vor.
Aufgabe 2
In der Vorrunde einer Fußballmeisterschaft gibt es in einer Gruppe drei Spiele der
Mannschaften A, B und C (jeder gegen jeden). Jedes Spiel endet mit dem Sieg einer
Mannschaft (notfalls nach Elfmeterschießen). Gruppensieger wird, wer seine beiden
Spiele gewinnt. Gewinnt jedoch jede der drei Mannschaften ein Vorrundenspiel, so wird
der Gruppensieger durch Los ermittelt, wobei dann jedes Team die gleiche Chance hat.
Nach Auswertung von Expertenmeinungen werden die Gewinn-Wahrscheinlichkeiten
P(G) in einzelnen Spielen wie folgt geschätzt:
Spiel 1: A gegen B
Spiel 2: A gegen C
Spiel 3: B gegen C
P(GA1) = 0,8
P(GA2) = 0,7
P(GB1) = 0,2
P(GB3) = 0,4
P(GC2) = 0,3
P(GC3) = 0,6
a) Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
- GA,. GB bzw. GC: Mannschaft A, B bzw. C gewinnt beide Vorrundenspiele?
- L: keine Mannschaft gewinnt beide Spiele, d.h. der Sieger wird durch Los ermittelt?
- SA, SB bzw. SC : Mannschaft A, B bzw. C wird Gruppensieger.
(Hinweis: überlegen Sie, welche Zusammenhänge zwischen den obigen Ereignissen
bestehen)
b) Das Spiel 1 endet mit einem Sieg des Außenseiters B. Wie groß sind jetzt die
Wahrscheinlichkeiten der obigen Ereignisse?
Aufgabe 3
Für zwei freie Stellen melden sich vier Bewerber. Die Personalabteilung stellt eine
eindeutige Reihenfolge hinsichtlich der Qualifikation der Bewerber fest. Der Leiter der
die Bewerber aufnehmenden Abteilung versäumt die Durchsicht der Unterlagen. Wie
groß ist die Wahrscheinlichkeit , dass er
a) die beiden „besten“ Bewerber erhält?
b) keinen der an Platz 1 oder 2 gesetzten Bewerber bekommt?
Dr. Lorenz Braun
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Aufgabe 4
Die Duopolisten eines Marktes haben folgende Aktionsparameter:
Unternehmen A:
Preis, Menge, Qualität, Werbung, Lieferungsbedingungen,
Zahlungsbedingungen.
Unternehmen B:
gleiche und Standort.
Wenn die beiden Unternehmen vereinbarten, jeweils zwei Parameter innerhalb einer
bestimmten Zeitperiode zu ändern und nie Preis und Menge gleichzeitig, wie viele
unterschiedliche Kombinationen zugelassener Parameterveränderungen kann es dann
auf dem Duopolmarkt geben?
Aufgabe 5
Ein Student beurteilt seine Chance, die Statistikklausur zu bestehen folgendermaßen:
•
•
Wenn keine Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung vorkommen, werde ich die
Klausur mit Sicherheit bestehen. Die Wahrscheinlichkeit, dass keine Aufgabe zur
Wahrscheinlichkeitsrechnung gestellt wird beträgt 20 %.
Enthält die Klausur eine Aufgabe zur Wahrscheinlichkeitsrechnung, so sind zwei
Fälle zu unterscheiden:
a) Bei wenigstens zwei Aufgaben zur beschreibenden Statistik
(50 % Wahrscheinlichkeit), werde ich die Klausur zu 90 % bestehen.
b) Bei weniger als zwei Aufgaben zur beschreibenden Statistik
(50 % Wahrscheinlichkeit), werde ich die Klausur zu 70 % bestehen.
a) Berechnen Sie die (subjektive) Wahrscheinlichkeit, dass der Student die Klausur
besteht, bevor er die Klausur gelesen hat!
b) Stellen Sie die möglichen Ergebnisse der Klausur in einem Baumdiagramm dar!
