Übungskatalog 12.03., 19.03, 02.04.2012

Übungskatalog 12.03., 19.03, 02.04.2012
1. Beim österreichischen Lotto sind 6 Zahlen aus der Menge (1; 2; …; 45) anzukreuzen;
diese 6 Zahlen ergeben einen Tipp auf dem Lottoschein.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Tipp genau 6 richtige Zahlen
aufweist?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit kreuzt man in einem Tipp 3 richtige Zahlen an?
c) Wie groß sind die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten beim deutschen Lotto?
Hier sind 6 Zahlen aus (1; 2; …; 49) anzukreuzen.
(Bei den Berechnungen sind Zusatzzahlen nicht zu berücksichtigen.)
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die drei Kinder einer Familie Mädchen
sind, wenn bekannt ist, dass
a) das erste Kind ein Mädchen ist und
b) eines der Kinder ein Mädchen ist?
Bei der Lösung nehme man Knaben- und Mädchengeburten als gleich wahrscheinlich an,
Mehrlingsgeburten sind ausgeschlossen.
3.
In einem Unternehmen mit 500 Beschäftigten werden im Zuge einer Grippeimpfung 300
geimpft. In der Folge erkrankten 50 Personen, von denen 15 geimpft waren. Wie groß ist
die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
a) eine Person erkrankt,
b) eine geimpfte Person erkrankt,
c) eine erkrankte Person zur Gruppe der Geimpften gehört?
4. Ziegenproblem: In einer populären Fernsehshow bekam ein Kandidat die Chance, einen
großen Preis (Auto) zu gewinnen. Dazu musste die richtige Wahl zwischen drei Türen
getroffen werden; hinter einer steht ein Auto, hinter den beiden anderen je eine Ziege.
Der Kandidat wählt z.B. Tür 1, und der Showmaster (der weiß, was sich hinter jeder Tür
befindet) öffnet Tür 3 (wo - natürlich - eine Ziege zum Vorschein kommt) und fragt den
Kandidaten, ob er sich seine Wahl noch einmal überlegen, also wechseln will. Ist es ein
Vorteil, die Wahl der Tür zu ändern?
5. Bei einem diagnostischen Verfahren zum Nachweis einer Erkrankung sei die
Wahrscheinlichkeit, ein falsch-negatives (falsch-positives) Ergebnis zu erhalten, gleich
0,3% (10%). Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der Krankheit in einer bestimmten
Zielgruppe sei 0,5%.
a) Man berechne die Wahrscheinlichkeit, dass bei positivem Ergebnis tatsächlich eine
Erkrankung vorliegt.
b) Eine Person mit positivem Testergebnis unterzieht sich ein zweites Mal dem Test.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Erkrankung vorliegt, wenn der Test
positiv ausfällt?
6. Ein medizinischer Test zum Nachweis einer Erkrankung K liefert mit 95%-iger
Wahrscheinlichkeit ein richtig-positives Ergebnis und mit 5%-iger Wahrscheinlichkeit ein
falsch-positives Ergebnis. Wie groß ist die Prävalenz von K (d.h. die Wahrscheinlichkeit,
mit der K in der betrachteten Region auftritt), wenn die Wahrscheinlichkeit eines
positiven Testausgangs 23% beträgt?
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7. Eine Münze wird dreimal geworfen, wobei bei jedem Wurf die Münze entweder
Kopf oder Zahl (mit gleicher Wahrscheinlichkeit) zeigt. Man bestimme
a) die möglichen Werte der Variablen X= „Anzahl der Köpfe in der Versuchsreihe“,
b) die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X und
c) den Wert der Verteilungsfunktion an der Stelle x = 2.
8. Für bestimmte Blumenzwiebeln wird eine Wahrscheinlichkeit von mindestens 80%
garantiert, dass eine Zwiebel nach dem Einsetzen austreibt. Jemand kauft 5 Zwiebeln und
stellt fest, dass nur 3 austreiben. Unter der Voraussetzung, dass die garantierte
Mindestwahrscheinlichkeit von 80% zutrifft, gebe man die Wahrscheinlichkeit dafür an,
dass höchstens 3 der 5 Zwiebeln austreiben.
