Dienstag 19.4.2016

Mathematische Probleme, SS 2016
Dienstag 19.4
$Id: dreieck.tex,v 1.23 2016/04/19 15:02:00 hk Exp $
§1
Dreiecke
1.4
Dreiecksberechnung mit Seiten und Winkeln
Wie am Ende der letzten Sitzung angekündigt wollen wir den Cosinussatz beweisen,
dieser wird sich als eines der entscheidenden Hilfsmittel der Dreiecksberechnung“ her”
ausstellen. In Worten besagt dieser, dass in einem jeden Dreieck das Quadrat einer Seite
gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten minus das doppelte des Produkts aus den beiden anderen Seiten und dem Cosinus des von diesen eingeschlossenen
Winkels ist.
Satz 1.4 (Der Cosinussatz)
Sei ∆ ein Dreick mit Seiten a, b, c und Winkeln α, β, γ in der Standardbezeichnung.
Dann sind
a2 = b2 + c2 − 2bc · cos α,
b2 = a2 + c2 − 2ac · cos β,
c2 = a2 + b2 − 2ab · cos γ.
Beweis: Es reicht aus etwa die erste dieser Gleichungen zu beweisen, die anderen beiden
gehen aus dieser durch Umbezeichnungen hervor. Liegt dabei in α ein rechter Winkel
vor, also α = π/2, so ist cos α = 0 und unsere Behauptung wird zum Satz des Pythagoras Satz 1. Wir können also annehmen das in α kein rechter Winkel ist, d.h. α 6= π/2.
Nun können drei verschiedene Fälle auftreten.
b
α
a
h
b
h
a
α
p
c
Fall 1
p
c
Fall 2
h
a
b
p
α
c
Fall 3
Im ersten Fall ist in α ein spitzer Winkel, also 0 < α < π/2 und die links oben
eingezeichnete Höhe h liegt innerhalb des Dreiecks. In rechtwinkligen Dreieck links von
h liefert der Satz des Pythagoras Satz 1 zunächst b2 = p2 + h2 , wobei p der durch die
Höhe gebildete Abschnitt der Dreiecksseite AB ist, und damit h2 = b2 − p2 . Außerdem
entnehmen wir diesem rechtwinkligen Dreieck noch die Beziehung
p
cos α = , also p = b · cos α.
b
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Eine weitere Anwendung des Satzes von Pythagoras Satz 1 diesmal im Dreieck rechts
von h liefert
a2 = h2 + (c − p)2 = b2 − p2 + (c − p)2 = b2 + c2 − 2pc = b2 + c2 − 2bc · cos α.
Damit ist der Cosinussatz in diesem Fall bewiesen und die anderen beiden Fälle sind
eine Übungsaufgabe.
Ausgerüstet mit dem Cosinussatz können wir jetzt die erste Variante einer Dreiecksberechnung durchführen, nämlich die Dreiecksberechnung bei drei gegebenen Seiten.
Hierbei tritt kein Eindeutigkeitsproblem auf, da wir die Kongruenz von Dreiecken ja
gerade durch die Gleichheit der Seiten definiert haben, aber ein Existenzproblem. Zu
beliebig vorgegebenen a, b, c > 0 muss es keinesfalls ein Dreieck mit diesen Seitenlänge
geben, denn wie wir gleich sehen werden ist in einem Dreieck die Länge einer jeden
Seite echt kleiner als die Summe der Längen der beiden anderen Seiten. Dies ist gerade
die Dreiecksungleichung in ihrer ursprünglichen, namensgebenden Gestalt.
Satz 1.5 (Dreiecksberechnung bei gegebenen Seiten)
Seien a, b, c > 0 gegeben. Genau dann existiert ein Dreieck ∆ mit den Seitenlängen
a, b, c wenn die Dreiecksungleichungen
a < b + c, b < a + c und c < a + b
erfüllt sind. In diesem Fall ist ∆ bis auf Kongruenz eindeutig bestimmt und die Winkel
in ∆ sind in den Standardbezeichnungen gegeben durch
2
b + c 2 − a2
α = arccos
,
2bc
2
a + c 2 − b2
β = arccos
,
2ac
2
a + b2 − c 2
γ = arccos
.