Aufgabe 6
Die noch vor wenigen Jahren allen Frauen über 40 Jahren empfohlene regelmäßige
Mammographie wird heute zunehmend diskutiert. Einem Artikel der Süddeutschen
Zeitung vom 9.3.2000 ist zu entnehmen, dass etwa 4 Promille der in Frage kommenden
weiblichen Bevölkerung an bösartigem Brustkrebs erkrankt. Eine Mammographie zeigt
einen vorhandenen Krebs in 999 von 1.000 Fällen. Leider führt dieses Verfahren aber
mit einer Wahrscheinlichkeit von 5 % auch dann zur Diagnose Brustkrebs, wenn diese
völlig unbegründet ist.
Soll unter diesen Bedingungen sofort operiert werden, wenn die Mammographie einen
bösartigen Tumor anzeigt? Begründen Sie Ihre Aussage!
Dr. Lorenz Braun
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Aufgabe 7
Eine Zufallsvariable X hat im Wertebereich Wx = [0,1] die Verteilungsfunktion
F(x) = 4x3 – 6x2 + 3x.
a) Wie lautet die Dichtefunktion f(x) im Wertebereich W x? Erstellen Sie für die
Funktionen f(x) und F(x) je eine Wertetabelle für x = { 0; 0,2; 0,5; 0,8; 1 } und
zeichnen Sie beide Funktionen im Intervall [-0,2, 1,2]!
b) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X!
c) Berechnen Sie P(X≥0,4) und P(|X-0,5|≤0,3)! Stellen Sie die zweite
Wahrscheinlichkeit als Fläche dar!
Aufgabe 8
Ein idealer Würfel wird dreimal geworfen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für
folgende Ereignisse:
a) Die Augenzahl ist bei jedem Wurf die gleiche.
b) Die Summe der Augenzahlen bei den drei Würfen ist fünf.
c) Die ‚5‘ tritt bei den 3 Würfen zweimal auf.
Aufgabe 9
Im Rahmen eines Forschungsprojektes wurden die Studienleistungen von 1000
Studierenden untersucht. Dabei wurde festgestellt, dass 200 ”nicht ausreichende”
Leistungen erbrachten, 16 mit ”sehr gut” abschnitten und 80 die Abschlussnote ”gut”
erreichten.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei zufälliger Auswahl einer Person einen
Studierenden mit mindestens ausreichender Studienleistung (erfolgreich
Studierende) herauszugreifen?
b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, unter den Studierenden mit mindestens
ausreichender Studienleistung einen mit der Note ”sehr gut” herauszugreifen.
c) Um den Studienerfolg zu prognostizieren, wird ein Test durchgeführt. Dieser hat
bisher stets 85% der später erfolgreich Studierenden als erfolgreich und 90% der
nicht erfolgreich Studierenden als nicht erfolgreich ausgewiesen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass ein durch den Test als erfolgreich bestimmter Studierender
tatsächlich erfolgreich sein Examen ablegt?
Dr. Lorenz Braun
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Aufgabe 10
Bei der Kontrolle der Fertigung von elektronischen Bauteilen werden der laufenden
Produktion zufällig einzelne Teile entnommen und auf ihre Funktionsfähigkeit geprüft.
Der Ausschussanteil beträgt erfahrungsgemäß 10 Prozent.
a) Wie ist die Anzahl der defekten Bauteile in einer Stichprobe vom Umfang 5 verteilt?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer solchen Stichprobe mindestens
ein Teil defekt ist?
b) Wie ist die Anzahl der defekten Bauteile in einer Stichprobe vom Umfang 100 bzw.
200 verteilt? Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass solche Stichproben
mehr als 14 % Ausschuss enthalten?
c) Die Bauteile werden in Packungen mit 20 Stück ausgeliefert. Ein Kunde, der eine
Packung mit zwei defekten Teile erhält, kontrolliert den Inhalt, indem er zufällig fünf
Bauteile aus der Packung herausnimmt und prüft. Wie hoch ist die
Wahrscheinlichkeit, dass keines der fünf Teile defekt ist?
Aufgabe 11
Ein Florist bezieht aus Holland sehr günstig 2000 Hyazinthenzwiebeln und will diese in
Packungen á 50 Stück vermarkten. Man weiß, dass 8 % der Zwiebeln nicht keimen
werden und möchte andererseits eine Garantie aussprechen, die darauf hinausläuft, für
jede Packung den Preis zu erstatten, wenn mehr als fünf Zwiebeln nicht keimen. Wie
hoch wird der Anteil der Rückerstattungen des Kaufpreises sein, wenn man davon
ausgeht, dass alle anspruchsberechtigten Kunden auch das Geld zurück fordern?
