T - lookass.ch

Formelsammlung Physik I (20 Seiten)
1)
PD Dr. H. von Känel
Mathematische Grundlagen
Wegintegrale, Flächenintegrale, Volumenintegrale, Vektoranalysis
γ
Weglänge von
R/
F = ∫ f ( x) dx
R/
γ
f auf γ
Fläche unter
s = ∫ dx
R/ 2
r
s = ∫ dr = ∫ r&(t ) dt
R/ 3
r
F = ∫ f ( x , y ) ds = ∫ f ( x , y ) ⋅ s&( t ) dt
R/ 2
r
s = ∫ f ( x , y , z ) dr = ∫ f ( x , y , z ) ⋅ r&( t ) dt
R/ 3
γ
γ
r
Arbeit (von v auf γ )
γ
γ
γ
r
Arbeit von v entlang Linie γ
b
r
r
r
r
A = ∫ v( x , y , z ) dr = ∫ v(γ ( t ) ) ⋅ γ&( t ) dt
γ
S
V = ∫∫ f ( x , y ) dF
f auf S
r
Fluss (von v durch Körper B )
S
R/ 2
F = ∫∫ 1dO
R/ 3
R/
V = ∫∫ f ( x, y , z ) dO
S
2
R/
S
r
r
Φ = ∫∫ v( x , y , z ) ⋅ n( x , y , z ) ⋅ dO
Φ Tot = ∑ Φ i
V = ∫∫∫1dV
K
M = ∫∫∫ f ( x , y , z ) dV
K
K
b
b
b
a
a
r
∂
∂t r( t ) =
(
)
Vektorableitung
Kreuzprodukt
 a1   b1   a2b3 − a3b2 

r r     
a × b =  a2  ×  b2  =  a3b1 − a1b3 
 a  b   a b − a b 
2 1
 3  3  1 2
r r r r
r r
a × b = a ⋅ b ⋅ sin(θ )
a×a = 0
Gradient
r
grad ( f ) = ∇f = ∇f =
Rotation
Konservatives
Vektorfeld
 ∂∂y v3 − ∂∂z v 2 
 r r
r ∂
rot (v ) =  ∂z v1 − ∂∂x v3  = ∇ × v
∂

∂
 ∂x v 2 − ∂y v1 
Satz von Stokes
r r
r r
A = ∫ v ⋅ dr = ∫∫ rot (v ) ⋅ ndO
∂
∂t 1( t )
r ,..., ∂∂t rn ( t )
∂S
(
∂
∂x
T
dF = det( J ) dudv
r r
dO = ru × rv dudv
r r
ru × rv =
r
r
r × ∂∂v r
∂
∂u
Kartes. Sys.
Trans. Sys. / Param.-Darst.
dV = dxdydz
dV = det( J ) dudvdw
dϕ ds
ds = Rdϕ
R ds
r
r(t ) = (r1( t )
r2 (t ) )
r
r&(t ) = (∂∂t r1( t )
T
)
T
∂
∂t 2 ( t )
r
r
r
a und b aufgespannten Ebene. Bildet
r r
mit a , b Rechtssystem. Normierung auf 1
r
liefert den Normalenvektor n dieser Ebene.
zur von
)
T
Feldlinie: Kurve, die in jedem Punkt
tangential zum Vektorfeld ist.
Gibt Richtung des steilsten Anstiegs an. Betrag = Steigung
r
r
v konservativ ⇔ Arbeit von v hängt nicht vom Weg ab ⇔
r
r
rot (v ) = 0 ⇔ existiert Potentialfeld f , sodass: grad ( f ) = v
r
div(rot (v )) = 0
Nur für geschlossene Wege
γ = ∂S
S
Divergenzsatz
r r
r
Φ = ∫∫ v ⋅ n dO = ∫∫∫ div(v )dV
∂
∂x
v1 +
∂
∂y
∂K
v2 +
∂
∂z
r
∆f = f xx + f yy + f zz = div(∇f )
r
r
v wirbelfrei: Rotation von v ist Null!
v3
Nur für geschlossene Flächen S = ∂K ! Gibt immer den Fluss von innen nach
aussen an.
K
r: Radius, V: Volumen, h: Höhe, A: Fläche, A0: Gesamtoberfläche, G: Grundfläche, U: Umfang, M: Mantelfläche
Zylinder:
Kegel (gerade):
V = G⋅h
M =U ⋅h
s
O = M + 2⋅G
V = 13 r 2πh = 13 Gh
M = r ⋅ s ⋅π
A0 = rπ (r + s )
s
U
(nur gerader Zylinder)
r
Transformiert (Param.Darst.)
dF = dxdy
dO = dxdydz
Das Kreuzprodukt liefert einen Vektor, senkrecht
r
rot (∇f ) = (0,...,0)
r
div(v ) =
Geometrie
r
γ ( t ) = PQ (Unabh. vom Weg: siehe "Rotation")
.
Kartesisch:
Bsp.:
f , ∂∂y f , ∂∂z f
Divergenz
(1. Satz von Gauss)
γ
a
r
r&( t ) =
∆ : Laplace Operator
γ
→
Zylinderkoordinaten:
∫ f ( x) ⋅ g ( x)dx = [F ( x) ⋅ g ( x)] − ∫ F ( x) ⋅ g ' ( x)dx
Partielle Integration
∇ : "Nabla Operator"
3
γ
Durch Körper B in Richtung des
Normalenvektors. Vgl. Div.-Satz!
B
Volumen von K
Masse unter f auf
γ
a
F = ∫∫ 1dF
Flächeninhalt von S
Volumen unter
r
s = ∫ ds = ∫ s&( t ) dt
h
r
G
s = h2 + r 2
V =
h = s2 − r2
m = (R − r)2 + h 2
M = (R + r ) ⋅ π ⋅ m
R −r
h = tan(
ϕ)
r = s2 − h2
Kugel:
Kreissegment (Winkel in Bogenmass):
V = 43 π ⋅ r 3
A=
A0 = 4π ⋅ r 2
r=
r2
2
(α − sin α ) =
1
2
(rb − s( r − h) )
4h2 +s 2
8h
s = 2r sin( α2 ) = 2 r 2 − (r − h) 2
h ⋅π
3
( R 2 + Rr + r 2 )
h = r − (r ⋅ cos( α2 ) ) = r − r 2 −
b = r ⋅α =
α ⋅( 4 h + s )
2
8h
2h
s
2
= r ⋅π ⋅
α = 4 ⋅ arctan( )
s2
4
= 2s ⋅ tan( α4 )
α Grad
180°
Wichtige Integrale, häufige Ableitungen (Funktion Ableitung)
∫ (x
∫a
∫
dx
2
+a )
2
3
2
xdx
2
x2 + b2
dx
x2 + a2
x
=
a
=
2
x +a
2
2
+C
x2 + b2
a2
= ln x + x 2 + a 2 + C
−1
1− x 2
ax
a x ⋅ ln(a)
sin( x)
cos( x)
arccos(x)
e a⋅ x
xn
a ⋅ e ax
n ⋅ x n−1
cos( x)
− sin( x)
arctan(x)
tan( x)
1
2
cos 2 ( x ) = 1 + tan ( x)
sinh( x)
cosh(x)
ln( x)
1
x
cosh(x)
sinh( x)
log a ( x)
1
x ln( a )
tanh(x)
1
2
cosh 2 ( x ) = 1 − tan ( x)
Formelsammlung_Physik_23.doc (28.06.2010)
arcsin(x)
=
1
x
log a (e)
Seite 1 von 20
1
1− x 2
1
1+ x2
05.10.2009 / Luke Pfirti, ETH Masching HS2009
Formelsammlung Physik I (20 Seiten)
PD Dr. H. von Känel
Div. Grundlagen
SI-Präfixe
Spannung
Komplexe Zahlen
Einheiten
kgm 2
=
s2
Symbol Name
Wert
T
Tera 1012 1.000.000.000.000 Billion
G
Giga 109
1.000.000.000 Milliarde
M
Mega 106
1.000.000 Million
k
Kilo 103
1.000 Tausend
2
h
Hekto 10
100 Hundert
da
Deka 101
10 Zehn
----100
1 Eins
d
Dezi 10−1
0,1 Zehntel
c
Zenti 10−2
0,01 Hundertstel
m
Milli 10−3
0,001 Tausendstel
µ
Mikro 10−6
0,000.001 Millionstel
n
Nano 10−9
0,000.000.001 Milliardstel
p
Piko 10−12 0,000.000.000.001 Billionstel
σ=
F
A
n( x ) =
Stoffmenge
Ladung
PSE-ElementBeschreibung
Masse
ε=
Dehnung
m( x)
M ( x)
[J ] [
z = a + bi
Phase: θ = arg(z ) =
] = [ Nm]
= [VAs ] = [CV ] = [Ws ]
z = r ⋅ e iϕ
[C ] = [ As ]
[ J ] = [eV ]
N
MN
[ mm
]
3] = [
m3
r = z = a 2 + b2
1 Å = 10 −10 m
F = m⋅a
Kraft
2
Zentripetalkraft Fz = mvr
Energie
Kinetisch:
Molare Masse von 1 mol eines Stoffs ist
dessen Atommasse (z.B. Al=27g/mol).
[mol ]
q = ±n ⋅ e
Ladungserhaltung: Ladung wird nicht vernichtet, nur
transportiert. Überschuss an Elektronen = negative
Ladung, Verlust an Elektronen = postitive Ladung.
u
Z
Z: Ordnungszahl / Kernladungszahl:
Anzahl Protonen (Proton: + e , Elektron: − e )
E
m( x )
me
Masse von x
a tan( ba ) − π
− π2
a < 0, b < 0
a = 0, b > 0
a = 0, b < 0
?
a = 0, b = 0
π
2
a +bi
c + di
=
( a +bi )( c −di )
( c + di )( c −di )
=
ac+bd
c 2 +d 2
−ad
+ bc
i
c2 +d 2
Geschw.
v = at + v0
Weg
s = vt = 12 at 2
v
m
r
Fz
T = 12 m ⋅ v 2 , potentiell: T = m ⋅ g ⋅ h
u:
Relative Atommasse
g
[ mol
]
1u = 1.6605.10 −27 kg
M (x) :
Molare Masse von x
g
[ mol
]
1
NA
Teilchenzahl pro Mol: 6.02214 ⋅ 10 23 mol
−19
e:
Elementarladung: e = 1.602 ⋅ 10 C
C : Coulomb, entspricht Ladungsmenge durch Dr-
[g]
Elektronenmasse:
a>0
a < 0, b ≥ 0
(a + bi) + (c + di) = ( a + c) + (b + d )i
(a + bi) ⋅ (c + di) = (ac − bd ) + (ad + bc)i
Angström:
∆l
l0
a tan( ba )
a tan( ba ) + π
9.11 ⋅ 10−31 kg
ahtquerschnitt pro Sekunde bei Stromstärke von 1A.
Logarithem, Wurzeln, Euler, Sin, Cos, Tan, …
a n a m = a n+m
an
= a n−m
m
a
(a n ) m = a nm
a, b ∈ R +
n, m ∈ R/
n, m ∈ N/
Allg.:
Potenzen:
Wurzeln:
e i⋅x = cos( x) + i ⋅ sin( x)
e
ln( x )
=x
e − ln( x ) =
a b = (ab)
ln(e) = 1
n
n
a −n =
1
x
Rechtwinkliges
Dreieck:
sin(α ) =
Gegenkathete
Hypothenuse
cos(α ) =
Ankathete
Hypothenuse
tan(α ) =
Gegenkathete
Ankathete
tan(α ) =
sin α
cos α
Parameterwirkung
a
n m
n
n
1
an
m
=a
a n b = n ab
n
a
n
b
=n
a
b
2
a =1
log a ( x) =
a1 = a
1
2i
log(−1) = ?
