Aufgabenskript Induktive Statistik

Prof. Dr. Günter Hellmig
Aufgabenskript
Induktive Statistik
Inhalt:
1.Kombinatorik: Variation und Kombination, jeweils ohne
Wiederholung
2.Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten: Additions- und
Multiplikationssätze
3.Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten: Vierfeldertafel, bedingte
Wahrscheinlichkeit
4.Allgemeine Verteilungen: Wahrscheinlichkeitsfunktion,
Wahrscheinlichkeitssummenfunktion, Erwartungswert, Varianz
5.Binomialverteilung und Poissonverteilung: Berechnung von
Wahrscheinlichkeiten
6.Normalverteilung: Berechnung von Wahrscheinlichkeiten, die zu
einem bestimmten Intervall gehören
7.Normalverteilung: Berechnung von Ereignissen, die zu einer
bestimmten Wahrscheinlichkeit gehören
8.Normalverteilung: Berechnung von Intervallen, die zu einer
bestimmten Wahrscheinlichkeit gehören
9.Schätzverfahren: Berechnung des Zufallsstreubereichs für einen
Mittelwert
10.Schätzverfahren: Berechnung des Vertrauensbereichs für einen
Mittelwert
11.Schätzverfahren: Berechnung des Vertrauensbereichs für einen
Anteilswert und dessen Umrechnung
12.Schätzverfahren: Berechnung des Vertrauensbereichs für einen
Mittelwert und Verwendung der t-Verteilung
***
Das vorliegende Aufgabenskript gehört zur Teil-Lehrveranstaltung
„Induktive Statistik“ und ist gemäß dem Vorlesungsablauf thematisch
geordnet. Das Skript resultiert aus Klausuraufgaben der letzten Jahre.
Bei der Prüfungsvorbereitung wird empfohlen, die Aufgaben „blind“ zu
bearbeiten, d.h. ohne ständigen Blick auf die Musterlösung. – Die
Bearbeitungszeit für die Aufgaben ist im Durchschnitt mit 15 Minuten
zu veranschlagen; im Einzelnen sind es - je nach Anzahl der
Unterfragen und je nach Schwierigkeitsgrad – 10 bis 20 Minuten.
Prof. Dr. Günter Hellmig – Aufgabenskript „INDUKTIVE STATISTIK“
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1. An einem Pferderennen nehmen 10 Pferde teil. – Wie hoch ist die
Wahrscheinlichkeit (Prozent), dass man – wenn man keine Kenntnis
über die Stärken der einzelnen Pferde hat – folgende Ergebnisse
richtig voraussagt:
a)
b)
c)
d)
Siegendes Pferd
Die ersten drei Pferde in der Reihenfolge des Einlaufs
Die ersten drei Pferde ohne Berücksichtigung der Reihenfolge
Wie hoch wären die drei Wahrscheinlichkeiten zu a) bis c), wenn man
Kenntnis hat, dass ein bestimmtes Pferd siegen wird (und von dieser
Kenntnis bei der Voraussage Gebrauch macht)?
e) Wie hoch wären die drei Wahrscheinlichkeiten zu a) bis c), wenn man
Kenntnis hat, dass ein bestimmtes Pferd nicht siegen wird (und von
dieser Kenntnis bei der Voraussage Gebrauch macht)?
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Lösung:
a)
b)
c)
Pr(A) =
n(A)
1
=
n(I)
10
n!
10!
=
= 8 ⋅ 9 ⋅ 10
(n − k)!
(10 − 3)!
1
Pr(A) =
= 0,00139
720
Vk (n) =
n
10
10 ⋅ 9 ⋅ 8
Ck (n) =   =   =
1 ⋅ 2⋅3
k 
3
1
Pr(A) =
= 0,00833
120
d)(1) Pr(A) =
(2) Vk (n) =
Pr(A) =
(3) Ck (n) =
Pr(A) =
e)(1) Pr(A) =
(2) Vk (n) =
Pr(A) =
(3) Ck (n) =
Pr(A) =
n(A)
= 1
n(I)
n!
9!
=
= 8⋅9
(n − k)!
(9 − 2)!
1
= 0,01389
72
n
9 
9 ⋅8
  =   =
1⋅ 2
k 
 2
1
= 0,02778
36
n(A)
1
=
n(I)
9
n!
9!
=
= 7⋅8⋅9
(n − k)!
(9 − 3)!
1
= 0,00198
504
n
9 
9 ⋅8⋅7
  =   =
1 ⋅ 2⋅3
k 
 3
1
= 0,01190
84
→
10
(Prozent)
= 720
→ 0,139 (Prozent)
= 120
→ 0,833 (Prozent)
→ 100
=
(Prozent)
72
→ 1,389 (Prozent)
=
36
→ 2,778 (Prozent)
→11,111 (Prozent)
= 504
→ 0,198 (Prozent)
=
84
→ 1,190 (Prozent)
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2. Die Wahrscheinlichkeit (bei einem älteren Ehepaar), dass der Mann
noch in 20 Jahren lebt, sei 30 %, und dass die Frau noch in
20 Jahren lebt, sei 40 %.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (Prozent), dass
