Skript - Uni Ulm

Grundlagen der Mathematik
Irene I. Bouw1
Wintersemester 2013/2014, 2014/15
1
überarbeitet für das Wintersemester 2014/15 von J.-W. Liebezeit
2
Gesetzt mit LATEX. Grafiken mit gnuplot und TikZ.
Inhaltsverzeichnis
1 Mengen und Funktionen
1.1 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Logische Symbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
8
13
2 Beweismethoden
17
2.1 Der direkte Beweis und Varianten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Vollständige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Binomialkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Äquivalenzrelationen
31
3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Die ganzen und rationalen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3 Kongruenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4 Grenzwerte und die Definition der reellen Zahlen
4.1 Berechnung von Quadratwurzeln . . . . . . . . . .
4.2 Definition des Grenzwerts . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Cauchy-Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Definition der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . .
4.5 Die Vollständigkeit von R . . . . . . . . . . . . . .
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37
37
40
43
44
46
5 Unendliche Mengen
49
5.1 Gleichmächtigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2 Das Cantorsche Diagonalargument . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6 Die komplexen Zahlen
55
6.1 Definition der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2 Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
A Einige weitere Begriffe
A.1 Teilbarkeit . . . . . . . .
A.2 Ungleichungen . . . . .
A.3 Summen und Produkte .
A.4 Körper . . . . . . . . . .
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3
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4
INHALTSVERZEICHNIS
A.5 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
B Das griechische Alphabet
71
Literaturverzeichnis
73
Kapitel 1
Mengen und Funktionen
In diesem Kapitel führen wir einige in der Mathematik häufig benutzte Objekte, wie Mengen und Funktionen, ein. Aus der Schule werden Sie ein intuitives
Verständnis dafür haben, was eine Menge oder eine Funktion ist. Wir besprechen
diese Konzepte in diesem Kapitel nochmals, um ein gemeinsames Verständnis
dieser Objekte zu haben. Außerdem führen wir einheitliche Bezeichnungen ein.
Im nächsten Kapitel werden wir uns mit Beweistechniken befassen. Viele der
Beweise, die wir in Kapitel 2 studieren, zeigen Eigenschaften von Mengen, Zahlen und Funktionen. Diese Beweise bauen auf den Eigenschaften der in diesem
Kapitel eingeführten Objekte auf.
1.1
Mengen
Mengen spielen in allen Teilbereichen der Mathematik eine Rolle. Es ist erstaunlich, dass die Mengenlehre, also die Theorie der Mengen, erst seit dem
19ten Jahrhundert systematisch studiert wird. Hier finden Sie eine historische
Übersicht der Geschichte der Mengenlehre:
www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Beginnings of set theory.html
Als Ausgangspunkt unserer Diskussion von Mengen, nehmen wir Cantors Mengenbegriff. Cantor definierte 1874 Mengen wie folgt: Unter eine Menge verstehen
wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten
(Elemente genannt) unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen.
Cantors Mengendefinition ist keine Definition im mathematischen Sinne, da
der Begriff nicht auf schon definierte Begriffe zurückgeführt wird. Es ist möglich
den Begriff Menge durch Axiome zu charakterisieren. Dies ist allerdings recht
kompliziert. Für uns reicht ein intuitives Verständnis des Begriffs, wie er durch
Cantors Definition beschrieben wird. Wenn man unendliche Menge betrachtet,
führt dieser naive Mengenbegriff leicht zu Widersprüchen.
Cantors Mengenbegriff hört sich zunächst ziemlich abstrakt an. Wir möchten
hier einige Aspekte betonen, die für uns wichtig sind.
5
6
KAPITEL 1. MENGEN UND FUNKTIONEN
Bemerkung 1.1.1. (a) Eine Menge besteht aus Objekten. Die Elemente einer Menge brauchen also keine Zahlen zu sein. Beispielsweise können wir
auch die Menge der Studierenden dieser Vorlesung oder die Menge der
Buchstaben des Alphabets betrachten.
(b) Die Elemente einer Menge müssen wohlunterschieden sein, d. h., man muss
sie von Einander unterscheiden können. Das gleiche Objekt kann also nicht
zweimal in einer Menge enthalten sein. Außerdem ist die Reihenfolge, in
der die Elemente aufgezählt wurden, unwichtig. Wenn x und y das gleiche
Element einer Menge M bezeichnen, schreiben wir x = y. Wenn x und
y verschiedene Elemente sind, schreiben wir x 6= y. Da die Elemente der
Menge wohlunterschieden sind, können wir entscheiden welcher der beiden
Fälle zutrifft.
(c) Die Objekte einer Menge müssen bestimmt sein, d. h., man muß entscheiden können, ob ein Objekt m in der Menge M enthalten ist oder nicht.
In dieser Vorlesung bezeichnen wir Mengen immer mit Großbuchstaben und
Elemente einer Menge mit Kleinbuchstaben.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten eine konkrete Menge zu definieren. Die
einfachste ist die Aufzählung. Hier werden die Objekte der Mengen zwischen
geschweiften Klammer aufgelistet:
M := { a, b, c } ,
N := { 1, 2, 3, . . . } .
Hierbei deutet := an, dass hier ein Symbol definiert wird. Die Auslassungspunkte
(. . . ) deuten an, dass die Folge nach dem offensichtlichen Muster fortgesetzt
wird. Dies ist manchmal sehr praktisch. Die Menge N der natürliche Zahlen
beispielsweise besitzt unendlich viele Elemente, die man nicht alle Aufzählen
kann.
Wichtige Beispiele von Mengen sind:
N = { 1, 2, 3, . . . }
natürliche Zahlen,
N0 = { 0, 1, 2, 3, . . . }
natürliche Zahlen mit Null,
Z = { 0, ±1, ±2, . . . }
ganze Zahlen,
Q
rationale Zahlen,
R
reelle Zahlen,
R>0
positive reelle Zahlen.
In dieser Vorlesung werden die natürlichen Zahlen N als bekannt vorausgesetzt.
Die Mengen Z, Q und R werden wir in den Abschnitte 3.2 und 4.4 genau definieren. (Bis dahin werden wir diese Mengen trotzdem benutzen und uns auf Ihr
Verständnis aus der Schule verlassen.)
Sehr praktisch ist auch die Möglichkeit, die Elemente einer Menge durch eine
Eigenschaft zu definieren. Diese Eigenschaft steht dann hinter einem vertikalen
Strich. Manchmal wird hier auch ein Doppelpunkt benutzt. Ein Beispiel ist:
E := { x ∈ Z | x ist gerade } = { 0, ±2, ±4, . . . } ,
P := { n ∈ N>1 | n ist eine Primzahl } = { 2, 3, 5, 7, 11, . . . , 37, . . . } .
1.1. MENGEN
7
Wir beschreiben einige oft benutzte Bezeichnungen für Mengen.
• x ∈ S: Das Objekt x ist ein Element der Menge S.
• x 6∈ S: Das Objekt x ist kein Element der Menge S. Beispiel: 0 6∈ N.
• ∅: Die leere Menge. In der Schule wird diese Menge oft mit { } bezeichnet.
• A ∩ B := { x | x ∈ A und x ∈ B }: Die Schnittmenge von A und B. Zwei
Mengen A, B mit A ∩ B = ∅ heißen disjunkt. Ist A eine beliebige Menge,
dann sind A und ∅ disjunkt, da A ∩ ∅ = ∅.
• A ∪ B := { x | x ∈ A oder x ∈ B }: Die Vereinigung von A und B. Die
Menge A ∪ B enthält also alle Objekte, die in A oder in B (oder in beiden
Mengen) enthalten sind. Beispielsweise gilt für jede Menge A, dass A∪∅ =
A. Sind die beide Mengen A und B disjunkt, schreibt man manchmal auch
· für die Vereinigung und sagt dazu disjunkte Vereinigung.
A t B oder A∪B
• A ⊂ B: Die Menge A ist eine Teilmenge von B, d. h. alle Elemente von A
sind auch in B. Die Mengen A und B dürfen auch gleich sein. Manchmal
wird auch das Symbol A ⊆ B benutzt. Beispielsweise ist N ⊂ Z.
• A ( B: Die Menge A ist eine Teilmenge von B, aber die beiden Mengen
sind nicht gleich. Es existiert also ein Element y ∈ B, das nicht in A ist.
Man sagt auch: A ist eine echte Teilmenge von B.
• A \ B := { x ∈ A | x 6∈ B }: Das Komplement von B in A. Diese Menge
wird auch A ohne B genannt. Ist B ⊂ A und A aus dem Kontext klar,
schreibt man manchmal auch B c anstatt A \ B.
• |A| = #A: Die Mächtigkeit oder Kardinalität der Menge. Wir werden
dieses Symbol nur für Mengen mit endlich vielen Elementen (endliche
Mengen genannt) benutzen.
• A × B := { (a, b) | a ∈ A, b ∈ B }: Das kartesische Produkt von A und B.
Die Elemente (a, b) sind geordnete Paare: Die Reihenfolge ist hier wichtig. Man kann diese Konstruktion auch mehrfach anwenden: Man schreibt
An := A × . . . × A, wobei die Menge A auf der rechten Seite n Mal
vorkommt. Beispielsweise ist R2 = { (x, y) | x, y ∈ R } die reelle Standardebene.
• P(A) := { B | B ⊂ A }: Die Potenzmenge, d. h. die Menge aller Teilmengen (siehe Beispiel 1.1.2.(b)).
Wichtige Beispiele von Teilmengen der reelen Zahlen sind Intervalle. In dieser
Vorlesung benutzen wir folgende Bezeichnungen. Seien a, b reelle Zahlen mit
a < b. Dann gilt:
• [a, b] := { x ∈ R | a ≤ x ≤ b }.
8
KAPITEL 1. MENGEN UND FUNKTIONEN
• [a, b) := { x ∈ R | a ≤ x < b }.
• (a, b) := { x ∈ R | a < x < b }.
• [a, ∞) := { x ∈ R | x ≥ a }. Das Symbol ∞ ist keine reelle Zahl ist und
kann daher auch kein Element einer Teilmenge von R sein.
• (−∞, b) := { x ∈ R | x < b }.
Beispiel 1.1.2.
(a) Die Menge
Q := [−1, 1] × [−1, 1] ⊂ R2
ist ein Quadrat mit Mittelpunkt (0, 0) und Seitenlänge 2.
(b) Sei S = { 1, 2 }. Dann ist die Potenzmenge
P(S) = { ∅, { 1 } , { 2 } , { 1, 2 } } .
Insbesondere ist |P(S)| = 4. Die Elemente von P(S) sind Mengen und
keine Zahlen. Zum Beispiel ist 2 ∈
/ P.
Der folgende Satz gibt einige Eigenschaften der Mengenoperationen, die wir
oben eingeführt haben. Bitte beachten Sie die Klammern. Es ist hilfreich die
Aussagen mit Venn–Diagrammen zu veranschaulichen. Den Beweis diskutieren
wir im nächsten Kapitel (Lemma 2.1.1) und in den Übungsaufgaben.
Satz 1.1.3. Seien A, B, C Mengen. Es gilt:
(a) A ∪ B = B ∪ A und A ∩ B = B ∩ A (Kommutativgesetz),
(b) (A∪B)∪C = A∪(B ∪C) und (A∩B)∩C = A∩(B ∩C) (Assoziativgesetz),
(c) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) und (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
(Distributivgesetz),
(d) (Ac )c = A,
(e) (A ∩ B)c = Ac ∪ B c und (A ∪ B)c = Ac ∩ B c (Regeln von De Morgan, auch
De Morgansche Gesetze genannt).
1.2
Logische Symbole
Bevor wir uns im nächsten Kapitel mit mathematischen Beweisen befassen, diskutieren wir jetzt die Formulierung von mathematischen Aussagen. Logische
Symbole liefern eine effiziente Art und Weise, mathematische Aussagen kompakt darzustellen. Kleine Änderungen in der Formulierung, wie beispielsweise
das Vertauschen zweier Symbole, ändert die Bedeutung oft radikal. Daher ist
es wichtig, sich mit der genauen Bedeutung der Symbole auseinanderzusetzen.
Logische Symbole wie den Implikationspfeil “⇒” sollte man nie benutzen, um
etwa einen Zeilenumbruch anzugeben.
1.2. LOGISCHE SYMBOLE
9
Bei der Bearbeitung der Übungsaufgaben ist es oft ratsam, die Aussagen
als vollständige deutsche Sätze zu formulieren, da so ihre Bedeutung leichter
verständlich ist.
Eine Aussage ist eine Äußerung, die entweder wahr oder falsch ist. Man muß
dabei nicht wissen, welches zutrifft. Es reicht, zu wissen, dass genau eines von
beidem zutrifft.
Beispiele von Aussagen sind:
• Es regnet.
√
/ Q.
• 2∈
• Heute fällt die Vorlesung Grundlagen der Mathematik aus.
• Es existieren unendlich viele Primzahlen.
Keine Aussagen sind:
• Guten Morgen liebe Studierenden.
• Welche Musik hören Sie gerne?
• 2 ⇒ gerade.
Wir führen zunächst die wichtigsten sogenannten Junktoren ein. Dies sind
Symbole mit denen wir Aussagen zu Neuen verbinden können. Dafür seien A
und B Aussagen.
• A ⇒ B: Aussage A impliziert Aussage B. Dies bedeutet, dass B immer
wahr ist, wenn A wahr ist. Dies entspricht B ⊂ A in der Mengenlehre.
Beispiele sind:
∗ Wenn es regnet, ist die Straße naß.
∗ Wenn n ∈ N durch 4 teilbar ist, ist n auch durch 2 teilbar.
• A ⇐ B: Aussage B impliziert Aussage A. Dies ist gleichbedeutend mit
B ⇒ A.
• A ⇔ B: Die Aussagen A und B sind äquivalent, d. h. B ist genau dann
wahr, wenn A wahr ist. Dies entspricht A = B in der Mengenlehre. Die
Aussagen Es regnet und Die Straße ist naß sind nicht äquivalent. Die
Straße kann beispielsweise auch naß sein, weil ein Straßenputzfahrzeug
vorbei gefahren ist.
• ¬A: Die Aussage “nicht A”. Diese Aussage ist genau dann wahr, wenn die
Aussage A falsch ist. Dies entspricht Ac in der Mengenlehre.
• A ∧ B: Die Aussage “A und B”. Diese Aussage ist genau dann wahr, wenn
A und B beide wahr sind. Dies entspricht A ∩ B in der Mengenlehre.
10
KAPITEL 1. MENGEN UND FUNKTIONEN
• A ∨ B: Die Aussage “A oder B”. Diese Aussage ist genau dann wahr,
wenn mindestens eine der Aussagen A, B wahr ist. Es dürfen also auch
beide Aussagen wahr sein: Das (mathematische, logische) “oder” ist nicht
gleichbedeutend mit “entweder, oder”. Das Symbol A∨B entspricht A∪B
in der Mengenlehre.
Die untenstehende Wahrheitstafel illustriert die Bedeutung der Aussagen aus
obiger Liste. Für alle Möglichkeiten, ob die Aussagen A und B wahr (“w”) oder
falsch (“f”) sind, zeig die Tabelle, ob die zusammengesetzte Aussage wahr oder
falsch ist.
A B
A⇒B
A⇔B
A∧B
A∨B
w
w
w
w
w
w
w
f
f
f
f
w
f
w
w
f
f
w
f
f
w
w
f
f
Besonders betonen möchten wir, dass die Aussage A ⇒ B genau dann wahr
ist, wenn entweder A und B beide wahr sind oder wenn A falsch ist. Ist A falsch,
sagt die Aussage A ⇒ B also nichts über die Wahrheit von B aus. Beispielsweise
sind folgende Aussagen wahr:
• Wenn die Welt eine Scheibe ist, liegt Ulm auf dem Mond.
• Wenn 6 eine Primzahl ist, ist 6 gerade.
• Wenn der Hahn kräht auf dem Mist, dann ändert sich das Wetter oder es
bleibt wie es ist.
Die Aussage “Das Wetter ändert sich oder es bleibt wie es ist” ist eine Aussage
der Form A ∨ ¬A. Solche Aussagen sind immer wahr und werden Tautologien
genannt.
Das folgende Lemma liefert zwei äquivalente Umformulierungen der Aussage
“A ⇒ B”. Die Äquivalenz der ersten beiden Aussagen ist als Kontrapositionsgesetz bekannt. Der Name deutet schon an, dass dies eine wichtige Regel ist.
Lemma 1.2.1 (Kontrapositionsgesetz). Seien A und B Aussagen. Die folgenden drei Aussagen sind äquivalent:
A ⇒ B,
¬B ⇒ ¬A,
¬A ∨ B.
1.2. LOGISCHE SYMBOLE
11
Beweis. Dies beweisen wir mit Hilfe einer Wahrheitstafel:
¬A ¬B
A B
A⇒B
¬B ⇒ ¬A
¬A ∨ B
w
w
f
f
w
w
w
w
f
f
w
f
f
f
f
w
w
f
w
w
w
f
f
w
w
w
w
w
Wir sehen, dass alle drei Aussagen genau dann falsch sind, wenn A wahr und B
falsch ist. Alle drei Aussagen sind also äquivalent.
Beispiel 1.2.2. Wir betrachten die Aussage Wenn heute Sonntag ist, gibt es
keine Vorlesung. Dies ist eine (wahre) Aussage der Form A ⇒ B, mit
A Heute ist Sontag.
B Es gibt keine Vorlesung.
Mit Hilfe des Kontrapositionsgesetzes können wir hieraus die folgende Aussage
ableiten: Heute gibt es eine Vorlesung (“¬B”), also ist heute ist kein Sonntag
(“¬A”).
Folgende Aussage folgt NICHT: Es ist Montag, also gibt es heute eine Vorlesung. Die Aussage sagt nichts darüber aus, an welche Tagen Vorlesungen stattfinden.
Die Aussage ¬A ∨ B ist in unserem Beispiel die Aussage: Heute ist nicht
Sonntag oder es gibt keine Vorlesung.
Wir kommen nun zur zweiten Sorte logischer Symbole: die Quantoren. Wir
betrachten eine Aussage A, die eine Variable x enthält, die mehrere Werte annehmen kann. Um die Abhängigkeit von x anzudeuten, schreiben wir manchmal
auch A(x) anstatt A. Es macht keinen Sinn zu fragen, ob A(x) wahr ist. Man
kann aber fragen, für welche Werte von x die Aussage A(x) wahr ist. Quantoren
quantifizieren für welche x die Aussage A(x) wahr ist.
Die wichtigsten Quantoren sind:
• ∃x A(x): es existiert (mindestens) ein Wert für x, sodass die Aussage A(x)
wahr ist.
• ∀x A(x): für jeden möglichen Wert von x ist die Aussage A(x) wahr.
Die folgenden Aussagen sind Beispiele wahrer Aussagen.
(a) ∀x ∈ Z
x2 ≥ 0.
(b) ∃x ∈ Q ∀y ∈ Q
y 2 6= x.
12
KAPITEL 1. MENGEN UND FUNKTIONEN
Die erste Aussage sagt, dass das Quadrat einer ganzen Zahl immer nicht-negativ
ist. Die zweite Aussage sagt, dass rationale Zahlen existieren, die keine Quadratzahl sind. Um zu zeigen, dass die Aussage wahr ist, müssen wir also eine
konkrete Zahl x mit der gewünschten Eigenschaft angeben. Beispielsweise gilt
dies für x = 2 (siehe Satz 2.1.7).
Es ist wichtig die Reihenfolge der Quantoren zu betrachten. Betrachte die folgenden zwei Aussagen:
(a) ∀x ∈ R ∃y ∈ R
x + y = 1.
(b) ∃y ∈ R ∀x ∈ R
x + y = 1.
Die Aussage (a) sagt, dass wir für alle reellen Zahlen x eine reelle Zahl y mit
x + y = 1 finden können. Die Zahl y darf also von x abhängen. Diese Aussage
ist wahr: Wähle y = 1 − x.