2ab
Beweis: Für spitze Winkel 0 < α < π/2 ist direkt nach Definition 0 < cos α < 1, also
gilt für beliebiges 0 < α < π stets −1 < cos α < 1. Gibt es nun ein Dreieck ∆ mit
Seitenlängen a, b, c und Winkeln α, β, γ, so ergibt der Cosinussatz Satz 4
a2 = b2 + c2 − 2bc · cos α < b2 + c2 + 2bc = (b + c)2 , also a < b + c.
Analog ergeben sich b < a + c und c < a + b, unsere Bedingungen sind also notwendig
für die Existenz eines Dreiecks mit den Seitenlängen a, b, c. Sei nun umgekehrt die Dreiecksungleichung erfüllt. Nach eventueller Umbenennung können wir c ≥ a, b annehmen.
Wähle dann eine Strecke AB der Länge c und bilde den Kreis K mit Mittelpunkt A
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und Radius b sowie den Kreis L mit Mittelpunkt B und Radius a. Wegen c ≥ a, b und
c < a+b schneiden sich K und L außerhalb von AB und bezeichnet C einen der beiden
Schnittpunkte, so ist ABC ein Dreieck mit den Seitenlängen a, b, c.
K
L
a
b
B
A
Damit haben wir die Existenzaussage bewiesen. Die Eindeutigkeitsaussage ist, wie
schon oben festgehalten, klar und die Formeln für die drei Winkel folgen aus dem
Cosinussatz Satz 4.
Die effektive Konstruktion eines Dreiecks bei gegebenen a, b, c ist jetzt auch leicht
möglich. Wollen wir dies mit dem Geodreick tun, so berechnen wir zunächst den Winkel
α gemäß der obigen Formel und tragen dann Strecken AB und AC der Längen c und b
im Winkel α zueinander ab. Dies gibt uns das gesuchte Dreieck. Die Konstruktion mit
Zirkel und Lineal wurde im Beweis vorgeführt, man zeichnet die beiden beschriebenen
Kreise K und L mit dem Zirkel ein und wählt dann einen der beiden entstehenden
Schnittpunkte. Wir schauen uns noch zwei explizite Beispiele zum eben bewiesenen
Satz an.
1. Seien a = 6, b = 3 und c = 2. Um zu schauen ob es ein Dreick mit diesen
Seitenlängen gibt müssen wir die Dreiecksungleichung überprüfen. Diese ist hier
aber wegen a = 6 > 2 + 3 = b + c offensichtlich verletzt, es gibt also kein Dreieck
mit diesen Seitenlängen.
2. Nun seien a = 4, b = 2, c = 3. Diesmal sind die Dreiecksungleichungen erfüllt,
es reicht ja offenbar diese für die längste Seite zu verifizieren und hier haben wir
a = 4 < 2+3 = b+c. Es gibt also ein Dreieck mit diesen Seitenlängen. Die Winkel
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in diesem Dreieck ergeben sich jeweils auf zwei Nachkommastellen gerundet als
4 + 9 − 16
1
α = arccos
= arccos −
≈ 104, 48◦ ,
12
4
7
16 + 9 − 4
= arccos ≈ 28, 96◦ ,
β = arccos
24
8
16 + 4 − 9
11
γ = arccos
= arccos
≈ 46, 57◦ .
16
16
Man nennt den eben bewiesenen Satz 5 auch den Kongruenzsatz SSS, was für Seite–
Seite–Seite steht. Wir kommen nun zum nächsten Typ von Konstruktionaufgaben bei
dem zwei Seiten und ein Winkel vorgegeben sind. Hier gibt es zwei mögliche Fälle,
entweder ist der Winkel der von den beiden Seiten eingeschlossene Winkel oder einer der
beiden anderen Winkel. Im ersten Fall spricht man vom Kongruenzsatz SWS, für Seite–
Winkel–Seite, und im zweiten Fall vom Kongruenzsatz SSW für Seite–Seite–Winkel.
Diese beiden Fälle unterscheiden sich recht deutlich voneinander und wir beginnen mit
dem komplizierteren der beiden, dies ist der SSW-Satz. Angenommen wir wollen in den
Standardbezeichnungen die beiden Seiten b, c und den Winkel β vorgeben. Dann tragen
wir zunächst eine Strecke AB der Länge c ab. Der Winkel β gibt uns einen Halbstrahl
H vor auf dem der dritte Eckpunkt C des gesuchten Dreiecks liegen muss und die
Länge b gibt einen Kreis K mit Radius b und Mittelpunkt A auf dem C liegen muss.
