1 Lichtausbreitung und optische Abbildung ( )0

TO - 4. Jahrgang
1
1. Teil: Optische Abbildung
Lichtausbreitung und optische Abbildung
1.1 Licht (light)
Wiederholung: Was ist eine (elektromagnetische) Welle?
Wellen= Störungen des elektromagnetischen Felds, die sich im Raum ausbreiten
(d.h. elektromagnetisches Wechselfeld)


div D  
div B  0


Folge der Maxwell’schen Gleichungen:

 D
B
rot E  
rot H 
t
t
2
2
 y 1  y

Daraus kann man die Differentialgleichung
ableiten und man kann
x 2 c 2 t 2
zeigen, dass eine ebene sinusförmige Welle diese Gleichung erfüllt (siehe Kap 1.2)
Licht entsteht und vergeht als Photon, dazwischen existiert es als elektromagnetische
Welle (Welle/Teilchen-Dualismus).
Allgemein:(Vakuum-) Lichtgeschwindigkeit c0 = 299792458 m/s (Römer, Foucault)
1.2
Wellenoptik (wave optics)
1.2.1 Kenngrößen von Wellen (parameters of waves)
Von einer punktförmigen Lichtquelle breitet sich eine Kugelwelle aus. In großer
1
so gering, dass man eine ebene Welle sieht:
r
  x

2 x


y( x, t )  y0 sin   t     0   y0 sin  t 
  0   y0 sin  t  k x   0 



  c

Entfernung ist die Kugelkrümmung  
y0
… Amplitude
  2 f
2
k
… Kreisfrequenz
0
… Anfangsphase der Welle zum Zeitpunkt t = 0 (für x = 0)
… Wellenzahl

 t 
v
x
x
 0
… Phase der ebenen Welle
… Geschwindigkeit der Welle (Licht v = c)
2f x
c


   bzw. c    f oder c    mit
v
c
c
f

c
f ()
x
v
… Wellenlänge
… Lichtgeschwindigkeit
… Frequenz
 
 
Nun zeigen wir, dass die ebene Welle y  y0 sin   t 
Differentialgleichung

x
2x


 0  die
  0   y0 sin  t 
v




2 y 1 2 y
erfüllt:

x 2 c 2 t 2
y  y0 sin  t  k x  0  wird zweimal nach dem Ort x abgeleitet:
y
 y0 cos t  k x  0    k 
x
2 y
 y0  k  sin  t  k x  0    k    y0 k 2 sin  t  k x  0   k 2 y
2
x
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1. Teil: Optische Abbildung
y  y0 sin  t  k x  0  wird zweimal nach der Zeit t abgeleitet:
y  y0 sin  t  k x  0 
y
 y0 cos t  k x  0  
t
2 y
 y0   sin  t  k x  0      y0  2 sin  t  k x  0    2 y
2
t
2
 2 f 
Aus   2 f und k 
erhalten wir 
  f  c und schließlich