Die Aussage (b) sagt, dass ein y ∈ R mit x + y = 1 für alle x existiert. Die
Zahl y hängt hier also nicht von x ab. Diese Aussage ist falsch.
Als nächstes betrachten wir die Negierung von Aussagen. Viele Beweisstrategien benutzen die Negierung von Aussage (siehe der indirekte Beweis und der
Widerspruchsbeweis in Abschnitt 2.1). Um diese Methoden erfolgreich anzuwenden, muss man Aussagen korrekt negieren. Am Anfang haben hiermit viele
Studierende Schwierigkeiten. Beispielsweise ist die Negierung der Aussage Ich
möchte Kaffee nicht Ich möchte Tee sondern Ich möchte keinen Kaffee.
Das folgende Lemma gibt einige wichtige Regeln. Vergleichen Sie die Aussagen (b) und (c) mit den Regeln von de Morgan (Satz 1.1.3.(e)).
Lemma 1.2.3. Seien A und B Aussagen. Es gilt:
(a) A ist äquivalent zu ¬¬A,
(b) ¬(A ∧ B) ist äquivalent zu (¬A) ∨ (¬B),
(c) ¬(A ∨ B) ist äquivalent zu (¬A) ∧ (¬B),
(d) ¬∃x A(x) ist äquivalent zu ∀x ¬A(x),
(e) ¬∀x A(x) ist äquivalent zu ∃x ¬A(x),
(f) ¬(A ⇒ B) ist äquivalent zu A ∧ ¬B.
Beweis. Die Aussagen (a), (b), (c) und (f) kann man mit Hilfe einer Wahrheitstafel beweisen. Wir überlassen dies der Leserin/dem Leser als Übungsaufgabe.
Für (d) betrachten wir die Menge M aller x für die Aussage A(x) wahr ist.
Die Aussage ¬∃x A(x) sagt nun, dass kein x existiert, sodass A(x) wahr ist. Die
Menge M ist also leer. Dies ist äquivalent zu der Aussage, dass für alle x die
Aussage A(x) falsch, d. h. ¬A(x) wahr ist. Dies zeigt (d).
Aussage (e) beweist man ähnlich.
1.3. FUNKTIONEN
13
Wir geben konkrete Beispiele zu den Aussagen von Lemma 1.2.3. Ein komplizierteres Beispiel finden Sie in Beispiel 4.2.4.(b).
Beispiel 1.2.4. (a) Sei A die Aussage es regnet. Dann ist ¬A die Aussage es
regnet nicht und ¬¬A die Aussage es regnet nicht nicht. Die letzte Aussage
ist äquivalent zur Aussage es regnet.
(b) Wir betrachten nochmals die Aussage Wenn heute Sonntag ist, gibt es
keine Vorlesung aus Beispiel 1.2.2. Die Negierung dieser Aussage ist: heute
ist Sonntag und es gibt eine Vorlesung.
(c) Betrachte die Aussage ¬∃x ∈ Q x2 = 2. Diese Aussage sagt, dass keine
rationale Zahl x mit x2 = 2 existiert. Anders gesagt: Alle rationalen Zahlen
x erfüllen x2 6= 2. In logischen Symbole ausgedrückt ist dies:
∀x ∈ Q x2 6= 2.
In Satz 2.1.7 werden wir diese Aussage zeigen.
(d) Wir betrachten die Aussage:
¬∃y ∈ R ∀x ∈ R x + y = 1.
Diese Aussage ist äquivalent zu
∀y ∈ R ∃x ∈ R x + y 6= 1.
1.3
Funktionen
Funktionen sind in der Mathematik mindestens genau so wichtig wie Mengen.
Eine Funktion kann man als eine Relation zwischen Mengen auffassen. Wichtige
Beispiele von Funktionen wie Sinus oder Exponentialfunktion kennen Sie schon
aus der Schule.
Definition 1.3.1. Eine Funktion (oder: Abbildung) ist eine Zuordnungsvorschrift, bei dem jedes Element des Definitionsbereichs X genau einem Element
des Wertebereichs Y zugeordnet wird. Bezeichnung: f : X → Y , x 7→ f (x).
Das Bild einer Funktion f : X → Y ist die Teilmenge { f (x) | x ∈ X } von
Y . Für y ∈ Y heißt f −1 (y) := { x ∈ X | f (x) = y } das Urbild von y. Ähnlich
definieren wir für eine Teilmenge Y1 ⊂ Y das Urbild als
f −1 (Y1 ) := { x ∈ X | f (x) ∈ Y1 } .
Ein wichtiges, aber triviales Beispiel einer Funktion ist die Identität:
IdM : M → M, m 7→ m.
Diese Abbildung bildet jedes Element der Menge auf sich selbst ab.
14
KAPITEL 1. MENGEN UND FUNKTIONEN
Bemerkung 1.3.2. (a) Beachte, dass der Pfeil 7→ die Zuordnungsvorschrift
und der Pfeil → den Definitions- und Wertebereich angibt.
(b) Eine Funktion ordnet jedes x ∈ X genau einem Element f (x) ∈ Y zu. Das
Element f (x) soll also eindeutig durch x bestimmt sein. Diese Eigenschaft
einer Funktion nennt man auch Wohldefiniertheit. Beispielsweise ist die
Zuordnung
n 7→ die Primfaktoren von n,
N≥2 → N≥2
keine Funktion, da n mehr als einen Primfaktor besitzen kann. Die Zuordnung
n 7→ { die Primfaktoren von n},
N≥2 → P(N≥2 )
ist eine Funktion. Diesmal fassen wir die Menge der Primfaktoren von n
als Element der Potenzmenge auf.
Wir können Funktionen auch als Menge auffassen. Jede Funktion f : X → Y
bestimmt seinen Graph:
Γf := { (x, y) ∈ X × Y | y = f (x) } .
Umgekehrt definiert eine Teilmenge Z ⊂ X ×Y genau dann eine Funktion, wenn
die Eigenschaft
∀x ∈ X |Z ∩ { x } × Y | = 1
erfüllt ist. Diese Eigenschaft sagt, dass jedem x ein eindeutiges y = f (x) zugeordnet wird. Wäre |Z ∩ {x} × Y | = 0, würde dieses x nirgendwohin abbilden.
Wäre |Z ∩ {x} × Y | > 1, würde dieses x auf mehr als ein y abgebildet werden.
Beides ist laut Definition 1.3.1 nicht erlaubt.
Definition 1.3.3. Seien f : A → B und g : B → C Funktionen. Die Funktion
g ◦ f : A → C, x 7→ g(f (x))
heißt Verknüpfung (oder Komposition oder Hintereinanderausführung) von f
mit g.
Streng genommen enthält Definition 1.3.3 auch die Aussage, dass g◦f wieder
eine Funktion ist. Hierzu muss man zeigen, dass die Zuordnung x 7→ g(f (x))
jedes x genau einem Element aus C zuordnet. Dies gilt, da f und g Funktionen
sind.
Sei nun h : C → D eine weitere Funktion. Es folgt aus der Definition, dass
die beide Verknüpfungen h ◦ (g ◦ f ) : A → D und (h ◦ g) ◦ f : A → D gleich sind:
Beide bilden x auf h(g(f (x))) ab. Wichtig ist hierbei, dass die Funktionen jeweils
in der gleichen Reihenfolge auftauchen, wie das folgende Beispiel erläutert:
Beispiel 1.3.4. Sei f : R → R, x 7→ x2 und g : R → R, x 7→ 2x − 1. Dann ist
g ◦ f : x 7→ 2x2 − 1,
f ◦ g : x 7→ (2x − 1)2 .
Beachte, dass die beide Funktionen nicht gleich sind. Beispielsweise ist g ◦f (0) =
−1 und f ◦ g(0) = 1.
1.3. FUNKTIONEN
15
Definition 1.3.5. Sei f : A → B eine Funktion und C ⊂ A eine Teilmenge.
Die Einschränkung von f auf C ist definiert als
f |C : C → B, x 7→ f (x).
Die Zuordnungsvorschrift einer Einschränkung ist also der ursprunglichen
Zuordnungsvorschrift gleich, aber der Definitionsbereich wird durch eine kleinere
Menge ersetzt. Ein typisches Beispiel ist die Einschränkung der Sinus-Funktion
von R auf dem Intervall [0, 2π].
Definition 1.3.6. Sei f : X → Y eine Funktion.
(a) Die Funktion f heißt injektiv, wenn für alle x1 , x2 ∈ X gilt, dass f (x1 )
und f (x2 ) nur dann gleich sind, wenn x1 und x2 gleich sind.
(b) Die Funktion f heißt surjektiv, wenn für alle y ∈ Y ein x ∈ X mit der
Eigenschaft f (x) = y existiert.
(c) Die Funktion f heißt bijektiv, wenn f sowohl injektiv als auch surjektiv
ist.
Bemerkung 1.3.7. Injektivität einer Funktion bedeutet, dass das Urbild f −1 (y)
höchstens aus einem Element besteht. Zu jedem y ∈ Y bildet höchstens ein
x ∈ X ab.
Surjektivität einer Funktion bedeutet, dass das Urbild f −1 (y) mindestens
aus einem Element besteht. Zu jedem y ∈ Y bildet mindestens ein x ∈ X ab.
Eine Funktion f : X → Y ist also genau dann surjektiv, wenn f (X) = Y ist.
Bijektivität einer Funktion bedeutet, dass das Urbild f −1 (y) genau aus einem Element besteht. Wir können die Elemente von Y einem eindeutigen Urbild
x ∈ X zuordnen.
Beispiel 1.3.8.
surjektiv.
(a) Die Funktion f : R → R, x 7→ x2 ist weder injektiv noch
(b) Die Funktion f : R → [0, ∞), x 7→ x2 ist surjektiv, aber nicht injektiv.
(c) Die Funktion g : R → R, x 7→ x3 ist sowohl injektiv als auch surjektiv,
also bijektiv.
Satz 1.3.9. Sei f : X → Y eine injektive Funktion. Dann existiert eine Funktion g : f (X) → X mit der Eigenschaft
(1.1)
f (x) = y
⇔
g(y) = x.
Beweis. Sei f : X → Y injektiv. Wir bemerken, dass die Funktion f : X →
f (X) auch surjektiv, also bijektiv, ist. Wir definieren g : f (X) → X durch die
Zuordnung y 7→ x, wobei x ein Element aus X mit f (x) = y ist. Da y ∈ f (X) ist,
existiert ein solches Element x. Wir zeigen, dass diese Zuordnung eine Funktion
definiert, also, dass g : x 7→ y wohldefiniert ist.
Wir nehmen an, dass ein weiteres Element x0 ∈ X mit f (x0 ) = y existiert.
Nun gilt f (x) = f (x0 ) = y. Da f injektiv ist, gilt also x = x0 . Dies zeigt, dass g
wohldefiniert ist. Die Eigenschaft (1.1) ist offensichtlich erfüllt.
16
KAPITEL 1. MENGEN UND FUNKTIONEN
Die Funktion g aus Satz 1.3.9 heißt Umkehrfunktion von f . Die Umkehrfunktion von f wird auch mit f −1 bezeichnet und erfüllt die Eigenschaft:
f −1 ◦ f = IdX : X → X,
f ◦ f −1 = Idf (X) : f (X) → f (X).
Wir benutzen die gleiche Bezeichung für die Umkehrfunktiom einer bijektiven Abbildung und das Urbild. Ist f : X → Y bijektiv, dann besteht das Urbild
f −1 (y) für alle y ∈ Y aus einem Element. Dies definiert die Zuordnungsvorschrift
der Umkehrfunktion.
Beispiel 1.3.10. (a) Die Caesar–Chiffre ist ein Verschlüsselungsverfahren,
das schon von Julius Caesar für seine persönliche Korrespondenz benutzt
wurde. Um die Nachricht zu verschlüsseln, wird jeder Buchstabe um drei
verschoben:
a b c d ··· z
x
f (x)
d
e
f
g
···
c.
Die Nachricht hallo wird also zu kdoor verschlüsselt. Um die Nachricht
zu entschlüsseln, wenden wir die Umkehrfunktion an:
y = f (x)
d
e f
g
···
c
f −1 (y) = x
a
b
d ···
z.
c
Damit man eine verschlüsselte Nachricht eindeutig entschlüsseln kann, ist
es wichtig, dass die Verschlüsselungsvorschrift bijektiv ist. Wenn wir beispielsweise den iten Buchstaben auf den 2iten Buchstaben abbilden, erhalten wir folgende Verschlüsselungsvorschrift:
x
a
b
f (x)
b
d f
c
···
n
o
···
h ···
b
f
··· .
d
Wenn die verschlüsselte Nachricht den Buchstabe b enhält, wissen wir
nicht, ob dies ursprunglich ein a oder ein n war. Wir können die Nachricht
also nicht eindeutig entschlüsseln.
Mehr zum Verschlüsseln erfahren Sie nächstes Semester in der Vorlesung
Elementare Zahlentheorie.
(b) Die Funktion f : R → R, x 7→ x3 ist bijektiv. Die Umkehrfunktion ist
g : R → R, y 7→ y 1/3 .
(c) Die Funktion cos : [0, π] → [−1, 1] ist bijektiv. Die Umkehrfunktion heißt
arccos : [−1, 1] → [0, π].
(d) Die Funktion exp : R → (0, ∞) ist bijektiv. Die Umkehrfunktion heißt
log : (0, ∞) → R. Beachte, dass wir mit log den Logarithmus zur Basis e
bezeichnen.
Kapitel 2
Beweismethoden
2.1
Der direkte Beweis und Varianten
In diesem Abschnitt beschreiben wir die ersten drei Beweismethoden, die Varianten des direkten Beweises sind. Diese Methode beschreiben wir nun als Erste.
Der direkte Beweis. Ziel ist es eine Aussage der Form A ⇒ B zu beweisen.
Der Beweis folgt folgende Schritten: Wir nehmen an, dass die Aussage A gilt.
Wir versuchen hieraus die Aussage B abzuleiten. Hierzu benutzt man schon
bekannte Sätze und Definitionen. Es gibt kein allgemeines Rezept, wie man dies
am Einfachsten macht. Hier hilft nur learning by doing.
Wir zeigen das Verfahren anhand von einigen Beispielbeweisen. Wir geben
hier nicht nur den Beweis, sondern versuchen auch zu beschreiben, wie man
hier vor geht. Dadurch ist der Beweis selbstverständlich viel ausführlicher als
beispielsweise im Skript der Vorlesung Lineare Algebra.
Wir beweisen die erste Aussage von Satz 1.1.3.(c).
Lemma 2.1.1. Seien A, B, C Mengen. Dann gilt
(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).
Beweis. Die Aussage ist zunächst nicht als Implikation formuliert. Wir benutzen, dass zwei Mengen M und N genau dann gleich sind, wenn M ⊂ N und
N ⊂ M (Übungsaufgabe).
Wir müssen die folgenden zwei Aussagen zeigen:
(I) (A ∪ B) ∩ C ⊂ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C),
(II) (A ∪ B) ∩ C ⊃ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).
Wir zeigen zunächst (I). Diese Aussage kann man als Implikation auffassen,
indem man (I) zu
x ∈ (A ∪ B) ∩ C ⇒ x ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
17
18
KAPITEL 2. BEWEISMETHODEN
umformuliert. Jetzt legen wir los mit dem eigentlichen Beweis.
Sei x ∈ (A ∪ B) ∩ C ein beliebiges Element, also ist x ∈ A ∪ B und x ∈ C
(dies folgt aus der Definition der Schnittmenge). Die Definition der Vereinigung
impliziert, dass mindestens eine der folgenden Aussagen gilt:
• x ∈ A und x ∈ C, d. h. x ∈ A ∩ C,
• x ∈ B und x ∈ C, d. h. x ∈ B ∩ C.
Hieraus folgt, dass x ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C). Dies beweist (I).
Wir zeigen (II). Sei dazu x ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C), d. h. x ∈ A ∩ C oder x ∈ B ∩ C.
Wir nehmen an, dass x ∈ A ∩ C. Der andere Fall ist ähnlich. Es gilt x ∈ A
und x ∈ C. Die Menge A ist eine Teilmenge von A ∪ B, also ist x ∈ A ∪ B. Wir
schließen, dass x ∈ (A ∪ B) ∩ C ist. Dies zeigt (II) und daher die Aussage.
Hier sind einige Bemerkungen zur Struktur des obigen Beweises.
Bemerkung 2.1.2. (a) Am Anfang ist es wichtig genau hinzuschreiben, was
man zeigen muss und was bekannt ist. Bei komplizierten Formeln ist es
wichtig genau hinzuschreiben, was die einzelnen Symbole und Begriffe bedeuten. Der obige Beweis ist fast trivial, wenn man alle Definitionen genau
hingeschrieben hat.
(b) In Teil (II) des obigen Beweises machen wir eine Fallunterscheidung. Hier
muss man aufpassen, dass die Fälle alle Möglichkeiten abdecken.
(c) Bitte beachten Sie, dass Ihre Übungsblätter von studentischen Hilfkräften
korrigier werden. Versuchen Sie möglichst klar zu formulieren. Wenn der
Korrektor nicht versteht was Sie schreiben, bekommen Sie keine Punkte!
Wir betrachten ein weiteres Beispiel eines direkten Beweises. Die Definition
des Urbilds f −1 (Y ) haben wir in Definition 1.3.1 gegeben.
Lemma 2.1.3. Sei f : A → B eine Funktion und seien X1 , X2 ⊂ A und
Y1 , Y2 ⊂ B Teilmengen. Dann gilt:
(a) f (X1 ) \ f (X2 ) ⊂ f (X1 \ X2 ),
(b) f −1 (Y1 \ Y2 ) = f −1 (Y1 ) \ f −1 (Y2 ).
Beweis. Wir beweisen zuerst (a). Hierbei gehen wir wie im Beweis von Lemma
2.1.1 vor.
Sei y ∈ f (X1 ) \ f (X2 ). Da y ∈ f (X1 ) ist, existiert ein x ∈ X1 mit f (x) = y.
Da y ∈
/ f (X2 ), existiert kein x2 ∈ X2 mit f (x2 ) = y. Insbesondere gilt x ∈
/ X2 .
Also ist x ∈ X1 \ X2 . Wir schließen, dass y ∈ f (X1 \ X2 ) ist.
Wir beweisen nun (b). Wir müssen folgende zwei Inklusionen zeigen:
(I) f −1 (Y1 \ Y2 ) ⊂ f −1 (Y1 ) \ f −1 (Y2 ),
(II) f −1 (Y1 \ Y2 ) ⊃ f −1 (Y1 ) \ f −1 (Y2 ).
2.1. DER DIREKTE BEWEIS UND VARIANTEN
19
Wir zeigen zuerst (I). Sei x ∈ f −1 (Y1 \ Y2 ). Dies bedeutet, dass f (x) ∈ Y1 \ Y2 .
Also gilt f (x) ∈ Y1 und f (x) ∈
/ Y2 . Dies bedeutet, dass x ∈ f −1 (Y1 ) \ f −1 (Y2 ).
Der Beweis von (II) ist ähnlich.
Eine Variante des direkten Beweises ist der indirekte Beweis oder Beweis
durch Kontraposition. Wir möchten wieder eine Aussage der Form A ⇒ B
beweisen. Mit Hilfe des Kontrapositionsgesetzes (Lemma 1.2.1) können wir dies
zu ¬B ⇒ ¬A umformulieren. Wir nehmen an, dass B nicht gilt und versuchen
hieraus abzuleiten, dass A auch nicht gilt.
Beispiel 2.1.4. Ein (nichtmathematisches) Beispiel eines indirekten Beweises
ist der sogenannte “Alibi-Beweis”. Frau Z. wird beschuldigt, am 01.04.2013 um
23.05 Uhr einen Einbruch in einem Juweliergeschäft verübt zu haben. Frau Z.
behauptet, unschuldig zu sein. Als Beweis führt Sie ein Blitzerfoto für die fragliche Uhrzeit an.
