Lösung - Persen

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Brigitte Penzenstadler
Trigonometrie
9./10. Klasse
Mathetraining in 3 Kompetenzstufen
Downloadauszug
aus dem Originaltitel:
Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht.
Der Erwerber des Werkes ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen
für den eigenen Gebrauch und den Einsatz im eigenen Unterricht zu nutzen. Die
Nutzung ist nur für den genannten Zweck gestattet, nicht jedoch für einen
schulweiten Einsatz und Gebrauch, für die Weiterleitung an Dritte (einschließlich,
aber nicht beschränkt auf Kollegen), für die Veröffentlichung im Internet oder in
(Schul-)Intranets oder einen weiteren kommerziellen Gebrauch.
Eine über den genannten Zweck hinausgehende Nutzung bedarf in jedem Fall
der vorherigen schriftlichen Zustimmung des Verlages.
Verstöße gegen diese Lizenzbedingungen werden strafrechtlich verfolgt.
Vorwort
Liebe Kolleginnen und Kollegen,
sicher rechnen zu können, gehört zu den elementaren Fähigkeiten und bildet eine wichtige Basis
für den schulischen sowie beruflichen Erfolg. Durch regelmäßiges, planmäßiges Training werden
mathematische Fertigkeiten sukzessiv und nachhaltig gefestigt.
Im vorliegenden Werk finden Sie Aufgaben, hauptsächlich als Vorbereitung für die Abschlussprüfungen der 9. und 10. Jahrgangsstufe, in drei verschiedenen Schwierigkeitsstufen, die der Heterogenität der Schülerinnen und Schüler Rechnung tragen und diese entsprechend ihrer bereits
vorhandenen Kompetenzen fördern.
Im grundlegenden Niveau (Kompetenzstufe A) steht durch kleinschrittiges Vorgehen und abwechslungsreiche Übungsaufgaben die Vermittlung von Basiskompetenzen im Vordergrund. Dadurch erhalten auch Leistungsschwächere die Möglichkeit, bessere Ergebnisse zu erzielen. Schülerinnen und Schüler, die grundlegende Aufgaben bereits eigenständig lösen können, finden im
qualifizierenden Niveau (Kompetenzstufe B) eine Vielzahl von motivierenden Anregungen. Die
Aufgaben eignen sich auch hervorragend für die Vorbereitung auf die Abschlussprüfungen. Das
weiterführende Niveau (Kompetenzstufe C) dagegen bietet Leistungsstarken die Gelegenheit,
ihre Kompetenzen weiterhin zu festigen und zu vertiefen.
Auf diese Weise werden die Stärken Ihrer Schülerinnen und Schüler entwickelt bzw. deren Schwächen reduziert.
Die zahlreichen differenzierten Übungsaufgaben, die sämtliche wichtigen Bereiche der Mathematik in der 9. und 10. Jahrgangsstufe abdecken, tragen dazu bei, die mathematischen Fertigkeiten
zu optimieren. Durch die wechselnden Aufgabenformen und durch die Möglichkeit der Selbstkontrolle ist eine gezielte Förderung – auch im Klassenverband – ohne Mehraufwand von Seiten der
Lehrkraft möglich. Die direkt einsetzbaren, lehrwerksunabhängigen Kopiervorlagen aktivieren das
Vorwissen, verbessern die mathematischen Kompetenzen und können weitgehend ohne unmittelbare Hilfe bearbeitet werden. Außerdem wird Wert auf den Spaß am Umgang mit der Mathematik
gelegt und somit die Lernbereitschaft gefördert. Die ausführlichen Lösungsblätter direkt im Anschluss an die Aufgaben unterstützen Sie bei der täglichen Unterrichtsvorbereitung.
Ich hoffe, mithilfe des vorliegenden Buches, die mathematischen Kompetenzen Ihrer Schülerinnen und Schüler auch im Hinblick auf die Abschlussprüfungen zu trainieren und Sie zu weiteren
Ideen anzuregen.
Viel Spaß und Erfolg beim Ausprobieren.
Brigitte Penzenstadler
Brigitte Penzenstadler: Trigonometrie 9./10. Klasse – Mathetraining in 3 Kompetenzstufen
© Persen Verlag
3
A
Trigonometrie
Sinus
C
B
Gegenkathete von α
a
β
b
se
c
α
u
ten
po
Hy
A
1 Wie lautet der Quotient zu
sin α und sin β? Kreuze an.
o sin α = f o sin α = d
o sin β = e o sin β = d
d
f
α
e
d
β
e
d
f
2 Wie lautet der Quotient zu
sin α und sin β? Kreuze an.
o sin α = i o sin α = h
o sin β = g o sin β = h
h
β
h
i
α
g
h
i
g
3 Berechne die fehlende Seitenlänge wie im Beispiel.
Beispiel:
sin 45° = a : 7 cm | • 7 cm
a = sin 45° • 7 cm = 4,95 cm
α
a