k
2
 k2y 

1
  2 y
2
c

c2 
2
k2
q.e.d.
1.2.2 Huygens-Prinzip (Huygens-principle)
Jeder Punkt einer Wellenfläche stellt ein neues Wellenzentrum dar, von dem eine
Kugelwelle ausgeht (sog. Elementarwelle).
Wir unterscheiden 2 Arten von Wellen:
 Longitudinalwellen (Schall): Oszillatoren schwingen in Ausbreitungsrichtung
 Transversalwellen (Licht, Wasser): O. schwingen normal zur Ausbreitungsrichtung
WH APH 3. JG: Licht braucht kein Medium zur Ausbreitung.
Dies ist wichtig für das Verständnis der Beugung (Schall im täglichen Leben, Licht bei
Mikroskopie)
Diskussion der Wellengleichung:
(0 kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit 0 gesetzt
werden)
a) Betrachte 1 spezielles Teilchen
  x 
y ( x, t )  y0  sin   t  
  c 
x
 const. (Zahl)
c
Einzige Variable: t  Zeit beschreibt den
Schwingungszustand, d.h. harmonische Schwingung
des Teilchens um seine Ruhelage.
b) Betrachte ALLE Teilchen in 1 bestimmten Augenblick
(„Momentaufnahme“)
  x 
y( x, t )  y0  sin   t  
  c 
t  const.
Einzige Variable: x Ort beschreibt Sinuskurve, auf
der alle Teilchen in diesem Moment t liegen.
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1. Teil: Optische Abbildung
1.2.3 Interferenz (interference)
WH. APH 2. JG – Interferenz ist die Überlagerung zweier Wellen mit gleicher
Schwingungsebene und Wellenlänge (bzw. Frequenz).
2 Extremfälle:
a) Konstruktive Interferenz
y0  y01  y02 bzw. y  y1  y2
Gangunterschied x  n   (n  N0) ist ein
ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge
maximale Verstärkung
b) Destruktive Interferenz
x  (2n  1)

(n  N0 = {0, 1, …})
2
Der Gangunterschied muss ein ungeradzahliges
Vielfaches halber Wellenlängen sein 
maximale Abschwächung
y01  y02 (gleiche Amplituden -> Auslöschung)
1.2.4 Beugung (diffraction)
Siehe 5. JG. und Kap. 1.3
1.2.5 Brechung (refraction)
Luft: n = 1, c
Wellenfront
Lichtstrahl
z
A

B
'
z'
Glas: n ' = 1,5, c’
Es werden die beiden rechtwinkeligen Dreiecke in
Luft und Glas mit Basis l
verglichen:
z
z'
 sin  bzw.  sin  '
z  c  t l
l

z
z'
c  t c 't
z '  c '  t
l



sin  sin  ' sin  sin  '
sin  c
 Snellius’sches Brechungsgesetz
sin  ' c '
Die ebene Welle trifft bei A auf die Grenzfläche;
während B die Strecke z zurücklegt, hat sich bei A
bereits eine Kugelwelle mit Radius z ' gebildet.
1.2.6 Reflexionsgesetz (reflection law)
Dieses kann als Umkehrung der Lichtrichtung aufgefasst werden und ergibt sich, wenn
gilt: r’ = -   cr’ = - c
1.3 Strahlenoptik (geometrical optics)
Wh.: Wann tritt Beugung auf?
Beugung tritt dann auf, wenn die Dimensionen des beugenden Gegenstands (bzw.
der beugenden Öffnung) in der gleichen Größenordnung wie die Wellenlänge der eintreffenden Welle ist, d.h. wenn gilt:   d.
In unseren täglichen Dimensionen gilt dies bei Schall, bei Licht jedoch nicht, da
 ca. 0,5 µm, Dimensionen der optischen Bauelemente (Linsen, Prismen, Spiegel,
Planplatten etc.) d ca. mm (cm)
 Beugung kann vernachlässigt werden:   0 (außer Mikroskopie, siehe 5. JG)
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1. Teil: Optische Abbildung
Lichtausbreitung beschrieben nicht durch Wellenfront, sondern
durch die Normale dazu: LICHTSTRAHL, daher STRAHLENOPTIK.
 Lichtstrahlen verlaufen geradlinig und unabhängig voneinander.
 Lichtweg ist umkehrbar.

1.3.1 Definitionen
'
Brechzahl (Brechungsindex / refractive index) („vomit number“)
c
nabs  0 … (Brechungsindex)
cM
c0 … Vakuumlichtgeschwindigkeit
cM … Lichtgeschwindigkeit im Medium (c meistens in Luft)
meistens verwenden wir n 
c Luft
cM
weil
c0
 1,0003 (20C , 1013 mbar)
cLuft
c Luft
c Luft n '
sin  c
n'
  n 