Definieren Sie eine geeignete Zufallsvariable, geben Sie deren exakte Verteilung sowie
den genauen Lösungsterm an und bestimmen Sie den gesuchten numerischen Wert
mittels einer geeigneten Verteilung!
Aufgabe 12
In einem Reaktorblock eines Kernkraftwerks tritt durchschnittlich 0,4 mal am Tag ein
Störfall auf. Bei mehr als zwei Störfällen an einem Tag muss der betreffende
Reaktorblock abgeschaltet werden.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Reaktorblock an einem Tag
abgeschaltet werden muss?
b) Wie oft kommt dies durchschnittlich pro Jahr vor?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Jahr höchstens vier mal
abgeschaltet wird?
Dr. Lorenz Braun
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Aufgabe 13
Eine Zufallsgröße X sei rechteck-verteilt im Intervall W = [1,6].
a) Definieren Sie die Dichte und die Verteilungsfunktion und stellen Sie diese grafisch
dar!
b) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz dieser Zufallsgröße!
c) Nennen Sie den (die) Unterschied(e) dieser Zufallsgröße zur Zufallsgröße „Werfen
eines Würfels“?
Aufgabe 14
Für eine binäre Speicherzelle sei die Zeit X [Betriebsstunden] bis zum Auftreten des
ersten Fehlers exponential-verteilt mit dem Parameter λ = 10-6.
a) Wie groß ist die mittlere Zeitdauer E(X) bis zum Eintreten des ersten Fehlers?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt der erste Fehler innerhalb von 106
Betriebsstunden auf?
c) Ein 2-Megabyte-Speicher besteht aus n = 224 derartigen Speicherzellen. Bezüglich
des Auftretens von Fehlern soll die stochastische Unabhängigkeit der
Speicherzellen vorausgesetzt werden. Y sei die Zeit bis zum Auftreten des ersten
Fehlers im 2-Megabyte-Speicher. Wie groß ist die mittlere Zeit E(Y) bis zum
Auftreten des ersten Fehlers im Speicher?
Aufgabe 15
Bestimmen Sie die Flächen unter der Normalverteilungskurve
a)
b)
c)
d)
e)
zwischen z = 0 und z = 1,2,
zwischen z = -0,6 und z = 0,
zwischen z = -0,4 und z = 2,2,
rechts von z = 2,1 und links von z = -1,4,
zwischen z = 1,2 und z = -1,2 (symmetrische Intervallwahrscheinlichkeit).
Aufgabe 16
Die Herstellung eines Teils muss verschiedenen Anforderungen genügen. Unter
anderen wird ein Loch in ein Blech gestanzt. Die Anforderungen an den Durchmesser
des Loches sind wie folgt:
• Sollwert (Zielwert): 12,15 mm
• obere Toleranzgrenze: 12,25 mm
• untere Toleranzgrenze: 12,05 mm
Dr. Lorenz Braun
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Aus der Produktion sei bekannt, dass die entsprechenden Teile mit folgender
Normalverteilung für den Lochdurchmesser produziert wurden:
• µ = 12,12 mm
• σ = 0,04 mm
Berechnen Sie den Fehleranteil der Teile mit falschem Lochdurchmesser, d.h. die
Wahrscheinlichkeit, dass der Durchmesser der Stanzlöcher außerhalb den Toleranzen
liegen.
Aufgabe 17
Das Gewicht von Brötchen ist bekanntlich normalverteilt mit dem durchschnittlichen
Gewicht von 50 g und einer Standardabweichung von 2 g. Ein Prüfer des
Gewerbeaufsichtsamtes wählt ein Brötchen zufällig aus.
a)
b)
c)
d)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es 48 g wiegt?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es zwischen 46 und 49 g wiegt?
Wie schwer sind mindestens 90 % der Brötchen?
Wie ändern sich die Parameter, wenn der Bäcker seine Portionierungsmaschine so
einstellt, dass jedes Brötchen 2 g schwerer wird als bisher?
Dr. Lorenz Braun
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