Tutorium - Prof. Dr. Wolfgang Götze
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Fachhochschule Stralsund
Fachbereich Wirtschaft
Tutorium Statistik II
Prof. Dr. Götze
Inhalt
Vorlesungsgliederung
Literaturhinweise
Verteilungstabellen
Formelsammlung
Aufgaben ( Serie 1- 11 )
Lösungen ( Serie 1- 11 )
Tutorium Statistik II
_________________________________________________________________________
Lehrveranstaltung Statistik II
Umfang
4 SWS
Fachrichtung
Betriebswirtschaft
Gliederung
1.
1.1
1.2
1.3
1.4
1.4.1
1.4.2
1.4.3
1.5
1.6
1.7
Grundbegriffe
Zufallsexperiment und Ereignis
Ereignisverknüpfung
Kombinatorische Grundprobleme
Wahrscheinlichkeitsbegriffe
Klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff
Häufigkeitsinterpretation des Wahrscheinlichkeitsbegriffs
Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Multiplikationssatz für unabhängige Ereignisse
2.
2.1
2.2
2.3
2.4
2.4.1
2.4.2
2.4.3
2.5
Zufallsvariable
Definition diskreter Zufallsvariabler
Wahrscheinlichkeitsfunktion diskreter Zufallsvariabler
Verteilungsfunktion diskreter Zufallsvariabler
Parameter einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung
Erwartungswert
Varianz, Standardabweichung
Tschebyschew-Ungleichung
Diskrete Gleichverteilung
3.
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Spezielle diskrete Verteilungen
Gleichverteilung
Bernoulli-Verteilung
Binomial-Verteilung
Hypergeometrische Verteilung
Geometrische Verteilung
Poisson-Verteilung
_________________________________________________________________________
Seite - 2 -
Tutorium Statistik II
_________________________________________________________________________
4.
4.1
4.1.1
4.1.2
4.1.3
4.2
4.3
4.3.1
4.3.2
4.3.3
4.3.4
4.3.5
4.3.6
4.3.7
4.4
4.4.1
4.4.2
Spezielle stetige Verteilungen
Gleichverteilung
Wahrscheinlichkeit für Intervalle
Verteilungsfunktion
Erwartungswert, Varianz
Exponentialverteilung
Normalverteilung
Eigenschaften
Standardnormalverteilung
Summation normalverteilter Zufallsgrößen
Zentrale Schwankungsintervalle
Approximation der BV durch eine NV
Quantilplots
Zentraler Grenzwertsatz
Weitere stetige Verteilungen
t-Verteilung
χ2-Verteilung
5.
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
Stichproben
Stichprobe und Grundgesamtheit
Zufällige und nicht zufällige Stichproben
Geschichtete Stichproben
Klumpenstichproben
Unabhängige, identisch verteilte Stichproben
6.
6.1
6.1.1
6.1.2
6.1.3
6.2
6.2.1
6.2.2
6.2.3
6.2.4
6.2.5
Schätzen und Testen
Punkt- und Intervallschätzung
Eigenschaften von Punktschätzfunktionen
Vertrauensintervalle
Schätzen nach der Methode der Kleinsten Quadrate
Statistische Tests
Grundlagen
Einfacher Gauß-Test
χ2 - Anpassungstest
χ2 - Unabhängigkeitstest
Korrelationstest
_________________________________________________________________________
Seite - 3 -
Tutorium Statistik II
_________________________________________________________________________
Literatur zum Selbststudium
Bamberg, G.; Baur, F.
Statistik, R. Oldenbourg Verlag München Wien, 7. Auflage 1992
Bleymüller, J. u. A.
Statistik für Wirtschaftswissenschaftler, Franz Vahlen München, 7. Auflage 1991
Dürr, W.; Mayer,H.
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Schließende Statistik
Carl Hanser Verlag München Wien, 3. Auflage 1992
Förster, E.; Rönz, B.
Regressions- und Korrelationsanalyse
Gabler Verlag, 1. Auflage 1992
Rönz, B.; Strohe,H.G.(Hrsg.)
Statistik für Wirtschaft und Verwaltung
Gabler Verlag, 1. Auflage 1994
Schlittgen, R.;
Einführung in dieStatistik
R. Oldenbourg Verlag München Wien, 3. Auflage 1993
Vogel, F.
Beschreibende und Schließende Statistik, Aufgaben und Beispiele
R. Oldenbourg Verlag , 4. Auflage 1992
SPSS-Handbuch
_________________________________________________________________________
Seite - 4 -
Tutorium Statistik II
_________________________________________________________________________
Binomialverteilung
Verteilungsfunktion F ( x; n; p) =
∑ b(m; n; p) = P (X ≤ x) der Binomialverteilung
m≤ x
n
x
2
0
1
2
0
1
2
3
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
p
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0,1
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1
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1
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0,9995
1
1
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0,9774
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1
1
1
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0,9672
0,9978
0,9999
1
1
1
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0,9962
0,9998
1
1
1
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0,99
1
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0,972
0,999
1
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0,9963
0,9999
1
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0,9185
0,9914
0,9995
1
1
0,5314
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0,9842
0,9987
0,9999
1
1
0,4783
0,8503
0,9743
0,9973
0,9998
1
1
0,64
0,96
1
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0,896
0,992
1
0,4096
0,8192
0,9728
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1
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0,7373
0,9421
0,9933
0,9997
1
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0,6554
0,9011
0,9830
0,9984
0,9999
1
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0,5767
0,8520
0,9667
0,9953
0,9996
1
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0,9375
1
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0,8438
0,9844
1
0,3164
0,7383
0,9492
0,9961
1
0,2373
0,6328
0,8965
0,9844
0,9990
1
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0,5339
0,8306
0,9624
0,9954
0,9998
1
0,1335
0,4449
0,7564
0,9294
0,9871
0,9987
0,9999
0,49
0,91
1
0,343
0,784
0,973
1
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0,6517
0,9163
0,9919
1
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0,5282
0,8369
0,9692
0,9976
1
0,1176
0,4202
0,7443
0,9295
0,9891
0,9993
1
0,0824
0,3294
0,6471
0,8740
0,9712
0,9962
0,9998
0,36
0,84
1
0,216
0,648
0,936
1
0,1296
0,4752
0,8208
0,9744
1
0,0778
0,337
0,6826
0,9130
0,9898
1
0,0467
0,2333
0,5443
0,8208
0,9590
0,9959
1
0,0280
0,1586
0,4199
0,7102
0,9037
0,9812
0,9984
0,6634
0,9428
0,9942
0,9996
1
0,4305
0,8131
0,9619
0,9950
0,9996
1
0,1678
0,5033
0,7969
0,9437
0,9896
0,9988
0,9999
1
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0,3671
0,6785
0,8862
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0,9958
0,9996
1
0,0576
0,2553
0,5518
0,8059
0,9420
0,9887
0,9987
0,9999
1
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0,3154
0,5941
0,8263
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0,9915
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1
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1
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1
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0,6875
0,9375
1
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0,5000
0,8125
0,9688
1
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1
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0,8555
0,9648
0,9961
1
_________________________________________________________________________
Seite - 5 -
Tutorium Statistik II
_________________________________________________________________________
Binomialverteilung (Fortsetzung)
n
x
9
p
0,05
0,10
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0,40
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0
1
2
3
4
5
6
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8
9
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1
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1
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1
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10
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1
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0,9999
1
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1
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0,9857
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0,9996
1
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0,8822
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0,9905
0,9983
0,9998
1
0,0022
0,0196
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0,2253
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0,6652
0,8418
0,9427
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0,9972
0,9997
1
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0,9270
0,9807
0,9968
0,9998
1
_________________________________________________________________________
Seite - 6 -
Tutorium Statistik II
_________________________________________________________________________
Binomialverteilung (Fortsetzung)
n
13
x
0
1
2
3
4
5
6
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12
13
14
15
p
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1
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1
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Tutorium Statistik II
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Tutorium Statistik II
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Tutorium Statistik II
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0,0000
0,0001
0,0005
0,0022
0,0080
0,0233
0,0570
0,1187
0,2147
0,3427
0,4900
0,6374
0,7659
0,8638
0,9290
0,9671
0,9865
0,9951
0,9985
0,9996
0,9999
1
0,2146
0,5535
0,8122
0,9392
0,9844
0,9967
0,9994
0,9999
1
0,0424
0,1837
0,4114
0,6474
0,8245
0,9268
0,9742
0,9922
0,9980
0,9995
0,9999
1
0,0012
0,0105
0,0442
0,1227
0,2552
0,4275
0,607
0,7608
0,8713
0,9389
0,9744
0,9905
0,9969
0,9991
0,9998
0,9999
1
0,0002
0,0020
0,0106
0,0374
0,0979
0,2026
0,3481
0,5143
0,6736
0,8034
0,8943
0,9493
0,9784
0,9918
0,9973
0,9992
0,9998
0,9999
1
0,0000
0,0003
0,0021
0,0093
0,0302
0,0766
0,1595
0,2814
0,4315
0,5888
0,7304
0,8407
0,9155
0,9599
0,9831
0,9936
0,9979
0,9994
0,9998
1
0,0000
0,0000
0,0000
0,0003
0,0015
0,0057
0,0172
0,0435
0,0940
0,1763
0,2915
0,4311
0,5785
0,7145
0,8246
0,9029
0,9519
0,9788
0,9917
0,9971
0,9991
0,9998
1
0,5
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0003
0,0012
0,0041
0,0121
0,0307
0,0680
0,1325
0,2291
0,3555
0,5000
0,6445
0,7709
0,8675
0,9320
0,9693
0,9879
0,9959
0,9988
0,9997
0,9999
1
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0002
0,0007
0,0026
0,0081
0,0214
0,0494
0,1002
0,1808
0,2923
0,4278
0,5722
0,7077
0,8192
0,8998
0,9506
0,9786
0,9919
0,9974
0,9993
0,9998
1
_________________________________________________________________________
Seite - 11 -
Tutorium Statistik II
_________________________________________________________________________
x
PoissonverteilungVerteilungsfunktion F ( x , λ ) = ∑ pi (λ ) = P ( X ≤ x)
i =1
x
λ
0
1
2
x
0,995
1,000
1,000
λ
0
1
2
3
4
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
0,150
0,861
0,990
1,000
1,000
1,000
λ
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x
0,005
1,000
0,368
0,736
0,920
0,981
0,996
0,999
1,000
1,000
1,000
λ
4,000
0,018
0,092
0,238
0,434
0,629
0,785
0,889
0,949
0,979
0,992
0,997
0,991
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
0,010
0,990
1,000
1,000
0,200
0,819
0,983
0,998
1,000
1,000
1,200
0,301
0,663
0,880
0,966
0,992
0,999
1,000
1,000
1,000
5,000
0,007
0,040
0,125
0,265
0,441
0,616
0,762
0,867
0,932
0,968
0,986
0,995
0,998
0,999
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
0,020
0,980
1,000
1,000
0,300
0,741
0,963
0,996
1,000
1,000
1,400
0,247
0,592
0,834
0,946
0,986
0,997
0,999
1,000
1,000
6,000
0,003
0,017
0,062
0,151
0,285
0,446
0,606
0,744
0,847
0,916
0,957
0,980
0,991
0,996
0,999
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
0,030
0,970
1,000
1,000
0,400
0,670
0,938
0,992
0,999
1,000
1,600
0,202
0,525
0,783
0,921
0,976
0,994
0,999
1,000
1,000
7,000
0,001
0,007
0,030
0,082
0,173
0,301
0,450
0,599
0,729
0,831
0,902
0,947
0,973
0,987
0,994
0,998
0,999
1,000
1,000
1,000
0,040
0,981
0,999
1,000
0,500
0,607
0,910
0,986
0,998
1,000
2,000
0,135
0,406
0,677
0,857
0,947
0,983
0,996
0,999
1,000
8,000
0,000
0,003
0,014
0,042
0,100
0,191
0,313
0,453
0,593
0,717
0,816
0,888
0,936
0,966
0,983
0,992
0,996
0,998
0,999
1,000
0,050
0,951
0,999
1,000
0,600
0,549
0,878
0,977
0,997
1,000
2,500
0,082
0,237
0,544
0,758
0,891
0,958
0,986
0,996
0,999
9,000
0,000
0,001
0,006
0,021
0,055
0,116
0,207
0,324
0,456
0,587
0,706
0,803
0,876
0,926
0,959
0,978
0,989
0,995
0,998
0,999
0,100
0,905
0,995
1,000
0,800
0,449
0,809
0,953
0,991
0,999
3,000
0,050
0,199
0,423
0,647
0,815
0,916
0,967
0,988
0,996
10,00
0,000
0,001
0,003
0,010
0,029
0,067
0,130
0,220
0,333
0,458
0,583
0,697
0,792
0,865
0,917
0,951
0,973
0,986
0,993
0,997
_________________________________________________________________________
Seite - 12 -
Tutorium Statistik II
_________________________________________________________________________
Standardnormalverteilung
x
Flächen unter der Gaußschen Glockenkurve Φ( x) =
∫ ϕ (t )
für 0 ≤ x ≤ 3,08
−∞
x
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
.5000
.5398
.5793
.6179
.6554
.5040
.5438
.5832
.6217
.6591
.5080
.5478
.5871
.6255
.6628
.5120
.5517
.5910
.6293
.6664
.5160
.5557
.5948
.6331
.6700
.5199
.5596
.5987
.6368
.6736
.5239
.5636
.6026
.6406
.6772
.5279
.5675
.6064
.6443
.6808
.5319
.5714
.6103
.6480
.6844
.5359
.5753
.6141
.6517
.6879
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
.6915
.7257
.7580
.7881
.8159
.6950
.7291
.7611
.7910
.8186
.6985
.7324
.7642
.7939
.8212
.7019
.7357
.7673
.7967
.8238
.7054
.7389
.7704
.7995
.8264
.7088
.7422
.7734
.8023
.8289
.7123
.7454
.7764
.8051
.8315
.7157
.7486
.7794
.8078
.8340
.7190
.7517
.7823
.8106
.8365
.7224
.7549
.7852
.8133
.8389
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
.8413
.8643
.8849
.9032
.9192
.8438
.8665
.8869
.9049
.9207
.8461
.8686
.8888
.9066
.9222
.8485
.8708
.8907
.9082
.9236
.8508
.8729
.8925
.9099
.9251
.8531
.8749
.8944
.9115
.9265
.8554
.8770
.8962
.9131
.9279
.8577
.8790
.8980
.9147
.9292
.8599
.8810
.8997
.9162
.9306
.8621
.8830
.9015
.9177
.9319
1,5
1,6
1.7
1,8
1,9
.9332
.9452
.9554
.9641
.9713
.9345
.9463
.9564
.9649
.9719
.9357
.9474
.9573
.9656
.9726
.9370
.9484
.9582
.9664
.9732
.9382
.9495
.9591
.9671
.9738
.9394
.9505
.9599
.9678
.9744
.9406
.9515
.9608
.9686
.9750
.9418
.9525
.9616
.9693
.9756
.9429
.9535
.9625
.9699
.9761
.9441
.9545
.9633
.9706
.9767
2,0
2,1
2.2
2,3
2,4
.9772
.9821
.9861
.9893
.9918
.9778
.9826
.9864
.9896
.9920
.9783
.9830
.9868
.9898
.9922
.9788
.9834
.9871
.9901
.9925
.9793
.9838
.9875
.9904
.9927
.9798
.9842
.9878
.9906
.9929
.9803
.9846
.9881
.9909
.9931
.9808
.9850
.9884
.9911
.9932
.9812
.9854
.9887
.9913
.9934
.9817
.9857
.9890
.9916
.9936
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
.9938
.9953
.9965
.9974
.9981
.9987
.9940
.9955
.9966
.9975
.9982
.9987
.9941
.9956
.9967
.9976
.9982
.9987
.9943
.9957
.9968
.9977
.9983
.9988
.9945
.9959
.9969
.9977
.9984
.9988
.9946
.9960
.9970
.9978
.9984
.9989
.9948
.9961
.9971
.9979
.9985
.9989
.9949
.9962
.9972
.9979
.9985
.9989
.9951
.9963
.9973
.9980
.9986
.9990
.9952
.9964
.9974
.9981
.9986
.9990
_________________________________________________________________________
Seite - 13 -
Tutorium Statistik II
_________________________________________________________________________
Ausgewählte Quantile und zentrale Schwankungsintervalle der
Standardnormalverteilung
Quantile
Schwankungsintervalle
1-α
z1−α
1-α/2
z1−α / 2
0,001
-3,08
0,800
1,28
0,005
-2,58
0,900
1,64
0,06
-2,50
0,950
1,96
0,010
-2,33
0,954
2,00
0,023
-2,00
0,960
2,05
0,025
-1,96
0,980
2,33
0,050
-1,64
0,990
2,58
0,100
-1,28
0,995
2,81
0,159
-1,00
0,997
3,00
0,500
0,00
0,999
3,29
0,841
1,00
0,900
1,28
0,950
1,64
0,975
1,96
0,977
2,00
0,990
2,33
0,994
2,50
0,995
2,58
0,999
3,08
_________________________________________________________________________
Seite - 14 -
Tutorium Statistik II
_________________________________________________________________________
Exponentialfunktion (für x = 0,0 bis x = 10,0)
x
e-x
x
e-x
x
e-x
x
e-x
x
e-x
0,00
1,0000
1,50
0,2231
3,00
0,0498
5,00
0,0067
8,00
0,0003
0,05
0,9512
1,55
0,2122
3,05
0,0474
5,10
0,0061
8,10
0,0003
0,10
0,9048
1,60
0,2019
3,10
0,0450
5,20
0,0055
8,20
0,0003
0,15
0,8607
1,65
0,1920
3,15
0,0428
5,30
0,0050
8,30
0,0002
0,20
0,8187
1,70
0,1827
3,20
0,0408
5,40
0,0045
8,40
0,0002
0,25
0,7788
1,75
0,1738
3,25
0,0388
5,50
0,0041
8,50
0,0002
0,30
0,7408
1,80
0,1653
3,30
0,0369
5,60
0,0037
8,60
0,0002
0,35
0,7047
1,85
0,1572
3,35
0,0351
5,70
0,0034
8,70
0,0002
0,40
0,6703
1,90
0,1496
3,40
0,0334
5,80
0,0030
8,80
0,0002
0,45
0,6376
1,95
0,1423
3,45
0,0318
5,90
0,0027
8,90
0,0001
0,50
0,6065
2,00
0,1353
3,50
0,0302
6,00
0,0024
9,00
0,0001
0,55
0,5769
2,05
0,1287
3,55
0,0287
6,10
0,0022
9,10
0,0001
0,60
0,5488
2,10
0,1225
3,60
0,0273
6,20
0,0020
9,20
0,0001
0,65
0,5220
2,15
0,1165
3,65
0,0260
6,30
0,0018
9,30
0,0001
0,70
0,4966
2,20
0,1108
3,70
0,0247
6,40
0,0017
9,40
0,0001
0,75
0,4724
2,25
0,1054
3,75
0,0235
6,50
0,0015
9,50
0,0001
0,80
0,4493
2,30
0,1003
3,80
0,0224
6,60
0,0014
9,60
0,0001
0,85
0,4274
2,35
0,0954
3,85
0,0213
6,70
0,0012
9,70
0,0001
0,90
0,4066
2,40
0,0907
3,90
0,0202
6,80
0,0011
9,80
0,000
0,95
0,3867
2,45
0,0863
3,95
0,0192
6,90
0,0010
9,90
0,000
1,00
0,3679
2,50
0,0821
4,00
0,0183
7,00
0,0009
10,0
0,000
1,05
0,3499
2,55
0,0781
4,10
0,0166
7,10
0,0008
1,10
0,3329
2,60
0,0743
4,20
0,0150
7,20
0,0007
1,15
0,3166
2,65
0,0706
4,30
0,0136
7,30
0,0007
1,20
0,3012
2,70
0,0672
4,40
0,0123
7,40
0,0006
1,25
0,2865
2,75
0,0640
4,50
0,0111
7,50
0,0006
1,30
0,2725
2,80
0,0608
4,60
0,0100
7,60
0,0005
1,35
0,2592
2,85
0,0578
4,70
0,0091
7,70
0,0004
1,40
0,2466
2,90
0,0550
4,80
0,0082
7,80
0,0004
1,45
0,2346
2,95
0,0523
4,90
0,0074
7,90
0,0003
_________________________________________________________________________
Seite - 15 -
Tutorium Statistik II
_________________________________________________________________________
t-Verteilung
Quantile t der Verteilungsfunktion F für die Wahrscheinlichkeit γ = 1- α und f Freiheitsgrade
F (t ) = P(T ≤ t ) = 1 − α
f/1-α
α
0,750
0,900
0,950
0,975
0,990
0,995
0,999
0,9995
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
30
1,000
0,816
0,765
0,741
0,727
0,718
0,711
0,706
0,703
0,700
0,697
0,695
0,694
0,692
0,691
0,690
0,689
0,688
0,688
0,687
0,686
0,686
0,685
0,685
0,684
0,684
0,684
0,683
3,078
1,886
1,638
1,533
1,476
1,440
1,415
1,397
1,383
1,372
1,363
1,356
1,350
1,345
1,341
1,337
1,333
1,330
1,328
1,325
1,323
1,321
1,319
1,318
1,316
1,315
1,314
1,310
6,314
2,920
2,353
2,132
2,015
1,943
1,895
1,860
1,833
1,812
1,796
1,782
1,771
1,761
1,753
1,746
1,740
1,734
1,729
1,725
1,721
1,717
1,714
1,711
1,708
1,706
1,703
1,697
12,706
4,303
3,182
2,776
2,571
2,447
2,365
2,306
2,262
2,228
2,201
2,179
2,160
2,145
2,131
2,120
2,110
2,101
2,093
2,086
2,080
2,074
2,069
2,064
2,060
2,056
2,052
2,042
31,821
6,965
4,541
3,747
3,365
3,143
2,998
2,896
2,821
2,764
2,718
2,681
2,650
2,624
2,602
2,583
2,567
2,552
2,539
2,528
2,518
2,508
2,500
2,492
2,485
2,479
2,473
2,457
63,657
9,925
5,841
4,604
4,032
3,707
3,499
3,355
3,250
3,169
3,106
3,055
3,012
2,977
2,947
2,921
2,898
2,878
2,861
2,845
2,831
2,819
2,807
2,797
2,787
2,779
2,771
2,750
318,309
22,327
10,215
7,173
5,893
5,208
4,785
4,501
4,297
4,144
4,025
3,930
3,852
3,787
3,733
3,686
3,646
3,610
3,579
3,552
3,527
3,505
3,485
3,467
3,450
3,435
3,421
3,385
636,621
31,599
12,924
8,610
6,869
5,959
5,408
5,041
4,781
4,587
4,437
