Zusammenfassung: Stochastik - lehrer.uni

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LGÖ Ks
M 12
Schuljahr 2016/2017
Zusammenfassung: Stochastik
Inhaltsverzeichnis
Baumdiagramme und Pfadregeln .......................................................................................................
Binomialverteilung .............................................................................................................................
Erwartungswert ...................................................................................................................................
Hypothesentests ..................................................................................................................................
Baumdiagramme und Pfadregeln
1. Pfadregel (Produktregel): Die Wahrscheinlichkeit längs eines Pfades ist das Produkt der
Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Äste.
2. Pfadregel (Summenregel): Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der
Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Pfade.
Beispiel: Eine Urne enthält 3 rote und 5 schwarze Kugeln.
Es werden zwei Kugel mit Zurücklegen gezogen.
Die Wahrscheinlichkeit, im ersten Zug eine rote bzw. eine
3
5
schwarze Kugel zu ziehen, ist bzw. .
8
8
3
8
3
8
r
5
8
Da mit Zurücklegen gezogen wird, bleiben die Wahrscheinlichkeiten im zweiten, dritten usw. Zug gleich.
Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln die
gleiche Farbe haben, ist
3 3 5 5
P ( rr ) + P ( ss ) = ⋅ + ⋅ .
8 8 8 8
5
8
3
8
5
8
2
7
3
8
Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln die
gleiche Farbe haben, ist
3 2 5 4
P ( rr ) + P ( ss ) = ⋅ + ⋅ .
8 7 8 7
r
s
r
r
5
7
Da ohne Zurücklegen gezogen wird, ändern sich die
Wahrscheinlichkeiten im zweiten, dritten usw. Zug.
5
8
s
s
Beispiel: Eine Urne enthält 3 rote und 5 schwarze Kugeln.
Es werden zwei Kugel ohne Zurücklegen gezogen.
Die Wahrscheinlichkeit, im ersten Zug eine rote bzw. eine
3
5
schwarze Kugel zu ziehen, ist wieder bzw. .
8
8
r
3
7
s
r
s
4
7
s
Ein gleichzeitiges Ziehen („Ziehen mit einem Griff“) entspricht einem Ziehen ohne Zurücklegen.
Bei manchen Aufgaben, insbesondere bei „mindestens einmal“ und „höchstens einmal“, ist es
einfacher, zu einem Ereignis A das Gegenereignis A zu betrachten. Es gilt
P ( A)= 1 − P A .
( )
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Beispiel: Ein idealer Würfel wird 10-mal geworfen. Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine
10
5
Sechs erscheint, ist P ( mindestens eine 6 ) =
1 − P ( keine Sechs ) =
1−   .
6
Binomialverteilung
Definition: Für eine natürliche Zahl n ≥ 1 ist n Fakultät die Zahl
n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ⋅ n .
Für n = 0 setzt man 0! = 1 .
Beispiel: 5! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 120
Fakultäten mit dem GTR: n MATH PRB 4:n!
Definition: Für natürliche Zahlen n und k mit n ≥ 1 und 1 ≤ k ≤ n ist der Binomialkoeffizient n über k
(oder: k aus n) die Zahl
k(
Faktoren
(((
+((((
n ⋅ ( n − 1) ⋅  ⋅ ( n − k + 1)
 n  n ⋅ ( n − 1) ⋅  ⋅ ( n − k + 1)
.
=
  =
k!
1 ⋅ 2 ⋅ ⋅ k
k 
((
k Faktoren
n
Für k = 0 definiert man   = 1 .
0
5
Beispiel:
=
 