9. Bei einem medizinischen Eingriff ist das Risiko einer bestimmten Komplikation gleich
0.5%. Der Eingriff wird bei 100 Personen vorgenommen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit P, dass mehr als 2 Komplikationen auftreten?
a) Man bestimme P mit Hilfe der Poisson-Verteilung.
b) Wie stark weicht die approximative Lösung von der exakten ab?
10. Ein Produktionslos enthält 1000 Widerstände. Der Hersteller garantiert, dass höchstens
5% defekt sind. Jedes Los wird vor Lieferung geprüft, indem 10 Widerstände
entnommen werden. Sind alle 10 Widerstände in Ordnung, wird das Los zur
Auslieferung freigegeben. Wie groß ist bei diesem Prüfverfahren die Wahrscheinlichkeit,
dass ein Los zurückgewiesen wird, obwohl es den Bedingungen (höchstens 5% defekt)
entspricht?
11. Rückfangmethoden werden angewendet, um die Größe N einer Population zu schätzen.
Im einfachsten Fall werden aus der Population a Individuen eingefangen, markiert und
wieder freigelassen. Nachdem sich die markierten Individuen mit der übrigen Population
vermischt haben, wird eine zweite Stichprobe von n Individuen entnommen und
festgestellt, wie groß die Anzahl R der darunter befindlichen markierten Individuen ist.
Man bestimme die Wahrscheinlichkeit P(R=2), wenn N=500, a=100 und n=5 ist.
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12. Für eine bestimmte Diagnosegruppe ist ein Laborparameter X normalverteilt mit einem
Mittelwert von 75 Einheiten und einer Standardabweichung von 10 Einheiten.
Laborwerte unter 55 und über 95 gelten als kritisch.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass X einen kritischen Wert annimmt?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stichprobe von 5 Personen,
mindestens viermal ein nicht kritischer Wert gemessen wird?
13. Die Serumspiegel von α-Tocopherol (Serum-Vitamin E) von Normalpersonen gelten als
annähernd normalverteilt mit einem Erwartungswert von 860 µg/dl und einer
Standardabweichung von 340 µg/dl.
a) Welcher Anteil von Personen mit einem Serum-α-Tocopherolspiegel zwischen 550 und
1500 µg/dl ist unter diesen Annahmen zu erwarten?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird bei Einzelpersonen ein Serum-α-Tocopherolspiegel
von 1600 µg/dl und mehr auftreten?
c) Wie groß ist die erwartete Anzahl von Personen mit einem Serum-α-Tocopherolspiegel
von 860 µg/dl und weniger, wenn 10 Einzelpersonen untersucht werden?
d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 10 untersuchten Einzelpersonen genau 3
Personen Serum-α-Tocopherolspiegel von weniger als 860 µg/dl aufweisen?
(aus: Ralf-Dieter Hilgers, Peter Bauer, Viktor Scheiber (2007). Einführung in die
Medizinische Statistik. 2. Auflage, Springer Verlag.)
14. Die Masse (in mg) einer Wirksubstanz W in einem Präparat sei normalverteilt mit
dem Mittelwert 10 und der Varianz 0,25.
a) Welcher Anteil von Präparaten mit der Substanz W zwischen 9mg und 11mg
ist zu erwarten?
b) Wie groß ist das 25%- und das 75%-Quantil der Verteilung?
15. Die Masse (in mg) eines Insekts sei normalverteilt mit dem Mittelwert 15 und der Varianz
9. Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt die Masse einen Wert außerhalb des 1-fachen
Interquartilabstandes IQR um den Mittelwert, d.h. außerhalb des Intervalls (µ-IQR,
µ+IQR), angenommen?
16. Ein Hersteller von Erfrischungsgetränken füllt 1-Liter-Flaschen maschinell ab. Die
Abfüllmenge sei N(µ, σ2)-verteilt. Man berechne µ und σ2 aus den Werten P(X < 0.97) =
0.04 und P (X > 1.03) = 0.03, die aus Erfahrung bekannt seien.
(aus: Mühlbach, G. (2002). Repetitorium der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik.
2. Auflage, Binomi Verlag.)
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