Wir betrachten folgende Aussagen:
(I) Frau Z. hat am 01.04.2013 um 23.05 Uhr den Einbruch begangen.
(II) Frau Z. war am 01.04.2013 um 23.05 Uhr im Juweliersgeschäft.
Aussage (I) impliziert (II). Außerdem gilt ¬(II). Hieraus leiten wir ab, dass auch
¬(I) gilt. Frau Z. wird also freigesprochen.
Eine dritte Variante ist der Widerspruchsbeweis auch reduktio ad absurdum genannt. Man möchte eine Aussage (I) zeigen. Man nimmt an, dass ¬ (I)
gilt und versucht einen Widerspruch abzuleiten. Ein Widerspruch kann z.B. eine
falsche Aussage wie 0 = 1 oder A ∧ ¬A sein. Ähnlich wie beim indirekten Beweis
folgt hieraus, dass die Annahme ¬ (I) nicht gestimmt haben kann, also ist (I)
wahr.
Wir beweisen folgende Aussage mit allen drei Methoden. Überlegen Sie sich,
welche Methode Sie in diesem Fall am Einfachsten finden.
Der direkte Beweis benutzt dabei den Fundamentalsatz der Arithmetik, der
besagt, dass jede natürliche Zahl n ≥ 2 eine Primfaktorzerlegung besitzt, also als
Produkt von Primzahlen geschrieben werden kann. Diese Zerlegung ist bis auf
die Reihenfolge eindeutig. Dieser Satz wird nächstes Semester in der Vorlesung
Elementare Zahlentheorie bewiesen ([1, Theorem 1.2.4], siehe auch Theorem
2.2.6).
Lemma 2.1.5. Sei n ∈ N. Ist n2 gerade, dann ist auch n gerade.
Beweis. Sei n ∈ N eine beliebige Zahl. Die Aussage des Lemmas ist von der
Form A ⇒ B, wobei A die Aussage n2 ist gerade und B die Aussage n ist
gerade (beachte, dass n eine feste, aber beliebige Zahl ist. Die Zahl n ist also
keine Variable in den Aussage A und B. Dies ist eine alternative Formulierung
für “∀n ∈ N gilt Folgendes).
20
KAPITEL 2. BEWEISMETHODEN
(I) Der direkte Beweis
Wir nehmen an, dass n2 gerade ist. Dies bedeutet, dass ein k ∈ N mit n2 = 2k
existiert. Wir schreiben n = 2 · m mit m ungerade und ≥ 0 (dies ist wegen des
Fundamentalsatzes der Arithmetik möglich). Die Zahl n ist genau dann gerade,
wenn > 0 ist.
Es folgt, dass
2k = n2 = 22 · m2 .
Wir schließen, dass > 0 ist. Also ist n gerade.
(II) Der indirekte Beweis
Wir nehmen an, dass n ungerade ist. Es existiert also ein k ∈ N0 mit n = 2k + 1
(dies ist die Definition einer ungeraden Zahl). Es gilt n2 = (2k + 1)2 = 4k 2 +
4k + 1 = 2(2k 2 + 2k) + 1. Also ist auch n2 ungerade. Dies beweist die Aussage.
(III) Der Widerspruchsbeweis
Wir nehmen an, dass die Aussage des Lemmas nicht gilt. Lemma 1.2.3.(f) besagt,
dass dies äquivalent ist zu der Aussage, dass n2 gerade und n ungerade ist
(“A ∧ ¬B”).
Die Annahme, dass n ungerade ist, bedeutet, dass ein k ∈ N mit n = 2k + 1
existiert. Wie im indirekten Beweis folgt, dass n2 ungerade ist. Dies widerspricht
die Annahme, dass n2 gerade ist. Die Aussage des Lemmas folgt.
Wir bemerken, dass in dieser Situation der Widerspruchsbeweis fast identisch
mit dem indirekten Beweis ist. Wir bevorzügen hier den indirekten Beweis, da
die Struktur des Beweises einfacher ist.
Als Beispiel eines Widerspruchsbeweises betrachten wir den Satz von Euklid.
Satz 2.1.6 (Euklid). Es existieren unendlich viele Primzahlen.
Beweis. Annahme: Es existieren nur endlich viele Primzahlen. Sei P = { p1 , . . . , pr }
die (endliche) Menge aller Primzahlen. Die Zahl 2 ist eine Primzahl, also ist P
nicht leer.
Sei N := 1 + p1 · p2 · · · pr . Dies ist eine natürliche Zahl größer gleich 2, also
besitzt N eine Primfaktorzerlegung. Die Zahlen p1 , . . . , pr sind laut Annahme
die einzigen Primzahlen. Es existieren also Zahlen ai ∈ N0 , sodass
N = pa1 1 · · · par r .
Insbesondere teilt mindestens eine der pi die Zahl N . Wir bezeichnen diese
Aussage mit (I).
Wir zeigen nun, dass keine der pi die Zahl N teilt. Dies ist die Aussage ¬
(I). Wenn pi | N , dann teilt pi auch N − p1 · p2 · · · pr = 1. Dies gilt aber nicht,
da pi ≥ 2 ist. Also ist pi kein Teiler von N .
Wir haben nun einen Widerspruch enthalten: Wir haben gezeigt, dass sowohl
(I) als auch ¬ (I) gilt. Wir schließen, dass die Annahme falsch ist. Dies beweist
den Satz.
2.1. DER DIREKTE BEWEIS UND VARIANTEN
21
Als ein zweites Beispiel für einen Widerspruchsbeweis zeigen wir
Satz 2.1.7. Es existiert kein x ∈ Q mit x2 = 2.
Beweis. Annahme: Es existiert ein x ∈ Q mit x2 = 2. Wir dürfen annehmen,
dass x ≥ 0 ist. Falls nämlich ein x ∈ Q mit x ≤ 0 und x2 = 2 existiert, erfüllt
y := −x auch y 2 = 2 und außerdem gilt y ≥ 0. Die Zahl y erfüllt also die
Anforderungen.
Wir nehmen also an, dass x ≥ 0 eine rationale Zahl mit x2 = 2 ist. Offensichtlich ist x 6= 0. Wir können also x = p/q mit p, q ∈ N und p und q teilerfremd
schreiben.
Es folgt, dass
p2
x2 = 2 = 2,
q
also p2 = 2q 2 . Wir schreiben p = 2i · p0 und q = 2j · q 0 mit p0 , q 0 ungerade
(hier benutzen wir wieder den Fundamentalsatz der Arithmetik). Einsetzen in
p2 = 2q 2 liefert 2i = 2j + 1. Diese Zahl ist also sowohl gerade als auch ungerade.
Dies liefert einen Widerspruch. Die Annahme ist daher falsch und der Satz
gezeigt.
Im obigen Beweis steht der Satz “Wir dürfen annehmen, dass x ≥ 0 ist.” Ein
übliche Kurzform dieses Satzes ist “ o.B.d.A. ist x ≥ 0”, hierbei ist o.B.d.A. die
Abkürzung von “ohne Beschränkung der Allgemeinheit”. In unserem Beweis
bedeutet dies, dass wir keine Fallunterscheidung x ≥ 0 und x < 0 machen
müssen, sondern, dass es reicht der Fall x ≥ 0 zu betrachten. Im Beweis haben
wir begründet wieso dies reicht.
Wir geben noch einige weitere Möglichkeiten an, einen Beweis zu gestalten.
Beweis durch Beweis einer stärkeren Aussage. Manchmal ist es leichter,
eine stärkere Aussage zu zeigen, als die, die man eigentlich zeigen möchte. Seien
beispielsweise f, g : R → R zwei Funktionen von denen man zeigen möchte,
dass für alle x im Definitionsbereich f (x) + sin(x) ≤ g(x) gilt. Dann reicht es zu
zeigen, dass f (x) + 1 ≤ g(x), da sin(x) ≤ 1 ist. Die zweite Aussage ist meistens
einfacher zu zeigen.
Beweis einer Aussage der Form A ∧ B. Hier sollte man die beiden Aussagen
A und B einzeln zeigen.
Beweis einer Aussage der Form A ∨ B. Hier sollte man annehmen, dass eine
der beiden Aussagen (beispielsweise A) nicht gilt und zeigen, dass die andere
(hier also B) gilt. Ein Beispiel ist der Beweis von Satz 3.1.7.
Beweis einer Aussage der Form A ⇔ B. Hier zeigt man die beiden Aussagen:
(I) A ⇒ B,
22
KAPITEL 2. BEWEISMETHODEN
(II) B ⇒ A.
Möchte man zeigen, dass drei Aussagen A, B, C äquivalent sind, reicht es folgende drei Aussagen zu zeigen:
(I) A ⇒ B,
(II) B ⇒ C,
(III) C ⇒ A.
Hat man diese drei Aussagen gezeigt, folgen auch die anderen Richtungen. Beispielsweise folgt A ⇒ C aus der Verknüpfung von (I) und (II).
Es ist auch möglich eine andere Auswahl von Implikationen zu zeigen. Beispielsweise reicht es auch A ⇔ B und A ⇔ C zu zeigen. Ob die von Ihnen
gezeigten Aussagen ausreichen, zieht man am Einfachsten, wenn man die Implikationen grafisch darstellt. Hat man beispielsweise folgende Implikationen
gezeigt, folgt nicht, dass die Aussagen A, B, C äquivalent sind:
A
B
C
Denn die Implikation C ⇒ A wurde hier noch nicht gezeigt.
Ein grundlegendes Prinzip ist das Schubfachprinzip (Englisch: pigeonhole
principle). Es wurde erstmals von dem deutschen Mathematiker Dirichlet (1805
- 1859) formuliert. Dabei handelt es sich um die folgende ziemlich offensichtliche
Aussage.
Lemma 2.1.8 (Das Schubfachprinzip). Seien n, m ∈ N mit n > m. Verteilt
man n Objekte auf m Mengen, dann enthält mindestens eine der Mengen mehr
als ein Objekt.
Beweis. Wenn die m Mengen alle höchstens ein Element enthalten, gibt es
höchstens m Objekte. Dies widerspricht der Annahme m < n. Die Aussage
folgt.
Die folgende Aussage ist eine Anwendung des Schubfachprinzips.
Lemma 2.1.9. Seien N und M endliche Mengen und sei ϕ : M → N eine
Abbildung. Dann ist ϕ genau dann injektiv, wenn ϕ surjektiv ist.
Beweis. Übungsaufgabe
2.2. VOLLSTÄNDIGE INDUKTION
2.2
23
Vollständige Induktion
Vollständige Induktion ist eine Beweismethode, um Aussagen zu zeigen, die für
alle natürlichen Zahlen n wahr sein sollen. Beispiele solcher Aussagen sind:
(I) f (n) := n2 − n + 41 ist eine Primzahl für alle n ∈ N0 .
(II) 1 + 2 + · · · n = n(n + 1)/2 für alle n ∈ N.
Um eine solche Aussage zu zeigen, muss man für jedes n die Behauptung zeigen. Man kann dies für kleines n einfach nachrechnen, aber nicht für alle n.
Wenn die Aussage für kleines n gilt, bedeutet dies nicht, dass die Aussage auch
wirklich stimmt: Die erste Aussage stimmt beispielsweise für n = 0, 1, 2, . . . , 40,
aber nicht mehr für n = 41, da f (41) = 412 keine Primzahl ist. Das kleinste
Gegenbeispiel kann also recht groß sein.
Vollständige Induktion beruht auf der folgenden Eigenschaft der natürlichen
Zahlen.
Das Prinzip des kleinsten Kriminellen Sei S ⊂ N eine nicht-leere Teilmenge. Dann besitzt S ein kleinstes Element.
Wir wenden dieses Prinzip auf die obige Aussage (I) an und definieren S :=
{ n ∈ N | f (n) ist keine Primzahl } als die Menge der Zahlen n für die die Aussage (I) nicht gilt. Das Prinzip des kleinsten Kriminellen sagt, dass es eine
kleinste Zahl gibt für die die Aussage nicht gilt, diese Zahl ist also der “kleinste Kriminelle” oder auch das kleinste Gegenbeispiel. In unserem Fall ist dies
n = 41.
Allgemein sagt dieses Prinzip also Folgendes. Sei A(n) mit n ∈ N eine Familie
von Aussagen. Wenn Aussage A(n) nicht für alle n ∈ N gilt, dann gibt es eine
kleinste Zahl für die die Aussage nicht gilt. Hieraus leitet sich das Prinzip der
vollständigen Induktion ab. Bei vollständiger Induktion zeigt man, dass keine
kleinste Zahl n, für die eine Aussage A(n) falsch ist, existiert.
Vollständige Induktion. Sei (A(n))n∈N eine Familie von Aussagen. Wir nehmen an, dass folgendes gilt:
(IA) A(1) ist wahr. (Induktionsanfang)
(IS) Falls A(n) wahr ist, dann ist auch A(n + 1) wahr (Induktionsschritt).
Dann ist die Aussage A(n) für alle n wahr. (Induktionsschluss)
Wir überlegen uns, wieso das Prinzip der vollständigen Induktion aus dem der
kleinsten Kriminellen folgt. Sei dazu A(n) wie oben. Wir nehmen an, dass (IA)
und (IS) gelten. Sei S ⊂ N die Mengen der Zahlen für die A(n) nicht gilt. Wir
behaupten, dass S = ∅, also, dass A(n) für alle n wahr ist.
Wir nehmen an, dass S 6= ∅. Nach dem Prinzip des kleinsten Kriminellen
existiert ein kleinstes Element n ∈ S. Wegen (IA) ist n 6= 1. Also ist A(n) falsch
24
KAPITEL 2. BEWEISMETHODEN
und A(n − 1) wahr. Dies widerspricht (IS). Dies zeigt, dass A(n) für alle n wahr
ist.
Wir betrachten zunächst einen Beispielbeweis.
Lemma 2.2.1. Für alle n ∈ N gilt 2n > n.
Beweis. Sei A(n) die Aussage 2n > n.
(IA): Die Aussage A(1) ist wahr, da 21 = 2 > 1.
(IS): Wir nehmen an, dass die Aussage A(n) für ein beliebiges n wahr ist, also,
dass 2n > n ist. Diese Annahme heißt Induktionshypothese (IH). Es gilt
2n+1 = 2n · 2. Die Induktionshypothese zeigt also, dass
I.H.
2n+1 = 2n · 2 > n · 2 = n + n ≥ n + 1.
Bei der letzten Abschätzung haben wir benutzt, dass n ≥ 1 ist. Es gilt also die
Aussage A(n + 1).
Aus dem Prinzip der vollständigen Induktion folgt, dass die Aussage für alle
n ∈ N gilt.
Bemerkung 2.2.2. (a) Strukturieren Sie bitte Beweise mit Induktion immer so wie vorgegeben, vor allem am Anfang. Geben Sie insbesondere an,
wo Sie die Induktionshypothese benutzen. Wenn Sie im Induktionsschritt
die Induktionshypothese nicht benutzt haben, haben Sie bestimmt einen
Fehler gemacht.
(b) Es ist wichtig, dass wir in der Induktionshypothese nichts über n annehmen. Um die Schlußfolgerung zu ziehen, müssen wir nämlich den Induktionsschritt für alle n nacheinander anwenden.
Hier sind noch zwei weitere Beweise mit Induktion. Lemma 2.2.3 geht auf
Gauß zurück, der die Aussage für n = 100 im Alter von 7 Jahren gefunden hat
(siehe http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Gauss.html)
Lemma 2.2.3. Für alle n ∈ N gilt
1 + 2 + ··· + n =
n(n − 1)
.
2
Beweis. Sei S(n) die Aussage 1 + 2 + · · · + n = n(n+1)
.
2
(I.A.): Die Aussage S(1) ist offensichtlich wahr.
(I.S.): Wir nehmen an, dass S(n) für ein beliebiges n gilt. Es gilt
n(n + 1)
+ (n + 1)
2
hn
i (n + 1)(n + 2)
= (n + 1)
+1 =
.
2
2
I.H.
1 + 2 + · · · + n + (n + 1) =
2.2. VOLLSTÄNDIGE INDUKTION
25
Also gilt S(n + 1).
Aus dem Prinzip der vollständigen Induktion folgt, dass die Aussage für alle
n ∈ N gilt.
Die Aussage A(n),die man mit vollständigen Induktion zeigen möchte, muss
nicht immer für alle natürliche Zahlen gelten. Die Aussage im folgenden Satz
müssen wir nur für n ≥ 5 zeigen. Für n = 3, 4 stimmt die Aussage nicht. Wir
fangen daher mit dem Induktionsanfang bei n = 5 an. Im Beweis benutzen wir
diese Annahme: Für n = 3, 4 stimmt der Induktionsanfang nicht. Im Induktionsschritt (genauer in Lemma 2.2.5) benutzen wir n 6= 1, 2.
Satz 2.2.4. Für alle n ∈ N≥5 gilt:
2n > n2 .
Bevor wir den Beweis der Aussage geben, überlegen wir uns auf einem
Schmierzettel zunächst wieso die Aussage stimmt. Der Anfang ist ähnlich wie
im Beweis von Lemma 2.2.1. Sei A(n) die Aussage aus dem Satz. Wir nehmen
an, dass A(n) wahr ist. Es gilt:
I.H.
2n+1 = 2n · 2 > 2n2 .
Wir müssen zeigen, dass 2n2 > (n + 1)2 = n2 + 2n + 1. Wir ziehen an beiden
Seiten n2 ab und sehen, dass es reicht zu zeigen, dass n2 > 2n + 1 ist.
Wir beweisen zunächst diese Aussage mit Induktion. Einsetzen von kleinen
Werten zeigt, dass die Hilfsaussage auch für n = 3, 4 gilt.
Lemma 2.2.5. Für n ∈ N≥3 gilt, dass n2 ≥ 2n + 1.
Wir überlassen den Beweis von Lemma 2.2.5 als Übungsaufgabe und beweisen Satz 2.2.4.
Beweis von Satz 2.2.4. (I.A.) Für n = 5 gilt: 2n = 25 = 32 > 25 = n2 .
(I.S.) Wir nehmen an, dass die Aussage für ein beliebiges n ≥ 5 gilt. Dann
gilt:
I.H.
2n+1 = 2n · 2 > 2n2 = n2 + n2
2.2.5
≥ n2 + 2n + 1 = (n + 1)2 .
Aus dem Prinzip der vollständigen Induktion folgt, dass die Aussage für alle
n ∈ N≥5 gilt.
Zum Abschluß dieses Abschnittes beschreiben wir eine alternative Form der
vollständigen Induktion. Hier sagt die Induktionshypothese nicht nur, dass die
Aussage für ein beliebiges n gilt, sondern, dass die Aussage für alle m kleiner
gleich n gilt.
Zweite Form der vollständigen Induktion Sei (A(n))n∈N eine Familie von
Aussagen. Wir nehmen an, dass Folgendes gilt:
26
KAPITEL 2. BEWEISMETHODEN
(IA) A(1) ist wahr.
(IS) Ist A(m) für alle m ≤ n wahr, ist auch A(n + 1) wahr.
Dann ist die Aussage A(n) für alle n ∈ N wahr.
Als Anwendung zeigen wir die Existenz der Primfaktorzerlegung. Dies ist eine
shwache Form des Fundamentalsatzes der Arithmetik.
Theorem 2.2.6. Jede Zahl n ∈ N≥2 lässt sich als ein Produkt von Primzahlen
schreiben.
Beweis. Vorbemerkung: Für eine Primzahl n ist die Aussage trivial: Das
Produkt besteht nur aus einer Primzahl, nämlich der Zahl selber.
(I.A.): Die Aussage stimmt für n = 2, da 2 eine Primzahl ist.
(I.S.): Sei n ≥ 2 beliebig. Wir nehmen an, dass die Aussage für alle m ≤ n
stimmt. Wir zeigen die Aussage für n + 1. Wir unterscheiden zwei Fälle.
Fall I: Die Zahl n + 1 ist eine Primzahl. In diesem Fall stimmt die Aussage
nach der Vorbemerkung.
