a+x - Institut für Physikalische und Theoretische Chemie

Vorkurs Mathematik
für neu eingeschriebene Studierende der Chemie
Bernd M. Nestmann
Institut für Physikalische und Theoretische Chemie
Universität Bonn
20. April 2005
1
Inhaltsverzeichnis
1 Begriff der Funktion
1.1
1
Funktionen und ihre Darstellungen . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.1
Darstellung durch eine Gleichung (explizit) . . . . . . . .
1
1.1.2
Darstellung durch eine Tabelle . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.3
Darstellung als Graphik . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Weitere Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Verknüpfung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3.1
I. Verknüpfung der Funktionswerte . . . . . . . .
6
1.3.2
II. Verknüpfung durch Substitution . . . . . . . . .
10
1.3.3
Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.4
1.5
1.4.1
Definition des Sinus und des Cosinus eines Winkels 14
1.4.2
Rechenregeln für Sinus und Cosinus . . . . . . . .
15
1.4.3
Tangens und Cotangens . . . . . . . . . . . . . .
16
Exponential– und Logarithmusfunktion . . . . . . . . . .
17
1.5.1
Definition der Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . .
17
1.5.2
Eigenschaften von exp(x) . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.5.3
Definition der Eulerschen Zahl e . . . . . . . . . . . . .
21
1.5.4
Definition und Eigenschaften der Logarithmusfunktion ln(x)
22
1.5.5
Definition von ax und loga (x) . . . . . . . . . . . . . .
22
i
2 Grenzwerte
23
2.1
Grenzwerte von Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.2
Rechenregeln für Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.2.1
26
Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit . . . .
3 Zahlensysteme
28
3.1
Umkehrung von Rechenoperationen . . . . . . . . . . . .
28
3.2
Natürliche, ganze, rationale, reelle, komplexe Zahlen . . .
30
3.3
Darstellung und Rechenoperationen für komplexe Zahlen .
32
3.3.1
Definition der komplexen Zahlen . . . . . . . . .
32
3.3.2
Komplexe Zahlenebene . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.3.3
Eulersche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
ii
1 Begriff der Funktion
1.1
1.1.1
Funktionen und ihre Darstellungen
Darstellung durch eine Gleichung (explizit)
y = f (x) =
1
x
Bedeutung
Einer vorgegebenen Zahl
x
(unabh¨
angig Ver¨
anderliche)
wird mittels eines fesgelegten
Bildungsgesetzes
f (x) (Funktion)
eine Zahl
y
(abh¨
angig Ver¨
anderliche)
zugeordnet.
Definitionsbereich: Reele Zahlen6=0
Reele Zahlen6=0
Wertebereich:
1.1.2
Darstellung durch eine Tabelle
x 4 2 1
y
1
4
1
2
1
2
1
4
− 14 − 12 −1 −2 −4 0
1 2 4 −4 −2 −1 − 41 − 12 −
Definitionsbereich: {−4, −2, −1, − 21 , − 14 , 41 , 12 , 1, 2, 4}
Wertebereich:
{−4, −2, −1, − 21 , − 14 , 41 , 12 , 1, 2, 4}
1
1.1.3
Darstellung als Graphik
4
y
2
0
-2
-4
-4
-2
0
2
4
x
x-Achse: Abszisse
y-Achse: Ordinate
Beispiel: Ohmsches Gesetz
Spannung
U = IR
U werde festgehalten,
Widerstand R werde ver¨
andert,
Strom
I
wird in Abh¨
angigkeit von R betrachtet:
I = f(R)
Ohmsches Gesetz in obiger Form liefert implizite Darstellung von f(R):
U = f(R) R
=⇒ explizite Darstellung von f(R):
I = f(R) =
2
U
.
R
1.2
Weitere Beispiele
Beispiel 1
Für eine rechteckige Fl¨
ache sei die l¨
angere Seite b
√
2 mal so lang wie die
kürzere Seite a. Wie berechnet sich die Fl¨
ache F aus a ?
F = a·b
√
b= 2a
)
√
√ 2
=⇒ F(a) = a 2 a = 2 a ≈ 1.414 a2
Die kürzere Seite sei 0.5 m =⇒
a = 0.5
√
F(0.5) = 2 · 0.52
= 0.35355,
d.h. die Fl¨
ache betr¨
agt 0.35355 m2.