(1) beide noch in 20 Jahren leben,
(2) mindestens eine Person noch in 20 Jahren lebt,
(3) nur der Mann noch in 20 Jahren lebt,
(4) beide in 20 Jahren nicht mehr leben?
b) Welche Annahme liegt den Berechnungen zugrunde?
(Annahme kurz benennen und erläutern!)
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Lösung:
a)(1) p(A ∩ B)
0,3·0,4
= p(A) ⋅ p(B)
= 0,12 →
12 (Prozent)
(2) p(A ∪ B)
0,3+0,4-0,3·0,4
= p(A) + p(B) − p(A) ⋅ p(B)
= 0,58 →
58 (Prozent)
(3) p(A \ A ∩ B)
0,3-0,3·0,4
= p(A) − p(A) ⋅ p(B)
= 0,18 →
18 (Prozent)
(4) p(A ∩ B )
(1-0,3)·(1-0,4)
= p(A) ⋅ p(B)
= 0,42 →
42 (Prozent)
b) Unabhängigkeit
Die Überlebenswahrscheinlichkeit des einen Ehepartners ändert sich
nicht, wenn der andere Ehepartner stirbt.
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3. Zur Herstellung eines Artikels werden drei Maschinen X, Y und Z
eingesetzt, die unabhängig voneinander arbeiten. Maschine X, die
60 Prozent der Gesamtproduktion herstellt, hat eine Ausschuss-Quote
von 0,01; für Maschine Y lauten die entsprechenden Werte 30 Prozent
und 0,04; für Maschine Z sind es 10 Prozent und 0,07.
a) Erstellen Sie eine (vollständige) Mehrfeldertafel!
b) Wie groß ist – bei Zufallsauswahl – die Wahrscheinlichkeit
(Prozent), dass
(1) ein mangelhaftes Stück von Maschine X stammt,
(2) ein mangelfreies Stück von Maschine Y stammt,
(3) ein von Maschine Y stammendes Stück mangelfrei ist,
(4) ein von Maschine Z stammendes Stück mangelfrei ist?
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Lösung:
a)
B = mangelfrei
(2)
(3)
(4)
∑
X
0,594
0,01 · 0,6 = 0,006
0,6
Y
0,288
0,04 · 0,3 = 0,012
0,3
Z
0,093
0,07 · 0,1 = 0,007
0,1
0,975
0,025
1,0
∑
b)(1)
B = mangelhaft
p(X
p(Y
p(B
p(B
p(X ∩ B )
p(B )
0,006
=
= 0,24
0,025
B) =
p(Y ∩ B)
p(B)
0,288
=
= 0,2954
0,975
→ 24 %
B) =
p(B ∩ Y )
p(Y )
0,288
=
= 0,96
0,3
→ 29,54 %
Y) =
p(B ∩ Z)
p(Z)
0,093
=
= 0,93
0,1
→ 96 %
Z) =
→ 93 %
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4. Ein Handwerksbetrieb kalkuliert, dass die Arbeitszeit für einen
bestimmten Auftrag zwischen 30 und 40 Stunden dauern wird, und
zwar:
30
32
37
40
Stunden
Stunden
Stunden
Stunden
mit
mit
mit
mit
einer
einer
einer
einer
Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit
von
von
von
von
15
45
30
10
Prozent
Prozent
Prozent
Prozent
a) Erstellen Sie grafisch die Wahrscheinlichkeitsfunktion und die
Wahrscheinlichkeitssummenfunktion!
b) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz!
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Lösung:
a)
1,00
Pj
0,90
0,80
0,70
pj
0,60
0,50
0,50
0,40
0,40
0,30
0,30
0,20
0,20
0,10
0,10
xj
xj
30 32
37 40
30 32
b)
j
xj
pj
1
2
3
4
30
32
37
40
-
0,15
0,45
0,30
0,10
-
∑
xj·pj
4,5
14,4
11,1
4,0
34,0
k
µ = ∑ xj ⋅ pj
xj - µ
-4
-2
+3
+6
-
= 34
j= 1
k
σ2 = ∑ ( xj − µ )
j= 1
2
⋅ pj
= 10,5
2
2
( xj − µ ) ( xj − µ )
16
4
9
36
-
2,4
1,8
2,7
3,6
10,5
⋅
pj
37 40
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5. Bei einem Glücksspiel („Roulette“) gibt es bekanntlich 37 Zahlen;
eine Zahl wird vom Spieler gewählt; und eine Zahl wird – zufällig
und unabhängig – als Gewinnzahl benannt. Der Spieler hat gewonnen,
wenn seine gewählte Zahl mit der benannten Gewinnzahl übereinstimmt. - Ein Spieler unternimmt 37 Spielversuche, wobei er jeweils
dieselbe Zahl wählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (Prozent),
dass er
a) kein einziges Mal gewinnt (Berechnung auf zwei Arten!)
b) genau einmal gewinnt (Berechnung auf zwei Arten!)
c) mindestens einmal gewinnt (Berechnung auf zwei Arten!)
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Lösung:
n
a) B(x n , P ) =   ⋅ P x ⋅ Q n − x
x
(
)
B 0 37, 371 = 1⋅1⋅
P(x µ ) =
( )