Fall II: Die Zahl n + 1 ist keine Primzahl. In diesem Fall existieren Zahlen
1 < m1 , m2 < n + 1 mit n + 1 = m1 · m2 . Dies folgt aus der Definition des
Begriffs Primzahl (siehe Appendix A.1). Die Induktionshypothese impliziert,
dass m1 und m2 ein Produkt von Primzahlen sind. Also ist auch n + 1 ein
Produkt von Primzahlen.
Aus dem Prinzip der vollständigen Induktion folgt, dass die Aussage für alle
n ∈ N gilt.
Bemerke, dass die erste Version der Induktion hier nicht weiterhilft, da kein
Bezug zwischen der Primfaktorzerlegung von n und von n + 1 besteht.
2.3
Binomialkoeffizienten
Als Anwendung der vollständigen Induktion definieren wir in diesem Abschnitt
die Binomialkoeffizienten. In den Beweisen der Eigenschaften benutzen wir immer wieder das Prinzip der vollständigen Induktion.
Es gilt
(1 + x)0 = 1,
(2.1)
(1 + x)1 = 1 + x,
(1 + x)2 = 1 + 2x + x2 ,
(1 + x)3 = 1 + 3x + 3x2 + x3 .
Hierbei ist x eine Variable. Die Koeffizienten in diesen Ausdrücken heißen Binomialkoeffizienten, da sie beim Ausmultiplizieren des Binoms (1 + x)n auftreten.
2.3. BINOMIALKOEFFIZIENTEN
27
Definition 2.3.1. Seien
k, n ∈ N0 Zahlen mit k ≤ n. Wir definieren den
Binomialkoeffizienten nk durch die Gleichung
n
(1 + x) =
n X
n
k=0
Man nennt
n
k
n
n
n n
x =
+
x + ··· +
x .
k
0
1
n
k
üblicherweise “n über k”.
Einige Werte überlegt man sich relativ leicht. Beispielsweise gilt:
n
n
n
n
(2.2)
=
= 1,
=
= n.
0
n
1
n−1
Unser erstes Ziel ist es, einen Ausdruck für den Binomialkoeffizienten zu
geben. Dazu benutzen wir folgendes Lemma. Die Aussage des Lemmas hängt
von zwei Parametern k, n ab. Wir beweisen die Aussage nicht mit Induktion
sondern direkt aus der Definition der Binomialkoefizienten.
Lemma 2.3.2. Für n ∈ N und 0 < k ≤ n gilt:
n+1
n
n
(2.3)
=
+
.
k
k−1
k
Beweis. Sei n ∈ N und 0 < k ≤ n. Wir schreiben
(1 + x)n+1 = (1 + x)n · (1 + x).
Der Binomialkoeffizient n+1
ist der Koeffizient von xk in (1 + x)n+1 . Der
k
Koeffizient von xk in der rechten Seite von (2.4) ist (der Koeffizient von xk in
(1 + x)n )· (der Koeffizient von 1 in (1 + x)) + (der Koeffizient von xk+1 in
(1 + x)n )· (der Koeffizient von x in (1 + x)). Wir finden
n+1
n
n
=
·1+
· 1.
k
k−1
k
(2.4)
Die Aussage folgt.
Die Aussage des Lemmas kann man mit Hilfe des Pascalschen Dreiecks visualisieren:
1
1
1
1
1
1
2
3
4
1
3
6
..
.
.
1
4
1
28
KAPITEL 2. BEWEISMETHODEN
Das Diagramm ist wie folgt aufgebaut: An den Außenseiten stehen Einsen. Jede weitere Zahl bekommt man, indem man die zwei schräg darüber stehenden
Zahlen zusammenzählt. Dies ist genau die Aussage von Lemma 2.3.2.
Das Dreieck wurde nach dem Französischen Mathematiker Blaise Pascal
(1623–1662) benannt, siehe
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Pascal.html. Das Pascalsche Dreieck war den chinesischen Mathematiker Chia Hsien, der im 11. Jahrhundert lebte, bekannt, siehe
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Jia Xian.html. Auf der
Wikipedia-Seite http://de.wikipedia.org/wiki/Yang Hui finden Sie die älteste
bekannte Abbildung des Pascalschen Dreiecks aus einem chinesischen MatheBuch aus dem Jahre 1261.
Definition 2.3.3. Sei n ∈ N0 . Wir definieren n! (ausgesprochen n Fakultät)
induktiv durch
0! = 1, (n + 1)! = (n + 1) · n!.
Die Definition 0! = 1 sorgt dafür, dass folgende Aussage auch für k = 0, n
gilt.
Satz 2.3.4. Für alle k, n ∈ N0 mit 0 ≤ k ≤ n gilt:
n
n!
.
=
k!(n − k)!
k
Beweis. Wir zeigen die Aussage mit Induktion nach n. Die Aussage A(n) ist
die Aussage, dass die Formel aus dem Satz für festes n und alle mögliche Werte
von k gilt.
(I.A.) Sei n = 0. Der einzige mögliche Wert für k ist k = 0. Die Aussage gilt
offensichtlich. (Hier benutzen wir 0! = 1.)
(I.S.) Wir nehmen an, dass die Aussage für eine beliebige Zahl n und alle
0 ≤ k ≤ n gilt. Wir müssen die Aussage für n + 1 und alle 0 ≤ k ≤ n + 1 zeigen.
Wir möchten Lemma 2.3.2 anwenden. Da dieses Lemma nur für 0 < k ≤ n gilt,
betrachten wir zunächst die Fälle k = 0 und k = n + 1 getrennt.
Fall I: k = 0, n + 1. Dieser Fall folgt aus (2.2).
Fall II: k 6= 0, n + 1.
Sei 0 < k < n + 1. Lemma 2.3.2 zeigt, dass
n+1
n
n
=
+
.
k
k−1
k
Wir wenden die Induktionshypothese auf die beiden Binomialkoeffizienten auf
2.3. BINOMIALKOEFFIZIENTEN
29
der rechten Seite an. Wir schließen, dass
n+1
n!
n!
=
+
(k − 1)!(n − k + 1)! k!(n − k)!
k
n!
1
1
=
+
(k − 1)!(n − k)! n − k + 1 k
n!
k+n−k+1
(n + 1)!
=
=
.
(k − 1)!(n − k)! k(n − k + 1)
k!(n + 1 − k)!
Dies zeigt die Aussage für n + 1 und 0 < k ≤ n.
Die Aussage des Satzes folgt mit Induktion.
Korrolar 2.3.5. Seien k, n ∈ N0 mit 0 ≤ k ≤ n. Sei X eine Menge mit n
Elementen.
Dann ist die Anzahl der Teilmengen Y ⊂ X mit k Elementen gleich
n
.
Insbesondere
ist nk ∈ N.
k
Beweis. Wir beweisen die Aussage mit Induktion nach n.
(I.A.): Die Aussage ist offensichtlich richtig für n = 0.
(I.S.): Wir nehmen an, dass die Aussage für n stimmt. Wir zeigen die Aussage
für n + 1: Zunächst bemerken wir, dass die Aussage für k = 0 und k = n + 1
richtig ist. Also dürfen wir o.B.d.A. annehmen, dass 0 < k < n + 1 ist.
Wir schreiben X = { x1 , x2 , . . . , xn+1 } und betrachten alle Teilmengen Y ⊂
X mit k Elementen. Es gibt nun zwei Fälle:
(I) xn+1 ∈
/ Y,
(II) xn+1 ∈ Y .
In Fall (I) ist Y ⊂ X 0 := X \ { xn+1 } = { x1 , x2 , . . . , xn }. Da |X 0 | = n,
können
wir die Induktionshypothese anwenden. Wir schließen, dass X genau
n
Teilmengen
Y mit |Y | = k und xn+1 ∈
/ Y besitzt.
k
In Fall (II) ist Y 0 := Y \ { xn+1 } ⊂ X 0 eine Teilmenge mit |Y 0 | = k − 1
n
und |X 0 | = n. Die Induktionshypothese impliziert also, dass X 0 genau k−1
n
solche Teilmengen besitzt. Wir schließen, dass X genau k−1
Teilmengen Y
mit |Y | = k und xn+1 ∈ Y besitzt.
Insgesamt besitzt X also
n+1
n
+
k
k−1
Teilmengen mit k Elementen. Die Aussage für n + 1 und 0 < k < n + 1 folgt
daher aus Lemma 2.3.2.
Das Korollar folgt mit Induktion.
30
KAPITEL 2. BEWEISMETHODEN
Kapitel 3
Äquivalenzrelationen
In diesem Kapitel besprechen wir Äquivalenzrelationen. Als Anwendung definieren wir Q und Z/mZ.
3.1
Definition
In der Mathematik möchten wir oft Objekte, die nicht gleich sind, als gleich
betrachten. In der Deutschen Sprache entspricht dies dem Unterschied zwischen
“dasselbe” und “ das Gleiche”. Wenn zwei Studierende beide ein Kopie des
Skriptes Lineare Algebra besitzen, dann besitzen sie das gleiche Skript, aber
nicht dasselbe Exemplar des Skriptes.
Ein weiteres Beispiel ist das Konzept von kongruenten Dreiecken. In manchen
Beweisen der ebenen Geometrie betrachtet man kongruente Dreiecke als gleich,
auch wenn es verschiedene Dreiecken sind.
Bevor wir definieren was eine Äquivalenzrelation ist, betrachten wir zunächst
den allgemeineren Begriff Relation.
Definition 3.1.1. Seien X und Y Mengen. Eine Teilmenge R ⊂ X × Y heißt
Relation.
Eine Relation stellt eine Beziehung zwischen Elementen von X und Y her.
Ist X = Y , nennen wir R eine Relation auf X.
Beispiel 3.1.2. (a) Sei f : X → Y eine Funktion. Der Graph Γf = { (x, y) ∈ X × Y | y = f (x) }
von f definiert eine Relation.
(b) Das Symbol ≤ definiert eine Relation auf R, nämlich
R = (x, y) ∈ R2 x ≤ y .
Definition 3.1.3. Eine Relation R ⊂ M × M heißt Äquivalenzrelation, wenn
folgende drei Bedingungen erfüllt sind:
(Ä1) ∀x ∈ M
(x, x) ∈ R (Reflexivität),
31
32
KAPITEL 3. ÄQUIVALENZRELATIONEN
(Ä2) (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R (Symmetrie),
(Ä3) (x, y), (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R (Transitivität).
Ist R eine Äquivalenzrelation, schreiben wir x ∼ y anstatt (x, y) ∈ R (ausgesprochen: x ist äquivalent zu y).
Beispiel 3.1.4. (a) Die Relation ≤ aus Beispiel 3.1.2.(b) ist keine Äquivalenzrelation: Die Relation ist reflexiv und transitiv, aber nicht symmetrisch.
Die Relation ≤ ist antisymmetrisch. Dies bedeutet, dass aus (x, y) ∈ R
und (y, x) ∈ R folgt, dass x = y ist.
Für die Relation ≤ gilt sogar folgende stärkere Eigenschaft: Ist x 6= y dann
gilt immer entweder x ≤ y oder y ≤ x.
(b) Sei f : X → Y eine Funktion. Wir definieren eine Äquivalenzrelation auf
X durch x ∼ x0 genau dann, wenn f (x) = f (x0 ). Überprüfen Sie, dass dies
in der Tat eine Äquivalenzrelation ist.
(c) Sei L ⊂ R2 eine Gerade durch dem Ursprung (0, 0). Dann ist L ein Untervektorraum von R2 .
Wir definieren eine Relation auf R2 durch v ∼ w genau dann, wenn v−w ∈
L. Wir zeigen, dass dies eine Äquivalenzrelation ist. Hierbei benutzen wir,
dass L ⊂ R2 ein Untervektorraum ist.
• v − v = (0, 0) ∈ L für alle v ∈ R2 , also ist ∼ reflexiv.
• Sei v ∼ w, also v − w ∈ L. Dann ist w − v = −(v − w) auch in L,
also w ∼ v. Dies zeigt, dass ∼ symmetrisch ist.
• Sei v ∼ w und w ∼ u, also v − w ∈ L und w − u ∈ L. Dann ist auch
v − u = (v − w) + (w − u) ∈ L, also v ∼ u. Dies zeigt, dass ∼ transitiv
ist.
Definition 3.1.5. Sei ∼ eine Äquivalenzrelation auf einer Menge M und sei
a ∈ M . Die Äquivalenzklasse Ca von a ist die Menge aller Elemente b ∈ M mit
b ∼ a. Wir schreiben M/ ∼ für die Menge der Äquivalenzklassen.
Beispiel 3.1.6. (a) Wir betrachten die Äquivalenzrelation aus Beispiel 3.1.4.(b).
Sei x ∈ X und y = f (x). Die Äquivalenzklasse von x ist das Urbild f −1 (y)
von y. Die Menge X/ ∼ der Äquivalenzklassen kann man mit dem Bild
f (X) identifizieren.
(b) Die Äquivalenzklassen der Äquivalenzrelation aus Beispiel 3.1.4.(c) sind
die Geraden in R2 parallel zu L. Man kann zeigen, dass die Menge der
Äquivalenzklassen wieder ein Vektorraum ist. Man nennt diesen Vektorraum den Quotientenvektorraum (Bezeichnung: R2 /L).
Wir sehen, dass in beiden Fällen aus obigem Beispiel die Menge eine disjunkte Vereinigung der Äquivalenzklassen ist. Der folgende Satz zeigt dies für
beliebige Äquivalenzrelationen.
3.2. DIE GANZEN UND RATIONALEN ZAHLEN
33
Satz 3.1.7. Sei ∼ eine Äquivalenzrelation. Zwei Äquivalenzklassen sind entweder gleich oder disjunkt.
Beweis. Seien Ca und Cb zwei Äquivalenzklassen. Wir nehmen an, dass Ca und
Cb nicht disjunkt sind. Wir müssen zeigen, dass Ca = Cb (siehe die Diskussion
zum Beweis einer Aussage der Form A ∨ B in Abschnitt 2.1).
Da Ca ∩ Cb 6= ∅, existiert ein Element c ∈ Ca ∩ Cb . Also gilt c ∼ a und c ∼ b.
Aus der Symmetrie der Äquivalenzrelation folgt auch a ∼ c.
Behauptung I: Ca ⊂ Cb . Sei d ∈ Ca , also d ∼ a. Aus der Transitivität und der
Tatsache a ∼ c folgt, dass auch d ∼ c. Mit c ∼ b folgt jetzt d ∼ b, also d ∈ Cb .
Dies zeigt die Behauptung.
Behauptung II: Cb ⊂ Ca . Diese Behauptung folgt ähnlich (vertausche a und
b im Beweis von Behauptung I).
Behauptungen I+II zusammen zeigen, dass Ca = Cb und damit folgt der
Satz.
3.2
Die ganzen und rationalen Zahlen
Wir konstruieren die ganzen und rationalen Zahlen aus den natürlichen Zahlen
N = { 1, 2, 3, . . . }. Wir benutzen dabei die Ergebnisse von Abschnitt 3.1 und
geben so weitere Beispiele von Äquivalenzrelationen. Die Konstruktion erläutert
wie man in der Mathematik aus bekannten Objekten Neuen konstruieren kann.
Die Konstruktion sieht vielleicht kompliziert aus, liefert aber die “gleichen”
Zahlen wie aus der Schule bekannt.
Konstruktion der ganzen Zahlen
Um die Ganzen aus den natürlichen Zahlen zu konstruieren, bemerken wir, dass
wir zwei natürliche Zahlen zwar immer addieren aber im Allgemeinen nicht
subtrahieren können. Wir möchten die natürlichen Zahlen daher so erweitern,
dass die Subtraktion immer möglich ist. Dazu betrachten wir die Differenz zweier
natürlicher Zahlen.
Wir definieren eine Äquivalenzrelation ∼Z auf der Menge N × N durch
(a, b) ∼ (c, d) ⇔ a + d = b + c.
Man überprüft leicht, dass dies in der Tat eine Äquivalenzrelation ist.
Zwei Paare (a, b) und (c, d) natürlicher Zahlen sind genau dann äquivalent,
wenn a − b = c − d. Insbesondere ist (a, b) zu allen Paaren (a + x, b + x) für
x ∈ N äquivalent. Die Äquivalenzklasse C(a,b) eines Paares (a, b) kann man also
mit der Differenz a − b identifizieren.
Wir schreiben N2 / ∼Z für die Menge der Äquivalenzklassen. Wir identifizieren die Elemente dieser Menge mit den uns bekannten ganzen Zahlen durch die
Zuordnung
ψ : Z → N2 / ∼Z , x 7→ C(x+y,y) .
34
KAPITEL 3. ÄQUIVALENZRELATIONEN
Hierbei ist y eine natürliche Zahl, sodass x + y > 0 ist. Bemerke, dass die
Äquivalenzklasse C(x+y,y) nicht von der Wahl von y abhängt, da (x + y, y) ∼
(x + y 0 , y 0 ).
Die Abbildung ψ ist offensichtlich eine Bijektion (die Umkehrabbildung schickt
C(a,b) auf der ganzen Zahl a − b).
Die bekannten Strukturen +, −, ·, < auf Z kann man auch in Termen dieser
Definition einführen. Beispielsweise ist die Subtraktion zweier Äquivalenzklassen
definiert als
C(a,b) − C(c,d) = C(a−c,b−d) .
Da (a−b)−(c−d) = (a−c)−(b−d) entspricht dies der üblichen Subtraktion auf
Z. Wir sehen, dass die Äquivalenzklasse von (a, b) also in der Tat der Differenz
der ganzen Zahlen a und b entspricht.
Wir verzichten hier auf die Diskussion der anderen Operationen.
Konstruktion der rationalen Zahlen
Wir konstruieren die rationalen Zahlen aus den ganzen Zahlen. Wir möchten
die ganzen Zahlen so erweitern, dass man durch jede ganze Zahl b 6= 0 teilen
kann.
Sei M = (a, b) ∈ Z2 b 6= 0 . Wir definieren eine Äquivalenzrelation auf
M , sodass die Äquivalenzklasse des Paares (a, b) der Zahl ab entspricht. Die
Definition der Äquivalenzrelation ist motiviert durch die Beobachtung, dass zwei
Brüche ab und dc genau dann die gleiche rationale Zahl definieren, wenn ad = bc.
Dies sieht man am Einfachsten, indem man die Differenz auf einen Hauptnenner
bringt:
a
c
ad − bc
− =
.
b
d
bd
Wir definieren die gesuchte Äquivalenzrelation ∼Q auf M durch
(a, b) ∼Q (c, d) ⇔ ad = bc.
Dies ist in der Tat eine Äquivalenzrelation: Die Reflexivität und Symmetrie sind
offensichtlich. Nehmen wir an, dass (a, b) ∼Q (c, d) und (c, d) ∼Q (e, f ). Dies
bedeutet, dass ad = bc und cf = de. Außerdem sind b, d, f ungleich Null. Es
folgt, dass
adf = bcf = bde.
Wegen der Kommutativität der Multiplikation folgt
d(af − bc) = 0.
Nach Annahme ist d 6= 0. Hieraus folgt, dass af = bc, also (a, b) ∼Q (e, f ). Also
ist ∼Q transitiv.
Der rationalen Zahl ab ∈ Q entspricht die Äquivalenzklasse des Paares (a, b).
Wir bemerken, dass jede Äquivalenzklasse x ∈ Q einen eindeutigen Repräsentanten (a, b) mit a ∈ Z und b ∈ N und ggT(a, b) = 1 enthält.
3.3. KONGRUENZEN
3.3
35
Kongruenzen
In diesem Abschnitt besprechen wir die Äquivalenzrelation der Kongruenz modulo m. Diese Kongruenzen spielen in der Zahlentheorie eine wichtige Rolle.
Definition 3.3.1. Sei m ∈ N. Zwei Zahlen a, b ∈ Z heißen kongruent modulo
m, wenn m | (a − b). Bezeichnung: a ≡ b (mod m). Die Zahl m heißt Modul der
Kongruenz.