Beispiel 2
Eine Glasscheibe habe obige Form. Der Preis P setze sich zusammen aus
= 14 EUR/m2
PG
: Preis für das Glas
PZ
: Preis für den Zuschnitt = 12 EUR/m (Schnittl¨
ange=Umfang U)
also
P = PG + PZ
= 14 F + 12 U
3
Die L¨
ange der kürzeren Seite sei wieder a. Was kostet die Glasscheibe ?
F
=
U
=
√ 2
2a
=
√
= 2 (1 + 2) a,
P(a)
=
2a + 2b
√
2a + 2 2 a
14
√
√
2 a + 12 · 2 (1 + 2) a
2
Die kürzere Seite sei 2 m =⇒
P(2) = 14
√
√
2 4 + 12 · 2 (1 + 2)2
= 79.20 + 115.88
= 195.08
d.h. die Glasscheibe kostet 195.08 EUR.
Beispiel 3
Es stehen 100 EUR zur Verfügung, wie groß darf die Glasscheine sein ?
gegeben: P
gesucht: a
P = A · a2 + B · a
mit
A = 14
√
2
≈ 19.80
√
B = 12 · 2 (1 + 2)
≈ 57.94
4
Auflösen der Gleichung nach a:
A · a2 + B · a − P = 0
B
P
a2 + a −
= 0
A
A
r
B2 P
B
+
a = −
±
2
2A
4A
A
s
4PA
B
B2
1+ 2
= −
±
2A
4A2
B
s
B
B
4PA
= −
±
1+ 2
2A
2A
B
!
r
B
4PA
=
± 1+ 2 −1
2A
B
Nur positive Lösungen interessieren =⇒
!
r
4A
B
1+ 2P −1
a(P) =
2A
B
√
≈ 1.463
1 + 0.02359 P − 1
Probe: P=195.08
√
a(195.08) = 1.463
5.602 − 1
= 1.463 · 1.367
= 2.000
Obiges Problem
√
a(100) = 1.463
2.359 + 1 − 1
= 1.463 · 0.833
= 1.219
d.h. die kürzere Kante darf höchstens 1.219 m lang sein.
5
1.3
Verknüpfung von Funktionen
1.3.1
I. Verknüpfung der Funktionswerte
Beispiel: Sei
1
,
x
g(x) = x2,
f (x) =
h(x) = f (x) + g(x).
=⇒
x
f(x)
g(x)
h(x)
0.25
4
0.5
2
0.25
2.25
1
1
1
2
2
0.5
4
4.5
4
0.25
16
16.25
-1
-1
1
0
0.0625 4.0625
Aus der Identität
y = f (x) = x
lassen sich durch derartige Verknüpfungen folgende Klassen von Funktionen erzeugen:
Potenzfunktionen
y = xn
Potenzieren der Identit¨
at.
Polynome
y = a n xn + · · · + a 1 x + a 0
Multiplizieren der
Potenzfunktionen mit Konstanten und Addition.
a m xm + · · · + a 1 x + a 0
Rationale Funktionen y =
Division von Polynomen.
b n xn + · · · + b 1 x + b 0
Grad eines Polynoms (in x): größter auftretender Exponent von x.
6
Bemerkung
Summe, Differenz und Produkt von Polynomen sind wieder Polynome.
Der Grad des Produkt-Polynomen ist gleich der Summe der Grade der Faktoren.
Beispiel
P1(x) = x3 + 3 · x2 + 3 · x + 1
P2(x) = x2 − 4
P1(x) ∗ P2(x) =
=
x2
−4
·(x3
+ 3 · x2
·(x3
+ 3 · x2
x5
+ 3 · x +1)
+ 3 · x +1)
+ 3 · x4 + 3 · x3 +x2
−4x3 − 12 · x2 + 12 · x +4.
x5 x4 x3
1
3
x2
3
x
1
1
-4 -12 -12 -4
1
3 -1 -11 -12 -4
P1(x) ∗ P2(x) = x5 + 3 · x4 − x3 − 11 · x2 − 12 · x − 4
Beispiel
(x + 1)2 = x2 + 2x + 1
(x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1
(x + 1)4 = x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1
...
n n
n
n
n
n
(x + 1)n =
x +
xn−1 +
xn−2 + · · · +
x+
n
n−1
n−2
1
0
7
n · (n − 1) · · ·(n − m + 1)
n
n!
=
=
m! · (n − m)!
1 · 2 · · ·m
m
z.B.
4
4·3
=
2
1·2
Pascalsches Dreieck
0
0 1
1
0 1 2
2
2
=
0 1 2 3
3
3
3
0 1 2 3 4
4
4
4
4
0
1
2
3
4
...