20°
5 cm

60°

30°

50°
Lösungen:
4
α
= 45°; c = 7 cm
c
4 cm
6 cm
9 cm
12
14,62
6,89
3,46
Brigitte Penzenstadler: Trigonometrie 9./10. Klasse – Mathetraining in 3 Kompetenzstufen
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A
Trigonometrie
Kosinus
Ankathete von α
C
B
a
b
c
β
e
us
n
ote
p
Hy
α
A
1 Wie lautet der Quotient zu
cos α und cos β? Kreuze an.
o cos α = d o cos α = d
o cos β = f o cos β = e
e
e
β
f
f
f
α
d
h
2 Wie lautet der Quotient zu
cos α und cos β? Kreuze an.
o cos α = i o cos α = i
o cos β = g o cos β = h
h
h
e
β
g
g
i
α
g
3 Berechne die fehlende Seitenlänge.
α
b

20°
4 cm

60°

30°

50°
Lösungen:
c
5 cm
3 cm
10 cm
2,5
4,26
6,43
3,46
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5
A
Trigonometrie
Tangens
Ankathete von α
C
Gegenkathete von α
a
β
b
B
c
α
A
1 Wie lautet der Quotient zu
tan α und tan β? Kreuze an.
o tan α = f o tan α = f
o tan β = g o tan β = e
e
f
β
g
g
α
f e
f
2 Wie lautet der Quotient zu
tan α und tan β? Kreuze an.
o tan α = g o tan α = e
o tan β = f o tan β = f
f
e
f
α
e
g
f
β
g
3 Berechne die fehlende Seitenlänge.
α
a