Die Bedingung m | (a − b) bedeutet, dass eine ganze Zahl k mit a = b + km
existiert. Dies ist äquivalent zu der Aussage, dass a und b den gleichen Rest
nach Division durch m haben. Beispielsweise ist 200 ≡ 11 (mod 9), da 200 =
11 + 9 · 21. Alternativ haben 200 und 11 beide den Rest 2 nach Division durch
9.
Lemma 3.3.2. Kongruenz modulo m ist eine Äquivalenzrelation.
Beweis. Übungsaufgabe.
Definition 3.3.3. Wir bezeichnen mit Z/mZ die Mengen der Äquivalenzklassen
der Kongruenz modulo m. Diese Äquivalenzklassen nennen wir Kongruenzklassen. Wenn m aus dem Kontext klar ist, schreiben wir oft ā für die Kongruenzklasse von a.
Jede Zahl a ∈ Z ist kongruent modulo m zu ihrem Rest r nach Division
durch m. Der Rest erfüllt 0 ≤ r < m (Appendix A.1). Zwei verschiedene Zahlen
r1 , r2 aus der Menge { 0, 1, . . . , m − 1 } sind zu einander nicht kongruent modulo
m. Dies zeigt, dass
Z/mZ = 0, 1, . . . , m − 1 .
Insbesondere ist die Kardinalität von Z/mZ genau m.
Eine Menge von Zahlen a0 , . . . , am−1 , sodass jede ganze Zahl kongruent (modulo m) zu genau einer dieser Zahlen ist, heißt vollständiges Restsystem (mod
m). Die Zahlen 0, 1, . . . , m − 1 bilden also ein vollständiges Restsystem (mod
m).
Beispiel 3.3.4. Sei m = 4. Es gilt
0 = { . . . , −8, −4, 0, 4, . . . } ,
1 = { . . . , −7, −3, 1, 5, . . . }
2 = { . . . , −6, −2, 2, 6, . . . }
3 = { . . . , −5, −1, 3, 7, . . . } .
Wir bemerken, dass −2, −1, 0, 1 auch ein vollständiges Restsystem (mod 4) ist.
Addition (bzw. Multiplikation) ganzer Zahlen definiert auch eine Addition
(bzw. Multiplikation) auf Z/mZ durch
¯ b,
ā + b̄ := a +
¯
ā · b̄ := ab.
36
KAPITEL 3. ÄQUIVALENZRELATIONEN
Wir zeigen, dass die Addition und Multiplikation (modulo m) wohldefiniert sind. Dies bedeutet, dass die Addition und Multiplikation nicht von den
gewählten Repräsentanten der Kongruenzklassen abhängen.
Seien a ≡ a0 (mod m) und b ≡ b0 (mod m). Dann existieren Zahlen k, `,
sodass
a0 = a + km, b0 = b + `m.
Also ist
a0 + b0 = (a + b) + (k + `)m ≡ a + b (mod m),
a0 · b0 = (a + km)(b + `m) = ab + (a` + bk + k`)m ≡ ab (mod m).
Dies zeigt, dass a + b und a0 + b0 (bzw. ab und a0 b0 ) die gleiche Kongruenzklasse
(mod m) definieren.
Das folgende Lemma gibt eine Anwendung der Modulorechnung. Dazu betrachten wir die Darstellung einer natürlichen Zahl n im Dezimalsystem mit
Ziffern ai ∈ { 0, 1, . . . , 9 } als
n = (ak ak−1 · · · a2 a1 a0 )10
= ak · 10k + ak−1 · 10k−1 + · · · + a2 · 102 + a1 · 10 + a0 .
Lemma 3.3.5 (Dreierregel). Die Zahl n = (ak ak−1 · · · a2 a1 a0 )10 ist genau dann
durch 3 teilbar, wenn die Quersumme
Q(n) :=
k
X
ai ≡ 0
(mod 3)
i=0
ist.
Beweis. Wir bemerken, dass 10 ≡ 1 (mod 3). Daher ist
n = ak · 10k + ak−1 · 10k−1 + · · · + a2 · 102 + a1 · 10 + a0
≡ ak · 1k + ak−1 · 1k−1 + · · · + a2 · 12 + a1 · 1 + a0 = Q(n)
(mod 3).
Dies impliziert, dass n genau dann durch 3 teilbar ist, wenn Q(n) durch drei
teilbar ist.
Kapitel 4
Grenzwerte und die
Definition der reellen
Zahlen
In diesem Kapitel definieren wir die reellen Zahlen ausgehend von den rationalen
Zahlen. Wir besprechen diese Definition relativ ausführlich um zu illustrieren
wie die Konzepte der Mathematik systematisch aufgebaut werden. Wir werden
sehen, dass dies ziemlich mühsam ist. Wenn wir im Studium alle Grundlagen der
Mathematik systematisch einführen würden, würde man nicht besonders weit
kommen. Außerdem wäre das Studium dann relativ langweilig. √
In der Schule haben Sie gelernt mit nichtrationalen Zahlen wie 2 und π zu
rechnen. Historisch gesehen sind diese Zahlen weniger selbstverständlich, als Sie
vielleicht denken. In
√ der klassischen griechischen Mathematik verursachte die
Entdeckung, dass 2 keine rationale Zahl ist (Satz 2.1.7), große Verwirrung.
Hier finden Sie mehr zur Geschichte der reellen Zahlen:
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Real numbers 1.html.
Die moderne Definition der reellen Zahlen beruht auf dem Begriff des Grenzwerts: Reelle Zahlen werden definiert als Grenzwerte von Folgen rationaler Zahlen. In diesem Kapitel befassen wir uns daher zunächst mit Grenzwerten. Im
ersten Abschnitt betrachten wir die historische Definition des Grenzwerts.
4.1
Berechnung von Quadratwurzeln
√
Wir haben gesehen, dass 2 eine irrationale Zahl ist (Satz 2.1.7). Für konkrete Berechnungen ist es hilfreich, diese Zahl durch eine geeignete rationale Zahl
anzunähern. In diesem Abschnitt besprechen wir das Heron-Verfahren zur Berechnung von Näherungswerten von Quadratwurzeln. Dieses Verfahren ist nach
dem Mathematiker Heron (Alexandrien, Ägypten, ∼ 10 - 75) benannt (siehe
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Heron.html).
37
38KAPITEL 4. GRENZWERTE UND DIE DEFINITION DER REELLEN ZAHLEN
Die Methode war babylonischen Mathematiker schon etwa 2000 vor Christus bekannt. Diese Methode ist im Wesentlichen ein Spezialfall der NewtonMethode, die in der Numerik besprochen wird. Die Methode wird heute immer
noch benutzt, obwohl sie schon 4000 Jahren alt ist!
Sei a ∈ Q>0 die Zahl, von der wir die Quadratswurzel näherungsweise bestimmen möchten. Wir fangen an mit irgendeinem Näherungswert x0 6= 0 der
gesuchten Quadratwurzel. Heron betrachtete a ∈ N und wählte die kleinste
Quadratzahl größer gleich a. Die Methode funktioniert aber für beliebige Startwerte.
√
Wir definieren induktiv Näherungen für a durch der Vorschrift
1
a
a + x2n
xn +
(4.1)
xn+1 =
=
.
2
xn
2xn
Wir schreiben (xn )n≥0 für die Folge der Näherungen.
Als
√ Beispiel wählen wir a = 2 und Startwert x0 = 1. Die ersten Näherungen
für 2 sind
1
2
3
x1 =
1+
= ,
2
1
2
2
17
1 3
+
=
= 1, 4166 . . .
x2 =
2 2 3/2
12
1 17
2
577
+
=
= 1, 4142156 . . .
x3 =
2 12 17/12
408
√
Da 2 = 1, 41421356 . . . ist, sehen wir, dass schon nach der zweiten Iteration
des Verfahrens die ersten drei Stellen richtig sind. Nach der dritten Iteration sind
sogar die ersten 6 Stellen richtig. In der Praxis funktioniert dieses Verfahren
immer sehr schnell (man kann hier eine genaue Aussage zeigen, aber darauf
verzichten wir in dieser Vorlesung).
Wir erklären
√ die Idee hinter die Methode. Einfachheitshalber nehmen wir an,
dass 1 ≤ x0 < a =: b ist. Dann ist b2 = a der Flächeninhalt eines Quadrats Qa
mit Seitenlänge b. Das Rechteck R0 mit Seitenlängen x0 und a/x0 hat ebenfalls
Flächeninhalt a. Unsere Annahme impliziert, dass x0 < a/x0 . Dieses Rechteck
ist unsere erste Näherung des Quadrats Qa .
Um eine bessere Näherung zu bekommen, ersetzen wir x0 durch den Mittelwert
1
a
x1 =
x0 +
2
x0
der Seitenlängen. Wir bemerken, dass
1 ≤ x0 <
√
a
a
< b = a < x1 <
.
x1
x0
Im konkreten Fall ist dies klar. Im allgemeinem Fall folgt dies aus der Annahme
1 ≤ x0 ≤ b.
4.1. BERECHNUNG VON QUADRATWURZELN
39
a
x0
R0
a
x1
R1
x0
x1
Abbildung 4.1: Das Heron-Verfahren
Das Rechteck R1 mit Seitenlängen x1 und a/x1 ist eine bessere Näherung für
das Quadrat Qa (siehe Abbildung 4.1). Ebenso ist x1 eine bessere Näherung für
die Quadratwurzel b als x0 . Wiederholt man das Verfahren, wird die Näherung
immer besser.
Die obige Betrachtung erläutert die Idee hinter dem Heron-Verfahren. So
ähnlich könnte Heron es sich auch überlegt haben. Die mathematische Aussage,
die man zeigen möchte ist: die Folge (xn )n∈N0 konvergiert zum Grenzwert b.
Dies bedeutet nicht nur, dass unsere Näherungen immer besser werden, sondern
auch, dass mann jede erwünschte Genauigkeit erreicht, wenn man das Verfahren
oft genug wiederholt. Das ist nicht das Gleiche, als zu sagen, dass die erhaltene
Näherung immer besser wird. Auch wenn die Näherung immer besser wird,
könnte es sein, dass der Zuwachs an Genauigkeit irgendwann so klein ist, dass
egal wie lange man rechnet, nie wieder eine neue Nachkommastelle richtig wird.
Bei dem Heron-Verfahen ist dies nicht der Fall. Man kann zeigen, dass sich die
Anzahl der Stellen, die schon richtig sind, in jedem Schritt verdoppelt. In der
Numerik nennt man dies quadratische Konvergenz.
Wir zitieren nun die Beschreibung des Verfahrens durch Heron (zitiert nach
der Mactutor-Webseite ([3]):
Since 720 has not its side rational, we can obtain its side within a
very small difference as follows. Since the next succeeding square
number is 729, which has 27 for its side, divide 720 by 27. This gives
26 2/3. Add 27 to this, making 53 2/3, and take half this or 26 5/6.
The side of 720 will therefore be very nearly 26 5/6. In fact, if we
multiply 26 5/6 by itself, the product is 720 1/36, so the difference
in the square is 1/36. If we desire to make the difference smaller still
than 1/36, we shall take 720 1/36 instead of 729 (or rather we should
take 26 5/6 instead of 27), and by proceeding in the same way we
shall find the resulting difference much less than 1/36.
40KAPITEL 4. GRENZWERTE UND DIE DEFINITION DER REELLEN ZAHLEN
√
Heron berechnet hier eine Näherung für 720. Er identifiziert diese Zahl
mit dem Quadrat Q720 mit Flächeninhalt 720. Anstatt die Formel (4.1) zu geben, beschreibt Heron die Rechenschritte (Variablen und das Gleichheitszeichen
waren in Herons Zeit noch nicht erfunden).
Heron macht zwar keine genaue Aussage darüber, √
um wie viel die Näherung
in jedem Schritt besser wird, aber er bemerkt, dass | a − xi | in jedem Schritt
“viel besser” wird. Er war sich diesem zentralen Punkt also sehr wohl bewußt.
4.2
Definition des Grenzwerts
Im diesem Abschnitt geben wir eine genaue Definition der Folgenkonvergenz.
Definition 4.2.1. Eine (reelle) Folge ist eine Abbildung N → R, n 7→ xn .
Bezeichnung: (xn )n∈N .
Beispiel 4.2.2. Wir betrachten die Folge definiert durch
n
1
(4.2)
an = 1 +
.
n
Beispielsweise ist
a1 = 2,
a2 = 2, 25,
a10 = 2, 5937·,
a100 = 2, 7048 · · · ,
a1000 = 2, 7169 · · · .
Man kann zeigen, dass diese Folge konvergiert. Die eulersche Zahl e ist definiert
als der Grenzwert der Folge (siehe Definition 4.2.3 für die genaue Definition des
Grenzwerts). Obige Werte zeigen, dass sich die ai der eulerschen Zahl nur sehr
langsam annähern.
Folgende Definition formalisiert die intuitive Idee, dass die Glieder xn einer
Folge sich dem Grenzwert b immer besser annähern. Hier finden Sie ein Lied zur
Definition:
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Extras/Lehrer Songs.html
Definition 4.2.3. Eine Folge (xn )n∈N heißt konvergent mit Grenzwert b falls
(4.3)
∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n ≥ N |xn − b| < ε.
Bezeichnung: limn→∞ xn = b oder auch xn → b für n → ∞.
Die Menge Bε (b) := { x ∈ R k x − b| < ε } = (b − ε, b + ε) ist ein Intervall
um b. Dieses Intervall ist nicht-leer, wenn ε wie in Definition 4.2.3 echt größer
Null ist. Falls ε sehr klein ist, bedeutet xn ∈ Bε (b) also, dass xn eine sehr
4.2. DEFINITION DES GRENZWERTS
41
gute Näherung von b ist. Definition 4.2.3 sagt daher, dass wir für alle ε > 0,
also insbesondere für sehr kleine Werte, ein N finden, sodass alle xn mit n ≥
N sehr gute Näherungen von b sind. Nicht nur ist xN eine gute Näherung,
sondern für alle größeren Werte n wird die Näherung xn nicht mehr wesentlich
schlechter. Diese Eigenschaft gilt für beliebig kleine ε > 0. Dies bedeutet, dass
die Folgeglieder den Wert b beliebig gut annähern.
Es ist wichtig die Reihenfolge der Quantoren in der Definition zu beachten.
Der Wert N aus (4.3) wird in Abhängigkeit von ε gewählt. Manchmal schreiben
wir daher auch N = N (ε) um die Abhängigkeit von ε zu betonen. Im Allgemeinen muss man N um so größer wählen, um so kleiner ε ist.
Wir betrachten die Aussage
∃N ∈ N ∀ε > 0 ∀n ≥ N
|xn − b| < ε.
Wir haben hier die Reihenfolge der Quantoren aus (4.3) geändert. Diese Aussage
bedeutet, dass die Folge ab dem Wert N konstant ist, d. h. xn = b, ∀n ≥ N . Dies
sieht man wie folgt. Für n ≥ N gilt die Ungleichung |xn − b| < ε für alle ε > 0.
Dies bedeutet aber, dass xn in der Schnittmenge der Intervalle (b − ε, b + ε)
liegt. Diese Schnittmenge enthält nur b, also ist xn = b.
Beispiel 4.2.4. (a) Wir definieren eine Folge an = 1/n für n ∈ N. Diese
Folge konvergiert gegen a = 0. Wir zeigen dies mit Hilfe von Definition
4.2.3. Wir müssen uns überlegen, wie wir N in Abhängigkeit von ε wählen
sollen. Dazu betrachten wir zunächst folgende Hilfsrechnung:
1
− 0 = 1 < ε ⇔ n > 1 .
n
n
ε
Damit also |an − a| < ε ist, soll n größer als 1/ε sein. Wir wählen daher
1
+ 1.
N=
ε
Hierbei ist [·] die Gauß-Klammer, siehe Appendix A.2. Selbstverständlich
könnte man N auch noch größer wählen.
Jetzt schreiben wir den Beweis so auf, wie Sie dies auf dem Übungsblatt
machen sollten.
Sei ε > 0 beliebig. Wähle N = [ 1ε ] + 1. Dann gilt für alle n ≥ N , dass
1
− 0 = 1 ≤ 1 < ε.
n
n
N
Also konvergiert die Folge (an )n∈N mit Grenzwert 0.
(b) Wir betrachten nun die Folge definiert durch bn = (−1)n für alle n ∈
N. Wir möchten mit Hilfe von Definition 4.2.3 zeigen, dass diese Folge
nicht konvergiert. Wir sagen die Folge divergiert. Wir möchten also zeigen,
42KAPITEL 4. GRENZWERTE UND DIE DEFINITION DER REELLEN ZAHLEN
dass keine Zahl b existiert, sodass die Folge konvergiert mit Grenzwert b.
Überlegen Sie sich, dass wir folgende Aussage zeigen müssen (vergleichen
Sie mit Lemma 1.2.3):
∀b ∈ R ∃ε > 0 ∀N ∈ N ∃n ≥ N
|an − b| ≥ ε.
Sei b ∈ R beliebig. Wir nehmen zuerst an, dass b 6= 1. Dann ist |a2m − b| =
|1 − b| =
6 0. Wähle ε = |1 − b|/2. Für beliebiges N ∈ N existiert ein gerader
Index n = 2m > N . Für ein solches n gilt also |an − b| = |1 − b| > ε.
Der Beweis für b = 1 ist ähnlich, aber dieses Mal betrachten wir die
Folgeglieder a2m+1 = −1.
(c) Wir betrachten die Folge cn = 1 − 10−n = 0, 9 · · · , 9 (die Zahl cn enthält
n − 1 Nachkommastellen). Wir zeigen, dass die Folge (cn )n≥2 konvergent
mit Grenzwert 1 ist.
Sei ε > 0 beliebig. Wähle N = [max(0, − log10 (ε))] + 1. Es gilt also, das
N eine natürliche Zahl mit N > − log10 (ε) ist. Für alle n ≥ N gilt daher,
dass
|cn − 1| = 10−n ≤ 10−N < 10log10 (ε) = ε.
Hier haben wir benutzt, dass −N < log10 (ε) ist.
In der Vorlesung Analysis I werden Sie verschiedene Kriterien lernen, um
die Konvergenz einer Folge zu überprüfen und Rechenregeln um Grenzwerte
konvergenter Folgen zu bestimmen. Das folgende Lemma gibt eine erste solche
Rechenregel.
Lemma 4.2.5. Seien (an )n∈N und (bn )n∈N konvergente Folgen mit
lim = a,
n→∞
lim bn = b.
n→∞
Dann sind die Folgen (an ± bn )n und (an · bn )n auch konvergent mit Grenzwert
a ± b und a · b.
Beweis. Wir beweisen die Aussage für (an − bn ) und überlassen die anderen
Teile als Übungsaufgabe.
Wir bemerken, dass
|(an − bn ) − (a − b)| = |(an − a) − (bn − b)| ≤ |an − a| + |bn − b|
aufgrund der Dreiecksungleichung (Appendix A.2).
Sei ε > 0 beliebig. Definition 4.2.3 impliziert, dass Zahlen N1 , N2 existieren
mit
ε
∀n ≥ N1 |an − a| < ,
2
ε
∀n ≥ N2 |bn − b| < .
2
Wir wählen N = max(N1 , N2 ). Dann gilt für n ≥ N , dass
ε ε
|(an − bn ) − (a − b)| ≤ |an − a| + |bn − b| < + = ε.
2 2
Also ist (an − bn )n konvergent mit Grenzwert a − b.
4.3. CAUCHY-FOLGEN
4.3
43
Cauchy-Folgen
Um Definition 4.2.3 anwenden zu können, ist es notwendig, den Grenzwert der
Folge zu kennen. Dies ist nicht immer praktikabel. Beispielsweise definieren wir
die Eulersche Zahl e als Grenzwert der Folge (4.2). Wir können e also nicht im
Beweis der Konvergenz der Folge benutzen. In diesem Abschnitt besprechen wir
ein alternatives Kriterium zur Überprüfung der Konvergenz einer Folge, das den
Grenzwert nicht benutzt.