1
1
1
1
1
Definition:
1
2
3
4
1
3
6
...
1
4
1
n+1
n
n
=
+
m+1
m
m+1
n
n
n!
0! = 1, =⇒
=
=
= 1
n
0
0! · n!
8
Bemerkung
Summe, Differenz, Produkt und Quotiont rationaler Funktionen ergeben
wieder eine rationale Funktion.
Regel:
Seien P1(x) und P2(x) zwei Polynome in x vom Grade m und n, mit m > n.
Dann gibt es die Zerlegung:
P1(x)
P10 (x)
f (x) =
= P0 +
,
P2(x)
P2(x)
wobei P0 und P10 eindeutig bestimmte Polynome vom Grade m − n und m0
mit m0 < n sind. P0 und P10 erh¨
alt man durch Polynom-Division.
Beispiel
P1(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1
P2(x) = x − 1
x3 + 3 · x2 + 3 · x + 1 :(x − 1) = x2 + 4 · x + 7
- x3
-
- x2
4 · x2 + 3 · x + 1
4 · x2 - 4 · x
7·x + 1
7·x - 7
8
x3 + 3 · x 2 + 3 · x + 1
8
= x2 + 4 · x + 7 +
x−1
x−1
Probe: Es muss gelten
P1(x) = P2(x) P0(x) + P10 (x),
also
x3 + 3x2 + 3x + 1 = (x − 1) (x2 + 4 · x + 7) + 8 .
9
1.3.2
II. Verknüpfung durch Substitution
Sei
1
,
x
z = g(y) = y2,
y = f (x) =
=⇒ durch Substitution von y in g(y) durch f (x):
2
1
.
z = h(x) = g ( f (x)) =
x
f(x) g(y) y z x
h(x ) = g( f( x ))
Weiteres Beispiel
Gerade in der (x,y)-Ebene durch den Punkt (x0, y0) mit dem Anstieg a:
y = f (x) = a (x − x0) + y0 =⇒ (y − y0) = a (x − x0).
Gerade in der (y,z)-Ebene durch den Punkt (y0, z0) mit dem Anstieg b:
z = g(y) = b (y − y0) + z0 =⇒ (z − z0) = b (y − y0).
Substitutions von y in g(y) durch f (x):
z = g( f (x)) = b a (x − x0) + z0 =⇒
Gerade in der (x,z)-Ebene durch den Punkt (x0, z0) mit dem Anstieg a b.
10
Anwendung
Sei f (x) eine Funktion mit f (x0) = y0 und der Tangente
y = a (x − x0) + y0
an der Stelle x0.
y
y=a(x−x0)+y0
y0
y=f(x)
η
ξ
0
x0
a =η/ξ = df/dx|x
x
0
Sei g(y) eine Funktion mit g(y0) = z0 und der Tangente
z = b (y − y0) + z0
an der Stelle y0. Dann ist
z = b a (x − x0) + z0.
die Tangente der Funktion g( f (x)) an der Stelle x0:
“Bildung der Tangente vertauscht mit Substitution” =⇒
d f (y) d f (x) d f (g(x)) = ba =
dx x=x0
dy y=y0 dz x=x0
(“Substitutionsregel”)
11
Beispiel
h(x) = sin(x2),
f (x) = x2,
g(y) = sin y,
d f (x)
= 2 x,
dx
dg(y)
= cos y = cos(x2),
dy
dh(x)
dg( f (x))
=
= 2x cos(x2).
dx
dx
Es gilt allgemein:
Substitution der unabh¨
angig Ver¨
anderlichen
in einem Polynom durch ein Polynom
ergibt wieder ein Polynom,
in einer rat. Funkt. durch eine rat. Funkt. ergibt wieder eine rat. Funkt.
1.3.3
Umkehrfunktion
Es gelte:
g( f (x)) = x für alle x aus dem Definitionsbereich von f und
f (g(y)) = y für alle y aus dem Definitionsbereich von g,
dann heißt f Umkehrfunktion von g, und g Umkehrfunktion von f .
12
x g(y)
f(x)
y
Notwendige Bedingung für f (x) eine Umkehrfunktion zu besitzten:
f (x) muss umkehrbar eindeutig sein, d.h.:
aus f (a) = f (b) folgt a = b.
