Mathematik Vorkurs

hochschule für angewandte wissenschaften
FACHBEREICH ELEKTROTECHNIK UND INFORMATIK
hamburg
university of applied sciences
Mathematik Vorkurs
G. Finsel
S. Heitmann
K. Ronneberger
2. Auflage 2004
Inhaltsverzeichnis
1
Zahlensysteme
1.1
1.2
1.3
1.4
2
4
Natürliche und ganze Zahlen . . .
Rationale Zahlen . . . . . . . . .
1.2.1 Teilbarkeitsregel . . . . .
1.2.2 Die vier Grundrechenarten
1.2.3 Das Rechnen mit Brüchen
Reelle Zahlen . . . . . . . . . . .
1.3.1 Potenzen . . . . . . . . .
1.3.2 Binomische Formeln . . .
1.3.3 Wurzeln . . . . . . . . . .
1.3.4 Irrationale Zahlen . . . . .
1.3.5 Logarithmen . . . . . . .
Komplexe Zahlen . . . . . . . . .
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Funktionen
2.1
2.2
2.3
2.4
4
5
5
6
8
11
11
11
12
14
17
18
21
Der Begriff der Funktion . . . . . . . . . . . . . . . .
Darstellung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Analytische Darstellung . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Darstellung durch Wertetabellen . . . . . . . .
2.2.3 Graphische Darstellung . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Parameterdarstellung . . . . . . . . . . . . . .
Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Gerade/ungerade Funktionen . . . . . . . . . .
2.3.3 Beschränktheit . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Injektive, surjektive und bijektive Funktionen .
Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Rechnerische Bestimmung der Umkehrfunktion
2.4.2 Graph von Funktion und Umkehrfunktion . . .
2
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21
21
21
22
22
23
24
24
24
25
26
28
28
29
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2.5
3
4
Rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Lösung von linearen Gleichungen und von linearen Gleichungssystemen mit 2 oder 3 Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Quadratische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.4 Lösen von quadratischen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.5 Ganzrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.6 Gebrochenrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.7 Bruch- und Wurzelgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.8 Transzendente Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.9 Exponentialgleichungen und logarithmische Gleichungen . . . .
30
30
32
36
40
41
45
49
50
52
Trigonometrische Funktionen
54
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
54
55
57
58
61
63
64
69
69
69
71
Winkeleinheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Recht- und schiefwinklige Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definition der trigonometrischen Funktion am Kreis . . . . . . . . . . . .
Graphen der trigonometrischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . .
Additionstheoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Goniometrische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zyklometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Berechnungen am Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.1 Rechtwinklige Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.2 Schiefwinklige Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9 Näherungsformel für trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . .
3.9.1 Zusammenhang der trigonometrischen Funktionen mit der Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10 Die Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.11 Die Areafunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
75
77
Einführung in die Vektorrechnung
79
4.1
4.2
4.3
4.4
Geometrie von Vektoren . .
Norm (Betrag) eines Vektors
Skalarprodukt von Vektoren
Kreuzprodukt . . . . . . . .
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3
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79
83
84
87
1 Zahlensysteme
1.1 Natürliche und ganze Zahlen
Darstellung der natürlichen Zahlen auf der Zahlengerade:
+1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Abkürzungen:
N – Menge der natürlichen Zahlen
N0 – Menge der natürlichen Zahlen einschließlich der Null
Es gibt keine größte natürliche Zahl
Darstellung der ganzen Zahlen auf der Zahlengerade:
-1
+1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6
bzw.
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Abkürzung:
Z – Menge der ganzen Zahlen
4
5 6
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1.2 Rationale Zahlen
1.2.1 Teilbarkeitsregel
Definition:
Läßt sich eine natürliche Zahl b ohne Rest durch eine natürliche Zahl a teilen, so
wird der Divisor a Teiler der Zahl b genannt.
Spezialfälle:
1. Jede natürliche Zahl ist Teiler von sich selbst.
2. Jede natürliche Zahl ist Teiler der Zahl 0.
3. Jede natürliche Zahl hat den Teiler 1.
Eine natürlich Zahl, die keinen echten Teiler besitzt (d.h. nur sich selbst und 1 als Teiler
besitzt), wird Primzahl genannt, z.B.:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, . . .
Eine natürlich Zahl, die echte Teiler hat, wird zusammengesetzte Zahl genannt, z.B.:
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, . . .
Sieht man von der Reihenfolge ab, so läßt sich jede zusammengesetzte Zahl eindeutig in
ein Produkt aus Primfaktoren zerlegen, z.B.:
165 = 3 · 5 · 11
Teilbarkeitsregeln:
Eine Zahl ist genau dann durch
• 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer durch 2 teilbar ist.
• 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
• 4 teilbar, wenn die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildete Zahl durch 4 teilbar
ist, oder die letzten beiden Ziffern Nullen sind.
• 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer 5 oder 0 ist.
• 6 teilbar, wenn sie gerade ist und ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
• 8 teilbar, wenn die aus ihren letzten 3 Ziffern gebildete Zahl durch 8 teilbar ist.
• 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
5
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Definition:
Jede Zahl, die sich als Quotient ganzer Zahlen darstellen läßt heißt rationale Zahl.
Darstellung der rationalen Zahlen auf der Zahlengerade:
-3
-2
- 9
4
-1 3
-
01
4
1
4
Abkürzung:
Q – Menge der rationalen Zahlen.
1.2.2 Die vier Grundrechenarten
Addition
Grundregeln:
(1) a + b = b + a
(2) a + 0 = 0 + a = a
(3) (a + b) + c = a + (b + c)
Kommutativgesetz
neutrales Element
Assoziativgesetz
Vorzeichenregelung:
(1) (+a) + (+b) = +a + b = a + b
(2) (−a) + (−b) = −a − b = −(a + b)
(3) (+a) + (−b) = +a − b = a − b
(4) (−a) + (+b) = −a + b = −(a − b)
6
2 5 3
2
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Subtraktion
Die Subtraktion ist die Umkehroperation der Addition.
Vorzeichenregelung:
Eine
wird.
(1)
(2)
(3)
(4)
Zahl wird subtrahiert, indem sie mit entgegengesetztem Vorzeichen addiert
(+a) − (+b) = (+a) + (−b) = a − b
(−a) − (−b) = (−a) + (+b) = −a + b
(+a) − (−b) = (+a) + (+b) = a + b
(−a) − (+b) = (−a) + (−b) = −a − b
Multiplikation
Grundregeln:
(1) a · b = b · a
(2) a · 1 = 1 · a = a
(3) (a · b) · c = a · (b · c)
(4) a · (b + c) = a · b + a · c = (b + c) · a
Kommunikativgesetz
neutrales Element
Assoziativgesetz
Distributivgesetz
Vorzeichenregelung:
Zwei Faktoren mit gleichen Vorzeichen ergeben ein positives, mit ungleichen Vorzeichen ein negatives Produkt.
(1) (+a) · (+b) = +a · b = ab
(2) (−a) · (−b) = +a · b = ab
(3) (+a) · (−b) = −a · b = −ab
(4) (−a) · (+b) = −a · b = −ab
Spezialfälle:
a·0 = 0
(a + b) · (c + d)
= a · (c + d) + b · (c + d)
= ac + ad + bc + bd
Multiplikation von Klammern
7
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Division
Die Division ist die Umkehroperation der Multiplikation.
Vorzeichenregelung:
Der Quotiont ist positiv, wenn Divident und Divisor gleiche Vorzeichen haben,
negativ bei ungleichen Vorzeichen.
a
(1) (+a) : (+b) = +a : b =
b
a
(2) (−a) : (−b) = +a : b =
b
a
(3) (+a) : (−b) = −a : b = −
b
a
(4) (−a) : (+b) = −a : b = −
b
Spezialfälle:
a
a −a
=
− =
b
b
−b
(a + b) : c = a : c + b : c =
a b
+
c c
a ma
=
b mb
m ∈Z,
Erweitern
ma a
=
mb b
m ∈Z,
Kürzen
1.2.3 Das Rechnen mit Brüchen
Addition/Subtraktion von Brüchen
Gleichnamige Brüche werden addiert (subtrahiert), indem man den Zähler addiert
(subtrahiert) und den Nenner beibehält.
a b a+b
+ =
c c
c
bzw.
a b a−b
− =
c c
c
a, b, c ∈Z
Ungleichnamige Brüche müssen vor der Addition (Subtraktion) gleichnamig gemacht
werden (→ geschicktes Erweitern, so daß beide Brüche den gleichen Nenner haben).
a c ad cb ad + cb
+ =
+
=
b d bd bd
bd
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Multiplikation von Brüchen
a c
ac
· =
b d bd
a
am
·m =
b
b
a, b, c, d, m ∈Z
Division von Brüchen
Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert des Bruchs multipliziert.
a:
b
c ac
= a· =
c
b
b
a
a 1
a
:c= · =
b
b c bc
a
a d
a c
: = bc = ·
Doppelbruch
b d
b c
d
∀a, b, c ∈Z
Das Umrechnen von Dezimalzahlen in Brüche
Endliche Dezimalzahlen
Endliche Dezimalzahlen können durch Erweitern mit einer Zehnerpotenz und anschließendes Kürzen sehr einfach in Brüche umgerechnet werden.
Sei d eine Dezimalzahl mit x Nachkommastellen, so gilt:
d=
p · 10x
10x
9
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Unendliche periodische Dezimalzahlen
Für eine unendliche periodische Dezimalzahl p mit Periodenlänge y gilt analog:
p=
d(10y − 1)
10y − 1
Beispiele:
(1)
0.25 · 102
0.25 =
102
25
=
100
Kürzen mit 25:
⇒ 0.25 =
1
4
(2)
0.45 · (102 − 1)
0.45 =
102 − 1
45.45 − 0.45
=
99
45
=
99
Kürzen mit 9:
⇒ 0.45 =
10
5
11
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1.3 Reelle Zahlen
1.3.1 Potenzen
Definition:
an ist die abkürzende Schreibweise für a · a · a · . . . · a, und zwar n-mal.
Potenz
Exponent
an
Basis
Rechenregel:
∀ a > 0 oder b > 0 oder m, n ∈Z
(1) am · an = am+n
(2) an · bn = (a · b)n
1
(3) a−n = n
a
m
a
(4) n = am−n
a
an a n
(5) n =
b
b
n
m
(6) (a ) = an·m = (am )n
Spezialfälle:
(7) a1 = a, a0 = 1 für a 6= 0
0n = 0 für n 6= 0, 1n = 1
(8) (−a)2n = +a2n ,
(−a)2n+1 = −a2n+1
1.3.2 Binomische Formeln
(1) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(2) (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(3) (a + b)(a − b) = a2 − b2
Höhere Potenzen:
(a ± b)3 = a3 ± 3a2 b + 3ab2 ± b3
(a ± b)4 = a4 ± 4a3 b + 6a2 b2 ± 4ab3 + b4
11
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Für die n-te Potenz des Ausdruckes (a ± b) erhält man die Koeffizienten der gemischten
Terme mit Hilfe des Pascalschen Dreiecks.