60°
3 cm

30°

20°

40°
c
6 cm
5 cm
4 cm
Lösungen: 1,73 3,36 13,74 3,46
6
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A
Trigonometrie
Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck
Eine Stehleiter soll mindestens bis in 5 Meter Höhe reichen. Die beiden Schenkel der Leiter
sind jeweils 5,7 m lang.
a) Fertige eine Skizze an und beschrifte sie.
b) Wie groß ist der Winkel an der von den beiden Schenkeln gebildeten Spitze?
Runde auf ganze Grad.
c) Wie weit stehen die beiden Schenkel der Leiter auseinander? Runde auf zwei Dezimalstellen.
Lösungen:
5,36
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56
7
B
Trigonometrie
Sinus
1 Ergänze den Lückentext. Setze ein, sodass wahre Aussagen entstehen.
a
C
B
β
b
c
α
A
Die Hypotenuse liegt dem ____________________ Winkel gegenüber.
Die Hypotenuse des Winkels α ist die Seite ____________________.
Die Gegenkathete liegt dem ____________________ Winkel gegenüber.
Die Gegenkathete des Winkels α ist die Seite ____________________.
Es gilt im ____________________ Dreieck: sin α = _____.
2 Die Orte Audorf, Bergheim und Ceburg liegen
an einem See (siehe Skizze) und werden
regelmäßig von einer Fähre angesteuert. Wie
weit liegen Ceburg und Bergheim auseinander?
Ö
8
Audorf
Ceburg
20 km
Bergheim
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B
Trigonometrie
Kosinus
Der Quotient aus der Ankathete eines Winkels und der Hypotenuse heißt Kosinus.
1 Wie lautet der Quotient zu cos a und cos b?
.......................................
β
f
.......................................
e
α
d
.......................................
h
......................................
β
......................................
g
i
α
......................................
...................................... .......................................
2 Eine Leiter lehnt an einer Hauswand in drei Meter Entfernung. Der Winkel zwischen der Leiter und dem Boden beträgt 60°.
a) Wie lang ist die Leiter? Fertige eine Skizze und berechne.
b) Wie weit reicht die Leiter hinauf? Berechne.
Lösungen:
5,20
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6,00
9
B
Trigonometrie
Tangens
Der Quotient aus der Gegenkathete eines Winkels und der Ankathete heißt Tangens.
1 Wie lautet der Quotient zu tan a und tan b?
e
.......................................
β
g
.......................................
f
α
......................................
a
......................................
d
.......................................
f
b
...................................... .......................................
e
......................................
2 Berechne die Länge der Seite x. Runde sinnvoll.
4
6
 α = 25°
x
α
.......................................
 b = 45°
β
......................................
x
.......................................
......................................
.......................................
.......................................
g
 g = 30°
 d = 35°
x
.......................................
......................................
.......................................
4
.......................................
x
d
3,5
......................................
.......................................
Lösungen:62,458,588,66
10
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B
Trigonometrie
Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck
Für den Bau eines Steges in einem Schwimmteich werden drei Holzpfosten, wie in der Skizze
dargestellt, benötigt.
Skizze:
A
2m
2m
2m
a
b
B
c
d
70°
C
a) Wie lang müssen die drei Holzpfosten mindestens sein?
b) Wie viele Meter Pfosten müssen besorgt werden, wenn diese je 50 cm im Boden verankert werden müssen?
Lösungen:
2,18
1,46