Paare von Umkehrfunktionen
f (x)
Def.Ber. von f
g(y)
y b
ax+b
reelle Zahlen
für a 6= 0 : −
a a
1
1
reelle Zahlen 6= 0
x
y
√
x2
reelle Zahlen ≥ 0
y
√
x2
reelle Zahlen ≤ 0
− y
n√
xn
reelle Zahlen ≥ 0
y
π
π
sin x
− ≤x≤
arcsin y
2
2
cos x
0≤x≤π
arcsin y
π
π
tan x
− <x<
arctan y
2
2
ex
reelle Zahlen
ln y
ln y
ax
reelle Zahlen
für a > 0 :
ln a
13
Def.Ber. von g
reelle Zahlen
reelle Zahlen 6= 0
reelle Zahlen ≥ 0
reelle Zahlen ≥ 0
reelle Zahlen ≥ 0
−1 ≤ y ≤ 1
−1 ≤ y ≤ 1
reelle Zahlen
reelle Zahlen > 0
reelle Zahlen > 0
1.4
1.4.1
Trigonometrische Funktionen
Definition des Sinus und des Cosinus eines Winkels
voller Kreis:
α = 2 π,
e
us
ten
po
y
H
c
α
b
a
Ankathete zu α
Gegenkathete zuα
Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck mit den beiden anderen Winkeln
π
α und − α
2
α sei als Bogenmaß gegeben
π
rechter Winkel: α = ,
2
Halbkreis:
α = π,
Gegenkathete
a
=
Hypotenuse
c
Ankathete
b
cos α =
=
Hypotenuse
c
sin α =
Darstellung am Einheitskreis
y
1
π/2−α
α
−sin α
−1 −cos α
sin α
−1
14
1
cos α
x
1
cosα sinα
0.5
0
-0.5
-1
-4
-2
0
2
4
α
1.4.2
Rechenregeln für Sinus und Cosinus
Pythagoras =⇒
sin2 α + cos2 α = 1 =⇒
cos α =
sin α =
p
p
1 − cos2 α
1 − sin2 α
Darstellung am Einheitskreis =⇒
sin(−α ) = − sin α (ungerade Funktion),
cos(−α ) = cos α (gerade Funktion),
sin(α + n 2π ) = sin α (n ganzzahlig;Periodizit¨
at, Periode: 2π ),
cos(α + n 2π ) = cos α ,
sin α = cos(π /2 − α ),
cos α = sin(π /2 − α ).
15
Additionstheoreme:
sin(α + β ) = cos α sin β + sin α cos β ,
cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β .
1.4.3
Tangens und Cotangens
Definition des Tangens
tan α =
Gegenkathete sin α
=
.
Ankathete
cos α
Darstellung am Einheitskreis =⇒
tan(α + π ) =
sin(α + π )
− sin α
= tan α (Periode π ).
=
cos(α + π ) − cos α
4
tanα
2
0
-2
-4
-4
-2
0
2
4
α
Definition des Cotangens
cot α =
Ankathete
cos α
π
= (tan α )−1 = − tan(α − ).
=
Gegenkathete sin α
2
16
Umkehrfunktion zu tan α :
1.5
1
0.5
α
arctan x
0
-0.5
-1
-1.5
-4
-2
0
2
4
x
1.5
1.5.1
Exponential– und Logarithmusfunktion
Definition der Exponentialfunktion
Es werde am Jahresanfang ein Guthaben G0 auf die Bank eingezahlt. Dieses Guthaben werde mit einem Jahreszins z verzinst.
Guthaben nach:
einem Jahr:
G 1 = G0 + z · G 0 =
zwei
drei
n
G0 · (1 + z)
Jahren: G2 = G1 + z · G1 = G1 · (1 + z) = G0 · (1 + z)2
Jahren: G3 = G2 + z · G2 = G2 · (1 + z) = G0 · (1 + z)3
G0 · (1 + z)n
Jahren: Gn =
z.B.:
z = 0.07 (= 7%) :
17
Jahre
Guthaben
0
1 · G0
1.07 · G0
1
2 1.1449 · G0
3 1.2250 · G0
5 1.4026 · G0
8 1.7182 · G0
Verzinsung
2
1.5
1
0.5
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Jahre
Der Jahreszins (z = 7%) und der Zeitraum (1 Jahr) seien festgehalten , die
Abrechnungszeitr¨
aume ver¨
anderlich.
