Statistik -¨Ubungen SS 2016

Statistik - Übungen SS 2016
Blatt 1: Beschreibende Statistik
1. Wir unterscheiden verschiedene Arten von Merkmalen. Nennen Sie für jedes Erhebungsmerkmal eine zulässige Ausprägung, geben Sie jeweils eine (sachlogisch) plausible Skalierung an und bestimmen Sie, ob das Merkmal stetig oder diskret ist:
Merkmal
Ausprägung
Skalenniveau
diskret/stetig
Lebensalter (vollendete Jahre)
Geschlecht
Nationalität
Monatliche Miete
Familienstand
Beruf
Unternehmensrating
Akademischer Grad
Einkommen
Postleitzahl
Schuhgröße
Erwerbslosenanteil
Statistik Übungen Blatt 1
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SS 2016
2. Zum Abschluss einer Statistikübung wurden die 48 Studierenden aufgefordert, diese Lehrveranstaltung zu beurteilen. Eine zu beurteilende Aussage lautete: „Der vermittelte Stoff
war gut verständlich“. Die Beurteilung erfolgte in einer fünfteiligen Skala mit den möglichen Antworten:
1: stimme sehr zu
2: stimme eher zu
3: weder noch
4: stimme weniger zu
5: stimme gar nicht zu
Die Beurteilungen wurden in der nachfolgenden Tabelle zusammengefasst:
1
1
1
2
3
4
3
2
5
4
5
4
1
2
3
3
4
4
3
3
4
2
2
3
3
4
5
4
4
3
1
1
1
1
5
4
1
4
5
1
2
2
3
3
5
4
1
1
a) Wie ist das Merkmal skaliert?
b) Wie lautet die (ursprüngliche) Tabelle der absoluten und der relativen Häufigkeiten?
c) Stellen Sie die Daten in einem Stabdiagramm dar.
d) Stellen Sie die Daten in einem Kreisdiagramm dar.
e) Bestimmen Sie den geeigneten Lageparameter.
3. P Die Größe von Familien, die in einem Dorf leben, sind in folgender Häufigkeitstabelle
zusammengefasst:
Familiengröße
2
3
4
5
6
7
8
Anzahl
34
43
39
13
5
4
2
a) Geben Sie die relativen und die kumulierten relativen Häufigkeiten an.
b) Stellen Sie die Daten durch ein Stabdiagramm dar.
4. Betrachten Sie die Daten des vorigen Beispiels.
a) Skizzieren Sie die empirische Verteilungsfunktion.
b) Berechnen Sie geeignete Lagemaße und begründen Sie ihre Wahl.
Statistik Übungen Blatt 1
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SS 2016
5. Die acht Filialen eines Kaufhauskonzerns erzielten 2014 folgende Umsätze (in Mio. Euro):
Filiale i
1
2
3
4
5
6
7
8
Umsatz xi
56
59
66
70
58
78
65
86
a) Von welchem Typ und welcher Skalierung ist das Merkmal „Umsatz“?
b) Berechnen Sie Modalwert, Median, Mittelwert, Varianz und Standardabweichung,
Variationskoeffizient und Quartilsabstand und interpretieren Sie all diese Zahlen!
Welche dieser Kennzahlen sind aussagekräftig?
c) Zeichnen und interpretieren Sie einen Boxplot zu diesen Daten.
d) Wie verändert eine falsche Zahl, wenn etwa statt „58“ der Wert „580“ eingegeben
wurde, die Kennzahlen Median, Mittelwert, Quartilsabstand und Standardabweichung?
6. Das jährliche Haushaltseinkommen der Privathaushalte einer bestimmten Stadt für das
Jahr 2014 ist in der folgenden Tabelle zusammengefasst:
Jährl. Haushaltseinkommen in 1000 €
[10, 25[
[25, 30[
[30, 40[
[40, 60[
[60, 90]
30
10
40
40
30
Anzahl der Haushalte (in 1000)
a) Zeichnen Sie das zugehörige Histogramm!
b) Zeichnen Sie die approximierende Verteilungsfunktion und markieren Sie in der
Zeichnung den Median!
c) Errechnen Sie den Median genau. Was bedeutet diese Zahl? Wie sinnvoll ist deren
genaue Berechnung?