(e i⋅α − e − i⋅α )
sin 2 (α ) + cos 2 (α ) = 1
sinh(α ) = 12 (eα − e −α )
sin 2 ( x) = 1− cos(2 2 x )
cosh(α ) = 12 (eα + e −α )
1+ cos( 2 x )
2
cos ( x) =
2 sin( x) cos( x ) = sin(2 x )
2
log(1) = 0
ln( x) log( x)
=
ln(a) log(a)
cos(α ) = 12 (e i⋅α + e −i⋅α )
Rechenregeln sin/cos/tan:
sin / cos
log b (u r ) = r ⋅ log b (u )
0
sin(α ) =
2
ay = x
log b (u ⋅ v) = log b (u ) + log b (v)
log b (u / v) = log b (u ) − log b (v)
a = nm a = m n a
a = b + c − 2bc cos(α )
2
y = log a x ⇔
m
n
Cosinussatz:
1
cos2 (α )
= 1 + tan 2 (α )
e iϕ = cos(ϕ ) + i sin(ϕ )
1
sin 2 (α )
= 1 + cot 2 (α )
a ⋅ sin(bx + c) + d
a : Amplitude, b : Periode= 2bπ , c : Nullstelle, d : y-Verschiebung
(cos(x − y ) − cos(x + y))
1
cos(x) cos( y ) = 2 (cos(x − y) + cos(x + y) )
sin(x) cos( y) = 12 (sin( x − y ) + sin( x + y ) )
sin(x) sin( y ) =
n
1
2
cos(γ − a) = cos(γ ) cos(α ) + sin(γ ) sin(α )
sin(γ − a) = sin(γ ) cos(α ) − cos(γ ) sin(α )
Formelsammlung_Physik_23.doc (28.06.2010)
(1 − cos(2 x) )
3
1
sin ( x) = 4 (3 sin( x) − sin(3x) )
sin 4 ( x) = 18 (cos(4 x) − 4 cos(2 x) + 3)
sin 2 ( x) =
1
2
sin( x + y ) = sin( x) cos( y ) + cos( x) sin( y )
cos( x + y) = cos( x) cos( y) − sin( x) sin( y )
Seite 2 von 20
(1 + cos(2 x) )
cos ( x) = (3 cos( x) + cos(3 x) )
cos 4 ( x) = 18 (cos(4 x ) + 4 cos(2 x) + 3)
cos 2 ( x ) =
3
1
2
1
4
Bogenmass (b)
und Gradmass (α)
b
α
π
= 180
°
05.10.2009 / Luke Pfirti, ETH Masching HS2009
Formelsammlung Physik I (20 Seiten)
2)
PD Dr. H. von Känel
Elektrostatik (S. 26)
Allgemeines
Elektromagnetische Kraft
r
r r r
F = q( E + v × B)
Statische Phänomene:
Annahme: Alle Ladungen im
Universum in Ruhe, ρ zeitlich
" "= 0
konstant,
"Elektrostatik"
∂
∂t
Elektrisches Feld
F
E=
[ CN ] [ Vm ]
q0
r
Zirkulation von E um Γ
r
r
j = 0, B = 0
Betrag, im Abstand r von einer
Punktladung q:
r
E( r ) = E( r ) =
1
q
4πε 0 r 2
r r t1
r&
E
⋅
d
s
=
E
⋅
Γ
Γ
(
Γ
(
t
))
( t ) dt
∫
∫
t0
Elektrische
Feldlinien
-
-
Superpositionsprinzip
Elektrisches
Potential
Influenzkonstante /
Elektrische Feldkonstante
ε 0 = 8.85416 ⋅ 10 −12
c:
c = 2.99 ⋅ 108
r
j:
e:
m
s
Elektrische Stromdichte
[ smC2 ]
Elementarladung
e = 1.6 ⋅ 10 −19 C
q:
r:
q0 :
r
1 q r
=
r
4πε 0 r 2 r
C2
Nm 2
Lichtgeschwindigkeit
(E-Feld wirbelfrei)
Vektoriell:
r
E( rr )
[ mC3 ]
Ladung pro Einheitsvol.
ε0 :
Maxwell-Gleichungen reduzieren
sich auf zwei:
r r
∇ ⋅ E = ερ0
r r
∇× E = 0
Ladungsdichte
Punktladung
Abstand zur Punktladung
q
Prüfladung
− − − − − − −− >
r
Γ( t ) = P(t1 ) P( t2 )
Zw. Platten ist die elektrische Feldstärke und somit die Kraft überall gleich gross.
Spannung zw. Platten:
Elektrostat. Kraft
Von Ladung q1 auf Ladung
q2 (Coulomb'sches Gesetz)
r r
∇ ⋅ E = ερ0
r r
r
∇ × E = − ∂∂Bt
r r
∇⋅B = 0
r
r r
r
c 2∇ × B = ∂∂Et + εj0
Beschreiben die elektrischen Kraftwirkungen
(Tangente: Richtung, Dichte: Stärke), schneiden sich nicht.
Besitzen Anfang (positive Ladung) und Ende (negative Ladung).
Es gibt keine in sich geschlossenen Feldlinien!
Positiv geladene Körper werden in Richtung der Feldlinien beschleunigt,
negativ geladene entgegen den Feldlinien!
Bei Körpern im elektrischen Feld sind Ladungen an der Oberfläche!
Das innere von metallischen Körpern ist immer feldfrei!
-
Bsp. Plattenkondensator
ρ:
Maxwell-Gleichungen
r
F12 =
U = ∫ E ⋅ ds = E ⋅ d
qq
⋅ r1 2 2 ⋅
4πε 0 r12
1
Bsp.: Elektrisches Feld
im Plattenkondensator
r:
r
r12
r
r12
1
4πε 0
Abstand zw. Ladungen
= 8.99 ⋅ 10 9
Nm 2
C2
(Coulomb-Kraft)
r r
 q
r − ri 
i

⋅∑ i r r 2 ⋅ r r
 r −r
4πε 0
r − ri 
i


r
r r
r r
1
ρ (r ′) r − r ′
E (r ) =
⋅ ∫ r r 2 ⋅ r r d 3r ′
4πε 0
r − r′ r − r′
ϕ
r r
r
ϕ
E (r ) = − grad (ϕ ( rr ) ) = −∇ϕ ( rr )
ϕ
r
Potentielle Energie: W ( r ) = q ⋅ ϕ ( rr )
r r
E (r ) =
Elektrisches Feld eines
Systems von Punktladungen:
1
r r
r
r
E = E1 + E2 + ... = ∑ Ei
dq = ρ ⋅ d 3 r
ϕ ( rr ) :
Elektrostatisches Potential
(skalares Feld)
[V ] [ CJ ]
= Elektrische Spannung
Potentialdifferenz zwischen Punkten a und b:
Potentialdifferenz
Arbeit /
Verschiebungsarbeit
(Unabhängig vom Weg)
ϕ ( b ) − ϕ ( a ) = ∆ϕ = −U ab = − ∫
b
a
P
r r
b
r
E ⋅ ds = ∫ ∇ϕ ⋅ ds
P0
a
Um Ladung q gegen elektrostatische Kraft F von a nach b verschieben:
b r
b
r
W = − ∫ F ⋅ ds = − ∫ F ( s ) ⋅ ds
a
r
Potential einer
Punktladung
ϕ (r ) =
Potential einer
Ladungsverteilung
ϕ (r ) =
r
∫
a
q
1
4πε 0 r
1
4πε 0
Formelsammlung_Physik_23.doc (28.06.2010)
∑
i
r
r
ϕ ( P ) = − ∫ E ⋅ ds
Γ
mit P0 = V0 = 0
r r
E ⋅ ds = 0
mit Referenz im Unendlichen
qi
r r
r − ri
r
ϕ (r ) =
r
1
4πε 0
ρ (r ′)
∫ rr − rr d
i
Seite 3 von 20
3
r′
ρ (rr ) :
kontinuierliche Ladungsverteilung (= bekannte Position
der einzelnen Ladungen)
05.10.2009 / Luke Pfirti, ETH Masching HS2009
Formelsammlung Physik I (20 Seiten)
PD Dr. H. von Känel
3)
Anwendung des Satzes von Gauss (S. 30)
r r
r r q
Gauss für Punktladung
∇
⋅
E
dV
=
E
∫
∫ ⋅ df = ε 0
V
Ladung einer
homogenen Kugel
Q=
q:
s:
ϕ:
S
4π 3
R ρ0
3
R:
ρ0 :
Feldfluss:
r r
2
E
∫ ⋅ df = 4πr E (r ) =
Q
Feld einer
geladenen Geraden
(Radial gerichtet)
Feld innerhalb Kugel (r < R):
(Linear von r abhängig)
r r
E
∫ ⋅ df = 2πrLE (r ) =
E (r ) =
ρ 0 ⋅r
3⋅ε 0
S:
L:
r:
Lλ
ε0
S
λ:
1 λ
2πε 0 r
σ
Symmetrie: E-Feld steht senkrecht auf der Ebene.
r r
E
∫ ⋅ df = 2 EA =
∂EZ
dz
σA
ε0
=0
:
A:
S
E-Feld ist in beiden Halbräumen homogen.
E=
Gauss'sche Fläche
Länge Gauss'sche Fläche
Radius Gauss'sche Fläche
Ladung pro Längeneinheit
Flächenladungsdichte
[ mC2 ]
Fläche, welche die Gauss'sche
zylindrische Buchse einschliesst
σ
E-Feld verschwindet im Innern.
Oberfläche ist Äquipotentialfläche.
Feld in einem
leeren Hohlraum
eines Leiters
E-Feld verschwindet im Innern.
Oberfläche:
E=
Dichte homogene Raumladung
2ε 0
Feld eines geladenen elektrischen
Leiters
4)
Q
4π ⋅ε 0 ⋅r 3
Feldfluss:
E (r ) =
Feld einer homogenen, ebenen
Flächenladung
E (r ) =
Kugelradius
Berechnungen für homogene Kugel gilt
auch für unendlich dünne homogen
geladene Kugelschale, ausser dass dort
im Innern kein Feld existiert (da durch
geschlossene Fläche kein Feldfluss).
ε0
S
E (r − ε ) = E (r + ε )
Fläche um Punktladung
Potential
(Konstant bei r=konst.)
Feld ausserhalb Kugel (r > R):
(Nicht linear von r abhängig)
Der Übergangspunkt um R
ist stetig, da für ε klein gilt:
Punktladung
σ
:
Lokale Ladungsverteilung
Im Innern:
E=0
σ
ε0
r r
E
∫ ⋅ ds ≠ 0
Prinzip des Faraday-Käfigs:
Das elektromagnetische Feld im Inneren eines leeren
Hohlraums eines Leiters verschwindet identisch.
Metallischer Leiter schirmt Hohlraum vor elektrischen
Feldern ab.
Γ
Laplace-Gleichung (S. 38)
Die Laplace-Gleichung zählt nur bei ρ = 0 , bei ρ ≠ 0 zählt die Poisson-Gleichung.
Laplace-Gleichung
Feld zw. 2 parallelen
Leiterplatten
Im leeren Raum zwischen Leitern mit ρ = 0
∇ 2ϕ = 0
Potential hängt nur von x ab.
Die Laplace-Gleichung vereinfacht sich zu:
∂ 2ϕ
∂x 2
muss ϕ die Gleichung von Laplace erfüllen:
⇒ ϕ ( x) = ϕ1 + ϕ2d−ϕ1 x
ϕ1 :
ϕ2 :
=0
mit ϕ (0) = ϕ1 und ϕ (d ) = ϕ 2
Äquipotentialflächen sind Ebenen senkrecht zur x-Achse.
ϕ −ϕ
⇒ E X = − ∂∂ϕx = 1 d 2 = const.
Potentialdifferenz:
V = Ed =
Feld zw.
konzentrischen Kugeln
Laplace-Gleichung in Polarkoordinaten (einfache Form):
V (r ) =
σ
ε0
1 V1 −V2
r 1−1
R
R
1
Gleichung kompatibel zu
Feld zw. 2 Kugeln von früher
d=
2
V (r ) = V1 − ∫
Formelsammlung_Physik_23.doc (28.06.2010)
d
ε0 A
Potential Leiterplatte 2
d:
A:
Plattenfläche mit Ladung
ϕ:
ACHTUNG: Hier
V
Potential
Abstand Platten
Q
(homogen)
Q
∂ 2V
∂r 2
+ V1RR11−−VR22R2
R2
Potential Leiterplatte 1
1 Q
R1 4πε 0 r2
dr
Seite 4 von 20
+
2 ∂V
r ∂r
=0
Winkelkoordinate!
:
V ( R1 ) = V1
V ( R2 ) = V2
05.10.2009 / Luke Pfirti, ETH Masching HS2009
Formelsammlung Physik I (20 Seiten)
PD Dr. H. von Känel
Methode der Bildladungen (S. 40)
Potential von 2
Punktladungen
ϕ=
1 Q Q
 − 
4πε 0  r1 r2 
1
E⊥+ = −
Äquipotentialflächen
a:
Abstand von ±Q zu "B", resp.
zur geerdeten Platte
r1, 2 :
Abstand von ±Q zu P
"B" hat das Potential Null!
Die Situation der Abbildung entspricht
einer geerdeten Platte, mit einer der
Ladungen Q (z.B. nur Ladung rechts).
Feldkomponente in
Punkt P (senkrecht)
+
von Q
A, B :
ρ:
aQ
Abstand von P zum
Plattenzentrum
4πε 0 (a 2 + ρ 2 ) 2
3
Dazu kommt Beitrag der Bildladung.
Oberflächenladungsdichte
σ (ρ ) = −
Bildkraft
F=
(Kraft der Platte
auf positive Ladung)
5)
2aQ
4π (a + ρ )
2
1
E=
3
2
σ
ε0
∫
Platte
σ dA = −Q
Q2
( 2a ) 2
⋅
4πε 0
2
Hochspannungsdurchbruch (S. 48)
An spitzen Leitern herrscht hohe Ladungsdichte. Idealisierte Vorstellung (Vergleich): Grosse und kleine über Draht
verbundene Kugeln, die beide das gleiche Potential haben.