und daher erhalten wir:
sin  ' c ' c Luft
n c Luft n
n'
Snellius’sches Brechungsgesetz (n / ): n  sin   n '  sin  '
Snellius:
Definitionen: homogenes Medium:
inhomogen:
isotropes Medium:
anisotrop:
n ist örtlich konstant (z.B. Glas)
n ist örtlich nicht konstant (z.B. Fata Morgana)
n ist für alle Lichtstrahlrichtungen gleich (Glas)
n hängt von der Richtung des Lichtstrahls ab
(z.B. Kristall [Doppelbrechung])
homozentrisches Bündel: alle Strahlen haben 1 gemeinsamen Schnittpunkt
(divergent, konvergent)
1.3.2 Übergang Glas  Luft (transition glass  air)

Glas
n = 1,5
'
Luft
n' = 1
g '

(' = 90°)
'
 n'

 sin  '  (allgemein)
n

Wir betrachten Snellius n  sin   n '  sin  '    arcsin 
 n' 
 Grenzwinkel der Totalreflexion bei der Grenzfläche
n
Für  ' = 90°   g  arcsin 
zweier Medien (n  n ')  Alle Strahlen mit  (≥) g werden TOTAL reflektiert!
Bsp.:
Glas n = 1,52
Luft n ' = 1

g = 41,1°
Beim Übergang vom sog. optisch dichten (Brechzahl n) zum optisch dünnen Medium
(n ' < n) wird für >g der Lichtstrahl total reflektiert.
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1.4
1. Teil: Optische Abbildung
Optische Abbildung (optical image formation)
1.4.1 Definition der optischen Abbildung
Jedes Objekt (Gegenstand) ist aus Punkten zusammengesetzt, die Licht aussenden.
 Objektpunkt O sendet ein divergentes homozentrisches Lichtbündel aus 
 Durchgang durch optisches Bauelement 
 Konvergentes homozentrisches Lichtbündel läuft im Bildpunkt O ' zusammen.
Als Anforderung stellen wir an das Bild scharf und hohe Dynamik sowie möglichst frei
von Abbildungsfehlern.
1.4.2 Bildarten (types of images)
1.4.2.1
reell (real)
O“ … reeller
Bildpunkt von O
(kann auf Bildaufnehmer aufgefangen werden, weil sich dort tatsächlich Lichtstrahlen
schneiden)
Bildaufnehmer: Kleinbild-Film, CCD-/CMOS-Chip einer Digitalkamera (Video-,
Standbild-, Handy-Kamera), Projektionsfläche (Beamer, Kino), Netzhaut des Auges
1.4.2.2
virtuell (virtual)
Spiegel
Zerstreuungslinse
Sammellinse
Planparallele Platte
(Objekt innerhalb Brennweite)
O ' … virtueller Bildpunkt von O (kann nicht auf Bildaufnehmer aufgefangen werden,
da sich nur die rückwärtigen Verlängerungen der Lichtstrahlen schneiden)
1.4.2.3
aufrecht (upright) / umgekehrt (reversed) /
seitenverkehrt (mirror inverted)
1.4.3 Paraxialgebiet (paraxial space)
Einfache, unkorrigierte Systeme (z.B. einzelne Linsen) sind nur dann weitgehend fehlerfrei, wenn die Strahlneigung  bzw.  ' zur optischen Achse sehr gering ist (<<1).
Taylorreihenentwicklung für SINUS / COSINUS – Funktion:
sin   
3! 5!
cos  1
für  << 1 
für das so genannte Paraxialgebiet,
2
4
sowie
 
cos   1 

 ...
2! 4!
tan   
sin    
3 5

 ...
(vernachlässigbar)
auch Gauß’scher Raum bzw. fadenförmiger Raum genannt (bis ca. 15° Neigung
gegenüber o.A.) ( in RADIANT!!)
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TO - 4. Jahrgang
1. Teil: Optische Abbildung
Gegenüberstellung Snellius’sches Brechungsgesetz exakt – paraxial
Achtung: Rechnung in [rad],
dann Zurückrechnung in [°]
Es gilt:
n  sin   n '  sin  '