4,318
4,221
4,140
4,073
4,015
3,965
3,922
3,883
3,850
3,819
3,792
3,768
3,745
3,725
3,707
3,690
3,646
40
60
120
1000
0,681
0,679
0,677
0,675
1,303
1,296
1,289
1,282
1,684
1,671
1,658
1,646
2,021
2,000
1,980
1,962
2,423
2,390
2,358
2,330
2,704
2,660
2,617
2,581
3,307
3,232
3,160
3,098
3,551
3,460
3,373
3,300
_________________________________________________________________________
Seite - 16 -
Tutorium Statistik II
_________________________________________________________________________
χ 2 − Verteilung
Quantile χ n,1− α der Verteilungsfunktion F für die Wahrscheinlichkeit γ = 1 − α :
(
)
(
)
F χ 2n ,1− α = P χ 2 ≤ χ 2n ,1− α = 1 − α
n/1-α
α
0,100
0,050
0,025
0,010
0,001
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2,706
4,605
6,251
7,779
9,236
10,645
12,017
13,362
14,684
15,987
3,841
5,991
7,815
9,488
11,070
12,592
14,067
15,507
16,919
18,307
5,024
7,378
9,348
11,143
12,833
14,449
16,013
17,535
19,023
20,483
6,635
9,210
11,345
13,277
15,086
16,812
18,475
20,090
21,666
23,209
10,828
13,816
16,266
18,467
20,515
22,458
24,322
26,124
27,877
29,588
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
17,275
18,549
19,812
21,064
22,307
23,542
24,769
25,989
27,204
28,412
19,675
21,026
22,362
23,685
24,996
26,296
27,587
28,869
30,144
31,410
21,920
23,337
24,736
26,119
27,488
28,845
30,191
31,526
32,852
34,170
24,725
26,217
27,688
29,141
30,578
32,000
33,409
34,805
36,191
37,566
31,264
32,909
34,528
36,123
37,697
39,252
40,790
42,312
43,820
45,315
21
22
23
24
25
26
27
30
29,615
30,813
32,007
33,196
34,382
35,563
36,741
40,256
32,671
33,924
35,172
36,415
37,652
38,885
40,113
43,773
35,479
36,781
38,076
39,364
40,646
41,923
43,195
46,979
38,932
40,289
41,638
42,980
44,314
45,642
46,963
50,892
46,797
48,268
49,728
51,179
52,62
54,052
55,476
59,703
40
50
60
70
80
90
51,805
63,167
74,397
85,527
96,578
107,565
55,758
67,505
79,082
90,531
101,879
113,145
59,342
71,420
83,298
95,023
106,629
118,136
63,691
76,154
88,379
100,425
112,329
124,116
73,402
86,661
99,607
112,317
124,839
137,208
100
118,498
124,342
129,561
135,807
149,449
_________________________________________________________________________
Seite - 17 -
Tutorium Statistik II
_________________________________________________________________________
Zufallszahlen (siehe Bohley, S. 783)
18611
58319
61199
18627
00441
32624
65961
20288
59362
99782
27767
13025
80217
10875
54127
60311
49739
78626
66692
44071
59820
25704
22304
17710
25852
46780
59849
47670
94304
08105
64281
66847
72461
21032
95362
19241
15997
67940
90872
58997
68691
73488
34060
95938
93478
43584
14338
36292
62004
57326
42824
71484
51594
13986
28091
96163
91035
90314
59621
58905
56487
96169
07654
71803
59987
61826
70495
33230
91050
67011
66083
08355
55121
00911
14060
14845
41839
39685
74416
53152
85301
54066
98525
90391
26629
37301
92003
16453
99837
07362
78851
26313
78438
15292
55018
75211
87195
30342
73465
21437
18555
32350
21529
13058
06651
24653
60860
29281
98936
40619
46672
55382
23309
53166
67433
88977
15243
24335
61105
19087
42678
98086
94614
00582
97703
16499
77463
66276
76139
56374
10271
46092
40277
09819
36786
64937
02985
53424
16218
16136
84609
29735
59076
76355
29549
61958
17267
10061
35208
35663
29490
47724
24432
57411
24472
45990
76668
39014
81232
76447
87064
55387
18396
59526
35824
36633
26787
11049
58869
49226
64654
01755
72877
06554
57216
58232
47762
07936
93779
69616
77100
70943
68829
33374
52972
69714
66733
24896
06368
88779
43242
73209
97066
44987
42537
13075
72681
73538
52113
71708
68424
60939
72049
35220
77837
25843
14750
17334
07850
39618
41849
46352
11087
52701
57275
20857
15633
92694
77613
38688
94015
74108
62880
11748
17944
66067
54244
30945
69170
08345
73035
47341
43277
53856
30540
17374
59202
83012
09504
98524
41145
48968
39283
73950
49856
84547
33049
96294
08337
36898
73156
84924
48297
19019
32486
64874
88222
87873
12102
05600
42792
91030
57589
37403
88975
41207
43905
58874
30743
27886
52003
11973
09832
96412
97831
42820
38603
04149
79552
99326
46850
69248
14013
56303
81304
70284
90415
39904
88152
45134
32444
88570
95160
80580
60478
95043
45547
31732
86995
35841
74699
31048
11466
08670
61732
70707
02902
25571
90193
65704
14924
70312
90850
24781
40902
52326
93460
31792
87315
48585
24326
93614
02115
00080
63545
48277
74015
59221
41867
03343
52680
70818
57260
90307
85771
09310
56699
16082
84741
75454
70214
33250
77628
79568
09514
39650
05682
64618
89683
05069
_________________________________________________________________________
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Tutorium Statistik II
_________________________________________________________________________
Formelsammlung Statistik II
2) Wahrscheinlichkeiten
1) Ereignisse
Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines
Ereignisses A
Stichprobenraum
Ω
P( A )
Ereignis
Additionssatz
A
A ⊆ Ω
P( A ∪ B) = P( A ) + P( B) − P( A ∩ B)
Sicheres Ereignis
weitere Rechenregeln
Ω
( )
P A = 1 − P( A )
Unmögliches Ereignis
(
)
P( A − B) = P A ∩ B
∅
= P( A ) − P( A ∩ B)
Komplementärereignis zu A
P( A ) ≥ P( B)
falls
B⊆ A
A
Additionssatz für unverträgliche Ereignisse
Unverträgliche Ereignisse A und B
P(A 1 ∪ A 2 ∪...∪A n )
= P(A 1 ) + P(A 2 )+...+ P(A n )
A ∩ B = ∅
falls
Identität
Ai ∩ A j = ∅ i ≠ j
Bonferoni-Ungleichung
(
)
A = ( A ∩ B) ∪ A ∩ B
( ( ) ( ))
P( A ∪ B) ≥ 1 − P A + P B
_________________________________________________________________________
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Tutorium Statistik II
_________________________________________________________________________
Bedingte Wahrscheinlichkeit
P( A B) =
P( A ∩ B)
P( B)
P( B) ≠ 0
falls
Additionssatz für bedingte Wahrscheinlichkeiten
P(( A ∪ B) C) = P( A C) + P( B C)
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
für ein vollständiges System {A i }
P( B) =
n
∑ P( A
Multiplikationssatz für unabhängige
Ereignisse
∩ B)
Satz von Bayes
P( A i B) =
A ∩ B=∅
falls
i
i=1
P( B A i ) ⋅ P( A i )
∑ P( B A ) ⋅ P( A )
n
i
i=1
i
3) Diskrete Zufallsvariable X
Wahrscheinlichkeitsfunktion
P( A ∩ B) = P( A ) ⋅ P( B)
falls P( A B) = P( A )
P( B A ) = P( B)
und
f ( x) = P( X = x)
∑ P ( X = x) = 1
x
Multiplikationssatz für bedingte Wahrscheinlichkeiten
Verteilungsfunktion
P(( A ∩ B) C) = P( A C) ⋅ P( B C)
F( x 0 ) =
∑ P( X = x)
x≤ x0
Vollständiges System von Ereignissen
{A }
Erwartungswert
i
n
UA
i =1
i
=Ω
µ = E( X) =
∑ x ⋅ P ( X = x)
x
A i ∩ A j = ∅ für i ≠ j
_________________________________________________________________________
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Tutorium Statistik II
_________________________________________________________________________
Varianz
5) Rechenregeln für Erwartungswert
σ 2 = Var ( X)
E( a + bX) = a + bE( X)
=
∑ ( x − E( X) ) P( X = x)
2
x
n
E ∑ a i X i =
i =1
Standardabweichung
σ =
σ2
Dichtefunktion
∞
∫ f ( x) dx = 1
und
−∞
Verteilungsfunktion
F( x 0 ) =
∫ f ( x) dx
i
µ = E( X) =
Var( a ± bX) = b 2 Var( X)
Multiplikationssatz für unabhängige
Zufallsvariable X und Y
E( X ⋅ Y) = E( X) ⋅ E( Y)
Verschiebesatz für die Varianz
Var( X) = E( X 2 ) − ( E( X) )
Erwartungswert
2
∞
∫ xf ( x)dx
−∞
Kovarianz
[
]
Cov( X , Y) = E ( X - E( X) )( Y − E( Y) )
Varianz
σ 2 = Var(X)
Verschiebesatz für die Kovarianz
∫ ( x − E( X) ) f ( x) dx
−∞
i
i=1
Var( X ± Y) = Var( X) + Var ( Y)
dF
= f ( x)
dx
=
∑ a E( X )
Additionssatz für unabhängige Zufallsvariable X und Y
x0
−∞
∞
n
und Varianz
4) Stetige Zufallsvariable X
f ( x) ≥ 0
E( X ± Y) = E( X) ± E( Y)
2
Cov( X , Y) = E( X ⋅ Y) − E( X) ⋅ E( Y)
_________________________________________________________________________
Seite - 21 -
Tutorium Statistik II
_________________________________________________________________________
b) Poissonverteilung X ~ P. V. (λ )
mit
E( X ⋅ Y) = ∑
x
∑ xyP( X = x ∩ Y = y)
y
Tschebyschew-Ungleichung
P( µ − kσ ≤ X ≤ µ + kσ) ≥ 1 −
k = 1,2,3,...
1
k2
Wahrscheinlichkeitsfunktion
λx − λ
f ( x) =
e
x!
x = 0,1,2,...
Erwartungswert
p-Quantil
E( X) = λ
F( x p ) ≥ p
F( x) < p
Varianz
für x < x p
Var ( X) = λ
6) Spezielle diskrete Verteilungen
c) Hypergeometrische Verteilung
a) Binomialverteilung
X ~ H . G. V. ( N, M, n)
X ~ B. V. ( n, p)
Wahrscheinlichkeitsfunktion
n
n−x
f ( x) = p x (1 − p)
x
M N − M
⋅
x n − x
f ( x) =
N
n
max[ 0, n − ( N − M)] ≤ x ≤ min[ n, M]
x = 0,1,2,... , n
Erwartungswert
Erwartungswert
E( X) = n ⋅ p
E( X) = n
M
N
Varianz
Varianz
Var ( X) = n ⋅ p(1- p)
M N − n
Var( X) = µ 1 -
N N −1
_________________________________________________________________________
Seite - 22 -
Tutorium Statistik II
_________________________________________________________________________
d) Geometrische Verteilung
Erwartungswert
X ~ G . V. ( p)
E( X) =
Wahrscheinlichkeitsfunktion
f ( x) = p ⋅ (1 - p)
a+b
2
Varianz
x
( b - a)
x = 0,1,2,...
Var ( X) =
Erwartungswert
b) Normalverteilung
1- p
p
X ~ N . V. (µ , σ )
E( X) =
12
Dichtefunktion
Varianz
Var ( X) =
2
f (x ) =
1- p
p2
1
e
2π ⋅ σ
1 x −µ
−
2 σ
2
Verteilungsfunktion
7) Spezielle stetige Verteilungen
a) Gleichverteilung X ~ R. V. ( a, b)
x - µ
F( x) = φ
σ
Dichtefunktion
0
1
f ( x) =
b-a
0
x<a
a≤x≤b
x>b
Verteilungsfunktion
0
x-a
F( x) =
b-a
1
x<a
a≤x≤b
x>b
Standardisierte Normalverteilung
φ( z)
Verschiebeinvarianz der Verteilungsfunktion
X − µ x − µ
P( X ≤ x) = P
≤
σ
σ
Symmetrieeigenschaft
φ( z) = 1 - φ( -z)
_________________________________________________________________________
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Tutorium Statistik II
_________________________________________________________________________
Erwartungswert
Verteilungsfunktion
E( X) = µ
F( x) = 1 − e − λx
Varianz
Var( X) = σ
Erwartungswert
2
E( X) =
Quantile der Standardnormalverteilung
φ( z p ) = p
z p = - z1− p
1
λ
Varianz
Zentrale Schwankungsintervalle
P µ − z α σ ≤ X ≤ µ + z α σ = 1 − α
1−
1−
2
2
Var ( X) =
1
λ2
Eigenschaft der Exponentialverteilung
z
z
z
1−
1−
1−
α
= 1
⇒ 1 − α = 68,3%
= 2
⇒ 1 − α = 95,4%
= 3
⇒ 1 − α = 99,7%
2
α
2
α
P( X ≤ x 0 + x X > x 0 ) = P( X ≤ x)
P( X > x 0 + x X ≥ x 0 ) = P( X > x)
2
Normalverteilung einer Linearkombination
normalverteilter stochastisch unabhängiger
Zufallsgrößen X i ~ N . V. (µ i , σ i )
Y = a 1 X 1 +...+ a n X n
~ N . V. ∑ a i µ i ,
i
∑a
i
2
i
σ 2i
c) Exponentialverteilung
X ~ E. V. (λ )
λe
f ( x) =
0
Quantile
t α ;n = − t 1−α ;n
Erwartungswert
E[ T( n)] = 0
Varianz
Dichtefunktion
- λx
d) Student-Verteilung (t-Verteilung) mit n
Freiheitsgraden
x≥0
Var[ T( n)] =
n
n−2
sonst
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Tutorium Statistik II
_________________________________________________________________________
e) χ - Verteilung mit n Freiheitsgraden
9) Grenzwertsätze
Quantile
Zentraler Grenzwertsatz für n unabhängige
Zufallsvariable X i mit gleichem Erwar-
2
P( Q ≤ q α ;n ) = α
tungswert µ und gleicher Varianz σ
Erwartungswert
E[ Q( n)] = n
1 n Xi − µ
Zn =
∑
n i =1 σ
Varianz
P( Z n ≤ x)
2
→ φ( x)
n→∞
Var[ Q( n)] = 2n
8) Approximation von Verteilungen
10) Schätzen von Parametern aus einer
Stichprobe x1 ... xn
Binomialverteilung durch
Poissonverteilung
a) Erwartungswert einer normalverteilten
Grundgesamtheit
X ~ B. V. ( n,p)
µ$ = x =
falls
n ≥ 50
→
und
X ~ P. V. ( n ⋅ p)
p ≤ 0,1.
1 n
∑ xi
n i=1
b) Varianz einer normalverteilten
Grundgesamtheit
(
1 n
=
∑ xi − x
n − 1 i=1
)
2
Binomialverteilung durch
Normalverteilung
σ$
X ~ B. V. ( n, p)
c) Anteilswert einer binomialverteilten
Grundgesamtheit bei k günstigen Beobachtungen
(
→ X ~ N. V. n ⋅ p, np(1 − p)
falls
np ≥ 10
und
)
n(1 - p) ≥ 10.
Ablesevorschrift
x + 0,5 − np
P( X ≤ x) ≈ φ
np
1
−
p
(
)
x + 0,5 − np
P( X = x) ≈ φ
np(1 − p)
x − 0,5 − np
− φ
np(1 − p)
2
= s
p$ =
2
n-1
k
n
11) Schätzen von Vertrauensintervallen
aus einer Stichprobe x1 ... xn
a) Erwartungswert einer normalverteilten
Grundgesamtheit bei bekannter Varianz
σ2
x−z
α
1−
2
σ
σ
≤µ≤x+z α
1−
n
n
2
_________________________________________________________________________
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Tutorium Statistik II
_________________________________________________________________________
b) Erwartungswert einer normalverteilten
Grundgesamtheit bei unbekannter Varianz
x − tα
2
s n −1
n
;n −1
≤ µ ≤ x + tα
2
s n −1
;n −1
n
c) Varianz einer normalverteilten
Grundgesamtheit
n−1 2
n−1 2
s n −1 ≤ σ 2 ≤
s n−1
q α
qα
1− ; n − 1
2
;n − 1
2
d) Anteilswert p einer binomialverteilten
Grundgesamtheit
p$ − z
1−
p$ ( 1 − p$ )
n
α
2
≤ p ≤ p$ + z
1−
α
2
σˆ aˆ ≤ a ≤ aˆ + t
bˆ − t
σˆ bˆ ≤ b ≤ bˆ + t
n
σ$ 2e =
∑e
Hypothesen
H 0: µ = µ 0
HA: µ ≠ µ0
Annahmebereich H 0
-einseitige (rechtsseitige) Fragestellung
t=
x − µ0
n < t1− α ; n −1
sn −1
t <t
α
1− ; n −1
2
p$ (1 − p$ )
n
aˆ − t
α
1− ; n − 2
2
a) Einfacher Gauß-Test
- zweiseitige Fragestellung
e) Parameter a und b der einfachen
Regression bei unabhängigen normalverteilten Residuen e1...en
α
1− ; n − 2
2
12) Testverfahren
α
1− ; n − 2
2
α
1− ; n − 2
2
σˆ aˆ
σˆ bˆ
Ablehnungsbereich H 0
- einseitige (rechtsseitige) Fragestellung
t=
x − µ0
n ≥ t1− α ; n −1
sn −1
- zweiseitige Fragestellung
t ≥t
α
1− ; n −1
2
2
i
i=1
n−2
x2
2
σ a$ =
σ$ e2
2
( n - 1) s n −1 ( x)
1
σ b2$ =
σ$ e2
2
( n − 1) s n−1 ( x)
b) Approximativer Gauß-Test
Quantile der Student-Verteilung für
n ≥ 50 durch die Quantile der Standardnormalverteilung ersetzen
_________________________________________________________________________
Seite - 26 -
Tutorium Statistik II
_________________________________________________________________________
c) χ - Anpassungstest
Prüfgröße
Hypothesen
Q( n
2
H 0 : diskrete Verteilung mit r Parametern
und den Wahrscheinlichkeiten
p i ( i = 1,... k )
H A : Grundgesamtheit besitzt eine andere
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Prüfgröße
Q( n
*
)
=
*
m k H 2i j
= n ∑∑
− 1
i =1 j =1 H i . H . j
)
n * = (m - 1)(k − 1)
Annahmebereich H 0
q < q 1− α ; n *
Ablehnungsbereich H 0
k
∑
i
(p
i
− hi )
2
pi
q ≥ q1−α;n*
n* = k - r - 1
e) Test des linearen Korrelationskoeffizienten ρ X Y
Annahmebereich H 0
Hypothesen
q < q1− α; n*
H0: ρ XY = 0
HA: ρ XY ≠ 0
Ablehnungsbereich H 0
Prüfgröße
q ≥ q1−α;n*
T( n − 2) =
d) χ - Unabhängigkeitstest für zwei
Merkmale X und Y mit einer Stichprobe
RXY =
(x
Annahmebereich H 0
2
1
, y 1 )... ( x n , y n )
Hypothesen
H 0 : X und Y sind stochastisch
RXY
1 - R 2X Y
n−2
SX Y
SX SY
t <t
α
1− ; n − 2
2
unabhängig
Ablehnungsbereich H 0
H A : X und Y sind stochastisch abhängig
t ≥t
α
1− ; n − 2
2
_________________________________________________________________________
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Tutorium Statistik II
_________________________________________________________________________
13) Kombinatorik
Permutationen ohne Wiederholung
P( n) = n!
Permutationen mit Wiederholung
P W ( n; n 1 ... n k ) =
n!
n 1 !⋅...⋅n k !
Kombinationen ohne Wiederholung
n
K( n; k ) =
k
Kombinationen mit Wiederholung
n - 1 + k
K W ( n; k ) =
k
Variationen ohne Wiederholung
V( n; k ) =
n!
( n - k)!
Variationen mit Wiederholung
V W ( n; k ) = n k
_________________________________________________________________________
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Tutorium Statistik II
_________________________________________________________________________
SERIE 1
Aufgabe 1 :
In der Unfallstation eines Krankenhauses arbeiten 3 Ärzte: N., O. und P. Da die Aufteilung
der Wochenenddienste (Samstag und Sonntag) große Schwierigkeiten bereitet, entscheiden
sich die drei Ärzte für ein Zufallsexperiment, um diese Aufteilung vorzunehmen. Es werden
drei Zettel mit den Anfangsbuchstaben ihrer Namen (N, O und P) in eine Urne getan. Für die
Aufteilung werden dann nach dem Zufallsprinzip aus der Urne zwei Zettel gezogen.
Geben Sie die möglichen Ausgänge (2-Tupel) dieses Experiments an, wenn:
1. Mit der Aufteilung festgelegt werden soll, an welchen Tagen ein Arzt Dienst hat (1. Element des 2-Tupels steht für Samstag) und es möglich sein soll, dass ein Arzt an beiden
Tagen Dienst hat;
2. Doppel-Dienst möglich ist, aber nicht bestimmt werden soll, an welchem Tag ein Arzt
Dienst hat;
3. Kein Doppel-Dienst möglich ist, aber bestimmt werden soll, an welchem Tag ein Arzt
Dienst hat;
4. Kein Doppel-Dienst möglich ist und nicht bestimmt werden kann, an welchem Tag ein
Arzt Dienst hat.
Aufgabe 2 :
Zu Beginn eines Semesters möchte eine Studentengruppe an 5 Tagen jeweils einen Orientierungsgang durch die Universität für Erstsemester anbieten, der jeweils von einem Mitglied
durchgeführt werden soll. Es haben sich 5 freiwillige Studenten zur Verfügung gestellt.
1. Wieviele verschiedene Möglichkeiten gibt es, jedem Mitglied einen Wochentag (Montag
bis Freitag) zuzuordnen?
2. Da Klaus erkrankt ist, wird Karl zweimal einen Rundgang leiten. Wieviele verschiedene
Möglichkeiten für die namentliche Belegung des Rundgänge gibt es?
3. Karl besteht plötzlich darauf, dass er nicht an zwei aufeinanderfolgenden Tagen einen
Rundgang leiten will. Wieviele Möglichkeiten für die namentliche Belegung der Rundgänge gibt es jetzt.
Aufgabe 3 :
In zwei Urnen A und B befinden sich jeweils 6 verschiedene Kugeln, wobei die farbliche Zusammensetzung der Kugeln in beiden Urnen gleich ist. Es werden zufällig aus jeder Urne 2
Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
Wieviele Möglichkeiten gibt es,
1. zwei gleichfarbige Paare von Kugeln zu erhalten?
______________________________________________________________________
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Tutorium Statistik II
_________________________________________________________________________
2. vier verschiedene Kugeln zu erhalten?
3. genau ein Paar von gleichfarbigen Kugeln zu erhalten?
Aufgabe 4 :
Von den drei Ereignissen A, B und C trete
a. nur A,
b. genau eines;
c. höchstens eines,
d. mindestens eines,
e. genau zwei,
f. mindestens 2,
g. mindestens eines nicht,
h. mindestens zwei nicht
ein. Man stelle die Ereignisse mit Hilfe der Ereignisoperationen durch die Ereignisse A, B, C
dar!
Aufgabe 5 :
Auch Richter können irren ! Wir betrachten folgende Ereignisse :
V : ″Das Gericht verurteilt den Angeklagten″
S : ″Der Angeklagte ist schuldig″
Es gelte : P(V) = 0,7
P(V∪S) = 0,9.
P(S) = 0,8
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse :
1) Der Angeklagte ist schuldig und wird verurteilt.
2) Der Angeklagte ist schuldig und wird freigesprochen.
3) Der Angeklagte ist unschuldig und wird verurteilt.
4) Das Gericht entscheidet richtig.
5) Das Gericht fällt ein Fehlurteil.
6) Das Gericht verurteilt einen Schuldigen.
7) Das Gericht verurteilt einen Unschuldigen.
8) Das Gericht spricht einen Unschuldigen frei.
9) Ein Verurteilter ist unschuldig.
10) Ein Freigesprochener ist unschuldig.
______________________________________________________________________
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Tutorium Statistik II
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LÖSUNGEN SERIE 1
Aufgabe 1
(N, N) (N,O) (N, P)
1. (O, N) (O,O) (O, P) nr = 32 = 9
(P, N) (P,O) (P, P)
(N, N) (N,O) (N, P)
2.
(O,O) (O, P)
(P, P)
n + r − 1 7 + 2 − 1 4
=6
=
=
r 2 2
(N,O) (N, P)
3.
(O, P)
(O, P)
(P, N) (P,O)
n!
3!
=
= 3! = 6
(n − r) !
(3 - 2)!
4.
(N,O) (N,P)
(O,P)
n 3
= 2 = 3
r
Aufgabe 2
1. 5! = 120
2.
5!
= 60
2!
3.
5! *
- 4 ⋅3!** = 60 - 24 = 36
2!
* - 4 Möglichkeiten für den Dienst am freien oder folgenden Tag
** - Für jede der 4 Möglichkeiten haben die anderen 3 Studenten 3! Möglichkeiten, sich
auf die nächsten Tage zu verteilen.