1
Potentiale
ϕ1 =
Felder
Q q
=
a b
6)
⋅
4πε 0
Q
a
ϕ2 =
1
4πε 0
⋅
q
b
ϕ2
E a Q / a 2 Qb 2 b
=
= 2 =
Eb q / b 2
a q a
⇒
ϕ1
Poisson-Gleichung (S. 44)
ρ:
Die Laplace-Gleichung zählt nur bei ρ = 0 , bei ρ ≠ 0 zählt die Poisson-Gleichung.
Poisson-Gleichung
p-n Übergang /
Halbleiter
Raumladungen
Negative Raumladung auf der
p-Seite, positive Raumladung
auf der n-Seite
∇ϕ+
2
(Verarmungsrandschicht)
Totale Ladungsdichte
n-Seite, n-leitend
(Elektronenüberschuss)
xn
∂ 2V ∂E ρ ( x)
e
=
=
=
[N D ( x ) − N A ( x ) ]
2
∂x
∂x
ε 0ε ε 0ε
Em =
Breite der
Raumladungszone
p-leitend
-xp p-Seite,
(fehlende Elektronen)
+
+
+
+
+
+
+
Im thermischen Gleichgewicht sind Stromdichten von Elektronen und
Löchern exakt null. Ladungserhaltung muss gelten: N A ⋅ x p = N D ⋅ xn
Maximales Feld
(Zwischen n- und p-Seite)
E
-
Elektronen diffundieren von n zu p, umgekehrt diffundieren Löcher von p
zu n. p- und n-Seite werden elektrisch geladen (in der Raumladungszone
− x p < x < xn ). Elektrische Felder durch Raumladungen
−
Potentialdifferenz
=0
Totale elektr. Ladungsdichte
- Elektronen
+ Löcher
Halbleiter mit elektrischer Leitung durch Elektronenüberschuss:
n-dotiert. Dotieratome: Donatoren
Halbleiter mit elektrischer Leitung durch fehlende Elektronen (Löcher):
p-dotiert. Dotieratome: Akzeptoren
Eine p-n Diode kommt zustande, indem man einen n-dotierten Halbleiter
mit einem p-dotierten Halbleiter in Kontakt bringt.
Zusammenhang
(bei x=0)
ρ
ε0
e ⋅ N D ⋅ xn
ε 0ε
Em ⋅ W =
=
e ⋅ NA ⋅ xp
ε 0ε
Vbi =
1
2
W =
2ε 0ε  N A + N D
⋅
e  N A N D
ρ ( x) =
e
ε
Formelsammlung_Physik_23.doc (28.06.2010)
1
2
NA:
NB :
e:
Vbi :
Em ⋅ ( xn + x p )

 ⋅ Vbi

(N D ( x ) − N A ( x ) )
Seite 5 von 20
Dichte ionisierte Akzeptoren
Dichte ionisierte Donatoren
Elementarladung e = 1.6 ⋅ 10 −19 C
Potentialdifferenz
Grössenordnung 1V bei Silizium
W:
N D ( x) = N D
N A ( x) = N A
für
für
Breite der Raumladungszone
(= Verarmungsrandschicht)
0 ≤ x ≤ xn 0
− xp ≤ x ≤ 0
sonst
0
sonst
0
05.10.2009 / Luke Pfirti, ETH Masching HS2009
Formelsammlung Physik I (20 Seiten)
7)
PD Dr. H. von Känel
Kapazität und Kondensator (S. 48)
Kondensator allgemein: Bei angeschlossener Batterie befinden sich auf einem Leiter die Ladung
− Q , wobei sich die Potentialdifferenz ∆ϕ einstellt.
Kapazität
(auch Proportionalitätsfaktor,
da Q proportional zu ∆φ)
Q
C=
[ F ] [ VC ]
∆ϕ
Kapazität einer leitenden Kugel
mit Radius R:
C = 4πε 0 R
Plattenkondensator
C = ε0
σ=
(Falls Gegenladung auf Kugelschale mit
unendlich grossem Radius.)
A
d
E=
∆ϕ
Q
σ
=
=
d
ε 0 Aε 0
∆ϕ = E ⋅ d =
Q
A
∆ϕ :
Q:
Ladung
ε0 :
Elektrische Feldkonstante
[V ]
Q = C ⋅ ∆ϕ
Potentialdifferenz
ε 0 = 8.85416 ⋅ 10 −12
d:
A:
σ
Q
C
+ Q , auf dem anderen
:
C2
Nm 2
Plattenabstand
Plattenfläche
Flächenladung
Bei Vernachlässigung der Randeffekte!
Kugelkondensator
Das E-Feld ist nicht homogen,
sondern abhängig vom
Abstand zum Mittelpunkt des
Kondensators r. Außerhalb des
Kondensators ist das Feld = 0.
R2
∆ϕ =
∫
1
4πε 0
dr =
Q
r2
Q
4πε 0
(
1
R1
−
1
R2
)
R1
R1
C=
Q
RR
= 4πε 0 1 2
∆ϕ
R2 − R1
Zylinderkondensator
∆ϕ =
Das Feld zwischen den
Zylindermänteln ist nicht
homogen, sondern nimmt
radial ab.
C=
R2
1
2πε 0
∫
Q
L
dr
r
=
E (r ) =
1 Q
2πε 0 L
ln
R1 :
R2 :
( )
R2
R1
R1
Q
∆ϕ
=
2πε 0 L
∫
R2
1
R1 r
Bei vorhandenem Dielektrikum in obigen
= 2πε 0
dr
L
ln
( )
R2
R1
E (r ) =
Q
2πrLε 0
=
U
r ⋅ ln
Innenradius Kugelschale
R2 > R1
R2
Q
4πr 2ε 0
Radius Kugel innen
r:
Laufvariable für E-Feld
L:
R1 :
R2 :
r:
Zylinderlänge
( )
R2
R1
R1 < r < R2
Radius Zylinder innen
Radius Hohlzylinder aussen
Laufvariable für E-Feld
R1 < r < R2
∆ϕ -/ E -Formeln einfach ε 0 mit ε 0 ⋅ ε ersetzen (siehe nächstes Kapitel).
Elektrostatische Energie (S. 50)
Q1Q2
4πε 0 r12
Um 2 Punktladungen aus dem Unendlichen bis
auf einen Abstand r12 zusammen zu bringen.
Elektrostatische
Energie
∆W =
Energie Kondensator
Bei Kondensatorladung auf V=∆φ
ist die Ladung Q=CV.
(Beliebiger Kondensator)
r12 :
Abstand Punktladungen
r12 :
Abstand Punktladungen
Arbeit, um Kondensator auf V aufzuladen:
V
1
1 Q2
W = ∫ dW = ∫ CVdV = CV 2 =
0
2
2 C
Arbeit für zusätzliche infinitesimale
Ladung -dQ: dW = VdQ = VCdV
Energie
Plattenkondensator
W = A ⋅ d ⋅ w = 12 ε 0 E 2 Ad
Anziehung der Platten
eines geladenen
Kondensators
Nötige Arbeit, um Plattenabstand um ∆d zu vergrössern:
(Bei Kondensator ohne
Batterie, mit Ladungen ±Q)
w = 12 ε 0 E 2
 d  Q2
1
1 1
 =
∆W = F∆d = Q 2∆  = Q 2∆
⋅ ∆d
2
C  2
 ε 0 A  2ε 0 A
F=
w:
Energiedichte Plattenkondens.
d:
F:
Abstand zwischen den Platten
Zw. Platten wirkende Kraft
d
Q2
1σ
1
=
Q = QE
2ε 0 A 2 ε 0
2
∆d
E
+Q
-Q
Da Oberflächenladung über eine dünne Schicht verschmiert ist, ist die
Kraft F
= 12 QE
und nicht
F = QE . Das Feld verläuft durch diese
σ
Schicht linear, das mittlere Feld, das auf die Oberflächenladungen wirkt,
beträgt
E/2.
Formelsammlung_Physik_23.doc (28.06.2010)
Seite 6 von 20
05.10.2009 / Luke Pfirti, ETH Masching HS2009
Formelsammlung Physik I (20 Seiten)
8)
PD Dr. H. von Känel
Dielektrika / Dipol / Polarisation (S. 52)
Dielektrikum: Elektrisch isolierendes (nichtmetallisches) Material. Hier: Mit Konstantem σ
Plattenkondensator
mit Dielektrikum
C = ε ⋅ε0
A
d
C mit
Dielektrikum
ε : Dielektrizitätskonstante (DK)
= ε ⋅ Cohne
frei
(keine Spannungsquelle!)
Dielektrikum
ε Vakuum = 1
(Elektrisches Feld im Dielektrikum erzeugt eine Polarisation!)
Elektrischer Dipol
Dipolmoment
(Induziertes Dipolmoment)
Polarisation
(Elektronischer Natur)
Thomson-Modell: Atom besteht aus positivem Kern und negativen Elektronen, über ein Kugelvolumen verschmiert.
Im E-Feld werden Kern und Hülle in unterschiedliche Richtungen ausgelenkt!
Neben Elektrischen Dipolen gibt es auch permanente Dipole, z.B. in Wasser.
r
r
r
p = Q ⋅ δ wobei Vektor δ von − Q nach + Q gerichtet ist
r
r
P = N ⋅ Q ⋅ δ [ mC2 ]
(Ges. Dipolmoment pro Volumeneinheit)
Polarisationsladungen
Polarisation gibt’s nur im Innern von Dielektrikum.
Sie wird durch E-Feld im Dielektrikum erzeugt
Polarisationsladungsdichte
σ pol = n ⋅ e ⋅ δ = P = N ⋅ Q ⋅ δ
E-Feld im Dielektrikum
r
σ frei − σ pol
E =E=
Polarisation ist in einfachen
Fällen proportional zum Feld
r
E : Hier Feld im Dielektrikum, nicht Feld von Ladungen auf Platten!
r
r
P = χ ⋅ ε 0 ⋅ E [ mC2 ] (bei Dielektrikum isotrop)
E-Feld im Innern
des Kondensators
σ frei 1
E=
ε 0 1+ χ
Kapazität des
Kondensators
C=
Inhomogene
Polarisation
Bei polarisiertem Dielektrikum (mt imaginärer Fläche
zwischen ϵ1 und ϵ2) liefert nur die Komponente der
Polarisation senkrecht zur Fläche einen Beitrag:
d
S
pro Volumeneinheit [ 13 ]
m
δ:
n:
Elektronendichte
σ frei :
Flächenladungsdichte der
Elektrostatische
Gleichungen in
Anwesenheit von
Dielektrika
S
χ:
ε:
d
σ pol
r r
= P⋅n
r
n:
[]
Dielektrizitätskonstante
ε = 1+ χ
Normalenvektor der Fläche
Polarisationsladungsdichte
ρ pol :
Volumenladungsdichte
(vereinfacht)
(Polarisationsladungsdichte)
r r
ρ pol = −∇ ⋅ P
V
ε:
ρ:
1. Maxwell-Gleichung:
(mehr: siehe Skript S. 58, f.)
r r
r r ρ ρ frei + ρ pol ρ frei − ∇ ⋅ P
∇⋅E =
=
=
ε0
ε0
r
r r
D = ε0E + P
r
Felder und Kräfte
bei vorhandenen
Dielektrika
Ohne Dielektrikum:
Kraft zw. Leitern /
Kondensatorplatten
Fx = − ∂∂Wx = − Q2
Kraft zw. zwei
Punktladungen
r
QQ
1
F = 1 2 ⋅ 2
4πε 0ε r
r r
∇ × E0 = 0
2
∂
∂x
r
r
r
D = ε 0 (1 + χ ) E = εε 0 E
( C1 )
mit
Mit Dielektrikum:
( )
r
r
∇ ⋅ εE =
W=
Seite 7 von 20
r
Beziehung zw. D und E (Materialabh.):
r r
∇ ⋅ D = ρ frei
⇒
Dielektrizitätskonstante
Ladungsdichte
(umfasst alle Ladungen!)
Dielektrische Verschiebung (mathematischer Behelf):
Formelsammlung_Physik_23.doc (28.06.2010)
Dielektrische Suszeptibilität
σ pol :
S
V
ρ frei
ε0
−Q
schaften des Dielektrikums.
r r
r r
P ⋅ n df = − ∫ ρ pol dV = ∫ ∇ ⋅ PdV
r r
∇ ⋅ E0 =
und
χ und ε sind Materialeigen-
εε 0 A
r r
P ⋅ ndf = − ∫ σ pol df
ε0
+Q
können sich frei bewegen)
Mit Gauss:
∫
Abstand zw.
Kondensatorplatten (Ladungen
Ladung in Volumen,
welches von Fläche S umrandet ist:
∆Q pol = − ∫
Anzahl Atome
(Flächenladungsdichte)
σ frei ,σ pol > 0
ε0
=
[C ]
r
r
ε 0 A(1 + χ )
Q:
N:
ρ frei
ε0
r r
∇× E = 0
r
r
εE = E 0
Q2
2C
05.10.2009 / Luke Pfirti, ETH Masching HS2009
Formelsammlung Physik I (20 Seiten)
9)
PD Dr. H. von Känel
Piezoelektrische Generatoren und Aktoren (S. 61, nur Anwendungen)
P = d ijk ⋅ σ jk
- Bei Piezoelektrika (meistens Keramiken) führt mechanische Spannung zu einer Polarisation P.