Zeitraum
Anzahl/Jahr V ermehrung am Jahresende
Jahr
1
Halbjahr
2
Monat
Tag
Stunde
Grenzwert
12
365
8760
lim
n→∞
1+z
z
(1 + )2
2
z 12
(1 + )
12
z 365
(1 +
)
365
z 8760
)
(1 +
8760
z
(1 + )n
n
18
= 1.07
= 1.071225
= 1.072290
= 1.072501
= 1.072508
= 1.072508
Wachstum des Guthabens in einem Jahr bei Jahreszins z und beliebig kleinen Abrechnungszeitr¨
aumen:
z n
exp(z) := lim 1 +
n→∞
n
Wachstum des Guthabens in t Jahren bei Jahreszins z und beliebig kleinen
Abrechnungszeitr¨
aumen:
t z n
exp(t z) := lim 1 +
n→∞
n
Bedeutung von z in exp(zt)
Der Zinssatz z gibt den Wachstumsfaktor des Guthabens pro Zeiteinheit an
z exp(zt) =
d exp(zt)
dt
d.h. exp(zt) beschreibt ein konstantes relatives Wachstum, bzw einen
konstanten relativen Zerfall mit der Wachstums- bzw. Zerfallsrate z.
Insbesondere gilt (z = 1, t = x)
exp(x)0 = exp(x).
Seien t1 und t2 zwei aufeinanderfolgende Zeitr¨
aume. Dann ist der Wachstumsfacktor der Guthabens über den Gesamtzeitraum
zum einen gleich
exp(z (t1 + t2) = exp((zt1) + exp(zt2)),
exp(zt1) exp(zt2),
zum anderen gegeben durch
also gilt
exp((zt1) + (zt2)) = exp(zt1) exp(zt2).
19
1.5.2
Eigenschaften von exp(x)
Es gilt
1. (wie eben demonstriert)
exp(x1) · exp(x2) = exp(x1 + x2)
2.
0
exp(0) = lim 1 +
n→∞
n
n
= lim 1 = 1
n→∞
3.
exp(x1 − x2) · exp(x2) = exp(x1) =⇒
exp(x1)
= exp(x1 − x2),
exp(x2)
und insbesondere
1
= exp(−x) .
exp(x)
4. Für x > 0 gilt:
x n
exp(x) = lim 1 +
≥ (1 + x) > 1 =⇒
n→∞
n
1
< 1 =⇒
0 < exp(−x) =
exp(x)
Definitionsbereich: alle reellen Zahlen,
Wertebereich:
alle positiven Zahlen.
5. x2 > x1 =⇒
exp(x2) = exp(x1) · exp(x2 − x1) > exp(x1)
20
d.h. exp(x) ist streng monoton wachsend.
6.
· · + x}) =⇒
exp(x)m = exp(x) · · · exp(x) = exp(x| + ·{z
{z
}
|
m mal
m mal
exp(x)m = exp(m · x)
1.5.3
Definition der Eulerschen Zahl e
e := exp(1) = lim 1 +
n→∞
Folgerungen
1
n
n
= 2.718282
1.
exp(m) = exp(m · 1) = exp(1)m = em,
2.
m
1
1
1
e = exp(1) = exp
+···+
= exp
, =⇒
m
m
m
|
{z
}
m−mal
√
1
1
= m e = em .
exp
m
3. Schreibweise:
ex := exp(x)
ist im Einklang mit (ganzzahligen) Potenzen und Wurzeln von e.
21
1.5.4
Definition und Eigenschaften der Logarithmusfunktion ln(x)
Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion:
eln(x) = x für positive x,
ln(ey) = y für beliebige reelle y.
Eigenschaften
1. Die Logarithmusfunktion ist als Umkehrfunktion der Exponentialfunk-
tion nur für positive Zahlen erkl¨
art.
2.
ln(x)



 > 0 für x > 1
= 0 für x = 1


 < 0 für 0 < x < 1
3. Mit y1 = ln(x1), y2 = ln(x2) erh¨
alt man:
ln(x1 · x2) = ln(ey1 · ey2 )
= ln(ey1+y2 )
= y1 + y2
= ln(x1) + ln(x2) .
1.5.5
Definition von ax und loga (x)
Wegen a = e
ln a
x
definiert man a := e
ln a x
= ex ln a.