______________________________________________________________________
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Tutorium Statistik II
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Aufgabe 3
6 2
1. 2 = 15
2
64
2. 22 = 15⋅6 = 90
66 64 62
3. 22 - 22 - 22 = 225 - 90 - 15 = 120
Aufgabe 4
_ _
a) (A ∩ B ∩ C)
_ _
_
_
_ _
b) [(A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B∩ C)]
_ _
_
_ _
_
_
_ _
c) [(A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C]
d) (A ∪ B ∪ C)
_
_
_
e) [(A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ]
_
_
_
f) [(A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∪ B ∪ C)
_
__________
_ _
g) (A∪B ∪ C) = (A ∩ B ∩ C)
_ _
_
_
_
_
_
_ _
h) [(A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C)]
Aufgabe 5
1)
0,6
2)
0,2
3)
0,1
4)
0,7
5)
0,3
6)
0,75
7)
0,5
8)
0,5
9)
1/7
10)
1/3
______________________________________________________________________
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SERIE 2
Aufgabe 1
In einer Kleinstadt gibt es nur die beiden Tageszeitungen Z 1 und Z 2. 60 % der Bewohner
lesen Z 1 und 80 % lesen Z 2. Keine der beiden Zeitungen lesen 10 % der Bewohner.
Eine Person wird zufällig ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese
Person
1. beide Zeitungen liest?
2. Z 1 liest, aber nicht Z 2?
3. Z 2 liest, wenn sie nicht Z 1- Leser ist?
4. höchstens eine Zeitung liest?
5. Z 1 nicht liest?
Aufgabe 2
In einer Altbauwohnung mit Außenwänden und veralteter elektrischer Anlage kommt es vor,
dass der Strom ausfällt bzw. die Wasserzufuhr einfriert. Beide Umstände treten zwar unabhängig voneinander auf, sind jedoch von der Jahreszeit abhängig. So friert natürlich das Wasser nur ein, wenn es Winter ist, und zwar mit 80-%-iger Wahrscheinlichkeit. Der Strom fällt
aber selbst wenn es nicht Winter ist, mit 40-%-iger Wahrscheinlichkeit aus, und zwar der
gleichen Wahrscheinlichkeit, mit der der Strom, wenn es Winter ist, nicht ausfällt.
Gehen Sie davon aus, dass die Winterzeit 30 % der gesamten Jahreszeit ausmacht.
1. Formulisieren Sie mit Hilfe von Ereignissymbolen die im Text genannten Wahrscheinlichkeitsaussagen!
Für die Lösung der folgenden Aufgabenteile muss der formale Lösungsweg deutliche ersichtlich sein.
2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit muss man in dieser Wohnung
a) mit dem Einfrieren der Wasserzufuhr rechnen?
b) mit einem Stromausfall rechnen?
c) mit dem Einfrieren der Wasserzufuhr und einem Stromausfall rechnen?
d) zusätzlich mit dem Einfrieren der Wasserzufuhr rechnen, wenn bereits der Strom
ausgefallen ist?
e) zusätzlich mit einem Stromausfall rechnen. wenn bereits die Wasserzufuhr eingefroren
ist?
f) mit mindesten einem von beiden Mißständen rechnen?
g) höchstens mit einem von beiden Mißständen rechnen?
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Tutorium Statistik II
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Aufgabe 3
An einem kleinen Grenzübergang teilen sich zwei Zollbeamte den Dienst genau zur Hälfte.
Wenn der 1. Zollbeamte Dienst hat, kontrolliert er mit 20-%-iger Wahrscheinlichkeit Pässe
und durchsucht unabhängig von einer Paßkontrolle mit 10-%-iger Wahrscheinlichkeit Autos.
Wenn der 2. Zollbeamte Dienst hat, kontrolliert dieser mit 70-%-iger Wahrscheinlichkeit Pässe und durchsucht wiederum unabhängig von einer Paßkontrolle mit 40-%-iger Wahrscheinlichkeit Autos.
1. Definieren Sie aufgrund des Textes sinnvolle Ereignisse und formalisieren Sie damit die
angegebenen Wahrscheinlichkeiten!
2. Sie fahren zu einem belieben Zeitpunkt mit einem Auto zu diesem Grenzübergang. Mit
welcher Wahrscheinlichkeit müssen Sie
a) mit einer Durchsuchung Ihres Autos rechnen?
b) mit einer Paßkontrolle rechnen?
c) mit einer Durchsuchung Ihres Autos und einer Paßkontrolle rechnen?
d) zusätzlich mit einer Durchsuchung Ihres Autos rechnen, wenn Ihr Paß bereits kontrolliert wurde?
e) zusätzlich mit einer Paßkontrolle rechnen, wenn Ihr Auto bereits durchsucht wurde?
f) mit genau einer von beiden Maßnahmen rechnen?
Aufgabe 4
Ein Mann sucht seinen Schirm, den er mit der Wahrscheinlichkeit 0,6 in einem Gebäude stehengelassen hat - und zwar, wenn es stimmt, mit gleichgroßer Wahrscheinlichkeit in einer der
6 Etagen.
1) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Schirm im Gebäude und in der 6. Etage des
Gebäudes ist?
2) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Schirm in der 6. Etage ist, wenn man gar
nicht weiß, ob der Schirm im Gebäude ist.
3) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Schirm nicht in den ersten 5 Etagen ist,
wenn man weiß, dass er nicht in der 6. Etage ist.
4) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Schirm nicht in den ersten 5 Etagen ist?
5) In den ersten 5 Etagen ist der Schirm nicht! Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der
Schirm im Gebäude ist?
Achtung: Benutzen Sie für Ihre Lösung folgende Ereignisdefinitionen:
G - Schirm ist im Gebäude
P - Schirm ist in den ersten 5 Etagen
S - Schirm ist in der 6. Etage
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Tutorium Statistik II
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LÖSUNGEN SERIE 2
Aufgabe 1
Zi: ",Bewohner liest Zeitung i"; i = 1, 2
P(Z1) = 0,6
P(Z2) = 0,8
__ __
__________
P(Z1 ∩ Z2) = 0,1 P( Z1 ∪ Z2 )===> P(Z1 ∪ Z2) = 0,9
1. P(Z1 ∩ Z2) = P(Z1) + P(Z2) - P(Z1 ∪ Z2) = 0,6 + 0,8 - 0,9 = 0,5; da Z1 und Z2 nicht
stat. unabhängig,
gilt: P(Z1 ∩ Z2) ≠ P(Z1) ⋅ P(Z2)
__
2. P(Z1 ∩ Z2 ) P(Z1) - P((Z1 ∩ Z2) = 0,6 - 0,5 = 0,1
__
P(Z2 ∩ Z1) P(Z2) - P(Z1 ∪ Z2) 0,8 - 0,5 3
3. P(Z2 Z1) =
=
=
= 0,75
__
__
0,4 4
P(Z1)
P(Z1)
__ __
__
__
4. P[(Z1 ∩ Z2) ∪ (Z1 ∩ Z2) ∪ (Z1 ∩ Z2)] = 1 - P(Z1 ∩ Z2) = 1 - 0,5 = 0,5
__
5. P(Z1) = 0,4
Aufgabe 2
1. W: "Winterzeit"
S: "Stromausfall"
E: "Wasser friert ein"
__
P(W) = 0,3 ===> P(W ) = 0,7
__
__
_
P(EW) = 0,8; P(EW ) = 0; P(SW) = 0,6; P(SW) = 0,4; P( SW )= 0,4
__
__
__
2. a) P(E) = P[(E ∩ W) ∪ (E ∩ W)] = P(E ∩ W) + P(E ∩ W) - P[(E ∩ W) ∩ (E ∩ W)]
__
__
__
= P(EW) ⋅ P(W) + P(EW ) ⋅ P(W) = 0,8⋅0,3 + 0⋅0,7 = 0,24; P[(E ∩ W) ∩ (E ∩ W) =
0
__
__
__
b) P(S) = P[(S ∩ W) ∪ (S ∩ W )] = P(S ∩ W) + P(S ∩ W) - P[(S ∩ W) ∩ (S ∩ W )]
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__
__
= P(SW) ⋅ P(W) + P(SW ) ⋅ P(W) = 0,6 ⋅ 0,3 + 0,4 ⋅ 0,7 = 0,18 0,28 = 0,46
__
__
c) P(E ∩ S) = P[(E ∩ S ∩ W) ∪ (E ∩ S ∩ W )] = P(E ∩ S ∩ W) + P(E ∩ S ∩ W)
__ __
= P(E ∩ S/W) P(W) + P(E ∩ SW) P(W)
__
__ __
= P(EW) P(SW) P(W) + P(EW) P(SW ) P(W )
= 0,8 ⋅ 0,6 ⋅ 0,3 + 0 ⋅ 0,4 ⋅ 0,7 =
0,144
d) P(ES) =
P(E ∩ S) 0,144
=
= 0,313
P(S)
0,46
e) P(SE) =
0,144
= 0,6
0,24
_ _
_______
f) 1 - P(E ∩ S = 1 - P( E ∪ S ) = P(E ∪ S) = P(E) + P(S) - P(E ∩ S) = 0,24 + 0,46 0,144 = 0,556
g) 1 - P(E ∩ S) = 1 - 0,144 = 0,856
Aufgabe 3
1. Z1: "Zöllner 1 hat Dienst" ===> P(Z1) = 0,5
Z2: "Zöllner 2 hat Dienst" ===> P(Z2) = 0,5
D: "Auto wird durchsucht" ===> P(DZ1) = 0,1; P(DZ2) = 0,4
K: "Paß wird kontrolliert" ===> P(KZ1)= 0,2; P(KZ2) = 0,7
2. a) P(D) = 0,25
b) P(K) = 0,45
c) P(K ∩ D) = 0,15
d) P(DK) =
1
3
f) P(KD) =
6
= 0,6
10
_ _
g) 1 - P[(K ∩ D) ∪ (K ∩ D)] = 0,4
Aufgabe 4
G: "Schirm ist im Gebäude"
===> P(G) = 0,6
F: "Schirm ist in den ersten 5 Etagen"
===> P(FG) =
S: "Schirm ist in der sechsten Etage" ===> P(SG) =
5
6
1
6
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1 6
1. P(G ∩ S) = P(SG) ⋅ P(G) = ⋅
= 0,1
6 10
_
_
_
_
2. P(S) = P[(S ∩ E) ∪ (S ∩ G)] = P(S ∩ G) + P(S ∩ G) = P(SG) ⋅ P(G) + P(SG)⋅ P(G) =
1 6
⋅
+ 0⋅ 0,4 = 0,1
6 10
_
_ _
_ _
_ _
_ _
P(F ∩ S) P(F ∩ S) ∩ G ∪ (F ∩ S) ∩ G
3. P(FS) =
=
=
_
_
P(S)
P(S)
_ _
_
_ _
P[(F ∩ S) ∩ G] + ([(F ∩ S) ∩G)]
=
_
P(S)
_
{P(F
=
_
_ _ _
_
_
∩ SG) P(G) + P(F ∩ SG ) P(G)} / (P(S)
0 ⋅ 0,6 + 1 ⋅ 0,4 4
= 0,444
0,9
9
_
_
_ _
_
_ _
4. P(F) = P[(F ∩ G) ∪ (F ∩ G)] = P(F ∩ G) + P(F ∩ G)
_
_ _
_
= P(FG) P(G) + P(FG) P(G) = 1/6 0,6 + 1,04 = 0,5
_
_
_
_
_
5. P(GF) = P(G ∩ F) / P(F) = P(FG) P(G) / P(F) = (1/6 0,6) / 0,5 = 0,2
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Tutorium Statistik II
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SERIE 3
Aufgabe 1:
Ein Bauer besitzt einen Schweinestall mit 10 Abteilen, in denen jeweils 2 Schweine stehen.
Es besteht der Verdacht, dass einige Schweine von einer bestimmten nicht übertragbaren
Krankheit befallen sind, die durch einen Bluttest nachgewiesen werden kann. Der Tierarzt
macht den Vorschlag, bei jedem Schwein für ein Honorar von 10 EURO pro Schwein einen
Bluttest durchzuführen. Das aus diesem Vorschlag resultierende Gesamthonorar von 200
EURO erscheint dem Bauern viel zu hoch.
Er schlägt daher seinerseits vor, dass der Arzt das von den Tieren eines Abteils entnommene
Blut mischt und diese Mischung für 10 EURO analysiert.
Nur wenn hierbei ein Befund eintritt, soll er bei jedem Schwein des Abteils einen Einzeltest
durchführen.
Ob diese Methode des Bauern von Vorteil ist (also weniger als 200 EURO kostet), hängt von
der Wahrscheinlichkeit p ab, mit der ein Schwein von dieser Krankheit befallen wird. Man
kann davon ausgehen, dass die Erkrankungen völlig unabhängig voneinander auftreten.
1. Entscheiden Sie, ob die Methode des Bauern kostengünstiger als die vom Arzt vorgeschlagene Methode ist, indem Sie den Erwartungswert des Gesamthonorars des Arztes für
die vom Bauern vorgeschlagene Methode errechnen, falls
a) p = 0,2
b) p = 0,4 beträgt!
2. Für welchen Wert von p ist die vom Bauern vorgeschlagene Methode generell vorteilhafter?
Rechenhilfe für 2.: 0,5 = 0,71
Aufgabe 2:
Ein Losverkäufer verkauft Lose mit den gleichverteilten Ziffern 0 bis 9; d. h. ein Los zu ziehen, auf dem eine dieser Ziffern steht (z. B. die "5"), ist genauso wahrscheinlich, wie ein Los
zu ziehen, auf dem eine andere dieser Ziffern steht (z. B. die "7").
Es gilt folgender Auszahlungsplan:
Beim Erscheinen der Ziffer 0, 6 oder 9 wird nichts ausgezahlt.
Beim Erscheinen einer geraden Ziffer (außer 0 oder 6) wird 4,50 EURO ausgezahlt.
Beim Erscheinen einer ungeraden Ziffer (außer 9) werden 3 EURO ausgezahlt.
1. Berechnen Sie den Erwartungswert des Auszahlungsbetrages pro Ziehung!
2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält ein Loskäufer beim Kauf von 3 Losen eine Auszahlung von genau 3 EURO?
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Tutorium Statistik II
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3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält ein Loskäufer beim Kauf von 3 Losen eine Auszahlung von mindestens 4 EURO?
4. Der Losverkäufer hat den Lospreis so festgesetzt, dass sein Tagesgewinn bei 1.000 verkauften Losen einen Erwartungswert von 450 EURO besitzt. Wie hoch ist dieser
Lospreis?
Aufgabe 3:
Jeder Flugmotor versagt bei einem Flug unabhängig von den anderen Motoren mit einer
Wahrscheinlichkeit von 20 %.
Ein Flugzeug kann sich in der Luft halten (und auch sicher landen), wenn mindestens zwei
Drittel der Motoren funktionieren.
Sei:
X: "Anzahl der funktionierenden Motoren eines dreimotorigen Flugzeuges".
Y: "Anzahl der funktionierenden Motoren eines viermotorigen Flugzeuges"
1.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X!
2.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von Y!
3.
Berechnen Sie E(X) und E(Y)!
4.
Berechnen Sie Var(X) und Var(Y)!
5.
Sind die Flugzeuge mit drei oder vier Motoren zuverlässiger, d. h. für welchen Flugzeugtyp ist die Wahrscheinlichkeit eines Absturzes geringer?
Aufgabe 4:
In der Spielbank eines kleinen Kurortes wird "Mini-Roulette" gespielt. Dieses Roulette ist in
vier gleich große Sektoren aufgeteilt. Die Kugel kann bei einem Durchlauf nur in einen dieser
Sektoren fallen. In jedem Sektor ist eine Zahl aufgedruckt.
" -1 " " -2 " " 1 "
" 2 ".
Für das Spiel an diesem Roulette gelten folgende Spielregeln:
Fällt die Kugel in den Sektor "+1" oder "+2", so haben Sie diesen Betrag in EURO sofort gewonnen und das Spiel ist beendet.
Fällt die Kugel jedoch in den Sektor "-1" oder "-2", so wird das Roulette noch einmal in Gang
gesetzt. Die Ergebnisse beider Durchgänge werden addiert und bilden das Endergebnis:
-
Ist das Endergebnis positiv, so erhalten Sie diesen Betrag in EURO von der Bank (Beispiel: 1. Durchgang = "-1" und 2. Durchgang = "+2", d. h. Sie haben 1 EURO gewonnen)
und das Spiel ist beendet.
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-
Ist das Ergebnis aber negativ, so müssen Sie diesen Betrag in EURO an die Bank bezahlen
(Beispiel: 1. Durchgang = "-2" und 2. Durchgang = "+1", d. h. Sie 1 EURO verloren) und
das Spiel ist beendet.
-
Ist das Ergebnis gleich Null (Beispiel: 1. Durchgang = "-2" und 2. Durchgang = "+2"),
haben Sie weder Gewinn noch Verlust gemacht, und das Spiel endet unentschieden.
1. Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X: "Gewinn pro Spiel in
EURO" auf!
2. Berechnen Sie E(X) und Var(X)!
3. Handelt es sich um ein "faires Spiel? Begründen sie Ihre Meinung!
Aufgabe 5:
Ein aus 4 Karten (Pik As, Herz As, Kreuz Dame und Karo Bube) bestehendes Kartenspiel
wird gemischt und an zwei Spieler verdeckt verteilt, so dass jeder Spieler zwei Karten bekommt.
Hinweis: Notieren Sie die 6 Kartenverteilungen, die ein Spieler erhalten kann!
A: Angenommen, einer der Spieler verkündet: "Ich habe ein As." Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Spieler auch das zweite As in der Hand hält?
B: Angenommen, einer der Spieler verkündet: "Ich habe ein Pik As." Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Spieler das zweite As in der Hand hält?
C: Bestimmen Sie die erwartete Zahl der Asse, die ein Spieler bei der Kartenverteilung erhält!
Aufgabe 6:
Falls in der Sendung "Einer wird gewinnen" zwei Kandidaten punktgleich sind, wird der Sieger durch Würfelwurf ermittelt, d. h. es findet ein sogenannter "Würfeldurchgang" statt, bei
dem jeder Kandidat mit einem idealen Würfel einmal würfelt. Derjenige von beiden, der die
höhere Augenzahl würfelt wird zum Sieger erklärt. Würfeln beide die gleiche Augenzahl,
findet ein zweiter (dritter usw.) Würfeldurchgang statt, bis der Sieger feststeht.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bis zur Entscheidung
a) genau 4,
b) mindestens 4,
c) höchstens 4
Würfelgänge notwendig sind!
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Tutorium Statistik II
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LÖSUNGEN SERIE 3
Aufgabe 1:
Xi: "Honorar für Untersuchung des i-ten Abteils (i = 1, 2 , 3, ..., 10)) beim Vorschlag des
Bauern"
xi
10
30
P(Xi = xi)
(1 - p)²
2p - p²
E(xi) = 10 ⋅ (1 - p)² + 30(2p - p²) = -20p² + 40p +10
X: "Gesamthonorar beim Vorschlag des Bauern"
10
X=
∑X
i
i= 1
10
E(X) = E(
∑
10
Xi) =
i= 1
∑
E(Xi) = 10 ⋅ (-20p² + 40p + 10) = -200p² + 400p + 100
i= 1
1. a) p = 0,2 ⇒ E(x) = 172 EURO < 200 EURO Ja!
b) p = 0,4 ⇒ E(x) = 228 EURO > 200 EURO Nein!
2. -200p² + 400p + 100 = 200 ⇒ p² - 2p + ½ = 0 ⇒ p1,2 = +1 ±
0,29
1 - ½ = 1 ± 0,71 ⇒ p2 =
Aufgabe 2:
X: "Auszahlung [in EURO]"
X
P(X =
x)
0
0,3
3
0,4
4,5
0,3
1. E(x) = Σx ⋅ P(X = x) = 0 ⋅ 0,3 + 3 ⋅ 0,4 + 4,5 ⋅ 0,3 = 2,55
2.. P ( X1 = 0) ∩ ( X 2 = 0) ∩ ( X 3 = 3) ∪ ( X1 = 0) ∩ ( X 2 = 3) ∩ ( X 3 = 0) ∪
{[
] [
]
[( X = 3) ∩ ( X = 0) ∩ ( X = 0)]}
= P[( X = 0) ∩ ( X = 0) ∩ ( X = 3)] + [( X = 0) ∩ ( X = 3) ∩ ( X = 0)] +
[( X = 3) ∩ ( X = 0) ∩ ( X = 0)]
1
1
2
3
2
1
1
3
2
2
3
3
= P( X1 = 0) ⋅ P( X 2 = 0) ⋅ P( X 3 = 3) + P( X1 = 0) ⋅ P( X 2 = 3) ⋅ P( X 3 = 0) +
P( X1 = 3) ⋅ P( X 2 = 0) ⋅ P( X 3 = 0)
= 0,3 ⋅ 0,3 ⋅ 0,4 + 0,3 ⋅ 0,4 ⋅ 0,3 + 0,4 ⋅ 0,3 ⋅ 0,3 = 0,108
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Tutorium Statistik II
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{[( X
] [
]
[( X = 0) ∩ ( X = 3) ∩ ( X = 0)] ∪ [( X = 3) ∩ ( X = 0) ∩ ( X = 0)]}
= 1- P[( X = 0) ∩ ( X = 0) ∩ ( X = 0)] + [( X = 0) ∩ ( X = 0) ∩ ( X = 3)] +
[( X = 0) ∩ ( X = 3) ∩ ( X = 0)] + [( X = 3) ∩ ( X = 0) ∩ ( X = 0)]
3. 1 − P
= 0) ∩ ( X 2 = 0) ∩ ( X 3 = 0) ∪ ( X1 = 0) ∩ ( X 2 = 0) ∩ ( X 3 = 3) ∪
1
1
2
3
1
1
2
1
3
2
2
1
3
3
2
1
2
3
3
= 1 − P( X1 = 0) ⋅ P( X 2 = 0) ⋅ P( X 3 = 0) + P( X1 = 0) ⋅ P( X 2 = 0) ⋅ P( X 3 = 3) +
P( X1 = 0) ⋅ P( X 2 = 3) ⋅ P( X 3 = 0) + P( X1 = 3) ⋅ P( X 2 = 0) ⋅ P( X 3 = 0) +
= 1 − 0,3 ⋅ 0,3 ⋅ 0,3 + 0,3 ⋅ 0,3 ⋅ 0,4 + 0,3 ⋅ 0,4 ⋅ 0,3 + 0,4 ⋅ 0,3 ⋅ 0,3 = 0,865
4. Z: " Gewinn = Einsatz − Auszahlung"
Z
P(Z = z)
e- 0
0,3
e-3
0,4
e - 4,5
0,3
E(Z) = 0,45 = e ⋅ 0,3 + (e - 3) ⋅ 0,4 + (e - 4,5 ) ⋅ 0,3 ===> 0,45 = e - 2,55 ===> e = 3
Aufgabe 3:
X: "Anzahl der funktionierenden Motoren bei dem dreimotorigen Flugzeug"
Y: "Anzahl der funktionierenden Motoren bei dem viermotorigen Flugzeug"
1.
x
P(X =
x)
0
1
125
1
12
125
2
48
125
3
64
125
0
1
625
1
16
625
2
96
625
3
256
625
2.
y
P(Y =
y)
*
4
256
625
*
Mi: "Motor Nr. i (i = 1, ...) funktioniert"
[
P(Y = 1) = P ( M1 ∩ M 2 ∩ M 3 ∩ M 4 ) ∪( M1 ∩ M 2 ∩ M 3 ∩ M 4 ) ∪ ( M1 ∩ M 2 ∩ M 3 ∩ M 4 ) ∪
( M ∩ M ∩ M ∩ M )]
= P( M ∩ M ∩ M ∩ M ) + P( M
(M ∩ M ∩ M ∩ M )
1
2
1
1
3
2
2
4
3
3
4
1
∩ M 2 ∩ M 3 ∩ M 4 ) + ( M1 ∩ M 2 ∩ M 3 ∩ M 4 ) +
4
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Tutorium Statistik II
_________________________________________________________________________
= P ( M1 ) ⋅ P ( M 2 ) ⋅ P ( M 3 ) ⋅ P ( M 4 ) + P ( M1 ) ⋅ P ( M 2 ) ⋅ P ( M 3 ) ⋅ P ( M 4 ) +
P ( M1 ) ⋅ P ( M 2 ) ⋅ P ( M 3 ) ⋅ P ( M 4 ) + P ( M1 ) ⋅ P ( M 2 ) ⋅ P ( M 3 ) ⋅ P ( M 4 )
3
3
3
3
4 1
4 1
4 1
4 1
16
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =
5 5
5 5
5 5
5 5
625
3. E(X) = 2,4; E(Y) = 3,2
4. Var(X) = 0,48; Var(Y) = 0,64
5. P(X ≥ 2) = P(X = 2) + P(X = 3) =
560
625
===>
P(Y ≥ 2,67) = P(Y = 3) + P(Y = 4) =
560 512
>
625 625
512
625
Es ist sicherer mit einer dreimotorigen Maschine zu fliegen! Warum fühlt sich denoch
jeder von uns in einer viermotorigen Maschine sicherer?