Durch anlegen eines elektrischen Feldes werden Piezo-Keramiken polarisiert.
- Inverser Piezoelektrischer Effekt: Elektrisches Feld wird geändert, wenn man es an einem piezoelektrischen Kristall anlegt.
Vorzeichen von V umkehren =
Vorzeichen der mech. Spannung
umkehren.
Linearmotor
Vorzeichen hat hier nichts mir der
Polarisationsrichtung zu tun!
x3
Längenänderung bei
Spannung V
∆T = V ⋅ d 33 Scherung: e3 =
Querkontraktion in den
x1- und x2 - Richtungen
e1 =
∆W
W
= e2 =
∆L
L
∆T
T
∆T :
d:
= VT d 33 = E ⋅ d 33
= E3 ⋅ d 31
Längenänderung in Richtung V
Element des Piezotensors
Inch-Worm-Prinzip
Gleiche Gleichungen wie bei Linearmotor. Das mittlere Element erzeugt Bewegung, die äusseren sind Klemmen.
Weitere Aktoren: Bimorphen (Peizorörchen): 2 aufenandergeklebte Plättchen entgegengesetzter Polarisation,
so dass sie sich unter dem Einfluss eines elektrischen Feldes verbiegen können.
Piezo-Generatoren oder Sensoren
- - - - - - - - - - - - + ++++++++++++
+ ++++++++++++
S
P
E
E= 0
Piezogenerator: Piezokeramik mit metallisierten Oberflächen; bei
Kraftbelastung (mit F) entsteht bei kurzgeschlossenen Elektroden auf der
Innenseite eine Polarisationsladung Q.
Dielektrische Verschiebung
(bei Polarisation durch
Druckspannung
verschwindet)
Spannung zwischen den
Metallelektroden
r
r r
D = ε0 ⋅ E + P = 0
Polarisation und elektrisches Feld sind
also gegeneinander gerichtet!
r r
V = ∫ E ⋅ ds = E3 ⋅ T
P3 = d 33 ⋅ σ 3 + ε 0 ⋅ χ ⋅ E3
d
⇒ E3 = − ε 033ε σ 3
D3 = 0 = ε 0 E3 + P3 = (1 + χ ) ⋅ ε 0 ⋅ E3 + d 33 ⋅ σ 3
P
- - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - -
+ ++++++++++++
(a)
(b)
Piezokeramik durch mech. Spannung
belastet. (a): ofener Stromkreis,
(b): geschlossener Stromkreis
T:
E3 :
E-Feld in z-Richtung
P3 :
Polarisation von
Dicke piezoelektrisches Material
E3
10) Elektrotechnik (Einschub)
Kondensator
Kapazität
C = ε ⋅ dA [F ]
CGes =
ε = ε1 ⋅ ε 0
1
⇒ C = ε 1 ⋅ ε 0 ⋅ dA
Parallel:
A:
d:
CGes = C1 + C 2 + ...
In Schaltung
Serie:
Differntialdarstellung
Strom:
Spule (Induktivität)
DC: Zu Beginn: Leerlauf:
, mit der Zeit: Kurzschluss:
AC: Hohe Frequenzen: Leerlauf, Tiefe Frequenzen (=DC): Kurzschluss
Induktion
1
+ 1 +...
C1 C 2
iC = C ⋅ dtd vC
Spannung:
L = µ 0 ⋅ Nl ⋅ A [H ]
LGes = L1 + L2 + ...
Differntialdarstellung
Strom:
iL = L1 ⋅ ∫ v L ⋅ dt
Sprungantwort
R-L Netzwerk
iL (t ) = iL (t → ∞) + [iL (t = 0) − iL (t → ∞)] ⋅ e
Parallel:
Spannung:
R
− t
L
1
Reff
vC (t = 0)] ⋅ e
vC (t ) = vC (t → ∞) − [vC (t → ∞) −vC (t = 0)] ⋅ e
Formelsammlung_Physik_23.doc (28.06.2010)
⋅ ∫ iC ⋅ dt
−
LGes =
−
t
Reff ⋅C
t
Plattenfläche
Abstand der Platten
ε0 :
ε1 :
C
ε 0 = 8.85 ⋅ 10 −12 Vm
Abhängig vom Material
zw. Platten
θ = 90°
N:
1
Anzahl Windungen
µ0 :
Magnetische Feldkonstante:
µ 0 = 4π ⋅ 10 −7
1
+ 1 +...
L1 L2
vL = L ⋅ dtd iL
Vs
Am
Berechnung für
Toroid nur mit
eckigem Kern!
Reff
R
− t
di
vL (t ) = L L = [ Reff ⋅ iL (t → ∞) − Reff ⋅i L (t = 0)] ⋅ e L
dt
dvC
= [ R1eff vC (t → ∞) −
dt
1
C
L = µ 0 ⋅ N2πh ⋅ ln rr12
Toroid:
Serie:
iC (t ) = C
vC =
2
2
In Schaltung
Sprungantwort
R-C Netzwerk
θ = −90°
DC: Zu Beginn: Kurzschluss:
, mit der Zeit: Leerlauf:
AC: Hohe Frequenzen: Kurzschluss, Tiefe Frequenzen (=DC): Leerlauf
:
Effektiver Widerstand
Berechnung als R über
Spule/Kapazität mit:
- Spannungsquellen: Kurzschluss
- Stromquellen: Leerlauf
Reff C
Seite 8 von 20
05.10.2009 / Luke Pfirti, ETH Masching HS2009
Formelsammlung Physik I (20 Seiten)
PD Dr. H. von Känel
11) Magnetostatik (S. 69-73)
r
Magnetfeld ist vom Nordpol
Ns
B [ Cm
] [ mVs2 ] [Tesla ]
Magnetfeld
zum Südpol gerichtet!
r
r r
r
r r r
r r
j
∇
×
B
=
Lorentz-Kraft
F = q ⋅ ( E + v × B)
∇⋅B = 0
c 2 ⋅ε 0
r
I = ∆∆qt = j ⋅ n ⋅ ∆f [ A] [ Cs ]
Strom
r r
(In ∆t durch ∆f)
Ladung ∆q
∆q = ρ ⋅ vD ⋅ n ⋅ ∆f ⋅ ∆t
Driftgeschwindigkeit ist in der
r
r
Driftgeschwindigkeit
vD = µ ⋅ E
E = V ⋅ l Grössenordnung mm bei Metall.
(mittlere Geschwindigkeit)
s
r
r
r
Elektrische
j = ρ ⋅ vD = n ⋅ q ⋅ vD
Stromdichte
r
r
r
(Ohm'sches Gesetz)
σ = n⋅q⋅µ
j = n⋅q⋅µ ⋅E =σ ⋅E
Gesamtladung
(Strom durch Fläche S)
Kontinuitätsgleichung
r r
d
d
I = ∫ j ⋅ n df = − QTotal = −
dt
dt
S
Allgemein:
r r
∇ ⋅ j = − ∂∂t ρ
Ladung durch A in ∆t
V
L
∆Q = I ⋅ ∆t
Joul'sche
Wärmeleistung
P=
Zilyndrischer Leiter
∫
V
ρ ⋅ dV
[ A] [ Cs ]
Driftgeschwindigkeit
ρ:
(Mittlere Elektronengeschwindigkeit)
Ladungsverteilung ρ = n ⋅ q
∆f
µ:
n:
[ mA2 ]
(Ladungsdichte)
:
l:
q:
σ
Elektrische Stromdichte
:
Fläche (Durchtrittsfläche)
Beweglichkeit
Teilchendichte
(Dichte der Ladungsträger)
Leiterlänge
Teilchenladung
Leitfähigkeit
σ = n⋅q⋅µ
(konst. für homogenen Leiter)
Strom durch Fläche S =
Ladungsänderung innerhalb V
r r
∇⋅ j = 0
Stationäre Ströme:
r
r
A
I = A ⋅ j = A ⋅σ ⋅ E = σ ⋅ ⋅V
L
⇒
∆W = V ⋅ ∆Q
E=
r
j:
r
vD :
∆W
∆Q
=V ⋅
=V ⋅I = I2 ⋅R
∆t
∆t
A:
L:
V:
Querschnittsfläche
Länge
Potential
V = R⋅I
Arbeit, die pro Zeiteinheit in
Wärme umgewandelt wird.
Widerstand (S. 71)
Elektrischer
Widerstand
ρΩ :
σ:
U
1 L
=
I
σ A
L [Ω] [ V ]
= ρΩ
A
R=
A
Leitfähigkeit
(konst. für homogenen Leiter)
r r
∇⋅E = 0
Laplace Gleichung
∇ ϕ =0
Homogener Leiter
Feld gleich wie in Elektrostatik.
2
[ Ωm ]
σ = n⋅q⋅µ
Spezifischer Widerstand
r
E = −∇ϕ
j⊥ = 0 ( E ⊥ = 0 )
Gl.: Im Inneren eines homogenen Leiters!
ϕ = konst
(auf Stirnflächen des Leiters)
Messung der Leitfähigkeit (S. 74)
Widerstand
Stromdichte
(Hängt hier nur vom
Abstand r ab.)
Schichtwiderstand
Feld
U
L
1 L
=
= ρΩ
[Ω] [ VA ]
I
σ A
A
I
I
j (r ) =
[ A2 ]
=
2πrd
A(r ) m
R=
R◊ =
ρΩ
d
=
Strom
Radius der Äquipotentialflächen um
die Sonde
V:
R◊ :
Potential
ρΩ :
π V
A(r ) :
ln(2) I
E (r ) = j (r ) ⋅ ρΩ =
I:
r:
Schichtwiderstand
Spezifischer Widerstand
Mantelfläche des Messbereichs
um die Sonde
j (r )
r >> d
σ
:
d:
Dicke der Platte
Elektromotorische Kraft (S. 75)
Van-de-Graf
Generator
+
−
1 r r 1 r r
EMK = ∫ Fds + ∫ Fds
q−
q+
Spannung:
Elektromotorische
Kraft (EMK)
EMK =
Generator
1 r r
Fds
q∫
Formelsammlung_Physik_23.doc (28.06.2010)
(Ladungen werden in umgekehrter Richtung
als im elektrischen Feld transportiert.)
r
r
r
FTot = Fel + Fmech
Widerstand
(EMK einer Spannungsquelle, allgemein)
(Arbeit, Joul'sche Wärme)
r
F:
Kraftfeld
Seite 9 von 20
05.10.2009 / Luke Pfirti, ETH Masching HS2009
Formelsammlung Physik I (20 Seiten)
PD Dr. H. von Känel
Magnetfeld Stationärer Ströme (S. 77)
r r
Wegen der Kontinuitätsgleichung: ∇ ⋅ j = 0 . Stationärer Strom muss immer geschlossenen Weg zurücklegen Darf keinen Kondensator enthalten.
Ampère'sches
Durchflutungsgesetz
r r I durch Γ
B
∫ Γ ds = ε 0 c 2
Magnetfeld eines
langen Drahtes und
einer Spule
r r
B
Γ
∫ ds = B ⋅ 2π ⋅ r =
(Radial kein Feld!)
1
2I
B=
2
4π ⋅ ε 0 c r
Magnetfeld in dünner
langer Spule
Windungszahl
(Anzahl Windungen
pro Längeneinheit)
Ringströme
r
B=
r r
2 I × er
1
4π ⋅ ε 0 c 2
r
B=
N ⋅I
n⋅I
=
2
ε 0c ⋅ L ε 0c 2
S:
Γ:
Kraft auf
Leiterstück ∆L
Rand
r
r
r j
r r
I =
er =
r
j
r
r
r
FL = q ⋅ vD × B
1
= 10 −7
2
4πε 0 c
I
ε 0c 2
N:
Anzahl Windungen
auf Strecke
N
n=
L
L
L:
Strecke innerhalb der Spule
Γ:
Rand
mit
N
Windungen
In magnetisiertem Eisen ohne angeschlossene Spannungsquelle auftretende Kriechströme, die
aufgrund des Eigendrehimpulses oder Spins der Elektronen zustande kommen.
z
Stromschleife
Kraft auf Ladung
Fläche
r
r
r
FL = q ⋅ vD × B
r
r
r
∆F = A ⋅ n ⋅ q ⋅ v D × B ⋅ ∆L
r r r
∆F = I × B ⋅ ∆L
z
F
y
B
F4
F1
1
I
B
a/2
4
n
3
x
x
F2
F3
2
a
a/2
S:
I:
n:
A:
Fläche der Schleife
Strom in der Schleife
Dichte der Ladungsträger
Drahtquerschnitt
b
F
Im Ganzen wirkt auf die Schleife keine resultierende Kraft, da die Ströme in den
gegenüberliegenden Leiterstücken jeweils entgegengesetzt fliessen.