Definition 4.3.1. Eine (reelle) Folge (an )n∈N heißt Cauchy–Folge, wenn
∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n ≥ N ∀p ∈ N |an+p − an | < ε.
In Definition 4.3.1 vergleichen wir an mit allen folgenden Folgegliedern an+p
anstatt mit dem Grenzwert, wie wir es in Definition 4.2.3 taten. In einer CauchyFolge nähern sich die Folgeglieder gegenseitig beliebig gut an.
Der folgende Satz zeigt, dass jede konvergente Folge auch eine Cauchy–Folge
ist. Die Umkehrung gilt in R auch. Der Beweis der Umkehrung benutzt die Definition der reellen Zahlen, die wir im Abschnitt 4.4 diskutieren (siehe Satz 4.5.5).
Mehr Details werden nächstes Semester in der Vorlesung Analysis I besprochen.
Satz 4.3.2. Sei (an )n∈N eine konvergente Folge. Dann ist (an )n∈N eine Cauchy–
Folge.
Wir beweisen zuerst ein Lemma, dass im Beweis von Satz 4.3.2 benutzt wird.
Definition 4.3.3. Eine Folge (an )n∈N heißt beschränkt, wenn C ∈ R mit |an | ≤
C existiert.
Die Bedingung aus Definition 4.3.3 bedeutet, dass die an im Intervall [−C, C]
liegen und daher nicht beliebig groß oder beliebig klein werden, wenn n gegen
unendlich strebt. Die Zahl C (bzw. −C) heißt obere (bzw. untere) Schranke der
Folge.
Lemma 4.3.4. Jede konvergente Folge ist beschränkt.
Beweis. Sei (an )n∈N eine konvergente Folge mit Grenzwert a. Sei ε = 1. Die
Konvergenz der Folge impliziert die Existenz einer Zahl N mit |an − a| < ε = 1
für alle n ≥ N . Für n ≥ N gilt also −1 + a < an < 1 + a. Dies zeigt, dass
(4.4)
∀n ≥ N |an | ≤ max { | a − 1|, |a + 1| } .
Die Menge M := { | a1 |, . . . , |aN −1 | } ist endlich und besitzt deswegen ein
größtes Element. Sei |aj | das Maximum von M . Insbesondere gilt
(4.5)
|ai | ≤ |aj |
für i = 1, . . . , N − 1.
Wir definieren C = max { | a − 1|, |a + 1|, |aj | }. Die Gleichungen (4.4) und
(4.5) implizieren, dass
∀n ∈ N |an | ≤ C.
Die Folge ist also beschränkt.
44KAPITEL 4. GRENZWERTE UND DIE DEFINITION DER REELLEN ZAHLEN
Lemma 4.3.4 zeigt, dass Beschränktheit eine notwendige Bedingung für die
Konvergenz ist. Beispielsweise ist die Folge (n)n∈N nicht beschränkt und daher
auch nicht konvergent (der Grenzwert in Definition 4.2.3 ist eine reelle Zahl, ∞
ist hier als Grenzwert nicht erlaubt).
Beschränktheit ist nicht hinreichend für Konvergenz. Beispielsweise ist die
Folge ((−1)n )n∈N beschränkt, aber nicht konvergent (Beispiel 4.2.4.(b)).
Wir zeigen nun Satz 4.3.2.
Beweis von Satz 4.3.2. Sei (an )n eine konvergente Folge mit Grenzwert a
und sei ε > 0 beliebig. Da die Folge konvergent ist, existiert ein N > 0, sodass
∀n ∈ N
|an − a| <
ε
2
(Man muss den zu /2 gehörigen Wert N = N (ε/2) wählen).
Sei nun n ≥ N und p ∈ N. Es gilt n + p > n ≥ N , also
|an+p − a| <
ε
.
2
Aus der Dreiecksungleichung folgt
|an+p − an | = |an+p − a + a − an | ≤ |an+p − a| + |a − an | <
ε ε
+ = ε.
2 2
Dies zeigt, dass (an )n eine Cauchy-Folge ist.
4.4
Definition der reellen Zahlen
In diesem Abschnitt geben wir eine formale Definition der reellen Zahlen.
In Abschnitt 4.1 haben wir die Folge
1
2
x0 = 1, xn =
xn−1 +
2
xn−1
betrachtet. Für jedes n ∈ N ist die
√ Näherung xn eine rationale Zahl. Der Grenzwert der Folge (xn )n∈N ist aber 2 was keine rationale Zahl ist (Satz 2.1.7). Es
existieren also konvergente Folgen rationaler Zahlen, die keinen Grenzwert in Q
besitzen. Wir sagen: Q ist unvollständig.
Wir möchten die reelle Zahlen als Grenzwerte solcher Folgen konstruieren.
Da Definition 4.3.1 Bezug auf die reellen Zahlen nimmt, passen wir die Definition
etwas an. Die Ergebnisse aus Abschnitt 4.3 übertragen sich.
Definition 4.4.1. Eine Folge (an )n∈N mit an ∈ Q für alle n heißt rationale
Cauchy-Folge, wenn
∀ε ∈ Q>0 ∃N ∈ N ∀n ≥ N ∀p ∈ N
|an+p − an | < ε.
Wir schreiben CF für die Menge der rationalen Cauchy-Folgen.
4.4. DEFINITION DER REELLEN ZAHLEN
45
Es existieren mehrere Cauchy-Folgen mit dem gleichen Grenzwert, diese
müssen wir mit Hilfe einer geeigneten Äquivalenzrelation auf CF identifizieren.
Definition 4.4.2. Eine (rationale) Nullfolge ist eine (rationale) Cauchy-Folge
mit Grenzwert 0.
Beispielsweise ist (1/n)n∈N eine Nullfolge (Beispiel 4.2.4.(a)).
Wir definieren eine Äquivalenzrelation auf der Menge CF durch
(an )n∈N ∼R (bn )n∈N ⇔ (an − bn )n∈N ist eine Nullfolge.
Sind (an )n und (bn )n konvergente Folgen mit Grenzwert a und b, dann sagt
Lemma 4.2.5, dass (an − bn )n eine konvergente Folge mit Grenzwert a − b ist.
Zwei konvergente Folgen (an )n und (bn )n sind also genau dann äquivalent, wenn
sie den gleichen Grenzwert haben.
Lemma 4.4.3. Die Relation ∼R ist eine Äquivalenzrelation.
Beweis. Seien (an )n und (bn )n rationale Cauchy-Folgen.
Reflexivität: Die Folge (an − an )n = (0)n ist eine Nullfolge, also ist (an )n
äquivalent zu sich selbst.
Symmetrie: Wir bemerken, dass |bn − an | = |an − bn |. Falls also (an − bn )n
eine Nullfolge ist, ist auch (bn − an ) eine Nullfolge.
Transitivität: Wir nehmen an, dass (an − bn )n und (bn − cn )n Nullfolgen
sind. Lemma 4.2.5 impliziert, dass die Folge (an − cn )n = (an − bn + bn − cn )n
auch konvergent ist und den Grenzwert 0 + 0 = 0 besitzt.
Definition 4.4.4. Wir definieren die Menge der reellen Zahlen als
R = CF/ ∼R .
Ist (an )n ∈ CF eine rationale Cauchy-Folge, bezeichnet [(an )n ] ∈ R die von der
Folge definierte reelle Zahl.
Jede Äquivalenzklasse rationaler Cauchy-Folgen “ist” also eine reelle Zahl.
Man sollte sich diese Zahl A als den Grenzwert der Folge (an )n vorstellen. Im
nächsten Abschnitt sehen wir, dass A auch wirklich der Grenzwert der Folge ist
(siehe den Beweis von Satz 4.5.5).
Jede rationale Zahl r ∈ Q definiert auch eine reelle Zahl, indem wir r mit
der Äquivalenzklasse der konstanten Folge (an = r)n identifizieren. Wir können
Q als Teilmenge von R auffassen.
Wir definieren die Adddition und Multiplikation auf R durch
[(an )n ] + [(bn )n ] = [(an + bn )n ],
[(an )n ] · [(bn )n ] = [(an · bn ]n .
Mit Hilfe von Lemma 4.2.5 zeigt man, dass die Addition und Multiplikation wohldefiniert sind, d. h. der Grenzwert von (an + bn )n hängt nur von den
Äquivalenzklassen [(an )n ] und [(bn )n ] und nicht von der gewählten Folge ab.
46KAPITEL 4. GRENZWERTE UND DIE DEFINITION DER REELLEN ZAHLEN
Beispiel 4.4.5. In der Schule wird eine reelle Zahl üblicherweise als Dezimalbruchentwicklung betrachtet. Zahlen, die durch eine Dezimalbruchentwicklung
gegeben sind, sind auch reelle Zahlen im Sinne von Definition 4.4.4.
Sei ξ = x0 , x1 x2 . . . mit x0 ∈ Z und xi ∈ { 0, 1, . . . , 9 } (i ∈ N). Wir definieren eine Folge rationaler Zahlen (an )n durch
an = x0 , x1 x2 . . . xn .
Wir behaupten, dass (an ) eine rationale Cauchy-Folge ist.
Sei ε > 0 beliebig und wähle N = max { − log10 (ε), 1 }. Dann gilt für n ≥ N
und p ∈ N, dass
|an+p − an | = 0, 0 . . . 0xn+1 . . . xn+p < 10−n ≤ ε.
Wir schließen, dass (an )n eine Cauchy-Folge ist. Insbesondere definiert (an )n
eine reelle Zahl.
Umgekehrt kann man zeigen, dass jede reelle Zahl im Sinne von Definition 4.4.4 durch eine Dezimalbruchentwicklung gegeben werden kann. Sei x =
[(an )n ] ∈ R eine reelle Zahl. Die rationalen Zahlen an besitzen eine Dezimalbruchentwicklung. Definition 4.3.1 zeigt, dass ein N existiert, sodass die ersten m
Nachkommastellen der Dezimalbruchentwicklung von an für alle n ≥ N gleich
sind (hierbei haben wir in Definition 4.3.1 ε = 10−m gewählt). Eine Dezimalbruchentwicklung von x findet man also indem man m gegen unendlich laufen
läßt.
4.5
Die Vollständigkeit von R
In diesem Abschnitt betrachten wir eine sehr wichtige Eigenschaft der reellen
Zahlen: Die Vollständigkeit (Satz 4.5.5). Satz 4.5.5 sagt sehr informell, dass die
reelle Achse “keine Lücken” besitzt. Die genaue Aussage ist, dass jede reelle
Cauchy-Folge einen Grenzwert in R besitzt. Man kann die Menge der reellen
Zahlen also nicht noch weiter vergrößern, indem man die Grenzwerte der reellen
Cauchy-Folgen hinzunimmt.
Reelle Cauchy-Folgen wurden in Definition 4.3.1 definiert, also bevor wir
die reellen Zahlen eingeführt hatten. Damit diese Definition für die von uns
definierten reellen Zahlen Sinn ergibt, müssen wir definieren was x < y für
x, y ∈ R bedeutet. Definition 4.5.2 formuliert dies in Termen der rationalen
Cauchy-Folgen, da reelle Zahlen Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen sind.
Definition 4.5.1. Eine rationale Cauchy-Folge (an )n∈N ∈ CF heißt positiv,
wenn ein k ∈ N existiert, sodass höchstens endlich viele n ∈ N mit an ≤ k1
existieren.
Man kann die Bedingung aus Definition 4.5.1 auch als
∃k ∈ N ∃N ∈ N ∀n ≥ N
an >
1
k
4.5. DIE VOLLSTÄNDIGKEIT VON R
47
schreiben.
Die Bedingung aus Definition 4.5.1 bedeutet, dass die Folgenglieder für n
genügend
groß, ausreichend weit von Null wegbleiben. Alle Glieder der Folge
1
sind
positiv, aber der Grenzwert ist Null (Beispiel 4.2.4.(a)). Diese Folge
n n
ist nicht positiv im Sinne von Definition 4.5.1: Für alle ε > 0 und alle genügend
großen n gilt die Ungleichung |1/n − 0| = n1 < ε.
Wir schreiben P ⊂ CF für die Menge der positiven Cauchy-Folgen und N ⊂
CF für die Menge der Nullfolgen.
Definition 4.5.2. Seien (an )n , (bn )n ∈ CF zwei rationale Cauchy-Folgen. Wir
definieren [(an )n ] > [(bn )n ] durch die Bedingung (an − bn )n ∈ P.
Wir haben nun zwei Versionen der Definition der Cauchy-Folgen: Neben den
reellen Cauchy-Folgen (Definition 4.3.1) haben wir in Definition 4.4.1 die rationalen Cauchy-Folgen definiert. In Definition 4.4.1 ist ε eine beliebige positive
rationale Zahl statt einer reellen Zahl. Folgender Satz zeigt, dass dies keinen
Unterschied macht. Insbesondere impliziert dieser Satz, dass rationale CauchyFolgen auch reelle Cauchy-Folgen sind.
Satz 4.5.3 (Q liegt dicht in R). Seien x < y reelle Zahlen. Dann existiert eine
rationale Zahl q ∈ Q mit x < q < y.
Beweis. Wir wählen rationale Cauchy-Folgen (an )n , (bn )n korrespondierend zu
x und y. Die Bedingung x < y bedeutet, dass ein k > 0 und ein N existiert mit
∀n ≥ N
bn − an > ε :=
1
.
k
Da (an )n und (bn )n Cauchy-Folgen sind, existieren N1 , N2 ∈ N, sodass
ε
,
4
ε
|bn+p − bn | < ,
4
|an+p − an | <
∀n ≥ N1 ∀p ∈ N,
∀n ≥ N2 ∀p ∈ N.
Wir definieren M = max { N, N1 , N2 } und q = aM + 2ε . Da aM und ε rationale
Zahlen sind, ist q auch eine rationale Zahl.
Für alle n ≥ M und p ∈ N gilt an − aM ≤ |an − aM | < 4ε (hier benutzen
wir die Ungleichung M ≥ N1 ). Dies impliziert, dass an + 4ε < aM + /2 = q.
Definition 4.5.1 impliziert daher, dass x < q ist.
Ebenso gilt für n ≥ M und p ∈ N, dass bM − bn ≤ |bM − bn | < 4ε , also
bM − 4ε < bn . Mit bM − aM > ε folgt also bn > 3 4ε + xM > xM + 2ε = q. Hieraus
folgt wieder y > q.
Korrolar 4.5.4. Jede rationale Cauchy-Folge ist auch eine reelle Cauchy-Folge.
Satz 4.5.5. R ist vollständig, d. h. jede reelle Cauchy-Folge besitzt einen Grenzwert in R.
48KAPITEL 4. GRENZWERTE UND DIE DEFINITION DER REELLEN ZAHLEN
Beweis. Sei (an )n∈N eine reelle Cauchy-Folge. Satz 4.5.3 impliziert, dass ein
αn ∈ Q mit an < αn < an + n1 existiert.
Behauptung 1: Die Folge (αn )n∈N ist eine rationale Cauchy-Folge.
Wir beweisen Behauptung 1. Sei ε > 0 beliebig. Da (an )n eine Cauchy-Folge
ist, existiert ein N ∈ N mit
ε
|an+p − an | <
3
für alle n ≥ N und alle p ∈ N.
3
1
ε
Definiere nun K = max
ε + 1, N . Insbesondere ist K < 3 . Für alle
n ≥ K und p ∈ N gilt
|αn+p − αn | = |(αn+p − an+p ) + (an+p − an ) + (an − αn )|
≤ |αn+p − an+p | + |(an+p − an | + |αn − an |.
Hier haben wir die Dreiecksungleichung benutzt.
Die Definition von K impliziert also, dass
|αn+p − αn | ≤
1
ε
1
+ + < ε,
n+p 3 n
da 1/(n + p) und 1/n kleiner gleich 1/K < ε/3 sind. Dies zeigt Behauptung 1.
Die rationale Cauchy-Folge (αn )n definiert eine reelle Zahl A := [(αn )n ].
Behauptung 2: Die Folge (αn )n ist konvergent mit Grenzwert A.
Um die Behauptung zu zeigen, überprüfen wir die Bedingung aus Definition 4.2.3.
Sei ε > 0 beliebig und sei N ∈ N mit |αn+p − αn | < ε für alle n ≥ N
und p ∈ N. Die Zahl N existiert, da (αn )n eine rationale Cauchy-Folge ist
(Definition 4.4.1). Definition 4.5.2 impliziert
∀n ≥ N
|A − αn | < ε.
Hier haben wir die rationale Zahl αn als konstante Folge aufgefasst. Dies zeigt
die Behauptung.
Behauptung 3: Die Folge (an )n ist konvergent mit Grenzwert A.
Wir überprüfen wieder die Bedingung aus Definition 4.2.3.
Sei ε > 0 beliebig. Wähle L1 ∈ N, sodass |A − αn | < 2ε für alle n ≥ L1 (die
Existenz von L1 folgt dabei aus Behauptung 2). Satz 4.5.3 impliziert, dass ein
L2 ∈ N mit 1/L2 < 2ε existiert. Für n ≥ L2 gilt also, dass
|αn − an | <
1
1
ε
≤
< .
n
L2
2
Sei L = max { L1 , L2 }. Für alle n ≥ L gilt, dass
|A − an | = |A − αn + αn − an | ≤ |A − αn | + |αn − an | <
Dies zeigt Behauptung 3 und damit auch den Satz.
ε
1
+ < ε.
2 n
Kapitel 5
Unendliche Mengen
Die zentrale Frage dieses Kapitels ist, ob Mengen mit unendlich vielen Elementen wie beispielsweise N, N0 und Z gleich viele Elemente haben. Für unendliche
Mengen ist die Frage der Gleichmächtigkeit komplizierter als für endliche Mengen.
Sind N, M endliche Mengen mit N ( M , dann ist die Kardinalität von N
echt kleiner als die Kardinalität von M . Dies folgt aus dem Schubfachprinzip
(Lemma 2.1.8). Überträgt man dies auf unendliche Mengen, würde man erwarten, dass N als echte Teilmenge von N0 eine kleinere Kardinalität als N0
besitzt. Wir können aber N0 auch in N einbetten (Bemerkung 5.1.2). Unsere
intuitive Definition der Gleichmächtigkeit ist daher leider nicht wohldefiniert:
Wir brauchen eine bessere Definition.
5.1
Gleichmächtigkeit
Als Motivation von Definition 5.1.1 betrachten wir zunächst die Situation von
endlichen Mengen.
Sei M eine endliche, nicht-leere Menge. Wir schreiben n = |M |. Es existiert
eine Bijektion ϕ : M → { 1, 2, . . . , n } gegeben durch eine Abzählung der Elemente von M . Zwei endliche Mengen N und M besitzen genau dann die gleiche
Mächtigkeit, wenn eine Bijektion zwischen N und M existiert: Wir schicken das
i-te Element von N auf das i-te Element von M .
Definition 5.1.1. (a) Seien N, M beliebige, nicht notwendigerweise endliche,
Mengen. Die Mächtigkeit von N ist kleiner gleich der Mächtigkeit von
M , wenn eine injektive Abbildung ϕ : N → M existiert. Bezeichnung:
|N | ≤ |M |.
(b) Zwei Mengen N und M sind gleich mächtig, wenn eine Bijektion ϕ : N →
M existiert. Bezeichnung: |M | = |N |.
(c) Eine (unendliche) Menge heißt abzählbar, wenn M die gleiche Mächtigkeit
49
50
KAPITEL 5. UNENDLICHE MENGEN
1
2
3
...
Abbildung 5.1: Das Hilbert–Hotel
wie N besitzt. Eine unendliche Menge, die nicht abzählbar ist, heißt überabzählbar.