Aufgabe 4:
X: "Gewinn pro Spiel"
1.
x
P(X =
x)
-4
1
16
-3
2
16
-2
1
16
-1
1
16
0
2
16
+1
5
16
+2
4
16
∗)
{[( X
] [
*) = P[( X = −1) ∩ ( X = 1)] + P[( X
P
1
= −1) ∩ ( X 2 = 1) ∪ ( X1 = −2) ∩ ( X 2 = 2)
1
2
1
]}
= −2 ) ∩ ( X 2 = 2 )
]
= P( X1 = −1) ⋅ P( X 2 = 1) + P( X1 = −2) ⋅ P( X 2 = 2) =
2
16
2. E(X) = 0; Var(X) = 3,75
3. Ja, da E(X) = 0!
Aufgabe 5:
Pik As; Herz As
Pik As; Kreuz Dame
Pik As; Kreuz Bube
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Tutorium Statistik II
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Herz As; Kreuz Bube
Kreuz As; Karo Bube
Kreuz Dame; Karo Bube
1
P( As ∩ As) 6 1
A: P( As As) =
= =
5 5
P ( As)
6
1
P( As ∩ Pik As) 6 1
B: P( As Pik As) =
= =
2 2
P ( Pik As)
6
C: X: "Anzahl der Asse in der Hand"
X
P(X =
x)
0
1
6
1
4
6
2
1
6
E(X) = 1
Aufgabe 6:
Wi: "Entscheidung fällt bei i-tem Würfeldurchgang"
3
5
1 5
a) P (W1 ∩ W2 ∩ W3 ∩ W4 ) = P (W1 ) ⋅ P (W2 ) ⋅ P (W3 ) ⋅ P (W4 ) = ⋅ =
= 0,003858
6 6 1296
__
__ 1 6
Keine Entscheidung (W ) bei: je 2 mal Augenzahl 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 also P(W) = =
6 36
3
1
1
b) P (W1 ∩ W2 ∩ W3 ) = P (W1 ) ⋅ P (W2 ) ⋅ P (W3 ) = =
= 0,004629
6
216
1
1295
14
c) 1 - P("mindestens 5 Durchgänge") = 1 − = 1 −
=
= 0,999228
1296 1296
6
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Tutorium Statistik II
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SERIE 4
Aufgabe 1:
Die beiden Statistik-Studenten Otto und Paul haben sich folgendes Zufallsexperiment ausgedacht.
Eine ideale Münze (Zahl oder Wappen) wird dreimal hintereinander geworfen.
Spiel A:
wird.
Man gewinnt so viele EURO, wie bei diesem Experiment "Zahl" geworden
Sei X: "Gewinn bei Spiel A".
Spiel B:
Hier wird das Ergebnis des ersten Wurfes berücksichtigt. Zeigt der 1. Wurf bei
diesem Experiment "Wappen", gewinnt man 3 EURO.
Zeigt der 1. Wurf bei diesem Experiment "Zahl", hat man weder Gewinn noch
Verlust!
Sei Y: "Gewinn bei Spiel B".
1. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Z.V. X an!
2. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Z.V. Y an!
Paul entscheidet sich für Spiel A und Otto entscheidet sich für Spiel B.
3. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Streuung des Gewinns von Paul.
4. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Streuung des Gewinns von Otto.
5. Für welches Spiel würden Sie sich entscheiden? Begründen Sie Ihre Entscheidung!
6. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Z. G. XY und bestimmen Sie E(XY)!
7. Bestimmen Sie Cov(X, Y)!
8. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Z. G. Z: "Gemeinsamer Gewinn von
Otto und Paul"!
9. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Streuung des gemeinsamen Gewinns von Otto
und Paul!
10. Sind die Z. V. X und Y voneinander statistisch unabhängig? Begründen Sie Ihre Meinung!
Aufgabe 2:
Ein Gruppe von Umweltschützern fährt auf das Meer hinaus und sammelt treibende Fässer
ein. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion für X: "Anzahl der am 1. Tag in einer Region gefundenen Fässer" lautet:
x
P(X=x)
3
0,25
4
0,5
5
0,25
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Seite - 45 -
Tutorium Statistik II
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1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden die Umweltschützer am 1. Tag mindestens 4.
Fässer in einer neuen Region finden?
2. Wieviel Fässer finden sie durchschnittlich am 1. Tag in einer neuen Region finden?
Fahren die Umweltschützer einen zweiten Tag in dieselbe Region, verändert sich die Wahrscheinlichkeit für das Auffinden von Fässern. Die bedingten Wahrscheinlichkeiten für Y:
"Anzahl der am 2. Tag in derselben Region gefundenen Fässer" in Abhängigkeit vom Erfolg
am 1. Tag lauten:
P(Y=0X=3) =
2
1
P(Y=0X=4) =
4
2
P(Y=0X=5) =
3
4
P(Y=1X=3) =
1
1
P(Y=1X=4) =
4
2
P(Y=1X=5) =
1
4
P(Y=3X=3) =
1
P(Y=3X=4) = 0
4
P(Y=3X=5) = 0
3. Stellen Sie die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion von X und Y in einer (Kontingenz-) Tabelle dar!
4. Berechnen sie die Kovarianz von X und Y!
5. Sind X und Y statistisch unabhängig? Begründen Sie Ihre Meinung!
Die Umweltschützer bekommen eine Art "Fundprämie" für die gefundenen Fässer. Ein unbekannter Spender zahlt ihnen 5 EURO für jedes gefundene Faß; zusätzlich erhalten sie für jede
Fahrt 10 EURO für den guten Willen.
6. Welchen Erlös in EURO können die Umweltschützer erwarten, wenn sie in einer neuen
Region einmal am 1. Tag und einmal am 2. Tag auf das Meer fahren?
Aufgabe 3:
Die zweidimensionale Zufallsvariable (X,Y) besitzt die folgende Verteilung (Wahrscheinlichkeitsfunktion):
X \Y
1
2
1
0,1
0,1
2
0,3
0,1
3
0,2
0,2
Bestimmen Sie
1. den Erwartungswert und die Varianz von X und Y;
2. den Erwartungswert und die Varianz sowie die Verteilung der Summe X + Y;
3. den Erwartungswert und die Varianz sowie die Verteilung des Produkts X ⋅ Y und
4. berechnen Sie Cov(X,Y)!
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Tutorium Statistik II
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Aufgabe 4:
Kerzen einer bestimmten Sorte werden in einem Geschäft als Einzel- und Doppelpackung
angeboten. Die Zahl der pro Tag verkauften Einzelpackungen X und die Zahl der pro Tag
verkauften Doppelpackungen Y seien unabhängige Zufallsgrößen mit folgenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen:
x
P(X=x)
0
0,1
1
0,4
2
0,3
3
0,2
y
P(Y=y)
0
0,4
1
0,3
2
0,3
1. Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X! Es gilt E(Y) = 0,9 und
Var(Y) = 0,69. Z sei die Anzahl der pro Tag verkauften Kerzen.
2. Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von Z!
3. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Z!
Aufgabe 5:
Nach dem vergeblichen Versuch, das Vordiplom in Statistik zu erwerben, macht sich Student
Emil selbständig. Es versucht sich als Glücksspieler eine sichere Existenz aufzubauen und
bietet die beiden folgenden Spiele an:
Spiel 1: Es wird mit zwei idealen Würfeln gewürfelt. Das Produkt der oben liegenden Augenzahl wird in EURO ausgezahlt.
Spiel 2: Es wird mit vier idealen Würfeln gewürfelt. Die 8-fache Summe der oben liegenden
Augenzahlen wird in EURO ausgezahlt.
1. Welchen Einsatz in EURO muss Emil pro Spiel 1 verlangen, damit dieses Spiel "fair" ist?
2. Welchen Einsatz in EURO muss Emil pro Spiel 2 verlangen, damit dieses Spiel "fair" ist?
Aufgabe 6:
Es wird folgendes Glücksspiel betrachtet:
Ein echter Würfel wird einmal gespielt. Der Spieler kann Spielmarken auf die Ereignisse
A = {1, 3, 5} bzw. B = {5, 6} bzw. C = {6} setzen. Für eine auf A (bzw. B bzw. C) gesetzte
Marke erhält er 1,00 EURO (bzw. 2,00 EURO bzw. 6,00 EURO), falls er A (bzw. B bzw. C)
gesetzt hat.
1. Wie lautet die Wahrscheinlichkeitstabelle von xA, xB und xC? Berechnen sie den Erwartungswert und die Varianz von xA, xB und xC!
2. Wie lautet die gemeinsame Wahrscheinlichkeitstabelle von (xA, xB), von (xA, xC) und
von (xB, xC)? Welche dieser Paare sind unabhängig? Erklären Sie die Vorzeichen der jeweiligen Kovarianz inhaltlich!
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Tutorium Statistik II
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3. Spieler 1 setzt je 3 Marken auf A, B und C. Wie groß sind Erwartungswert und Varianz
der Auszahlung?
4. Spieler 2 setzt 1 Marke auf A, 6 Marken auf B und 2 Marken auf C. Wie groß sind Erwartungswert und Varianz der Auszahlung?
5. Spieler 3 möchte seine 9 Marken so plazieren, dass der Erwartungswert der Auszahlung
6,5= EURO beträgt und die Varianz minimal ist. Wie muss er die Marken setzen?
Bemerkung: (a + b+ c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
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Tutorium Statistik II
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LÖSUNGEN SERIE 4
Aufgabe 1:
1.
x
P(X = x)
0
1
8
1
3
8
0
1
2
3
1
2
2
3
8
3
1
8
2.
y
P(Y = y)
3. E(X) = 1,5; Var(X) = 0,75
4. E(Y) = 1,5; Var(Y) = 2,25
für B ⇒ risikofreudig
5. E(X) = E(Y); aber Var(X) < Var(Y)
für A ⇒ risikoarm
6.
x⋅y
0
5
8
P(X ⋅ Y = x ⋅
y)
3
2
8
6
1
8
9
0
E(X ⋅ Y) = 1,5
7. Cov(X, Y) = E(X ⋅ Y) - E(X) ⋅ E(Y) = 1,5 − 2,25 = -0,75
8. X + Y = Z
Z
P(Z = z)
1
1
8
2
2
8
3
2
8
4
2
8
5
1
8
9. E(Z) = 3 [= E(X) + E(Y)]; Var(Z) = 1,5 [≠ Var(X) + Var(Y)]
10. Nein (Siehe Punkt 9).
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Tutorium Statistik II
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Aufgabe 2:
X: "Anzahl der am 1. Tag in einer Region gefundenen Fässer"
Y: "Anzahl der am 2. Tag in der gleichen Region gefundenen Fässer"
x
3
1
4
P(X = x)
4
2
4
5
1
4
1. P(X ≥ 4) = 0,75
1
2
1
2. E(X) = 3 ⋅ + 4 ⋅ + 5 ⋅ = 4
4
4
4
2
1
1
1
Var(X) = Σx² ⋅ P(X = x) - [E(x)]² = 9 ⋅ + 25 ⋅ + 5 ⋅ − 16 =
4
4
2
x
4
P[(Y = y) ∩ (X = x)]
3. P((Y = y | X = x)) =
⇒ P[(Y = y) ∩ (X = x)] = P((Y = y | X = x)) ⋅
P(X = x)
P(X = x)
9
6
1 1
E(Y) = 0 ⋅
+1⋅
+2⋅
=
16
16
16 2
X \
Y
0
1
2
Σ
3
2
16
4
16
3
16
9
16
1
16
4
16
1
16
6
16
1
16
4
16
8
16
4
16
4
5
Σ
0
0
1
16
4. Cov(X, Y) = E(X ⋅ Y) − E(X) ⋅ EY)
15
E(X ⋅ Y) =
8
15
1
1
Cov(X, Y) =
−4⋅ =−
8
2
8
5. Nein, da Cov(X, Y) ≠ 0!
6. Z = X + Y: "Anzahl der an zwei aufeinanderfolgenden Tagen in einer Region gefundenen
Fässer"
z
P(Z = Z)
3
2
16
4
5
16
5
8
16
6
1
16
7
0
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_________________________________________________________________________
E(Z) =
1
2
U: "Erlös von zwei Fahrten an zwei aufeinanderfolgenden Tagen in einer Region"
U = 20 + 5 ⋅ Z ⇒ E(U) = E(20 + 5 ⋅ Z) = 20 + 5 ⋅ E(Z) = 20 + 5 ⋅
9
= 42,50 EURO
2
Aufgabe 3:
X\Y
1
2
Σ
1
0,1
0,1
0,2
2
0,3
0,1
0,4
Σ
0,6
0,4
1,0
3
0,2
0,2
0,4
1. E(X) = 1 ⋅ 0,6 + 2 ⋅ 0,4 = 1,4; E(Y) = 1 ⋅ 0,2 + 2 ⋅ 0,4 + 3 ⋅ 0,4 = 2,2
Var(X) = 1 ⋅ 0,6 + 4 ⋅ 0,4 − 1,4² = 0,24; Var(Y) = 1 ⋅ 0,2 + 4 ⋅ 0,4 + 9 ⋅ 0,4 − 2,2² = 0,56
2.
x+y
P(X + Y = x + y)
2
0,1
3
0,4
4
0,3
5
0,2
E(X + Y) = 2 ⋅ 0,1 + 3 ⋅ 0,4 + 4 ⋅ 0,3 + 5 ⋅ 0,2 = 3,6
Var(X + Y) = 4 ⋅ 0,1 + 9 ⋅ 0,4 + 16 ⋅ 0,3 + 25 ⋅ 0,2 − 3,6² = 0,84
3.
x⋅y
P(X ⋅ Y = x ⋅
y)
1
0,1
2
0,4
3
0,2
4
0,1
6
0,2
E(X ⋅ Y) = 1 ⋅ 0,1 + 2 ⋅ 0,4 + 3 ⋅ 0,2 + 4 ⋅ 0,1 + 6 ⋅ 0,2 = 3,1
Var(X ⋅ Y) = 1 ⋅ 0,1 + 4 ⋅ 0,4 + 9 ⋅ 0,2 + 16 ⋅ 0,1 + 36 ⋅ 0,2 − 3,1² = 2,69
4. Cov(X, Y) = E(X ⋅ Y) − E(X) ⋅ E(Y) = 3,1 − 1,4 ⋅ 2,2 = +0,02
Aufgabe 4:
X: "Anzahl der verkauften Einzelpackungen"
Y: "Anzahl der verkauften Doppelpackungen"
x
P(X = x)
0
0,1
1
0,4
2
0,2
3
0,2
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_________________________________________________________________________
y
P(Y = y)
2⋅y
P(2⋅ Y = 2 ⋅y)
0
0,4
0
0,4
1
0,3
2
0,3
2
0,3
4
0,3
[] - siehe 1.
[] - siehe 1.
1. E(X) = 1,6; Var(X) = 0,84
[] E(Y) = 0,9; Var(Y) = 0,69
2. Z: "Anzahl der verkauften Kerzen pro Tag"; Z = X + 2 ⋅ Y
E(Z) = E(X + 2 ⋅ Y) = E(X) + 2 ⋅ E(Y) = 1,6 + 2 ⋅ 0,9 = 3,4
Var(Z) = Var(X + 2 ⋅ Y) = Var(X) + 4 ⋅ Var(Y) = 0,84 + 4 ⋅ 0,69 = 3,6
3.
z
P(Z = z)
0
0,04
1
0,16
2
0,15
3
0,20
4
0,12
5
0,18
6
0,09
7
0,06
Aufgabe 5:
1. Z1: "Auszahlung bei Spiel 1"; Xi: "Augenzahl auf Würfel i"
E(Z1) = E(X1 ⋅ X2) = E(X1) ⋅ E(X2) = 3,5² = 12,25 EURO
G1: "Gewinn bei Spiel 1"
Spiel 1 ist fair, falls E(G1) = 0
Gewinn (G) = Auszahlung (Z) − Einsatz (e)
Also: E(G1) = E(Z1 − e1) = E(Z1) − e1 = 0 ⇒ e1 = 12,25 EURO
2. Z2: "Auszahlung bei Spiel 2"; Xi: "Augenzahl auf Würfel i"
E(Z2) = E[8 ⋅ (X1 + X2 + X3 + X4)] = 8 ⋅ [E(X1) + E(X2) + E(X3) + E(X4)] = 112 EURO
G2: "Gewinn bei Spiel 2"
Spiel 2 ist "fair", falls E(G2) = 0
Gewinn (G) = Auszahlung (Z) − Einsatz (e)
Also: E(G2) = E(Z2 − e2) = E(Z2) − e2 = 0 ⇒ e2 = 112 EURO
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Tutorium Statistik II
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Aufgabe 6:
1
2
P(A) =
P(B) =
1
3
P(C) =
1
6
1.
xA
0
1
2
P(XA = xA
1
1
2
1
E(XA) =
2
Var(XA) =
xB
P(XB = xB
2
E(XB) =
3
1
4
0
2
3
2
1
3
xC
P(XC = xC
0
5
6
6
1
6
E(XC) = 1
Var(XB) =
8
9
Var(XC) = 5
2.
XA\X
0
2
Σ
XA\X
B
0
1
Σ
0
6
Σ
XB\X
C
2
6
2
6
4
6
1
6
1
6
2
6
3
6
3
6
0
1
Σ
1
0
6
Σ
4
6
1
6
5
6
0
4
6
2
6
C
2
6
3
6
5
6
1
6
0
1
6
3
6
3
6
0
1
Σ
2
1
6
1
6
1
1
P[(XB = 1) ∩ (XB = 2)] = P({5}) =
6
XA, XB unabhängig ⇒ Cov(XA, XB) = 0
XA, XC abhängig
1
1
⇒ Cov(XA, XC) = E(XA ⋅ XC) − E(XA) ⋅ E(XC) = 0 − 2⋅ 1 = − 2
2
4
XB, XC abhängig ⇒ Cov(XB, XC) = E(XB ⋅ XC) − E(XB) ⋅ E(XC) = 2 − ⋅ 1 = +
3
3
XB, XC sind positiv korreliert, dass heißt Gewinne auf B und C begünstigen einander!
XA, XC sind negtiv korreliert, das heißt Gewinne auf A und C behindern einander!
3. X1: "Auszahlung an Spieler 1 beim Spiel"
X1 = 3 ⋅ XA + 3 ⋅ XB + 3 ⋅ XC; E(X1) = 3 ⋅ E(XA) + 3 ⋅ E(XB) + 3 ⋅ E(XC)
Var(X1) = 3² ⋅ Var(XA) + 3² ⋅ Var(XB) + 3² ⋅ Var(XC) + 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅Cov(XA, XB)
+ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ Cov(XA, XC) + 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅Cov(XB, XC) = 70,25 EURO
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4. X2: "Auszahlung an Spieler 2 beim Spiel"
X2 = XA + 6 ⋅ XB + 2 ⋅ XC; E(X2) = E(XA) + 6 ⋅ E(XB) + 2 ⋅ E(XC) = 6,5
Var(X2) = Var(XA) + 6² ⋅ Var(XB) + 2² ⋅ Var(XC) + 2 ⋅ 1 ⋅ 6 ⋅Cov(XA, XB) + 2 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅
Cov(XA, XC)
+ 2 ⋅ 6 ⋅ 2 ⋅Cov(XB, XC) = 82,25 EURO
1
8
5. Var(XA) = ; Var(XB) = ; Var(XC) = 5
4
9
1
4
Cov(XA, XB) = 0 ; Cov(XB, XC) = − ; Cov(XB, XC) =
2
3
Es gilt:
Ι: a + b + c = 9
1
2
ΙΙ: E(XB) = a ⋅ + b ⋅ + c ⋅ 1 = 6,5
2
3
1
1
15 3
ΙΙΙ: Ι − ΙΙ = ⋅ a + ⋅ b = 2,5 ⇒ b =
− ⋅a
3
2 2
2
15 3 3 1
ΙV: Ι ⇒ c = 9 − a − b = 9 − a − + ⋅ a = + ⋅ a
2 2 2 2
15 3
3 1
XB = a ⋅ XA + − ⋅ a ⋅ XB + + ⋅ a ⋅ XC
2 2
2 2
15 3 ²
3 1 ²
Var(XB) = a² ⋅ Var(XA) + − ⋅ a ⋅ Var(XB) + + ⋅ a ⋅ Var(XC) + 2 ⋅ a ⋅
2 2
2 2
15 3
2 − 2 ⋅ a
3 1
15 3 3 1
⋅ Cov(XA, XB) + 2 ⋅ a ⋅ − ⋅ a ⋅ Cov(XA, XC) + 2 ⋅ − ⋅ a ⋅ + ⋅ a
2 2
2 2 2 2
⋅ Cov(XB, XC)
1 15 3 ² 8 3 1 ²
3 1 1
+ − ⋅ a ⋅ + + ⋅ a ⋅ 5 + 0 + 2 ⋅ a ⋅ + ⋅ a ⋅ − +
4 2 2 9 2 2
2 2 2
15
3
3
1
4
2 ⋅ − ⋅ a ⋅ + ⋅ a ⋅
2 2 2 2 3
= a² ⋅
= a² ⋅
1
45 15
5
3
1
+ 50 − 20 ⋅ a + 2 ⋅ a² +
+ ⋅ a + ⋅ a² − ⋅ a − ⋅ a² + 30 + 10 ⋅ a − 6 ⋅ a − 2 ⋅ a²
4
4
2
4
2
2
= a² − 10 ⋅ a +
365
=: Q(a)
4
Var(XB) ist also Funktion von a und soll minimal werden, d. h.:
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Tutorium Statistik II
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d Q(a)
= 2 ⋅ a − 10 = 0 ⇒ a = 5 ⇒ b = 0 ⇒ c = 4
da
Diese Problemstellung hat eine wichtige Anwendung in der Portfolio-Theorie.
Dabei entsprechen XA, XB und XC Renditen von Wertpapieren, deren gemeinsame
(paarweise) Wahrscheinlichkeitsfunktion geschätzt werden. Ziel ist es, Wertpapierbündel
so zu bilden, dass entweder für eine vorgegebene Rendite das Risiko (Varianz) minimal
wird (wie hier behandelt) oder für ein vorgegebenes Risiko die Rendite maximal wird.
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Tutorium Statistik II
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SERIE 5
Aufgabe 1:
Die Firma Kallocks bringt eine neue Sorte Kornflakes auf den Markt. Als Kaufanreiz wird
den Packungen ein halbes Jahr lang ein Sammelcoupon beigelegt. Für jeweils 4 solcher Coupons kann man sich dann nach dem halben Jahr ein Poster zuschicken lassen.
Nun ist leider die Maschine, die für die Verteilung der Coupons auf die einzelnen Packungen
verantwortlich ist, mit einem Fehler behaftet, der bewirkt, dass 25 % der Packungen ohne
Coupon zur Auslieferung kommen. Fritzchen ist scharf auf diese Poster und kauft daher jede
Woche von seinem Taschengeld eine Packung Kornflakes von dieser Firma.