Pascalsches Dreieck
0
1
2
3
4
5
6
1
1
1
1
1
1
1
2
1
3
4
5
6
1
3
6
4
10
15
1
10
20
1
5
15
1
6
1
Verschiedene Aspekte des Potenzierens an = b:
1. Potenzrechnung
gegeben: a, n
gesucht: b
n
Schreibweise: a = b
Beispiel: 23 = 8
2. Wurzelrechnung
gegeben: b, n
gesucht: a
√
√
n
Beispiel: 3 8 = 2
Schreibweise: b = a
3. Logarithmenrechnung
gegeben: a, b
gesucht: n
Schreibweise: loga b = n
Beispiel: log2 8 = 3
1.3.3 Wurzeln
Definition:
√
Unter der n-ten Wurzel n b aus einer Zahl b versteht man diejenige Zahl a, die mit n
potenziert b ergibt. (1. Umkehrung des Potenzierens).
√
n
b=a
⇔
12
an = b
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Rechenregeln:
(1)
√
n
√
n
(2)
(3)
(4)
(5)
√
n
1
n, m ∈Z
a = an
m
am = a n
a > 0 oder b > 0
Zusammenhang mit der Potenzrechnung
p
√
a · n b = n (ab)
√
na
√
n
b
=
p
n a
b
p
p√
√
√
n m
a = n·m a = m n a
√
n
√
am = ( n a)m
Spezialfälle:
(6)
√
n
1=1
√
n
0=0
√
n n
a =a
(7)
√
1
a=a
(8)
√
2
a=
√
a
spezielle Bezeichnungsweise
13
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1.3.4 Irrationale Zahlen
Behauptung:
Es gibt keine rationale Zahl, die mit sich selbst multipliziert den Wert 2 ergibt!
Beweis:
Es sei x die Zahl, deren Quadrat 2 ergibt:
x2 = 2
⇔
x=
√
2
Annahme:
x ist eine rationale Zahl, d.h. x = ab , mit a, b ∈Z, wobei a und b keinen
gemeinsamen Teiler mehr besitzen (d.h. der Bruch ist vollständig gekürzt).
a2
b2
⇒
x2 = 2 =
⇒
2b2 = a2
⇒
a2 ist gerade
a2 kann aber nur dann gerade sein, wenn in der Primzahlzerlegung von a
eine 2 vorkommt, also
a2 ist durch 4 teilbar.
und damit
2b2 ist durch 4 teilbar.
⇒
b2 ist durch 2 teilbar
⇒
b ist durch 2 teilbar
⇒
a
ist kürzbar im Widerspruch zur Annahme
b
⇒
x ist keine rationale Zahl!
14
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Man kann die Zahl
√
2 jedoch durch rationale Zahlen nähern:
Intervallschachtelung
12 = 1, 22 = 4
⇒
1.52 = 2.25
⇒
1.252 = 1.5625
⇒
1.42 = 1.96
⇒
1.452 = 2.1025
⇒
1.422 = 2.0164
⇒
1.412 = 1.9881
⇒
1.4152 = 2.002225
⇒
1.4142 = 1.999396
⇒
√
2<2
√
1 < 2 < 1.5
√
1.25 < 2 < 1.5
√
1.4 < 2 < 1.5
√
1.4 < 2 < 1.45
√
1.4 < 2 < 1.42
√
1.41 < 2 < 1.42
√
1.41 < 2 < 1.415
√
1.414 < 2 < 1.415
1<
usw.
Schneller funktioniert das
Heronverfahren
Das Heronverfahren ist ein iteratives Verfahren zur Berechnung eines Nährungs√
wertes für a. Man startet mit einem groben Nährungswert x0 und berechnet mit dessen
Hilfe einen besseren Nährungswert x1 . Diesen benutzt man wiederum, um einen noch
besseren Nährungswert x2 zu berechnen und so fort:
1
a
xn+1 =
xn +
n = 0, 1, 2 . . .
2
xn
Beispiel:
√
6, →
a = 6,
1
6
x1 =
x0 +
=
2
x0
1
6
x2 =
x1 +
=
2
x1
1
6
x3 =
x2 +
=
2
x2
x4 = 2.449489743,
x0 = 3
1
6
1
3+
= · 5 = 2.5
2
3
2
1
6
2.5 +
= 2.45
2
2.5
1
6
2.45 +
= 2.449489
2
2.45
x5 = · · ·
15
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Der Taschenrechner liefert:
√
6 = 2.449489743
Beide Prozesse lassen sich beliebig lange fortsetzen, ohne daß man den genauen
Wert erhält oder sich eine periodische Wiederholung der Dezimalstellen ergibt. Daher
√ √
sind 2, 6 usw. unendliche, nichtperiodische Dezimalbrüche.
Definition:
Unendliche, nicht periodische Dezimalbrüche nennt man irrationale Zahlen. Die
irrationalen Zahlen bilden zusammen mit den rationalen Zahlen die Menge der reellen
Zahlen R.
Für je zwei reelle Zahlen a, b gilt genau eine der folgenden drei Beziehungen:
a<b
oder a = b
oder a > b
Beziehungen der Form a < b und a > b werden als Ungleichungen bezeichnet. Zu ihnen
zählt man auch die Beziehungen a ≥ b und a ≤ b.
Definition:
Unter dem Betrag einer reellen Zahl wird der Abstand des zugeordneten Bildpunktes zum Nullpunkt verstanden. Er wird durch das Symbol |a| gekennzeichnet und ist
stets positiv:




a
a
>
0


|a| =
0 falls a = 0




−a
a<0
Es gilt: |a| ≥ 0
Beispiele:
|3| = 3
| − 5| = 5
(
|2x + 2| =
|π| = π
2x + 2
falls x ≥ −1
−(2x + 2) falls x < −1
denn es gilt: 2x + 2 ≥ 0 ⇔ 2x ≥ −2 ⇔ x ≥ −1
2x + 2 < 0 ⇔ 2x < −2 ⇔ x < −1
16
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Spezielle Teilmengen von R
N0 = {0, 1, 2, 3, 4, . . .}
N= {1, 2, 3, 4, . . .}
Z= {0, ±1, ±2, ±3, . . .}
a
Q= {x|x = , mit a ∈Z, b ∈N}
b
natürliche Zahlen mit 0
natürliche Zahlen
ganze Zahlen
rationale Zahlen
Wichtige Intervalle
1. Endliche Intervalle
• [a, b] = {x|a ≤ x ≤ b}
abgeschlossenes Intervall
• [a, b) = {x|a ≤ x < b}
halboffenes Intervall
• (a, b] = {x|a < x ≤ b}
halboffenes Intervall
• (a, b) = {x|a < x < b}
offenes Intervall
2. Unendliche Intervalle
• [a, ∞),
(a, ∞)
• (−∞, b],
(−∞, b)
• (−∞, 0] =R−
0,
[0, ∞) =R+
0
• (−∞, ∞) =R
1.3.5 Logarithmen
Das Logarithmieren ist die zweite Umkehrung des Potenzierens. Mit Hilfe des Logarithmus läßt sich bei bekannter Potenz b und Basis a der Exponent n ermitteln:
Numerus
n = log a b
Logarithmus
Sprechweise:
Basis
n ist der Logarithmus von b zur Basis a.
Rechenregeln:
(1) aloga b = b
(2) loga (b · c) = loga b + loga c
17
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b
(3) loga
= loga b − loga c
c
(4) loga (bx ) = x · loga b
Spezialfälle:
(5) loga a = 1
loga 1 = 0
1
(6) loga
= − loga b
b
√
1
(7) loga x b = · loga b
x
Spezielle Bezeichnungsweise:
• log10 → lg
Dekadischer Logarithmus
• loge → ln
Natürlicher Logarithmus
• log2 → lb
Binärer Logarithmus
Umrechnung von einer Basis auf die andere:
loga b =
logc b
logc a
Beweis:
nach (1) gilt:
⇒
mit (4) ⇒
⇒
aloga b = b
logc aloga b = logc b
loga b · logc a = logc b
logc b
loga b =
logc a
1.4 Komplexe Zahlen
Eine Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ist eine imaginäre Zahl:
p
√ √
√
−9 = 9 · (−1) = 9 · −1 = 3 −1
q
p
√ √
√
2
−a = a2 · (−1) = a2 · −1 = a −1
√
√
−1 wird als eine neue Zahl eingeführt, die nach Euler imaginäre Einheit genannt und
mit dem Buchstaben j bezeichnet wird.
j2 = −1
j=
18
√
−1
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Imaginäre Zahlen sind nun neben der imaginären Einheit j auch alle reellen Vielfachen
a · j, a ∈ R, also z.B.
√
3 j, − j, − 17 j
Zu beachten ist, daß vor Anwendung von Rechenregeln auf imaginäre Zahlen diese stets
als Produkt zu schreiben sind, das den Faktor j enthält, also
√
√
−a = j a
√
√
√ √
√ √
−a −b = j a j b = j2 ab = − ab
√
√ √
√ √
−3 −27 = j 3 j 27 = j2 81 = −9
Definition:
Als komplexe Zahl z bezeichnet man die Zahl
z = a + jb
a, b ∈R
Abkürzung:
C - Menge der komplexen Zahlen
Gleichheit von Komplexen Zahlen:
a + jb = c + jd
genau dann, wenn
a = c und b = d
Sonderfälle:
a=0
b=0
imaginäre Zahl
reelle Zahl
Darstellung in der Gaußschen Zahlenebene:
Im(z)
(imaginäre Achse)
5j
4j
3j
2j
1j
−6 −5 −4 −3 −2 −1
−1 j
−2 j
−3 j
−6−3 j
−4 j
−5 j
−6 j
4+3 j
1 2 3 4 5 6
19
Re(z)
(reelle Achse)
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Rechenregeln:
(1) (a + jb) + (c + jd) = (a + c) + j(b + d)
(2) (a + jb) − (c + jd) = (a − c) + j(b − d)
(3) (a + jb) · (c + jd) = (ac − bd) + j(ad + bc)
Binomische Formeln:
(1) (a + jb)2 = a2 + 2 jab − b2
(2) (a − jb)2 = a2 − 2 jab − b2
(3) (a + jb) · (a − jb) = a2 + b2
Division:
a + jb a
b
= +j
c
c
c
a + jb
j(a + jb)
ja − b b
a
(2)
=
=
= −j
2
jc
j c
−c
c
c
(1)
(3)
(a + jb) (a + jb) · (c − jd)
=
(c + jd) (c + jd) · (c − jd)
ac + bd + j(bc − ad)
=
c2 + d 2
ac + bd
bc − ad
= 2
+
j
c + d2
c2 + d 2
20
2 Funktionen
2.1 Der Begriff der Funktion
Definition:
Eine Funktion ist eine Menge geordneter Paare (x, y). Dabei wird jedem Element
x aus einer Menge D genau ein Element y aus einer Menge W zugeordnet.
Die Elemente x ∈ D heißen Argument oder unabhängige Variable, die Elemente
y = f (x) ∈ W heißen Funktionswert oder abhängige Variable der Funktion.