Sei umgekehrt y gegeben, mit y = ax , dann gilt wegen obiger Definition:
ln y = x ln a,
ln y
x =
,
ln a
22
also ist loga(y) :=
ln y
die Umkehrfunktion zu ax.
ln a
23
2 Grenzwerte
2.1
Grenzwerte von Zahlenfolgen
Beispiele für unendliche Zahlenfolgen
1. Natürliche Zahlen: 1, 2, 3, 4, · · · , n, · · ·
1 1 1
1
2. Reziproke der natürlichen Zahlen: 1, , , , · · · , , · · ·
2 3 4
n
(n−1)
5 19 65 211
2
3. Geometrische Reihe: 1, , , ,
,···
, · · · , a(n−1) +
3 9 27 81
3
(an ist das n-te Glied der Folge),
4. Alternierende Folge: 1, −1, 1, −1, · · · , (−1)(n−1), · · ·
Folge 2. hat den Grenzwert 0, Folge 3. den Grenzwert 3. Die Folgen 1. und
4. haben keinen Grenzwert.
Unendliche Zahlenfolge:
{an} = a1, a2, a3, · · · , an, · · ·
d.h. zu jeder natürlichen Zahl n gibt es eine Konstruktionsvorschrift f ür an.
Definition a = lim an:
n→∞
Zu jedem beliebig (klein) vorgebbaren ε > 0 existiert eine nat ürliche Zahl
nε , daß für alle n ≥ nε stets |an − a| < ε gilt.
Man sagt dann, Folge {an} konvergiert gegen den Grenzwert a
Beispiel:
an =
n−1
1 2 3 4
, , , , ··· ,
,···
2 3 4 5
n
Behauptung: lim an = 1.
n→∞
24
Sei ein beliebig kleines ε > 0 vorgegeben .
1
1
1
1
W¨
ahle nε >
=⇒
< ε . Für n > nε folgt < < ε . Somit gilt
ε
nε
n nε
n − 1
|an − 1| = − 1
n
1
= 1 − − 1
n
1
=
n
< ε,
für n > nε und damit
n−1
= 1.
n→∞ n
Andere Definition der Konvergenz einer Folge:
lim
{an} ist konvergent, wenn zu jedem beliebig (klein) vorgebbaren ε > 0 eine
natürliche Zahl nε existiert, daß für beliebiges m > nε stets |anε − am| < ε
gilt.
Bemerkung:
Der Grenzwert a kommt in dieser Definition nicht vor, sie wird deshalb
auch zur Einführung der reellen Zahlen verwendet: jede reelle Zahl l¨
aßt
sich als Folge rationaler Zahlen darstellen, die obiges Kriterium erf üllt.
2.2
Rechenregeln für Grenzwerte

lim an = a, 
lim (an ± bn) = a ± b,
n→∞
lim (an · bn)
=⇒ n→∞
lim bn = b, 
an
n→∞
lim
n→∞ bn
n→∞
25
=
=
a · b,
a
, falls bn, b 6= 0.
b
Beispiele:
1
= 0,
n→∞ n
lim a = a,
lim
n→∞
n−1
1
= lim (1 − ) = 1,
n→∞ n
n→∞
n
für an > 0 :
√ √
√
lim an = lim ( an · an) = ( lim an)2 =⇒
n→∞
n→∞
n→∞
q
√
lim an =
lim an,
n→∞
n→∞
!
1
1
p
= x
lim x p
n→∞
1 + x2/n2
lim 1 + x2/n2
lim
n→∞
= xq
= xq
1
lim (1 + x2/n2)
n→∞
1
1 + x2( lim 1/n)2
n→∞
= x
Definition:
Beispiele:
Eine nicht konvergente Folge heißt divergent.
{(−1)n}, {n}
26
2.2.1
Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit
Definition
Sei eine Funktion f (x) in einem Intervall I um die Stelle x0 aber nicht
notwendig in x0 selbst definiert.
Man betrachtet nun Zahlenfolgen {xn} mit den Eigenschaften:
1. xn ∈ I für alle n,
2. xn 6= x0 für alle n,
3. lim = 0.
n→∞
Gilt für alle Folgen mit diesen Eigenschaften: lim f (xn) = a,
n→∞
so schreibt man
lim f (x) = a.
x→x0
y
f(x
f(x32 ))
f(x1 )
f(x)
x0x3x2
x1
27
x
Beispiel
sin(x)
für x 6= 0. Man kann zeigen:
x
lim f (x) = 1.
f (x) =
x→0
1
sin(x)
x
0.5
y
0
-0.5
-1
-4
-2
0
2
4
x
Definition
Sei eine Funktion f (x) in einem Intervall I um die Stelle x0 definiert. f (x)
heißt stetig in x0 wenn gilt:
lim f (x) = f (x0)
x→x0
Insbesondere gilt für eine konvergente Folge {xn}, mit lim = x0 f (x)
xn →∞
stetig ist:
lim f (xn) = f ( lim xn) (= f (x0)),
n→∞
n→∞
sofern f (x) in x0 stetig ist; d.h.: der Grenzübergang ist mit der Funktion
vertauschbar.