’
(exakt)
2°
16°
bzw.
n    n '  '
’
(paraxial)
1,3332°
1,3333°
10,5887°
10,6667°
n = 1, n ' = 1,5
1.4.4 Größen zur Beschreibung der Abbildung
Bezeichnungsregeln nach DIN 1335
Abbildendes
System
Gegenstandsraum
Bildraum
A, O, H, a, y
A',O',H',a',y'
objektseitig
bildseitig
Gleiche Buchstaben, im Bildraum aber mit ‘  paarweise zugeordnet (konjugiert,
d.h. jeder Größe im Gegenstandsraum ist durch die Abbildung eine Größe
im Bildraum zugeordnet)
̅ ), F '
NICHT F (früher 𝑭
Regeln:
 Lichtrichtung immer von links nach rechts
 Bezugspunkt für Strecken definiert
 Strecken vom Bezugspunkt nach rechts (in Lichtrichtung) positiv,
nach links negativ; werden durch in Klammern gesetzte Vorzeichen bzw. Indices
angedeutet, z.B. a(-) bzw. (-) a. oder a ‘(+) bzw. (+) a '.
 Pfeile in Skizzen zeigen immer vom Bezugspunkt weg
 Strecken von optischer Achse (O.A.) nach oben positiv, nach unten negativ
 Winkelpfeile zeigen vom Bezugsschenkel weg: entgegen Uhrzeigersinn positiv
 Die Abfolge von brechenden und spiegelnden Flächen (katadioptrisches System)
wird mit 1, 2, 3, …, k nummeriert.
Bei einem zentrierten System (praktisch alle optischen Geräte) liegen sämtliche
Krümmungsmittelpunkte der brechenden bzw. spiegelnden Flächen auf einer Geraden
(OPTISCHE ACHSE
)
r1 , r2
a,a'
z,z'
S1 , S2
s1
,'
,'
…
…
…
…
…
…
…
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Krümmungsradien der Flächen 1 , 2  optische Achse (o.A.)(zentrierte Systeme)
Objektweite, Bildweite (gemessen von H bzw. H ' )
brennpunktbezogene Objekt-/ Bildweite (gemessen von F bzw. F ' )
Flächenscheitel der Fläche 1 , 2
Schnittweite zum Scheitel S1
Strahlneigungen (gemessen zur O.A.: Drehung vom Strahl zur O.A. bzw. Strahl -> O.A.)
Einfallswinkel (gemessen zum Lot; Drehung vom Lot zum Strahl bzw. Lot -> Strahl)
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TO - 4. Jahrgang
1.4.4.1
1. Teil: Optische Abbildung
Die Brennpunkte F , F ' (focus, focal points)
Definitionen:

Punkt steht im Objektbrennpunkt F, wenn die Strahlen hinter dem System
achsenparallel austreten
 Achsenparallel einlaufende Strahlen schneiden sich hinter dem optischen System
im Bildbrennpunkt F '
Objektbrennpunkt F  Gegenstandspunkt  Bildpunkt im 
Bildbrennpunkt
F '  Bildpunkt
 Gegenstandspunkt im - 
F und F ' sind NICHT KONJUGIERT !
1.4.4.2
Die Brennweiten f, f ' (focal length)
Von der Hauptebene H wird die objektseitige Brennweite f gezählt, sinngemäß
von H ' die bildseitige Brennweite f '.
Wir definieren nachfolgend einige wichtige Kenngrößen und werden diese dann auch
ableiten:
1.4.4.3
Abbildungsmaßstab β '(imaging scale, „magnification“)
Bildgröße
y'
ist immer definiert als Quotient
, also  ' 
Objektgröße
y
1.4.4.4
Vergrößerung  ' (magnification)
ist grundsätzlich von β ' zu unterscheiden: sie ist ein Winkelverhältnis zweier Winkel:
'
'
tan ( Sehwinkel mit Instrument)
, also  ' 

tan ( Sehwinkel ohne Instrument)
Dies wird uns noch eingehend im 5. JG bei den optischen Instrumenten (Lupe, Auge,
Fernrohr, Teleskop) beschäftigen.
1.4.4.5
Winkelverhältnis  ' (angle ratio)
ist der Quotient aus bild- und objektseitigem Strahlneigungswinkel:
 '
'
siehe 5. JG