36 37
37
= 0,3629
)
( ) ⋅( )
1 0
37
36 37 − 0
37
36,29 %
0
= 0,3679
)
B 1 37, 371 = 37 ⋅ 371 ⋅
( )
36 36
37
P(0 1) = 1 ⋅ e−1
0!
→
36,79 %
 37 
B 1 37, 371 =   ⋅
1
(
→
= 0,3729
→
)
( ) ⋅( )
1 1
37
36 37 −1
37
37,29 %
x
1
µ −µ
⋅e
x!
P(1 1) = 1 ⋅ e−1
1!
→
P(1 1) = 1 ⋅ e−1
1
= 0,3679
n
c) 1 − B(x n , P ) = 1 −   P x ⋅ Qn − x
x
(
→
→
n
b) B(x n , P ) =   ⋅ P x ⋅ Q n − x
x
P(x µ ) =
(
x
µ −µ
⋅e
x!
P(0 1) = 1 ⋅ e−1
1
(
 37 
B 0 37, 371 =   ⋅
0
→
)
1 − B 0 37, 371 = 1 − 1⋅1⋅
( )
36 37
37
→
36,79 %
→
 37 
1 − B 0 37, 371 = 1 −   ⋅
0
= 1 − 0,3629
x
1 − P(x µ ) = 1 −
µ −µ
⋅e
x!
1 − P(0 1) = 1 −
1 −1
⋅e
1
= 1 − 0,3679
(
→
)
63,71 %
→
1 − P(0 1) = 1 −
→
63,21 %
0
1 −1
⋅e
0!
( ) ⋅( )
1 0
37
36 37 − 0
37
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6. Der Lagerabgang (Mengeneinheiten) in einem Firmenlager ist normalverteilt mit Erwartungswert = 15 und Standardabweichung = 2.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Lagerabgang
a) weniger als 16 Mengeneinheiten beträgt (Antwortsatz!)
b) mehr als 18 Mengeneinheiten beträgt (Antwortsatz!)
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Lösung:
a) u =
u=
x −µ
σ
16 − 15
= 0,5
2
Fe (0,5) = 0,6915
Wahrscheinlichkeit = 69,15 %
b) u =
u=
x −µ
σ
18 − 15
= 1,5
2
Fe (1,5) = 0,9332
Wahrscheinlichkeit = 6,68 %
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7. Ein Bäckereibetrieb kauft für Vorratszwecke 170 Pakete Zucker
(Sollgewicht = 500 Gramm, Standardabweichung = 10 Gramm,
Normalverteilung). – Wie viele Pakete werden voraussichtlich
a) zwischen 495 Gramm und 505 Gramm wiegen (Antwortsatz!)
b) weniger als 515 Gramm wiegen (Antwortsatz!)
c) genau 500 Gramm wiegen (Antwortsatz!)
(Hinweis: Bestimmen Sie bei allen Teilfragen zunächst die
Wahrscheinlichkeit, dass das jeweilige Gewichtsintervall bzw.
Gewicht für ein Paket zutrifft.)
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Lösung:
a) u =
x −µ
σ
u =
505 − 500
= 0,5
10
Fz (0,5) = 0,3829
P =
X
→ X = N ⋅ P
N
X = 170 ⋅ 0,3829 = 65,093
Anzahl der Pakete = 65
b) u =
x −µ
σ
u =
515 − 500
= 1,5
10
Fe (1,5) = 0,9332
P =
X
→ X = N ⋅ P
N
X = 170 ⋅ 0,9332 = 158,644
Anzahl der Pakete = 159
c) u =
x − µ
500 − 500
=
= 0
σ
10
Fz (0) = 0
P =
X
→ X = N ⋅ P = 170 ⋅ 0 = 0
N
Anzahl der Pakete = 0
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8. In einem Sägewerk werden rohe Holzbretter zugeschnitten. Die Länge
der Bretter soll 90 cm betragen, die Standardabweichung beträgt
1,5 cm; es liegt näherungsweise Normalverteilung vor.
a) In welchem Intervall wird die Länge eines zufällig ausgewählten
Brettes bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 95 % liegen?
(Antwortsatz!)
b) Welche Obergrenze wird die Länge bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 1 % haben? (Antwortsatz!)
____________________________________________________________________________
Lösung:
a) u =
x −µ
σ
Fz (u) = 0,95 → uz = ±1,96
x − 90
1,5
=
92
,
94
xo
± 1,96 =
xu = 87,06
Intervall zwischen 87,06 und 92,94 cm
b) u =
x −µ
σ
Fe (u) = 0,99 → ue = +2,33
x − 90
1,5
xo = 93,495
+ 2,33 =
Obergrenze bei 93,495 cm
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9. In einer repräsentativen Studie wurde festgestellt, dass Frauen im
Durchschnitt eine Körpergröße von 175 Zentimetern haben bei einer
Standardabweichung von 3 Zentimetern. Bei der Nachprüfung dieses
Ergebnisses werden 70 Frauen untersucht. - In welchem Intervall
liegt deren durchschnittliche Körpergröße, wenn eine Irrtumswahrscheinlichkeit
a) von 4,55 % angenommen wird? (Antwortsatz!)
b) von 0,27 % angenommen wird? (Antwortsatz!)
____________________________________________________________________________
Lösung:
a)
σ
σ 