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5,87
0,73
11
C
Trigonometrie
Sinus
1 Ergänze den Lückentext, sodass wahre Aussagen entstehen.
a
C
B
β
b
c
α
A
Die Hypotenuse liegt dem ________________________ Winkel gegenüber. Die Hypotenuse
des Winkels α ist die Seite ______. Die Gegenkathete liegt dem ______________________
Winkel gegenüber. Die Gegenkathete des Winkels α ist die Seite _____. Es gilt im
________________________ Dreieck: sin α = ___.
2 Berechne die Größe der Winkel α. Runde sinnvoll.
a) sin α = 1 ..............................................................................................................
b) sin α = 0,8660 ..............................................................................................................
c) sin α = 0,7071 ..............................................................................................................
d) sin α = 0,3420 ..............................................................................................................
3 Hier hat sich bei der Lösung der Aufgabe ein Fehler eingeschlichen. Finde und verbessere ihn.
Ein Ruderboot will eine 300 m lange Strecke zurücklegen. Es wird aber um 50 m vom
­ursprünglichen Ziel abgetrieben. Welche Strecke legt das Boot in Wirklichkeit zurück?
Um wie viel Grad driftete das Boot ab?
a2 + b2 = c2 ..............................................................................................................
c2 = 3002 + 502 ..............................................................................................................
..............................................................................................................
c = 304,14 m sin α = 300 = 0,9864 ..............................................................................................................
304,14
12
α = 80,54° ..............................................................................................................
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C
Trigonometrie
Kosinus
1 Kreuze die richtigen Aussagen an.
o Der Quotient aus der Ankathete eines Winkels und der Hypotenuse heißt Kosinus.
o Der Quotient aus der Gegenkathete eines Winkels und der Hypotenuse heißt Kosinus.
o Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite heißt Gegenkathete.
o Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite heißt Hypotenuse.
o Die Ankathete liegt dem betrachteten Winkel an.
2 Eine 50 m lange Hängebrücke wird in der Mitte von je 2 Seilen gehalten, die in einem Winkel
von 40° am Boden befestigt sind. Was kann mithilfe dieser Angaben alles berechnet werden? Notiere und berechne.
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13
C
Trigonometrie
Tangens
1 Notiere die allgemein gültige Formel für Tangens α. Fertige eine passende Skizze dazu an
und beschrifte sie.
2 Bei der Lösung der Aufgabe hat sich ein Fehler eingeschlichen. Finde und verbessere ihn.
Aufgabe:Der 140 cm große Uwe steht mit seinen Eltern auf gleicher Höhe mit einem
Hochhaus. Er sieht das Dach des Hochhauses aus 100 m Entfernung unter
einem Winkel von 25°. Wie hoch ist das Hochhaus?
Lösung:
tan 25° =
x
100
| • 100
tan 25° • 100 = x
x = 46,6
Das Hochhaus ist 46,6 m hoch.
14
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C
Trigonometrie
Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck
Herr Huber will das Gartenbeet neben seiner Terrasse gemäß der Skizze erweitern.
Skizze:
B
C
d 110°
3,5 m
D
5m
A
Welche Fläche nimmt das neue Beet nun ein?
Runde alle Ergebnisse auf zwei Dezimalstellen.
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15
e
g
f
d
i
α
b
Hy
se
nu
e
t
po
c
a
β
e
o sin β = d
o sin α
=d
f
o sin β
=h
g
=g
h
α
h
β
β
4
50°