Drehmoment
durch F1=F2=I·B·b
Magnetisches Moment der Leiterschleife
τ = I ⋅ a ⋅ b ⋅ B ⋅ sin θ = I ⋅ S ⋅ B ⋅ sin θ
r
τ =µ×B
r
r
µ = I ⋅S ⋅n
r
S = a ⋅b
θ:
r r
τ = P×E
S:
r
n:
r
P:
Drehmoment eines elektrischen Felds auf ein elektrisches Dipol
r
Superposition (gilt für Magnetfelder)
r
B
Finger der Rechten Hand
r:
Rechte Handregel
I:
Daumen der rechten Hand
Superposition Fall 1:
Dünne unendliche
metallische Platte
+
−
l ( B z − Bz ) =
+
−
Bz = Bz =
Dünne unendliche
metallische Platten, von 2
entgegengesetzten
durchflossenen Strömen
Leiterschleifenfläche
Einheitsvektor längs
der Flächennormalen
Elektrisches Dipol
Feld von 2 stationären Strömen:
r r
r
B = B1 + B2
δ
j xδl
ε 0c 2
1 j xδ
I
2 =
2 ε 0c
2ε 0 c 2
:
Dicke der Platte
jx :
Homogene Stromdichte
Bz :
Magnetfeld
Bz
4
2
4
r r 2 +
j xδl
−
+
−
+
−
B
d
s
=
B
dz
+
B
(
−
dz
)
=
B
dz
−
B
z ∫
z ∫ dz = ( B z − B z )l =
2
∫Γ
∫1 z
∫3 z
ε
0c
1
3
Superposition Fall 2:
Winkel zw. Schleifennormalen und
Magnetfeldrichtung
r
Bz
+
−
:
Magnetfeld für positives
:
Magnetfeld für negatives
y
y
Ausserhalb der Platten verschwindet
das Magnetfeld (wird von Komponenten
in der Mitte aufgehoen). Zwischen den
Platten gilt:
Bz =
j xδ
ε 0c 2
Formelsammlung_Physik_23.doc (28.06.2010)
Seite 10 von 20
05.10.2009 / Luke Pfirti, ETH Masching HS2009
Formelsammlung Physik I (20 Seiten)
PD Dr. H. von Känel
Halleffekt (S. 82)
Elektrisches Feld (also Stromfluss) in einem Leiter + externes Magnetfeld, das nicht durch E-Feld induziert wird.
z
Bz
jy
jx
r
vD :
Bei Magnetfeld Bz : Lorentz-Kraft auf Ladungsträger
y
Ex :
w:
Beim Einschalten von Bz :
Ex
r r
r j×B
r
= 0,
FL = qv D × B =
n
(
d
w
x
Nach dem Einschalten von Bz : Ladungsträger erzeugen E y , welches FE
Hall-Feld
(hier einheitlich)
jy )
(Für negative Ladungsträger erzeugt sie
Ey
r
j
E y = x ⋅ Bz
nq
j× B
n
0
)
r
r
= qE y erzeugt, wobei: FL + FE = 0
VH = w ⋅ E y
Hall-Spannung:
Der Hall-Koeffizient ist:
- positiv bei Löcherleitung
- negativ bei Elektronenleitung
Hall-Koeffizient:
RH =
Ey
j x ⋅ Bz
=
1
nq
r
A:
ψ
(Man kann Gradienten eines beliebigen skalaren Feldes dazuaddieren,
ohne dass sich seine Rotation und damit das Magnetfeld ändert.)
(Für Magnetostatik sinnvoll)
r r
∇⋅ A = 0
Elektrisches Feld
Breite des Leiters
T
Vektorpotential (S. 84)
r r
r r r
A
' = A + ∇ψ
B = ∇× A
Landau-Eichung
Driftgeschwindigkeit
⇒
r
r
∇ 2 A = − ε jc 2
z.B..
∇ Ax = − ε c 2
Geeicht:
0
:
r r
A( r ) =
jx
2
Vektorpotential
beliebiges skalares Feld
1
4πε 0 c 2
∫
r r
j (r ′)
r r dV
r − r′
0
Bei dünnem Draht
r
Das Längenelement ds ′ des Drahtes
r
am Ort r ′ liefert den Betrag:
r r
dA(r ) =
r
I ⋅ ds ′
r r
4πε 0 c 2 r − r ′
r r
dB ( r ) =
a
1
r- r’
a:
I:
r
r’
j
Querschnittsfläche Draht
Strom im Draht
dV = ads
r
r
r
j dV = jads = Ids
ds’
Immernoch bei dünnem Draht: Betrag
r
dieses Elements ds ′ zum Magnetfeld:
Gesetz von
Biot-Savart
dA
r
r r
ds ′ × (r − r ′)
r r 3
4πε 0 c 2
r − r′
I
r
r r
dB = ∇ × dA
Dies ist das Gesetzt von Biot-Savart, mit dem man das Magnetfeld an beliebr
igem Punkt r berechnen kann, mit Integration über den gesamten Draht
Relativität zwischen elektrischem und magnetischem Feld (S. 86)
Das Magnetfeld hängt von der Wahl des Bezugssystems ab.
F:
EZ =
σ
ε0
σ=
F:
Q
A
F′:
Q : invariant
F′:
Q
Q
σ′ = =
A′ b ⋅ b′
E Z′ =
Strecke b im ruhenden System
ist b' im bewegten System.
In F` bewegen
sich Ladungen
(↔ Es Fliessen Ströme)
Magnetfeld in
negativer y'-Richtung
j¨′X =
σ′ =
Bewegtes Koordinatensys.
r
bewegt sich mit υ in − ex
Ladungen bewegen sich
r
in F ′ mit υ in + e x !
σ
Ez :
Ez :
1− β 2
EZ
σ′
σ
=
=
2
ε0 ε0 1 − β
1− β 2
Elektr. Feld zw. Platten
Geschwindigkeit von F ′
β = υc
b′ = b ⋅ 1 − υc 2 = b ⋅ 1 − β 2
2
δ
σ ′υ
δ
B ′Y = −
Koordinatensystem mit
Kondensator körperfest
E Z′ υ
c2
Formelsammlung_Physik_23.doc (28.06.2010)
r
⇒B=
1
c2
(υr′ × Er ′)
Seite 11 von 20
δ
υ
:
Dicke der Ladungsdichte
ρ ′ = qn′ =
σ′
δ
05.10.2009 / Luke Pfirti, ETH Masching HS2009
Formelsammlung Physik I (20 Seiten)
PD Dr. H. von Känel
12) Elektrodynamik (S. 89)
v:
Induktionsgesetz
von Faraday
L:
Länge Bügel L = L(t )
w:
Breite Bügel
wL : Fläche Leiterschleife
r
B:
Magnetfeld
RBügel : Widerstand Bügel
r
r
j = σE
I = EMK
R
Bewegt man Bügel mit
konstanter Geschwindigkeit
v, so gibt es einen Strom in
der Schleife (damit Strom
fliessen kann, muss folglich
eine EMK existieren).
ρ Bügel = 0 ⇒ σ Bügel = ∞
Idealer Generator
RBügel = 0
⇒ V = R⋅I
Reeller Generator
RBügel ≠ 0
⇒ VGesamt = RBügel ⋅ I
Elektromotorische
Kraft
EMK = ∫ vBds = w ⋅ v ⋅ B = w ⋅ B ⋅ dtd L(t )
Lentz'sche Regel
(Liefert Vorzeichen)
Induktionsgesetz
(Gesetz von Faraday)
(Spannung wird kleiner)
EMK ist gleich der zeitlichen Ableitung des Feldflusses.
Magnetische Flussänderung (durch Bewegung eines
Leiters im Magnetfeld) bewirkt EMK.
Γ
Das Vorzeichen der EMK ist so gerichtet, dass der induzierte Strom ein
Magnetfeld erzeugt, das der Flussänderung entgegenwirkt.
r r
r
∇ × E = − dtd B
∫
Fluss des
Magnetfeldes
Geschwindigkeit Bügel
= Geschw. der Elektronen
und Atomrümpfe im Bügel
S
Zeitlich veränderliche Magnetfelder
erzeugen elektrische Felder.
r r r Stokes r r
(∇ × E ) df = ∫ Eds = − ∫
Γ
Φ=∫
S
r r
B ⋅ df
d
S dt
r r
r r
Bdf = − dtd ∫ Bdf = − dtd Φ
Γ:
S
Φ = L⋅I
ideale Spule:
S:
beliebiger geschlossener
Weg
Fläche (von Γ umrandet)
Wechselstromgenerator (Spule, die in einem homogenen Magnetfeld rotiert) (S. 90)
Fluss
Φ = B ⋅ S ⋅ cos(θ ) = B ⋅ S ⋅ cos(ωt )
EMK
EMK = − N
Potentialdifferenz
V = NBSω sin(ωt ) = V0 sin(ωt )
(Bei R = ∞ kein Strom fliesst)
mit R :
d
dt
(Integral um vollständigen
Stromkreis)
Mech. Leistung
(aufzuwendende Leistung
um Spule zu drehen)
P=
d
dt
Wndungszahl Spule
EMK
r r
r r
W = ∫ nvFds = nvq ∫ F 1q ds = EWK ⋅ I
d
dt
Wmech = ω ⋅ τ = ω ⋅ N ⋅ I ⋅ S ⋅ B ⋅ sin(ωt )
Leistung,
die der
Generator
liefert.
Aufzuwende
nde Leistung
R
Bei Vernachlässigung
von Reibung, etc…:
d
dt
Wmech =
d
dt
Welektr .
τ
Drehmoment
r
τ =µ×B
Linearmotor
EMK entgegen Strom I:
r
r
r
Vgen −Vind
R
r
R
Vind = w ⋅ v ⋅ B
I=
r
µ = I tot ⋅ S ⋅ n = N ⋅ I ⋅ S ⋅ n
Strom in der Leiterschleife:
=
Vgen
R
V gen -
+
− wvB
V ind
v
w
B
I
Auf Bügel wirkende Lorentz-Kraft:
FL = I ⋅ B ⋅ ω
Rotationsmotor
N:
I
EMK
P=
ω:
Winkel zw. Magnetfeldrichtung und Normalen auf
Spulenebene
Winkelgeschw. Spule
EMK V0
= sin(ωt )
R
R
im Drahtstück ds : Ladungsträger:
dN = nds
r r
Generatorleistung: n ⋅ v ⋅ F ⋅ ds
Totale elek. Leistung
Spulenfläche
θ:
( BS cos(ωt ))
(Wechselspannung)
I=
S:
Elektromotor. Kraft Quelle
Vind :
R:
w:
v:
EMK entgegen Strom I
Widerstand Leiterschleife
Länge Bügel
Geschwindigkeit Bügel
I
Rotor: Besteht aus mehreren gegeneinander verdrehten Stromschleifen.
Eisenkerne verstärken das Magnetfeld
Formelsammlung_Physik_23.doc (28.06.2010)
Vgen :
+
B
Seite 12 von 20
-V
g en
Prinzip des Gleichst rommotors
05.10.2009 / Luke Pfirti, ETH Masching HS2009
Formelsammlung Physik I (20 Seiten)
PD Dr. H. von Känel
Induktionsphänomene (S. 95)
Quasistationäre Strome:
Gegenseitige
Induktion
r
r
r
r
1 N1 I1 (t )
j
∂
E
c 2∇ × B =
+
⇒B=
ε 0c 2
l
ε 0 ∂t
vernachlässigbar
In Spule 2
induzierte EMK
N N S dI1
dB
EMK 2 = − N 2 S
= − 1 22
dt
ε 0 c l dt
EMK 2 = − L12 ⋅ dIdt1
In Spule 1 induzierte EMK:
Bei Strom I2
durch Spule 2
Beweis:
EMK1 = −
∫
(1)
Windungen Spule 1 / 2
I1 / 2 :
l:
S:
Strom in Spule 1 / 2
Länge der Spule 1
Querschnittsfläche Spule 1
Fluss:
Φ = B⋅S
L12 :
Koeffizient der
µ0 :
Induktionskonstante
gegenseitigen Induktion
µ 0 = 4π ⋅ 10 −7
L12 = L21
EMK1 = − L21 ⋅ dIdt2
d
dt
N1 / 2 :
r r
r r r
Bdf = − dtd ∫ (∇ × A)df = − dtd ∫
(1)
(1)
r r
Ads1 = − dtd
∫
(1)
r r r
A(r1 )ds1 = − 4πε1 c 2
0
dI 2
dt
r r
ds 2 ds1
∫ (1) ∫ ( 2) rr1 − rr2
Gesamter Fluss durch Spule 1
L21 =
1
4πε 0c 2
∫ ∫
Selbstinduktion
(1)
( 2)
r r
ds 2 ds1
r r = L12
r1 − r2
EMK1 = − L11 ⋅ dIdt1 − L21 ⋅ dIdt2
Selbstinduktion
für 1 Spule
EMK = − L ⋅ dIdt
Lentz'sche Regel:
L11 , L22 > 0!