Pr µ − u ⋅
≤ x ≤µ+u⋅
 = 1 − α = Fz
n
n


3
3 
Pr175 − 2 ⋅
≤ x ≤ 175 + 2 ⋅
 = 1 − 0,0455
70
70 

Pr (175 − 0,72 ≤ x ≤ 175 + 0,72) = 0,9545
Pr (174,28 ≤ x ≤ 175,72) = 0,9545
Intervall zwischen 174,28 und 175,72 cm
b)
σ
σ 

Pr µ − u ⋅
≤ x ≤µ+u⋅
 = 1 − α = Fz
n
n


3
3 
Pr175 − 3 ⋅
≤ x ≤ 175 + 3 ⋅
 = 1 − 0,0027
70
70 

Pr (175 − 1,08 ≤ x ≤ 175 + 1,08) = 0,9973
Pr (173,92 ≤ x ≤ 176,08) = 0,9973
Intervall zwischen 173,92 und 176,08 cm
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10.Ein Marktforschungsinstitut befragt 500 zufällig ausgewählte
Personen in Deutschland nach einem bestimmten Waschmittel; davon
erklären 80 %, dass sie das betreffende Waschmittel kennen. –
In welchem Intervall wird dann der entsprechende Prozentsatz in der
Gesamtbevölkerung liegen, wenn eine Aussagewahrscheinlichkeit
a) von 90 % angenommen wird (Antwortsatz!)
b) von 98 % angenommen wird (Antwortsatz!)
____________________________________________________________________________
Lösung:

