Wahrscheinlichkeitsrechnung Ziegenproblem, Monty-Hall

Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem,
Drei-Türen-Problem
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Theorie
Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem,
Drei-Türen-Problem
Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem,
Drei-Türen-Problem
Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem,
Drei-Türen-Problem
Klassische Wahrscheinlichkeit
Definition:
Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, bei dem die
verschiedenen möglichen Ausgänge bereits im Voraus bekannt
sind, aber der tatsächliche Ausgang des Vorganges dem Zufall
überlassen ist.
Beispiele:
1. Werfen einer Münzen
2. Roulette spielen
3. Ziehen einer Jasskarte
4. Bestimmen des Alters, des Geschlechts oder der
Blutgruppe von einer zufällig ausgewählten Person
Klassische Wahrscheinlichkeit
Definition:
Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, bei dem die
verschiedenen möglichen Ausgänge bereits im Voraus bekannt
sind, aber der tatsächliche Ausgang des Vorganges dem Zufall
überlassen ist.
Klassische Wahrscheinlichkeit
Definition:
Ein Ausgang eines Zufallsexperimentes nennt man Ergebnis.
Klassische Wahrscheinlichkeit
Definition:
Die Menge Ω aller Ergebnisse eines Zufallsexperiments
zusammen heisst Ergebnisraum (bzw. Stichprobenraum).
Ein beliebiges Ergebnis aus Ω wird mit ω bezeichnet.
Relative und absolute Häufigkeit
Einstiegsbeispiel / -experiment:
Ein Würfel wird 240 mal geworfen. Wie häufig kommt die
Augenzahl ”6” vor?
n
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
H(6)
h(6)
n
130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240
H(6)
h(6)
Klassische Wahrscheinlichkeit
Definition:
Die Menge Ω aller Ergebnisse eines Zufallsexperiments
zusammen heisst Ergebnisraum (bzw. Stichprobenraum).
Ein beliebiges Ergebnis aus Ω wird mit ω bezeichnet.
Beispiele (Fortsetzung):
1. Ω = {Kopf, Zahl}
2. Ω = {0, 1, 2, . . . , 36}
3. Ω = {Schellen Ass, . . . , Eichel 6}
4. Ω = {unendlich kleine Abstufung möglich} = R+
Relative und absolute Häufigkeit
Graphische Darstellung:
Relative und absolute Häufigkeit
Definition:
Die absolute Häufigkeit eines Ergebnisses ist die Anzahl
eines gewissen Ergebnisses, die bei einer gewissen Anzahl von
Wiederholungen eines Zufallsexperimentes ermittelt wurde.
Sie wird mit H(ω) bezeichnet.
Relative und absolute Häufigkeit
Definition:
Die relative Häufigkeit eines Ergebnisses ist der Anteil der
Versuche eines Zufallsexperimentes, bei dem ein gewisses
Ergebnis eingetreten ist.
Sie wird mit h(ω) bezeichnet.
Formal wird die relative Häufigkeit folgendermassen
berechnet:
absolute Häufigkeit
relative Häufigkeit =
Anzahl der Versuche des Zufallsexperimentes
Relative und absolute Häufigkeit
intuitive Definition:
Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist eine Zahl, die
angibt, wie gross die ”Chance” ist, dass dieses Ergebnis
eintrifft. Sie wird mit P (ω) bezeichnet.
Relative und absolute Häufigkeit
intuitive Definition:
Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist eine Zahl, die
angibt, wie gross die ”Chance” ist, dass dieses Ergebnis
eintrifft. Sie wird mit P (ω) bezeichnet.
Definition:
Mit P bezeichnen wir eine Wahrscheinlichkeitsfunktion, die
jedem Ergebnis ω ∈ Ω eine Zahl zuweist.
Relative und absolute Häufigkeit
Satz:
Gesetz der grossen Zahlen
Wird ein Zufallsexperiment sehr oft wiederholt, so liegt die
relative Häufigkeit h(ω) eines Ergebnisses ω sehr nahe bei
P (ω).
Relative und absolute Häufigkeit
Satz:
Gesetz der grossen Zahlen
Wird ein Zufallsexperiment sehr oft wiederholt, so liegt die
relative Häufigkeit h(ω) eines Ergebnisses ω sehr nahe bei
P (ω).
Einstiegsbeispiel / -experiment (Fortsetzung):
Relative und absolute Häufigkeit
Exkurs:
Mengenlehre
Cantor erklärte den Begriff 1895 folgendermassen:
”Eine Menge ist die Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens
zu einem Ganzen.”