Der gesuchte dritte Punkt C ist also ein Schnittpunkt der Halbgeraden H mit dem
Kreis K. Eine Halbgerade schneidet einen Kreis in entweder keinem, in genau einem
oder in zwei Punkten, und diese drei Möglichkeiten führen auf verschiedene Fälle.
C
a
b
β
A
B
c
Fall b < c
β
A
c
B
Fall b > c
Es können drei verschiedene Fälle auftreten. Ist b < c so sind wir in der links gezeigten
Situation, K ist entweder so klein das er von H verfehlt wird oder so groß das er von H
gleich zweimal getroffen wird. Im ersten Fall gibt es dann überhaupt kein Dreieck mit
den vorgegebenen Werten und im zweiten Fall gibt es genau zwei nicht kongruente und
passende Dreiecke. Eine eindeutige Lösung gibt es nur in dem Randfall das H tangential
an K ist. Dann ist im Schnittpunkt C ein rechter Winkel γ = π/2 und somit muss
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b/c = sin β sein. Im rechts gezeigten Fall b > c ist dagegen alles unproblematisch, der
Halbstrahl H trifft den Kreis K in genau einem Punkt C und wir haben die eindeutige
Lösung ABC. Im nicht gezeigten Ausartungsfall b = c gibt es dagegen für β < π/2
eine eindeutige Lösung während die Aufgabe für β ≥ π/2 nicht lösbar ist. Damit ist
uns die Situation zumindest qualitativ klar. Wir wollen uns auf den Hauptfall b > c
beschränken und diesen im folgenden Satz behandeln.
Satz 1.6 (Dreiecksberechnung bei zwei Seiten und einem äußeren Winkel)
Seien b > c > 0 und ein Winkel 0 < β < π gegeben. Dann existiert ein bis auf
Kongruenz eindeutiges Dreieck ∆ = ABC mit |AC| = b und |AB| = c dessen Winkel
bei B gleich β ist. In den Standardbezeichungen haben wir dann
q
b2 − c2 sin2 β,
!
p
c sin2 β − cos β b2 − c2 sin2 β
,
α = arccos
b
!
p
c sin2 β − cos β b2 − c2 sin2 β
γ = π − β − arccos
.
b
a = c cos β +
Beweis: Wir beginnen mit der Existenzaussage. Wähle einen Punkt A und bilde den
Kreis K mit Mittelpunkt A und Radius b. Weiter trage eine Strecke AB der Länge
|AB| = c ab. Wegen c < b liegt B innerhalb des Kreises K. Trage weiter eine von B
ausgehende Halbgerade H im Winkel β zu AB ab. Da der Ausgangspunkt B von H
innerhalb des Kreises K liegt, schneiden H und K sich in einem Punkt C. Dann ist
ABC ein Dreieck mit |AB| = c und |AC| = b da b der Radius von K ist. Außerdem
ist der Winkel dieses Dreiecks bei B gerade der Winkel zwischen AB und H also β.
Sei jetzt umgekehrt ABC ein Dreieck mit |AB| = c, |AC| = b und Winkel β bei B.
In den Standardbezeichnungen liefert der Cosinussatz Satz 4
b2 = a2 + c2 − 2ac cos β, also a2 − 2ac cos β + c2 − b2 = 0
Dies ist eine quadratische Gleichung für a und wir erhalten
a = c cos β ±
p
c2
cos2
β+
b2
−
c2
= c cos β ±
q
b2 − c2 sin2 β.
Dass sin2 β + cos2 β = 1 gilt hatten wir dabei in der letzten Sitzung eingesehen da der
Punkt (cos β, sin β) auf dem Kreis mit Radius 1 und Mittelpunkt
in (0, 0) liegt. Wegen
p
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b > c ist auch b −c sin p
β > c −c sin β = c cos β, also b − c2 sin2 β > c cos β und
damit ist a = c cos β + b2 − c2 sin2 β. Dies beweist zum einen die Berechnungsformel
für a und zum anderen ist a durch b, c, β festgelegt, also ist das Dreieck ABC bis auf
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Kongruenz eindeutig festgelegt. Weiter haben wir
p
2c2 − 2ac cos β
c − c cos2 β − cos β b2 − c2 sin2 β
b2 + c2 − a2
=
=
2bc
2bc
b
p
c sin2 β − cos β b2 − c2 sin2 β
=
,
b
und nach Satz 5 gelten
α = arccos
!
p
c sin2 β − cos β b2 − c2 sin2 β
b
und
γ = π − α − β = π − β − arccos
!