EMK 2 = − L12 ⋅ dIdt1 − L22 ⋅ dIdt2
Gleichzeitig in beiden
Spulen fliesst Strom
(EMK hängt auch vom Strom in der Spule selbst ab)
Magnetfeldfluss:
Φ = L⋅I
[Vs ]
Vs
Am
r
I 2 ds2
r r
r1 − r2
r r
A(r1 ) =
4πε 0 c 2
Lxx :
Selbstinduktionskoeff.
L:
Selbstinduktion
1
∫
( 2)
[H ] [ VsA ]
EMK wirkt entgegen der Flussänderung bzw. der Stromänderung.
13) Einschalt- und Ausschaltvorgänge (S. 98)
r
b r
a r
Ideale Induktivität EMK = Edsr = Edsr + Edsr
∫
∫
∫
a
Voraussetzung:
- Vernachlässigung Ohm'scher
Widerstand
- Kein Magnetfeld
b
via Spule
ausserhalb
r
= 0 weil E = 0 für idealen Leiter!
Potential
r r
b r r
V = − ∫ Eds = − ∫ Eds = − EMK = L ⋅ dIdt
Einschaltvorgang
(DC)
V0 = L dIdt + R ⋅ I
dI
dt
>0
a
I (t ) =
V0
R
(1 − e
V( t ≈0 ) = L
dI
dt
− RL t
I ( t = 0 ) =0
→
)
L:
Selbstinduktion
R:
Widerstand
τ
Zeitkonstante
:
[ H ] [ VsA ]
[Ω] [ VA ]
τ=
L
R
[ s]
= VL
(Für grosse Zeiten fällt der
ganze Strom über R ab.)
Schutzdiode
Lässt den Strom nur in eine Richtung
durch. Nur für Ausschaltvorgang relevant:
Ausschaltvorgang
0 = L dIdt + R ⋅ I
I (t ) = I 0 e
I ( t =0 ) = I0
→
− RL t
Differentialgleichungen
Harmonischer Oszillator
Exponentiallösungen
y ( x ) = e λ ⋅x
y′′( x) − k ⋅ y ( x) = 0
y ( x) = A ⋅ sin( − k x) + B ⋅ cos( − k x)
λ 1 ≠ ... ≠ λ n
y ( x ) = C 1 ⋅ e λ1 x + C 2 ⋅ e λ 2 x + ...
λ 1 = ... = λ n
y ( x ) = C 1 ⋅ e λ x + C 2 ⋅ xe λ x + ... + C n x k −1 e λ x
λ = α ± iω
y ( x ) = C 1 ⋅ e α x sin( ω x ) + C 2 ⋅ e α x cos( ω x ) + C 3 ⋅ x ⋅ e α x sin( ω x ) + C 4 ⋅ x ⋅ e α x cos( ω x ) + ...
Formelsammlung_Physik_23.doc (28.06.2010)
Seite 13 von 20
05.10.2009 / Luke Pfirti, ETH Masching HS2009
Formelsammlung Physik I (20 Seiten)
PD Dr. H. von Känel
Magnetische Energie (S. 100)
Leistung
Induktionskräfte
Energie ist in Spule gespeichert. Z.B.
bei Ringspule konzentriert sich das
Magnetfeld auf das Innere des Rings.
dWind
dI
= EMK ⋅ I = − L ⋅ I
dt
dt
1 SN 2
ε 0c 2 l
Selbstinduktion
Spule
L=
Gesamtenergie Spule
U = 12 ε 0 c 2 ⋅ S ⋅ l ⋅ B 2 = 12 LI 2
Fluss durch alle
Windungen
Φ = S⋅N ⋅B =
NI
ε 0 c 2l
B=
U Quelle = −Wind = 12 LI 2
N:
l:
S:
u:
V:
Energiedichte:
u=
U
V
= ε 0c B
2
1
2
2
Windungszahl der Spule
l = 2πr
Spulenumfang
Querschnittsfläche Spule
Energiedichte
Achtung: Volumen!
Elektrostat. Energiedichte:
S⋅N ⋅I
ε 0 c 2l
2
u = 12 ε 0 E 2
U = ∫ udV
14) Magnetismus von Materie (S. 102)
Diamagnetisches Material: Wird immer vom Magnetfeld (Richtung egal) abgestossen:
Paramagnetisches Material: Wird immer vom Magnetfeld (Richtung egal) angezogen:
Magnetisierung
Molekularstrom-dichte
Polarisationsstromdichte
Polarisationsgeschwindigkeit
Magnetische
Suzeptibilität χ mag
r
r
r
r
M = ∑∆Vµi
µ = I ⋅S ⋅n
r r
r
jmag = ∇ × M
r
r
Polarisation Elektrostatik:
r
r
j pol = ∂∂t P
P = N ⋅ qe ⋅ δ
r
r
v pol = ∂∂t δ
r
r
M = χ mag ⋅ H
mit
χ mag < 0
χ mag > 0
∑µ
∆V
N:
Innen: Ströme
kompensieren sich;
Magnetisierung
Aussen (Rand):
Stromdichte, keine
Magnetisierung
r r
r
H = B ⋅ µ10 − M
i : Magnetisches Moment resp.
Summe d. atomaren Dipole
:
Volumeneinheit
Anzahl Dipole pro
Volumeneinheit
µ:
Permeabilität (Vakuum: =1)
ε ⋅ c2 =
r
r
r
⇒ B = µ 0 (1 + χ mag ) H = µµ 0 H
1
µ0
r r
r
∫ Hds = ∫ j dA
15) Wechselstromkreise (S. 104)
RL-Kreis
L dtd I + RI = V0 cos(ωt )
Stationärer Strom
I (t ) = I 0 cos(ωt − ϕ )
Phase
tan(ϕ ) =
Beziehung zw.
Spannung und Strom
V (t ) = R 2 + ω 2 L2 ⋅ e iϕ I (t ) V (t ) = Vˆ ⋅ e iωt
RC-Kreis
Q
C
ωL
R
ϕ:
I0 =
⇒
+ R ⋅ I = V0 cos(ωt )
L:
R:
(DGL)
Ohm'scher Widerstand
Phase
Reine
Induktivität:
V0
R 2 + ω 2 L2
ϕ = π2
(Strom
hinkt EMK
hinterher)
Reine Kapazität:
(DGL)
ϕ = − π2
ω→∞
(DC): Kurzschluss
Somit hier kein stationärer Strom möglich.
1
ωRC
Induktivität
I0 =
(Strom
eilt EMK voraus)
V0
f
[ Hz ] [ rads ]
Kreisfrequenz []
ω = 2Tπ = 2π ⋅ f
Phase
tan(ϕ ) = −
Stromteiler /
Spannungsteiler
Ii =
Amplitude /
Effektivwert
Vm ( A) = Re( A) 2 + Im( A) 2
Zeiger (Spannung)
v(t ) = Vm ⋅ (cos(ωt + θ ) + j sin(ωt + θ ) ) = Vm ⋅ e j (ωt +θ ) = Vm ⋅ ∠(ωt + θ )
Zeiger (Strom)
R( Tot −i )
Ri + R( Tot − i )
⋅ I Tot
⇒
(Parallel)
Vi =
R +
2
Ri
RTot
I m = VZm
⋅E
:
ω:
1
ωL2
Frequenz
(Serie)
Vm = Z ⋅ I m
Vm = 2 ⋅ Veff
I=
1
2
⋅ iˆ
i (t ) = I m ⋅ (cos( ω t + θ ) + j sin( ω t + θ ) ) = I m ⋅ e j (ω t +θ ) = I m ⋅ ∠ (ω t + θ )
Formelsammlung_Physik_23.doc (28.06.2010)
Seite 14 von 20
05.10.2009 / Luke Pfirti, ETH Masching HS2009
Formelsammlung Physik I (20 Seiten)
PD Dr. H. von Känel
16) Impedanzen, komplexe Zahlen (S. 105)
Impedanz Allgemein
Z = R + iX
R, X
: Reelle Zahlen
Kann als Serienschaltung einer
rein reellen und rein imaginären
Impedanz angesehen werden.
EMK = I ⋅ ( R + iX )
Amplitude: I = I 0 cos(ωt )
Generatorleistung
Mittlere
Generatorleistung
Zeitabh. Spannung
(in komplexer Form)
Zeitabh. Strom
(in komplexer Form)
EMK = I 0 ⋅ R cos(ωt ) − I 0 ⋅ X sin(ωt )
Spannungsabfall über R Spannung über X
P = dtd W = EMK ⋅ I = V0 cos(ωt ) ⋅ I 0 cos(ωt − ϕ )
P t = 12 V0 I 0 cos(ϕ ) =
V0 I 0
2 2
cos(ϕ ) = Veff I eff cos(ϕ )
V (t ) = Vˆe iωt
e iωt = cos(ωt ) + i ⋅ sin(ωt )
Iˆ, Vˆ :
I (t ) = Iˆe iωt
Widerstand:
Kapazität:
Wichtige Beziehungen
i = −1
e 3 =i
Serieschaltung
Z tot = ∑ Z i =
(1)
ZC =
iπ
V1
I
-
1
iωC
⇒V = Z ⋅I
+ VI2 + ...
1
Z tot
Parallelschaltung
r r
E
∫ ds = 0 = ∑ Vi
Summe der Spannungen um einen
geschlossenen Weg ist Null.
∑
Die Summe aller Ströme in einen
Knoten muss verscheinden.
Γ
(2)
Nicht von t abhängige
I 0 ⋅ e −iϕ = Iˆ = I 0 (cos(ϕ ) − i sin(ϕ ) )
Induktivität:
Z L = iω L
Anmerkungen
Amplituden
komplexe Zahlen
ZR = R
Kirchhoff'sche
Regeln
V0 , I 0 :
U2
R
Maximal bei Resonanzfrequenz ω0
I (t ) = I 0 e i (ωt −ϕ ) = I 0 ⋅ e iωt ⋅ e − iϕ
Impedanz
P = I 2R =
in Knoten
In = 0
I
= ∑V i =
I1 + I 2 +...
V
=
1
Z1
+
1
Z2
+ ...
I rein :
Positives Vorzeichen
I raus :
Negatives Vorzeichen
Spannungen positiv, wenn man Schaltelement in Stromrichtung überquert.
Spannungsabfall über einen Generator ist gegen dessen EMK gerichtet.
Energieverslust im Wechselstromkreis (S. 110)
Energie der äusseren
Quelle
U L = 12 LI 2
Dissipation
Induktivität: Nicht-disipatives Element:
Dauernder Energieaustausch zwischen Induktivität und dem Rest der Schaltung.
Ohm'scher Widerstand: Dissipatives Element
Generatorleistung
P = dtd W = EMK ⋅ I
Induktivität
d
dt
W
t
= V20 sin(2ωt ) =
(für Kapazität)
EMK parallel zu I: Die Leistung EMK ⋅ I wird an den äusseren Stromkreis abgeben.
EMK entgegen I: Die Leistung EMK ⋅ I wird vom Generator absorbiert.
W = V0 sin(ωt ) cos(ωt )
d
dt
U L = 12 CV 2
(für Induktivität)
V0
2
keine mittlere Leistung
∫
2π
0
sin(2ωt )dt = 0
Komplexe Zahlen Allgemein
Beispiel DGL
L ⋅ dtd I + R ⋅ I = V
a1 ⋅ I& + a 2 ⋅ I = V = V0 cos(ωt )
Mit folgenden Definitionen lässt sich
diese Gleichung komplex ausdrücken:
a1 ⋅ I&1 + a 2 ⋅ I1 + i ⋅ [a1 ⋅ I&2 + a 2 ⋅ I 2 ] = V1 + iV2
Führt auf 2 Gleichungen (Realteil und Imaginärteil
können separat gleichgesetzt werden).
I = I1 + i ⋅ I 2 ,
V = V1 + i ⋅ V2
V = V0 e iωt = V0 cos(ωt ) + i ⋅ V0 sin(ωt )
V1
Formelsammlung_Physik_23.doc (28.06.2010)
V1
Seite 15 von 20
05.10.2009 / Luke Pfirti, ETH Masching HS2009
Formelsammlung Physik I (20 Seiten)
PD Dr. H. von Känel
17) Schwingkreise & Resonanz
Serieschwingkreis
(RCL-Schwingkreis)
(DGL für stationäre Ströme)
Totale Impedanz setzt sich aus R, L und C zusammen:
Z tot = Z R + Z C + Z L = R + iω1C + iωL = R + i (ωL − ω1C ) =
V
I=
= I 0 ⋅ e i (ωt −ϕ ) = ZVtot0 ⋅ e i (ωt −ϕ ) mit: I 0 = ZVtot0
Z tot
V
I
V,I :
Spannung, Strom komplex
V = Z tot ⋅ I = Z tot ⋅ e iϕ ⋅ I = R 2 + (ωL − ω1C ) ⋅ e iϕ ⋅ I
2
Phase
Resonanzfrequenz
beim RLC-Schwingkreis
Strom,Span. in Phase ϕ = 0
ω = ω0
Strom maximal bei
Q-Faktor / Gütefaktor
(des Resonanzkreises)
tan(ϕ ) =
ωL
R
1
− ωRC
=
Resonanzbed.:
1
LC
ω0 =
(ωL − ω1C )
1
R
ω0 L =
1
ω0C
Bei Resonanz:
Spannungsabfall über L ist entgegen
dem über C, somit ist nur VR relevant.