12
30°

Lösungen:
60°

14,62
6 cm
a
5 cm
α
20°
6,89
3,46
9 cm
4 cm
c
sin 45° = a : 7 cm | • 7 cm
a = sin 45° • 7 cm = 4,95 cm
α = 45°; c = 7 cm

Beispiel:
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a = sin 50° • 9 cm = 6,89 cm
 sin 50° = a : 9 cm
c = 6 : sin 30° = 12 cm
 sin 30° = 6 cm : c
a = sin 60° • 4 cm = 3,46 cm
 sin 60° = a : 4 cm
c = 5 : sin 20° = 14,62 cm
 sin 20° = 5 cm : c
3 Berechne die fehlende Seitenlänge wie im Beispiel.
x sin β
o
i
o sin α = h
h
x sin α = i
o
2 Wie lautet der Quotient zu
sin α und sin β? Kreuze an.
d
x sin β = e
o
x sin α
o
=f
d
f
x cos β = e
o
f
x cos α = d
o
g
x cos β = h
o
g
x cos α = i
o
B
30°
50°


2,5
4,26
3 cm
6,43
3,46
10 cm
5 cm
c
h
d
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Lösungen:
60°
b
4 cm
α
20°


g
β
α
f
i
e
b = cos 50° • 10 cm = 6,43 cm
 cos 50° = b : 10 cm
c = 3 : cos 30° = 3,46 cm
 cos 30° = 3 cm : c
b = cos 60° • 5 cm = 2,5 cm
 cos 60° = b : 5 cm
5
Trigonometrie
c = 4 : cos 20° = 4,26 cm
 cos 20° = 4 cm : c
α
β
Kosinus
3 Berechne die fehlende Seitenlänge.
h
o cos β = g
h
o cos α = i
2 Wie lautet der Quotient zu
cos α und cos β? Kreuze an.
e
o cos β = f
e
o cos α = d
1 Wie lautet der Quotient zu
cos α und cos β? Kreuze an.
α
C
1 Wie lautet der Quotient zu
sin α und sin β? Kreuze an.
Hy
e
us
n
ote
p
c
B
A
A
α
b
Gegenkathete von α
a
β
Sinus
A
A
C
Trigonometrie
Ankathete von α
C
c
B
6
3 cm
60°
30°
20°
40°




4 cm
6 cm
c
Lösungen: 1,73 3,36 13,74 3,46
5 cm
a
α
g
α
α
g
f
e
e
f
A
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a = tan 40° • 4 cm = 3,36 cm
 tan 40° = a : 4 cm
b = 5 : tan 20° = 13,74 cm
 tan 20° = 5 cm : b
a = tan 30° • 6 cm = 3,46 cm
 tan 30° = a : 6 cm
b = 3 : tan 60° = 1,73 cm
 tan 60° = 3 cm : b
β
β
Tangens
3 Berechne die fehlende Seitenlänge.
g
o tan β = f
e
f
x tan β = f
o
f
x tan α = e
o
o tan α = g
2 Wie lautet der Quotient zu
tan α und tan β? Kreuze an.
f
x tan β = e
o
o tan β = g
f
g
o tan α = f
e
x tan α = f
o
1 Wie lautet der Quotient zu
tan α und tan β? Kreuze an.
A
α
b
Gegenkathete von α
a
β
Trigonometrie
Ankathete von α
Trigonometrie
= 28°
2
5,7
A
5,7 m
x
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5,36
Die Schenkel der Leiter stehen 5,36 m auseinander.
AB = 2 • AD = 2,68 • 2 = 5,36
x = sin 28° • 5,7 = 2,68
5,7
sin 28° = x
D
5m
α
C
α: 2
Der Winkel an der Spitze hat ca. 56°.
α = 28° • 2 = 56°
α
2
cos α = 5 = 0,88
Lösungen:
b)
b)
a)
B
56
7
c) Wie weit stehen die beiden Schenkel der Leiter auseinander? Runde auf zwei Dezimalstellen.
b) Wie groß ist der Winkel an der von den beiden Schenkeln gebildeten Spitze?
Runde auf ganze Grad.
a) Fertige eine Skizze an und beschrifte sie.
Eine Stehleiter soll mindestens bis in 5 Meter Höhe reichen. Die beiden Schenkel der Leiter
sind jeweils 5,7 m lang.
Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck
A
Sinus
α
a
c
8
B
rechtwinkligen
Es gilt im ____________________
Dreieck: sin α
20
BC
BC = 10 km
sin 30° • 20 = BC
sin 30° =
AC
sin α = BC
| • 20
Audorf
20 km
Bergheim
Ceburg
B
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a
c
= _____.
a
Die Gegenkathete des Winkels α ist die Seite ____________________.
betrachteten
Die Gegenkathete liegt dem ____________________
Winkel gegenüber.
c
Die Hypotenuse des Winkels α ist die Seite ____________________.
2 Die Orte Audorf, Bergheim und Ceburg liegen
an einem See (siehe Skizze) und werden
regelmäßig von einer Fähre angesteuert. Wie
weit liegen Ceburg und Bergheim auseinander?
Ö
β
rechten
Die Hypotenuse liegt dem ____________________
Winkel gegenüber.
A
b
C
1 Ergänze den Lückentext. Setze ein, sodass wahre Aussagen entstehen.
Trigonometrie
Kosinus
d
......................................
g
β
h
α
.....................................
.....................................
cos α = i
g
.....................................
h
cos β =
i
g
.....................................
=6m
oder
5,20
sin 60° = a : 6
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Lösungen:
Die Leiter reicht bis 5,20 m hinauf.
b = 5,20 m
b2 = 62 – 32 = 27
a2 + b2 = c2
b) Wie weit reicht die Leiter hinauf? Berechne.
Die Leiter ist 6 m lang.
cos α =
3m
cos α
cos α = ac
a) Wie lang ist die Leiter? Fertige eine Skizze und berechne.
60°
6,00
3m
Skizze:
2 Eine Leiter lehnt an einer Hauswand in drei Meter Entfernung. Der Winkel zwischen der Leiter und dem Boden beträgt 60°.
α
f
......................................
cos α = d
f
β
......................................
e
cos β =
e
f
......................................
1 Wie lautet der Quotient zu cos α und cos β?
9
Trigonometrie
Der Quotient aus der Ankathete eines Winkels und der Hypotenuse heißt Kosinus.
B
Tangens
e
......................................
10
x
x
4
Lösungen:
g
α
4
x tan 35° • 3,5 = x
.....................................
x = 5 : tan 30°
......................................
8,58
tan d = x : 3,5
.....................................
tan g = 5 : x
......................................
6
2,45
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8,66
x = 2,45
......................................
 d = 35°
 g = 30°
a
d
2m



