Grundlagen der Mathematik - Aufgabensammlung 0. Anmerkungen

Grundlagen der Mathematik - Aufgabensammlung
Dr. Claudia Vogel
WS 2012/2013
0. Anmerkungen
Die Aufgaben werden in der nächsten Blockveranstaltung wie folgt besprochen:
Mittwoch 13.03.2013
1. Elementare Grundlagen
2. Gleichungen
3. Grundzüge der Mengenlehre
Donnerstag 14.03.2013 4. Funktionen mit einer Variablen
5. Dierentialrechnung
6. Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung - Aufgabe 1
Freitag 15.03.2013
6. Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung - ab Aufgabe 2
7. Integralrechnung
Am Samstag, 16.03.2013 stehe ich für individuelle Fragen im Rahmen einer Sprechstunde zur Verfügung.
Anfang der nächsten Woche wird ausserdem eine Lösungsskizze zur Verfügung gestellt.
1. Elementare Grundlagen
Aufgabe 1
Berechnen Sie.
z
x y
+ +
2
3 a
x−y x+z
y−z
2.
+
−
xy
xz
yz
1.
3.
12a 3ac
:
7b 14b
4.
4xy 8xy
:
7z 21z
5.
28ac
9bd
7ab
12cd
1
Aufgabe 2
Fassen Sie zusammen und kürzen Sie soweit wie möglich.
1.
6abc − 3ax
15ac − 12ax
2.
14a − 21b
15b − 10a
3. xn · x7 · xn+4
4.
u2 v 8 w7
u3 v 6 w2
5. 25a2 − 4ab + 16b2
a3 b2 − c2 c2
6. 2
b (b + c)a4
√
a+b p
7. √ 4 4 · a2 + b2
a −b
q
q
√
√
12
6
4 √
3
x·
x2 · x7
8.
9.
1
1
2
ln x − ln y + ln z
3
5
3
2 − b b2 + 1
b + b2
+ −n+1 − −n+2
−n
b
b
b
" 2 − 2 # 26
5
y4 5
y3
11.
·
2
b
b
10.
x2 y 2
12.
·
ab2
13.
am+1 b2m+1
x2m y 2m+1
m1
y 3 −y 2 z
z2
y 3 −yz 2
z
2 − xk−1
1
4 − 3xk
2x6 − 4x5 − 1
− k+4 −
−
k−2
k−1
x
x
x
xk+4
√
1
15. 2 ln u − 3 ln u + ln u2
3
14.
2. Gleichungen
Aufgabe 1
Lösen Sie folgende Gleichungen.
1.
x−3
x−4
=
x + 11
x+3
2. 3x2 − 24x + 48 = 0
3. 2x7 − 18x5 = 0
4.
√
5x − 4 = 1 +
√
3x + 1
5. 54x − 125 · 5 = 0
1
x
2
Aufgabe 2
Die Miete einer Wohnung beträgt nach einer Mieterhöhung um 8% 891 Euro. Wie hoch war die bisherige Miete?
Aufgabe 3
Paul handelt mit Gurken auf dem Wochenmarkt. Er kauft die Gurken für 0,68 Euro/Stück und verkauft sie für
0,98 Euro/Stück. Er muss 24,- Euro Standmiete zahlen. Nicht verkaufte Gurken kann er zum Einkaufspreis
zurückgeben.
Wie viele Gurken muss er verkaufen, um seine Kosten zu decken? Wie viel muss er verkaufen um einen Gewinn
von 30,- Euro zu erzielen?
Aufgabe 4
8 kg Kartoeln und 5 kg Kohl kosten 10,30 Euro. 6 kg Kartoeln und 7 kg Kohl kosten 11,30 Euro. Wieviel
kosten 1 kg Kartoeln und 1 kg Kohl?
Aufgabe 5
Paul und Franz sind an einer GmbH beteiligt. Ihre Kapitaleinlagen haben das Verhältnis 5:4. Nachdem jeder seine
Einlagen um 12.000 Euro erhöht hat, stehen die Kapitaleinlagen im Verhältnis 7:6. Wie hoch sind die beiden
Einlagen nach der Erhöhung?