Man zeigt leicht, dass Gleichmächtigkeit eine Äquivalenzrelation ist. Die
Mächtigkeit einer unendlichen Menge kann man durch eine Kardinalzahl angeben. Die Mächtigkeit von N ist ℵ0 (der Index 0 kommt daher, dass N die kleinste
unendliche Menge ist). Der Buchstabe ℵ ist der erste Buchstabe des hebräischen
Alphabets und heißt Aleph. Die weitere Kardinalzahlen sind ℵ1 , ℵ2 , . . . .
Bemerkung 5.1.2 (Das Hilbert-Hotel). Satz 5.1.3 sagt, dass die Mengen N, N0
und Z gleichmätig sind. Bevor wir den eigentlichen Beweis geben, besprechen wir
zuerst eine Veranschaulichung des ersten Teil des Beweises, siehe auch folgendes
Video:
http://www.youtube.com/watch?v=faQBrAQ87l4 Es gibt auch einen Kurzfilm zu
diesem Satz. Hier sehen Sie einen Ausschnitt:
https://www.vismath.eu/de/filme/hotel-hilbert
Das Hilbert-Hotel ist ein Hotel mit abzählbar unendlich vielen Zimmern, die
mit 1, 2, 3, . . . nummeriert sind (Abbildung 5.1). Alle Zimmer sind belegt als
ein neuer Gast eintrifft und nach einem Zimmer fragt. Im Hilbert-Hotel ist für
den neuen Gast Platz, obwohl alle Zimmer belegt sind: Der Manager sagt allen
bereits eingecheckten Gästen, dass sie ins nächste Zimmer umziehen sollen, also
der Gast aus Zimmer 1 ins Zimmer 2, der Gast aus Zimmer 2 ins Zimmer 3 usw.
Der neu angekommene Gast kann nun in das frei gewordenen Zimmer 1 ziehen.
In einem Hotel mit nur endlich vielen Zimmern funktioniert dies wegen des
Schubfachprinzips leider nicht.
Satz 5.1.3. Die Mengen N0 und Z sind abzählbar.
Beweis. Wir definieren eine Abbildung ϕ : N0 → N durch
ϕ : n 7→ n + 1.
Dies ist offensichtlich eine Bijektion: Die Umkehrabbildung ist
ϕ−1 : m 7→ m − 1.
Wir schließen, dass N abzählbar ist.
5.1. GLEICHMÄCHTIGKEIT
51
Wir definieren eine Abbildung ψ : Z → N0 durch


0
x 7→ 2x − 1


−2x
falls x = 0,
falls x > 0,
falls x < 0.
Die folgende Tabelle beschreibt ψ:
···
−3
−2
−1
0
1
2
3
···
···
6
4
2
0
1
3
5
···
Wir schließen, dass |Z| = |N0 |. Da N0 abzählbar ist, ist Z es auch. Alternativ
definiert auch ϕ ◦ ψ eine Bijektion zwischen Z und N.
Satz 5.1.4. Die Menge Q ist abzählbar.
Beweis. Es reicht zu zeigen, dass die Menge Q>0 abzählbar ist. Ähnlich wie
im Beweis von Satz 5.1.3 leitet man hieraus ab, dass Q auch abzählbar ist.
Eine rationale Zahl x ∈ Q>0 kann man eindeutig als Bruch x = a/b mit
a, b ∈ N teilerfremd darstellen (Abschnitt 3.2). Wir identifizieren die Zahl x
mit dem Paar (a, b) ∈ R2 . Abbildung 5.2 beschreibt eine Aufzählung dieser
Paare, oder äquivalent eine Abbildung ϕ : N → Q>0 . Bemerke, dass wir die
Paare (a, b) mit ggT(a, b) 6= 1 weglassen. Im Bild ist dies mit einem Kreuz
gekennzeichnet. Um die Aufzählung zu erhalten, folgt man der angegebenen
5
×
4
×
×
3
×
2
×
1
1
2
3
4
Abbildung 5.2: Die Abzählbarkeit von Q>0
Schlangenlinie, beginnend mit (1, 1). Man erhalt also: 1, 2 = 2/1, 1/2, 1/3, 2/3,
3/2, 3 = 3/1, 4 = 4/1, 4/3, 3/4, 1/4, 1/5, . . . .
Das Argument aus Satz 5.1.4 zeigt auch, dass Z × Z abzählbar ist.
52
5.2
KAPITEL 5. UNENDLICHE MENGEN
Das Cantorsche Diagonalargument
In diesem Abschnitt zeigen wir, dass R überabzählbar ist. Hierzu benutzen
wir das Cantorsche Diagonalargument, das von Cantor (1845 - 1918) gefunden
wurde. Cantor war zunächst selbst überrascht von seiner Entdeckung. Nachdem
er im Jahre 1877 gezeigt hat, dass das Intervall [0, 1] die gleiche Mächtigkeit wie
Rn für beliebiges n ∈ N besitzt, schrieb er an Dedekind
je le vois, mais je le crois pas.
(Ich sehe es, aber ich glaube es nicht. Siehe
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Cantor.html )
Satz 5.2.1. Die Menge R ist überabzählbar.
Beweis. Es reicht zu zeigen, dass die Menge [0, 1) ⊂ R überabzählbar ist. Jede
reelle Zahl x ∈ [0, 1) lässt sich als Dezimalzahl
(5.1)
x = 0, x1 x2 x3 . . .
mit xi ∈ { 0, 1, . . . , 9 } darstellen (Beispiel 4.4.5). Diese Darstellung ist nicht
eindeutig. Existiert ein Index N , sodass xN 6= 9 und xi = 9 für alle i > N , ist x
auch durch x = 0, x1 x2 . . . (xN + 1) gegeben (dies folgt wie in Beispiel 4.2.4.(c)).
Wir schließen daher die Dezimalbruchentwicklungen (5.1) für das eine N
mit xi = 9 für alle i > N aus. Mit dieser Einschränkung können wir jede reelle
Zahl x ∈ [0, 1) eindeutig in der Form (5.1) darstellen, da die Differenz zweier
verschiedenen solcher Darstellungen positiv ist.
Wir nehmen an, dass [0, 1) abzählbar ist und schreiben ϕ : N → [0, 1) für
die zugehörige Bijektion. Wir schreiben xi = ϕ(i). Es gilt also
[0, 1) = xi i ∈ N
als Teilmengen von R.
Wir konstruieren eine reelle Zahl y ∈ [0, 1), die nicht in xi i ∈ N enthalten ist und erhalten so einen Widerspruch.
Wir schreiben
xi = ϕ(i) = 0, xi1 xi2 xi3 . . . .
Die Zahl xij ∈ { 0, 1, . . . , 9 } ist also die jte Nachkommastelle von xi . Besitzt xi
eine endliche Dezimalbruchzerlegung, ergänzen wir mit 0.
Für alle i ∈ N wählen wir yi ∈ { 0, 1, . . . , 9 }, sodass yi 6= xii und kein
Index N existiert, sodass yi = 9 für alle i > N . Dies ist offensichtlich möglich.
Beispielsweise können wir yi 6= 9, xii für alle i wählen. Wir betrachten die Zahl
y := 0, y1 y2 y3 . . . .
Offensichtlich ist y ∈ [0, 1).Da ϕ : N → [0, 1) eine Bijektion ist, existiert ein
Index j mit y = ϕ(j) = xj . Wegen der Eindeutigkeit der Dezimalbruchentwicklung impliziert dies, dass beide Zahlen die gleiche Nachkommastellen besitzen,
also yi = xji für alle i. Dies widerspricht yj 6= xjj . Wir schließen, dass [0, 1)
überabzählbar ist.
5.2. DAS CANTORSCHE DIAGONALARGUMENT
53
Satz 5.2.1 sagt, dass die Mächtigkeit von R echt größer ist als die von N. Die
Kardinalität von R ist also eine Kardinalzahl ℵi mit i > 0. Die Kontinuumshypothese, aufgestellt von Cantor, sagt, dass die Kardinalität von R gleich ℵ1 ist.
Anders gesagt: Es existiert keine Teilmenge M ⊂ R mit ℵ0 = |N| < |M | < |R|.
Es ist bekannt, dass man die Kontinuumshypothese nicht aus den ZermeloFränkel-Axiomen der Mengenlehre ableiten kann (es sei denn, die Axiomen der
Mengenlehre sind widersprüchlich. Ob dies der Fall ist, ist nicht bekannt). Daher nennt man die Aussage Hypothese: Es ist nicht möglich die Aussage zu
beweisen, man kann sie aber als zusätzliches Axiom annehmen.
54
KAPITEL 5. UNENDLICHE MENGEN
Kapitel 6
Die komplexen Zahlen
In diesem Abschnitt definieren wir die komplexen Zahlen C ausgehend von den
reellen Zahlen. Die wichtigste komplexe nicht-reele Zahl ist die imaginäre Einheit
i. Diese Zahl ist eine Lösung der Gleichung x2 + 1 = 0. Für reelle Zahlen x ∈ R
2
gilt x2 + 1 > 0, also besitzt die
√ Gleichung x + 1 = 0 keine Lösung in R. Man
schreibt manchmal auch i = −1.
Euler (1707 - 1783) rechnete schon mit der Zahl i. Von ihm stammt auch die
Formel
(6.1)
eiπ = −1,
die manchmal “die schönste Formel der Mathematik” genannt wird (siehe Abschnitt 6.2).
Richtig eingeführt wurden die komplexe Zahlen von Gauß. Er zeigte den
Fundamentalsatz der Algebra, der sagt, dass jede Gleichung
xn + an−1 xn−1 + · · · + a0 = 0
mit ai ∈ R eine Lösung in C besitzt.
Komplexe Zahlen waren aber schon früher in der Mathematik in Erscheinung
getreten. Der italianische Mathematiker Cardano (1501 - 1576) publizierte im
Jahre 1545 in seinem Buch Ars Magna eine Methode zur Bestimmung der Nullstellen kubischer Gleichungen der Form x3 = 3px + 2q (man kann zeigen, dass
jede kubische Gleichung auf diese Form gebracht werden kann). In moderner
Bezeichnung geschrieben, sagt das Ergebnis, dass
q
q
p
p
3
3
2
3
(6.2)
q + q − p + q − q 2 − p3
eine Lösung der Gleichung x3 = 3px + 2q ist. Diese Formel ist also eine Verallgemeinerung der sogenannten Mitternachtsformel zur Bestimmung der Nullstellen
einer quadratischen Gleichung.
Cardano machte eine merkwürdige Entdeckung als er versuchte mit seiner
Formel die Gleichung x3 = 15x + 4 zu lösen. Die Funktion f (x) := x3 − 15x − 4
55
56
KAPITEL 6. DIE KOMPLEXEN ZAHLEN
besitzt genau eine positive Lösung, nämlich x = 4 (Abbildung 6.1). Cardano
kannte keine negative Zahlen, daher betrachte er nur die positiven Lösungen
(für eine Berechnung der negativen Lösungen, siehe Beispiel A.5.4).
100
50
-6
-4
-2
0
2
4
6
-50
-100
Abbildung 6.1: Graph der Funktion f (x) = x3 − 15x − 4
Einsetzen der Werte p = 5, q = 2 in (6.2) sollte daher die Lösung x = 4
ergeben. Cardano bemerkte, dass p
in diesem Fall q 2 − p3 = 22 − 53 = −112 < 0
ist. Dies bedeutet, dass die Zahl q 2 − p3 , die als Zwischenwert in seiner Berechnung vorkam, keine reelle Zahl ist. Im Endergebnis kürzt sich dieses Zwischenergebnis aber wieder raus, wenn man richtig rechnet. Cardano macht in
seinem Buch einen Versuch, dies zu nachzurechnen, aber offensichtlich verstand
er nicht was er machte. Er sagt dies sei
ebenso subtil wie nutzlos.
(Zitiert nach
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Quadratic etc equations.html)
Um Cardanos Berechnung richtig auszuführen, braucht man komplexe Zahlen. Dies zeigt, dass komplexe Zahlen nützlich sind, auch wenn man nur an einer
reellen Lösung einer reellen Gleichung interessiert ist.
Cardano war nicht der Entdecker der Formel (6.2). Er bekam die Formel von
Tartaglia, nachdem er ihm versprochen hatte, die Formel nicht zu veröffentlichen.
Dieses Versprechen hat er nicht gehalten. Hier finden Sie die spannende Geschichte von Tartaglia und Cardano mit vielen Zitaten aus deren Korrespondenz:
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Tartaglia v Cardan.html
6.1. DEFINITION DER KOMPLEXEN ZAHLEN
6.1
57
Definition der komplexen Zahlen
Wir definieren komplexe Zahlen als Ausdrücke
a + bi,
a, b ∈ R.
Wir schreiben C = { a + bi | a, b ∈ R } für die Menge der komplexen Zahlen. Im
Folgenden fassen wir R = { z = a + bi ∈ C | b = 0 } als Teilmenge von C auf.
Für eine komplexe Zahl z = a + bi ∈ C nennen wir a = <(z) den Realteil und
b = =(z) den Imaginärteil von z. Zwei komplexe Zahlen sind also genau dann
gleich, wenn Realteil und Imaginärteil gleich sind. Eine komplexe Zahl z ist reell,
wenn =(z) = 0.
Zur Veranschaulichung identifizieren wir C durch a + bi 7→ (a, b) mit der
Ebene R2 und fassen komplexe Zahlen als Punkte der “komplexen Ebene” wie
in Abbildung 6.2 auf. Da diese Darstellung von Gauß stammt, nennt man diese
Ebene auch Gaußsche Zahlenebene. Die horizontale Achse nennen wir reelle
Achse und die vertikale imaginäre Achse.
z+w
2
z
w
1
1
2
Abbildung 6.2: Addition komplexer Zahlen
Die Addition auf C ist definiert durch
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
Dies entspricht der Addition von Vektoren in R2 (Abbildung 6.2). Die Multiplikation ist definiert als
(a + bi) · (c + di) = (ab − cd) + (ad + bc)i.
Addition und Multiplikation komplexer Zahlen sind bestimmt durch die Operationen auf R und die Eigenschaft i2 = −1.
58
KAPITEL 6. DIE KOMPLEXEN ZAHLEN
Definition 6.1.1. Die komplexe Konjugation ist definiert durch
Die Zahl |z| :=
√
: C → C, z = a + bi 7→ z = a − bi.
√
z · z = a2 + b2 heißt (komplexer) Betrag von z.
Der Betrag einer komplexen Zahl ist eine nicht-negative reelle Zahl, nämlich
die Länge von z aufgefasst als Vektor in der komplexen Ebene. Das folgende
Lemma formuliert einige Eigenschaften des Betrags, die wir hier nicht beweisen.
Lemma 6.1.2. Es gilt
(a) |z1 z2 | = |z1 | · |z2 |,
(b) |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | (Dreiecksungleichung),
(c) der Betrag von z ∈ C ist genau dann Null, wenn z = 0.
Mit Hilfe des Betrags können wir leicht die multiplikative Inverse z −1 einer
komplexen Zahl z = a + bi 6= 0 berechnen, indem wir benutzen, dass z · z =
|z|2 ∈ R ist. Es gilt
1
z̄
a
−b
= 2 = 2
+ 2
i.
2
z
|z|
a +b
a + b2
Bei Berechnungen ist es wichtig, komplexe Zahlen immer in der Form a + bi
darzustellen. Ansonsten ist es schwer festzustellen, ob zwei komplexe Zahlen
gleich sind oder nicht.
Beispiel 6.1.3. (a) Wir diskutieren wie man die Quadratwurzel einer komplexen Zahl ziehen kann. Sei z = a + bi 6= 0 eine komplexe Zahl. Wir
suchen alle Lösungen der Gleichung w2 = z. Wir werden zeigen, dass
diese Gleichung immer zwei komplexe Lösungen besitzt. Unser Beweis liefert gleichzeitig eine Methode zur Berechnung der Quadratwurzeln einer
konkreten Zahl.
Wir schreiben w = c + di mit c, d ∈ R. Da w2 = (c2 − d2 ) + 2cdi ist, liefert
dies das Gleichungssystem
(6.3)
c2 − d2 = a,
(6.4)
2cd = b.
Fall 1: Wir betrachten zuerst den Fall c = 0. Gleichung (6.4) impliziert,
dass b = 0. Also ist z = a ∈ R \ { 0 } und (6.3) sagt, dass −d2 = a. Insbesondere ist a < 0 und d2 = −a = |a|. Die Lösungen des Gleichungssystems
sind daher
p
w = ± |a|i.
Fall 2: Sei c 6= 0. Auflösen von (6.3) nach d liefert
6.1. DEFINITION DER KOMPLEXEN ZAHLEN
(6.5)
d=
59
b
.
2c
Einsetzen in die erste Gleichung und Multiplikation mit 4c2 liefert 4c4 −
b2 = 4ac2 oder die äquivalente Gleichung:
4c4 − 4ac2 − b2 = 0.
Dies ist eine quadratische Gleichung in c2 . Mit Hilfe der Mitternachtsformel finden wir
√
√
4a ± 16a2 + 16b2
a ± a2 + b2
2
c =
=
.
8
2
√
√
Wir erinnern uns, dass c ∈ R \ { 0 }, also c2 > 0 ist. Da a2 + b2 ≥ a2 =
|a| ≥ a ist, folgt, dass
√
a + a 2 + b2
2
(6.6)
c =
.
2
Wir haben angenommen, dass z = a + bi 6= 0 und daher a2 + b2 > 0. Dies
impliziert, dass (6.6) genau zwei Lösungen mit c, d ∈ R besitzt.
(b) Als Anwendung berechnen wir die Quadratwurzeln von z = 1 + i. Eine
alternative Methode wird in Beispiel 6.2.6.(b) vorgestellt. Einsetzen von
a = b = 1 in (6.6) liefert
√
1+ 2
2
c =
.
2
Also
p
p
√
√
1+ 2
2+2 2
√
c=±
=±
2
2
√
(Bei der letzten Gleichung haben wir Zähler und Nenner mit 2 ergänzt).
Die Gleichung (6.5) liefert
1
1
= ±p
√ .
2c
2+2 2
p
√
Wir ergänzen Zähler und Nenner mit −2 + 2 2, um den Nenner möglichst
weit zu vereinfachen. Dies liefert
p
√
−2 + 2 2
d=±
.
2
d=
Die gesuchten Quadratwurzeln sind daher
q
q
√
√
1
±
2 + 2 2 + −2 + 2 2i .
2
Beachte, dass das Vorzeichen von d durch das von c bestimmt wird. Wir
überlassen es dem Leser/der Leserin zu überprüfen, dass dies in der Tat
die gesuchte Quadratwurzeln sind.
60
KAPITEL 6. DIE KOMPLEXEN ZAHLEN
6.2
Polarkoordinaten
Polarkoordinaten sind eine weitere Möglichkeit komplexe Zahlen darzustellen.
Die Grundlage dieser Darstellung bildet folgende Definition der komplexen Exponentialfunktion.
Definition 6.2.1. Für x ∈ R definieren wir
eix = cos(x) + i sin(x).
Insbesondere finden wir eiπ = cos(π) + i sin(π) = −1 (Formel von Euler
(6.1)). Das folgende Lemma zeigt, dass die komplexe e-Funktion aus Definition
6.2.1 die üblichen Rechenregeln erfüllt. Die Aussage von Lemma 6.2.2.(a) kann
man auch nutzen, um sich die Additionstheoreme für die trigoneometrischen
Funktionen zu merken.
Lemma 6.2.2. Seien x, y ∈ R. Es gilt:
(a) ei(x+y) = eix · eiy ,
(b) der Betrag von eix ist 1.
Beweis. Es gilt ei(x+y) = cos(x + y) + i sin(x + y). Die Additionstheoreme
implizieren, dass
ei(x+y) = (cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y)) + i (cos(x) sin(y) + cos(y) sin(x))
= (cos(x) + i sin(y)) (cos(y) + i sin(y)) = eix · eiy .
Dies impliziert (a). Teil (b) folgt aus der Relation cos2 (x) + sin2 (x) = 1.