Pfosten b ist 1,46 m lang.
Pfosten a ist 0,73 m lang.
Pfosten c ist 2,18 m lang.
b
2m
70°
c
C
B
2,18
1,46
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Lösungen:
5,87
Es müssen mindestens 5,87 m Pfosten besorgt werden.
2,18 m + 0,73 m + 1,46 m + 3 • 0,5 m = 5,87 m
0,73
11
b) Wie viele Meter Pfosten müssen besorgt werden, wenn diese je 50 cm im Boden verankert werden müssen?
b = (0,73 + 2,18) : 2 = 1,46
b = (a+c) : 2
a = 2 : tan 70° = 0,73
a
tan 70° = 2
d = 6 : sin 70° = 6,39
6
d
c = 6 : tan 70° = 2,18
c
tan 70° = 6
AB = 2 m + 2 m + 2 m = 6 m
x=6
......................................
x = 8,66
......................................
2m
a) Wie lang müssen die drei Holzpfosten mindestens sein?
A
x = 8,58°
......................................
x
tan β = x : 6
.....................................
 β = 45°
.....................................
Skizze:
Für den Bau eines Steges in einem Schwimmteich werden drei Holzpfosten, wie in der Skizze
dargestellt, benötigt.
sin 70° =
3,5
6
β
.....................................
tan α = e
f
.....................................
f
tan β =
f
e
.....................................
Trigonometrie
Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck
B
tan 45° • 6 = x
.....................................
d
β
d
α
e
B
x = 4 : tan 25°
......................................
tan α = 4 : x
......................................
 α = 25°
2 Berechne die Länge der Seite x. Runde sinnvoll.
α
g
......................................
tan α = f
e
β
......................................
e
tan β =
f
f
......................................
1 Wie lautet der Quotient zu tan α und tan β?
Der Quotient aus der Gegenkathete eines Winkels und der Ankathete heißt Tangens.
Trigonometrie
Sinus
α
a
c
β
B
C
α = 60°
.............................................................................................................
α = 45°
.............................................................................................................
α = 20°
.............................................................................................................
b) sin α = 0,8660
c) sin α = 0,7071
d) sin α = 0,3420
12
.............................................................................................................
.............................................................................................................
c2 = 3002 + 502
c = 304,14 m
α = 80,54°
304,14
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α = 9,46°
.............................................................................................................
sin α = 50 = 0,1644
304,14
sin α = 300 = 0,9864 .............................................................................................................
.............................................................................................................
a2 + b2 = c2
Ein Ruderboot will eine 300 m lange Strecke zurücklegen. Es wird aber um 50 m vom
ursprünglichen Ziel abgetrieben. Welche Strecke legt das Boot in Wirklichkeit zurück?
Um wie viel Grad driftete das Boot ab?
3 Hier hat sich bei der Lösung der Aufgabe ein Fehler eingeschlichen. Finde und verbessere ihn.
α = 90°
.............................................................................................................
a) sin α = 1
2 Berechne die Größe der Winkel α. Runde sinnvoll.
rechtwinkligen
c
________________________ Dreieck: sin α = ___.
a
a
Winkel gegenüber. Die Gegenkathete des Winkels α ist die Seite _____.
Es gilt im
c
betrachteten
des Winkels α ist die Seite ______. Die Gegenkathete liegt dem ______________________
rechten
Die Hypotenuse liegt dem ________________________ Winkel gegenüber. Die Hypotenuse
A
b
C
1 Ergänze den Lückentext, sodass wahre Aussagen entstehen.
Trigonometrie
Kosinus
Trigonometrie
oder
sin 40° = a : 32,64
25 m
Brigitte Penzenstadler: Trigonometrie 9./10. Klasse – Mathetraining in 3 Kompetenzstufen
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40°
25 m
Die Brücke muss insgesamt 20,98 m hoch sein.
a = 20,98 m
a2 = (32,642 – 252) m2
a2 + b2 = c2
b) Wie hoch muss die Brücke insgesamt sein?
Ein Seil muss mindestens 32,64 m lang sein.
c = 25 m : cos 40 = 32,64 m
c
cos 40° = 25
a) Wie lang muss ein Seil mindestens sein?
Skizze:
z. B.
40°
13
2 Eine 50 m lange Hängebrücke wird in der Mitte von je 2 Seilen gehalten, die in einem Winkel
von 40° am Boden befestigt sind. Was kann mithilfe dieser Angaben alles berechnet werden? Notiere und berechne.
x Die Ankathete liegt dem betrachteten Winkel an.
o
x Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite heißt Hypotenuse.
o
o Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite heißt Gegenkathete.
o Der Quotient aus der Gegenkathete eines Winkels und der Hypotenuse heißt Kosinus.
x Der Quotient aus der Ankathete eines Winkels und der Hypotenuse heißt Kosinus.
o
1 Kreuze die richtigen Aussagen an.
C
Tangens
C
C
c
b
B
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Lösung:
Aufgabe:
x
100
| • 100
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Das Hochhaus ist demnach 46,60 m + 1,40 m = 48 m hoch.
Die Größe von Uwe mit 1,40 m wurde nicht berücksichtigt.
Das Hochhaus ist 46,6 m hoch.
x = 46,6
tan 25° • 100 = x
tan 25° =
Der 140 cm große Uwe steht mit seinen Eltern auf gleicher Höhe mit einem
Hochhaus. Er sieht das Dach des Hochhauses aus 100 m Entfernung unter
einem Winkel von 25°. Wie hoch ist das Hochhaus?
2 Bei der Lösung der Aufgabe hat sich ein Fehler eingeschlichen. Finde und verbessere ihn.
A
α
b
Gegenkathete von α
a
β
Ankathete
tan α = Gegenkathete von α = a
1 Notiere die allgemein gültige Formel für Tangens α. Fertige eine passende Skizze dazu an
und beschrifte sie.
Trigonometrie
Ankathete von α
Trigonometrie
A
B
5m
C
d 110°
3,5 m
oder
D
BC = (52 – 4,72) m2
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Die Fläche beträgt 12,24 m2.
A = (4,7 m • 5,21 m) : 2 = 12,24 m2
BD = 1,71 m + 3,5 m = 5,21 m
BC = cos 70° • 5 m = 1,71 m
cos 70° = 5BC
m
AB = sin 70° • 5 m = 4,70 m
AB
sin 70° = 5 m
g = 180° – 110° = 70°
Welche Fläche nimmt das neue Beet nun ein?
Runde alle Ergebnisse auf zwei Dezimalstellen.
Skizze:
Herr Huber will das Gartenbeet neben seiner Terrasse gemäß der Skizze erweitern.
15
Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck
C
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