7. P In der nachstehenden Tabelle sind die Mietpreise (in €/m2 ) von 120 Zwei-ZimmerMietwohnungen in vergleichbarer Wohnlage, die im ersten Quartal auf dem Wohnungsmarkt einer Kleinstadt angeboten wurden, angegeben:
Mietpreis (in €/m2 ) [von, bis[
Anzahl der Wohnungen
[2, 3[
[3, 6[
[6, 12[
[12, 18]
5
30
75
10
a) Zeichnen Sie das zugehörige Histogramm!
b) Zeichnen Sie die approximierende Verteilungsfunktion und markieren Sie in der
Zeichnung den Median.
c) Wie groß ist und was bedeutet die kumulierte relative Häufigkeit an der Stelle 12?
8. Betrachten Sie die Daten des vorigen Beispiels.
a) Berechnen sie soweit möglich Mittelwert und Standardabweichung.
b) Aus einer weiteren Erhebung mit 80 Zwei-Zimmer-Mietwohnungen ergab sich ein
Mittelwert von 7,44 €/m2 . Wie groß ist – soweit berechenbar – der mittlere Mietpreis
in allen 200 Wohnungen?
c) Kann man auch die Varianz aller 200 Wohnungen bestimmen, wenn man weiß, dass
die neuen 80 Beobachtungen eine Varianz von 10 aufweisen?
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SS 2016
9. P In einer Umfrage wurde nach der Zustimmung zur Meinung: „Soziale Unterschiede
sind gerecht“ gefragt. (Vgl. V168 ALLBUS 1998: die allgemeine Bevölkerungsumfrage
der Sozialwissenschaften (ALLBUS) – ist eine seit 1980 in Deutschland durchgeführte
repräsentative Bevölkerungsbefragung mit ca. 3.000 Personen). Die Beurteilung erfolgte
in einer vierteiligen Skala mit den möglichen Antworten:
1: stimme voll zu
2: stimme eher zu
3: stimme eher nicht zu
4: stimme gar nicht zu
Die folgenden 20 Rohdaten könnten dieser Umfrage entnommen sein:
Person
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Antwort
4
4
3
3
2
2
2
3
1
4
3
4
4
2
3
4
4
3
1
2
In derselben Umfrage wurde auch das Einkommen erhoben. Die Rohdaten für das Einkommen (in Euro) der oben befragten Personen lauteten:
Person
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Einkommen
800
2500
1900
2100
1900
2500
2150
3300
4100
900
Person
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1800
1400
3600
2100
600
2200
2480
800
1400
2700
Einkommen
a) Erstellen Sie jeweils eine geeignete Tabelle einer Häufigkeitsverteilung, indem Sie
jeweils die absoluten, relativen und die kumulierten relativen Häufigkeiten angeben.
b) Zeichnen Sie die empirische Verteilungsfunktion
Statistik Übungen Blatt 1
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SS 2016
10. P Die folgenden Häufigkeitstabellen stammen aus zwei Umfragen, die über die Zustimmung zur Meinung: „Soziale Unterschiede sind gerecht“ einmal in Deutschland (Vgl. V168
ALLBUS 1998) und einmal in den USA (Vgl. USCLASS8 im GSS = General Social Survey
der USA 1984) durchgeführt wurden.
