Statistik –¨Ubungen SS 2017

Statistik – Übungen SS 2017
Blatt 1: Beschreibende Statistik
1. Wir unterscheiden verschiedene Arten von Merkmalen. Nennen Sie für jedes Erhebungsmerkmal eine zulässige Ausprägung, geben Sie jeweils eine (sachlogisch) plausible Skalierung an und bestimmen Sie, ob das Merkmal stetig oder diskret ist:
Merkmal
Ausprägung
Skalenniveau
diskret/stetig
Lebensalter (vollendete Jahre)
Geschlecht
Nationalität
Monatliche Miete
Familienstand
Beruf
Unternehmensrating
Akademischer Grad
Einkommen
Postleitzahl
Schuhgröße
Erwerbslosenanteil
Statistik Übungen Blatt 1
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SS 2017
2. Zum Abschluss einer Statistikübung wurden die 48 Studierenden aufgefordert, diese Lehrveranstaltung zu beurteilen. Eine zu beurteilende Aussage lautete: „Der vermittelte Stoff
war gut verständlich“. Die Beurteilung erfolgte in einer fünfteiligen Skala mit den möglichen Antworten:
1:
2:
3:
4:
5:
stimme sehr zu
stimme eher zu
weder noch
stimme weniger zu
stimme gar nicht zu
Die Beurteilungen wurden in der nachfolgenden Tabelle zusammengefasst:
1
1
3
1
a)
b)
c)
d)
e)
1
2
4
4
1
3
5
5
2
3
4
1
3
4
4
2
4
4
3
2
3
3
1
3
2
3
1
3
5
4
1
5
4
2
1
4
5
2
5
1
4
3
4
1
Wie ist das Merkmal skaliert?
Wie lautet die (ursprüngliche) Tabelle der absoluten und der relativen Häufigkeiten?
Stellen Sie die Daten in einem Stabdiagramm dar.
Stellen Sie die Daten in einem Kreisdiagramm dar.
Bestimmen Sie den geeigneten Lageparameter.
3. P Die Größe von Familien, die in einem Dorf leben, sind in folgender Häufigkeitstabelle
zusammengefasst:
Familiengröße
Anzahl
2
26
3
32
4
28
5
24
6
10
a) Geben Sie die relativen und die kumulierten relativen Häufigkeiten an.
b) Stellen Sie die Daten durch ein Stabdiagramm dar.
4. Betrachten Sie die Daten des vorigen Beispiels.
a) Skizzieren Sie die empirische Verteilungsfunktion.
b) Berechnen Sie geeignete Lagemaße und begründen Sie ihre Wahl.
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SS 2017
5. Die acht Filialen eines Kaufhauskonzerns erzielten 2016 folgende Umsätze (in Mio. Euro):
Filiale i
Umsatz xi
1
56
2
59
3
66
4
70
5
58
6
78
7
65
8
86
a) Von welchem Typ und welcher Skalierung ist das Merkmal Umsatz“?
”
b) Berechnen Sie Modalwert, Median, Mittelwert, Varianz und Standardabweichung,
Variationskoeffizient und Quartilsabstand und interpretieren Sie all diese Zahlen!
Welche dieser Kennzahlen sind aussagekräftig?
c) Zeichnen und interpretieren Sie einen Boxplot zu diesen Daten.
d) Wie verändert eine falsche Zahl, wenn etwa statt „58“ der Wert „580“ eingegeben
wurde, die Kennzahlen Median, Mittelwert, Quartilsabstand und Standardabweichung?
6. Das jährliche Haushaltseinkommen der Privathaushalte einer bestimmten Stadt für das
Jahr 2015 ist in der folgenden Tabelle zusammengefasst:
Jährl. Haushaltseinkommen in 1.000 e
Anzahl der Haushalte (in 1.000)
[10, 25[
30
[25, 30[
10
[30, 40[
40
[40, 60[
40
[60, 90]
30
a) Zeichnen Sie das zugehörige Histogramm!
b) Zeichnen Sie die approximierende Verteilungsfunktion und markieren Sie in der
Zeichnung den Median!
c) Errechnen Sie den Median genau. Was bedeutet diese Zahl? Wie sinnvoll ist deren
genaue Berechnung?