Relative und absolute Häufigkeit
Exkurs:
Mengenlehre
Definition:
Die Objekte, aus denen eine Menge zusammengesetzt ist, nennt
man Elemente.
Eine Menge, die keine Elemente enthält, wird leere Menge
genannt.
{} = ∅
Relative und absolute Häufigkeit
Exkurs:
Mengenlehre
Definition:
Eine Menge A heisst Teilmenge von B,
wenn jedes Element der Menge A auch ein
Element der Menge B ist.
A⊂B (sprich: A ist Teilmenge von B)
Eine Menge B heisst Obermenge von A,
wenn jedes Element der Menge A auch ein
Element der Menge B ist.
B⊃A (sprich: B ist Obermenge von A)
Relative und absolute Häufigkeit
Exkurs:
Mengenlehre
Definition:
Die Vereinigung (bzw. Vereinigunsmenge) zweier Mengen A und B besteht
aus allen Elementen, welche in A oder in
B vorkommen.
A∪B (sprich: A vereinigt B)
Relative und absolute Häufigkeit
Exkurs:
Mengenlehre
Definition:
Der Durchschnitt (bzw. die Durchschnittsmenge) zweier Mengen A und B
besteht aus allen Elementen, welche in A
und in B vorkommen.
A∩B (sprich: A geschnitten B)
Relative und absolute Häufigkeit
Exkurs:
Mengenlehre
Definition:
Die Differenz (bzw. Differenzmenge)
der Menge A ohne der Menge B besteht
aus allen Elementen der Menge A, welche
aber nicht in der Menge B vorkommen.
A\B (sprich: A ohne B
Relative und absolute Häufigkeit
Exkurs:
Mengenlehre
Definition:
Das Komplement (bzw. die Komplementmenge) der Menge A ist gleich der
Menge der Elemente der Grundmenge G,
welche nicht in der Menge A vorkommen.
A (sprich: Komplement A)
Relative und absolute Häufigkeit
Bemerkung:
Häufigkeitsinterpretation der Wahrscheinlichkeit
Hat ein bestimmtes Ergebnis eines Zufallsversuchs die
Wahrscheinlichkeit p, dann machen wir die Prognose, dass
nach einer grossen Zahl n von Versuchsdurchführungen das
Ergebnis n · p-mal aufreten wird.
Bsp.:
Relative und absolute Häufigkeit
Definition:
Betrachtet man bei einem Zufallsversuch mehrere Ergebnisse
und fragt nach der Wahrscheinlichkeit, dass eins von diesen
Ergebnissen eintritt, so fasst man diese Ergebnisse zu einem
Ereignis zusammen.
Relative und absolute Häufigkeit
Regel:
Elementare Summenregel
Gehören zu einem Ereignis E die Ergebnisse a1 , a2 , . . . , am , so
gilt für die Wahrscheinlichkeit P (E) des Ereignisses E:
P (E) = P (a1 ) + P (a2 ) + . . . + P (am )
Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E ist gleich der Summe
der Wahrscheinlichkieten der zu E gehörenden Ergebnissen
a 1 , a2 , . . . , a m .
Bsp.:
Relative und absolute Häufigkeit
Laplace-Versuche
Definition:
Haben bei einem Zufallsversuch mit s möglichen Ergebnissen
aufgrund der gegebenen Versuchssituation diese Ergebnisse
dieselbe Chance aufzutreten, dann ordnen wir jedem Ergebnis
die Wahrscheinlichkeit p = 1s zu.
Solche Versuche heissen LAPLACE-Versuche.
Relative und absolute Häufigkeit
Laplace-Versuche
Regel:
Laplace-Regel
Bei einem Laplace-Versuch gilt für die Wahrscheinlichkeit
P (E) eines Ereignisses:
e
Anzahl der zu E gehörenden Ergebnisse
P (E) =
=
Anzahl aller möglichen Ergebnisse
s
Bsp.:
Relative und absoluate Häufigkeit
Regel:
Unmöglich-Sicher-Regel
Wahrscheinlichkeiten sind Zahlen zwischen 0 (0%) und 1
(100%). Das unmögliche Ereignis (E = {}) hat die
Wahrscheinlichkeit 0, das sichere Ereignis die
Wahrscheinlichkeit 1.
Bsp.:
Relative und absoluate Häufigkeit
Regel:
Allgemeine Summenregel
Die Wahrscheinlichkeit eines Oder-Ereignisses E1 ∪ E2 ist
gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse E1
und E2 vermidnert um die Wahrscheinlichkeit des
Und-Ereignisses E1 ∩ E2 .