Soziale Unterschiede sind gerecht
Häufigkeit
Gültig
STIMME VOLL ZU
151
STIMME EHER ZU
587
STIMME EHER NICHT ZU
1168
STIMME GAR NICHT ZU
964
Gesamt
Fehlend
2870
WEISS NICHT
135
KEINE ANGABE
7
Gesamt
142
Gesamt
3012
Social Differences are acceptable
Häufigkeit
Gültig
STRONGLY AGREE
113
SOMEWHAT AGREE
635
SOMEWHAT DISAGREE
447
STRONGLY DISAGREE
192
Total
Fehlend
1387
NO OPINION
61
NO ANSWER
5
Total
66
Total
1453
Lassen sich hinsichtlich der Meinung Unterschiede zwischen den USA und Deutschland
feststellen? Begründen Sie ausführlich!
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SS 2016
11. Ein Anleger kauft am 15.1., am 15.4. und am 15.7. eines Jahres jeweils Aktien eines
Ölkonzerns. Der Kurs der Aktie betrug an diesen Börsetagen:
Börsentag i
15.1.
15.4.
15.7.
Kurs (€/Aktie) xi
200
250
400
Wie hoch ist der durchschnittliche Kaufpreis pro Aktie, wenn der Anleger:
a) am 15.1. und am 15.4. jeweils 40 Aktien und am 15.7. noch einmal 20 Aktien kauft?
b) am 15.1. und am 15.4. für jeweils 10.000 € und am 15.7. für 4.000 € Aktien kauft?
12. P
Betrachten Sie die Daten des vorigen Beispiels.
Wie hoch ist der durchschnittliche Kaufpreis pro Aktie, wenn der Anleger:
a) am 15.1. und am 15.4. jeweils 35 % und am 15.7. die restlichen 30 % der insgesamt
erworbenen Aktien gekauft hat?
b) am 15.1. und am 15.4. jeweils 35 % und am 15.7. die restlichen 30 % des insgesamt
ausgegebenen Budgets verwendet hat?
13. In Deutschland wird das Abitur zentral gestellt und mit Punkten von 0 bis 15 bewertet.
Acht Abiturienten erreichten in den Fächern „Deutsch“ und „Mathematik“ die folgenden
Punktezahlen:
Deutsch
13
14
8
10
15
1
12
11
Mathematik
15
8
1
7
9
4
5
10
a) Berechnen Sie den Pearson-Korrelationskoeffizienten
b) Berechnen Sie den Pearson-Korrelationskoeffizienten der Ränge
c) Berechnen Sie den Rangkorrelationskoeffizienten gemäß Spearman-Formel!
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SS 2016
14. P Folgendes Streudiagramm ist zu beurteilen: Gibt es einen (starken? schwachen?)
linearen Zusammenhang? Lesen Sie so gut wie möglich die Daten ab und berechnen Sie
damit den Pearson-Korrelationskoeffizienten und die Gleichung der Regressionsgeraden:
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15. P Für acht Unternehmen desselben Wirtschaftszweiges soll untersucht werden, welcher
Zusammenhang zwischen Umsatz und Beschäftigtenzahl besteht. Im Jahr 2015 wurden
folgende Zahlen festgestellt:
Beschäftigte (in Tsd.)
0,4
0,5
0,8
1,0
1,3
1,4
1,7
2,2
Umsatz (in Mio. Euro)
80
150
120
190
280
240
260
300
Bestimmen Sie den (Pearson-) Korrelationskoeffizienten und die Regressionsgerade zur
Beschreibung der Abhängigkeit des Umsatzes von der Anzahl der Beschäftigten.
16. P Bei einem Bewerbungsgespräch wurden sieben Bewerber sowohl von einem externen
Unternehmensberater als auch vom Leiter der Personalabteilung bewertet. Beide konnten
dabei Bewertungen zwischen 1 (= „sehr schlecht“) und 6 (= „ausgezeichnet“) vergeben.
Es ergab sich folgende Bewertung:
Bewerber
1
2
3
4
5
6
7
Punkte des Unternehmensberaters
6
4
1
5
3
2
5
Punkte des Leiters der Personalabteilung
5
4
2
6
2
3
4
Bestimmen Sie geeignete Kennzahlen um den Zusammenhang zwischen den beiden Wertungen zu beschreiben! Begründen Sie Ihre Wahl und interpretieren Sie Ihr Ergebnis.