7. P In der nachstehenden Tabelle sind die Mietpreise (in e/m2 ) von Zwei-Zimmer-Mietwohnungen
in vergleichbarer Wohnlage, die im ersten Quartal auf dem Wohnungsmarkt einer Kleinstadt angeboten wurden, angegeben:
Mietpreis (in e/m2 ) [von, bis[
Anzahl der Wohnungen
[2, 6[
10
[6, 9[
30
[9, 12[
36
[12, 18]
24
a) Zeichnen Sie das zugehörige Histogramm!
b) Zeichnen Sie die approximierende Verteilungsfunktion und markieren Sie in der
Zeichnung den Median.
c) Wie groß ist und was bedeutet die kumulierte relative Häufigkeit an der Stelle 12?
8. Betrachten Sie die Daten des vorigen Beispiels.
a) Berechnen sie soweit möglich Mittelwert und Standardabweichung.
b) Aus einer weiteren Erhebung mit 80 Zwei-Zimmer-Mietwohnungen ergab sich ein
Mittelwert von 7,44 e/m2 . Wie groß ist – soweit berechenbar – der mittlere Mietpreis
in allen Wohnungen?
c) Kann man auch die Standardabweichung aller Wohnungen bestimmen, wenn man
weiß, dass die neuen 80 Beobachtungen eine Standardabweichung von 3 aufweisen?
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9. P In einer Umfrage wurde nach der Zustimmung zur Meinung: „Soziale Unterschiede
sind gerecht“ gefragt. (Vgl. V168 ALLBUS 1998: die allgemeine Bevölkerungsumfrage
der Sozialwissenschaften (ALLBUS) – ist eine seit 1980 in Deutschland durchgeführte
repräsentative Bevölkerungsbefragung mit ca. 3.000 Personen). Die Beurteilung erfolgte
in einer vierteiligen Skala mit den möglichen Antworten:
1:
2:
3:
4:
stimme
stimme
stimme
stimme
voll zu
eher zu
eher nicht zu
gar nicht zu
Die folgenden 20 Rohdaten könnten dieser Umfrage entnommen sein:
Person
Antwort
1
4
2
3
3
4
4
1
5
3
6
3
7
2
8
2
9
2
10
3
11
1
12
4
13
2
14
3
15
4
16
2
17
3
18
3
19
4
In derselben Umfrage wurde auch das Einkommen erhoben. Die Rohdaten für das Einkommen (in Euro) der oben befragten Personen lauteten:
Person
Einkommen
1
1800
2
1400
3
4200
4
2100
5
600
6
2200
7
3480
8
800
9
1400
10
2700
Person
Einkommen
11
800
12
3500
13
1900
14
2100
15
1900
16
2500
17
2150
18
3300
19
4100
20
900
a) Erstellen Sie jeweils eine geeignete Tabelle einer Häufigkeitsverteilung, indem Sie
jeweils die absoluten, relativen und die kumulierten relativen Häufigkeiten angeben.
b) Zeichnen Sie die empirische Verteilungsfunktion
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10. P Die folgenden Häufigkeitstabellen stammen aus zwei Umfragen, die über die Zustimmung zur Meinung: „Soziale Unterschiede sind gerecht“ einmal in Deutschland (Vgl. V168
ALLBUS 1998) und einmal in den USA (Vgl. USCLASS8 im GSS = General Social Survey
der USA 1984) durchgeführt wurden.