Aufgabe 6
Der Psychotherapeut U. Nehrlich betreut Protestierer (P), Chaoten (C), Bummelanten (B) und Rechtschaene
(R). Auf die Frage des Journalisten Klaus-Heinrich Kraxdorf, wieviel der von ihm betreuten 120 Studenten auf die
einzelnen Gruppen entfallen, antwortet Herr Nehrlich verschmitzt, :
• dass es 50 % mehr Rechtschaene als Portestierer gibt;
• dass Bummelanten und Chaoten zusammen gerade die Dierenz zwischen Rechtschaenen und Protestierer
ergeben;
• dass es dreimal so viel Bummelanten wie Chaoten gibt.
Ermitteln Sie die richtigen Anzahlen für P, C, B und R.
Aufgabe 7
Ein Teegroÿhändler führt drei Sorten Tee: Darjeeling-, Ceylon- und Keniatee. Er hat zu Beginn der ersten Woche
insgesamt 17 Tonnen Tee am Lager. Im Laufe der ersten Woche verkauft er die Hälfte seines Bestandes an
Darjeeling, ein 1/4 seines Bestandes an Ceylontee und 3/8 seines Bestandes an Keniatee, zusammen 7 Tonnen.
In der Woche darauf verkauft er den gesamten Restbestand an Darjeelingtee und hat dann noch 5 Tonnen am
Lager. Wie groÿ war die am Anfang der Woche vorhandene Menge jeder Sorte? Formulieren Sie das Problem als
lineares Gleichungssystem und bestimmen Sie die Lösung.
3
Aufgabe 8
Ein Apotheker hat aus den Bestandteilen Fett, Kamille und Zink eine Hautsalbe gemischt, die 32 g wiegt. Leider
weiÿ er die genauen Mengen der einzelnen Zutaten nicht mehr. Er erinnert sich aber, dass das Fett viermal
so viel wog, wie die Kamille. Seinem Helfer fällt ein, dass er das Zink nach der Kamille abgewogen hat und
ein Gewichtstück von 2 g zusätzlich auf die Wage legen musste. Wie lautet das lineare Gleichungssystem zur
Bestimmung der Mengen. Welche Mengen der einzelnen Bestandteile sind in der Salbe enthalten?
Aufgabe 9
Bestimmen Sie die Lösungen für die folgenden Ungleichungen.
1. −x > −8x + 14
2. 5x −
2x − 2
4 − 18x
<3−
6
3
3.
1
<5
x
4.
x+6
>2
x−2
Aufgabe 10
Die Benutzung eines Mobiltelefons kostet 30 Euro im Monat und zusätzlich 0,16 Euro pro Minute. Wie hoch sind
die Kosten für einen Monat, wenn das Telefon insgesamt x Minuten benutzt wird? Welches ist die kleinste und
grösste Anzahl von Stunden, die Sie das Telefon in einem Monat benutzen können, wenn die Telefonrechnung
zwischen 102 und 126 Euro liegen soll?
Aufgabe 11
Berechnen Sie.
1.
8
X
6xi
i=5
2.
20
X
(6a − 2xi + 3) +
i=1
3.
8
X
20
X
i=1
5 · 3k−2 − k
(4xi − 8a − 2) +
20
X
(2a − 2xi )
i=1
k=5
4.
3
X
2
(x + 2i)
i=0
Aufgabe 12
Schreiben Sie die folgenden Summen unter Verwendung des Summenzeichens.
1. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12
2.
1 2 3 4 6 7
+ + + + +
2 3 4 5 7 6
4
3. Grundzüge der Mengenlehre
Aufgabe 1
Schreiben Sie mit Hilfe der Symbolik der Mengenlehre die folgenden Mengen:
1. Die Menge A aller reellen Zahlen zwischen +1 und -1 (+1 und -1 eingeschlossen) ohne die 0.
2. Die Menge B aller natürlichen Zahlen zwischen 8 und 24.
3. Die Menge C aller natürlichen Zahlen kleiner als 0.
Aufgabe 2
Gegeben seien die Mengen A = {x |x ∈ R ∧ (1 ≤ x ≤ 6)}, B = {x |x ∈ N ∧ (x < b)}, C = {x |x ∈ N ∧ (x ≥ 2)}.
Bestimmen Sie die folgenden Mengen:
1. A ∩ B
2. C \A
3. B ∩ C
4. B ∪ C
5. ĀR
Aufgabe 3
Gegeben ist folgendes VENNsches Diagramm zur Beschreibung der Mengen A, B, D. Die einzelnen Flächenstücke
sind nummeriert. Geben Sie an, welche Flächenstücke zu den folgenden Mengen gehören.