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SS 2016
17. Um eine möglicherweise vorhandene Abhängigkeit zwischen höchstem Schulabschluss und
regionaler Herkunft aufzudecken, wurden dreißigjährige Personen befragt und man erhielt
folgende Ergebnisse in Form einer Tabelle:
Schulabschluss
Universität oder
FH
Matura
Hauptschule
Wien, Salzburg, Graz
55
21
24
Andere Bezirkshauptstädte
85
34
31
Herkunft
Summe
Berechnen Sie eine geeignete Kennzahl, um eine Aussage über die Abhängigkeit treffen
zu können!
18. Die Umsatzentwicklung eines Unternehmens für die ersten sechs Monate des Jahres 2014
ist in folgender Tabelle dargestellt:
Monat
Jan
Feb
Mär
Apr
Mai
Jun
Umsatz (in Mio.)
376
455
568
685
844
1020
a) Bestimmen Sie die Koeffizienten der Regressionsgeraden (Trendgeraden) und prognostizieren sie damit den Umsatz für Juli und Dezember des Jahres 2014.
b) Um wie viel Prozent ist der Umsatz jeweils in den Monatsabständen gewachsen?
c) Um wie viel Prozent ist der Umsatz in den Monaten Januar bis Juni des Jahres 2014
insgesamt gewachsen, um wie viel Prozent im Monatsdurchschnitt?
d) Prognostizieren sie auch mit Hilfe der Lösung von c) die Umsatzzahlen für die Monate
Juli und Dezember des Jahres 2014.
19. P Preise und Mengen für einen Warenkorb aus drei Gütern sind für die Jahre 2014 und
2015 in der folgenden Tabelle angegeben:
Gut
2014
2015
Preis
Menge
Preis
Menge
Brot (1kg)
2,1
70
2,3
75
Käse (100g)
1,5
55
1,6
60
Wein (0,75l)
4,2
200
3,9
220
a) Bestimmen Sie zur Basis 2014 den Preisindex nach Laspeyres.
b) Bestimmen Sie für den gesamten Warenkorb den Preisindex nach Paasche!
c) Berechnen Sie dazu auch den Umsatzindex.
Statistik Übungen Blatt 1
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SS 2016
20. Betrachten Sie die Daten des vorigen Beispiels.
a) Fassen Sie Brot und Käse jeweils zu einer Produktgruppe zusammen, Wein soll eine
zweite „Produktgruppe“ bilden. Berechnen Sie für diese Gruppen jeweils den (Sub)Preisindex und damit den Gesamtindex.
b) Bestimmen Sie die prozentuale Preisänderung dieses Warenkorbes von 1991 auf 2015,
wenn von 1991 auf 2001 der Preisindex 1,48 betrug und von 2001 auf 2014 die Preise
jährlich um 1,8 Prozent gestiegen sind!
21. Der Jahresdurchschnitt des österreichischen VPI ist für verschiedene Jahre angegeben.
Die jeweiligen Bezugsjahreszahlen – sie ändern sich alle 10 Jahre – sind die Jahre 1976,
1986 und 1996 bzw. ab 2000 alle 5 Jahre. Die (echten) Daten sind als „Indexprozent“
angegeben.
Jahr
1986
1990
1996
2000
2003
2005
2010
2015
VPI in %
155,5
109,5
130,8
105,2
105,9
110,6
109,5
110,7
a) Berechnen Sie die Werte des VPI bezogen auf das Basisjahr 1976.
b) Um wie viel sind die Preise von 2003 auf 2015 insgesamt gestiegen?
c) Um wie viel sind die Preise von 2003 auf 2015 im Durchschnitt jährlich gestiegen?