1.4.4.6
Tiefenabbildungsmaßstab (angle ratio)
siehe 5. JG.
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1. Teil: Optische Abbildung
1.4.5 Abbildung mit Linsen und optischen Systemen (image
formation by lenses and optical systems)
1.4.5.1
Darstellung von Optischen Systemen und Bildkonstruktion
(depiction of optical systems and image construction)
Linsensymbole:
Sammellinse
Konvexlinse
+ Linse
Zerstreuungslinse
Konkavlinse
- Linse
Konstruktionsregeln:
a) y soll möglichst groß gewählt werden  kein schleifender Schnitt
b) 1. Strahl von P zu H auf o.A.
– von dort auf o.A. zu H ' verlängern
– von dort Parallele zu PH in den Bildraum ziehen (wenn notwendig, rückwärts)
 diesen Strahl gibt es immer, egal ob reelles oder virtuelles Bild
c) 2. Strahl von P parallel o.A. bis H ' ( G ')
– von dort nach F ' verlängern (wenn notwendig, rückwärts)
Bildpunkt P ' festgelegt
Kontrolle:
d) 3. Strahl von P durch F bis H ( G)
– von dort parallel zur o.A. verlängern (wenn notwendig, rückwärts)
muss durch Schnittpunkt P ' gehen!
c) und d) können auch vertauscht werden.
2
1
3
2
1
3
f´(-)
f(+)
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1. Teil: Optische Abbildung
Zwischen den Hauptebenen verlaufen die Konstruktionsstrahlen immer parallel zur
o.A. Der Brennstrahl wird immer an der zugehörigen Hauptebene abgeknickt:
F und H sowie F ' und H ' gehören jeweils zusammen.
Bsp.: Konstruiere die Bilder der Objekte 1, 2, 3 und gib an, wie die Abbildung ist:
 reell / virtuell
 verkleinert / vergrößert
 aufrecht / umgekehrt
HH '= 10
f ' = - f = 20
a1 = - 30, y1 = - 15
a2 = - 20, y2 = 10
a3 = - 10, y3 = 10
1



2



3



– 1’:
reell
vergrößert
umgekehrt
– 2’:
im 
vergrößert
(aufrecht, siehe später [Lupe])
– 3’:
virtuell
vergrößert
aufrecht
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1. Teil: Optische Abbildung
Programm PreDesigner
http://www.winlens.de/
Mit diesem Programm können eigene Konstruktionen sehr leicht überprüft werden.
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1.4.5.2
1. Teil: Optische Abbildung
Abbildungsgleichungen (lens equations)
(-) y '
P'


Strahlensatz (bzw. Winkeltangens)
Wenn notwendig, zusätzliche negative Vorzeichen, um immer positive Quotienten
zu erhalten!
 y'
y
mit a  f  z

f (a  f )
y
 y'
BILDSEITIG:
mit a '  f ' z'

f ' a ' f '
y '
f
a ' f ' f
z'




Ausmultiplizieren:
y
(a  f )
f'
z f '
f  f '  a  a ' a  f ' a ' f  f  f '
a  a '  a  f ' a ' f / : a  a '
OBJEKTSEITIG:
f' f
 1
a' a
bzw.
Allgemeine
Abbildungsgleichung
z  z'  f f '
Newton’sche
Abbildungsgleichung
Es gilt auch (Beweis später – 1 sphärische Fläche):
f
n

f'
n'
 Brennweiten verschieden, wenn unterschiedliche Brechzahlen links und rechts.
Wir definieren den sog. „Abbildungsmaßstab“  '
y'
:
y
Er setzt die Bildgröße y ' zur Objektgröße y ins Verhältnis
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TO - 4. Jahrgang
OBJEKTSEITIG:
1. Teil: Optische Abbildung
y
f'
1
 y'
f