1.
Geben Sie den Verteilungstyp und die Verteilungsparameter folgender Zufallsgröße an:
X: "Anzahl der Packungen mit einem Coupon innerhalb des halben Jahres (= 26 Wochen), die sich Fritz kauft"!
Überlegen sie sich zur Lösung der weiteren Aufgaben, dass sich z. B. nicht nur 12 Coupons,
sondern auch der Besitz von 13, 14 oder 15 Coupons zum Erwerb von genau 3 Postern
führt!!!
2.
a)
b)
c)
d)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Fritzchen Coupons für
genau 3 Poster
höchstens 4 Poster
genau 6 Poster
höchstens 1 Poster
in einem halben Jahr zusammenbekommt?
3.
Mit wieviel Packungen mit Coupons kann Fritzchen in dem halben Jahr rechnen?
Aufgabe 2:
Zwischen 2 und 4 Uhr nachmittags ist die durchschnittliche Anzahl der Telefongespräche, die
die Vermittlung einer Firma pro Minute empfängt, gleich 2,5.
1.
Wie ist die Z.V. X: "Anzahl der in dieser Zeit empfangenen Telefonate pro Minute" verteilt?
2.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass während einer bestimmten Minute in dieser
Zeit
a)
kein
b)
weniger als drei
c)
vier oder mehr
Telefonate empfangen werden?
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Aufgabe 3:
Von allen Fluggästen, die Plätze reservieren, erscheinen 10 % nicht. Die Fluggesellschaft
weiß dies und verkauft 29 Flugkarten für 26 verfügbare Plätze.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle Fluggäste Plätze bekommen?
Aufgabe 4:
A:
Einem Prüfling A wird ein Gesamtkatalog mit 10 Zetteln vorgelegt, auf denen je eine Prüfungsfrage steht. Der Prüfling weiß, dass der zuständige Prüfer von diesen 10 Fragen 6 Fragen
so schwer gemacht hat, dass kein Prüfling sie beantworten könnte. Von den 10 Fragen darf
der Prüfling nun selbst 3 Fragen für seine Prüfung auswählen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Prüfling
1.
drei beantwortbare Fragen zieht,
2.
mindestens eine beantwortbare Frage zieht?
B:
Einem Prüfling B werden 12 Fragen zum Beantworten vorgelegt. Die Wahrscheinlichkeit,
dass der Prüfling auf eine Frage eine richtige Antwort gibt, sei 75 %. Die Prüfung gilt als be2
standen, falls der Prüfling mindestens der Fragen richtig beantworten kann.
3
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Prüfling
1.
genau 4 Fragen richtig beantworten kann,
2.
mindestens 7 Fragen richtig beantworten kann,
3.
höchstens 9 Fragen richtig beantworten kann,
4.
mehr als 2, aber höchstens 8 Fragen richtig beantworten kann,
5.
die Prüfung besteht?
C:
Einem Prüfling C werden 60 Fragen zum Beantworten vorgelegt. Die Wahrscheinlichkeit,
dass dieser Prüfling auf eine Frage eine falsche Antwort gibt, sei 8 %. Die Prüfung gilt als
4
bestanden, falls der Prüfling mindestens der Fragen richtig beantworten kann. Die Prüfungs5
leistung wird mit "ausgezeichnet" bewertet, falls der Prüfling höchstens 3 Fragen nicht richtig
beantwortet.
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Tutorium Statistik II
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Wie groß ist approximativ die Wahrscheinlichkeit, dass der Prüfling
1.
die Prüfung besteht,
2.
die Prüfung besteht und als Prüfungsleistung eine "ausgezeichnet" erhält,
3.
die Prüfung besteht, aber als Prüfungsleistung kein "ausgezeichnet" erhält?
Aufgabe 5:
Ein Beamter im Umweltamt ist zuständig für die Betriebe der chemischen Industrie. Jedes
Unternehmen erstellt täglich einen Bericht für das Umweltamt. wobei alle Betriebe voneinander unabhängig arbeiten. Der Beamte teilt die Tagesberichte in positive (keine Zwischenfälle)
und negative (ein oder mehrere Zwischenfälle) Tagesberichte ein.
A:
Es werden 25 zufällig ausgewählte Betriebe einer bestimmten Region betrachtet. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein positiver Tagesbericht erstellt wird, ist für jeden Betrieb = 90 %.
1.
Wie ist die Zufallsgröße X: "Anzahl der pro Tag erstellten negativen Tagesberichte"
verteilt? (Verteilungstyp und Verteilungsparameter!)
2.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass an einem Tag unter den Tagesberichten mindestens einer negativ ist?
3.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass an einem Tag mehr als 18, aber weniger als 22
positive Tagesberichte erstellt werden?
4.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass an einem Tag mindesten 22 positive Tagesberichte erstellt werden?
5.
Der Beamte denkt über die anfallende Arbeit der nächsten Woche nach. Wieviel negative Berichte kann er für Montag erwarten?
B:
Durch strengere Gesetze wurden die 25 Betriebe gezwungen, die Schutz- und Sicherheitsmaßnahmen zu verstärken. Die Wahrscheinlichkeit für einen negativen Tagesbericht sank
daraufhin bei allen Betrieben auf 1 %.
Im Umweltamt wird überlegt, ob die Tagesberichte für einen Monat (= 30 Tage) zusammengefaßt werden sollten.
1.
Wie ist die Zufallsgröße Y: "Anzahl der pro Monat erstellten negativen Tagesberichte"
exakt verteilt? (Verteilungstyp und Verteilungsparameter!)
2.
Wieviel negative Tagesberichte können im Umweltamt für April (= 30 Tage) erwartet
werden?
______________________________________________________________________
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Tutorium Statistik II
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3.
Durch welche konkrete Verteilung kann die Verteilung von Y approximiert werden?
(Überprüfen Sie die Approximationsvoraussetzungen und geben Sie Verteilungstyp und
Verteilungsparameter an!)
4.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden für April weniger als 8 negative Tagesberichte
erstellt?
5.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden für April mehr als 744 positive Tagesberichte
erstellt?
Aufgabe 6:
Am Ende eine Pflichtveranstaltung muss man sich entweder bei Prof. Lockerleicht oder Prof.
Ätzend mündlich prüfen lassen. Im Prüfungsamt muss jeder Kandidat ein Los aus der Urne
ziehen, in der 50 Lose mit "Lockerleicht" und 50 Lose mit "Ätzend" beschriftet sind. Nach
Ziehung eines Loses schreibt sich Herr Schmidt vom Prüfungsamt den Namen des Prüfers auf
und legt das Los sofort in die Urne zurück.
A:
1.
2.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kandidat von Prof. Lockerleicht geprüft
wird?
Um welches spezielle Wahrscheinlichkeitsmodell handelt es sich?
B:
Herr Schmidt stellt 2 Tage vor Ende der Anmeldefrist fest, dass sich noch 8 Studenten anmelden werden.
1.
Wie ist die Zufallsgröße X: "Anzahl der von Prof. Lockerleicht zu prüfenden Studenten"
für die 8 verbleibenden Studenten verteilt?
2.
Wieviel von den noch nicht angemeldeten Prüflingen werden vermutlich von Prof. Lockerleicht geprüft werden?
3.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den noch nicht angemeldeten Prüflingen
a)
genau die Hälfte,
b)
mindestens die Hälfte,
c)
mindestens 75 %
von Prof. Lockerleicht geprüft werden?
C:
Da der Prüfungsausschuß zu der Auffassung gekommen ist, dass die Prüfungen bei Prof. Lockerleicht zu locker und leicht sind, wurde nun für den nächsten Prüfungszeitraum, in welchem 50 Kandidaten geprüft werden müssen, die Zusammensetzung der Lose in der Urne
geändert, in der nunmehr von den 100 Losen 91 mit "Ätzend" beschriftet sind.
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Tutorium Statistik II
_________________________________________________________________________
1.
Wie ist die Zufallsgröße Y: "Anzahl der von Prof. Lockerleicht zu prüfenden Studenten"
exakt verteilt?
2.
Durch welche andere Verteilung kann die Verteilung von Y approximiert werden? Begründen Sie Ihre Ansicht!
3.
Wie groß ist approximativ die Wahrscheinlichkeit, dass nun von Prof. Lockerleicht
a)
höchstens 20 % der Kandidaten geprüft werden,
b)
mindestens 18 % der Kandidaten geprüft werden,
c)
mindestens 4 %, aber höchstens 12 % der Kandidaten geprüft werden?
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Tutorium Statistik II
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LÖSUNGEN SERIE 5
Aufgabe1:
1.
X: "Anzahl der Packungen mit Coupon bei einer zufälligen Stichprobe von n = 26"
X ist B. V. (n; p) ~ B. V. (26; 0,75) [Warum?]
Y: "Anzahl der Packungen ohne Coupon bei einer zufälligen Stichprobe von n = 26"
Y ist B. V. (n; p*) ~ B. V. (26; 0,25)
2.
a) P(12 ≤ X ≤ 15) → P(11 ≤ Y ≤ 14) = F(14) − F(10) = 0,0397
b) P(X ≤ 19) → P(7 ≤ Y) = 1 − P(Y < 7) = 1 − P(Y ≤ 6) = 0,4846
c) P(X ≥ 24) → P(Y ≤ 2) = 0,0258
d) P(X ≤ 7) → P(Y ≥ 19) = 1 − P(Y < 19) = 1 − P(Y ≤ 18) = 1 − 1 = 0
3.
E(X) = n ⋅ p = 26 ⋅ 0,75 = 19,50
Aufgabe 2:
X: "Anzahl der in dieser Zeit empfangenen Telefonate pro Minute"
1.
X ist P. V.(λ) ~ P. V.(2,5)
2.
P(X = 0) = 0,0820
3.
P(X < 3) = P(X ≤ 2) = 0,5438
4.
P(X ≥ 4) = 1 − P(X < 4) = 1 − P(X ≤ 3) = 1 − 0,7576 = 0,2424
Aufgabe 3:
X: "Anzahl der nicht erscheinenden Fluggäste"
X ist B. V.(n; p) ~ B. V.(29; 0,1)
P(X ≥ 3) = 1 − P(X < 3) = 1 − P(X ≤ 2) = 1 − 0,4350 = 0,5650
Aufgabe 4:
A:
X: "Anzahl der beantwortbaren Fragen bei einer zufälligen Stichprobe von n = 3"
X ist H. V.(N; M; n) ~ H. V.(10; 4; 3)
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Tutorium Statistik II
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1.
2.
4 6
3 ⋅ 0 1
P(X = 3) =
=
= 0,0333
30
10
3
4 6
0 ⋅ 3
1 5
P(X ≥ 1)= 1 − P(X = 0) = 1 −
= 1 − = = 0,8333
10
6 6
3
B:
X: "Anzahl der richtig beantworteten Fragen bei einer zufälligen Stichprobe von n = 12"
X ist B. V.(n; p) ∼ B. V.(12; 0,75))
Y: "Anzahl der falsch beantworteten Fragen bei einer zufälligen Stichprobe n = 12"
Y ist B. V.(n; p*) ∼ B.. V.(12; 0,25)
1. P(X = 4) → P(Y = 8) = F(8) − F(7) = 0,9996 − 0,9972 = 0,0024
2.
P(X ≥ 7) → P(Y ≤ 5) = 0,9456
3.
P(X ≤ 9) → P(Y ≥ 3) = 1 − P(Y ≤ 2) = 0,6093
4.
P(2 < X ≤ 8) → P(4 ≤ Y ≤ 9) = F(9) − F(3) = 1 − 0,6488 = 0,3512
5.
P(X ≥ 8) → P(Y ≤ 4) = 0,8424
C:
X: "Anzahl der falsch beantworteten Fragen bei einer zufälligen Stichprobe n = 60"
X ist B. V.(n; p) ∼ B. V.(60; 0,08); (n > 50; p ≤ 0,1; n ⋅ p ≤ 10)
X ist approximativ P. V.(λ) ∼ P. V.(4,8).
1.
P(X ≤ 12) = 0,9986
2.
P(X ≤ 3) = 0,2942
3.
P(3 < X ≤ 12) = F(12) − F(3) = 0,9986 − 0,2942 = 0,7044
Aufgabe 5:
A:
1.
X: "Anzahl der pro Tag erstellten negativen Tagesberichte"
X ist B. V.(n; p) ∼ B. V.(25; 0,1)
2.
P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 0,9283
3.
P(3 < X < 7) = P(3 < X ≤ 6) = F(6) − F(3) = 0,9905 − 0,7636 = 0,2269
4.
P(X ≤ 3) = 0,7636
5.
E(X) = n ⋅ p = 25 ⋅ 0,1 = 2,5
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Tutorium Statistik II
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B:
1.
Y: "Anzahl der pro Monat erstellten negativen Tagesberichte"
Y ist B. V.(n; p) ∼ B. V.(25 ⋅ 30; 0,01) ∼ B. V.(750; 0,01)
2.
E(Y) = n ⋅ p = 750 ⋅ 0,01 = 7,5; (n ≥ 50; p ≤ 0,1; n ⋅ p ≤ 10)
3.
Y ist approximativ P. V.(λ) ∼ P. V.(7,5).
4.
P(Y < 8) = P(Y ≤ 7) = 0,5246
5.
P(Y ≤ 5) = 0,2414
Aufgabe 6:
A:
1
2
1.
p=
2.
Bernoulli-Experiment, d. h. Bernoulli-Verteilung mit p =
B:
1.
2.
3.
1
2
X: "Anzahl der von Prof. Lockerleicht zu prüfenden Studenten bei einer zufälligen
Stichprobe n = 8"
1
X ist B. V.(n; p) ∼ B. V.8,
2
1
E(X) = 8 ⋅ = 4
2
a) P(X = 4) = P(X ≤ 4) − P(X ≤ 3) = 0,6367 − 0,3633 = 0,2734
b) P(X ≥ 4) = 1 − P(X ≤ 3) = 1 − 0,3633 = 0,6367
c) P(X ≥ 6) = 1 − P(X ≤ 5) = 1 − 0,8555 = 0,1445
C:
1.
Y: "Anzahl der von Prof. Lockerleicht zu prüfenden Studenten bei einer zufälligen
Stichprobe n=
50"
Y ist B. V.(n; p) ∼ B. V.(50; 0,09); (n ≥ 50; p ≤ 0,1; n ⋅ p ≤ 10)
2.
Y ist approximativ P. V.(λ) ∼ P. V.(4,5).
3.
a) P(Y ≤ 10) = 0,9933
b) P(Y ≥ 9) = 1 − P(Y ≤ 8) = 1 − 0,9597 = 0,0403
c) P(2 ≤ Y ≤ 6) = P(Y ≤ 6) − P(Y ≤ 1) = 0,8311 − 0,0611 = 0,77
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Tutorium Statistik II
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SERIE 6
Aufgabe 1:
Das Ausborgen von Büchern ist vor allem in großen Bibliotheken mit Büchermagazinen sehr
zeitaufwendig. Also hat Student Bücherwurm die Arbeitsweise der Zentralbibliothek der TU
genau studiert, um besser planen zu können.
A:
Die meisten Bücher der Zentralbibliothek kann man nicht sofort mitnehmen. Bücherwurm
füllt also einen Leihschein aus und wirft ihn in den Bestellkasten. Er weiß, dass die Kästen
regelmäßig zur vollen Stunde geleert werden und die Leihscheine ins Magazin gebracht werden.
1. Bücherwurm wirft den Leihschein zu einem zufällig ausgewählten Zeitpunkt, an dem er
sich gerade im Hauptgebäude befindet, in den Kasten. Wie ist die Zufallsgröße X: "Wartezeit bis zur nächsten Leerung des Bestellkastens" verteilt? (Verteilungstyp und parameter!)
2. Wie lange wird ein Leihschein durchschnittlich im Kasten liegen, bis er ins Magazin wandert?
B:
Auch das Heraussuchen der Bücher aus dem Magazin dauert seine Zeit. Bücherwurm geht
davon aus, dass die Zufallsgröße Y: "Wartezeit zwischen dem Leeren des Kastens und dem
Ankommen des Buches in der Buchausgabe" normalverteilt ist mit einem Mittelwert von 2,5
Stunden und einer Standardabweichung von 0,5 Stunden!
1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Bibliothek - von der Leerung des Bestellkastens ab gerechnet - länger als 3,5 Stunden braucht, bis das Buch an der Ausgabe ankommt?
2. Wie lange muss Bücherwurm an der Buchausgabe nach dem Einwerfen des Leihscheines
durchschnittlich auf das Buch warten?
C:
In der Bibliotheksverwaltung weiß man, dass auch so manchem Entleiher Bücher abhanden
kommen. So melden sich während der Öffnungszeiten (8 Stunden) an einem Tag durchschnittlich 6 Kunden mit einer Verlustanzeige.
1. Wie ist die Zufallsgröße Z: "Wartezeit auf den nächsten mit einer Verlustanzeige ankommenden Kunden" verteilt? (Verteilungstyp, -parameter!)
2. Wieviel Minuten vergehen durchschnittlich, bis die nächste Verlustanzeige von einem
Kunden aufgegeben wird"
3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
a) innerhalb der ersten drei Stunden, nachdem die Bibliothek geöffnet wurde, kein Kunde mit einer Verlustanzeige kommt?
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Tutorium Statistik II
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b) nach höchstens vier Stunden der erste Verlust angezeigt wird, nachdem in den ersten
drei Stunden kein Verlust gemeldet wurde?
Aufgabe 2:
Eine Maschine produziert Stahlstifte. Leider ist der Durchmesser der Stifte produktionstechnischen Schwankungen unterworfen.
X1: "Durchmesser eines Stiftes" sei normalverteilt mit µ1 = 6 mm; σ1 = 0,4 mm.
1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Durchmesser eines Stiftes um mehr als 2 %
vom Sollwert (6 mm) abweicht?
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Durchmesser eines Stiftes genau 6 mm beträgt?
3. Welcher Wert wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 85 % nicht überschritten?
Eine zweite Maschine, die unabhängig von der ersten arbeitet, bohrt Löcher in ein Werkstück,
in das die Stahlstifte eingesetzt werden sollen. Auch der Durchmesser der Bohrlöcher ist
Schwankungen unterworfen.
X2: "Durchmesser eines Bohrloches" sei normalverteilt mit µ2 = 6,05 mm; σ2 = 0,3 mm.
4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Durchmesser eines Bohrloches kleiner 6
mm ist?
5. Wie ist die Zufallsgröße Y = X2 − X1 verteilt? (Verteilungstyp, -parameter!)
6. Kann man einen Stift in das Bohrloch einsetzen, falls Y einen Wert größer null annimmt?
(Überlegen Sie dazu, was die Zufallsgröße Y beschreibt!)
7. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Stift nicht in das Bohrloch paßt?
Aufgabe 3:
Die Telefonzentrale einer Feuerwache empfängt in einer Stunde durchschnittlich 0,5 Alarmmeldungen.
1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass während der 6-stündigen Dienstzeit einer Feuerwehrmannschaft
a) kein Alarm,
b) mindestens drei mal Alarm,
c) höchstens sieben mal Alarm gegeben wird?
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Feuerwehrmannschaft
a) innerhalb der ersten Diensstunde den ersten Alarm bekommt?
b) länger als 2 Stunden auf den ersten Alarm warten muss?
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Tutorium Statistik II
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c) ausgerechnet in der letzten Diensstunde zum ersten Alarm "ausrücken" muss, nachdem in der gesamten 5-stündigen Dienstzeit zuvor kein Alarm gekommen ist?
3. Der OberbranEuroeister erklärt seiner Feuerwehrmannschaft, dass mit 95-%-iger Wahrscheinlichkeit der erste Alarm noch in die Dienstzeit dieser Mannschaft fallen wird! Hat er
recht? Muss die Mannschaft also tatsächlich weniger als 6 Stunden warten, um mit 95-%iger Wahrscheinlichkeit den ersten Alarm zu bekommen?
Aufgabe 4:
A:
Bäcker Backfrisch vertreibt in seinem Laden auch hochfeine Marzipanschweine.
Sei X: "Gewicht eines Marzipanschweines" eine normalverteilte Zufallsgröße mit E(X) = 150
g und Var(X) = 16 . Max, der davon ausgeht, dass das Gewicht der einzelnen Marzipanschweine unabhängig voneinander ist, geht in den Laden und kauft 4 Marzipanschweine.
1. Wie ist die Zufallsgröße Y: "Gewicht von 4 Marzipanschweinen" verteilt? Geben Sie Verteilungstyp und Verteilungsparameter an!
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Gewicht der 4 Marzipanschweine
a) genau 600 g beträgt?
b) nicht mehr als 1 % vom Erwartungswert abweicht?
B:
Verkäuferin Mona weiß aus Erfahrung, dass während der Mittagszeit (13.00 Uhr bis 15.00
Uhr) durchschnittlich nur alle 15 Minuten ein Kunde den Laden betritt.
1. Wie ist die Zufallsgröße Z1: "Wartezeit bis zum Eintreffen des nächsten Kunden in der
Mittagszeit" verteilt? (Verteilungstyp, -parameter!)
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Mona während der Mittagszeit mehr als 30 min.
auf den ersten Kunden warten muss?
3. Mona wartet nun schon 30 min. vergeblich. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
auch in den nächsten 15 min. kein Kunde den Laden betritt?
C:
Mona erhält regelmäßig alle 3 Stunden frische Ware. Sie hat heute leider ihre Uhr vergessen
und bittet ihren Freund Leonardo, der ihr Gesellschaft leistet, um statistischen Rat.
1. Wie ist die Zufallsgröße Z2: "Wartezeit auf die frische Ware" verteilt? (Verteilungstyp, parameter!)
2. Mona hat sich bereits eine Stunde angeregt mit Leonardo unterhalten, ohne dass frische
Ware eingetroffen ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Mona innerhalb der
nächsten halben Stunde frische Ware erhält?
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Tutorium Statistik II
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Aufgabe 5:
Student Erwin finanziert sein Studium, indem er Schreibarbeiten übernimmt.
A:
Eines Sonntags nachmittag ist die Farbbandkassette (Inhalt: 20 m Band) seiner Schreibmaschine leergeschrieben, doch zum Glück besitzt sein Nachbar eine baugleiche Schreibmaschine mit dem gleichen Farbband. Da dieser Nachbar zur Zeit im Urlaub ist, entfernt Erwin von
dieser Maschine die Farbbandkassette unbesehen und tippt den Schreibauftrag weiter.
1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Farbbandkassette
a) ganz voll ist?
b) ganz leer ist?
c) die bis zum Ende des Schreibauftrages noch notwendigen 20 cm mindestens enthält?
B:
Erwin tippt sehr korrekt: Auf 10 Zeilen (entspricht 1,5 m Farbband) geschriebenen Text rech3
net er mit Tippfehler im Durchschnitt.
8
1. Wie groß ist der erwartete Abstand zwischen den Tippfehlern (in cm)?
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er bei den letzten 20 cm Farbband keinen Tippfehler macht?
3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die letzten 4 Zeilen seiner vorletzten Seite fehlerfrei bleiben, wenn er schon bei den 4 vorhergehenden Seiten keinen Fehler gemacht
hat?
Aufgabe 6:
Fritz Flink ist Leichtathlet und steht vor einem Qualifikationswettkampf im 400-m-Lauf.
Aufgrund seines Trainingszustandes ist der Erwartungswert für seine Laufzeit 50 Sekunden
mit einer Varianz von 3 . Sepp Sprint, sein Vereinskollege und Wettkampfrivale, kann aufgrund einer Verletzung nicht starten. Er hält den alten Bezirksrekord von 46,54 Sekunden,
den er nicht an Fritz verlieren möchte. Bei einer Zeit von über 53,46 Sekunden wäre Fritz
jedoch nicht für die Landesmeisterschaft qualifiziert, was Sepp im Hinblick auf das Ansehen
des Vereins peinlich wäre.
1. Wie groß mindestens ist die Wahrscheinlichkeit, dass keine von Sepps Befürchtungen
zutrifft?