p
c sin2 β − cos β b2 − c2 sin2 β
.
b
Wir kommen zum nächsten der Konstruktionssätze bei dem zwei Seiten und der von
ihnen eingeschlossene Winkel vorgegeben sind. In den Standardbezeichnungen seien
etwa die beiden Seiten b, c > 0 und der von ihnen eingeschlossene Winkel 0 < α < π
gegeben. Dass es dann ein zu diesen Vorgaben passendes Dreieck gibt ist klar, wir
müssen ja nur eine Strecke AB der Länge c und eine Strecke AC der Länge b im
Winkel α abtragen, und haben dann ein Dreieck ABC der gewünschten Art. Dafür
müssen wir wieder eine Eindeutigkeitsaussage nachweisen, also zeigen das das Dreieck
durch b, c, α bis auf Kongruenz eindeutig festgelegt ist, man spricht dann auch vom
Kongruenzsatz SWS für Seite–Winkel–Seite. All dies läßt sich wieder bequem über den
Cosinussatz durchführen.
Satz 1.7 (Dreiecksberechnung bei zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel)
Seien b, c > 0 und 0 < α < π gegeben. Dann existiert ein bis auf Kongruenz eindeutiges
Dreieck ABC mit |AC| = b und |AB| = c so, dass α der Winkel bei A ist. In den
Standardbezeichnungen gelten weiter
√
a =
b2 + c2 − 2bc · cos α,
c − b cos α
,
β = arccos √
b2 + c2 − 2bc cos α
b − c cos α
γ = arccos √
.
b2 + c2 − 2bc cos α
Beweis: Die Existenz eines Dreiecks ABC mit den verlangten Eigenschaften haben wir
bereits eingesehen. Nach dem Cosinussatz Satz 4 gilt in jedem solchen Dreieck in den
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√
üblichen Bezeichnungen a = b2 + c2 − 2bc · cos α und insbesondere ist das Dreieck
nach Satz 5 bis auf Kongruenz eindeutig bestimmt. Weiter haben wir
a2 + c2 − b2
2c2 − 2bc cos α
c − b cos α
=
=√
2ac
2ac
b2 + c2 − 2bc cos α
und nach Satz 5 ist damit
β = arccos
c − b cos α
√
2
b + c2 − 2bc cos α
.
Die Gleichung für γ ergibt sich analog.
Es verbleiben nur noch die Konstruktionsaufgaben mit einer vorgegebenen Seite und
zwei vorgegebenen Winkeln. Da die Winkelsumme 180◦ ist, spielt es dabei keine Rolle
welche Winkel vorgegeben werden, sind zwei Winkel bekannt so stehen bereits alle
drei Winkel fest. Der entstehende Satz ist dann der sogenannte Kongruenzsatz Seite–
Winkel–Winkel, also SWW, und zur Berechnung der fehlenden Seitenlängen verwenden
wir den sogenannten Sinussatz, den wir zunächst einmal beweisen wollen.
Satz 1.8 (Der Sinussatz)
Sei ∆ ein Dreieck mit Seiten a, b, c und Winkeln α, β, γ in der Standardbezeichnung.
Dann gilt
sin α
sin β
sin γ
=
=
a
b
c
und bezeichnet ha , hb , hc die Höhen auf den jeweiligen Seiten a, b, c so haben wir
ha = c · sin β = b · sin γ, hb = c · sin α = a · sin γ, hc = b · sin α = a · sin β,
Beweis: Wir beginnen mit der Aussage über die Höhen und dabei reicht es hc = b·sin α
zu zeigen, die anderen Gleichungen gehen aus dieser durch Umbezeichnungen hervor.
Wir schreiben h = hc . Im Fall α = π/2 fallen h und b zusammen und wegen sin(π/2) =
1 ist in diesem Fall sofort h = b · sin α. Wir können also α 6= π/2 annehmen und wie
beim Cosinussatz treten drei mögliche Fälle auf.
b
α
a
h
b
h
a
α
p
c
Fall 1
p
c
Fall 2
h
a
b
p
α
c
Fall 3
Im ersten Fall ist 0 < α < π/2 und h liegt im Dreieck. Dann lesen wir den Sinus
von α im links auftauchenden rechtwinkligen Dreieck ab und haben sin α = h/b, also
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h = b · sin α. Im zweiten Fall ist 0 < α < π/2 weiterhin ein spitzer Winkel aber h
liegt außerhalb des Dreiecks. Dann verlängern wir die Seite c wie gezeigt zu einem
rechtwinkligen Dreieck und in diesem lesen wir den Sinus von α wieder als sin α = h/b
ab, haben also wieder h = b·sin α. Im letzten Fall ist π/2 < α < π ein stumpfer Winkel.