  ' und BILDSEITIG: 
y ' a ' f '  '
 y (a  f )

1
a  f  1  
 ' 
a '  f '1   '
z
f
'
z '   f ' ' PROJEKTOR !
Wir dividieren obige Gleichungen:
allgemein:  ' 
a ' n
a n'
1.4.5.3
Gleiche Medien vor und nach dem System
Meistens gilt (z.B. Linse in Luft): n  n '  f  f ' 
Abbildungsgleichungen bei beidseitig gleichen Medien, d.h. f  f '
f' f
f ' f '
 1 
1 / :f '
a' a
a'
a
1 1 1
 
a' a f '

z  z '  f ' 2
„Goldene Abbildungsgleichung“
n=n'
 '
a'
a
„Tiefenabbildungsmaßstab“  '  ß '2 : erhält man, indem man die Goldene
Abbildungsgleichung nach a ' auflöst
a f '
1 1 1
-> a ' 
und nach a differenziert.
 
af '
a' a f '
a '
  '  ß '2
a
Eine kleine Objektverschiebung um da in Achsrichtung bedingt eine um β‘2 größere
(kleine) Bildverschiebung da‘.
Bsp.: Ein Gegenstand von 40 mm Größe wird durch 2 Objektive von a) 50 mm,
b) 100 mm Brennweite abgebildet. Der Gegenstand steht 200 mm vor dem Objektiv.
Von diesen beiden Objektiven sind gesucht:
Bildgrößen, Abbildungsmaßstäbe, Bildweiten.
Wir kennen: y = 40 und a = - 200
a) f ' = 50 bzw.
b) f ' = 100
1 1 1
a f '
a' y'
 a '
und  ' 
 

a f '
a' a f '
a
y
a)
b)
 200  50
a '
 200  50
a '  66,66
66,66
 '
 0,33
 200
y '   ' y  0,33  40  13,33
SALZMANN
 200  100
 200  100
a '  200
200
 '
 1
 200
a '
b) Hier erkennt man:
Bild und Objekt
stehen jeweils in
doppelter Brennweite!
y '   1  40  40
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TO - 4. Jahrgang
1. Teil: Optische Abbildung
Bsp.: Ein Fotoapparat ist auf  eingestellt. Für Nahaufnahmen muss der Abstand
Objektiv-Film/CCD/CMOS-Chip vergrößert werden. Begründung?
a '
a f '
f'

 f'
a  f ' 1 f '
a
a

-10 f '
-5 f '
-2 f '
-f'

a'
f'
10/9 f '
5/4 f '
2f'

Linsensysteme: Abbildung rechtläufig  Verschiebung des Objekts  Bildbewegung
in gleicher Richtung (Objekt außerhalb Brennweite)
Spiegel: Abbildung gegenläufig
Bsp.: Wir befinden uns 100 m vor einem Bauwerk von 20 m Höhe. Um es zu
fotografieren, stehen uns 2 Fotoobjektive zur Verfügung:
a) f ' = 45 mm, b) f ' = 75 mm.
Welches Objektiv erzeugt von dem Bauwerk das größere Bild?
a = -100.000 mm
y=
20.000 mm
a '
a f '
a f '
 '
a) f ' = 45

b) f ' = 75

a' y'

a
y
a

y
a

y
'
'
'
'
'
'
y '   ' y
= 45,02 mm (praktisch in Brennebene)
= - 0,00045
= - 9 mm
= 75,06 mm (praktisch in Brennebene)
= - 0,00075
= - 15 mm
Siehe auch die blau umrandeten Übungsbeispiele im Buch!
SALZMANN
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