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine von Sepps Befürchtungen eintritt, wenn man Sepps Trainer glauben schenken darf, der die Leistungen von Fritz für
gleichverteilt hält
Rechenhilfe: 3 = 1,73
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Tutorium Statistik II
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LÖSUNGEN SERIE 6
Aufgabe 1:
A:
Xi: "Wartezeit bis zur nächsten Leerung"
1. X ist gleichverteilt in [0; 60] mit a = 0; b = 60
2. E(X) =
a+b
1
= 30 [Minuten] = [Stunde]
2
2
B:
Y: "Wartezeit zwischen Leerung der Bestellkiste und Eintreffen des Buches in der Ausgabe"
Y ist N. V.(2,5; 0,5)
3,5 − 2,5
= P(U > 2) = 1 − P(U ≤ 2) = 1 − 0,97725 = 0,02275
1. P(Y > 3,5) = PU >
0,5
2. E(X + Y) = E(X) + E(Y) = 0,5 + 2,5 = 3 [Stunden]
C:
Z': "Anzahl der Kunden mit Verlustanzeige während der Öffnungszeit (8 Std.); Z' ist P. V.(λ)
∼ P. V.(6)
Z: "Wartezeit auf den nächsten Kunden mit Verlustanzeige"
1. Z ist E.V.(λ) ∼ E.V.(6)
2. E(Z) =
1
1
4
1
=
= = 1 [Stunde] = 80 [Minuten]
λ ⋅ t 6⋅ 1 3
3
8
3. a) P(Z > 3) = e
− λ ⋅t
=e
−6⋅
3
8
= e−2 , 25 = 0,1054
b) P(Z ≤ 3 + 1 | Z > 3) = P(Z ≤ 1) = 1- e
− λ⋅t
= 1− e
−
6
8
= 1 − 0,4724 = 0,5276
Aufgabe 2:
X1 "Durchmesser eines Stiftes"
X1 ist N. V.(µ1;σ1) ∼ N. V.(6; 0,4)
1. 2 % von 6 ⇒ 0,12
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P[(X1 < µ1 − 0,12) ∪ (X1 > µ1 + 0,12)] = P(X1 < µ1 − 0,12) + P(X1 > µ1 + 0,12)
µ1 − 0,12 − µ1
µ1 + 0,12 − µ1
= PU <
+ PU >
= P(U < −0,3) + P(U > 0,3) = 2 ⋅ P(U >
σ1
σ1
0,3)
= 2 ⋅ [1 − P(U ≤ 0,3)] = 2 − 2 ⋅ Φ(0,3) = 2 − 2 ⋅ 0,6179 = 2 − 1,2358 = 0,7642
2. P(X1 = 6) = 0
X − µ1
x − µ1
3. P(X1 ≤ x1) = 0,85 ⇒ P 1
≤ 1
= 0,85 ⇒ P(U ≤ c) = 0,85 ⇒ c = 1,03 ⇒
σ1
σ1
x1 − 6
= 1,03 ⇒ x1 = 1,03 ⋅ 0,4 + 6 ⇒ x1= 0,412 + 6 ⇒ x1 = 6,412
0,4
c = 1,04
⇒ x = 6,416
1
X2: "Durchmesser eines Bohrloches"
X2 ist N. V.(µ2; σ2) ∼ N. V.(6,05; 0,3)
X − µ2
6 − 6,05
σ − µ2
4. P(X2 < 6) = P 2
≤ 2
= PU < 0,3 = P(U < −0,16) =
σ2
σ2
1 − P(U < +0,16) = 1 − 0,5635 = 0,4365
5. Y = X2 − X1 µ = µ2 − µ1; σ2 = σ12+σ22 = 0,16 + 0,09 = 0,25 ⇒ σ = 0,5
Y ist N. V.(µ;σ) ∼ N. V.(0,05; 0,5)
6. Y: "Differenz von ∅ des Bohrlochs und ∅ des Stiftes"
Y > 0, d. h.: Stift paßt!
−0,05
Y − 0,05 0 − 0,05
= P U ≤
= P(U ≤ −0,1) = 1 − P(U ≤ +0,1)
7. P(Y ≤ 0) = P
≤
0,5
0,5
0,5
= 1 − 0,5398 = 0,4602
Aufgabe 3:
X: "Anzahl der pro Dienstzeit ankommenden Anrufe"
X ist P. V.(λ) ∼ P. V.(3)
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Tutorium Statistik II
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1. a) P(X = 0) = 0,0497
b) P(X ≥ 3) = 1 − P(X ≤ 2) = 1 − 0,4232 = 0,5768
c) P(X ≤ 7) = 0,9881
T: "Wartezeit bis zum ersten Alarm" [t = 1 Stunde]
T ist E. V.(λ) ∼ E. V.(0,5)
2. a) P(T ≤ 1) = 1 − e−λ ⋅ t = 1 − e−0,5 ⋅ 1 = 1 − 0,6065 = 0,3935
b) P(T >2) = e−λ ⋅ t = e−0,5 ⋅ 2 = e−1 = 0,3679
c) P(T ≤ 5 + 1 | T >5) = P(T ≤ 1) = 0,3935
3. P(T ≤ t) = 0,95 ⇒ 1 − e−λ ⋅ t = 0,95 ⇒ e−λ ⋅ t = 0,05 ⇒ λ ⋅ t = 2,995 ⇒
2,995
⇒ t = 5,99
t=
0,5
Aufgabe 4:
A:
X: "Gewicht eines Marzipanschweines"
X ist N. V.(µ;σ) ∼ N. V.(140; 4)
1. Y: "Gewicht von 4 Marzipanschweinen"
Y ist N. V.(4 ⋅ µ;
4 ⋅ σ2) ∼ N. V.(600; 8)
2. a) P(Y = 600) = 0
606 − 600
3
594 − 600
3
b) P(594 ≤ Y ≤ 606) = P
≤ U ≤
≤ U ≤ + =
= P−
4
8
8
4
0,546746
B:
Z: "Anzahl der zwischen 13.00 und 15.00 Uhr eintreffenden Kunden"
Z1 ist P. V.(λ) ~ P. V.(8)
1. Z1: "Wartezeit bis zum Eintreffen des nächsten Kunden"
Z1 ist E. V.(λ) ~ E. V.(8)
1
1
2. PZ1 > = e−λ ⋅ z1 = e−8 ⋅ 4 = e−2 = 0,1353
4
1
1 1
1
1
3. PZ1 > + | Z1 > = PZ1 > = e−λ ⋅ Z1 = e−8 ⋅ 8 = e−1 = 0,3679
4 8
4
8
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C:
1. Z2: "Wartezeit auf frische Ware"
Z2 ist gleichverteilt in [0; 3]
≤ 1 ∩
P Z2 1 (Z2
2
1
2. P Z 2 ≤ 1 +
| Z 2 > 1 =
2
P(Z 2 > 1)
>
1 1 1
1
P Z 2 ≤
⋅
2 2 3 1
=
=
= = 0,25
2
4
P(Z 2 > 1)
3
Aufgabe 5:
A:
X: "Verbleibende FarbbanEuroenge [in m]"
X ist gleichverteilt in [0; 20] f(x) =
1
für 0 ≤ x ≤ 20
20
1. a) P(X = 20) = 0
b) P(X = 0) = 0
c) P(X ≥ 0,2) = 1 − P(X < 0,2) = 1 − 0,2 ⋅
1
= 1 − 0,01 = 0,99
20
B:
Y: "Anzahl der Tippfehler auf 1 m Farbband"
1
Y ist P. V.(λ) ~ P. V.
4
*
Y : "Abstand bis zum nächsten Tippfehler"
*
1
Y ist E. V.(λ) ~ E. V.
4
1. E(Y*) =
1
= 4 m = 400 cm
λ
1 1
1
1
2. P Y * > = e−λ ⋅ t = e− ⋅ = e−
= e−0,05 = 0,9512
4
5
20
5
3. 10 Zeilen =
^ 1,5 m;
20
3
Zeilen =
^ 1 m ⇒ 4 Zeilen =
^ = 0,6 m
3
5
P(Y* > 0,6 + 0,6 / Y* > 0,6) = P(Y* > 0,6) = e−λ ⋅ t = e−
3
1⋅3
= e−
= e−0,15 = 0,8607
4 5
20
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_________________________________________________________________________
C:
Zi: "Benötigte Zeit zum Tippen der i-ten Seite [in Minuten] "
Zi ist N. V.(µ;σ) ~ N. V.(25; 4)
Voraussetzung: Zi unabhängig voneinander (i = 1, 2, 3 oder 4)
Z: "Benötigte Zeit zum Tippen von 4 Seiten [in Minuten] "
Z ist N. V.(4 ⋅ µ;
4 ⋅ σ 2 ) ~ N. V.(1000; 8)
120 − 100
20
1. P(Z > 120) = P U >
= PU >
= P(U > +2,5) = 1 − P(U ≤ +2,5)
8
8
= 1 − 0,993790 = 0,00621
Aufgabe 6:
X: "Laufzeit von Fritz auf 400 m [ in Sekunden]"
E(X) = 50; Var(X) = 3 ⇒ σ = 1,73
1. P(46,54 ≤ X ≤ 53,46) = P(50 − 3,46 ≤ X ≤ 50 + 3,46) = P(µ − c ⋅ σ ≤ X ≤ µ + c ⋅ σ)
≥1−
1
⇒ c ⋅ σ = 3,46 ⇒ c = 2
c²
Also: P(46,54 ≤ X ≤ 53,46) ≥ 1 −
1
= 0,75
4
2. X ist gleichverteilt in [a, b]
E(X) = 50 =
a+b
(b − a)²
; Var(X) = 3 =
⇒ (b −a)² = 36
2
12
Also b - a < 6 und
a+b
50 ⇒ b = 6 + a ⇒ a + 6 + a = 100 ⇒ 2 ⋅ a = 94 ⇒ a = 47; b = 53
2
P[(X < 46,54) ∪ ( X > 53,46)] = P(X < 46,54) + P(X > 53,46) = 0
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Tutorium Statistik II
_________________________________________________________________________
SERIE 7
Aufgabe 1:
Der Medizinstudent Quacksalber muss sein Praktikum an einer Unfallambulanz absolvieren.
Er erfährt, dass in dieser Unfallambulanz die Anzahl der pro Tag eingelieferten Patienten eine
Zufallsgröße ist, wobei
an Werktagen im Mittel 20
Zufallsgröße X;
Var (X) = 25
an Samstagen im Mittel 15
Zufallsgröße Y;
Var(Y) = 9
an Sonntagen im Mittel 11
Zufallsgröße Z;
Var(Z) =16
Patienten eingeliefert werden. Man kann davon ausgehen, dass die Anzahlen der an verschiedenen Tagen eingelieferten Patienten voneinander unabhängig sind.
Sei W: "Anzahl der innerhalb einer Woche (ohne Feiertag) eingelieferten Patienten".
1.
Wieviel Patienten werden im Mittel innerhalb einer Woche in dieser Unfallstation eingeliefert?
Quacksalbers Praktikum dauert genau 6 Wochen (ohne Feiertag).
Sei S: "Anzahl der während der Praktikumszeit eingelieferten Patienten".
2.
Wie ist die Zufallsgröße S verteilt (Verteilungstyp, -parameter)?
3.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass während der Praktikumszeit höchstens 750
Patienten eingeliefert werden?
4.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass während der Praktikumszeit zwischen 720 und
810 Patienten eingeliefert werden?
Sei T: "Durchschnittliche Anzahl der während des Praktikums pro Tag eingelieferten Patienten".
5.
Wie ist die Zufallsgröße T verteilt (Verteilungstyp, -parameter)? Begründen Sie Ihre
Antwort! (Hinweis: Rechnen Sie mit Brüchen!)
6.
Mit wieviel Patienten kann man pro Tag im Mittel rechnen?
7.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass pro Tag die durchschnittliche Anzahl der eingelieferten Patienten höchstens 17 beträgt?
Aufgabe 2:
Die Verantwortlichen eines Fußballverbandes sind daran interessiert, einen Überblick zu bekommen, wieviel Tore innerhalb einer Spielsaison (^
= 245 Spiele) in der betreffenden FußballLiga geschossen werden. Aus Erfahrung weiß man, dass für jedes Spiel folgende Verteilung
gilt:
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Tutorium Statistik II
_________________________________________________________________________
X: Anzahl der geschossenen Tore
pro Spiel
0
1
2
3
mehr als 4
Wahrscheinlicheit
0,2
0,2
0,1
0,4
0,0
1.
Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsgröße X: "Anzahl der
geschossenen Tore pro Spiel".
2.
Durch welche Verteilung läßt sich die Verteilung der Zufallsgröße Y: "Anzahl der geschossenen Tore pro Spielsaison" approximieren? Begründen Sie Ihre Antwort ausführlich!
3.
Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsgröße Y!
4.
Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass pro Spiel mehr als drei Tore geschossen
werden!
5.
Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass pro Spielsaison mehr als 490 Tore geschossen werden!
6.
Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass pro Spiel weniger als drei Tore geschossen werden!
7.
Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass pro Spielsaison weniger als 448 Tore
geschossen werden!
Aufgabe 3:
Bei einer Kabinenbahn fährt 121 mal am Tag eine viersitzige Kabine von der Tal- zur Bergstation. Aus Erfahrung weiß man, dass die Kabine pro Fahrt folgendermaßen besetzt ist:
Sie ist nie leer, mit der Wahrscheinlichkeit von 0,4 ist sie voll besetzt; und die Wahrscheinlichkeit, dass in der Kabine drei Personen sitzen, beträgt 0,3; und die Wahrscheinlichkeit,
dass in der Kabine zwei Personen sitzen; beträgt 0,2.
Die Besetzungszahl bei einer Fahrt ist unabhängig von den Besetzungszahlen bei den anderen
Fahrten.
1.
Durch welche spezielle Verteilung läßt sich die Verteilung von X: "Anzahl der täglich
beförderten Personen" approximieren"? Begründen Sie Ihre Entscheidung!
2.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass an einem Tag mehr als 374 Personen nach
oben befördert werden?
3.
Wie beurteilen Sie die Modellannahme der Unabhängigkeit in diesem Beispiel?
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Tutorium Statistik II
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Aufgabe 4:
Die Verantwortlichen eines Eishockey-Verbandes wissen aus Erfahrung, dass bei 60 % der
Spiele 5 Pucks, bei 30 % der Spiele 6 Pucks und bei 10 % der Spiele 7 Pucks in den Taschen
der Souvenirjäger verschwinden. Pro Saison werden 80 Spiele ausgetragen.
1.
Wie groß ist der Erwartungswert und die Varianz des Puckschwundes pro Saison?
2.
Durch welche Verteilung läßt sich die Verteilung des Puckschwundes pro Saison approximieren? Begründen Sie Ihre Entscheidung!
3.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass pro Saison mehr als 452 Pucks verschwinden?
4.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass pro Saison höchstens 431 Pucks verschwinden?
5.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass pro Spiel höchstens 3 Pucks verschwinden?
6.
Wieviel Pucks müssen pro Saison eingekauft werden, wenn mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % der Bedarf an Pucks in einer Saison gedeckt werden soll?
Aufgabe 5:
Ein Marktforschungsinstitut will eine Erhebung in Drogerien durchführen. Aus einer Adressenliste werden zufällig 120 Geschäftsanschriften herausgesucht. Es ist erfahrungsgemäß damit zu rechnen, dass 10% der Anschriften fehlerhaft sind.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
1.
höchstens 8 Adressen
2.
mindestens 5 Adressen
3.
zwischen 4 und 10 Adressen
fehlerhaft sind?
4.
Wieviel Adressen sind mit Wahrscheinlichkeit von 95 % mindestens falsch?
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Tutorium Statistik II
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LÖSUNGEN SERIE 7
Aufgabe 1:
X:
„Anzahl der an Werktagen eingelieferten Patienten.“
E(X) = 20; Var(X) = 25
Y:
„Anzahl der an Samstagen eingelieferten Patienten.“
E(Y) = 15; Var(Y) = 9
Z:
„Anzahl der an Sonntagen eingelieferten Patienten.“
E(Z) = 11; Var(Z) = 16
W:
„Anzahl der innerhalb einer Woche (ohne Feiertag) eingelieferte Patienten.“
5
1. E( W) = E ∑ X i + Y + Z = 126
i =1
S: „Anzahl der während der Praktikumszeit (ohne Feiertag) eingelieferte Patienten.“
2.
n > 30 (Z. G. S.)
S ist approximativ N. V. ( E (S);
30
E (S) = E ∑ X i +
i =1
6
∑ Yj +
j=1
30
Var (S) = Var ∑ X i +
i =1
Var (S) ) ≈ N. V. (756; 30)
6
∑Z
k =1
6
k
= 756
6
∑Y + ∑Z
j= 1
j
k =1
k = 900
3. P (S ≤ 750) = 0,42074
4. P (720 ≤ S ≤ 810) = 0,849
T: „∅ Anzahl der pro Tag eingelieferten Patienten, bei einer Zufallstichprobe vom Umfang n = 42.“
n > 30
5
5. T ist approximativ N. V. E( T) ; Var( T) ≈ N . V. 18;
7
1
T=
S
42
1
1
900
E( T) =
E( S) = 18;
Var( T) = 2 Var( S) = 2
42
42
42
(
)
6. E(T) = 18
7. P( T ≤ 17 ) = 0,080757
______________________________________________________________________
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Tutorium Statistik II
_________________________________________________________________________
Aufgabe 2:
1. E(X) = 2;
2.
Var(X) = 1,8
n > 30 (Z. G. S.)
Y ist approximativ N. V. (nE(X);
3. E(Y) = 490;
n Var ( X) )
Var(Y) = 441
4. 0,1
5. 0,5
6. 0,5
7. 0,0228
Aufgabe 3:
n > 30
(
1. X ist approximativ N. V. E ( X) ;
Var( X)
)
2. 0,1587
3. In der Realität werden die Auslastungen der einzelnen Kabinen nicht voneinander unabhängig sein.
Aufgabe 4:
X: „Puckschwund pro Spiel“
Y: „Puckschwund pro Saison“
xi
5
0,6
P( x = x i )
1. E(Y) = nE(X);
E( X) =
6
0,3
7
0,1
x ≠ 5,6,7
0
Var(Y) = nVar(X)
∑ x P( X = x ) = 5,5;
i
i
i
Also: E(Y) = 80∗5,5 = 440;
2.
n > 30 (Z. G. S)
(
Var( X) =
∑(x
i
− E( X) ) P( X = x i ) = 0,45
2
i
Var(Y) = 80 ∗ 0,45 = 36
)
Y ist approximativ N.V. nE( X) ; nVar( X) ≈ N. V. (440; 6)
da Xi (i=1,...,80) unabhängig und identisch verteilt (Z. G. S.)!
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Tutorium Statistik II
_________________________________________________________________________
3. P(Y > 452) = 0,0228
4. P(Y ≤ 431) = 0,0668
5. P(X ≤ 3) = 0
?− 440
?− 440
= 0,95 ⇒
6. P(Y ≤ ?) = 0,95 ⇒ P U ≤
= 1,65 ⇒ ? = 450 Pucks
6
6
Quicky 1 + 2:
richtig
Quicky 3:
a) E(U) =0;
Var(U) = 1
σ
b) E( W) = 1 − ;
µ
σ2
Var( W) = 2
µ
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Tutorium Statistik II
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SERIE 8
Aufgabe 1:
Aus einer Grundgesamtheit von N = 3 Personen mit den Lebensaltern 20, 22 und 24 werden
Zufallsstichproben vom Umfang n = 2 mit Zurücklegen gezogen.
1. Berechnen Sie das arithmetische Mittel µ und die Varianz σ² dieser Grundgesamtheit!
2. Wieviel 2-Tupel enthält der Stichprobenraum?
3. Listen Sie alle Elemente des Stichprobenraums, d. h. alle 2-Tupel, die als Stichprobenergebnis möglich sind, auf!
4. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung folgender Stichprobenfunktionen:
2
a) Y =
∑X
i
Berechnen Sie E(Y) und Var(Y)!
i =1
b) X =
1 2
∑ X Berechnen Sie E( X ) und Var( X )!
ni = 1 i
c) Z 2 =
1 2
∑ ( Xi − X _ ) ² Berechnen Sie E(Z²)!
ni = 1
d) S 2 =
_ 2
2
1
Berechnen Sie (S²)!
∑ X i − X
n − 1 i = 1
5. Überprüfen Sie anhand der unter 4. errechneten Ergebnisse folgende Behauptungen:
a) E(Y) = n ⋅ µ und Var(Y) = n ⋅ σ²
b) E ( X ) = µ und Var ( X ) =
σ2
n
( ) n n− 1 ⋅ σ 2
E ( S 2) = σ 2
c) E Z 2 =
d)
Aufgabe 2:
Erläutern Sie den Zusammenhang zwischen folgenden Begriffen:
Grundgesamtheit - Stichprobenvariable - Stichprobenergebnis - Stichprobenraum - Stichprobenfunktion!
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Tutorium Statistik II
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Aufgabe 3:
Sie haben eine Zufallsgröße Y, die sich als Summe von Zufallsgrößen Xi (i = 1, ..., n) darstellen läßt. Über die Verteilung der Xi sei nichts bekannt.
1. Unter welchen Bedingungen an die einzelnen Xi und n können Sie Y als approximativ
normalverteilt betrachten?
2. Um welchen fundamentalen Satz der Statistik handelt es sich dabei?
3. Wenn die unter 1. genannten Bedingungen erfüllt sind, wie ist dann Y (approximativ) verteilt falls
a) die Xi nicht identisch verteilt sind?
b) die Xi identisch verteilt sind?
Aufgabe 4:
In Tabletten gegen Kopfschmerzen ist die Menge des enthaltenen Wirkstoffes normalverteilt.
Da bei zu geringer Wirkstoffmenge die Tabletten nicht helfen, bei zu hoher Menge aber Nebenwirkungen auftreten, muss die Produktion laufend überwacht werden.
1. Mit Hilfe von Zufallsstichproben wird geschätzt, wie hoch die durchschnittliche Wirk_
stoffmenge µ (in mg) ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Funktion X
Werte annimmt, die mehr als 0,5 mg über den wahren µ liegen
a) bei σ = 1 und n = 16?
b) bei σ = 1 und n = 64?
c) bei σ = 2 und n = 64?
2. Warum läßt sich die in 1. bestimmte Wahrscheinlichkeit nicht berechnen, wenn σ unbekannt ist? Geben Sie eine formale und eine inhaltliche Begründung!
3. Mit Hilfe von Zufallsstichproben wird geschätzt, wie groß die Varianz σ² der Wirkstoffmenge ist.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Stichprobenvarianz mehr als doppelt so
groß ist wie die wahre Varianz
a) wenn µ bekannt ist und n = 7?
b) wenn µ bekannt ist und n = 16?
c) wenn µ unbekannt ist und n = 16?
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Tutorium Statistik II
_________________________________________________________________________
Aufgabe 5:
1. Geben Sie bei folgenden Verteilungen von Xi an, welche Verteilung, welchen Erwartungswert und welche Varianz die Stichprobenfunktion ∑ X i hat. Gehen Sie davon aus,
dass die Xi unabhängig sind.
a)
Xi ~ Bernoulli (p)
b)
Xi ~ N . V.(µ, σ)
c)
Xi ~ Einpunkt (µ)
2.
Bei einem Spielautomaten ist der Gewinn pro Spiel normalverteilt mit µ = 0 und σ = 1
EURO. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Gesamtgewinn eines Abends mit
16 Spielen über 16 EURO liegt?
3.
Der Anteil der Studentinnen an allen Studierenden an einer Hochschule beträgt 40 %.
Das Studentenwerk zieht für eine Erhebung eine Stichprobe vom Umfang n = 30. Wie
groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in dieser Stichprobe weniger als 30 % oder
mehr als 50 % Studentinnen sind?
Quickies
Entscheiden Sie welche der folgenden Aussagen richtig und welche falsch sind!
richtig
falsch
1. Der Erwartungswert einer Zufallsvariable ist das arithmetische Mittel aus allen möglichen Realisationen.
2.