 2
2 Faktoren

5⋅4
= 10
1⋅ 2
Binomialkoeffizienten mit dem GTR: n MATH PRB 3:nCr k
Anschauliche Bedeutung der Binomialkoeffizienten:
1. Die Anzahl der Möglichkeiten, aus einer Urne mit n durchnummerierten Kugeln k Kugeln
ohne Zurücklegen und mit Berücksichtigung der Reihenfolge zu ziehen, ist
n ⋅ ( n − 1) ⋅  ⋅ ( n − k + 1)
((((((((
k Faktoren
2. Die Anzahl der Möglichkeiten, k durchnummerierte Kugeln nebeneinander anzuordnen, ist
k ⋅ ( k − 1) ⋅  ⋅ 1 =k ! .
Aus 1. und 2. folgt
3. Die Anzahl der Möglichkeiten, aus einer Urne mit n durchnummerierten Kugeln k Kugeln mit
einem Griff (äquivalent: ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge) zu
ziehen, ist
n ⋅ ( n − 1) ⋅  ⋅ ( n − k + 1)  n 
=  .
k!
k 
 n
Merke: Es gibt   Möglichkeiten, aus n durchnummerierten Kugeln k Kugeln mit einem Griff zu
k
ziehen.
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Sonderfälle:
n
1. Es gibt genau eine Möglichkeit, keine Kugel aus n Kugeln zu ziehen. Also ist   = 1 .
0
n
2. Es gibt n Möglichkeiten, genau eine Kugel aus n Kugeln zu ziehen. Also ist   = n .
1
3. Es gibt n Möglichkeiten, n − 1 Kugeln aus n Kugeln zu ziehen, denn wenn man alle bis auf
 n 
eine Kugel zieht, bleibt genau eine Kugel übrig. Also ist 
=n.
 n − 1
n
4. Es gibt genau eine Möglichkeit, alle Kugeln aus n Kugeln zu ziehen. Also ist   = 1 .
n
Symmetrie der Binomialkoeffizienten: Zieht man k Kugeln aus n Kugeln, dann bleiben n − k Kugeln
übrig. Also gibt es gleich viele Möglichkeiten, k Kugeln zu ziehen, wie es Möglichkeiten gibt, n − k
Kugeln zu ziehen. Also ist
n  n 
 =
.
k  n − k 
 5   5
Beispiel:   =  
 2   3
Definition: Ein Zufallsexperiment mit genau zwei Ergebnissen heißt ein Bernoulli-Experiment.
Die Ergebnisse eines Bernoulli-Experiments bezeichnet man als „Treffer“ und „Niete“.
Definition: Ein Zufallsexperiment, das aus n unabhängigen Durchführungen desselben BernoulliExperiments besteht, heißt eine n-stufige Bernoulli-Kette.
Grundaufgabe: Gegeben ist eine n-stufige Bernoulli-Kette mit der Trefferwahrscheinlichkeit p. Die
Zufallsvariable X gebe die Anzahl der Treffer an.
Gesucht sind die Wahrscheinlichkeiten P ( X = k ) ( k = 0; 1; 2;  ; n ).
Die Lösung ergibt sich durch folgende Überlegungen:
1. Wenn die k Treffer bei den ersten k Durchführungen des Bernoulli-Experiments auftreten,
dann gilt


n-k

P TT T NN  N  = p k ⋅ (1 - p ) .

((
 ((

 k -mal ( n-k )-mal 


2. Die gleiche Wahrscheinlichkeit ergibt sich, wenn die k Treffer an anderen Stellen auftreten.
n
3. Es gibt   Möglichkeiten, wie sich die k Treffer auf die n Durchführungen des Bernoullik 
Experiments verteilen können.
Satz (Formel von Bernoulli) und Definition: Gegeben ist eine n-stufige Bernoulli-Kette mit der
Trefferwahrscheinlichkeit p. Die Zufallsvariable X gebe die Anzahl der Treffer an. Dann gilt
n
n−k
P ( X = k ) =   ⋅ p k ⋅ (1 − p )
( k = 0; 1; 2;  ; n ),
k 
und die Zufallsvariable X heißt binomialverteilt mit den Parametern n und p.
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Kurz: X heißt Bn , p -verteilt.
Beispiel: Ein idealer Würfel wird 10-mal geworfen, und die Zufallsvariable X gebe die Anzahl der
k
10 − k
10   1   5 
gewürfelten Sechsen an. Dann ist P ( X =
k) =
  ⋅   ⋅   , und X ist B10, 1 -verteilt.
 k  6 6
6
Sonderfälle:
n
n−n
0
1. P ( X =n ) =  ⋅ p n ⋅ (1 − p ) =⋅
1 p n ⋅ (1 − p ) =⋅
1 p n ⋅ 1 =p n , was auch ohne Formel klar
n
 
ist.
n
n −0
n
n
2. P ( X =0 ) =  ⋅ p 0 ⋅ (1 − p ) =1 ⋅ 1 ⋅ (1 − p ) =(1 − p ) , was auch ohne Formel klar ist.
0
Häufig berechnet man sog. kumulierte, d. h. aufsummierte Wahrscheinlichkeiten:
P( X ≤ k) =
P ( X =+
0) P ( X =
1) +  + P ( X =
k).
Hierauf lassen sich alle andere Fälle zurückführen, zum Beispiel:
• P ( X < k=
) P ( X ≤ k − 1)
•
P ( X > k ) =−
1 P( X ≤ k)
•
P ( X ≥ k ) =1 − P ( X ≤ k − 1)
•
P ( k ≤ X ≤ l=
) P( X ≤ l) − P( X ≤ k)
Binomialverteilung mit dem GTR:
Binomialverteilung P ( X = k ) : Im DISTR-Menü: 0: binompdf ( n, p, k )
Binomiale Summenverteilung P ( X ≤ k ) : Im DISTR-Menü: A: binomcdf ( n, p, k )
Merke: binompdf: probability, also Wahrscheinlichkeitsverteilung P ( X = k )
binomcdf: cumuliert, d. h. addiert, also Summenverteilung P ( X ≤ k )
Standardaufgabe: Gegeben ist eine mit den Parametern n und p binomialverteilte Zufallsvariable X.
Die Wahrscheinlichkeit P ( X = k ) bzw. P ( X ≤ k ) soll
a) bei festem n und p für verschiedene Werte von k untersucht werden;
b) bei festem p und k für verschiedene Werte von n untersucht werden;
c) bei festem n und k für alle Werte von p gezeichnet werden.
Lösung:
a) Gib als Funktion Y1 die Wahrscheinlichkeit P ( X = k ) bzw. P ( X ≤ k ) mit der GTRVariablen X anstatt k ein, also
Y1 = binompdf ( n, p, X ) bzw. Y1 = binomcdf ( n, p, X ) ,
und erstelle eine Wertetabelle.
b) Gib als Funktion Y1 die Wahrscheinlichkeit P ( X = k ) bzw. P ( X ≤ k ) mit der GTRVariablen X anstatt n ein, also
Y1 = binompdf ( X, p, k ) bzw. Y1 = binomcdf ( X, p, k ) ,
und erstelle eine Wertetabelle.
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c) Gib als Funktion Y1 die Wahrscheinlichkeit P ( X = k ) bzw. P ( X ≤ k ) mit der GTRVariablen X anstatt p ein, also
Y1 = binompdf ( n, X, k ) bzw. Y1 = binomcdf ( n, X, k ) .
Da p nur Werte zwischen 0 und 1 annehmen kann, wählt man Xmin = 0 und Xmax = 1 und
zeichnet den Graphen mit ZoomFit. (Da die Wahrscheinlichkeiten zwischen 0 und 1 liegen,
kann man auch Ymin = 0 und Ymax = 1 nehmen.)
Erwartungswert
Definition: Ist X eine Zufallsvariable, die die Werte x1 , x2 , …, xn annehmen kann, dann heißt die
Zahl
E ( X ) =⋅
x1 P ( X =
x1 ) + x2 ⋅ P ( X =
x2 ) +  + xn ⋅ P ( X =
xn )
der Erwartungswert von X.
Definition: Ein Spiel heißt fair, wenn der Erwartungswert für den Gewinn bzw. Verlust 0 ist.
Oder: Wenn der Erwartungswert für den Gewinn gleich dem Einsatz ist.
Anschaulich klar ist die
Feststellung: Eine mit den Parametern n und p binomialverteilte Zufallsvariable X hat den
Erwartungswert
E ( X )= n ⋅ p .
Beispiel: Ein idealer Würfel wird n-mal geworfen, und die Zufallsvariable X gebe die Anzahl der
1
gewürfelten Sechsen an. Dann ist E ( X )=
⋅n.
6
Merke: Ist X eine mit den Parametern n und p binomialverteilte Zufallsvariable, dann ist die
Wahrscheinlichkeit P ( X = k ) maximal für k ≈ E ( X ) , also für k ≈ np .
Ergänzung: Ist np ganzzahlig, dann ist P ( X = k ) maximal für k = np . Andernfalls ist P ( X = k )
maximal für die nächstgrößere und/oder die nächstkleinere natürliche Zahl.
Hypothesentests