Lemma 6.2.2.(b) zeigt, dass die komplexen Zahlen der Form eiϕ auf dem
komplexen Einheitskreis K := { z ∈ C k z| = 1 } liegen. Umgekehrt kann man
jede z ∈ K schreiben als
z = cos ϕ + i sin ϕ,
wobei ϕ die Winkel von z, aufgefasst als Vektor in der komplexen Ebene, mit
der positiven reellen Achse ist. Die folgende Definition verallgemeinert dies für
beliebige komplexe Zahlen. Das Argument von z = 0 ist nicht definiert.
Definition 6.2.3. Sei z = a + bi eine komplexe Zahl mit z 6= 0. Das Argument
ϕ ∈ (−π, π] von z ist definiert als der Winkel von z, aufgefasst als Vektor in der
komplexen Ebene, mit der positiven reellen Achse.
Der folgende Satz folgt unmittelbar aus obiger Beobachtung (siehe Abbildung 6.3).
Satz 6.2.4. Sei z ∈ C \ { 0 } eine komplexe Zahl mit Argument ϕ und Betrag
r = |z|. Es gilt
(a) z = |z|eiϕ = |z|(cos(ϕ) + i sin(ϕ)),
6.2. POLARKOORDINATEN
61
iR
z
r sin(ϕ)
r
ϕ
r cos(ϕ)
R
|z| = r
Abbildung 6.3: Polarkoordinaten
(b) <(z) = |z| cos(ϕ),
=(z) = |z| sin(ϕ).
Lemma 6.2.5. Seien z = reiϕ und w = seiψ zwei komplexen Zahlen mit z, w 6=
0 in Polarkoordinaten gegeben. Insbesondere gelte r, s ∈ R>0 und ϕ, ψ ∈ (−π, π].
Dann gilt
(a) |z · w| = |z| · |w|.
(b) Das Argument von z · w ist kongruent zu ϕ + ψ (mod 2π).
Beweis. Dies folgt aus Lemma 6.2.2.
Sei w = reiϕ 6= 0 eine komplexe Zahl. Wir betrachten die Abbildung
ρ : C → C, z 7→ w · z
als Abbildung der komplexen Ebene. Lemma 6.2.5 impliziert, dass ρ eine Drehung um den Winkel ϕ verknüpft mit einer Streckung um r ist.
Wir berechnen die Polarkoordinaten z = reiϕ von z = x+iy 6= 0. Falls x 6= 0
gilt
p
y
r = |z| = x2 + y 2 , tan(ϕ) = .
x
Man kann das Argument ϕ von z auch mit Hilfe des Arcustangens ausdrücken.
Hier braucht man allerdings eine Fallunterscheidung, da der Tangens π-periodisch
62
KAPITEL 6. DIE KOMPLEXEN ZAHLEN
ist. Daher besitzt die Gleichung tan(ϕ) = y/x für x 6= 0 zwei Lösungen mit
ϕ ∈ (−π, π].
Es gilt:

y

für x > 0,
arctan( x )


y

arctan( x ) + π für x < 0 und y ≥ 0,

ϕ = arctan( xy ) − π für x < 0 und y < 0,


π

für x = 0 und y > 0,

2


− π
für x = 0 und y < 0.
2
Anstatt diese Formeln anzuwenden, sollte man lieber geometrisch überlegen, in
welchem Intervall ϕ im konkreten Fall liegt.
Beispiel 6.2.6. (a) Wir schreiben die komplexe Zahl z = 1 − i in Polarkoordinaten. Wir berechnen
√
|z| = 2, tan(ϕ) = −1.
Die Lösungen der Gleichung tan(ϕ) = −1 mit ϕ ∈ (−π, π] sind ϕ ∈
{3π/4, −π/4}. Da z im 4ten Quadrant der komplexen Ebene liegt, ist
ϕ = −π/4. Es gilt also
√
z = 2e−πi/4 .
(b) Im Beispiel 6.1.3.(b) haben wir die Quadratwurzeln von z := 1 + i berechnet. Wir lösen diese Aufgabe nochmals mit Hilfe von Polarkoordinaten.
√
Wie in (a) berechnet man, dass 1 + i = 2eπi/4 . Sei w ∈ C mit w2 = z.
Wir schreiben w = reiϕ . Lemma 6.2.5 impliziert also w2 = r2 e2iϕ . Dies
liefert
√
r2 = 2, 2ϕ ≡ π/4 (mod 2π),
also
r=
√
4
2,
ϕ ∈ { π/8, π/8 − π = −7π/8 } .
In Beispiel 6.1.3.(b) haben wir berechnet, dass
q
q
√
√
1
w1 :=
2 + 2 2 + −2 + 2 2i .
2
eine der Quadratwurzeln ist. Da w im ersten Quadrant der komplexen
Ebene liegt, gilt ϕ = π/8. Der andere Winkel gehört zur zweiten Quadratwurzel −w von z.
Wir schließen, dass
1
w=
2
q
√
q
2+2 2+
Insbesondere impliziert dies, dass
p
√
2+2 2
√
cos(π/8) =
,
242
√
√
4
−2 + 2 2i = 2eiπ/8 .
p
√
−2 + 2 2
√
sin(π/8) =
.
242
6.2. POLARKOORDINATEN
63
ζ82 = i
ζ83
ζ81
ζ80 = 1
ζ84 = −1
ζ85
ζ87
ζ86 = −i
Abbildung 6.4: Die 8te Einheitswurzel
Die Lösungen in C der Gleichung
zn = 1
heißen n-te Einheitswurzeln. Mit Hilfe der Polarkoordinaten können wir diese
Lösungen leicht berechnen. Wir schreiben
ζn = eiπ/n = cos(π/n) + i sin(π/n).
Lemma 6.2.7. Die nte Einheitswurzeln sind
ζnj = ejiπ/n = cos(jπ/n) + i sin(jπ/n),
j = 0, 1, . . . , n − 1.
Insbesondere besitzt die Gleichung z n = 1 genau n Lösungen in C.
Beweis. Dies folgt aus Lemma 6.2.5.
Abbildung 6.4 zeigt die achten Einheitswurzeln.
64
KAPITEL 6. DIE KOMPLEXEN ZAHLEN
Anhang A
Einige weitere Begriffe
A.1
Teilbarkeit
Wir wiederholen einige wohl bekannte Begriffe über Teilbarkeit ganzer Zahlen.
Diese Begriffe werden in der Vorlesung Elementare Zahlentheorie ausführlicher
besprochen.
Definition A.1.1. Seien a 6= 0 und b ganze Zahlen. Wir sagen, dass b durch a
teilbar ist, wenn eine ganze Zahl c mit b = a · c existiert. Wenn diese Bedingung
erfüllt ist, heißt a ein Teiler von b. Wir benutzen die Bezeichnung a | b für ‘a
teilt b’ und a - b für ‘a teilt b nicht’.
Definition A.1.2. Eine Zahl n ∈ N≥2 heißt Primzahl, wenn 1 und n die
einzigen positiven Teiler von n sind. Eine natürliche Zahl n ≥ 2 heißt zusammengesetzt, wenn n keine Primzahl ist.
Definition A.1.3. Seien a, b ∈ Z zwei ganze Zahlen, die nicht beide Null sind.
Der größte gemeinsame Teiler von a und b ist die größte natürliche Zahl, die
sowohl a als b teilt (Bezeichnung: ggT(a, b)). Zwei Zahlen mit ggT(a, b) = 1
heißen teilerfremd.
Satz A.1.4. Seien a, b ganze Zahlen mit b > 0.
(a) Es existieren eindeutige ganze Zahlen q, r mit a = bq + r und 0 ≤ r < b.
Wir nennen q den Quotienten und r den Rest der Division.
(b) Die Zahl b ist genau dann ein Teiler von a, wenn r = 0.
Beweis. Einen Beweis des Satzes finden Sie in [1, Satz 1.1.5].
A.2
Ungleichungen
Die Menge R der reellen Zahlen besitzt eine Ordnung ≤ (Abschnitt 4.5). Für
zwei reelle Zahlen a, b ∈ R ist also definiert ob a ≤ b gilt. Anstatt a ≤ b kann
65
66
ANHANG A. EINIGE WEITERE BEGRIFFE
man auch b ≥ a schreiben. Die Schreibweise a < b bedeutet, dass a ≤ b und
a 6= b ist. Die Ordnung auf R ist eine Wohlordnung. Dies bedeutet, dass folgende
Eingeschaften erfüllt sind.
Definition A.2.1. Eine Relation ≤ auf einer Menge K heißt Wohlordnung,
wenn für alle a, b, c ∈ K gilt:
(O1) a ≤ a (Reflexivität),
(O2) a ≤ b, b ≤ a ⇒ a = b, (Antisymmetrie),
(O3) a ≤ b, b ≤ c ⇒ a ≤ c, (Transitivität).
(O4) Es gibt a ≤ b oder b ≤ a.
Sei x ∈ R. Das Symbol
(
|x| =
−x
x
falls x < 0,
falls x ≥ 0
bezeichnet den Absolutbetrag von x. Insbesondere ist
|x| ≥ 0,
x ≤ |x|
für alle x ∈ R.
Die Ungleichung |x| ≤ a ist äquivalent zu −a ≤ x ≤ a.
Beispiel A.2.2.
(A.1)
(a) Wir bestimmen alle x ∈ R mit
|x − 2| ≥ 1.
Ist x − 2 ≥ 0, dann ist |x − 2| = x − 2. Die Ungleichung (A.1) ist daher in
diesem Fall äquivalent zu x − 2 ≥ 1, also zu x ≥ 3.
Ist x − 2 ≤ 0, dann ist |x − 2| = −(x − 2). Die Ungleichung (A.1) ist daher
in diesem Fall äquivalent zu −x + 2 ≥ 1, also zu x ≤ 1.
Die Lösungsmenge der Ungleichung ist
(−∞, 1] ∪ [3, ∞).
(b) Wir zeigen, dass 2x2 − 2xy + y 2 − 2x + 2 > 0 ist für alle x, y ∈ R. Dazu
bemerken wir dass
2x2 − 2xy + y 2 − 2x + 2 = (x − y)2 + (x − 1)2 + 1.
Für alle z ∈ R gilt z 2 ≥ 0. Es folgt
(x − y)2 + (x − 1)2 + 1 ≥ 0 + 0 + 1 > 0.
A.3. SUMMEN UND PRODUKTE
67
Die sogenannte Dreiecksungleichung, die üblicherweise eine Aussage über
Längen von Vektoren ist, gilt auch für reelle Zahlen. Man zeigt das folgende
Lemma beispielsweise indem man die verschiedenen möglichen Vorzeichen für
a, b, a + b unterscheidet. Wir überlassen dies dem Leser/der Leserin.
Lemma A.2.3 (Dreiecksungleichung). Seien a, b ∈ R. Dann gilt
|a + b| ≤ |a| + |b|.
Man sollte den Absolutbetrag nicht mit der sogenannten Gauß-Klammer
verwechseln. Sei a ∈ R, dann bezeichnet die Gauß–Klammer [a] ∈ Z die größte
ganze Zahl mit [a] ≤ a. Manchmal
schreibt man auch bac anstatt [a]. Beispiels√
weise ist [π] = 3 und [− 2] = −2. Eine Variante ist die obere Gauß–Klammer
definiert als die kleinste ganze Zahl größer gleich a. Bezeichnung: dae.
Wir bemerken, dass die Zahlen [a] und dae genau dann gleich sind, wenn
a ∈ Z ist.
A.3
Summen und Produkte
Sind xi verschiedene Ausdrücke, die möglicherweise vom Index i abhängen,
schreiben wir
n
X
x1 + x2 + · · · + xn =
xi
i=1
P
als Abkürzung für die Summe der xi . Das Summenzeichen
ist der griechische
Großbuchstabe Sigma.
Am Einfachsten versteht man dies anhand von einigen Beispielen:
n
X
i = 1 + 2 + 3 + · · · + n,
i=1
n
X
i2 = 12 + 22 + 32 + · · · + n2 ,
i=1
n
X
mi = m1 + m2 + m3 · · · + mn .
i=1
(a) Hängt c nicht vom Index i ab, gilt
n
X
cxi = c
i=1
n
X
i=1
Insbesondere gilt
n
X
i=1
c = cn.
xi .
68
ANHANG A. EINIGE WEITERE BEGRIFFE
(b) Summen mit dem gleichen Laufindex kann man zusammenfassen:
n
X
xi +
i=1
n
X
yi =
i=1
n
X
(xi + yi ).
i=1
Selbstverständlich kann man diese Regel auch benutzen, um Summen auseinander zu ziehen.
Eine Doppelsumme ist eine Summe mit zwei (oder mehr) Laufindizes. Hier
ist es wichtig, die Grenzen zu beachten.
Beispiel A.3.1.
(a) Wir betrachten die Doppelsumme
n X
m
X
xi yj .
i=1 j=1
Hier werden alle Ausdrücke xi yj mit 1 ≤ i ≤ n und 0 ≤ j ≤ m aufsummiert. Insgesamt besitzt der Ausdruck also n · m Terme. Für n = m = 2
finden wir beispiesweise
n X
n
X
xi yj = x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + x2 y2 .
i=1 j=1
(b) Wir betrachten nun die Doppelsumme
n X
n
X
xi yj .
i=1 j=i
Beachte, dass die Grenzen der inneren Summe von i abhängen. Hier werden alle Ausdrücke xi yj mit 1 ≤ i ≤ n und i ≤ j ≤ n aufsummiert. Für
n = 2 finden wir beispielsweise
2
2 X
X
xi yj = x1 y1 + x1 y2 + x2 y2 .
i=1 j=i
Ähnlich benutzt man den griechischen Großbuchstaben Π um Produkte darzustellen:
n
Y
xi = x1 · x2 · x3 · · · xn .
i=1
A.4
Körper
Definition A.4.1. Eine Menge K zusammen mit 2 Verknüpfungen
+:K ×K →K
·:K ×K →K
(a, b) 7→ a + b,
(a, b) 7→ a · b,
heißt Körper, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:
A.5. POLYNOME
69
(K1) (K, +) ist eine kommutative Gruppe, d. h.
(a) die Addition ist assoziativ, d. h. a + (b + c) = (a + b) + c für alle
a, b, c ∈ K,
(b) es existiert ein neutrales Element 0, sodass 0 + a = a + 0 = a für alle
a ∈ K,
(c) für jedes a ∈ K existiert ein negatives Element −a mit a + (−a) =
(−a) + a = 0,
(d) die Addition ist kommutativ, d. h. a + b = b + a für alle a, b ∈ K,
(K2) (K \ { 0 } , ·) ist eine kommutative Gruppe, d. h.
(a) die Multiplikation ist assoziativ, d. h. a · (b · c) = (a · b) · c für alle
a, b, c ∈ K \ { 0 },
(b) es existiert ein Einheitselement 1 so, dass 1 · a = a · 1 = a für alle
a ∈ K \ { 0 },
(c) für jedes a ∈ K \ { 0 } existiert ein inverses Element a−1 mit a · a−1 =
a−1 · a = 1,
(d) die Multiplikation ist kommutativ, das heißt a · b = b · a für alle
a, b ∈ K \ { 0 },
(K3) es gelten die Distributivgesetze:
a · (b + c) = a · b + a · c,
(a + b) · c = a · c + b · c,
für alle a, b, c, ∈ K.
Beispiele von Körpern sind Q, R und C. Die Menge Z ist kein Körper, da
nur ±1 in Z ein multiplikatives Inverse besitzen.
Ist p eine Primzahl, kann man zeigen, dass Fp := Z/pZ mit Addition und
Multiplikation modulo p auch ein Körper ist. Hierbei ist F die Abkürzung des
englischen Begriffs für Körper: field.
A.5
Polynome
In diesem Abschnitt fassen wir einige Definitionen und Eigenschaften von Polynomen zusammen. Für Beweise und mehr Details verweisen wir auf das Skript
der Vorlesung Elemente der Algebra [2, Abschnitt 3].
Definition A.5.1. Sei K ein Körper.
Pn
(a) Ein Polynom mit Koeffizienten in K ist ein Ausdruck f (x) = i=0 ai xi
mit Koeffizienten ai ∈ K. Wir schreiben K[x] für die Menge der Polynome
mit Koeffizienten in K.
(b) Das Nullpolynom f (x) = 0 ist das Polynom, dessen Koeffizienten alle Null
sind.
70
ANHANG A. EINIGE WEITERE BEGRIFFE
(c) Ist f (x) 6= 0 nicht das Nullpolynom, nennt man die größte Zahl n mit an 6=
0 der Grad von f (Bezeichnung: Grad(f )). Den Grad des Nullpolynoms
definieren wir als −∞.
P
(d) Ist f (x) = i ai xi ein Polynom von Grad n, dann heißt an xn der führende
Term von f . Ein Polynom vom Grad n mit führendem Term xn heißt
normiert.
(e) Seien f (x), g(x) ∈ K[x] mit g(x) 6= 0. Wir sagen, dass g(x) ein Teiler von
f (x) ist, falls ein Polynom h(x) ∈ K[x] mit f (x) = g(x)h(x) existiert.
Der folgende Satz ist ein Analogon der Division mit Rest in Z (Satz refdivsatz).
Satz A.5.2 (Polynomdivision). Sei K ein Körper und seien f (x), g(x) ∈ K[x]
Polynome mit g(x) 6= 0. Es existieren eindeutige Polynome q(x) und r(x) ∈ K[x]
mit
f (x) = q(x)g(x) + r(x),
wobei Grad(r) < Grad(g) ist.
Korrolar A.5.3. Sei K ein Körper und f (x) ∈ K[x] ein Polynom. Eine Zahl
a ∈ K ist genau dann eine Nullstelle von f , wenn ein Polynom q(x) ∈ K[x] mit
f (x) = q(x)(x − a)
existiert.
Beweis. Die Aussage folgt aus Satz A.5.2, siehe [2, Kor. 3.3.3].
Beispiel A.5.4. Als Anwendung berechnen wir alle reelle Lösungen der Gleichung x3 − 15x − 4 = 0, die wir in der Einleitung von Abschnitt 4.4 betrachtet
haben. Wir haben schon gesehen, dass diese Gleichung die Lösung x = 4 besitzt.
Dies bedeutet, dass x3 − 15x − 4 durch x − 4 teilbar ist (Korollar A.5.3). Wir
führen die Division mit Hilfe von Polynomdivision durch und finden:
(A.2)
x3
− 15x − 4 : x − 4 = x2 + 4x + 1
− x3 + 4x2
4x2 − 15x
− 4x2 + 16x
x−4
−x+4
0
Die weiteren Lösungen der Gleichung erfüllen also x2 + 4x + 1 = 0. Mit Hilfe
der Mitternachtsformel finden wir
√
√
−4 ± 16 − 4
= −2 ± 3.
x=
2
Die anderen zwei Lösungen der Gleichung sind also in der Tat in R<0 , wie man
auch aus Abbildung 6.1 erkennen kann.
Anhang B
Das griechische Alphabet
α
A
Alpha
ν
N
Ny
β
B
Beta
ξ
Ξ
Xi
γ
Γ
Gamma
o
O
Omikron
δ
∆
Delta
π
Π
Pi
, ε
E
Epsilon
ρ
P
Rho
ζ
Z
Zeta
σ
Σ
Sigma
η
H
Eta
τ
T
Tau
θ, ϑ
Θ
Theta
υ
Υ
Ypsilon
ι
I
Jota
φ, ϕ
Φ
Phi
κ
K
Kappa
χ
X
Chi
λ
Λ
Lambda
ψ
Ψ
Psi
µ
M
My
ω
Ω
Omega
71
72
ANHANG B. DAS GRIECHISCHE ALPHABET
Literaturverzeichnis
[1] I.I. Bouw, Elementare Zahlentheorie. Vorlesungsskript, Sommersemester
2010.
[2] I.I. Bouw, Elemente der Algebra. Vorlesungsskript, Wintersemester
2012/13.
[3] The
Mactutor
history
of
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk
73
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