1. A ∪ D
2. A \(D ∪ B)
3. (A ∩ D) ∪ (B ∩ D)
4. (A ∪ B) \D
5
Aufgabe 4
Gegeben ist das folgende VENNsche Diagramm. Kennzeichnen Sie jedes der acht Flächenstücke des Diagramms
als mengentheoretischen Ausdruck von A, B, D und Ω.
Aufgabe 5
Eine Unternehmung hat drei Maschinen A, B und C, auf denen die von der Unternehmung produzierten 8 Produkte
a1 , ...a8 bearbeitet werden. Die Menge der auf Maschine A bearbeiteten Produkte ist A = {a1 , a2 , a3 , a4 , a5 }. Für
B und C sind die Mengen der auf diesen Maschinen zu bearbeitenden Produkte B = {a1 , a3 , a4 , a6 , a7 } und C =
{a1 , a4 , a6 , a7 , a8 }. Im Folgenden sind aus Produkten der Unternehmung gebildete Mengen angegeben, die durch
Aufzählung ihrer Elemente und unter Zuhilfenahme der vorgegebenen Mengen A, B, C und mengentheoretischen
Verknüfungszeichen (∪, ∩, \ ) zu beschreiben sind. Es handelt sich um die Mengen aller Produkte, die
1. auf allen drei Maschinen bearbeitet werden müssen.
2. nur auf Maschine A bearbeitet werden.
3. nur auf Maschine B bearbeitet werden.
4. nur auf Maschine C bearbeitet werden.
5. auf Maschine A oder auf Maschine C bearbeitet werden.
6. auf Maschine B oder auf Maschine C bearbeitet werden.
Aufgabe 6
Eine Fakultät für Geisteswissenschaften hat 1000 Studierende. Die Anzahlen der Studierenden, die die folgenden
Sprachen studieren, seien Englisch (E) 780; Französisch (F) 220; und Spanisch (S) 52. Unter diesen sind 110, die
Englisch und Französisch, 32, die Englisch und Spanisch, 15, die Französisch und Spanisch studieren. Schliesslich
sind unter all diesen Zahlen noch 10 Studierende, die alle drei Sprachen studieren.
1. Wie viele studieren Englisch und Französisch, aber nicht Spanisch?
2. Wie viele studieren Englisch, aber nicht Französisch
3. Wie viele studieren keine Sprachen?
6
4. Funktionen mit einer Variablen
Aufgabe 1
Geben Sie für die folgenden Funktionen den Denitionsbereich und die Nullstelle an.
1. f (x) = x6 − 18x4 + 81x2
2. f (x) = ln x2 − 3
3. f (x) = e2x
2
−4x
−1
4. f (x) = 3x2 + 5
5. f (x) = ln x + 1
6. f (x) =
1
x+1
Aufgabe 2
Gegeben sei das Polynom y = 2x3 − 6x2 − 2x + 6 mit der Nullstelle x1 = 3. Bestimmen Sie die restlichen
Nullstellen.
Aufgabe 3
Das Polynom y = x5 −13x3 +36x hat Nullstellen bei x1 = 2 und x2 = 3. Bestimmen Sie die restlichen Nullstellen.
Aufgabe 4
Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte.
√ !
3
2x 2 − x
1. lim
x→4
x2 − 15
x + |x|
2. lim−
x
x→0
x
3. lim−
x−3
x→3
x + |x|
lim
x
x→0+
x
lim
x−3
x→3−
Aufgabe 5
Die Gesamtkosten C für die Herstellung von x Einheiten eines gewissen Gutes seien eine lineare Funktion. Unternehmensaufzeichnungen zeigen, dass einmal 100 Einheiten mit Gesamtkosten von 200 Euro hergestellt wurden.
Ein anderes Mal wurden 150 Einheiten mit Gesamtkosten von 275 Euro hergestellt. Stellen Sie die lineare Gleichung
für die Gesamtkosten C in Abhängigkeit von der Anzahl produzierter Einheiten x auf.