Die Menge D aller Argumente bildet den Definitionsbereich, die Menge W den
Wertebereich der Funktion. Die Menge aller Funktionswerte f (D) wird Wertemenge
genannt, für sie gilt f (D) ⊆ W.
2.2 Darstellung von Funktionen
2.2.1 Analytische Darstellung
f:
D→W
x → y = f (x) (Angabe der Zuordnungsvorschrift), bzw.
f:
Leseart:
• y = f (0)
• y = f (a)
• y = f (x1 )
y = f (x)
oder
f:
y = y(x)
Funktionswert an der Stelle x = 0
Funktionswert an der Stelle x = a
Funktionswert an der Stelle x = x1
Die Zuordnungsvorschrift wird i.A. durch eine Gleichung (Funktionsgleichung) dargestellt, z.B.
y = 2x + 5
oder
y − 2x − 5 = 0
21
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Man nennt die verschiedenen Formen der Funktionsgleichungen:
• explizite Form nach y
y = f (x)
z.B.
y = 2x − 1
• explizite Form nach x
x = f (y)
z.B.
x = 21 y + 12
z.B.
y − 2x + 1 = 0
• implizite Form
F(x, y) = 0
2.2.2 Darstellung durch Wertetabellen
x
1
2
3
4
y = 2x − 1
y
1
3
5
7
Dies findet häufige Verwendung bei der Aufnahme von Meßergebnissen und für Funktionentafeln.
2.2.3 Graphische Darstellung
Kartesisches Koordinatensystem
Es kann jedem Punkt ein geordnetes Paar (x, y) zugeordnet werden. Die Menge
graph f = {(x, y)|x ∈ D, y ∈ W : y = f (x)}
bildet dann den Graphen oder die Kurve der Funktion f.
Polarkoordinaten
Um die Lage eines Punktes in der Ebene festzulegen, kann man statt der kartesischen
Koordinaten (a, b) auch den Abstand r vom Ursprung (0, 0) und den Winkel ϕ, den die
Verbindungslinie zwischen Punkt und Ursprung mit der x-Achse bildet, angeben. Der
Winkel ϕ wird gegen den Uhrzeigersinn positiv gezählt.
y
b
P(a,b)
r
ϕ
x
a
22
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Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten:
r=
p
a2 + b2 ,
tan ϕ =
b
a
Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten:
a = r · cos ϕ
b = r · sin ϕ
2.2.4 Parameterdarstellung
Es ist möglich, sowohl x als auch y in Abhängigkeit einer Hilfsvariablen oder eines
Parameters darzustellen:
x = Φ(t)
y = Ψ(t)
t : Hilfsvariable
Die Parameterdarstellung ist häufig vorteilhaft bei der Beschreibung von Bewegungsvorgängen.
Beispiel:
Waagerechter Wurf
1
y = − gt 2
2
Die Parameterdarstellung kann in kartesische Form gebracht werden, indem eine der beiden Gleichungen nach t hin umgestellt und dann in die andere eingesetzt wird:
x = ν0 · t
t=
x
ν0
⇒
2
x
1
y=− g
2
ν0
⇒
y=−
g
· x2
2ν02
Der resultierende Graph ist eine Parabel (Wurfparabel).
23
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2.3 Eigenschaften von Funktionen
2.3.1 Monotonie
Definition:
Eine Funktion f heißt in einem Intervall I monoton steigend, wenn für alle x1 , x2 ∈ I
gilt:
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 )
Eine Funktion f heißt unter den gleichen Bedingungen monoton fallend, falls gilt:
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 )
Man spricht von streng monoton steigend bzw. streng monoton fallend, falls gilt:
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) bzw.
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 )
2.3.2 Gerade/ungerade Funktionen
Definition:
Eine Funktion f heißt gerade Funktion, wenn mit jedem x ∈ D auch −x ∈ D ist,
und für alle x ∈ D gilt:
f (x) = f (−x)
Die Kurven gerader Funktionen sind stets symmetrisch zur y-Achse (Achsensymmetrie).
Eine Funktion f heißt ungerade Funktion, wenn mit jedem x ∈ D auch −x ∈ D
ist, und für alle x ∈ D gilt:
f (x) = − f (−x)
Die Kurven ungerader Funktionen sind stets symmetrisch zum Koordinatenursprung
(Punktsymmetrie).
Beispiele:
(1) f (x) =
x2 − 1
x2 + 1
f (−x) =
ist gerade, denn
(−x)2 − 1 x2 − 1
=
= f (x)
(−x)2 + 1 x2 + 1
24
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(2) f (x) = 3x(x2 − 5)
ist ungerade, denn
f (−x) = 3(−x)((−x)2 − 5) = −3x(x2 − 5) = − f (x)
(3) f (x) = x2 + 2x + 3
ist weder gerade noch ungerade, denn
f (−x) = (−x)2 + 2(−x) + 3 = x2 − 2x + 3 6= f (x) 6= − f (x)
13
11
9
7
5
(3)
unsym−
metrisch
3
1
−1
(1)
achsen−
symmetrisch
−3
−5
(2)
punkt−
symmetrisch
−7
−9
−11
−13
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
2.3.3 Beschränktheit
Definition:
Eine Funktion heißt nach oben beschränkt bzw. nach unten beschränkt, wenn
die Wertemenge f (D) nach oben bzw. nach unten begrenzt ist. Sie heißt beschränkt,
wenn sie sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist.
Beispiele:
(1) y = x3 + 3x
D = R, f (D) = R
nicht beschränkt
(2) y = x2 − 2
√
(3) y = 3 − x
D = R, f (D) = [−2, ∞)
nach unten beschränkt
D = (−∞, 3], f (D) = [0, ∞)
nach unten beschränkt
(4) y = ln(9 − x2 )
D = (−3, 3), f (D) = (−∞, ln 9] nach oben beschränkt
25
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10
(2)
(1)
5
(3)
0
−5
(4)
−10
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
2.3.4 Injektive, surjektive und bijektive Funktionen
Definition:
Eine Funktion f : D → W, x → y = f (x) heißt injektiv, wenn für alle x1 , x2 ∈ D
gilt:
x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ),
d.h. falls jedem y ∈ W höchstens ein x ∈ D zugeordnet ist.
Sie heißt surjektiv, falls
f (D) = W,
d.h. falls jedem y ∈ W mindestens ein x ∈ D zugeordnet ist.
Ist eine Funktion sowohl injektiv als auch surjektiv, so wird sie bijektiv genannt,
d.h. jedem y ∈ W ist genau ein x ∈ D zugeordnet und umgekehrt.
26
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Beispiele:
16
y = x2
12
8
4
0
−4
−6
•
•
•
•
f
f
f
f
:
:
:
:
−4
R → R,
R → R+
0,
+
R0 → R,
+
R+
0 → R0 ,
−2
x → y = x2
x → y = x2
x → y = x2
x → y = x2
0
2
4
6
weder injektiv noch surjektiv
surjektiv
injektiv
bijektiv
1
x2 + y2 = 1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−1
•
•
•
•
•
D=W=R
D = [−1, 1]
D = [−1, 1]
D = [0, 1]
D = [0, 1]
−0.5
W = [−1, 1]
W = [0, 1]
W = R+
0
W = [0, 1]
0
keine Funktion
keine Funktion
surjektiv
injektiv
bijektiv
27
0.5
1
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2.4 Umkehrfunktionen
Ist f : D → W, x → y = f (x) bijektiv, so gibt es zu jedem y ∈ W genau ein
Urbild x mit f (x) = y. Man nennt die Funktion, welche jedem y ∈ W sein Urbild x zuordnet, die Umkehrfunktion zu f ; sie ist ebenfalls bijektiv und wird mit
f −1 : W → D, y → x = f −1 (y) bezeichnet.
Meist behält man die unübliche Schreibweise der Variablen nicht bei, sondern vertauscht x und y und schreibt:
f −1 : y = f −1 (x)
2.4.1 Rechnerische Bestimmung der Umkehrfunktion
Es gibt zwei Möglichkeiten:
1. y = f (x) nach x auflösen und anschließend die Variablen vertauschen.
2. zunächst die Variablen vertauschen und dann x = f (y) nach y auflösen.
Beispiel:
y = 2x + 1
f:
2x = y − 1
1. y = f (x) nach x auflösen:
y−1
2
x−1
y=
2
x=
Variablen vertauschen:
f −1 :
x = 2y + 1
2. Variablen tauschen:
x = f (y) nach y auflösen
x − 1 = 2y
x−1
=y
2
x−1
f −1 :
y=
2
Es gilt:
f −1 ( f (x)) = x
bzw.
28
f ( f −1 (x)) = x
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Beispiel:
f:
y = f (x) = x2
f −1 :
y = f −1 (x) =
⇒
√
x
x ∈R+
√
f −1 ( f (x)) = f −1 (x2 ) = x2 = x
√
√
f ( f −1 (x)) = f ( x) = ( x)2 = x
2.4.2 Graph von Funktion und Umkehrfunktion
Für eine graphische Darstellung bedeutet eine Vertauschung der Variablen eine Vertauschung der Koordinaten.
Man erhält die graphische Darstellung der Umkehrfunktion, indem man den
Graph der Funktion f an der Geraden y = x spiegelt.
Beispiele:
10
y=x
5
y = exp(x)
0
y = ln(x)
−5
−5
0
5
29
10
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10
y = x2
y=x
5
y = +√ x
0
y = −√ x
−5
−5
0
5
2.5 Rationale Funktionen
2.5.1 Lineare Funktionen
Die allgemeine Form einer linearen Funktion (Funktion 1. Grades) lautet:
y = mx + b
wobei m und b beliebige Konstanten aus R sind.
Die Kurve einer Funktion 1. Grades ist stets eine Gerade.
y
y= mx + b
y
2
Steigungsdreieck
y
b
1
x
x
x
1
2
m = xy - yx
2
2
30
1
1
10
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In der Funktion y = mx + b ist b der Abschnitt auf der y-Achse (Achsenabschnitt) und m
die Steigung der Geraden. Für diese gilt:
m=
10
8
6
f (x2 ) − f (x1 )
y2 − y1
=
x2 − x1
x2 − x1
y
y
y
3
2
y
1
4
y1 = 2x
2
y3 = −2x − 2
-4
-6
-8
-10
-8 -6 -4 -2
Spezialfälle:
1. b = 0
2. m = 0
3. x = a
y2 = 3x
x
0
-2
0
y = mx
y=b
a ∈R
2 4 6
8
Gerade durch den Ursprung
Gerade parallel zur x-Achse
Gerade parallel zur y-Achse (KEINE Funktion!)
Abgesehen von den beiden zuletzt genannten Spezialfällen sind Geraden stets streng
monoton steigend (m > 0) oder streng monoton fallend (m < 0). Daher sind Geraden
immer bijektive Funktionen.
Nullstellen einer linearen Funktion
Die Stelle x, an der die Funktion die x-Achse schneidet, nennt man Nullstelle. Sie
kann der graphischen Darstellung entnommen werden, oder aber rechnerisch bestimmt
werden.