_
Wenn das Stichprobenmittel X bekannt ist, dann kann
man die Wahrscheinlichkeit dafür angeben, dass das
_
arithmetische Mittel µ der Grundgesamtheit gleich X ist.
3. Um angeben zu können, mit welcher Wahrscheinlichkeit
eine Stichprobe (X1, ..., Xn) gezogen wird, deren arith_
metisches Mittel X nahe µ liegt, muss man µ kennen.
4. Um angeben zu können, mit welcher Wahrscheinlichkeit,
welche Stichprobe (X1, ..., Xn) gezogen wird, muss man
die Verteilung der Grundgesamtheit kennen.
5.
_
Die Zufallsgröße X ist immer normalverteilt.
6. Der Erwartungswert jeder Stichprobenfunktion ist µ (µ
ist das arithmetische Mittel der Grundgesamtheit).
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Tutorium Statistik II
_________________________________________________________________________
7.
_
Der Erwartungswert von X ist immer das wahre µ der
Grundgesamtheit.
8.
_
Mit Hilfe der Stichprobenfunktion X läßt sich die Wahrscheinlichkeit dafür angeben, saß man die Stichprobe
zieht, deren arithmetisches Mittel sich von wahren µ
nicht sehr stark unterscheidet, wenn die Varianz der
Grundgesamtheit bekannt ist (n > 30).
9.
_
Mit Hilfe der Stichprobenfunktion X
kann man ent_
scheiden, ob das aus der Stichprobe berechnete X mit µ
übereinstimmt.
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Tutorium Statistik II
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LÖSUNGEN SERIE 8
Aufgabe1:
1 3
1
1. µ = ∑ x i = ( 20 + 22 + 24) = 22;
N i=1
3
1 3
1
8
2
σ = ∑ ( x i − µ) = ( 4 + 0 + 4 ) =
N i=1
3
3
2
2. N n = 32 = 9
3. (X1, X2) ⇒ (x1, x2)
x1
20
20
20
22
22
22
24
24
24
x2
20
22
24
20
22
24
20
22
24
y
40
42
44
42
44
46
44
46
48
z2
0
1
4
1
0
1
4
1
0
x
20
21
22
21
22
23
22
23
24
s2
0
2
8
2
0
2
8
2
0
4.
2
a) f ( X1 , X 2 ) = Y = ∑ X i
i =1
y
P(Y=y)
40
1
9
E( Y) =
42
2
9
∑ y P( Y = y) =
Var( Y) =
46
2
9
48
1
9
396
= 44
9
=
16
∑ ( y − E( Y) ) P( Y = y) = 3
b) f ( X1 , X 2 ) = X =
x
P( X = x)
44
3
9
20
1
9
2
nµ
=
nσ2
1 2
∑X
2 i=1 i
21
2
9
22
3
9
23
2
9
24
1
9
______________________________________________________________________
Seite - 83 -
Tutorium Statistik II
_________________________________________________________________________
E( X) =
Var( X) =
µ
∑ ( x − E( X) ) P( X = x) =
z2
P(Z2=z2)
0
3
9
E( Z 2 ) =
∑ z P( Z
d) f ( X1 , X 2 )
2
= z2 ) =
4
2
9
4
3
=
n−1 2
σ
n
1 2
2
=S =
(
X i − X)
∑
2 − 1 i=1
2
0
3
9
∑ s P( S
2
σ2
n
=
1 2
2
(
X i − X)
∑
2 i=1
1
4
9
2
s2
P(S2=s2)
4
3
2
c) f ( X1 , X 2 ) = Z 2 =
E( S 2 ) =
198
= 22
9
∑ xP( X = x) =
2
4
9
2
= s2 ) =
8
2
9
8
3
=
σ2
Aufgabe 2:
siehe „Bamberg/Baur“
Aufgabe 3:
1. Xi unabhängig, n → ∞ (n > 30), E(Xi) ex. und Var(Xi) > 0 ex.
2. Zentralen Grenzwertsatz
n
3. a) Y ist approximativ N. V. ∑ µ i ;
i=1
alle i.
(
b) Y ist approximativ N. V. nµ;
n
∑σ
i =1
nσ2
)
2
i
mit µ i = E( X i ) ; σ2i = Var( X i ) für
mit µ = E( X i )
σ2 = Var( X i ) jeweils für alle i.
______________________________________________________________________
Seite - 84 -
Tutorium Statistik II
_________________________________________________________________________
Aufgabe 4:
Xi: „Wirkstoffmenge in einer Tablette.“
σ
Xi ist N. V. µ;
n
1
X−µ
n
1. P X > µ + = P
>
σ
2
2σ
n
a) P(U>2) = 0,02275
b) P(U>4) = 0,000032
c) P(U>2) = 0,02275
X− µ
n
P
>
;
S
2S
n
2. formal:
S ist Zufallsgröße und kann daher bei jeder Stichprobe einen anderen Wert annehmen.
inhaltlich:
Bei unbekanntem σ2 weiß man nicht, wie stark die Wirkstoffmenge „in Wirklichkeit“
schwankt. Daher kann man auch nicht wissen, wie stark die ∅ Wirkstoffmenge
schwankt.
3.
Z
'2
1
=
n
∑(X
− µ) ;
2
i
nZ '2
ist χ 2 − verteilt mit f = n
2
σ
nZ '2
nZ '2
a) P( Z '2 > 2σ2 ) = P 2 > 2 n = P 2 > 14 ≈ 0,05 (ex: 0,05118)
σ
σ
b) P( Z > 2σ
'2
S2 =
2
)
nZ '2
nZ '2
= P 2 > 2 n = P 2 > 32 = 0,01
σ
σ
1
2
(
X i − X) ;
∑
n−1
n−1 2
S ist χ 2 − verteilt mit f = n − 1
σ2
( n − 1)
( n − 1)
c) P( S 2 > 2σ2 ) = P 2 S 2 > 2( n − 1) = P 2 S 2 > 30 ≈ 0,01
σ
σ
(ex.:0,011)
______________________________________________________________________
Seite - 85 -
Tutorium Statistik II
_________________________________________________________________________
Aufgabe5:
1.
n
a)
∑ Xi
ist B. V. (n; p) mit E
i =1
n
b)
∑ Xi
i =1
(
ist N. V. nµ;
)
nσ2 ;
( ∑ X ) = np;
i
µ = E( X i ) ; σ2 = Var( X i )
n
c)
∑ Xi
ist Einpunkt verteilt (nµ);
i =1
2.
Var( ∑ X i ) = np ( 1 − p)
Xi: „Gewinn bei Spiel i.“
Xi ist N. V. (µσ) ∼ N. V. (0;1);
E( ∑ X i ) = nµ;
∑ X i ist N. V. ( nµ;
( i = 1, ... , n)
Var( ∑ X i ) = 0
)
nσ2 ≈ N. V. ( 0;4)
16
P ∑ X i > 16 = P( U > 4) = 0,000032
i=1
3.
Y: „Anzahl der Studentinnen bei einer Zufallstichprobe von Umfang n=30.“
Y ist B. V. (n;p) ≈ B. V. (30; 0,4)
P[ ( Y < 9) ∪ ( Y > 15) ] = P(Y < 9) + P( Y > 15) = 0,0940 + 0,0971 = 0,1911
Quickies:
1. falsch
2. falsch
3. falsch
4. richtig
5. falsch
6. falsch
7. richtig
8. richtig
9. falsch
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Tutorium Statistik II
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SERIE 9
Aufgabe 1:
I. Bei einem Test wurden 49 zufällig ausgewählte PKW's des gleichen Typs mit der gleichen Kraftstoffmenge ausgestattet. Mit dieser Füllung legten sie im Durchschnitt 50 km
zurück. (Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist mit 7 km als bekannt vorausgesetzt.)
1. Geben Sie explizit das Konfidenzintervall [Vu; Vo] für die durchschnittliche Kilometerleistung µ dieses PKW-Typs zum Konfidenzniveau 1 − a an!
2. Bestimmen Sie das Schätzintervall für µ (1 − α = 95 %)!
3. Wie groß müßte der Stichprobenumfang n gewählt werden, wenn bei gleichem
Konfidenzniveau das Schätzintervall für µ eine Breite von 2 km aufweisen soll?
II. Einige Zuschauer dieser Testveranstaltung werden zufällig von einem Reporter ausgewählt und nach ihrer Zugehörigkeit zum ADAC befragt. Unter den 200 befragten Personen befanden sich 40 Mitglieder des ADAC.
1. Geben Sie explizit das approximative Konfidenzintervall [Vu; Vo] für den unbekannten Anteil p der ADAC-Mitglieder bei dieser Veranstaltung zum Konfidenzniveau 1 −
α an!
2. Bestimmen Sie das Schätzintervall für p (1 − α = 99 %) (approximativ und exakt)!
III. Ein geschäftstüchtiger Automatenaufsteller hat am Rande der Zuschauertribüne einen
Kaffee-Automaten aufgestellt, der die Plastikbecher zu je 0,25 l gegen Einwurf einer
Münze mit Kaffee füllt. Man kann davon ausgehen, dass die Füllmenge annähernd normalverteilt ist. Eine Zufallsstichprobe vom Umfang n = 5 ergab folgende Werte in l:
0,18; 0,25; 0,12; 0,20; 0,25.
1. Geben Sie explizit das Konfidenzintervall [Vu; Vo] für die durchschnittliche Füllmenge µ dieses Kaffee-Automaten zum Konfidenzniveau 1 − α an!
2. Bestimmen Sie das Schätzintervall für p (1 − α = 95%)!
3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit läuft der Becher über?
Aufgabe 2:
Eine Maschine produziert Fahrradschläuche mit einem Durchmesser von 40 cm. Man weiß
aus Erfahrung, dass der Durchmesser der produzierten Fahrradschläuche vom Zufall abhängt
und N. V.(µ; σ) −verteilt ist. Um zu kontrollieren, ob die Maschine noch richtig eingestellt ist,
werden 25 Fahrradschläuche zufällig ausgewählt. Aus den 25 Werten wurde ein mittlerer
Durchmesser von 41 cm bei einer Standardabweichung von 3 cm ermittelt.
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Tutorium Statistik II
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1. Geben Sie explizit das Konfidenzintervall [Vu; Vo] für die durchschnittliche Füllmenge µ
dieses Kaffee-Automaten zum Konfidenzniveau 1 − α an!
2. Bestimmen Sie das Schätzintervall für p (1 − α = 90%)!
3. Wenn Sie davon ausgehen, dass die Stichprobenstandardabweichung garantiert kleiner
oder gleich 5 cm ist, wie groß müssen Sie dann den Stichprobenumfang mindestens wählen, damit das Schätzintervall maximal 1 cm breit ist?
Aufgabe 3:
Ein Jahr nach der Mietpreisbindung möchte der Wohnungssenator dieser Stadt Aufschluß
über die Auswirkungen dieser Maßnahme erhalten.
A: Es soll der durchschnittliche Mitpreis einer 80 m²-Altbauwohnung geschätzt werden. Dazu laßt sich der Senator vom Wohnungsamt 36 derartige Wohnungen zufällig auswählen
und die zur Zeit dafür bezahlte Miete erheben.
1. Geben Sie zum Konfidenzniveau (1 − α) = 0,98 das Konfidenzintervall für den durchschnittlichen Mietpreis einer 80 m²-Altbauwohnung an!
Aus der Stichprobe wurden folgende Werte berechnet: x = 950,00 EURO; s = 180,00
EURO.
B:
2.
Nach welcher Formel muss s berechnet worden sein?
3.
Geben Sie das Schätzintervall an!
4.
Vor Aufhebung der Mietpreisbindung betrug der durchschnittliche Mietpreis für diesen Wohnungstyp 875,00 EURO. Wenn Sie zum Vergleich das unter 3. errechnete
Ergebnis heranziehen, können Sie dann sicher sagen, ob sich der durchschnittliche
Mietpreis verändert hat? Geben Sie bitte eine genaue Begründung!!!
Es soll der Anteil an Altbauwohnungen ermittelt werden, die länger als 3 Monate leerstehen. Dazu wird eine Zufallsstichprobe vom Umfang n = 24 gezogen und gezählt.,
wieviel der in die Stichprobe gekommenen Altbauwohnungen seit mehr als 3 Monaten
leerstehen.
1.
Geben Sie zum Konfidenzniveau (1 − α) = 0,95 das approximative
Konfidenzintervall für den gesuchten Anteil an!
In der Stichprobe befanden sich 6 Wohnungen, die seit mehr als 3 Monaten leerstehen.
2.
Gegen sie das Schätzintervall (approximativ und exakt) an!
3.
Wie hätte das Konfidenzniveau (1 − α) gewählt werden müssen (größer oder kleiner), um (bei derselben Stichprobe) ein kürzeres Schätzintervall zu erhalten? Begründen Sie Ihre Antwort!
Aufgabe 4:
Ein Schweinemäster möchte Informationen über das Gewicht seiner ausgewachsenen Mastschweine gewinnen. Dazu bittet er den gerade auf seinem Hof Urlaub machenden Studenten
S. Tatistik um seine Mithilfe.
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Tutorium Statistik II
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Sie ziehen eine Zufallsstichprobe vom Umfang n = 6 Schweinen und wiegen diese. Es ergaben sich folgende 6 Meßwerte (in kg):
100; 104; 98; 100; 101; 97.
Nehmen Sie an, dass X: "Gewicht eines Schweines" eine N. V.(µ; σ) -verteilte Zufallsgröße
ist.
1.
Führen Sie mithilfe obiger Daten erwartungstreue Punktschätzungen für E(X) = µ und
Var(X) =
σ² durch!
2.
Geben Sie explizit das Konfidenzintervall für den tatsächlichen Gewichtsdurchschnitt m
zum Konfidenzniveau 1 − α an!
3.
Bestimmen Sie den Schätzintervall für µ(1 − α = 95 %)!
4.
Verbalisieren Sie das Ergebnis von 3.!
5.
Welche Möglichkeiten haben Sie bei der Planung der Untersuchung, Einfluß auf die
Länge des Schätzintervalls zu nehmen?
6.
Wie würden Sie das Schätzintervall verändern, wenn σ² = 6 als bekannt vorausgesetzt
werden kann? Begründen Sie Ihre Meinung!!!
Quicky 1:
Welchen Einfluß haben
a)
Stichprobenumfang
b)
Varianz der Schätzfunktion
c)
Konfidenzniveau
auf die Länge eines Konfidenzintervalls?
Quicky 2:
richtig
falsch
Sei 1 − α = 99 % und [0,8; 1,2] ein Schätzintervall für µ.
Dann liegt µ mit einer Wahrscheinlichkeit von 99 % in
diesem Intervall.
Quicky 3:
Sei [Vu; Vo] ein Konfidenzintervall für µ zum
Konfidenzniveau 1 − α = 99 %. Dann überdeckt das Intervall mit 99-%-iger Wahrscheinlichkeit den unbekannten Parameter µ.
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LÖSUNGEN SERIE 9
Aufgabe 1:
I. X: „Fahrleistung eines PKW’s in [in km].“
X ist beliebig verteilt; E( X) = µ;
Var( X) = σ2
X : „∅ Fahrleistung eines PKW’s [in km] bei einer Zufallstichprobe vom Umfang n=49.“
n > 30 (Z. G. S.)
σ
X ist approximativ N. V. µ;
n
n=49;
x =50;
σ=7
σ
σ
= 1 − α;
1. P X − c
≤ µ≤ X+c
n
n
c aus N. V.(0; 1)
2. [50-1,96*1; 50+1,96*1] = [48,04; 51,96]
2
2
2cσ
2 * 1,96 * 7
=
= 13,72 2 = 188,2384
3. n ≥
L
2
Also: n ≥ 189
II. Y: „Anzahl der ADAC-Mitglieder bei einer Zufallstichprobe vom Umfang n=200.“
Y ist B. V. (n; p) ≈ B. V. (200;p)
Y
Y
Y
Y
1 −
1 −
Y
Y
n
n
n
n
1. P − c
≤ p≤
+c
= 1− α
n
n
n
n
c aus N. V. (0; 1);
2.
5 ≤ y ≤ n-5
Approximativ: [0,2-2,58*0,028; 0,2+2,58*0,028] = [0,13; 0,27]
Aus Nomogramm: [0,13, 0,28]
III. X: „Füllmenge eines Bechers [in l]“
X ist N. V. (µ; σ)
x =0,2;
s2=0,00295 ⇒ s=0,0543
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Tutorium Statistik II
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X : „∅ Füllmenge eines Bechers [in l] bei einer Zufallstichprobe vom Umfang n=5.“
σ
X ist N. V. µ;
n
1.
S
S
= 1 − α;
P X − c
≤ µ≤ X+c
n
n
c aus t-Verteilung mit f=n-1
0,0543
0,0543
2. 0,2 − 2,782
; 0,2 + 2,782
= [ 0,2 − 0,0674; 0,2 + 0,0674]
2,24
2,24
= [ 0,1326; 0,2674]
Aufgabe 2:
S
S
= 1 − α;
1) P X − c
≤ µ≤ X+c
n
n
2) [ 39,9704 ; 42,0296 ]
3) n ≥ 295
Aufgabe 3:
A:
X: „Mietpreis einer 80 m2 - Altbauwohnung.“
X ist beliebig verteilt mit E(X) = µ; Var(X) = σ2
X : „∅ Mietpreis einer 80 m2 - Altbauwohnung bei einer Zufallstichprobe vom Umfang
n=36.“
n>30 (Z. G. S.)
σ
X ist approximativ N. V. µ;
n
S
S
= 1 − α;
1. P X − c
≤ µ≤ X+c
c aus N. V. (0; 1)
n
n
x =950;
n=36;
s=180;
1-α=0,98 ⇒ c=2,33
2. s =
1
2
x i − x)
(
∑
n −1
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180
180
3. 950 − 2,33
; 950 + 2,33
= [ 950 − 68,9; 950 + 69,9] = [ 880,1; 1019,9]
6
6
4. 875 ∉ [880,1; 1019,9]
Da µ neu nicht im berechneten Intervall liegen muss, läßt sich keine Aussage treffen,
d. h. µ neu = 875 = µ alt !
B:
Y: „Anzahl der Altbauwohnungen, die länger als 3 Monate leer stehen.“
Y ist B. V. (n; p) ≈ B. V. (24; p)
1.
Y Y
Y Y
1 −
1 −
Y
Y
n
n
n
n
P − c
≤ p≤ +c
= 1− α
n
n
n
n
c aus N. V. (0; 1), da 5 ≤ y ≤ n-5
y=6;
2.
3.
Approximativ:
Aus Nomogramm:
1-α
1-α=0,95 ⇒ c=1,96
n=24;
kleiner
⇒
[0,25-0,173; 0,25+0,173] = [0,077; 0,423]
[0,1; 0,46]
c kleiner
⇒ Schätzintervall kleiner
Aufgabe 4:
X: „Gewicht eines Schweines“
X ist N. V. (µ; σ)
X : „∅ Gewicht eines Schweines bei einer Zufallstichprobe vom Umfang n=6.“
σ
X ist N. V. µ;
n
1.
x = 100; s 2 = 6
2.
S
S
= 1 − α;
P X − c
≤ µ≤ X+c
n
n
c aus t-Verteilung mit f = n-1
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3.
4.
[100-2,577*1; 100+2,577*1] = [97,423; 102,577]
Wird dieses Verfahren der Intervallschätzung „unendlich oft“ durchgeführt, so kann
man mit durchschnittlich) 95% richtigen Ergebnissen rechnen, d. h. Schätzintervallen,
in denen der unbekannte Wert enthalten ist.
5.
Durch die Wahl von n bzw. 1-α
6.
Intervall wird kleiner: statt c=2,577 (aus t-Verteilung)
jetzt c=1,96 (aus N. V. (0,1)
Quicky 1
Wird unter sonst gleichen Bedingungen
⇒
Intervall kleiner
a)
n größer
2
b)
s größer
⇒
Intervall größer
c)
1-α größer
⇒
Intervall größer
Quicky 2:
falsch
Quicky 3:
richtig
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Tutorium Statistik II
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S E R I E 10
Aufgabe 1:
Ein Unternehmen stellt Spezialgefrierschränke her, die zur Konservierung bestimmter Güter
verwendet werden Die Soll-Kühltemperatur beträgt für derartige Gefrierschränke −25 °C.
Da man weiß, dass die tiefgefrorenen Güter bei höheren Temperaturen leicht verderben, und
da der potentielle Kundenstamm nicht sehr groß ist, würde ein mangelhaftes Produkt, das also
nicht tief genug kühlt, das Schlimmste, nämlich den Ruin der Firma, bedeuten. Aus Gründen
der Vorsicht soll nun die Kühlleistung der Gefrierschränke an 100 zufällig aus der Produktion
ausgewählten Gefrierschränken auf einem Signifikanzniveau von 2,275 % getestet werden,
um zu entscheiden, ob die Produktion weiterlaufen kann oder eine Konstruktionsänderung an
den Geräten vorgenommen werden muss. Aus Erfahrung weiß man, dass die erreichte Kühltemperatur eines solchen Gefrierschrankes normalverteilt ist mit einer Standardabweichung
von 2 °C.
1.
Wie lauten die Hypothese für diesen Test? Begründen Sie Ihre Wahl in Form einer Risikobetrachtung!
2.
Geben Sie die Prüfgröße formal und verbal an?
3.
Wie lautet die Testfunktion und wie ist diese unter Ho verteilt?
4.
Bestimmen Sie den Verwerfungsbereich für diesen Test!
5.
Bestimmen Sie die Werte der Gütefunktion, falls die mittlere Kühltemperatur in Wahrheit
a)
b)
c)
−24,8 °C
−25,4 °C
−29,0 °C
beträgt!
6.
Skizzieren Sie die Gütefunktion!
7.1. Die Zufallsstichprobe ergab eine mittlere Kühltemperatur pro Gerät von −26 °C bei einer
Standardabweichung von 1,5 °C.
a)
Wie lautet die Testentscheidung?
b)
Interpretieren Sie das Testergebnis inhaltlich und statistisch exakt!
c)
Ist der Firma bei der Testentscheidung ein Fehler unterlaufen? Wenn ja, um welchen
Fehler handelt es sich?
7.2. Die Zufallsstichprobe ergab eine mittlere Kühltemperatur pro Gerät von −25,3 °C.
a)
Wie lautet die Testentscheidung?
b)
Interpretieren Sie das Ergebnis inhaltlich und statistisch exakt!
c)
Welcher Fehler kann bei dieser Entscheidung unterlaufen sein?
d)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fehler hier unterlaufen ist?
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Tutorium Statistik II
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e)
8.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei diesem Testverfahren diesen Fehler zu machen, wenn µ tatsächlich −29 °C beträgt?
Warum reicht es beim einseitigen Test aus, dass man unter der Nullhypothese nur den
Fall µ = µo betrachtet?
Aufgabe 2:
Für den Durchmesser von Wellen ist ein Sollwert von 200 mm vorgeschrieben. Außerdem ist
bekannt, dass die Produktion normalverteilt ist mit einer Standardabweichung von 5 mm. Um
die Produktion zu kontrollieren, zog der Kontrolleur K1 eine Zufallsstichprobe von n = 100.
Das arithmetische Mittel aus diesen 100 Stück ergab eine Abweichung vom Sollwert von +0,4
mm.
Es soll die Hypothese H0 : µ = µo gegen H1 : µ ≠ µo getestet werden auf einem
Signifikanzniveau von 5 %.
1. Geben Sie den Verwerfungsbereich B an!
2. Wie entscheidet sich K1?
3. Welchen Fehler könnte K1 bei einer Entscheidung begangen haben?
4. Ein zweiter Kontrolleur K2 berechnet aus einer zweiten Zufallsstichprobe von n = 100 ein
x = 202 mm. Wie entscheidet sich K2 (bei gleichen Entscheidungskriterien)?