Aufgabe 6
Die Ausgaben eines Haushaltes für Konsumgüter C hängen vom Einkommen des Haushalts y in der folgenden
Weise ab: Wenn das Haushaltseinkommen 1000 Euro beträgt, sind die Ausgaben für Konsumgüter 900 Euro und
für jede Steigerung des Einkommens um 100 Euro steigen die Ausgaben für Konsumgüter um 80 Euro. Drücken
Sie die Ausgaben für Konsumgüter als Funktion des Einkommens aus. Unterstellen Sie dabei einen linearen
Zusammenhang.
7
Aufgabe 7
Für die meisten Wirtschaftsgüter wie Autos, Stereoanlagen und Möbel vermindert sich der wert in jedem Jahr.
Wenn man annimmt, dass der Wert eines Wirtschaftsgutes sich in jedem Jahr um einen festen Prozentsatz des
Anfangswertes verringert, so spricht man von linearer Abschreibung.
1. Nehmen Sie an, dass vom Wert eines Autos, das ursprünglich 20000 Euro gekostet hat, jedes Jahr 10 Prozent
des Anfangswertes abgeschrieben werden. Geben Sie eine Formel für den Wert P (t) nach t Jahren an.
2. Eine Waschmaschine mit Anfangswert 500 Euro sei nach 10 Jahren vollständig abgeschrieben (lineare Abschreibung). Geben Sie eine Formel für ihren Wert W (t) nach t Jahren an.
Aufgabe 8
Ein Reiseveranstalter bietet folgende ermäÿigte Reisepreise für Kinder und Jugendliche an:
• 0 bis 4 Jahre: 10 Prozent des Grundpreises,
• über 4 Jahre bis 12 Jahre: 30 Prozent des Grundpreises,
• über 12 bis 18 Jahre: 70 Prozent des Reisepreises.
• Ab 18 Jahre ist der volle Preis zu zahlen.
Wenn Sie das Alter mit A und den Preis in Prozent des Grundpreises mit p bezeichnen, wie sieht dann die Funktion
p(A), die den Preis in Abhängigkeit des Alters angibt, aus?
5. Dierentialrechnung
Aufgabe 1
Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen jeweils die erste Ableitung.
√
1. f (x) = 6x x
2. f (x) = x2 − x + 1 lnx
3. u(z) = xz 2 ez
4. f (x) =
2x2 − 5x + 6
−x + 2
az 2 − 1
bz 2 + 1
√
s t − ln t
√
6. x(t) =
t3s
5
7. f (x) = x2 + 1
p
8. f (x) = 2x2 − x + 1
5. u(z) =
9. f (x) = x2 e−2x
2
+1
8
√
ln x
(x2 − 1)
√
11. f (x) = 4 x7
10. f (x) =
12. f (x) =
2
x2
13. f (x) = 2x2 ln x
14. f (x) =
2x3 + x
ex
15. f (x) = ex ln x
3
16. f (x) = x2x
√
17. f (x) = ln 5 x3
18. f (x) = x
√
x
√
19. f (x) = ( x)x
Aufgabe 2
Bestimmen Sie
dy
dx
und
d2 y
dx2
durch implizites Dierenzieren, für
1. x − y + 3xy = 2
2. y 5 = x6
6. Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung
Aufgabe 1
Untersuchen Sie die folgenden Funktionen hinsichtlich Stetigkeit, Nullstellen, Extrema, Monotonie, Wendepunkten
und Krümmungsverhalten.
√
1. f (r) = a + c r
2. f (r) =
mit
a > 0, c > 0
ln (r − 1)
(r − 1)
2
Aufgabe 2
Stellen Sie die gleichen Untersuchungen für die folgenden Funktionen an. Untersuchen Sie zusätzlich das Verhalten
der Funktion an den Enden des Denitionsbereiches.
1. f (x) = x2 ln x
2. f (x) = 3xex
9
Aufgabe 3
Aus einem Draht der Länge 120 cm wird das Kantenmodell eines Quaders hergestellt. Die Seite b ist doppelt
so lang wie die Seite c. Wie gross muss die Länge der Seite c gewählt werden, damit das Volumen des Quaders
maximal wird?
Aufgabe 4
1
3
Falls ein Unternehmen Q Tonnen eines Produktes verkauft, ist der pro Tonne erzielte Preis P = 1000 − Q. Der
1
Preis, den das Unternehmen pro Tonne zu zahlen hat, ist P = 800 + Q. Zusätzlich gibt es Transportkosten der
5
Höhe von 100 pro Tonne.