Soziale Unterschiede sind gerecht
Gültig
STIMME
STIMME
STIMME
STIMME
Gesamt
VOLL ZU
EHER ZU
EHER NICHT ZU
GAR NICHT ZU
Fehlend
WEISS NICHT
KEINE ANGABE
Gesamt
Häufigkeit
152
685
1.216
1.003
3.056
149
15
164
3.220
Gesamt
Social Differences are acceptable
Gültig
STRONGLY AGREE
SOMEWHAT AGREE
SOMEWHAT DISAGREE
STRONGLY DISAGREE
Total
Fehlend
NO OPINION
NO ANSWER
Total
Total
Häufigkeit
165
892
594
243
1.894
53
3
56
1.950
Lassen sich hinsichtlich der Meinung Unterschiede zwischen den USA und Deutschland
feststellen? Begründen Sie ausführlich!
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11. Ein Anleger kauft am 15.1., am 15.4. und am 15.7. eines Jahres jeweils Aktien eines
Ölkonzerns. Der Kurs der Aktie betrug an diesen Börsetagen:
Börsentag i
Kurs (e/Aktie) xi
15.1.
200
15.4.
250
15.7.
400
Wie hoch ist der durchschnittliche Kaufpreis pro Aktie, wenn der Anleger:
a) am 15.1. und am 15.4. jeweils 40 Aktien und am 15.7. noch einmal 20 Aktien kauft?
b) am 15.1. und am 15.4. für jeweils e 10.000 und am 15.7. für e 4.000 Aktien kauft?
12. P Betrachten Sie die Tabelle des vorigen Beispiels – und nur die Tabelle, also nicht die
Anzahl der erworbenen Aktien oder die Höhe des verwendeten Budgets.
Wie hoch ist der durchschnittliche Kaufpreis pro Aktie, wenn der Anleger:
a) am 15.1. und am 15.4. jeweils 25 % und am 15.7. die restlichen 50 % der insgesamt
erworbenen Aktien gekauft hat?
b) am 15.1. und am 15.4. jeweils 25 % und am 15.7. die restlichen 50 % des insgesamt
ausgegebenen Budgets verwendet hat?
13. In Deutschland wird das Abitur zentral gestellt und mit Punkten von 0 bis 15 bewertet.
Acht Abiturienten erreichten in den Fächern Deutsch“ und Mathematik“ die folgenden
”
”
Punktezahlen:
Deutsch
Mathematik
a)
b)
c)
d)
13
15
14
8
8
1
10
7
15
9
1
4
12
5
11
10
Berechnen Sie den Pearson-Korrelationskoeffizienten
Berechnen Sie den Pearson-Korrelationskoeffizienten der Ränge
Berechnen Sie den Rangkorrelationskoeffizienten gemäß Spearman-Formel!
Geben Sie die Gleichung der Regressionsgeraden zur Beschreibung der Abhängigkeit
der Punkte in Mathematik von den Punkten in Deutsch an.
14. P Für acht Unternehmen desselben Wirtschaftszweiges soll untersucht werden, welcher
Zusammenhang zwischen Umsatz und Beschäftigtenzahl besteht. Im Jahr 2015 wurden
folgende Zahlen festgestellt:
Beschäftigte (in Tsd.)
Umsatz (in Mio. Euro)
0,3
60
0,8
100
1,2
260
1,6
220
0,6
130
1,1
150
1,5
210
2,3
280
Bestimmen Sie den (Pearson-) Korrelationskoeffizienten und die Regressionsgerade zur
Beschreibung der Abhängigkeit des Umsatzes von der Anzahl der Beschäftigten. Gibt es
einen (starken? schwachen?) linearen Zusammenhang? Zeichnen Sie die Regressionsgerade.
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SS 2017
15. P In einem Betrieb wurden für sieben Lehrlinge jeweils der Notenschnitt des Abschlusszeugnisses aus der Schule und eine im Betrieb ermittelte Leistungskennzahl miteinander
verglichen. Für die Leistungskennzahl wurden dabei Bewertungen zwischen 1 (= „sehr
schlecht“) und 6 (= „ausgezeichnet“) vergeben.