I =V
0
0
R
Spannung über Induktivität:
VL = iω0 LI
Spannung über Kapazität:
VC = −i
1
ω0C
Amplituden:
I
V0 L = V0C =
ω0 L
R
V0
Resonanzüberhöhung
ω0 ω 0 L
=
∆ω
R
Parallelschwingkreis
Totale Impedanz setzt sich aus R, L und C zusammen:
Ähnliches Verhalten
wie bei Serieschwingkreis
Strom durch C genau umgekehrt zu Strom durch L. Somit sieht es wieder aus
wie eine Schaltung mit nur einem Widerstand. Gleiche Resonanzbed.
1
Z tot
=
1
ZR
+
+
1
ZC
1
ZL
=
+ i (ωC − ω1L )
1
R
Mechanische Schwingungen (S. 115)
DGL des RCL-Kreis
∫ Idt = V
cos(ωt ) = V0 e iωt
(RCL-Seriekreis)
L ⋅ I& + R ⋅ I +
entspricht Schwingung des
gedämpften harmonischen
Oszillators:
⇒ I&& + RL ⋅ I& + LC1 I = ωLV0 cos(ωt + π2 ) = ωLV0 e iωt
X&& + Γ ⋅ X& + ω 2 ⋅ X = F0 e iωt = F0 cos(ωt )
1
C
0
0
=Γ,
= ω02 ,
m
ωV0
Analogie (Vergleich)
R
L
Stationäre Lösung
x(t ) = x0 e i (ωt −δ ) = x0 e
1
LC
L
=
f:
Γ:
F (t ) :
Federkonstante
Dämpfungskonstante
Externe Kraft
m
F0
m ,
I (t )e
i (ωt −(ϕ + π2 ))
− i πw
mit:
= X (t )
x0 =
F0
m
1
(ω 2 − ω02 ) 2 + ω 2Γ 2
tan δ = tan(ϕ + π2 ) = − tan(1ϕ ) =
Γω
ω 2 −ω 02
Bei schwacher Dämpfung gibt es zw. mechanischer und elektrischer DGL keinen Unterschied (vernachlässigbar).
18) Elektromagnetische Wellen (S. 116)
r
r
Letzte
∂
r r
j ∂ r
E
ist im Widerspruch zur
2
∂t
Maxwell-Gleichung
c ∇× B =
+ ∂t E
Kontinuitätsgleichung, es ist ein
ε0
Korrekturterm.
Kontinuitätsgleichung:
r r
∇ × j = − ∂∂t ρ
Fällt für stationäre Ströme weg.
Magnetfeld beim
Kondensator
Strom in Zuleitung:
I=
∂
∂t
Q
(erzeugt Magnetfeld)
E-Feld besteht nur zwischen den Platten!
Folgerung aus Stokeschem Satz auf S1
2πrB =
I
ε 0c 2
Formelsammlung_Physik_23.doc (28.06.2010)
⇒
c 2 2πrB =
d
dt
( )
Q
ε0
Seite 16 von 20
05.10.2009 / Luke Pfirti, ETH Masching HS2009
Formelsammlung Physik I (20 Seiten)
PD Dr. H. von Känel
Fortpflanzung von Wellenfeldern (S. 119)
Schichtstrom
(Strom pro Längeneinheit)
Magnetfeld
(nach Einschalten des
Stroms)
Zirkulation (Stokes)
J = jy ⋅ δ
jy :
Stromdichte =
Strom pro Fläche
J
Bz =
Für kleine
x-Abstände
2ε 0 c 2
r r r
c 2 ∫ (∇ × B)df =
S
r
r r
d
1
ε 0 ∫ j ⋅ df + dt ∫ E ⋅ df
δ
:
Dicke der unendlich dünnen
und ausgedehnten Platte
(Abstand in welchem E, B
vorhanden sind)
x = v ⋅t
x
(v = c )
t=
v
L:
v:
c:
Breite des Rechtecks
Geschwindigkeit Wellenfront
Lichtgeschwindigkeit
Änderung der Fläche
∆f = L ⋅ v ⋅ ∆t
t:
S
Abstand der
Wellenfront
(in welcher das
E-Feld existiert)
Der magnetische Feldfluss
ändert sich pro Zeiteinheit
um
S
c = 299.8 ⋅ 10 6
r r
B ⋅ L ⋅ v = ∫ E ⋅ ds = E ⋅ L
Γ2
E = v⋅ B
BLv
c ⋅B = v⋅E
Elektrisches Feld
J (t − cx )
E y ( x, t ) = −
= c ⋅ B z ( x, t )
2ε 0 c
Im Abstand x (positive
x-Achse) zur Zeit t
Strompuls
(Superposition)
E = v⋅B
⇒
Zet, in der sich das Signal
von x=0 nach x ausbreitet.
Somit pflanzt sich die Wellenfront mit
der Lichtgeschwindigkeit c fort!
c = 3 ⋅ 108
v=c
⇒
2
m
s
Das Elektrische Feld zur
Zeit t wird durch den Strom
bestimmt, der n der Quelle
zur früheren Zeit t' fliesst!
t′ :
m
s
Retardierte Zeit
t′ = t −
x
c
J = J1 + J 2
Ein Strompuls erzeugt
einen Wellenpuls.
Ein Lichtpuls wird
gesendet und kommt
beim Empfänger zu
verschiedenen Zeiten an.
Lichtgeschwindigkeit messen
c=
Bsp
d
∆t
=
20 m
66⋅10 −9 s
= 3 ⋅ 108
m
s
Lösung der Maxwell'schen Gleichungen im leeren Raum (S. 123)
Spezialfall ebene Wellen mit Ausbreitung längs x. (Ebene mit x=const).
r
r
E und B überall gleich, nur x-abhängig.
Maxwell-Gleichungen:
Leerer Raum: Stromdichte = Ladungsdichte = 0
Aus 1. Maxwell-Gleichung:
x-Komponente von E Ortund Zeitabhängig.
E-Feld steht immer
senkrecht auf der
Fortpflanzungsrichtung!
Folgerung der
Maxwell-Gleichungen
Mögliche Lösung der
Wellengleichung
r r
∇⋅E =
∂
∂x
Ex +
∂
∂y
r r
c 2 (∇ × B ) x = c 2
∂
∂t
(
Bz = − ∂∂x E y
− c2
∂
∂x
Bz =
E y ( x, t )
∂
∂t
resp.
Ey
Ey +
=0
∂
∂y
∂
∂z
Ez = 0
=0
⇒
∂
∂x
Ex = 0
(weil E nur x-abhängig!)
)
Bz − ∂∂z B y = 0
⇒
∂
∂t
Ex = 0
∂2
∂x 2
E y − c12
∂2
∂t 2
Ey = 0
∂2
∂x 2
Bz − c12
∂2
∂t 2
Bz = 0
für
für
Ey
Bz
r r
∇⋅E = 0
r r
r
∇ × E = − ∂∂t B
r r
∇⋅B = 0
r r
r
c 2∇ × B = ∂∂t E
Ex = 0
r
E = (0, E y ( x, t ), E z ( x, t ) )
statisches Feld:
Bz ( x, t ) = f ( x − ct )
Wobei f eine beliebige 2x differenzierbare Funktion ist.
Beliebig geformte Störung mit Geschw. c in positive x-Richtung.
Allgemeinste Lösung
E y ( x, t ) = f ( x − ct ) + g ( x + ct )
Rechtswelle
Linkswelle
Superpositionsprinzip für Ausbreitung
in Richtung +x und –x.
Ausbreitungsrichtung
r r
E×B
längs der Ausbreitungsrichtung
Formelsammlung_Physik_23.doc (28.06.2010)
Weitere Lösungen:
Skript S.125
Ausbreitung längs +x:
E = (0, f ( x − ct ),0)
cB = (0,0, f ( x − ct ))
r
k
Seite 17 von 20
05.10.2009 / Luke Pfirti, ETH Masching HS2009
Formelsammlung Physik I (20 Seiten)
PD Dr. H. von Känel
Dreidimensionale Wellen (S. 126)
r
r
2
3D-Wellen∇ 2 E − c12 ∂∂t 2 E = 0
gleichung(en)
Spezialfall: Ebene
harmonische Welle
Beliebige elektromagnetische Welle kann als Superposition von ebenen Wellen
aufgefasst werden.
r
E0 :
∇ 2 f ( x − ct ) = cos(kx − ωt )
ω:
+
Längs x -Rchtung,
cosinus-förmige Ausbreitung
Dreidimensionaler
Fall (komplexe Form)
Polarisation der
Welle
r r
r rr
E (r , t ) = E0 e i ( k r −ωt )
r
E0 : Amplitude, beschreibt
k:
λ
4
-Platte
r
k
2π
λ
Linear polarisiert
Elektrischer Feldvektor dreht sich während der Ausbreitung der Welle
υ ⋅ λMedium = cMedium =
d:
n:
c
n
λ:
r
k:
Brechungsindices
sind verschieden.
Dicke Medium
Brechungsindex
n(ω )
Wellenlänge
Ausbreitungsrichtung
r
E = ( E0 x e i ( kz −ωt ) , E0 y e i ( kz−ωt ) ,0)
r
E = ( E20 e i ( kz −ωt ) , E20 e i ( kz −ωt ) ) (In Ausbreitungsrichtung keine Komponente des E-Feldes)
Erzeugt bei Lichtwellendurchtritt Phasenverschiebung von π2 zwischen den Wellenkomponenten:
r
E = ( E20 e i ( kz −ωt ) ,
E0
2
e
i ( kz −ωt ± π2 )
,0)
(zirkular polarisiertes Licht)
Energiedichte und Energiefluss im elektromagnetischen Feld (S. 127)
r r
Gesamtenergie U
S
df = − dtd U
S
∫
Oberfl .
in Volumen V
rr
⇒ dtd U = −∇S
Volumen
r r ε r r
V
Energiedichte
ε 0c 2
0
u = 2 B⋅B+ 2 E⋅E
(
Energieflussvektor /
Poynting-Vektor
Betrag Wellenvektor
k=
Durch durchsichtiges /
isotropes Medium
Für 45°-Polarisation
(bez. Achsen)
Frequenz der Welle
ω = 2πυ = υλ k
Lichtwelle
(optisch) anisotropes
Medium
ω 2 = c2k 2
υ:
r r Polarisation derrWeller
∇ ⋅ E = 0 = ... ⇒ k ⊥ E0
r
E0 reell:
r
E0 komplex:
Wellenamplitude
Kreisfrequenz
)
u:
r
S:
Energiedichte
U
Gesamtenergie in Volumen
:
Energieflussvektor
(Energie pro Zeiteinheit
durch Eintrittsfläche
senkrecht zum Fluss)
u magnetostat . u elektrostat .
r
r r
r
r r
S = ε 0c 2 E × B
S = S = ε 0 c 2 E ⋅ B = ε 0 cE 2 [ mJ2 s ]
Ebene harmonische
Welle
E = E0 cos(kx − ωt )
Intensität
I= S
t
= 12 ε 0 cE02
bei Lichtwelle im Vakuum
(Mittlere Energie, die pro Sekunde durch Einheitsfläche hindurchtritt)
Kugelwellen (S. 129)
Eindimensionale
Wellengleichung
∂2
∂r 2
(r Ψ ( r , t ) ) =
1 ∂2
c 2 ∂t 2
(r ϕ ( r , t ) )
υ/ ( r ,t ) :
Kugelsymmetrische
Funktion
f (t − cr )
r
Lösung
υ/ (r , t ) =
Energiefluss
r r
2
S
∫ ⋅ df = S ⋅ 4πr
Formelsammlung_Physik_23.doc (28.06.2010)
S = ε 0 cE 2 ~
Seite 18 von 20
1
r2
05.10.2009 / Luke Pfirti, ETH Masching HS2009
Formelsammlung Physik I (20 Seiten)
PD Dr. H. von Känel
Hertz'scher Dipol (S. 130)
Generator beschleunigt Elektronen von A nach B und umgekehrt (elektrischer Dipolstrahler / Hertz'scher Dipol).
Es handelt sich sozusagen um eine Ladung q, die sich auf- und ab bewegt.