1. Drücken Sie den Gewinn des Unternehmens π als Funktion von Q, der Anzahl verkaufter Tonnen, aus und
bestimmen Sie die den Gewinn maximierende Menge.
2. Nehmen Sie an, dass die Regierung eine Steuer der Höhe 10 pro Tonne auf das Produkt des Unternehmens
erhebt. Bestimmen Sie den neuen Ausdruck für den Gewinn π̂ und die neue verkaufte Menge, die den Gewinn
maximiert.
Aufgabe 5
Ein Sportverein plant, ein Flugzeug zu chartern und berechnet seinen Mitgliedern 10 Prozent Provision auf den
Preis, den er für den Kauf eines Sitzplatzes bezahlt. Der Preis wird durch die Chartergesellschaft festgesetzt.
Der Standardpreis für jeden Passagier ist 800 Euro. Für jeden über 60 hinausgehenden Passagier, erhalten alle
Reisenden (einschliesslich der ersten 60) einen Rabatt von 10 Euro. Das Flugzeug kann höchstens 80 Passagiere
befördern.
1. Wieviel Provision wird bei 60 + x Passagieren verdient?
2. Bestimmen Sie die Anzahl der Passagiere, die die gesamte Provision, die der Sportverein einnimmt, maximiert.
Aufgabe 6
Ein Pharmazieunternehmen produziert Penizillin. Der Verkaufspreis pro Einheit ist 200, während die Kosten für
die Herstellung von x Einheiten gegeben sind durch
C (x) = 500000 + 80x + 0, 003x2
Das Unternehmen kann höchstens 30000 Einheiten herstellen. Welcher Wert von x maximiert den Gewinn?
10
Aufgabe 7
Für eine Einproduktunternehmung lautet die Kostenfunktion K = 6x+40 und die Preisabsatzfunktion p = 30−2x.
Bestimmen Sie
1. die Grenzkostenfunktion.
2. die Durchschnittskostenfunktion.
3. die Erlösfunktion.
4. die Grenzerlösfunktion.
5. den Bereich positiver Gewinne.
6. die gewinnmaximale Ausbringungsmenge.
Aufgabe 8
In einem Betrieb bendet sich eine Materialausgabestelle, die pro Stunde von durchschnittlich 20 Arbeitern aufgesucht wird. Die durchschnittliche Wartezeit pro Arbeiter hängt ab von der Zahl x der in der Ausgabestelle
20
Beschäftigten und betrage in Minuten t = . Der Stundenlohn eines in der Produktion beschäftigten Arbeiters
x
beträgt 18 Euro, der Stundenlohn eines in der Ausgabe Beschäftigten 12 Euro. Wie viele Arbeitskräfte sollten in
der Ausgabe beschäftigt werden, um die Ausgabekosten zu minimieren?
7. Integralrechnung
Aufgabe 1
Bestimmen Sie die folgenden Integrale.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
ˆ
3x3 − 24x2 + 60x − 32dx
ˆ
10x4 −
ˆ
1
dx
x2
√
√
√
6
3 3 x − 3 x + x5 dx
ˆ
6x2 e−6x dx
ˆ
x3 ln xdx
ˆ
(a + bx) e−rx dx
ˆ
ˆ
4x + 6
dx
x2 + 3x
3x2
dx
+4
x3
11
Aufgabe 2
Bestimmen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale.
1.
2.
ˆ
0
e2x dx
−∞
ˆ
1
∞
1
√ dx
x x
Aufgabe 3
Es bezeichne C (Y ) die Konsumfunktion. Nehmen Sie an, dass die Grenzrate des Konsums gegeben ist durch
C 0 (Y ) = 0, 69 mit C (0) = 1000. Bestimmen Sie C (Y ) .
Aufgabe 4
Nehmen Sie an, dass die Nachfragefunktion f (Q) = 100 − 0, 05Q und die Angebotsfunktion g (Q) = 10 + 0, 1Q
ist. Bestimmen Sie den Gleichgewichtspreis und die Gleichgewichtsmenge. Berechnen Sie dann die Konsumentenund Produzentenrente.
Aufgabe 5
Nehmen Sie an, dass die Nachfrage- und Angebotsfunktion gegeben seien durch
f (Q) =
6000
Q + 50
g (Q) = Q + 10
Bestimmen Sie den Gleichgewichtspreis und berechnen Sie die Konsumenten- und Produzentenrente.
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