Rechnerische Bestimmung der Nullstelle:
In die Funktionsgleichung für y den Wert 0 einsetzen und die entstehende Gleichung nach x auflösen.
31
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Beispiel:
y = 2x + 3
0 = 2x + 3 | − 3
Nullstelle:
−3 = 2x
3
x = −
2
|:2
2.5.2 Lösung von linearen Gleichungen und von linearen
Gleichungssystemen mit 2 oder 3 Variablen
Lineare Gleichungen
Eine lineare Gleichung mit einer Variablen
ax + b = 0,
a 6= 0
besitzt genau eine Lösung
b
a
Die Lösung einer linearen Gleichung mit einer Variablen stimmt mit der
Nullstelle der zugehörigen Funktion y = ax + b überein.
x=−
→ graphische Lösungsmöglichkeit
Lineare Gleichungen mit zwei Variablen
Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen läßt sich stets in folgender Form angeben:
ax + by = c
Ein Zahlpaar (x, y), das diese Gleichung zu einer wahren Aussage macht heißt Lösung
dieser Gleichung.
Eine Gleichung mit zwei Variablen hat i.A. uendlich viele Lösungen, die, graphisch
dargestellt, auf der Geraden ax + by = c liegen.
Um zwei Variablen eindeutig festzulegen, reicht eine einzige Gleichung nicht aus.
Erst ein System aus zwei Gleichungen kann ein Wertepaar (x, y) eindeutig festlegen, das
sowohl die erste als auch die zweite Gleichung löst.
32
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Beispiel:
3x + y = 15
5x − 6y = 2
)
Lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen
10
9
3x+y=15
8
7
6
5
4
3
Schnittpunkt
(4,3)
2
1
0
−1
−2
−3
5x−6y=2
−4
−5
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Für die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen ergeben sich
drei Möglichkeiten:
1. Die Geraden schneiden sich
→ genau eine Lösung
2. Die Geraden sind parallel
→ keine Lösung
3. Die Geraden sind gleich
→ unendlich viele Lösungen
Numerische Verfahren zur Lösung des Gleichungssystems:
Einsetzverfahren
Eine der beiden Gleichungen wird nach einer Variablen umgestellt. Der enstehende
Ausdruck wird dann an Stelle dieser Variablen in die zweite Gleichung eingesetzt. Es
entsteht eine neue Gleichung mit einer Unbekannten, die man lösen kann.
33
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Beispiel:
(1)
3x + y = 15
(2)
5x − 6y = 2
(1) nach y auflösen:
(3)
y = 15 − 3x
In (2) einsetzten:
5x − 6(15 − 3x) = 2
Ausrechnen:
5x − 90 + 18x = 2
23x = 92
⇒ x=4
Ergebnis für x in (3) einsetzen:
y = 15 − 3 · 4 = 3
Gleichsetzungsverfahren
Man löst beide Gleichungen nach derselben Variablen auf und setzt die so entstehenden
Ausdrücke gleich. Es entsteht wiederum eine Gleichung mit nur einer Variablen.
Beispiel:
(1)
3x + y = 15
(2)
5x − 6y = 2
Auflösung beider Gleichungen nach y:
(3)
y = 15 − 3x
(4)
−6y = 2 − 5x
Gleichsetzen:
⇒
5
1
y = x−
6
3
5
1
15 − 3x = x −
6
3
Auflösen nach x:
90 − 18x = 5x − 2
−23x = −92
⇒ x=4
Wert für x in (3) einsetzen:
y = 15 − 3 · 4 = 3
34
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Additionsverfahren
Man multipliziert eine der Gleichungen mit einem geeigneten Faktor, so daß eine
der Variablen herausfällt, wenn man die neuen Gleichungen addiert. Es entsteht wieder
eine Gleichung mit einer Variablen.
Beispiel:
(1)
3x + y = 15
(2)
5x − 6y = 2
Multiplikation von (1) mit 6:
(3)
18x + 6y = 90
(4)
5x − 6y = 2
Addition von (3) und (4):
18x + 5x + 6y − 6y = 90 + 2
⇒ x=4
23x = 92
Wert für x in (2) einsetzen:
5 · 4 − 6y = 2
−6y = −18
⇒ y=3
Lineare Gleichungssysteme (drei Gleichungen mit drei Variablen)
Zur Lösung dieser Gleichungssysteme werden ebenfalls Einsetz–, Gleichsetz– und
Additionsverfahren verwendet.
Beispiel:
(1) 4x + y − 2z = 0
(2) 3x + 2y + 3z = 16
(3) 5x − y + 3z = 12
(1) + (3) : (4) 9x + z = 12
(2) + 2 · (3) : (5) 13x + 9z = 40
−9(4) + (5) : (6) −68x = −68
35
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x=1
(4) z = 12 − 9x = 12 − 9 · 1 = 3
(1) y = 2z − 4x = 2 · 3 − 4 · 1 = 2
Probe:
4·1+2−2·3 = 4+2−6 = 0
√
3 · 1 + 2 · 2 + 3 · 3 = 3 + 4 + 9 = 16
√
5 · 1 − 2 + 3 · 3 = 5 − 2 + 9 = 12
√
2.5.3 Quadratische Funktionen
Eine Funktion der Form
y = ax2 + bx + c
a, b, c ∈R, a 6= 0
heißt quadratische Funktion.
Spezielle Formen:
1.
y = x2
Normalparabel
Eigenschaften:
• gerade Funktion
• Scheitelpunkt bei S = (0, 0)
• D=R
2.
f (D) = R+
0
surjektiv
y = x2 + q
Eigenschaften:
• Die Normalparabel ist um q auf der y-Achse verschoben
• gerade Funktion
• S = (0, q)
• D=R
f (D) = [q, ∞)
surjektiv
36
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8
7
y=x2+2
6
5
4
3
2
S=(0,2)
1
0
y=x2
−1
Scheitelpunkt S
−2
y=x2−4
−3
−4
S=(0,−4)
−5
−4
3.
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
y = x2 + px + q
Eigenschaften:
• Die entstehende Normalparabel ist sowohl in x– als auch in y-Richtung verschoben
• weder gerade noch ungerade
• Die Bestimmung des Scheitelpunktes anhand der gegebenen Form der Gleichung ist schwierig. Es läßt sich jedoch jede Gleichung der Form y = x2 + px+
q durch geeignete Umformung (quadratische Ergänzung) in die Gestalt
y = (x − xs )2 + ys
bringen. Der Scheitelpunkt ist dann gegeben durch
S = (xs , ys )
37
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Beispiel:
y = x2 − 6x + 7
⇔ y = x2 − 6x + 9 − 9 + 7
⇔ y = x2 − 6x + 9 − 2
⇔ y = (x − 3)2 − 2
• D=R
f (D) = [ys , ∞)
surjektiv
10
8
y=(x−2)2+4
6
4
S=(2,4)
y=x2
2
y=(x−2)2
0
S=(2,0)
−2
−4
4.
−2
0
2
4
6
y = ax2 + bx + c
Eigenschaften:
• Der Faktor a vor dem x2 bewirkt eine Streckung oder Stauchung der Normalparabel. Für Werte a < 0 ist die Parabel nach unten geöffnet.
38
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10
2
8
y=2x
6
y=0.5x2
4
y=x2
2
0
−2
−4
−6
y= −0.5x2
y= −x2
−8
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
• Auch hier läßt sich der Scheitelpunkt nach entsprechender quadratischer
Ergänzung direkt ablesen.
Beispiel:
y = − 12 x2 + 2x + 3
y = − 21 (x2 − 4x − 6)
| Faktor − 12 ausklammern
y = − 21 (x2 − 4x + 4 − 4 − 6)
| Quadratische Ergänzung
y = − 21 (x2 − 4x + 4 − 10)
y = − 21 ((x − 2)2 − 10)
y = − 21 (x − 2)2 + 5
| Faktor − 21 einmultiplizieren
S = (2, 5)
| Scheitelpunkt ablesen
39
8
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2.5.4 Lösen von quadratischen Gleichungen
Jede quadratische Gleichung der Form:
ax2 + bx + c = 0
läßt sich in die Normalform
x2 + px + q = 0
umwandeln.
Die Lösung einer in Normalform gegebener quadratischen Gleichung läßt sich mit der
p-q-Formel berechnen:
r p
p 2
x1/2 = − ±
−q
2
2
Eine quadratische Gleichung besitzt je nach dem Zahlenwert unter der Wurzel:
p
2 Lösungen
(1) ( )2 − q > 0
2
p
(2) ( )2 − q = 0
1 Lösungen
2
p
keine reellen Lösungen
(3) ( )2 − q < 0
2
Graphische Lösung quadratischer Gleichungen
1. Möglichkeit:
Man zeichnet die zugehörige Parabel und liest die Nullstellen ab.
2. Möglichkeit:
Man bringt das quadratische Glied allein auf eine Seite
x2 = −px − q
und zeichnet
y = x2
und
y = −px − q
Die Schnittstellen beider Kurven sind dann die Nullstellen.
40
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Beispiel:
y = x2 + x − 2
10
y=x2
8
6
(−2,4)
4
2
y=x2+x−2
(1,1)
0
y= −x+2
−2
−4
−6
−4
−2
0
2
4
6
2.5.5 Ganzrationale Funktionen
Eine Funktion der Form
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0
mit an , an−1 , · · · , a1 , a0 ∈R, an 6= 0
wird ganzrationale Funktion n-ten Grades oder auch Polynomfunktion n-ten Grades
genannt.
Beispiele:
• f (x) = 2x5 − 3x4 + 2x2 + 3
Polynom 5. Grades
• f (x) = x3 + 23 x2 − 5x + 4
Polynom 3. Grades in Normalform
• f (x) = 2x4 − 7x3 − 5x + 2
Polynom 4. Grades in Normalform
41
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250
f(x)=2x4−7x3−5x+2
200
150
100
50
0
−50
−100
f(x)=2x5−3x4+2x2+3
−150
2 2
f(x)=x3+ −
x −5x+4
−200
3
−250
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
Kurvenverlauf:
• Die Kurve verläuft durch den Punkt (0, a0 ).
• Die Funktion ist entweder nach unten oder nach oben beschränkt, falls n gerade ist:
an > 0: nach unten beschränkt
an < 0: nach oben beschränkt
• Die Funktion ist nicht beschränkt, falls n ungerade ist.
Bestimmung von Nullstellen:
(1) graphisch, indem man die Kurve der Funktion zeichnet und die Schnittpunkte an
der x-Achse abliest.
(2) Zwischen zwei x-Werten, für die der eine Funktionswert positiv und der andere
negativ ist, liegt mindestens eine Nullstelle. Daher gibt es die Möglichkeit der
Intervallschachtelung.
Beispiel:
f (x) = x3 − 2x + 3
f (−2) = −1,
⇒ im Intervall (-2,-1) liegt eine Nullstelle.
42
f (−1) = 4
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−2 < x0 < −1.5
−2 < x0 < −1.75
−2 < x0 < −1.85
−1.90 < x0 < −1.85
−1.90 < x0 < −1.88
−1.90 < x0 < −1.89
−1.895 < x0 < −1.890
f (−1.5) = 2.625
f (−1.75) = 1.140625
f (−1.85) = 0.368375
f (−1.9) = −0.059
f (−1.88) = 0.115328
f (−1.89) = 0.028731
f (−1.895) = −0.014992374
usw.