28
Beispiele für nicht stetige Funktionen:

 x

fürx 6= 0 
|x|
f (x) =
nicht stetig in x = 0
(Sprünge),
 1 fürx = 0 
x
f (x) = 2
nicht stetig in x = −1, 1 (Pole),
x −1
f (x) = tan(x)
nicht stetig in x = n π
(Pole),
1
f (x) = e x
nicht stetig in x = 0.
Bemerkung
Alle im Abschnitt 1 behandelten Funktionen sind da, wo sie definiert sind,
auch stetig.
3 Zahlensysteme
3.1
Umkehrung von Rechenoperationen
Umkehrung von Rechenoperationen
Beispiel: Addition
a + |{z}
b = |{z}
x
|{z}
bekannt
Umkehrung:
unbekannt
a + |{z}
x = |{z}
b
|{z}
bekannt
oder
bekannt
unbekannt
bekannt
x = b − a.
Spezialf¨
alle:
1. a + x = a =⇒ ”x bewirkt nichts” =⇒ x = 0
2. a + x = 0 =⇒ ”x macht a rückg¨
angig” =⇒ x = −a.
29
Beispiel: Multiplikation
a · x = b =⇒ x := b : a :=
b
.
a
Spezialf¨
alle:
1. a · x = a =⇒ ”x bewirkt nichts” =⇒ x = 1
1
2. a · x = 1 =⇒ ”x macht a rückg¨
angig” =⇒ x = .
a
Rechenregeln der Bruchrechnung x und y erfüllen die Bedingungen
b
a · x = b, d.h. x = ,
a
d
c · y = d, d.h. y = .
c
1. Multiplizieren der Gleichungen:
a · c · x · y = b · d, d.h. x · y =
b·d
.
a·c
2. Multiplizieren der ersten Gleichung mit c, der zweiten mit a, und Addieren:
a·c·x+c·a·y =
a · c (x + y) = b · c + a · d, d.h.
3. Sei außerdem
x
y · z = x, d.h. z = .
y
30
b·c+a·d
.
a·c
Durch Multiplizieren mit a · c und Ersetzen von a · x durch b und c · y
durch d erh¨
alt man:
a · c · y · z = a · c · x,
a · d · z = b · c,
d.h. x =
b·c
.
a·d
Die Rechenregeln für die Umkehroperationen ergeben sich notwendig
aus denen den ursprünglichen Operationen.
3.2
Natürliche, ganze, rationale, reelle, komplexe Zahlen
Das System von Zahlen B ist eine Erweiterung eines Systems von Zahlen
A unter Berücksichtigung bestimmter, in A definierter Rechenoperationen
und Rechenregeln, wenn
1. A Teilmenge von B ist,
2. die in A betrachteten Operationen auf B ausgedehnt werden k önnen,
3. die über A betrachteten Rechenregeln auch über B gültig sind.
31
Zahlensysteme
Zahlensystem
Beispiel
Natürliche Zahlen 1,2,3,· · ·
Ganze Zahlen
Rationale Zahlen
Reelle Zahlen
Erzeugt durch
Definierte Operationen
Z¨
ahlen
+, ·
· · · ,-2,-1,0,1,2,· · · Subtrahieren
+, −, ·
p
Dividieren
+, −, ·, :
, p, q ganz
q √
π , e, 2
Grenzwerte
+, −, ·, :
unendlicher Folgen
32
Komplexe Zahlen i, 1, −i, · · ·
Lösungen von
x2 + 1 = 0
√
+, −, ·, :, x
Natürliche Zahlen ⊂ ganze Zahlen ⊂ rationale Zahlen ⊂ reelle Zahlen ⊂ komplexe Zahlen.