Betrachten wir dann das links auftauchende rechtwinklige Dreieck ACH wobei H der
Fußpunkt von h = hc auf AB ist, so liegt in diesem bei A der Winkel π − α an, also ist
sin α = sin(π − α) =
h
also erneut h = b · sin α.
b
Der eigentliche Sinussatz ist jetzt eine unmittelbare Folgerung, wegen
c · sin β = b · sin γ ist
sin γ
sin β
=
b
c
und wegen
c · sin α = a · sin γ haben wir auch
sin α
sin γ
=
.
a
c
Damit kommen wir jetzt zum finalen Kongruenzsatz SWW:
Satz 1.9 (Dreiecksberechnung bei einer Seite und zwei Winkeln)
Seien c > 0 und 0 < α, β < π gegeben. Dann existiert genau dann ein Dreieck ∆ =
ABC mit |AB| = c und Winkeln α bei A und β bei B wenn α + β < π ist. In diesem
Fall ist ∆ bis auf Kongruenz eindeutig bestimmt und es gelten
sin α
· c,
sin(α + β)
sin β
b =
· c,
sin(α + β)
γ = π − α − β.
a =
Beweis: Da die Winkelsumme im Dreieck gleich π ist, ist die Bedingung α + β < π
notwendig für die Existenz eines passenden Dreiecks. Nun nehme umgekehrt α + β < π
an.
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A
α
c
C
β
B
Dann tragen wir eine Strecke AB der Länge c ab und bilden im Winkel α einen von A
ausgehenden Halbstrahl und im Winkel β einen von B ausgehenden Halbstrahl. Diese
beiden schneiden sich in einem Punkt C und dann ist ABC ein Dreieck mit |AB| = c
und Winkel α bei A und β bei B. Damit ist die Existenzaussage bewiesen, und wir
kommen nun zur Eindeutigkeit.
Sei also ein beliebiges Dreieck ∆ des gesuchten Typs gegeben. Dann ist γ = π−α−β
und mit dem Sinussatz Satz 8 folgen
a=
sin α
sin α
sin α
c=
·c=
·c
sin γ
sin(π − (α + β))
sin(α + β)
und ebenso
b=
sin β
sin β
c=
· c.
sin γ
sin(α + β)
Insbesondere ist ∆ bis auf Kongruenz eindeutig bestimmt.
Die obige Konstruktion des Punktes C verdient noch einen kleinen Kommentar. Wir
hatten bereits ganz zu Beginn angemerkt das man die ebene Geometrie auch axiomatisch aufbauen kann, und das Urbeispiel eines solchen Aufbaus sind die Elemente des
”
Euklid“. Diese sind im Zeitraum um 300 vor Christus entstanden und eines der dort
verwendeten Axiome ist das sogenannte Parallelenaxiom
Schneiden zwei Strecken eine Gerade in zwei gegenüberliegenden Winkeln
die zusammen kleiner als zwei Rechte sind, so treffen sich diese Strecken bei
Verlängerung ins Unendliche in einem Punkt der auf der Seite der Geraden
liegt in der die beiden gegenüberliegenden Winkel sind die zusammen kleiner
als zwei Rechte sind.
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Der Name Parallelenaxiom“ entsteht da diese Aussage unter Voraussetzung der übri”
gen Axiome dazu äquivalent ist, dass es zu jeder Geraden und zu jedem Punkt außerhalb der Geraden stets genau eine Gerade durch den Punkt gibt welche die vorgegebene
Gerade nicht trifft. Unser Beweis des SWW-Satzes zeigt das der Kongruenzsatz SWW
im wesentlichen zum Parallelenaxiom äquivalent ist. Tatsächlich wird bei vielen Axiomensystemen für die ebene Geometrie die eine oder andere Form eines Kongruenzsatzes
als Axiom verwendet.
Zusammenfassend haben wir damit die folgenden Kongruenzaussagen eingesehen:
Zwei Dreiecke sind genau dann kongruent wenn sie
• in allen drei Seiten,
• in zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel,
• in zwei Seiten und dem der längeren Seite gegenüberliegenden Winkel,
• in einer Seite und zwei Winkeln
übereinstimmen.
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