Merkregel:
Existiert bei Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten eine ganzzahlige
Nullstelle, so ist diese Teiler von a0 .
Beispiel:
f (x) = x3 + 6x2 + 21x + 26
26 hat die Teiler 1, 2, 3, 13, 26
f (1) = 54
f (−1) = 10
f (2) = 100
f (−2) = 0
f (13) = 3510
f (−13) = −1430
f (26) = 22204
f (−26) = −14040
⇒ x0 = −2 ist die Nullstelle.
(3) Für ein Polynom 2. Grades lassen sich die Nullstellen mit Hilfe der p-q-Formel
berechnen. Insbesondere läßt sich jedes Polynom der Form
f (x) = ax4 + bx2 + c
durch die Substitution t = x2 in die Form eines Polynoms 2. Grades bringen:
f (t) = at 2 + bt + c
Polynomdivision
Ist fn (x) ein Polynom n-ten Grades, und ist x0 eine Nullstelle von fn (x) ohne Rest,
so ist fn (x) durch (x − x0 ) teilbar:
fn (x) = (x − x0 ) · fn−1 (x)
Der Grad des Polynoms fn−1 ist um 1 niedriger als der von fn (x).
Man bestimmt fn−1 (x) durch Polynomdivision.
43
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Beispiel:
fn (x) = x3 − 6x2 + 11x − 6 hat die Nullstelle x0 = 1
(x3 − 6x2 + 11x − 6) : (x − 1) = x2 − 5x + 6
x2 (x − 1) −→ −(x3 − x2 )
−5x2 + 11x
−5x(x − 1) −→
−(−5x2 + 5x)
6x − 6
(6x − 1) −→
−(6x − 6)
0
⇒
f (x) = (x − 1) · (x2 − 5x + 6)
Die weiteren Nullstellen lassen sich dann mit der p-q-Formel berechnen.
Die Betragsfunktion
Die Funktion
f:
R→R+
x → f (x) = |x|
heißt Betragsfunktion.
Man erhält die graphische Darstellung des Betrages einer Funktion | f (x)|, indem
man alle Punkte der graphischen Darstellung von f (x) die unterhalb der x-Achse liegen
an dieser spiegelt.
44
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15
10
f(x)=|x+1|+|x−1|+|x|
5
f(x)=|x2−2|
0
f(x)=x2−2
−5
−6
−4
−2
0
2
4
6
2.5.6 Gebrochenrationale Funktionen
Jede Funktion, deren Funktionsgleichung sich auf die Form
f (x) =
g(x) an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
=
h(x)
bm xm + bm−1 xm−1 + · · · b1 x + b0
mit g(x), h(x) ganzrationale Funktionen n-ten, bzw. m-ten Grades
bringen läßt, heißt gebrochen rationale Funktion.
Es werden die beiden Fälle unterschieden:
n ≥ m: unecht gebrochenrational
n < m: echt gebrochenrational
Unecht gebrochenrationale Funktionen lassen sich durch Polynomdivision auf die Form
f (x) =
g(x)
g0 (x)
= f 0 (x) +
h(x)
h(x)
bringen, wobei
f 0 (x) ganzrationale Funktion
g0 (x)
echt gebrochenrationale Funktion.
h(x)
Definitionsbereich: i.A. R ohne die Nullstellen des Nenners.
45
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Definition:
Die reelle Zahl x p heißt Pol (bzw. Polstelle) einer gebrochenrationalen Funtion
f (x) = g(x)
h(x) , falls
h(x p ) = 0
und
g(x p ) 6= 0.
An den Polstellen ist der Funktionswert nicht definiert. In der Umgebung der Polstelle
wächst der Funktionswert über alle Grenzen.
Beispiel:
f (x) =
x2 − 1
x3 + x2 − 8x − 12
hat die Polstellen x p1 = 3 und x p2 = −2
g(3) = 9 − 1 = 8
g(−2) = 4 − 1 = 3
h(3) = 27 + 9 − 24 − 12 = 0
h(−2) = −8 + 4 + 16 − 12 = 0
6
x2−1
f(x)=
3
2
x +x −8x−12
4
2
0
Asymptote
Pol
Pol
−2
−4
−6
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
Nullstellen gebrochenrationaler Funktionen
Die reelle Zahl x0 ist die Nullstelle von f (x) =
g(x0 ) = 0
und
g(x)
h(x) ,
falls
h(x0 ) 6= 0
→ Reduktion auf Nullstellenbestimmung von ganzrationalen Funktionen.
46
10
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Asymptoten gebrochenrationaler Funktionen
Als Asymptote einer gebrochenrationalen Funktion f (x) bezeichnet man diejenige
Funktion a(x), an die sich der Graph der Funktion f (x) für x → ±∞ anschmiegt bzw.
annähert. Es gilt:
(1) Für m = n ist die Gerade f (x) =
an
bm
Asymptote
(2) Für n < m ist die x-Achse Asymptote
(3) Für n > m ist nach Polynomdivision f (x) =
Funktion f 0 (x) Asymptote.
g(x)
h(x)
0
(x)
= f 0 (x) + gh(x)
die ganzrationale
3.5
2
2x +3x+1
3
f(x)=
x2+1
2.5
2
Asymptote f(x) =
1.5
an
bm
=2
1
0.5
0
−0.5
−1
−50
−40
−30
−20
−10
0
47
10
20
30
40
50
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20
2
16
f(x) =
3x − 4x + 3
x−1
12
= 3x − 1 +
8
Asymptote
2
f(x) = 3x − 1
x−1
4
0
−4
Pol
−8
−12
−16
−20
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10
15
10
Asymptote
5
f(x) =
x2 + 2x
4
0
f(x) =
x3 − 4x + 8
Pol
4x − 8
2
−5
−10
−12
=
−8
x + 2x
4
+
−4
2
x−2
0
48
4
8
12
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2.5.7 Bruch- und Wurzelgleichungen
Bruchgleichungen
Bei Bruchgleichungen lassen sich die Brüche sofort beseitigen, indem man beide
Seiten mit dem Hauptnenner multipliziert.
Rechenweg:
1.
2.
3.
4.
5.
Bestimmung des Hauptnenners
Multiplikation mit dem Hauptnenner ergibt eine ganzrationale Gleichung
Klammern auflösen, ordnen, zusammenfassen
Gleichung nach x auflösen
Probe
Beispiel:
10 − x 13 + x 17 + 4x 7x + 26
+
+
=
3
7
21
x + 21
Hauptnenner links: 21
⇒
⇒
Hauptnenner rechts: (x+21)
⇒
⇒
⇒
⇒
Probe:
, x 6= −21
7 · 10 − 7x + 13 · 3 + 3x + 17 + 4x 7x + 26
=
21
x + 21
6(x + 21) 7x + 26
0=−
+
x + 21
x + 21
7x + 26
6=
x + 21
−6x − 126 + 7x + 26
0=
x + 21
x − 100
0=
x + 21
0 = x − 100 ⇒ x = 100
10 − 100 13 + 100 17 + 400
700 + 26 √
+
+
=6=
3
7
21
100 + 21
Wurzelgleichungen
Bei Wurzelgleichungen lassen sich die Wurzeln sofort beseitigen, indem man die
Gleichung entsprechend potenziert.
Rechenweg:
1.
2.
3.
4.
Wurzeln isolieren bzw. gleichverteilen
Potenzieren der Gleichung (notfalls mehrmals)
Klammern auflösen
Probe
49
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Beispiel:
√
x2 + 3x + 9 − x + 2 = 0
p
4
Quadrieren
Nochmals quadrieren
, x ≥ −2
√
x2 + 3x + 9 = x + 2
x2 + 3x + 9 = (x + 2)2
x2 + 3x + 9 = x2 + 4x + 4
x=5
⇒
⇒
⇒
⇒
√
√
√
√
4 2
5 +3·5+9 = 7 = 5+2
Probe:
2.5.8 Transzendente Funktionen
Exponentialfunktionen
Eine Funktion mit der Funktionsgleichung
f:
R→R+
x → f (x) = ax
a ∈R
heißt Exponentialfunktion.
Eigenschaften
• Alle Graphen haben einen gemeinsamen Punkt
(0, 1) für f (x) = ax
(0, −1) für f (x) = −ax
• Die Funktionen besitzen keine Nullstellen.
• Die x-Achse ist Asymptote.
• Bei der Funktion f (x) = b · ax verschiebt sich der y-Achsenschnittpunkt nach (0, b).
50
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Beispiel:
10
8
f(x) = e−x
f(x) = e2x
6
f(x) = ex
4
2
f(x) = 3ex
0
−2
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Die dargestellte Exponentialfunktionen mit der Eulerschen Zahl e als Basis spielen in
der Mathematik eine besondere Rolle (Siehe hierzu auch Abschnitt 3.9.1 auf Seite 71).
Die Eulersche Zahl e ist definiert als:
∞
e=
1
∑ n! ' 2, 718 281 828 . . .
n=0
Logarithmusfunktionen
Eine Funktion mit der Funktionsgleichung
f:
R+ →R
x → f (x) = loga x
heißt Logarithmusfunktion.
51
a ∈R
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Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der zugehörigen Exponentialfunktion.
Eigenschaften:
• Alle Graphen haben den gemeinsamen Punkt (1, 0).
• Alle Logarithmusfunktionen haben einen Pol an der Stelle x p = 0.
• Sie sind streng monoton.
2
f(x) = lb(x)
f(x) = ln(x)
f(x) = lg(x)
0
−2
−4
−6
−1
0
1
2
3
4
wobei
• log10 → lg
• loge → ln
• log2 → lb
(vergleiche auch Seite 18)
2.5.9 Exponentialgleichungen und logarithmische Gleichungen
Exponentialgleichungen
Exponentialgleichungen können nach entsprechender Umformung durch Exponentenvergleich, Logarithmierung oder Substitution gelöst werden.
Exponentenvergleich:
ax = a p
⇔
x= p
52
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Logarithmieren:
ax = b p
Substitution:
t = ax
b · a2x + c · ax + d = 0
b · t2 + c · t + d = 0
⇔
⇔
⇔
lg(ax ) = lg(b p )
x · lg(a) = p · lg(b)
x = p·lg(b)
lg(a)
→ Rückführung auf eine quadratische Gleichung
Logarithmische Gleichungen
1. Gleichungen der Form
haben die Lösung
loga f (x) = b ⇔ aloga f (x) = ab
f (x) = ab , f (x) > 0
2. Gleichungen der Form
haben die Lösung
loga f1 (x) = loga f2 (x)
f1 (x) = f2 (x)
3. Gleichungen der Form
loga f1 (x) = logb f2 (x)
1
logb f1 (x) =
log f2 (x)
loga b b
lassen sich umrechnen in
und damit auf den
2. Fall zurückführen
53
3 Trigonometrische Funktionen
3.1 Winkeleinheiten
Gradmaß
1 Vollkreis =
ˆ 360o
1o =
ˆ 600
10 =
ˆ 6000
Grad
Minuten
Sekunden
Bogenmaß
Das Bogenmaß ϕ̃ oder arcϕ ist das Verhältnis der Bogenlänge zum Radius am Kreisausschnitt mit dem Winkel ϕ:
r
ϕ
b
arcϕ = ϕ̃ =
b
r
Ein Vollkreis : ϕ̃ = 2π
Als Einheit des Bogenmaßes wird das Radiant (rad) verwendet. Da es das Verhältnis
zweier Strecken ist, ist das Bogenmaß im engeren Sinne jedoch einheitslos.
Umrechnung:
ϕ = ϕ̃ ·
180o
π
ϕ̃ = ϕ ·
in Grad,
54
π
180o
in rad
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3.2 Recht- und schiefwinklige Dreiecke
Rechtwinklige Dreiecke
Diejenige Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüber
liegt, heißt Hypotenuse, die beiden anderen Seiten, die den rechten Winkel bilden,
werden Katheten genannt.
Für das rechtwinklige Dreieck gilt der Satz des Pythagoras, der besagt, daß die
Summe der Quadrate der Katheten a und b gleich dem Quadrat der Hypotenuse c ist:
a2 + b2 = c2
Die Fläche A des rechtwinkligen Dreiecks berechnet sich nach der Formel
1
A = a·b
2
α
sin α =
a
c
cos α =
b
c
tan α =
a
b
cot α =
b
a
c
b
.
β
a
Schiefwinklige Dreiecke
Sinussatz (siehe auch Seite 69):
sin(α) =
C
γ
b
a
sin(β ) =
hc
A
.
α
hc
b
hc
a
β
B
c
Es ergibt sich der Sinussatz:
a
b
c
=
=
sin α
sin β
sin γ
55
⇒
sin(α) · b = sin(β ) · a
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Cosinussatz: (siehe auch Seite 70)
C
γ
a
hc
b
.
α
β
c
A
Es gilt:
a2 = b2 + c2 − 2bc cos α
b2 = a2 + c2 − 2ac cos β
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ
56
B
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3.3 Definition der trigonometrischen Funktion am
Kreis
y-Achse
r
ϕ
x
y
sin ϕ =
y
r
cos ϕ =
x
r
tan ϕ =
y
x
cot ϕ =
x
y
x-Achse
Speziell r = 1 (Einheitskreis):
y-Achse
sin ϕ =
y
=y
1
1
cos ϕ =
x
=x
1
ϕ
x
y
x-Achse
57
tan ϕ =
y
x
cot ϕ =
x
y
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3.4 Graphen der trigonometrischen Funktionen
Sinus:
f:
R→ [−1, 1]
x → f (x) = sin(x)
Cosinus:
f:
R→ [−1, 1]
x → f (x) = cos(x)
cos x
1
sin x
0.5
0
−0.5
−1
−3 π
−2 π
−1 π
0π
58
1π
2π
3π
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Tangens:
f : R \{(2n + 1) π2 | n ∈Z} →R
→ f (x) = tan(x)
x
10
f(x) = tan x
8
6
4
2
0
−2
−4
−6
−8
−10
−3 π
−2 π
0π
−1 π
1π
2π
3π
2π
3π
Cotangens:
f : R \{nπ| n ∈Z} →R
→ f (x) = cot(x)
x
10
8
f(x) = cot x
6
4
2
0
−2
−4
−6
−8
−10
−3 π
−2 π
−1 π
0π
59
1π
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Periodizität der trigonometrischen Funktionen
Periode 2π:
sin(x + k · 2π) = sin x
cos(x + k · 2π)= cos x
Periode π:
tan(x + k · π) = tan x
cot(x + k · π) = cot x
Spezielle Funktionswerte
x
0, 2π
π 5
, π
6 6
π 3
, π
4 4
π 2
, π
3 3
π
2
π
3
π
2
0o , 360o
30o , 150o
45o , 135o
60o , 120o
90o
180o
270o
1
2
1√
1√
2
2
1√
±
2
2
1√
3
2
1
0
-1
0
-1
0
∞
0
∞
0
∞
0
f (x)
sin(x)
0
cos(x)
1
±
tan(x)
0
±
cot(x)
∞
2
3
1√
3
3
√
± 3
1
2
√
± 3
±
±1
±1
±
1√
3
3
Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen
sin x = cos
cos x = sin
π
π2
2
−x
−x
tan x = cot
cot x = tan
2
tan x · cot x = 1
π
π2
1 + tan x =
60
2
−x
−x
1
cos2 x
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sin2 x + cos2 x = 1
tan x =
Trigonometrischer Pythagoras
sin x
cos x
cot x =
cos x
sin x
Man kann jede Funktion durch die anderen ausdrücken, z.B.:
cos x = ± √
cot x
1 + cot2 x
3.5 Additionstheoreme
E
α
AE
OE
AD + DE BC + DE
=
=
OE
OE
BC DE
=
+
OE OE
BC OC EC DE
·
+
·
=
OC OE OE EC
sin(α + β ) =
D
C
β
O
α
= sin α · cos β + sin β · cos α
A
B
Analog ergibt sich:
sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β
cos(α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β
tan α ± tan β
1 ∓ tan α tan β
cot α cot β ∓ 1
cot(α ± β ) =
cot β ± cot α
tan(α ± β ) =
61
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Vielfache eines Winkels
Aus den Additionstheoremen ergibt sich für α = β :
sin(2α) = 2 sin α cos α
cos(2α) = cos2 α − sin2 α
tan(2α) =
2 tan α
1 − tan2 α
cot(2α) =
cot2 α − 1
2 cot α
Setzt man in den Additionstheoremen β = 2α, 3α, . . . so ergeben sich entsprechende
Formeln für sin(3α), sin(4α) usw.
→ Formelsammlung
Produkte trigonometrischer Funktionen
1
1
cos(α − β ) − cos(α + β )
2
2
1
1
cos α · cos β =
cos(α − β ) + cos(α + β )
2
2
1
1
sin α · cos β =
sin(α − β ) + sin(α + β )
2
2
sin α · sin β =
Potenzen trigonometrischer Funktionen
sin2 x =
1 − cos(2x)
2
cos2 x =
1 + cos(2x)
2
sin3 x =
3 sin x − sin(3x)
4
cos3 x =
3 cos x + cos(3x)
4
sin4 x =
3 − 4 cos(2x) + cos(4x)
8
cos4 x =
3 + 4 cos(2x) + cos(4x)
8
62
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3.6 Goniometrische Gleichungen
Die Auflösung der goniometrischen Gleichungen (Gleichungen, die die Winkelfunktionen enthalten) kann man in 5 Schritte aufgliedern:
1.
2.
3.
4.
5.
Vereinheitlichung der Argumente
Vereinheitlichung der Funktionstypen
Substitution der übriggebliebenen Winkelfunktion
Lösen der algebraischen Gleichung und anschließende Berechnung des Winkels
Probe
Beispiel:
Für
π
sin x + sin x +
=0
2
wird eine Lösung im Hauptwertebereich
x ∈ [0, 2π) bzw.
x ∈ [0◦ , 360◦ )
gesucht:
Schritt 1:
nach dem Additionstheorem gilt:
sin x + sin x cos π2 + cos x sin π2 = 0
⇒
sin x + cos x = 0
Schritt 2:
⇒
⇒
sin x = − cos x
tan x = −1
Schritt 3 und 4:
⇒
x = 135◦ oder 315◦
Schritt 5:
√
sin 135◦ + sin(135◦ + 90◦ ) = 0
√
sin 315◦ + sin(315◦ + 90◦ ) = 0
⇒ x = 135◦ bzw. x = 43 π und x = 315◦ bzw. x = 74 π sind Lösungen im Hauptwertebereich;
oder allgemein:
3
7
x = π + 2kπ und x = π + 2kπ
k ∈Z
4
4
63
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3.7 Zyklometrische Funktionen
Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen heißen zyklometrische
Funktionen.
Man bezeichnet mit y = arcsin x die Umkehrfunktion zu der auf [− π2 , π2 ] eingeschränkten
Funktion y = sin x und nennt arcsin den arcussinus von x:
f:
π π
[−1, 1] → [− , ]
2 2
x → y = arcsin x
Umkehrfunktion zu y = cos x:
f:
[−1, 1] → [0, π]
x → y = arccos x
Umkehrfunktion zu y = tan x:
f:
π π
R→ [− , ]
2 2
x → y = arctan x
f:
R→ [0, π]
Umkehrfunktion zu y = cot x:
x → y = arccot x
64
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Es gilt also:
arcsin(sin x) = x
arccos(cos x) = x
arctan(tan x) = x
arccot (cot x) = x
und
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x
tan(arctan x) = x
cot(arccot x) = x
Graphische Darstellung:
0.5 π
y = arcsin x
y = sin x
0
−0.5 π
−0.5 π
0
65
0.5 π
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π
y = arccos x
0.5 π
y = cos x
0
−1
−1
0.5 π
0
π
π
y = tan x
0.5 π
y = arctan x
0
−0.5 π
π
π
−0.5 π
0
66
0.5 π
π
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π
y = cot x
y = arcot x
0.5 π
0
−0.5 π
π
π
−0.5 π
0.5 π
0
π
Spezielle Werte:
f (x)\x
-1
π
2
−
1√
3
2
−
−
π
3
arcsin
−
arccos
π
5
π
6
f (x)\x
√
− 3
arctan
−
arccot
5
π
6
π
3
1√
2
2
−
1
2
0
1
2
1√
2
2
1√
3
2
1
π
4
−
π
6
0
π
6
π
4
π
3
π
2
2
π
3
π
2
π
3
π
4
π
6
0
1√
3
3
0
1√
3
3
1
π
6
0
π
6
π
4
π
3
2
π
3
π
2
π
3
π
4
π
6
−
3
π
4
-1
−
π
4
3
π
4
−
−
67
√
3
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Es gilt:
arcsin x + arccos x =
π
2
arccot x + arctan x =
π
2
arccot x = arctan
1
x
arcsin x = arctan √
∀−1 ≤ x ≤ 1
∀x>0
x
1 − x2
x
arccot x = arccos √
1 + x2
x
arctan x = arcsin √
1 + x2
x
arccos x = arccot √
1 − x2
∀ |x| < 1
∀|x| < 1
Arcusfunktionen negativer Argumente:
y = arcsin(−x) = − arcsin x
y = arccos(−x) = π − arccos x
y = arctan(−x) = − arctan x
y = arccot (−x) = π − arccot x
Die zyklometrischen Additionstheoreme folgen aus den Additionstheoremen für trigonometrische Funktionen:





arcsin z
∀ x12 + x22 ≤ 1 ∨ x1 x2 ≤ 0





arcsin x1 + arcsin x2 =
π − arcsin z
∀ x12 + x22 > 1 ∧ x1 > 0 ∧ x2 > 0








 −π − arcsin z ∀ x12 + x22 > 1 ∧ x1 < 0 ∧ x2 < 0
mit z = x1
q
1 − x22 + x2
q
1 − x12
weitere Formeln: Formelsammlung
68
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3.8 Berechnungen am Dreieck
3.8.1 Rechtwinklige Dreiecke
a
c
a
tan α =
b
sin α =
α
c
a2 + b2 = c2
b
b
c
b
cot α =
a
1
A = ab
2
cos α =
.
β
a
sin β =
b
c
cos β =
a
···
c
3.8.2 Schiefwinklige Dreiecke
Sinussatz:
C
hc
b
hc
sin β =
a
γ
sin α =
b
a
hc
A
.
α
⇒ b sin α = a sin β
β
B
c
Es ergibt sich:
a
b
c
=
=
sin α
sin β
sin γ
69
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Cosinussatz:
C
γ
a2 = h2c + q2
a
hc
h2c = b2 − p2
b
.
|
α
p
β
B
c
A
|
q
|
⇒ a2 = b2 + q2 − p2
|
p = c+q
⇒ a2 = b2 + (c + q)2 − q2
= b2 + c2 + 2cq + q2 − q2
= b2 + c2 + 2cq
da
q
= cos(180◦ − α)
b
= − cos α
→ q = −b cos α
a2 = b2 + c2 − 2bc cos α
⇒
b2 = a2 + c2 − 2ac cos β
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ
70
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3.9 Näherungsformel für trigonometrische Funktionen
x3 x5 x7
+ − ±...
x ∈R
3! 5! 7!
x2 x4 x6
1− + − ±...
x ∈R
2! 4! 6!
2
17 7
π
1
x +...
x ∈R, |x| <
x + x3 + x5 +
3
15
315
2
1 1
1 3
2 5
− x− x −
x −...
x ∈R, 0 < |x| < π
x 3
45
945
1 x3 1 · 3 x5 1 · 3 · 5 x7
x+ · +
· +
· +...
x ∈R, |x| < 1
2 3 2·4 5 2·4·6 7
π
1 x3 1 · 3 x5
−x−
−
· −...
x ∈R, |x| < 1
2
2 3 2·4 5
x3 x5 x7
x− + − ±...
x ∈R, |x| ≤ 1
3
5
7
π
x3 x5 x7
−x+ − + ±...
x ∈R, |x| ≤ 1
2
3
5
7
sin x = x −
cos x =
tan x =
cot x =
arcsin x =
arccos x =
arctan x =
arccot x =
Für kleine Winkel gilt insbesondere:
sin x ≈ x ≈ tan x
cos x ≈ 1
3.9.1 Zusammenhang der trigonometrischen Funktionen mit der
Exponentialfunktion
Eulersche Formeln:
y
= e jϕ
− jϕ
y =e
= cos ϕ + j sin ϕ
= cos ϕ − j sin ϕ
71
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Mit Hilfe der Eulerschen Formeln lassen sich komplexe Zahlen relativ einfach darstellen:
Im(z)
II
I
z 1= a 1+ jb 1
b1
r1
ϕ2
a2
ϕ1
Re(z)
a1
r2
III
IV
b2
z2 = a 2+ jb 2
z = a + jb
= r cos ϕ + jr sin ϕ
= r(cos ϕ + j sin ϕ)
= re jϕ
a- = cosϕ
r
b- = sinϕ
r
b- = tan ϕ
a
r 2 = a2 + b2
Kartesische Form
Goniometrische Form
Exponentialform
Bei der Überführung einer komplexen Zahl in die goniometrische Form oder in die
Exponentialform sind besonders bei der Bestimmung des Winkels ϕ die entsprechenden
Vorzeichen zu beachten:
a=0
a
b
z liegt im
ϕ liegt zwischen
tan ϕ
positiv
positiv
I. Quadranten
0◦ und 90◦
positiv
negativ
positiv
II. Quadranten
90◦ und 180◦
negativ
negativ
negativ
III. Quadranten
180◦ und 270◦
positiv
positiv
negativ
IV. Quadranten
270◦ und 360◦
negativ
⇒
ϕ = 90◦
ϕ = 270◦
falls b > 0
falls b < 0
72
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⇒
b=0
Hauptwertebereich für
ϕ = 0◦
ϕ = 180◦
falls a > 0
falls a < 0
ϕ:
bzw.
0◦ bis 360◦
0 bis 2π
Multiplikation komplexer Zahlen in Exponentialform
Seien z1 = r1 e jϕ1 und z2 = r2 e jϕ2
z1 z2 = r1 e jϕ1 r2 e jϕ2
= r1 r2 e jϕ1 e jϕ2
= r1 r2 e j(ϕ1 + jϕ2 )
= r1 r2 e j(ϕ1 +ϕ2 )
Beispiel:
Im(z)
◦
z1 = 3 e j45
z
◦
z2 = 1.5 e j15
z = z1 z2
◦
= 3 e j45 1.5 e j15
60°
◦
4.5
◦
◦
= 3 · 1.5 e j45 e j15
15° z1
3 45°
z2
1.5
⇒ z = 4.5 e j60
◦
Re(z)
15°
Der Zeiger z1 wird um den Winkel ϕ = 15◦ gedreht und um den Faktor 1.5 gestreckt.
Division komplexer Zahlen in Exponentialform
z1 und z2 seien definiert wie gehabt, dann gilt:
z1 r1 e jϕ1
r1
= e j(ϕ1 −ϕ2 )
=
jϕ
z2 r2 e 2
r2
73
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Beispiel:
Im(z)
◦
z1
120°
5
z2
45° z 2.5
2
45°
75°
◦
z1 = 5 e j120 z2 = 2.5 e j45
z1
z =
z2
◦
5 e j120
=
◦
2.5 e j45
5 j(120◦ −45◦ )
=
e
2.5
◦
⇒ z = 2 e j75
Re(z)
Die komplexe Zahl z1 wird um den Winkel ϕ = −45◦ gedreht und um den Faktor r2 = 2.5
gestaucht.
Potenzieren komplexer Zahlen in Exponentialform
z
= re jϕ
⇒ zn = (re jϕ )n
= rn (e jϕ )n
⇒ zn = rn e jnϕ
= rn (cos(nϕ) + j sin(nϕ))
Beispiel:
√
z5 = (1 − j 3)5
umschreiben in Exponentialform:
q
√
√ 2 √
r = 12 + 3 = 1 + 3 = 4 = 2
√
√
− 3
tan ϕ =
=− 3
ϕ 0 = −60◦
1
a > 0, b < 0 ⇒ IV. Quadrant
⇒ ϕ = 360◦ + ϕ 0 = 300◦
√
◦
⇒ z = 1 − j 3 = 2e j300
also
◦
z5 = (2e j300 )5 = 25 e j1500
⇒
◦
z5 = 32 e j60
74
◦
|1500◦ = 4 · 360◦ + 60◦
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3.10 Die Hyperbelfunktionen
y = sinh x =
ex − e−x
2
D=R
W=R
y = cosh x =
ex + e−x
2
D=R
W = [1, ∞)
y = tanh x =
ex − e−x
sinh x
= x
cosh x e + e−x
D=R
W = (−1, 1)
D = R\{0}
W = R\[−1, 1]
cosh x ex + e−x
= x
y = coth x =
sinh x
e − e−x
Graphische Darstellung:
4
4
3
3
2
2
1
y = coth x
1
y = cosh x
y = sinh x
0
0
−1
−1
−2
−2
−3
−3
−2
−1
0
1
2
−3
−3
3
y = tanh x
−2
Beziehungen zwischen den Hyperbelfunktionen:
ex = sinh x + cosh x
e−x = cosh x − sinh x
cosh2 x − sinh2 x = 1
tanh x coth x = 1
75
−1
0
1
2
3
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sinh (−x) = − sinh x
ungerade Funktion
cosh (−x) = cosh x
gerade Funktion
tanh (−x) = − tanh x
ungerade Funktion
coth (−x) = − coth x
ungerade Funktion
Additionstheoreme
sinh (x ± y) = sinh x cosh y ± cosh x sinh y
cosh (x ± y) = cosh x cosh y ± sinh x sinh y
sinh (2x) = 2 sinh x cosh x
cosh (2x) = cosh2 x + sinh2 x
Beziehung zwischen Einheitskreis und Hyperbelfunktionen
1.5
1.5
cot t
1
P
coth t
1
P
sinh t
tan t
0.5
0.5
tanh t
sin t
0
0
−0.5
−0.5
−1
−1
cos t
cosh t
−1.5
−1.5
⇒
−1
−0.5
0
0.5
1
−1.5
1.5
−2
−1
0
1
x = cost
x = cosht
y = sint
y = sinht
x2 + y2 = cos2 t + sin2 t = 1
x2 − y2 = cosh2 t − sinh2 t = 1
x2 + y2 = 1
⇒
Kreisgleichung
x2 − y2 = 1
Hyperbelgleichung
76
2
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3.11 Die Areafunktionen
Um die Umkehrfunktion der Hyperbelfunktionen zu bilden, führt man ein weiteres neues
Funktionssymbol ein:
Die Umkehrfunktion zu y = sinh x ist:
y = arsinh x
D=R
W=R
(gelesen: area sinus hyperbolicus)
Entsprechend:
y = arcosh x
y = artanh x
y = arcoth x
D = [1, ∞)
D = (−1, 1)
D = (−∞, −1) ∪ (1, ∞)
W = [0, ∞)
W=R
W = R\0
Graphische Darstellung:
3
3
2
2
1
1
0
0
−1
y = arcosh x
y = arsinh x
y = artanh x
−1
−2
−3
−4
y = arcoth x
−2
−2
0
2
−3
−4
4
−2
Es gilt:
arsinh (sinh x) = sinh (arsinh x) = x
arcosh (cosh x) = cosh (arcosh x) = x
artanh (tanh x) = tanh (artanh x) = x
arcoth (coth x) = coth (arcoth x) = x
77
0
2
4
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Wichtige Zusammenhänge:
p
y = arsinh x = ln(x + x2 + 1)


√


 ln(x + x2 − 1) x ≥ 1, y > 0
y = arcosh x =

√


 ln(x − x2 − 1) x ≥ 1, y < 0
1
1+x
y = artanh x = ln
|x| < 1
2
1−x
1+x
1
y = arcoth x = ln
|x| > 1
2
x−1
78
4 Einführung in die Vektorrechnung
4.1 Geometrie von Vektoren
In der Ebene und im Raum lassen sich Vektoren geometrisch als gerichtete Strecken oder
Pfeile darstellen. Die Richtung des Vektors entspricht dann der Pfeilrichtung, sein Betrag
der Pfeillänge.
A: Anfangspunkt
B
B: Endpunkt
➜
v
v: Länge des Vektors
A
~v: Vektor mit seiner Richtung
Vektoren heißen äquivalent, wenn ihre Länge und Richtung überein stimmen:
➜
u
äquivalente Vektoren
➜
v
➜
w
Da man Vektoren meist ausschließlich durch Länge und Richtung charakterisiert,
betrachtet man äquivalente Vektoren als gleich, auch wenn sie verschiedene Anfangsund Endpunkte haben:
~v = ~w =~z
Die Summe ṽ + w̃ zweier Vektoren ~v und ~w ist der folgendermaßen bestimmte Vektor:
Man ordne ~v und ~w so an, daß der Anfangspunkt von ~w mit dem Endpunkt von ~v
zusammenfällt. Der Vektor ~v + ~w entspricht dann dem Pfeil vom Anfangspunkt von ~v
79
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zum Endpunkt von ~w.
➜
w
➜
➜
w
v
➜
➜
v
➜
v +w
➜
➜
w +v
➜
➜
➜
v +w
v
➜
w
Summe ~v + ~w
~v + ~w = ~w +~v
Der zu ~v negative Vektor −ṽ ist der Vektor mit dem gleichen Betrag wie ~v, aber
entgegengesetzter Richtung:
|
➜
➜
-v
v
Für diesen Vektor gilt: ~v + (−~v) = ~0
Die Differenz ṽ − w̃ ist dann definiert als:
~v − ~w =~v + (−~w)
➜
-w
➜
➜
➜
➜
➜
v- w
v
➜
v
v- w
➜
➜
-w
w
➜
w
Haben~v und ~w denselben Anfangspunkt, so stellt der vom Endpunkt von ~w zum Endpunkt
von ~v gehende Vektor die Differenz ~v − ~w dar.
Das Produkt kṽ, k ∈ R ist der Vektor, dessen Länge sich als das |k|-fache der
Länge von ~v ergibt; seine Richtung stimmt für k > 0 mit der Richtung von ~v überein, für
k < 0 ist sie entgegengesetzt.
|
➜
➜
-3v
2v
| ➜
0.5 v
|
➜
➜
-v v
80
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Ein Vektor der Gestalt k~v heißt skalares Vielfaches von ~v. Skalare Vielfache sind
parallele Vektoren.
Vektoren im Koordinatensystem
Bei der Behandlung von Vektoren erweist sich die Einführung rechtwinkliger Koordinaten oft als zweckmäßig.
Ebene (2–dimensionaler Raum)
Sei ~v ein Vektor in der Ebene, dessen Anfangspunkt im Ursprung eines rechtwinkligen Koordinatensystems liegt. Die Koordinaten (x1 , y1 ) seines Endpunktes sind die
Komponenten von ṽ, was man als ~v = (x1 , y1 ) schreibt.
y
y
1
➜
v
x
0
x
1
Die Vektoraddition und Multiplikation mit einem Skalar lassen sich einfach auf die
Komponentenschreibweise übertragen:
y
➜
y
➜
v +w
~v = (x1 , y1 )
➜
~w = (x2 , y2 )
v
1
➜
y
➜
v +w
➜
➜
w
w
2
~v + ~w = (x1 + x2 , y1 + y2 )
~v − ~w = (x1 − x2 , y1 − y2 )
➜
v
x
x
x
1
y
y
➜
➜
k .v
2
y
2
➜
v- w
➜
y -y
k ∈R
y
➜
v- w
➜
1
k~v = (kx1 , ky1 )
2
k .y
w
1
y
➜
x
v
2
x -x
1
x
1
1
➜
1
k .v
➜
v
x
x
2
81
1
k .x
x
1
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Raum (3–dimensionaler Raum)
Analog zur Beschreibung von Vektoren in der Ebene durch Zahlenpaare kann man
Vektoren im Raum nach der Einführung eines rechtwinkligen Koordinatensystems, durch
Tripel reeller Zahlen darstellen:
z
z
1
P(x1 , y1 , z1 ) Punkt
➜
~v = (x1 , y1 , z1 ) Vektor vom
Ursprung zum Punkt P
v
y
x
y
1
1
x
Liegt der Anfangspunkt eines Vektors ~v im Ursprung, so nennt man die Koordinaten des
Endpunktes wieder Komponenten von ṽ:
~v = (x1 , y1 , z1 )
Es gilt dann:
~v = (x1 , y1 , z1 )
~w = (x2 , y2 , z2 )
~v + ~w = (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 )
~v − ~w = (x1 − x2 , y1 − y2 , z1 − z2 )
k~v = (kx1 , ky1 , kz1 )
k ∈R
Der Anfangspunkt eines Vektors muß nicht unbedingt im Koordinatenursprung liegen.
−−→
Für den Vektor ~v = P1 P2 mit dem Anfangspunkt P1 = (x1 , y1 , z1 ) und dem Endpunkt P2 =
(x2 , y2 , z2 ) ist
−−→
~v = P1 P2 = (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 )
82
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z
P1 (x1 ,y1 ,z1 )
−−→ −−→
−−→
P1 P2 = OP2 − OP1
−−→
P1 P2 = (x2 , y2 , z2 ) − (x1 , y1 , z1 )
−−→
P1 P2 = (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 )
PP
1 2
OP1
OP2
P2 (x2 ,y2 ,z2 )
y
0
x
4.2 Norm (Betrag) eines Vektors
Die Norm eines Vektors ũ, kurz |~u|, ist seine Länge. Nach dem Satz des Pythagoras gilt
für den ebenen Vektor:
y
➜
y
~u = (x1 , y1 )
u
1
➜
|u|
|~u| =
x
0
q
x12 + y21
x
1
Ist ~u = (x1 , y1 , z1 ) ein Vektor im Raum, so folgt durch zweifache Anwendung des Satzes
von Pythagoras:
z
z
1
2
OR = x12 + y21
P
➜
u
2
|u|
0
.
x
2
|~u|2 = OR + RP
➜
.y
.R
RP = z1
y
1
|~u| =
1
q
x12 + y21 + z21
x
Ein Vektor der Norm 1 heißt Einheitsvektor ẽ.
Der Abstand zweier Punkte P1 = (x1 , y1 , z1 ) und P2 = (x2 , y2 , z2 ) im Raum ist die Norm
−−→
des Verbindungsvektors P1 P2 :
q
d = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2
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Allgemein gilt:
Für ~v 6= ~0 ist
1
~v ein Einheitsvektor.
|~v|
Einheitsvektoren entlang der Koordinatenachse
z
~i = (1, 0, 0)
~j = (0, 1, 0)
1
➜
k
~k = (0, 0, 1)
➜
j
➜
1
y
i
1
⇒~v = (x1 , y1 , z1 )
= x1~i + y1~j + z1~k
x
4.3 Skalarprodukt von Vektoren
Seien~u und~v verschiedene Vektoren, die den gleichen Anfangspunkt besitzen. Als Winkel
zwischen ~u und~v bezeichnet man den durch die gestrichelte Strecken ~u und~v eingeschlossenen Winkel θ , der die Ungleichung 0 ≤ θ ≤ π erfüllt.
➜
u
Θ
➜
u
Θ
Θ
|
➜
➜
v
➜
v
u
➜
v
➜
u
Θ
84
➜
v
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Definition:
Seien ~u und ~v zwei- oder dreidimensionale Vektoren, die den Winkel θ einschließen. Das Skalarprodukt oder innere euklidische Produkt ~u~v ist definiert als:




 |~u||~v| cos θ ,~u 6= ~0 ∧~v 6= ~0
~u~v =




0
,~u = ~0 ∨~v = 0
➜
u
Θ
➜
|u| cosΘ
➜
v
Berechnung des Skalarprodukts durch die Komponenten:
Seien ~u = (x1 , y1 , z1 ) und ~v = (x2 , y2 , z2 ) von Null verschiedene Vektoren, die den
Winkel θ einschließen. Nach dem Cosinussatz (a2 = b2 + c2 − 2bc cos α) gilt dann:
z
P1 (x1 ,y1 ,z1 )
➜
PP
1 2
u
➜
Θ
v
P2 (x2 ,y2 ,z2 )
y
x
|P~1 P2 |2 = |~u|2 + |~v|2 − 2|~u||~v| cos θ
Umrechnung ergibt:
~u~v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
Winkelbestimmung:
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Für von ~0 verschiedene Vektoren ~u 6= 0 und ~v 6= 0 gilt:
cos θ =
~u~v
|~u||~v|
Orthogonale Vektoren:
Zueinander senkrechte Vektoren heißen orthogonal. Zwei Vektoren ~u, (~u 6= 0) und
~v, (~v 6= 0) sind genau dann orthogonal, wenn ~u~v = 0 ist.
Schreibweise:
~u⊥~v
Orthogonalprojektionen:
In einer Reihe von Anwendungen interessiert man sich für die Zerlegung eines Vektors
~u in einen zu einem vorgegebenen Vektor ~a parallelen und einem dazu senkrechten
Summanden.
➜
u
➜
➜
➜
u
u
u
➜
➜
a
a
➜
➜
u
u
➜
u
➜
u
➜
➜
u
a
Der Vektor ~uk heißt Vektorkomponente von ũ entlang ã. Der Vektor ~u⊥ heißt Vektorkomponente von ũ senkrecht zu ã.
Es gilt:
~uk =
~u~a
~a
|~a|2
~u⊥ = ~u −~uk = ~u −
~u~a
~a
|~a|2
Die Norm der Vektorkomponenete erhält man nach:
|~u~a|
= |~u|| cos θ |
|~a|
|~u⊥ | = |~u| sin θ
|~uk | =
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➜
➜
u
u
➜
➜
|u|
➜
|u| sin Θ
|u|
➜
|u| sin Θ
Θ
➜
Θ
a
− |u| cosΘ
➜
➜
|u| cosΘ
0≤θ <
π
2
π
2
➜
a
≤θ <π
4.4 Kreuzprodukt
Die Aufgabenstellung ist zu zwei gegebenen räumlichen Vektoren einen Dritten zu
finden, der auf den beiden Anderen senkrecht steht.
Definition:
Sind ~u = (x1 , y1 , z1 ) und ~v = (x2 , y2 , z2 ) Vektoren im Raum, so ist ihr Kreuzprodukt ũ × ṽ definiert durch:
~u ×~v = (y1 z2 − z1 y2 , z1 x2 − x1 z2 , x1 y2 − x2 y1 )
Es gilt:
~u ×~v = −(~v ×~u)
Die Richtung von ~u ×~v ergibt sich nach der
Rechten-Hand-Regel:
➜
➜
ux v
➜
u
Θ
Zeigen die Finger der rechten Hand
von ~u nach ~v, so weist der Daumen
in Richtung ~u ×~v
➜
v
Geometrische Interpretation des Kreuzproduktes
Seien ~u und ~v Vektoren im Raum. Die Norm ihres Kreuzproduktes ~u ×~v hat eine
nützliche geometrische Bedeutung.
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Es gilt:
|~u ×~v| = |~u| · |~v| · sin θ
v C
➜
➜
A = |~u| · |~v| · sin θ
Fläche des Parallelogramms
|v|
A
Θ
➜
|v| sin Θ
➜
|u|
➜
u
B
Sind ~u und ~v Vektoren im Raum, so entspricht |~u ×~v| dem Flächeninhalt des von ihnen
aufgespannten Parallelogramms.
Enstsprechend ist der Flächeninhalt des Dreicks ABC bestimmt durch:
AABC =
1
· |~u| · |~v| · sin θ
2
88