Betrachtete Rechenregeln:
Kommutativgesetze: a + b = b + a,
Assoziativgesetze:
a·b = b·a
(a + b) + c = a + (b + c), (a · b) · c = a · (b · c)
Distributivgesetz: c · (a + b) = c · a + c · b
Darstellung und Rechenoperationen für komplexe Zahlen
3.3
3.3.1
Definition der komplexen Zahlen
Ziel: Lösbarkeit aller quadratischer Gleichungen durch Erweiterung des
Bereiches der reellen Zahlen.
are Einheit i, die
Weg: Die rellen Zahlen werden erweitert durch die imagin¨
als Nullstelle der im reellen nicht lösbaren Gleichung:
x2 + 1 = 0
gesetzt wird. =⇒
i ist keine reelle Zahl und es gilt i2 = −1.
Durch Addition und Multiplikation mit reellen Zahlen (unter Beachtung
obiger Rechenregeln) erh¨
alt man:
- die imagin¨
are Zahlen a · i mit a reell,
- die komplexen Zahlen z = a + b · i mit a, b reell.
a heißt Realteil: a = ℜ(z),
b heißt Imagin¨
arteil: b = ℑ(z).
Die komplexen Zahlen sind gegenüber Addition, Multiplikation und deren
Umkehroperationen abgeschlossen,
33
d.h. diese Operationen führen zu keiner Erweiterung der komplexen Zahlen.
3.3.2
Komplexe Zahlenebene
Die komplexen Zahlen lassen sich als Punkte in einer Ebene darstellen:
Im
z
Im(z)
|z|
φ =arg(z)
0
Re
Re(z)
z*
Definition: z∗ = a − bi heißt konjugiert-komplex zu z = a + bi.
Bedeutung: z, an der reellen Achse gespiegelt
√
Definition: |z| = a2 + b2 heißt Betrag von z = a + bi.
Bedeutung: Abstand von z von der 0.
b
Definition: arg z = arctan + n π heißt Argument von z = a + bi.
a
Bedeutung: Winkel der Verbindungsgeraden von 0 und z und der positiven
Richtung der reellen Achse.
Z.B. arg z = π bedeutet: z ist eine negative reelle Zahl.
Weitere Beziehungen zwischen den Bestimmungsgrößen von z
1. ℜ(z) = |z| · cos(arg z).
2. ℑ(z) = |z| · sin(arg z).
34
3. |z∗| = |z|.
4. arg z∗ = − arg z.
5. Andere Darstellung des Betrags:
z · z∗ = (a + bi) · (a − bi)
= a2 + b2
= |z|2.
6. Inverses einer komplexen Zahl:
1
z∗
= 2.
z
|z|
7. Betrag des Produktes:
|z1 · z2| = |z1| · |z2|.
8. Argument des Produktes:
arg(z1 · z2) = arg z1 + arg z2.
9. Lösungen der Gleichung z3 = 1:
35
Im
1
z2
2/3 π
−1
z1 1
Re
z3
−1
3.3.3
Eulersche Formel
Exponentialfunktion für komplexe Zahlen
Definition
z n
e = lim 1 +
n→∞
n
z
Bemerkung
Der Grenzwert für komplexe Zahlenfolgen ist formal völlig gleich zum
Grenzwert für reelle Folgen definiert. Man beachte allerdings die Definition von |zn − z0| im Komplexen.
Eigenschaften
- Für x reell gilt:
eix = cos x + i sin x
36
=⇒
(Eulersche Formel)
für z = a + ib gilt:
ez = ea (cos b + i sinb).
- Für reelle t und z = a + ib gilt:
d zt
d at
e =
e (cos(bt) + i sin(bt))
dt
dt
= a eat (cos(bt) + i sin(bt)) + b eat (− sin(bt) + i cos(bt))
= (a + ib) eat (cos(bt) + i sin(bt)), also
d zt
e = z ezt (wie für reelle z bereits gezeigt).
dt
|ez| = |ea| | cosb + i sinb| = ez,
arg ez = b.
=⇒
- Umkehrfunktion ln w:
ℜ(ln w) = ln |w|
ℑ(ln w) = arg w.
Beispiele
z
0 iπ 1 + iπ 1 + i π2
ez 1 −1
−e
37
ie
Anwendung
ei (φ1+φ2)
=
cos(φ1 + φ2) + i sin(φ1 + φ2),
aber auch
ei (φ1+φ2)
=
eiφ1 eiφ2
=
(cos(φ1) + i sin(φ1)) (cos(φ2) + i sin(φ2))
=
cos(φ1) cos(φ2) − sin(φ1) sin(φ2)
+
i (sin(φ1) cos(φ2) + cos(φ1) sin(φ2)),
=⇒ Additionstheoreme.
38