22. P In nachstehender Tabelle ist der durchschnittliche Verbraucherpreisindex (Preisindex
für die Lebenshaltung) für Österreich für den Zeitraum 2005 bis 2014 wiedergegeben. Da
dieser Index nach Laspeyres ermittelt wird, ist es nötig den zugrundeliegenden Warenkorb
in bestimmten Abständen zu aktualisieren. Laut EU-Verordnung (EC Nr.2494/95), haben
Revisionen in 5-Jahres-Intervallen zu erfolgen. Seit dem Jahr 2000 wird dies in Österreich
umgesetzt:
Jahr
2005
2006
2007
2008
2009
2010
I05,i
100,0
101,5
103,7
107,0
107,5
109,5
100
I10,i
2011
2012
2013
2014
2015
103,3
105,8
107,9
109,7
110,7
a) Um wie viel Prozent sind die Preise von 2005 bis 2007, 2011, 2012, 2014 und 2015
gestiegen?
b) Um wie viel Prozent sind die Preise von 2007 bis 2015 gestiegen?
c) Warum kann die für 2011 durch Verknüpfung ermittelte Indexzahl zur Basis 2005
von der durch die Statistik Austria empirisch ermittelten Indexzahl für 2011, 2012,
... abweichen?
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23. Ein Unternehmen bezieht Energie in Form von Strom, Öl und Gas. Die Durchschnittspreise für Öl sind in den angegebenen Jahren folgender Tabelle zu entnehmen:
Jahr
2005
2006
2007
2008
2009
2010
Preis pro Barrel in EUR
42,7
52,0
52,2
67,9
43,5
56,2
a) Bei den Ausgaben für die verschiedenen Energiearten entfallen auf:
Strom
65 %
Gas
25 %
Öl
10 %
Von 2005 bis 2010 stiegen die Stromkosten um 12%, Gas wurde um acht Prozent teurer. Die Preisentwicklung von Öl ist obiger Tabelle zu entnehmen. Um wie viel Prozent sind die Verbrauchsausgaben für alle Energiearten zusammengenommen 2010
teurer als 2005?
b) Für den „Warenkorb Energie“ sind folgende Indexzahlen bekannt: Man beachte die
Umbasierungen!
1973
1976
1986
1996
2000
100
120
165
150
122
i. Um wie viel Prozent war Energie für das Unternehmen 2000 teurer als 1973?
ii. Um wie viel Prozent war Energie 1986 billiger als 1996?
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24. P Der Warenkorb zur Bestimmung des Verbraucherpreisindexes (berechnet nach Laspeyres) besteht aus vier Gütern (A, B, C, D). Während die Preise von A, B und C auf dem
freien Markt gebildet werden, wird der Preis des Gutes D von der Regierung festgesetzt.
In folgender Tabelle sind die aktuellen Preise, die von einem Wirtschaftsforschungsinstitut geschätzte Preisentwicklung der nächsten Periode (für A, B, C), sowie die aktuellen
Verbrauchsmengen angegeben:
Produkt
A
B
C
D
aktuelle Menge
142
100
60
78
aktueller Preis
10
7
13
9
geschätzter Preis
11
6
14
a) Berechnen sie unter der Annahme, dass der Preis für D mit 12 GE festgesetzt wird,
den Preisindex nach Laspeyres.
b) Berechnen sie den Umsatzindex (in %) unter der Annahme, dass der Preis für D mit
12 GE festgesetzt wird, und folgende Mengenänderungen eintreten:
i. die Mengen von A und D bleiben gleich,
ii. durch die Preisverschiebung erhöht sich die Verbrauchsmenge von C um 10 %,
und verringert sich die Verbrauchsmenge von B um 5 %.
25. Betrachten Sie die Daten des vorigen Beispiels.
Wie hoch darf die Regierung den Preis von Produkt D maximal festsetzen, damit das
wirtschaftspolitische Ziel „Inflationsrate von höchstens 3 %“ in der nächsten Periode nicht
verletzt wird?
Die mit P gekennzeichneten Beispiele sind von den Studierenden vorzubereiten und nach
Aufruf durch den/die Lehrveranstaltungsleiter/in an der Tafel zu präsentieren!
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