5. Welchen Fehler könnte K2 bei seiner Entscheidung begangen haben?
Aufgabe 3:
Seit geraumer Zeit beklagen Umweltschützer die Verschmutzung der Seen durch die Abwässer der Haushalte - insbesondere durch den Phosphatgehalt der Waschmittel. So greifen sie
auch eine bestimmte Firma an, da sie glauben, dass der zulässige Durchschnittswert von 18 g
pro Packung in deren Produkt überschritten wird. Die Firma bestreitet das energisch und verspricht den Umweltschützern, das Produkt vom Markt zu nehmen, falls sich statistisch zeigen
läßt, dass der mittlere Phosphatgehalt ihres Produktes tatsächlich zu hoch ist. Die Firma will
nun
diesen
Test
durchführen
und
schlägt
den
Umweltschützern
eine
Irrtumswahrscheinlichkeit von 0,001 vor, da man ja dann mit hoher Sicherheit ein richtiges
Testergebnis bekommen würde. Die Umweltschützer akzeptieren dies, da ihnen die Argumentation völlig einleuchtet.
Die Varianz des Phosphatgehaltes pro Packung wird mit 36 g² als bekannt vorausgesetzt.
1. Formulieren Sie die Hypothese für diesen Test!
2. Geben Sie die Prüfgröße formal und verbal an!
3. Wie lautet die Testfunktion und wie ist diese unter Ho verteilt?
4. Bestimmen Sie den Ablehnbereich für diesen Test!
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Tutorium Statistik II
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Bei der gezogenen Zufallsstichprobe von 36 Paketen ergab sich ein durchschnittlicher Phosphatgehalt von 20 g.
5. Wie lautet die Testentscheidung?
Die Firma gibt folgende Pressemitteilung heraus:
"Mit Hilfe eines Tests konnte die Firma statistisch belegen, dass der mittlere Phophatgehalt
in unseren Waschmittelpaketen den Richtwert von 18 g nicht überschreitet. Für diesen Test
wurden unter den Augen der Umweltschützer 36 Waschmittelpakete sorgfältig ausgewählt
und untersucht. Um eine Fehlentscheidung bei diesem Test fast vollständig auszuschließen,
haben wir nach Absprache mit den Umweltschützern den Test so durchgeführt, dass eine
Fehlentscheidung nur mit 0,14-%-iger Wahrscheinlichkeit vorkommen kann. Damit hat unsere Firma wieder einmal bewiesen, dass sie zu den umweltbewußten Herstellern von ..."
6. Nehmen Sie ausführlich Stellung zu dieser Pressemitteilung!
7. Hat die Firma bei der Testentscheidung einen Fehler begangen?
8. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für eine Fehlentscheidung, falls der mittlere
Phophatgehalt pro Paket den Wert 21,1 g hat!
9. Ist der Verlauf der Gütefunktion dieses Tests abhängig von
a) Stichprobenergebnis
b) Stichprobenumfang?
Quicky 1:
Skizzieren Sie für folgenden Hypothesen den Annahmebereich und kennzeichnen Sie α!
a) H0 : µ = µo gegen H1 : µ ≠ µo
b) H0 : µ ≥ µo gegen H1 : µ < µo
c) H0 : µ ≤ µo gegen H1 : µ > µo
Quicky 2:
Erläutern Sie die folgenden in der Testtheorie auftretenden Wahrscheinlichkeiten:
a) α
b) 1 − α
c) β
d) 1 − β
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richtig
falsch
Quicky 3:
Wenn man bei einem Test α = 0 wählt, kann man niemals einen Fehler begehen.
Quicky 4:
Ein einseitiger Test wird - wenn möglich - so aufgebaut,
dass die Hypothese, die statistisch zu beweisen ist, als
Nullhypothese formuliert wird.
Quicky 5:
Die Festlegungen der Hypothesen Ho und H1 beim
Signifikanztest muss unabhängig vom Stichprobenergebnis erfolgen.
Quicky 6:
In den Hypothesen eines statistischen Parameters wird
eine Annahme über die bekannten Verteilungsparameter
der Grundgesamtheit formuliert.
Aufgabe 4:
Ein Supermarkt hatte bisher Hähnchen mit einem Durchschnittsgewicht von 1.400 g zu einem
bestimmten Preis bezogen. Ein Händler macht nun ein Angebot, Hähnchen von gleichem
Durchschnittsgewicht zu einem günstigeren Stückpreis liefern zu können. Die Einkäufer E1
und E2 des Supermarktes, die beide wissen, dass das Hähnchengewicht normalverteilt ist,
vermuten, dass der günstige Preis durch ein zu geringes Durchschnittsgewicht zustande
kommt. E1 wiegt 25 zufällig ausgewählte Hähnchen ab. Dabei stellt sich heraus, dass das
arithmetische Mittel um −9 g vom Sollgewicht und die Standardabweichung sich zu 50 g aus
der Stichprobe ergab. (α = 0,05)
1. Die Einkäufer stellen folgende Hypothese auf:
H0 µ ≥ µo (= 1.400)
H1 µ < µo (= 1.400)
Welches Risiko wird bei dieser Hypothesenformulierung klein gehalten?
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2. Geben Sie diejenige Stichprobenfunktion, die sich zur Prüfung der aufgestellten Hypothese eignet, verbal an!
3. Geben Sie ihre Verteilung und Parameter unter der Annahme an, dass Ho richtig ist!
4. Wie lautet die Testfunktion und wie ist diese unter Ho verteilt?
5. Ermitteln Sie den Annahmebereich und den Verwerfungsbereich B!
6. Wie entscheidet sich E1?
7. Welchen Fehler kann E1 gemacht haben?
E2 entnimmt eine zweite Zufallsstichprobe von n = 25. Es ergibt sich eine x = 1.381 g bei
gleicher Standardabweichung wie zuvor.
8. Wie entscheidet sich E2?
9. Welchen Fehler kann E2 gemacht haben?
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Tutorium Statistik II
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LÖSUNGEN SERIE 10
Aufgabe 1:
X: „Temperatur eines Spezialgefrierschrankes“
X ist N. V. (µ; σ);
σ=2
1. Ho: µ ≥ µ o (= -25°)
α = P(„Kunden zufrieden“ | Rmin )
H1: µ < µ o (= -25°)
2. X: „∅ Temperatur eines Spezialgefrieschrankes bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang
n=100.“
σ
≈ N. V. ( − 25; 0,2)
X ist unter Ho N. V. µo;
n
3. V =
X − µo
ist unter Ho N. V. (0; 1)
σ
n
4.
σ
= { x| x ≥ −25,4} AnnahmeAnnahmebereich: x| x ≥ µo − c
n
{ v| v ≥ −c} = { v| v ≥ −2}
bereich
σ
= { x| x < −25,4}
B
: x| x < µo − c
B
n
{ v| v < −c} = { v| v < −2}
:
:
5. a)
−25,4 + 24,8
=
g( µ1 = −24,8) = P( " H1" | H 0) = α = P( X < −25,4| µ1 = −24,8) = P V <
0,2
= P( V < − 3) = 1 − P( V < + 3) = 1 − 0,998650 = 0,00135
b)
−25,4 + 25,4
=
g( µ2 = −25,4) = P( " H1" | H1) = 1 − β = P( X < −25,4| µ2 = −25,4) = P V <
0,2
= P( V < 0) = 0,5
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Tutorium Statistik II
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c)
−25,4 + 29
=
g( µ3 = −29) = P( " H1" | H1) = 1 − β = P( X < −25,4| µ3 = −29) = P V <
0,2
= P( V < 18) = 1
7.1.
a) Da x = − 26 ∈ B ⇒ " H1"
b) Auf einem Signifikanzniveau von 2,275% basierend auf einer Zufallsstichprobe von
100
Gefrierschränken konnte statistisch bewiesen werden, dass die durchschnittliche Temperatur
der Geräte unter -25°C liegt. Somit ist keine Produktveränderung nötig.
c) Weiß man nicht!
7.2
a) Da x = − 25,3 ∉ B ⇒" H 0"
b) ... konnte nicht statistisch bewiesen werden, dass ... unter -25°C liegt.
Somit ist Produktveränderung nötig.
c) β - Fehler
d) Frage kann nicht beantwortet werden!
(Fehler ist unterlaufen oder aber nicht)
e) P( " H1" | µ = −29) = 0
8. P( " H1" | H 0) = α ist an der „Nahtstelle“ des Hypothesenbereiches stets am größten.
Aufgabe 2:
σ
σ
bzw. { v| v < −c oder v > c}
1. B = x| x < µ0 − c
oder x > µ0 + c
n
n
B = { x| x < 199,02 oder x > 200,98} bzw. { v| v < −1,96 oder v > +1,96}
2. „H0“
3. β - Fehler
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Tutorium Statistik II
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4. „H1“
5. α - Fehler
Aufgabe 3:
X: „Phosphatgehalt eines Paketes“
X ist beliebig verteilt mit E( X) = µ;
Var( X) = σ2 = 36
1. H 0: µ ≤ µ0 ( = 18)
H1: µ ≥ µ0 ( = 18)
2. X: „∅ Phosphatgehalt eines Paketes bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang n=36“
n>30 (Z. G. S.)
σ
≈ N. V. ( 18; 1)
X ist unter H 0 approximativ N. V. µ0;
n
3.
n>30 (Z. G. S.)
X − µ0
V=
ist unter H 0 approximativ N. V. ( 0; 1)
σ
n
σ
bzw. { v| v ≤ +c} ;
4. Annahmebereich: x| x ≤ µ0 + c
n
σ
bzw. { v| v > +c} ;
B
: x| x ≥ µ0 + c
n
5. v =
c = 3,1
20 − 18
= + 2; Da v = + 2 ∉ B ⇒" H 0"
1
6.
a) Es konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass der Richtwert überschritten wird. Die
Firma spricht aber von einem statistischen Beweis, dass der Richtwert eingehalten wird
(= Beweis von H0 !)
b) α sehr klein! Kommt bei dieser Hypothesenformulierung nur der Firma zugute, d. h. nur
bei einem ganz extrem großen Stichprobenmittelwert von muss die Firma das Produkt
vom Markt nehmen (= „H1“).
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Tutorium Statistik II
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c) Aus b) folgt, dass aus Sicht der Umweltschützer die Hypothesen umgekehrt formuliert
werden müßten, wobei - als Zugeständnis an die Firma - mit einem größeren α getestet
werden könnte.
7.
Keiner weiß es!
8.
P(„H0“ | H1) = P(„H0“ | µ=21,1) = 0,5 = β(µ=21,1)
a) Nein!
b) Ja!
Quicky 1
a)
b)
c)
Quicky 2
a) α = P(„H1“|Ho)
P(„H1“|H1)
b ) 1 - α = P(„Ho“|Ho)
c) β = P(„Ho“|H1)
d) 1 - β =
Quicky 3-6
falsch
Aufgabe 4:
X: „ Gewicht eines Hähnchens “
X ist N.V.( µ, σ )
H0: µ ≥ µ 0 ( = 1400 )
H1: µ < µ 0 ( = 1400 )
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1.
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Tutorium Statistik II
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2.
X: „∅ Gewicht eines Hähnchens bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang n = 25“
3.
σ
σ
≈ N. V. 1400;
X ist unter H 0 approximativ N. V. µ0;
n
n
4.
V=
X − µ0
ist unter H0 t - verteilt mit f = n - 1
S
n
5. Annahmebereich: { v| v ≥ −c} ≈ { v| v ≥ −1,716}
B
6.
: { v| v < −c} ≈ { v| v < −1,716}
Da v = -0,9 ∉ B ⇒ „H0“.
7. β-Fehler
8.
Da v = - 1,9 ∈ B ⇒ „ H1 “.
9. α - Fehler
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Tutorium Statistik II
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S E R I E 11
Aufgabe 1:
Einer im Berlin-Verkehr tätigen amerikanischen Fluggesellschaft wird gelegentlich schlampiges Gepäck-Handling vorgeworfen. Gewöhnlich verteidigt sich der Deutschlanddirektor der
Fluggesellschaft gegenüber Journalisten mit dem Hinweis, dass es sich bei diesen Vorkommnissen um „seltene Ereignisse“ handelt. Als der Deutschlanddirektor durch Zufall erfährt, dass
es eine statistische Verteilung gibt, die gerade „Verteilung der seltenen Ereignisse“ heißt, wittert er eine Chance, seine Behauptung statistisch zu untermauern. Dies soll durch einen statistischen Test geschehen, bei dem die Behauptung „Nichtmitnahme von Passagiergepäck mit
dem Flugzeug unterliegt der Verteilung der seltenen Ereignisse“ überprüft werden soll
(Signifikanzniveau von 1%).
Von der Vertretung der Airline in Berlin-Tegel lässt er sich die Beschwerdeübersicht der letzten 1000 Flüge vorlegen und betrachtet diese als Zufallsstichprobe. Danach wurde in 460 Fällen ohne Beanstandung abgefertigt. In 350 Fällen wurde das Gepäck jeweils eines Passagiers
nicht befördert. Für 135 Flüge war dies bei zwei Fluggästen, für 40 Flüge bei drei Passagieren
und für 15 Flüge bei vier Berlin-Reisenden der Fall. In keinem Fall hatten mehr als vier Fluggäste Grund zur Beanstandung.
1. Formulieren Sie die Hypothesen für diesen Test!
2. Wie ist die Testfunktion unter Ho verteilt?
(Verteilungstyp und Verteilungsparameter)
3. Bestimmen Sie den Verwerfungsbereich für diesen Test!
4. Welche Schätzfunktionen ergeben sich nach dem Maximum-Likelihood-Prinzip, falls zur
Durchführung dieses Tests Parameter geschätzt werden müssen?
5. Wie lautet die Testentscheidung?
Hinweis: Runden sie die Werte aus den Verteilungstabellen auf drei Stellen nach dem Komma
(0,8724 ≅ 0,872; 0,8725 ≅ 0,873) !
6. Nach Kenntnisnahme des Testergebnisses veranlasst der Deutschlanddirektor folgende
Pressemitteilung:
„Vorwürfe widerlegt! Mittels eines Tests konnte auf der Grundlage einer Stichprobe vom
Umfang 1000 mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 1% statistisch bewiesen werden,
dass fehlerhaftes Gepäck-Handling einer Verteilung der seltenen Ereignisse unterliegt.“
Nehmen Sie Stellung zu dieser Behauptung und begründen Sie Ihre Aussage!
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Rechenhilfe:
121
= 0 ,2 6 9 ;
449
100
= 0 2 7 8;
360
81
= 0 ,5 6 3 ;
144
4
= 0 ,1 0 5
38
Aufgabe 2:
Drei unterscheidbare Münzen wurden insgesamt 240 mal geworfen, und jedes Mal wurde die
erscheinende Anzahl von „Kopf“ beobachtet.
Die Ergebnisse sind im Folgenden zusammengefasst:
0 mal Kopf :
24
1 mal Kopf : 108
2 mal Kopf :
85
3 mal Kopf :
23
Testen Sie die Hypothese, dass es sich bei den drei Münzen um ideale Münzen handelt (α =
0,05 )!
Aufgabe 3:
In der Fußball-Liga wurden für eine Saison die Torerfolge pro Spiel in folgender Häufigkeitstabelle zusammengefasst:
Torerfolge pro
Spiel
Häufigkeit
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
>9
18 24 56 63 61 39 26
6
5
2
0
Es soll mit einem statistischen Testverfahren überprüft werden, ob die Torerfolge pro Spiel
einer Poisson Verteilung mit λ = 3,4 folgen ( α = 0,1).
1. Wie lauten die Hypothesen für den Chi2-Anpassungstest?
2. Wie lautet die Testfunktion und wie ist diese unter Ho verteilt?
Begründung !
3. Bestimmen Sie den Verwerfungsbereich für diesen Test!
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Runden Sie die Wahrscheinlichkeitswerte auf zwei Stellen hinter dem Komma!
4. Wie lautet die Testentscheidung?
Interpretieren Sie das Testergebnis kurz, aber statistisch exakt!
Aufgabe 4:
Ein Taxiunternehmen will überprüfen, ob sich eine Abhängigkeit zwischen der Wetterlage
und der Geschäftslage nachweisen lässt. Dazu werden einige Tage des vergangenen Jahres
zufällig ausgewählt. Folgende Angaben stehen zur Verfügung:
- Von insgesamt 20 Regentagen gab es eben so viele mit guter wie mit schlechter Geschäftslage.
- 5 Sonnentage brachten ein normales Geschäft.
- 15 Tage brachten ein schlechtes Geschäft.
- Ein gutes Geschäft konnte an 15 Sonnentagen beobachtet werden.
- Das Geschäft lief an 15 Tagen normal.
1. Stellen Sie das Ergebnis in einer Kontingenztafel dar!
2. Formulieren Sie verbal die Hypothesen!
3. Ist eine Anwendung der χ2-Verteilung hier gerechtfertigt?
4. Fällen Sie eine Entscheidung bei a) α = 1 % bzw.
b) α = 5 %!
5. Welcher Fehler kann Ihnen im Fall a) bzw. b) jeweils unterlaufen sein?
Aufgabe 5:
Der Mieterverein von Bärenhausen kämpfte vor einiger Zeit gegen die Aufhebung der Mietpreisbindung für Altbauwohnungen. Alles, was er jedoch erreichen konnte, war eine Einigung
darüber, dass der Mietpreis jährlich um maximal 5% angehoben werden darf. Ein Jahr nach
Inkrafttreten des Gesetzes veröffentlicht der Verein der „Baulöwen und Großgrundbesitzer“
folgende Meldung:
„Entgegen allen Befürchtungen der Mieter lag die durchschnittliche Mietpreissteigerung in den Altbauwohnungen im letzten Jahr nur bei 2,5%. Ferner ist festzustellen,
dass die Höhe der einzelnen Mietpreissteigerungen einer Gleichverteilung innerhalb
des vereinbarten Bereiches folgt.“
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Der Mieterverein bezweifelt diese Zahlen und führt deshalb selbst eine Erhebung vom Umfang n = 100 durch. Diese Erhebung brachte folgendes Ergebnis:
Mietpreissteigerung in %
0-1
1-2
2-3
3-4
4-5
über 5
hi
0
0
10
10
40
40
Mit welchem statistischen Testverfahren kann der Mieterverein die Verteilungsannahme der
Gegenseite überprüfen?
Formulieren Sie die Hypothesen für diesen Test!
Berechnen Sie dafür die untere und die obere Grenze der von der Gegenseite behaupteten
Verteilung!
Wie lautet die Testfunktion für diesen Test?
Wie ist diese Testfunktion unter Ho verteilt?
Begründung !
Bestimmen Sie den Verwerfungsbereich für diesen Test bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit
von 0,5%!
Wie lautet die Testentscheidung?
Interpretieren Sie das Testergebnis i n h a l t l i c h und statistisch exakt!
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Lösungen Serie 11
Aufgabe 1:
X: „Anzahl der Fluggäste, deren Gepäck nicht befördert wurde“
i
x
hi
pi
n*pi
1
2
3
4
5
0 460 0,449 449
1 350 0,360 360
2 135 0,144 144
3 40 0,038 38
4 15 0,008
8
5
9
6 >4
0 0,001
1
1000
hi n*pi
11
-10
-9
2
(hin*pi)2
121
100
81
4
6
36
( hi − n * pi) 2
n * pi
0,269
0,278
0,563
0,105
4,000
v = 5,125
1) Ho: „Die Stichprobenverteilung des Gepäckverlustes entspricht einer Poissonverteilung“
H1: „Die Stichprobenverteilung des Gepäckverlustes entspricht nicht einer
Poissonverteilung“
I
( hi − n * pi)
i =1
n * pi
2) V= ∑
2
ist unter Ho approximativ χ2-verteilt mit f = I-1-k
3) B = { v | v > c} ; c(α=0,01; f=5-1-1) = 11,35
4) X =
1 n
* ∑X
n i =1 i
5) Da v = 5,125 ∉ B ⇒ " Ho"
6) Ho läßt sich nicht statistisch beweisen! Es konnte lediglich nicht statistisch bewiesen werden (α=1%; n=100), dass es sich nicht um eine Poissonverteilung handelt.
Aufgabe 2:
Ho: Stichprobenverteilung stimmt mit der vermuteten Verteilung überein.
H1: Stichprobenverteilung stimmt mit der vermuteten Verteilung nicht überein.
v = 6,71 ∉ B ⇒ " Ho"
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c(α=0,05; f =4-1-0=3) = 7,81
v = 6,71 ∉ B ⇒ „ Ho“
Aufgabe 3:
X: „Torerfolge pro Spiel“
i
hi
pi
n*pi
hi-n*pi
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
>9
18
24
56
63
61
39
26
6
5
2
0
0,0333
0,1135
0,1929
0,2187
0,1858
0,1203
0,0716
0,0348
0,0148
0,0056
0,0027
9,99≈10
34,05≈34
57,87≈58
65,61≈66
55,74≈56
37,89≈38
21,48≈21
10,44≈10
4,44≈ 4
1,68≈ 2
0,81≈ 1
8
-10
-2
-3
5
1
5
-4
1
0
-1
n=300
1
(hi-n*pi)2
64
100
4
9
25
1
25
16
1
0
1
( hi − n * pi) 2
n * pi
6,40
2,94
0,07
0,14
0,45
0,03
1,19
1,60
0
v=12,82
1) Ho: Stichprobenverteilung entspricht einer Poissonverteilung P.V.(3,4)
H1: Stichprobenverteilung entspricht nicht einer Poissonverteilung P.V. (3,4)
( hi − n * pi ) 2
2) V= ∑
ist unter Ho approximativ χ2-verteilt mit f = 9-1-0=8
n * pi
i =1
I
3) B = { v | v > c} ; C(α=0,1; f =8) =13,36
ƒ
4) Da v = 12,82 ∉ B ⇒" Ho"
Auf einem Signifikanzniveau von 10% basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang n=
300 konnte statistisch nicht bewiesen werden, dass die Stichprobenverteilung der Tonerfolge
nicht einer Poissonverteilung mit λ=3,4 entspricht.
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Aufgabe 4:
X: „Wetterlage“
; Y: „Geschäftslage“
1)
Y1
gut
X1
(Regentage)
X2 (Sonnentage)
Y2
Y3
normal schlecht
5
10
5
20
15
5
10
30
20
15
15
n=50
2) Ho: Wetter- und Geschäftslage sind stochastisch unabhängig.
H1: Wetter- und Geschäftslage sind nicht stochastisch unabhängig.
~
3) Ja, da h ij ≥ 5
v = 6,597
a) c(α=0,01; f =2) = 9,21
b) c(α=0,05; f =2) = 5,99
~
( hij − h ij) 2
V= ∑ ∑
ist unter Ho approximativ χ2-verteilt mit f = 2
~
h ij
i =1 j=1
I
J
4) Da v = 6,597
:
a) ∉ B ⇒" Ho"
b) ∈ B ⇒" H1"
5) a) β-Fehler
b) α-Fehler
Aufgabe 5:
X: „Mietpreissteigerung [in %]“
1) Chi2-Anpassungstest
2) Ho: Stichprobenverteilung folgt einer Gleichverteilung in [a,b]
H1: Stichprobenverteilung folgt nicht einer Gleichverteilung in [a,b]
a+b
b = 5[%];
= 2,5[%]⇒ a = 0[%]
2
( hi − n * pi ) 2
3) V= ∑
n * pi
i =1
I
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4) V ist unter Ho approximativ χ2-verteilt mit f = I-1-h = 5-1-0 = 4
von... bis
unter
0-1
1-2
2-3
3-4
4-5
5-
hi
pi
n*pi
0
0
10
10
40
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
20
20
20
20
20
80{
40
n=
100
0
20{
hi-n*pi (hi-n*pi)2
( hi − n * p i ) 2
n * pi
-20
-20
-10
-10
400
400
100
100
20
20
5
5
+60
3600
180
0
v = 230
5) c(α= 0,005;f = 4) =14,86 ; B={ v | v > c } ≈ { v | v > 14,86 }
6) Da v = 230
∈ B ⇒" H1"
7) Auf einem Signifikanzniveau von 0,5 % basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang n=100 konnte statistisch bewiesen werden, dass die Stichprobenverteilung keiner
Gleichverteilung im Bereich 0 - 5 [%] folgt.
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