Lehrling
Notenschnitt
L-Kennzahl
1
2
3
4
5
6
7
1,5
4
2,7
3
2,1
3
1,8
5
2,5
4
3,2
2
1,3
6
Bestimmen Sie zwei unterschiedliche Kennzahlen, um den Zusammenhang zwischen
den beiden Merkmalen zu beschreiben. Welche der beiden ist besser geeignet? Begründen
Sie Ihre Wahl unter Berücksichtigung der Skalierung und interpretieren Sie Ihr Ergebnis.
16. Um eine möglicherweise vorhandene Abhängigkeit zwischen höchstem Schulabschluss und
regionaler Herkunft aufzudecken, wurden dreißigjährige Personen befragt und man erhielt
folgende Ergebnisse in Form einer Tabelle:
Schulabschluss
Universität/FH
Matura
55
21
Herkunft
Wien, Salzburg, Graz
Andere Bezirkshauptstädte
85
Hauptschule
Summe
24
31
34
Summe
Berechnen Sie eine geeignete Kennzahl, um eine Aussage über die Abhängigkeit treffen
zu können!
17. Die Bevölkerung Indiens von 1951 bis 2011 wird gemäß Census of India“ in folgender
”
Tabelle dargestellt:
Jahr
Bev. (in Mio.)
1951
361
1961
439
1971
548
1981
683
1991
846
2001
1.029
2011
1.211
a) Bestimmen Sie die Koeffizienten der Regressionsgeraden (Trendgeraden) und prognostizieren sie damit den Wert für 2021 und 2031.
b) Um wie viel Prozent ist die Bevölkerung Indiens jeweils in den Zehnjahresabständen
gewachsen?
c) Um wie viel Prozent ist die Bevölkerung Indiens in den Jahren 1951 bis 2011 insgesamt gewachsen, um wie viel Prozent im Jahresdurchschnitt? Geeignete Mittelwertbildung!
d) Prognostizieren sie auch mit Hilfe der Lösung von c) die Bevölkerungszahlen für die
Jahre 2021 und 2031.
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SS 2017
18. P Preise und Mengen für einen Warenkorb aus drei Gütern sind für die Jahre 2015 und
2016 in der folgenden Tabelle angegeben:
Gut
Brot (1 kg)
Käse (100 g)
Wein (0,75 l)
2015
Preis Menge
2,4
80
1,7
50
6,1
22
2016
Preis Menge
2,5
86
1,9
55
6,0
24
a) Bestimmen Sie zur Basis 2015 den Preisindex nach Laspeyres.
b) Bestimmen Sie für den gesamten Warenkorb den Preisindex nach Paasche!
c) Berechnen Sie dazu auch den Umsatzindex.
19. Betrachten Sie die Daten des vorigen Beispiels.
a) Fassen Sie Brot und Käse jeweils zu einer Produktgruppe zusammen, Wein soll eine
zweite „Produktgruppe“ bilden. Berechnen Sie für diese Gruppen jeweils den (Sub)Preisindex und damit den Gesamtindex.
b) Bestimmen Sie die prozentuale Preisänderung dieses Warenkorbes von 1991 auf 2016,
wenn von 1991 auf 2001 der Preisindex 1,48 betrug und von 2001 auf 2015 die Preise
jährlich um 1,8 Prozent gestiegen sind!
20. Der Jahresdurchschnitt des österreichischen VPI ist für verschiedene Jahre angegeben.
Die jeweiligen Bezugsjahreszahlen – sie änderten sich alle 10 Jahre – sind die Jahre 1976,
1986 und 1996 bzw. ab 2000 alle 5 Jahre. Die (echten) Daten sind als Indexprozent“
”
angegeben.
Jahr
VPI in %
1986
155,5
1990
109,5
1996
130,8
2000
105,2
2003
105,9
2005
110,6
2010
109,5
2015
110,7
a) Berechnen Sie die Werte des VPI bezogen auf das Basisjahr 1976.
b) Um wie viel sind die Preise von 2003 auf 2015 insgesamt gestiegen?
c) Um wie viel sind die Preise von 2003 auf 2015 im Durchschnitt jährlich gestiegen?