P (E1 ∪ E2 ) = P (E1 ) + P (E2 ) − P (E1 ∩ E2 )
Bsp.:
Relative und absoluate Häufigkeit
Regel:
Komplementärregel
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E und die
Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses E ergänzen sich zu 1.
Mehrfache Zufallsexperimente
Bspe:
2. Ein Reissnagel wird zweimal hintereinander geworfen.
Ω = {(Nagel gegen oben, Nagel gegen oben),
(Nagel gegen oben, Nagel zur Seite),
(Nagel zur Seite, Nagel gegen oben),
Bsp.:
(Nagel zur Seite, Nagel zur Seite)},
wobei P (Nagel gegen oben) = 0.4 und
P (Nagel zur Seite) = 0.6.
Baumdiagramm:
Mehrfache Zufallsexperimente
Bspe:
1. Eine Münze wird zweimal hintereinander geworfen.
Ω = {(K, K), (Z, Z), (K, Z), (Z, K)}
Baumdiagramm:
Mehrfache Zufallsexperimente
Regel:
Pfadproduktregel
Bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment ist die
Wahrscheinlichkeit eines (durch einen Pfad dargestellten)
Ereignisses gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten
längs des zugehörigen.
Mehrfache Zufallsexperimente
Bsp:
Ein Würfel wird zweimal geworfen.
Ω = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), . . . ,
(5, 6), (6, 6)}
Wie mit welcher Wahrscheinlichkeit treten die Zahlen 1 und 6
auf?
Baumdiagramm:
Mehrfache Zufallsexperimente
Regel:
Pfadadditionsregel
Setzt sich bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment ein
Ereignis aus verschiedenen Pfaden zusammen, dann erhält
man die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses durch Addition
der einzelnen Pfadwahrscheinlichkeiten.
3. Mehrfache Zufallsexperimente
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Einstiegsbeispiel:
ELISA-Test: Nachweisverfahren für HIV-Infektion
Die Sensitivität eines Testes (Wahrscheinlichkeit einer korrekten
Diagnose eines tatsächlich kranken Menschen) liegt bei 99.5%.
Die Spezifität (Wahrscheinlichkeit, dass der Test einen in
Wirklichkeit gesunden Menschen als gesund deklariert) liegt bei
99.5%. In Deutschland weiss man aus Krankenstatistiken, dass
die HIV-Infektion bei 0.2% liegt.
Wie wahscheinlich ist es, dass bei einer gesteten Person
tatsächlich eine HIV-Infektion vorliegt?
3. Mehrfache Zufallsexperimente
Regel:
Bayes’sche Regel
Sei A ein Ereignis, das uns interessiert, und B eine
Bedingung, unter der wir den Vorgang betrachten.
Dann gilt: Die Wahrscheinlichkeit PB (A) für A unter der
Bedingung B berechnet sich wie folgt:
P (A ∩ B)
PB (A) =
P (B)
4. Binomialverteilung
Bernoulli-Versuche
4. Binomialverteilung
Galtonbrett
Definition:
Bei Bernoulli-Versuchen unterscheiden wir (willkürlich)
nur zwei Ergebnisse; das eine nennen wir Erfolg, das andere
Misserfolg. Wicht ist, dass isch bei einem mehrstufigen
Zufallsversuch die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg bzw.
Misserfolg von Stufe zu Stufe nicht verändert; d. h. das
Ergebnis einer Versuchsdurchführung hat keinen Einfluss auf
das Ergebnis der nächsten Stufe.
Die Wahrscheinlichkeit für eien Erfolg wir als
Erfolgswahrscheinlichkeit p bezeichnet, die
Wahrscheinlichkeit für einen Misserfolg als
Misserfolgswahrscheinlichkeit q, wobei q = 1 − p.
Bspe.:
4. Binomialverteilung
Regel:
Wahrscheinlichkeit bei Bernoulli-Versuchen
Die Wahrscheinlichkeit für k Erfolge bei einem n-stufigen
Bernoulli-Versuch mit Erfolgswahrscheinlichkeit p (und
Misserfolgswahrscheinlichkeit q = 1 − p) ist:
n k n−k
p q
(k = 0, 1, 2, . . . , n)
P (X = k) =
k
4. Binomialverteilung
Definition:
Die zu einem n-stufigen Bernoulli-Versuch mit der
Erfolgswahrscheinlichkeit p gehörige Verteilung heisst
Binomialverteilung mit den Parametern n und p.
Bsp.: