Computergestützte Musiktheorie

Computergestützte Musiktheorie
Zur Konzeption der Software RUBATO
für musikalische Analyse und Performance
Anja Fleischer (Berlin), Guerino Mazzola (Zürich), Thomas Noll (Berlin)
Der vorliegende Beitrag entstand vor dem Hintergrund der Zusammenarbeit zweier Forschungsgruppen in Zürich und Berlin, die sich unter anderem in der gemeinsamen Entwicklung
der Software RUBATO® für musikalische Analyse und Performance manifestiert. Im Rahmen
dieses Beitrages soll mit „RUBATO I“ die erste Version dieser Software bezeichnet werden, die
in den Jahren 1992 - 1996 an der Universität Zürich entwickelt worden ist, und die auf den
Betriebssystemen NEXTSTEP bzw. OPENSTEP läuft.1 Mit „RUBATO II“ soll die gegenwärtig an der Technischen Universität Berlin in Zusammenarbeit mit der Universität Zürich weiterentwickelte Version bezeichnet werden, die auf dem Betriebssystem Mac OS X läuft.2
Darüberhinaus soll „RUBATO“ die konzeptionelle Identität des gesamten Projektes bezeichnen, die von beiden Forschungsgruppen in gemeinsamer Verantwortung getragen wird, und an
dessen Weiterentwicklung im Rahmen einer Open-Source - Gemeinschaft sich künftig noch
weitere Partner beteiligen können.
Unter Ausblendung aller technologischen Fragen und der Details der Benutzung3 des Programmes soll unser Beitrag dieses Konzept anhand einer ausgewählten theoretischen Fragestellung
erläutern, um dem interessierten Musiktheoretiker Möglichkeiten des experimentellen Arbeitens
mit dem Computer aufzuzeigen.
Als in einem RUBATO-Workshop4 die MetroRubette® – ein RUBATO-Modul zur metrischen
Analyse – vorgestellt wurde, kam in der Diskussion die Frage auf, ob die von der MetroRubette
ermittelte analytische Information Aufschluss über das Phänomen der Auftaktigkeit geben kann.
Inwieweit offenbart die Analyse der ‚inneren‘ metrischen Struktur, wie sie von der MetroRubette
ermittelt wird, jene für Auftaktigkeit typische Divergenz zwischen Taktmetrum und Gruppierung
der Einsätze? Als interessantes ambivalentes Beispiel für eine metrische Struktur, die entgegen
der Notation einer Auftaktigkeit gleicht, wurde der Des-Dur-Mittelteil von Schuberts Moment
Musical op 94 No 4 genannt.
Abb.1: Takte 62 - 65 von Schuberts Moment Musical Op. 94 No 4 (Beginn des Mittelteils).
Mit aller gebotenen Vorsicht können wir diese Frage wie folgt beantworten: Wenn Auftaktigkeit
nicht singulär, sondern als kohärenzstiftendes Mittel der individuellen Komposition auftritt, dann
hinterlässt sie in der metrischen Analyse der MetroRubette signifikante Spuren.
Unsere Argumentation zugunsten dieser Feststellung soll sich als Leitfaden durch die drei einzelnen Abschnitte ziehen: von der Erläuterung der Analysemethode der MetroRubette (Abschnitt
1) über die musiktheoretische Diskussion von ausgewählten Fallbeispielen (Abschnitt 2) bis zur
Einordnung solchen Vorgehens in die RUBATO-Konzeption (Abschnitt 3).
1
Dieses Forschungsprojekt wurde vom Schweizerischen Nationalfonds finanziert.
Die Forschungsgruppe KIT-MaMuTh für Mathematische Musiktheorie wird von der Volkwagen-Stiftung im
Rahmen des Förderprogramms „Nachwuchsgruppen an den Universitäten“ finanziert.
3
Detaillierte Information zu RUBATO I siehe www.rubato.org, aktuelle Informationen zu RUBATO II siehe
http://www.mamuth.de.
4
Workshop „Computergestützte Musiktheorie“ an der Hochschule für Musik „Carl Maria von Weber“ in
Dresden, Oktober 1999.
2
1 Der Analyseansatz der MetroRubette
Die im folgenden in fünf Schritten vorgestellte mathematische Modellierung der inneren metrischen Struktur liegt der MetroRubette zugrunde. Um alle Konstruktionen im Detail erläutern zu
können, haben wir in diesem Abschnitt ein einfaches Beispiel gewählt:
c
0
a
b
c
d
e
2
3
4
6
10
a
12
12
e
6
3
2
b
d
10
Abb. 2: Maximale lokale Metren, metrischer Komplex und metrisches Gewicht eines Beispiels.
(i) Die Spezifikation einer Menge von Einsatzzeiten
Die MetroRubette arbeitet mit einer gegebenen Abfolge X von Einsatzzeiten. Es bleibt dabei dem
Benutzer überlassen, ob er – wie im Beipiel – die Einsatzzeiten aller in einer Komposition
gegebenen Töne wählt, oder ob er eine andere Auswahl klingender oder nichtklingender Partiturelemente zum Ausgangspunkt seiner metrischen Analyse machen will. Im Beispiel handelt es
sich um die Abfolge von 7 Einsatzzeiten: X = {0, 2, 3, 4, 6, 10, 12}, die von 0 beginnend nach
Vielfachen von 16-teln durchnumeriert sind.
(ii) Die Berechnung aller maximalen lokalen Metren
Über die getroffene Wahl der Abfolge X hinaus stehen für die Analyse keine externen PartiturInformationen zur Verfügung. Das einfachste nur denkbare Modell einer repetitiven Struktur ist
das lokale Metrum. Es ist definiert als spezielle Abfolge L = {E, E + D, E + D + D, ...} von
mindestens drei Einsatzzeiten, die ab einer Starteinsatzzeit E durch Wiederholung eines festen
Einsatzabstandes D entsteht. Wir interessieren uns von jetzt an nur für die inneren lokalen
Metren, d.h. solche, die ganz aus Einsatzzeiten aus X bestehen. Wenn ein inneres lokales
Metrum in keinem noch größeren inneren Metrum enthalten ist, nennen wir es ein maximales
lokales Metrum von X. Unser Beispiel aus Abbildung 2 besitzt 5 maximale lokale Metren: a =
{0, 2, 4, 6}, b = {2, 3, 4}, c = {0, 3, 6}, d = {2, 6, 10}, e = {0, 6, 12}. Ein nicht-maximales
lokales Metrum wäre beispielsweise {2, 4, 6}, denn es läßt sich zu a = {0, 2, 4, 6} erweitern.
(iii) Die Bestimmung der metrischen Bänder und des metrischen Komplexes
Zunächst kann man die 5 maximalen lokalen Metren als 5 verschiedene Möglichkeiten ansehen,
innerhalb der Abfolge X (nach verschiedenerlei Maß) zu zählen. Weil wir in diesem Fall die
Achtelpause nicht zu X rechnen, ist {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12} kein inneres lokales Metrum.
Wenn nun eine oder mehrere Einsatzzeiten aus X gleichzeitig zweien dieser lokalen Metren angehören, so sagen wir, daß zwischen diesen beiden lokalen Metren ein metrisches Band5 besteht.
Beispielsweise verkörpern die Einsatzzeiten 2 und 4 ein metrisches Band zwischen den lokalen
Metren a und b. Lediglich zwischen b und e besteht kein metrisches Band.
Eine natürliche Erweiterung der Idee des Bandes wird mit dem Begriff des metrischen Komplexes erfaßt: In Abbildung 2 (rechts) sieht man eine geometrische Figur (bestehend aus einem Tetraeder mit seinen Seiten und Kanten, einem Dreieck mit seinen Kanten und einer einzelnen
5
Der Terminus des Bandes wurde aus der Harmonielehre entlehnt, wo man nach Schönberg (1911) gemeinsame
(liegenbleibende) Töne von Dreiklangsstufen harmonisches Band nennt.
Strecke), die zwischen fünf Eckpunkten aufgespannt wird. Jeder dieser fünf Punkte repräsentiert
eines der maximalen lokalen Metren a, b, c, d, e. Jede Strecke zwischen zwei Eckpunkten
repräsentiert ein metrisches Band. Davon gibt es in der Abbildung insgesamt neun. Betrachten
wir nun das Tetraeder. Seine sechs Kanten stellen die sechs einzelnen Sachverhalte dar, daß die
Metren a, c, d, und e je paarweise durch Bänder verbunden sind. Das Innere dieses Tetraeders
steht darüber hinaus für den Sachverhalt, daß diese 4 lokalen Metren alle durch mindestens eine
gemeinsame Einsatzzeit verbunden sind (nämlich hier die Einsatzzeit 6). Das Dreieck zwischen
den Eckpunkten a, b, und d steht für den Sachverhalt, daß auch a, b und d eine gemeinsame Einsatzzeit haben (die 2).
All diese einfachen geometrischen Gebilde (Punkte, Strecken, Dreiecke, Tetraeder, ...) konstituieren den metrischen Komplex6 von X. Man kann ihn verstehen als eine geometrische Veranschaulichung der globalen Überlappungsverhältnisse auf dem ‚geographischen Atlas‘ von X, der
aus den ‚Karten‘ der maximalen lokalen Metren von X besteht.
(iv) Die Bestimmung der metrischen Dominanzbeziehungen
Zu jeder Einsatzzeit Ei von X betrachten wir nun ihren metrischen Kontext. Darunter soll derjenige Teil K(Ei) des metrischen Komplexes verstanden werden, der aus allen maximalen lokalen
Metren gebildet wird, denen die Einsatzzeit Ei angehört. Für unser Beispiel sind sie in der folgenden Tabelle aufgeführt:
Einsatzzeit Ei
metrischer
Kontext K(Ei )
0
2
3
4
6
10
12
Dreieck Dreieck Kante Kante Tetraeder Ecke Ecke
{a, c, e} {a, b, d} {b, c} {a, b} {a, c, d, e} {d}
{e}
Die gegenseitigen Enthaltenseins-Beziehungen der metrischen Kontexte induzieren auf natürliche Weise eine (transitive) metrische Dominanzrelation zwischen den Einsatzzeiten der Abfolge X: Wann immer ein metrischer Kontext K(Ei) in einem anderen Kontext K(Ej) enthalten
ist, dann sagen wir, daß die Einsatzzeit Ej die Einsatzzeit Ei dominiert.
Das Dreieck {a, c, e}, das für den metrischen Kontext der Einsatzzeit 0 steht und die Ecken {d}
und {e}, die für die metrischen Kontexte der Einsatzzeiten 10 und 12 stehen, gehören alle drei zu
den Begrenzungen des Tetraeders {a, c, d, e}. Folglich dominiert die Einsatzzeit 6 die Einsatzzeiten 0, 10 und 12. Da die Ecke {e} auch zu den Begrenzungen des Dreiecks {a, c, e} gehört, dominiert auch die Einsatzzeit 0 die Einsatzzeit 12. Weiter sieht man, daß die Einsatzzeit 2
die Einsatzzeiten 4 und 10 dominiert, denn die Kante {a, b} und die Ecke {d} sind Begrenzungen des Dreiecks {a, b, d}. Die Einsatzzeit 3 bildet einen isolierten Kontext. In Abbildung 2
(rechts) wird die Dominanzrelation durch Pfeile dargestellt. Die 7 Einsatzzeiten findet man dort
jeweils als Beschriftungen von ihren Kontexten.
Wie kann man diese Dominanzrelation interpretieren? Die äußere am Taktmetrum orientierte
metrische Hierarchie unterwirft die Einsatzzeiten einer äußeren Dominanzrelation. Das Vorhandensein metrischer Beziehungen zwischen Einsatzzeiten, die nicht in einer solchen äußeren
Dominanzrelation zueinander stehen (z.B. zwei „schwache“ Einsatzzeiten in zwei verschiedenen
Takten) wird davon nicht erfaßt. Andererseits ist nicht zu erwarten, daß in einer kohärenten
Komposition die taktbezogenen äußeren Dominanzverhältnisse bereits erschöpfend Aufschluß
über die metrischen Aspekte jener Kohärenz geben können. Wie oben beschrieben zeigt sich in
unserem Beispiel eine von der äußeren abweichende innere Dominanzrelation: Die Einsatzzeiten
2 und 6 dominieren alle anderen Einsatzzeiten mit Ausnahme der isolierten 3.
(v) Die Quantifizierung der metrischen Analyse als metrisches Gewicht
Die letzte Feststellung würde man mit Bezug auf Hugo Riemanns (1903) Terminologie so paraphrasieren, daß die jeweils dominanten Einsatzzeiten ein höheres (inneres) metrisches Gewicht
haben. In RUBATO wurde ein Algorithmus implementiert, der diese Vorstellung in Zahlen
konkretisiert. In Abhängigkeit von zwei Parametern Länge l und Profil p, die der Benutzer
variieren kann, produziert die MetroRubette ein metrisches Gewicht, welches jeder Einsatzzeit
der Abfolge X eine Zahl zuordnet. Für jede Einsatzzeit Ei wird ihr metrisches Gewicht G(Ei) aus
ihrem metrischen Kontext K(Ei) ermittelt, indem zunächst für jedes Metrum m aus K(Ei) ein
Gewicht g(m) berechnet wird, deren Summe G(Ei ) ergibt.
6
Der metrische Komplex ist ein Simplizialkomlex, der für jeden nichtleeren Durchschnitt von n maximalen
lokalen Metren dasjenige (n-1)-Simplex enthält, welches von den zugehörigen Ecken gebildet wird.
Welchen Einfluß sollen dabei die Parameter Länge und Profil haben? Unter Punkt 2 wurde verlangt, daß ein lokales Metrum mindestens aus 3 Einsatzzeiten besteht, damit überhaupt Repetition vorliegt. Der Benutzer der MetroRubette kann mit der Vorgabe eines größeren LängenParameters als 2 eine höhere Mindestzahl von Repetitionen festlegen und damit kürzere Metren
aus der Analyse ausblenden. Der Profil-Parameter p bestimmt den quantitativen Einfluß jeden
berücksichtigen Metrums in Abhängigkeit von dessen Länge.7 D.h. der Benutzer kann auch innerhalb der zugelassenen Metren seine Aufmerksamkeit auf kürzere oder längere Metren fokussieren.
Die Gewichtung eines lokalen Metrums m erfolgt denkbar einfach: Wenn m die Länge k hat,
dann setzt man g(m):= kp . Das Gewicht G(Ei) der Einsatzzeit Ei ist also die Summe aller g(m)
für die maximalen lokalen Metren m der Länge k S l aus dem Kontext K(Ei). Wenn man das
Profil p = 0 setzt und als Länge den kleinstmöglichen Wert l = 2 wählt, dann ist das metrische
Gewicht einer Einsatzzeit die Anzahl der Metren ihres Kontexts.
In unserem Beispiel ist g(a) = 3p und g(b) = g(c) = g(d) = g(e) = 2p . Die folgende Tabelle zeigt
die metrischen Gewichte für die Profile 0, 1 und 2:
Einsatzzeit Ei
metrischer
Kontext K(Ei )
G(Ei ) für p = 0
G(Ei ) für p = 1
G(Ei ) für p = 2
0
2
3
4
6
10
12
Dreieck Dreieck Kante Kante Tetraeder Ecke Ecke
{a, c, e} {a, b, d} {b, c} {a, b} {a, c, d, e} {d}
{e}
3
3
2
2
4
1
1
7
7
4
5
9
2
2
17
17
8
13
21
4
4
Abbildung 2 zeigt über den Noten eine graphische Darstellung der Gewichte für p=0 (je länger
ein Balken, desto höher das betreffende Gewicht).Während das Profil p = 1 eine feinere Differenzierung liefert als das Profil p = 0, bringt das Profil p = 2 gegenüber p = 1 nur eine andere
Ausprägung derselben „Gewichts-Diastematik“in größeren Gewichtsintervallen mit sich. Bei
komplizierteren Beispielen als dem vorliegenden erweist sich die systematische Variation von
Länge und Profil als eine sehr gute Möglichkeit, deren innere Metrik explorativ zu erschließen.
Wie in Abschnitt 3 erläutert wird, können die Gewichte innerhalb von RUBATO auch dazu benutzt werden, experimentelle Performances zu erzeugen und damit neben dem theoretischen auch
einen ästhetischen Zugang zu den Analyseergebnissen zu ermöglichen.
2 Praktisches Arbeiten mit der MetroRubette
Ein Blick auf das einfache Beispiel aus Abschnitt 1 macht deutlich, daß die innere metrische
Struktur einen von der äußeren Taktmetrik völlig verschiedenen Gegenstand darstellt. An Hand
einiger komplexerer Beispiele werden nun metrische Gewichte diskutiert, die verschiedene
Möglichkeiten der Interaktion von äußerer und innerer metrischer Struktur verdeutlichen. Die im
folgenden gezeigten Gewichtsdarstellungen wurden mit der MetroRubette erstellt.
Beispiel 1: Das Lied „Bunt sind schon die Wälder“
7
Der Einsatzabstand geht in RUBATO I noch nicht als variable Größe in die Bestimmung der metrischen
Gewichte ein.
Abb. 3: Das metrische Gewicht der Toneinsätze von „Bunt sind schon die Wälder“. Graue Hintergrundlinien
kennzeichnen Taktanfänge, schwarze Linien stellen durch ihre Höhe die metrischen Gewichte der Einsatzzeiten
dar, über denen sie abgetragen sind (p = 2, l = 3).
Deutlich erkennbar markieren die Taktanfänge auch die höchsten metrischen Gewichte, die
Einsatzzeiten auf dem Halbtakt erhalten die nächsthöheren Gewichte, die übrigen Einsatzzeiten
auf der 2, 5 und 6 erhalten die niedrigsten Werte. Die Übereinstimmung dieses Gewichts mit
den drei Hierarchieebenen des äußeren 6/8-Taktmetrums geht so weit, daß man letztere durch
konstante Trennlinien im metrischen Gewicht isolieren kann:
Abb. 4: Die Schichtung des metrischen Gewichts von Abbildung 3 mit Trennlinien.
Beispiel 2: Takte 1-8 des Allegretto in c D 915 von Schubert
Trotz auftaktigem Beginn legt die Schubert-Neuausgabe (Neue Ausgabe sämtlicher Werke)
durch ihre Phrasierungsbögen eine volltaktige Auffassung nahe. Riemann hingegen versieht das
Stück in seiner „Schule des musikalischen Vortrags“ mit einer auftaktigen Phrasierung.
Abb. 5: Schuberts Allegretto in c. Links: Notendarstellung des Beginns (ohne Phrasierung). Rechts: Das
metrische Gewicht der Takte 1-8 einschließlich Wiederholung für die Längenparameter l = 23 und l = 2 (siehe
Abschnitt 1, Punkt 5), (p = 2).
Das metrische Gewicht dieser acht Takte und ihrer Wiederholung führt zu folgenden Beobachtungen:
- Betrachtet man die Gewichte, die nur von Metren aus mindestens 24 Einsatzzeiten stammen
(siehe obere Gewichtsdarstellung), so ergibt sich eine Gliederung in 3 Ebenen, die formal mit
dem äußeren Taktmetrum übereinstimmt, die jedoch hinsichtlich der Dominanzverhältnisse eine
Abweichung erkennen läßt. Die höchsten metrischen Gewichte liegen auf dem vierten Achtel
jeden zweiten Taktes. D.h. die innere metrische Struktur widerspiegelt die naheliegende
Gruppierung des Notentextes in 2-Takt-Phrasen, deren Enden je auf den dominanten Einsatzzeiten liegen.
- Das verfeinerte Gewicht, welches alle maximalen lokalen Metren berücksichtigt (siehe untere
Gewichtsdarstellung), erhellt die Ambiguität zwischen den beiden Phrasierungs-Auffassungen.
Das sechste Achtel ist von der je darauffolgenden Eins im metrischen Gewicht nicht zu unterscheiden: Meist hat die Eins einen geringfügig höheren Wert, an der Taktgrenze 10 sind die Gewichte jedoch gleich und an der Taktgrenze 6 hat das 6. Achtel einen höheren Wert.
Beispiel 3: A-Teil des Intermezzos Op.117 Nr. 1 von Brahms
Abb. 6: Intermezzo Op.117 Nr. 1 von Brahms. Links: Notendarstellung des Beginns. Rechts: metrische Gewichte
des A-Teils (p = 2, l = 2).
Die höchsten metrischen Gewichte liegen auf dem vierten und sechsten Achtel, die Gewichte
des zweiten Achtels liegen auf einer mittleren Schicht, die Gewichte des ersten und dritten Achtels bilden die nächst tiefere Schicht, die kleinsten Werte liegen auf dem fünften Achtel. Im vorherigen Beispiel sahen wir in der Ununterscheidbarkeit der Gewichte des sechsten und ersten
Achtels ein Indiz für die Ambiguität zwischen Voll- und Auftaktigkeit. In diesem Beispiel äußert
sich die systematische Auftakt-Gruppierung der Einsätze in entsprechenden Gewichtsverhältnissen der inneren metrischen Struktur - das Gewicht des sechsten Achtels überragt deutlich
das des ersten. Auftaktigkeit manifestiert sich hier in einer kohärenten inneren metrischen
Struktur.
Beispiel 4: Thema der A-Dur-Sonate KV 331 von Mozart
Die Sonate ist ein vielzitiertes Beispiel für die Diskussion von Auf-und Volltaktigkeit (siehe
beispielsweise die Argumentationen von Meyer p.31 ff, Gabrielsson p. 84 ff, Lerdahl/Jackendoff p.63). Die Phrasierung wird im Urtext volltaktig, in der Peters-Ausgabe jedoch auftaktig
angegeben.
Abb. 7: A-Dur-Sonate KV 331 von Mozart. Links: Notendarstellung des Beginns. Rechts: metrische Gewichte
des Themas (p=2, l=2).
Die höchste Schicht wird von den Gewichten des ersten Achtels (gekenzeichnet durch die grauen
Hintergrundlinien) und vierten Achtels gebildet, das sechste Achtel erhält einen deutlich
niedrigeren Wert. Die Verhältnisse der inneren metrischen Struktur stützen daher eher die volltaktige Phrasierung des Urtextes.
Beispiel 5: Moment Musical Op. 94 Nr. 4 von Schubert
Kommen wir auf das Eingangsbeispiel zurück – den Mittelteil in Des-Dur des Moment Musical
Op. 94 Nr. 4 von Schubert. Sowohl Melodik, Harmonik als auch Rhythmik scheinen so komponiert (siehe Abb.1), daß die Viertelnote auf dem zweiten Achtel des Taktes – die zusätzlich
sogar noch mit einem Betonungszeichen versehen ist – als ‚eigentlicher‘ Taktanfang interpretiert
werden kann und so das volltaktig notierte Stück auftaktig erscheinen lassen kann. Im Unterschied zu den vorherigen Beispielen steht jedoch nicht die Gruppierung zur Diskussion,
sondern die Orthographie der Taktstriche und somit die Interpretation des Gruppenbeginns als
Volltakt oder Auftakt. Wiederum fragen wir uns, ob die Analyse der inneren metrischen Struktur
Indizien zugunsten einer der beiden Auffassungen liefert oder ob sie eine Ambivalenz widerspiegelt:
Abb. 8: Moment Musical Op. 94 Nr. 4 von Schubert: Drei Verfeinerungen des metrischen Gewichts, und zwar
zu den Längen 79, 38 im Ausschnitt und zur Länge 2 vollständig.
Hier lohnt es sich, die Variation des Längenparameters in der Analyse systematisch zu verfolgen.
Abbildung 8 zeigt nur 3 Verfeinerungen des metrischen Gewichts, und zwar zu den Längen 79,
38 im Ausschnitt und zur Länge 2 vollständig.
- Bei einer Mindestlänge von 80 Einsatzzeiten erhalten die ersten drei Sechzehntel jeden Taktes
dasselbe Gewicht (siehe Abb. 8 oben links). Alle anderen Einsatzzeiten haben das Gewicht 0. Es
ergibt sich daraus keine Differenzierung im Sinne unserer Fragestellung.
- Bei einer Mindestlänge von 39 Einsatzzeiten ergibt sich erstmals eine Differenzierung, bei der
die höchten Gewichte auf dem zweiten Achtel erscheinen (siehe Abb. 8 oben rechts). Die immer
feiner ausdifferenzierten metrischen Gewichte zwischen den Längen 38 und 3 nehmen ihre
höchsten Werte durchweg auf dem zweiten Achtel jeden Taktes (der mit einem Betonungszeichen versehenen Note) an. Wie läßt sich dieser Sachverhalt interpretieren? Einerseits korrespondieren die metrischen Gewichte mit der Betonungsstruktur des Notentextes. Andererseits
deckt sich dies aber nicht mit unseren bisherigen Feststellungen zur Auftaktigkeit. Wenn man
unter Befürwortung von „Auftaktigkeit“ die Taktstriche verschieben wollte, würde sich eine andere Form von Kohärenz einstellen, als dies beim Brahms-Intermezzo der Fall ist. Dort liegen
schließlich die hohen metrischen Gewichte auf der Auftaktnote. Offensichtlich liegt hier also
eine andere Situation vor, die dadurch charakterisiert ist, daß inneres und äußeres Metrum ihre
Rollen bei der Stabilisierung von Gruppierung und Akzent vertauschen.
- Die Zahl der maximalen lokalen Metren aus mindestens vier Einsatzzeiten beträgt 576. Erst die
Einbeziehung der 6391 maximalen Metren aus drei Einsatzzeiten ändert die Gestalt des Gewichts entscheidend. Sowohl die Gewichte der Eins als auch die des zweiten Sechszehntels
wachsen vom Beginn des Stückes, wo sie verschwindend kleine Werte annehmen, bis zur Mitte
des Stückes, um zu dessen Ende hin wieder abzunehmen. Dadurch erscheinen in der Abbildung
zwei pyramidenartige Gestalten, deren höhere den Gewichten auf der Eins entspricht. Das Gewicht der Eins ‚überholt‘ das Gewicht des zweiten Achtels im Takt 748 , also dem Beginn des
Mittelteils nach dem die Exposition abschließenden Doppelstrich. An jener Stelle hören interessanterweise die bis dahin konsequent fortgesetzten Betonungszeichen auf dem zweiten Achtel
auf. Der Höhepunkt dieser Entwicklung der inneren metrischen Aufwertung der Eins fällt mit
dem Beginn der Reprise in Takt 89 zusammen. Wie läßt sich diese Beobachtung interpretieren?
Die Vielzahl der kurzen Metren ergibt sich infolge der rhythmischen Wiederholungen auf
Motivebene und kann als eine Ambiguität verstanden werden, die sich in jenem Prozeß des
Wiederholens einstellt.
Einen anderen Zugang zu dieser Struktur als den der Visualisierung der Gewichte erhält man
durch das ‚Hörbarmachen‘ der analytischen Resultate. RUBATO ermöglicht es dem Benutzer
durch verschiedene Operatoren der PerformanceRubette (siehe Abschnitt 3), mithilfe der Analyseergebnisse die Interpretation des Stückes zu gestalten. Läßt man beispielsweise das feinste
Gewicht so auf die Lautstärkegestaltung einwirken, daß ein Ton um so lauter gespielt wird, je
höher das Gewicht der zugehörigen Einsatzzeit ist, so führt dies zu folgendem Prozeß: Das ganz
allmähliche crescendo auf der 1 in der ersten Hälfte des Stücks bzw. decresendo in der zweiten
Hälfte vermittelt zu Beginn eine Betonungsstruktur, die deutlich einen Auftakt (also eine Verschiebung der notierten Taktstriche) suggeriert, welche dann fast unmerklich über einen indifferenten Bereich hin zu einer Volltaktigkeit umkippt, wobei sich daran der umgekehrte Prozeß
anschließt. In jedem konkreten Takt ist die Akzentstruktur eindeutig, durch ihre prozesshafte
Änderung im Verlauf des Stückes entsteht ein ambivalenter Eindruck.
8
Die Numerierung bezieht sich auf das gesamte Stück.
Für die Untersuchungen an allen fünf Beispielen läßt sich folgendes konstatieren:
Für jeden der beiden Teilaspekte der metrischen Struktur (der äußeren und inneren Metrik) stehen solide Begriffsbildungen zur Verfügung. Das Studium ihrer Interaktion befindet sich jetzt
in einer experimentellen Phase, die hier an Beispielen skizziert wurde. Für detaillierte Protokolle zu Experimenten mit der MetroRubette siehe www.mamuth.de. Das theoretische Ziel dieser
Untersuchungen besteht darin, das Phänomen metrischer Kohärenz zwischen innerer und
äußerer metrischer Struktur begrifflich zu fassen.
Darüberhinaus ist natürlich die metrische Analyse auch als Baustein individueller Werkanalysen
von Interesse, in denen es um die Interaktion von Metrik, Melodik und Harmonik und anderen
Aspekten geht. (siehe hierzu Beran und Mazzola (2000), Fleischer (2000) und Stange- Elbe
(2000)).
3. Das RUBATO-Konzept
Die MetroRubette ist Teil einer umfassenderen Arbeitsumgebung, der RUBATO-Plattform,
welche Analyse, Komposition9 , Aufführungs-Interpretation und Daten-Management (Speicherung, Darstellung, Format-Umwandlung) von Musik erlaubt und miteinander verbindet. Eine
wichtige Intention von RUBATO I besteht darin, analytisch gewonnene Information mit Hilfe
computergenerierter Aufführungs-Interpretation zu vermitteln. Wie im letzten Abschnitt angedeutet, werden analytische Gewichte dazu benutzt, Aufführungsparameter wie Dynamik, Tempo,
Artikulation und Intonation gezielt zu beeinflussen. Das RUBATO-Hauptprogramm stellt für
die Verbindung einzelner Experimente die kommunikativen Grundlagen bereit (siehe Abbildung
9)
Abbildung 9: Das RUBATO-Konzept im Schaubild.
Als Grundlage für die Repräsentation und Kommunikation musikalischer und musiktheoretischer Objekte wurde die Modellsprache denoteX entwickelt, die universelle Konstruktionsprinzipien des mathematischen Denkens auf musikalische Objekte anwendet. Benutzer können
damit nicht nur Musikdaten, sondern auch komplexe Analysedaten untereinander austauschen
und in ihren wissenschaftlichen Diskurs einbeziehen.
9
Die gegenwärtig für RUBATO II in Zürich entwickelte PrestoRubette erweitert die bisherigen Rubetten für
Analyse und Performance um ein Kompositionswerkzeug.
Die bislang verfügbaren analytischen Rubetten (MetroRubette, MeloRubette, HarmoRubette) als
auch die in RUBATO II neu hinzukommenden Rubetten beziehen die dahinterliegenden
theoretischen Ansätze aus der Mathematischen Musiktheorie. Wie wir am Beispiel der MetroRubette gesehen haben, handelt es sich dabei um Werkzeuge, die das experimentelle Arbeiten
mit mathematischen Modellen für mögliche neue musiktheoretische Gegenstände erlaubt. Die
Frage, ob diese Modelle sinnvoll mit musiktheoretischer Bedeutung ‚geladen‘ werden können,
obliegt keineswegs den Autoren einer Rubette allein. Vielmehr versteht sich jedes RubettenProjekt nicht als bloßes Software-Produkt, sondern vielmehr als ein wissenschaftlicher
Kommunikationsprozeß.
Die MetroRubette ist ein gutes Beipiel dafür, daß komplexe mathematische Strukturen und
Sachverhalte durchaus handhabbar und vermittelbar sind. Die Erklärungskraft und die Angemessenheit eines Modells muß jeweils im wissenschaftlichen Diskurs ermittelt und bewertet
werden.
Der Computer wird von den Autoren vor allem als ein Instrument betrachtet, mit dem der Benutzer seinen schöpferischen Verstand schärfen, durch den er ihn aber natürlich nicht ersetzen
kann. Dies gilt auch für den ‚kollektiven Verstand‘, den eine Gemeinschaft von Forschern durch
die Qualität ihres wissenschaftlichen Diskurses hervorbringt. Beide Aspekte sind mit einem
neuen experimentellen Paradigma in den Geisteswissenschaften verbunden, welches durch die
Existenz von Computern entscheidend befördert wird. Für die Motivation der Rubetten ist charakteristisch, daß sie das experimentelle Arbeiten in speziellen sich entwickelnden Wissensbereichen unterstützen, die sich dadurch erst der Forschung erschließen. Damit unterscheiden sie
sich von solchen Programmen, die darauf spezialisiert sind, etablierte musiktheoretische
‚Routine‘-Arbeit zu automatisieren.10 Auch in der RUBATO-Benutzung gibt es natürlich
stärkere und schwächere Standardisierungsgrade in der Arbeitsorganisation:
Eine Routine-Sitzung mit RUBATO sieht etwa so aus, daß ein Benutzer ein bereits vorhandenes
RUBATO-Dokument seines Interesses öffnet, eine Rubette lädt, um die Objekte des Dokuments
zu verarbeiten und schließlich das Resultat in einer anderen Rubette weiter verarbeitet oder es
einfach für späteren Zugriff speichert. Die Dokumentenstruktur von RUBATO II erlaubt es, den
verzweigten Baum der Entstehungsgeschichte der Dokumente, das sogenannte Stemma11 , zu
protokollieren und auch visuell darzustellen. Damit werden Experimente einsehbar,
nachvollziehbar und komfortabel modifizierbar.
Eine Experten-Sitzung mit RUBATO wollen wir am folgenden Szenario verdeutlichen: Eine
Benutzerin habe mit Hilfe eines Editors für denoteX-Objekttypen einen neuen Typus eingeführt.
Sie kann dann zwar Dokumente mit Objekten dieses Typs anlegen und durch die allgemeinen
Visualisierung-Werkzeuge12 als Konfigurationen im dreidimensionalen virtuellen Raum
anzeigen lassen. Es wird aber meist nicht möglich sein, spezielle analytische Fragen an die Objekte dieses neuen Typs direkt mit Hilfe einer schon vorhandenen Rubette zu stellen. Die noch in
Entwicklung befindliche LoGeoRubette soll die Benutzerin darin unterstützen, Fragestellungen
zu formulieren, welche noch nicht in vorhandenen Rubetten programmiert sind. Das Kürzel
“LoGeo” steht hier für Logik und Geometrie. Es bezeichnet die Methoden, welche zur Konstruktion neuer Fragestellungen in Form von zusammengesetzten Prädikaten benutzt werden
können.
Wie das historische Dokumenten-Stemma Teil der Protokollierung in RUBATO II ist, wird
auch das Protokoll einer Expertensitzung als Prädikaten-Stemma die Spur der wissenschaftlichen Theoriebildung festhalten.
Die Dokumentenarchivierung zur hier beschriebenen Technologie soll ab 2001 auf einem Musiktheorie-Server an der TU Berlin über das Internet allgemein zugänglich gemacht werden.
(siehe Noll&Garbers 2000). Zugriff auf RUBATO ist über die Adressen www.mamuth.de und
www.rubato.org möglich. Im Rahmen eines Internet-Instituts13 wird u.a. daran gearbeitet, die
Zusammenarbeit von RUBATO-Nutzern durch neue Formen der Institutionalisierung zu unterstützen.
10
Der praktische Nutzen solcher Programme soll damit in keiner Weise geschmälert werden
Diese Stemmata verallgemeinern das Interpretations-Stemma der schon in RUBATO I programmierten
PerformanceRubette. Das Interpretations-Stemma ist der Entwicklungsbaum einer den Übungsprozess
simulierenden sukzessiven Verfeinerung einer Aufführungsinterpretation und wurde schon erfolgreich
12
Zur PrimaVistaRubette siehe www.ifi.unizh.ch/staff/goeller
13
Institut für Grundlagenforschung in der Musik (siehe www.encyclospace.org)
11
Literatur:
Beran, Jan und Guerino Mazzola (2000), „Timing Microstructure in Schumann´s ‚Träumerei‘
as an Expression of Harmony, Rhythm, and Motivic Structure in Music Performance“. In:
Computers and Mathematics with Applications 39: 99-130.
Fleischer, Anja (2000), „Die „kräftig anregende Wirkung“ der Vortragslehre Riemanns für
analytische Interpretationen mit der Software RUBATO“. In: Mehner, Klaus und Tatjana
Böhme, Hugo Riemann - Ein großer deutscher Musikgelehrter. Wien: Böhlau. (Publikation in
Vorbereitung).
Gabrielsson, Alf (1987), „Once again: The Theme from Mozart‘s Piano Sonata In A Major (K.
331)“. In: Action and Perception in Rhythm and Music.
Noll, Thomas und Jörg Garbers (2000), „Global Music Theory“, In: Global village, global
brain, global music - Klangart‘99 Proceedings. Universität Osnabrück.
Lerdahl, Fred und Jackendoff, Ray (1983), A Generative Theory of Tonal Music. Cambridge,
Massachusetts: The MIT Press.
Mazzola, Guerino, Oliver Zahorka und Joachim Stange-Elbe (1995), „Analysis and performance of a dream“. In: Anders Friberg & Johan Sundberg, Proceedings of the KTH
Symposium on Grammars for Music Performance. Stockholm.
Guerino Mazzola (2000), The Topos of Music, Birkhäuser, Basel (Publikation in Vorbereitung).
Meyer, Leonard B. (1973), Explaining Music. Essays and Explorations. Chicago: The University of Chicago Press.
Riemann, Hugo (ohne Jahresangabe), Schule des Vortrages.
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