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21. P In nachstehender Tabelle ist der durchschnittliche Verbraucherpreisindex (Preisindex
für die Lebenshaltung) für Österreich für den Zeitraum 2005 bis 2015 wiedergegeben. Da
dieser Index nach Laspeyres ermittelt wird, ist es nötig den zugrundeliegenden Warenkorb
in bestimmten Abständen zu aktualisieren. Laut EU-Verordnung (EC Nr.2494/95), haben
Revisionen in 5-Jahres-Intervallen zu erfolgen. Seit dem Jahr 2000 wird dies in Österreich
umgesetzt:
Jahr
I05,i
I10,i
2005
100,0
2006
101,5
2007
103,7
2008
107,0
2009
107,5
2010
109,5
100
2011
2012
2013
2014
2015
103,3
105,8
107,9
109,7
110,7
a) Um wie viel Prozent sind die Preise von 2005 bis 2007, 2010 und 2012 gestiegen?
b) Um wie viel Prozent sind die Preise von 2006 bis 2008 gestiegen?
c) Um wie viel Prozent sind die Preise von 2007 bis 2014 gestiegen?
22. Ein Unternehmen bezieht Energie in Form von Strom, Öl und Gas. Die Durchschnittspreise für Öl sind in den angegebenen Jahren folgender Tabelle zu entnehmen:
Jahr
Preis pro Barrel in EUR
2005
42,7
2006
52,0
2007
52,2
2008
67,9
2009
43,5
2010
56,2
a) Bei den Ausgaben für die verschiedenen Energiearten entfallen auf:
Strom 65 %
Gas
25 %
Öl
10 %
Von 2005 bis 2010 stiegen die Stromkosten um 12%, Gas wurde um acht Prozent teurer. Die Preisentwicklung von Öl ist obiger Tabelle zu entnehmen. Um wie viel Prozent sind die Verbrauchsausgaben für alle Energiearten zusammengenommen 2010
teurer als 2005?
b) Für den Warenkorb Energie“ sind folgende Indexzahlen bekannt: Man beachte die
”
Umbasierungen!
1973
100
1976
120
1986
165
1996
150
2000
122
i. Um wie viel Prozent war Energie für das Unternehmen 2000 teurer als 1973?
ii. Um wie viel Prozent war Energie 1986 billiger als 1996?
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23. P Der Warenkorb zur Bestimmung des Verbraucherpreisindexes (berechnet nach Laspeyres) besteht aus vier Gütern (A, B, C, D). Während die Preise von A, B und C auf dem
freien Markt gebildet werden, wird der Preis des Gutes D von der Regierung festgesetzt.
In folgender Tabelle sind die aktuellen Preise, die von einem Wirtschaftsforschungsinstitut geschätzte Preisentwicklung der nächsten Periode (für A, B, C), sowie die aktuellen
Verbrauchsmengen angegeben:
Produkt
aktuelle Menge
aktueller Preis
geschätzter Preis
A
72
11
12
B
120
29
24
C
80
27
30
D
75
18
a) Berechnen sie unter der Annahme, dass der Preis für D mit 21 GE festgesetzt wird,
den Preisindex nach Laspeyres.
b) Berechnen sie den Umsatzindex (in %) unter der Annahme, dass der Preis für D mit
21 GE festgesetzt wird, und folgende Mengenänderungen eintreten:
• die Mengen von A und D bleiben gleich,
• durch die Preisverschiebung erhöht sich die Verbrauchsmenge von B um 10 %,
und verringert sich die Verbrauchsmenge von C um 5 %.
24. Betrachten Sie die Daten des vorigen Beispiels.
Wie hoch darf die Regierung den Preis von Produkt D maximal festsetzen, damit das
wirtschaftspolitische Ziel „Inflationsrate von höchstens 2 %“ in der nächsten Periode nicht
verletzt wird?
Die mit P gekennzeichneten Beispiele sind von den Studierenden vorzubereiten und nach
Aufruf durch die Lehrveranstaltungsleiterin oder durch den Lehrveranstaltungsleiter an der
Tafel zu präsentieren!
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