a) Pr p − uz ⋅

p ⋅ q
≤ P ≤ p + uz ⋅
n

Pr0,80 − 1,64 ⋅

p ⋅ q
 = 1 − α
n 
0,80 ⋅ 0,20
≤ P ≤ 0,80 + 1,64 ⋅
500
0,80 ⋅ 0,20 
 = 0,90
500

Pr(0,80 − 0,0293 ≤ P ≤ 0,80 + 0,0293) = 0,90
Pr(0,7707 ≤ P ≤ 0,8293) = 0,90
Zwischen 77,07 % und 82,93 %

b) Pr p − uz ⋅

p ⋅ q
≤ P ≤ p + uz ⋅
n

Pr0,80 − 2,33 ⋅

p ⋅ q
 = 1 − α
n 
0,80 ⋅ 0,20
≤ P ≤ 0,80 + 2,33 ⋅
500
Pr(0,80 − 0,0417 ≤ P ≤ 0,80 + 0,0417) = 0,98
Pr(0,7583 ≤ P ≤ 0,8417) = 0,98
Zwischen 75,83 % und 84,17 %
0,80 ⋅ 0,20 
 = 0,98

500

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11.Bei 200 Studierenden der Hochschule Bochum wurde eine Befragung
durchgeführt. Dabei gaben 110 Studierende an, dass sie regelmäßig
mit öffentlichen Verkehrsmitteln zur Fachhochschule kommen.
a) Wie lautet der Anteilswert bei den Befragten?
b) Berechnen Sie das Schätzintervall für den Anteilswert bei allen
Studierenden, wenn eine Sicherheitswahrscheinlichkeit von 90 %
angenommen wird! (Antwortsatz!)
c) Wie lautet das entsprechende Schätzintervall für die Gesamtzahl der
Studierenden, wenn die Hochschule Bochum 4500 Studierende hat?
(Antwortsatz!)
____________________________________________________________________________
Lösung:
a)
x
n
110
p =
= 0,55
200
p =
b)

Pr p − uz ⋅

p ⋅ q
≤ P ≤ p + uz ⋅
n

Pr0,55 − 1,64 ⋅

p ⋅ q
 = 1 − α
n 
0,55 ⋅ 0,45
≤ P ≤ 0,55 + 1,64 ⋅
200
0,55 ⋅ 0,45 
 = 0,90
200

Pr(0,55 − 0,0577 ≤ P ≤ 0,55 + 0,0577) = 0,90
Pr(0,4923 ≤ P ≤ 0,6077) = 0,90
Intervall zwischen 49,23 % und 60,77 % der Studierenden
c)
P =
X
N
→
X = P ⋅ N
Xu = 0,4923 ⋅ 4500 = 2215
Xo = 0,6077 ⋅ 4500 = 2735
Intervall zwischen 2215 und 2735 Studierende
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12.In einem Finanzamt wurden sämtliche Einkommensteuerbescheide und
Steuerrückzahlungen einer Nachprüfung unterzogen. Die Steuerrückzahlungen waren normalverteilt; anhand einer Stichprobe wurde
ein durchschnittlicher Rückzahlungsbetrag von 500 Euro bei einer
Standardabweichung von 100 Euro ermittelt. – Innerhalb welcher
Grenzen wird der durchschnittliche Rückzahlungsbetrag sämtlicher
Einkommensteuerbescheide bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit
von 99 % liegen, wenn die betreffende Stichprobe
a) einen Umfang von 400 gehabt hat (Antwortsatz!)
b) einen Umfang von 16 gehabt hat (Antwortsatz!)
____________________________________________________________________________
Lösung:
s
s 

a) Pr x − uz ⋅
≤ µ ≤ x + uz ⋅
 = 1 − α
n
n

100
100 

Pr 500 − 2,58 ⋅
≤ µ ≤ 500 + 2,58 ⋅
 = 0,99
400
400 

Pr(487,1 ≤ µ ≤ 512,9) = 0,99
Rückzahlungsbetrag zwischen 487,10 und 512,90 Euro
s
s 

b) Pr x − tzν ⋅
≤ µ ≤ x + tzν ⋅
 = 1 − α
n
n

100
100 

Pr 500 − 2,95 ⋅
≤ µ ≤ 500 + 2,95 ⋅
 = 0,99
16
16 

Pr(426,25 ≤ µ ≤ 573,75) = 0,99
Rückzahlungsbetrag zwischen 426,25 und 573,75 Euro