Gegeben ist ein Bernoulli-Experiment mit einer unbekannten Trefferwahrscheinlichkeit p. Bei einem
linksseitigen Hypothesentest (Signifikanztest)
rechtsseitigen Hypothesentest (Signifikanztest)
ist eine Nullhypothese
H 0 : p ≥ p0
H 0 : p ≤ p0
und die Alternativhypothese (Gegenhypothese)
H1 : p < p0
H1 : p > p0
gegeben. Die Nullhypothese soll abgelehnt (verworfen) werden. Dazu wird das Bernoulliexperiment
n-mal durchgeführt. Die Zahl n heißt der Stichprobenumfang. Die Zufallsvariable X gebe die Anzahl
der Treffer an.
Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn
X kleine Werte annimmt,
X große Werte annimmt,
d. h. wenn X Werte aus dem Ablehnungsbereich
A = {0; 1;  ; g}
=
A { g ; g + 1;  ; n}
annimmt. Andernfalls wird die Nullhypothese nicht abgelehnt.
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Bei dieser Entscheidung kann man zwei Arten von Fehlern begehen:
• Einen Fehler 1. Art begeht man, wenn man die Nullhypothese zu unrecht ablehnt, d. h. wenn
man die Nullhypothese ablehnt, obwohl sie wahr ist. Die Wahrscheinlichkeit hierfür heißt die
Irrtumswahrscheinlichkeit; sie beträgt
P=
A P( X ≤ g).
P=
A P( X ≥ g).
( )
•
( )
Einen Fehler 2. Art begeht man, wenn man die Nullhypothese zu unrecht nicht ablehnt, d. h.
wenn man die Nullhypothese nicht ablehnt, obwohl sie falsch ist.
Wenn das Signifikanzniveau, d. h. die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit α vorgegeben ist, dann
bestimmt man den Ablehnungsbereich, indem man die
größte ganze Zahl g
kleinste ganze Zahl g
bestimmt, für die gilt:
P( X ≥ g) ≤ α
P( X ≤ g) ≤ α .
1 − P ( X ≤ g − 1) ≤ α .
Standardaufgabe: Gib eine Entscheidungsregel für einen Hypothesentest an.
Lösung:
• Notiere das Bernoulli-Experiment und notiere, welches Ergebnis als Treffer bezeichnet wird.
• Notiere die Nullhypothese
H 0 : p ≥ p0
H 0 : p ≤ p0
und die Alternativhypothese
H1 : p < p0 .
H1 : p > p0 .
• Lege die Zufallsvariable X (als Anzahl der Treffer) fest.
• Notiere: X ist binomialverteilt mit n =  und (im Extremfall) p = p0 .
• Bestimme mithilfe des GTR die
größte ganze Zahl g,
kleinste ganze Zahl g,
für die gilt:
P( X ≥ g) ≤ α
P( X ≤ g) ≤ α .
1 − P ( X ≤ g − 1) ≤ α .
Erstelle dazu mit dem GTR eine Wertetabelle der Funktion
Y1 = 1 − binomcdf ( n, p, X − 1)
Y1 = binomcdf ( n, p, X ) .
•
Notiere den Ablehnungsbereich
A = {0; 1;  ; g} .
=
A
{ g ; g + 1; ; n} .
•
Notiere die Entscheidungsregel: Nimmt X einen Wert aus A an, dann wird die Nullhypothese
auf einem Signifikanzniveau von α (oder: mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von
höchstens α) abgelehnt, andernfalls nicht.
• Wenn zusätzlich die tatsächliche Irrtumswahrscheinlichkeit gefragt ist: Berechne
P=
A P( X ≥ g).
P=
A P( X ≤ g).
( )
( )
Mit einem Hypothesentest kann eine Behauptung (oder Vermutung) über eine Trefferwahrscheinlichkeit mit einer bestimmten maximalen Irrtumswahrscheinlichkeit widerlegt werden. Soll mit einem
Hypothesentest eine Behauptung bestätigt werden, dann nimmt man das Gegenteil der Behauptung
als Nullhypothese.
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