E-Feld der Ladung
Ladung q führt
harmonische
Bewegung in z aus
Intensität der Welle
− q ⋅ a (t − cr ) sin(θ )
E (r , t ) =
4πε 0 c 2 r
z (t ) = z 0 ⋅ cos(ωt )
A
z
E
r
Θ
mit
x
E (r , t ) =
somit wird E-Feld zu:
Abgestrahlte
Gesamtleistung
P=
p (t ) :
p⊥
ω p⊥ (t − )
4πε 0 c 2 r
2
r
c
υ/ ( r ,t ) :
r
c
2
Vektor des Dipolmoments
senkrechte Komponente
des Dipolmoments
Kugelsymmetrische
Funktion
ω [qz0 cos(t − )] sin (θ )
(4π ) 2 ε 0 c 3 r 2
4
Beschleunigung
der Ladung q
r
S = S = ε 0 cE 2 (t )
I = S = 12 ε 0 cE02
S (θ ) =
Wellenlänge
a (t − cr ) :
y
2
Betrag des
Poynting-Vektors
B
λ:
a'
a (t ) = −ω z 0 cos(ωt )
Generator
2
r r ω4 p2
∆W
Sdf =
=∫
Kugel
6πε 0 c 3
∆t
∆W
∆t
=
t
ω 4 p02
12πε 0 c 3
19) Optik, Relativitätstheorie (S. 135)
Einstein's
Postulate
- Die physikalischen Gesetze haben immer dieselbe Form in allen
Intertialsystemen.
- Lichtgeschwindigkeit im Vakuum in Intertialsystemen ist gleich (c).
Die Lichtgeschwindigkeit ist immer gleich gross, unabhängig davon,
ob sich eine Lichtquelle relativ zum Beobachter bewegt oder nicht.
Galilei-Koordinatentransformation
x = x′ + vt
LorentzTransformation
Längenkontraktion
mit
Relative Geschwindigkeit
zwischen x,y,z und x',y',z'
y
vt
t = t′
O
x
z
Steht im Widerspruch zu Einsteins Postulat 2
x = a11 x′ + a12t ′
x = a21 x′ + a22t ′
(Lineare
Koordinatentransformation)
Man wählt die Koeffizienten axy
so, dass die eindimensionale
Wellengleichung erfüllt wird:
∂2
∂x 2
x'
z'
υ/ ( x, t ) − c1
2
∂2
∂t 2
υ/ ( x, t ) = 0
(Siehe Skript)
Im ruhenden System misst man die andere Länge einer Distanz (die sich im
ruhenden System befindet), als aus dem bewegten Sytem heraus.
Längenmessung im
ruhenden System:
L0 = x2 − x1
Längenmessung im
gestrichenen System:
L = x2′ − x1′ = ( x2 − x1 ) 1 − β 2 − vt 2′ + vt1′
Zeitdilitation
Zeitdifferenz von Ereignissen
im gestrichenen System
Im ungestrichenen System:
Doppler-Effekt
v:
∆t ′
∆t
L = L0 1 − β 2 = L0 1 − vc 2
2
= t 2′ − t1′
∆t :
= t 2 − t1 =
t 2′ + x′
v
2 c2
1− β 2
−
t1′ + x′
v
1 c2
1− β 2
=
Zeitintervall
t 2′ + t1′
1− β 2
=
∆t ′
1− β 2
=
∆t ′
1 − vc 2
2
Die Frequenz einer Schallwelle hängt davon ab, wie sich Sender und
Empfänger relativ zueinander bewegen. Der Detektor bewegt sich mit v.
Intervall ∆t:
Anzahl Schwingungen der
v⋅∆t
v
λ = υ ⋅ ∆t ⋅ c
Quelle, die nicht ankommen:
c =υ ⋅λ
Wellengeschwindigkeit:
Detektor in Ruhe
Anz. Schwingungen
υ ⋅ ∆t
Bewegter Beobachter
Anz. Schwingungen
υ ⋅ ∆t − υ ⋅ ∆t ⋅ vc = υ ⋅ (1 − vc ) ⋅ ∆t = υ ′ ⋅ ∆t
Falls sich Sender / Empfänger aufeinander zu bewegen,
muss man in der Gleichung für
Formelsammlung_Physik_23.doc (28.06.2010)
υ′
nur
v mit − v ersetzen:
Seite 19 von 20
⇒ υ ′ = υ (1 − vc )
υ ′ = υ (1 + vc )
05.10.2009 / Luke Pfirti, ETH Masching HS2009
Formelsammlung Physik I (20 Seiten)
PD Dr. H. von Känel
20) Index
A
Ableitungen ............................................................................ 1
Amplitude (Strom) .................................................................. 15
Angström ................................................................................. 2
Äquipotentialfläche................................................................... 4
Arbeit ................................................................................... 1, 3
Ausbreitungsrichtung (Wellen) ............................................... 17
Ausschaltvorgang .................................................................. 13
B
Beweglichkeit........................................................................... 9
Bildkraft .................................................................................. 5
Bildladungen ............................................................................ 5
Bimorphen ............................................................................... 8
Biot-Savart Gesetz ............................................................... 11
Brechungsindex ..................................................................... 18
C
Cosinussatz ............................................................................. 2
Coulomb-Kraft.......................................................................... 3
Coulomb'sches Gesetz ............................................................ 3
D
Dehnung .................................................................................. 2
Diamagnetisch ....................................................................... 14
Dielektrikum ......................................................................... 6, 7
Dielektrikum (E-Feld) ............................................................. 7
Dielektrizitätskonstante ............................................................ 7
Differentialgleichungen........................................................... 13
Diode ....................................................................................... 5
Dipol........................................................................................ 7
Dipol (elektr.)........................................................................ 10
Dipolmoment .......................................................................... 7
Dissipation ........................................................................... 15
Dissipatives Element.............................................................. 15
Divergenz................................................................................ 1
Divergenzsatz .......................................................................... 1
Doppler-Effekt ...................................................................... 19
Dotieratome ............................................................................. 5
Draht (Magnetfeld) ............................................................... 10
Draht (Vektorpotential) ........................................................ 11
Drehmoment................................................................... 10, 12
Dreidimensionale Wellen ....................................................... 18
Driftgeschwindigkeit.............................................................. 9
E
Ebene harmonische Welle................................................... 18
Effektivwert .......................................................................... 14
Einschaltvorgang................................................................. 13
Einstein's Postulate ............................................................. 19
Elektrische Feldkonstante ........................................................ 3
Elektrisches Feld ................................................................... 3
Elektrisches Feld (Schichtstrom)........................................ 17
Elektrodynamik ...................................................................... 12
Elektromagnetische Kraft ......................................................... 3
Elektromagnetische Wellen.................................................... 16
Elektromotorische Kraft...................................................... 9, 12
Elektronenmasse ..................................................................... 2
Elektrostatik ............................................................................. 3
Elektrostatische Energie .......................................................... 6
Elektrotechnik .......................................................................... 8
Elementarladung.................................................................. 2, 3
EMK......................................................................................... 9
Energie (kin./pot.)................................................................... 2
Energie Induktivität ................................................................ 15
Energie Kapazität................................................................... 15
Energie Spule....................................................................... 14
Energiedichte......................................................................... 14
Energiedichte (im E-Feld) ...................................................... 18
Energiefluss (im E-Feld)......................................................... 18
Energieverslust im Wechselstromkreis................................... 15
Exponentialansatz ............................................................... 13
F
Faraday-Prinzip ...................................................................... 4
Feldlinie .................................................................................. 1
Feldlinien (elektr.) .................................................................. 3
Flächenladung (E-Feld) ......................................................... 4
Flächenladungsdichte .............................................................. 4
Fluss ........................................................................................ 1
Fluss (Spule) ........................................................................ 14
Fluss Magnetfeld.................................................................... 13
Fluss Spule ...................................................................... 12, 13
Frequenz ............................................................................... 14
Frequenz (Welle) ................................................................... 18
G
Galilei-Koordinatentransformation.......................................... 19
Gauss'sche Fläche................................................................... 4
Generator (Ideal).................................................................... 12
Generator (Reell) ................................................................... 12
Generatorleistung ............................................................ 12, 15
Gerade (E-Feld)....................................................................... 4
Gradient.................................................................................. 1
Gütefaktor............................................................................. 16
H
Halbleiter ................................................................................ 5
Halleffekt................................................................................ 11
Hall-Feld ............................................................................... 11
Harmonischer Oszillator...................................................... 13
Hertz'scher Dipol.................................................................... 19
Hochspannungsdurchbruch ..................................................... 5
I
Imaginärteil ............................................................................ 15
Formelsammlung_Physik_23.doc (28.06.2010)
Impedanz ...............................................................................15
Impedanz Schwingkreis .........................................................16
Inch-Worm-Prinzip .................................................................8
Induktion (gegenseitig) ........................................................13
Induktion (Selbstinduktion) .................................................13
Induktionsgesetz..................................................................12
Induktionskonstante ...............................................................13
Induktionsphänomene............................................................13
Induktivität........................................................................ 8, 15
Induktivität (Ideale) ..............................................................13
Influenzkonstante .....................................................................3
Integraltabelle.........................................................................1
Intensität ...............................................................................18
Intensität (Welle) ..................................................................19
J
Polarisationsladungsdichte.......................................................7
Polarisations-ladungsdichte..................................................7
Polarisationsstromdichte ........................................................14
Potential (elektr.) ....................................................................3
Potential (Punktladung) .........................................................3
Potentialdifferenz ...................................................................3
Potentialdifferenz Wechselstromgenerator........................12
Potentialfeld .............................................................................1
Potentielle Energie ...................................................................3
Poynting-Vektor..............................................................18, 19
Proportionalitätsfaktor...............................................................6
Punktladung .............................................................................3
Punktladungen (Kraft)............................................................7
Punktladungen (Potential) .....................................................5
Q
Joul'sche Wärme......................................................................9
Joul'sche Wärmeleistung ......................................................9
K
Q-Faktor ................................................................................16
Quasistationäre Strome..........................................................13
R
Kapazität..................................................................................6
Kirchhoff'sche Regeln .........................................................15
Komplexe Zahlen ............................................................. 2, 15
Kondensator......................................................................... 6, 8
Kondensator (E-Feld).............................................................7
Kondensator (Kraft) ...............................................................7
Kondensator Magnetfeld .....................................................16
Kondensator-Energie.............................................................6
Kontinuitätsgleichung ...........................................................9
Koordinatensysteme ..............................................................11
Kraft ........................................................................................2
Kraft auf Ladung ..................................................................10
Kreisfrequenz................................................................... 14, 18
Kreuzprodukt..........................................................................1
Kriechströme..........................................................................10
Kugelkondensator..................................................................6
Kugelladung ...........................................................................4
Kugelwellen............................................................................18
L
Ladungsdichte..........................................................................3
Ladungserhaltung ....................................................................2
Ladungsverteilung .................................................................3
Lambda-Viertel-Platte.............................................................18
Landau-Eichung ...................................................................11
Längen-kontraktion..............................................................19
Laplace Gleichung .................................................................9
Laplace-Gleichung ...................................................................4
Leistung Induktionskräfte....................................................14
Leistung Wechselstromgenerator.......................................12
Leiter (E-Feld) .........................................................................4
Leiter (Kraft) ...........................................................................7
Leiter (zylindrisch) .................................................................9
Leiterplatten (E-Feld) .............................................................4
Leitfähigkeit..............................................................................9
Leitfähigkeit (Messung) ............................................................9
Lentz'sche Regel..................................................................12
Lentz'sche Regel (Induktion) ..................................................13
Lichtgeschwindigkeit ..............................................................17
Lichtgeschwindigkeit messen.............................................17
Lichtpuls.................................................................................17
Lichtwelle..............................................................................18
Linearmotor ...................................................................... 8, 12
Linkswelle ..............................................................................17
Lorentz-Kraft ..........................................................................9
Lorentz-Kraft Linearmotor ......................................................12
Lorentz-Transformation ..........................................................19
M
Magnetfeld ..............................................................................9
Magnetfelde-Fluss................................................................12
Magnetische Energie .............................................................14
Magnetische Suzeptibilität ..................................................14
Magnetisierung.....................................................................14
Magnetismus..........................................................................14
Magnetostatik...........................................................................9
Maxwell-Gleichung...............................................................16
Maxwell-Gleichung (Dielektrikum) ............................................7
Maxwell-Gleichungen...............................................................3
Maxwell'sche Gleichungen (leerer Raum) ..............................17
Mechanische Schwingungen..................................................16
Molekularstromdichte .............................................................14
N
Nabla Operator.........................................................................1
n-dotiert....................................................................................5
O
Oberflächen-ladungsdichte ...................................................5
Optik ......................................................................................19
P
Paramagnetisch .....................................................................14
Partielle Integration................................................................1
p-dotiert....................................................................................5
Permeabilität ..........................................................................14
Phase ....................................................................................14
Phase (Schwingkreis).............................................................16
Piezoelektrika...........................................................................8
Plattenanziehung (Kondensator) ..........................................6
Plattenkondensator .......................................................... 3, 6, 7
Plattenkondensator-Energie..................................................6
p-n Übergang..........................................................................5
Poisson-Gleichung ...................................................................5
Polarisation ........................................................................ 7, 8
Polarisation der Welle ............................................................18
Polarisationsgeschwindigkeit..................................................14
Polarisations-ladungen..........................................................7
Seite 20 von 20
Raumladungen .......................................................................5
Raumladungszone ...................................................................5
Realteil ...................................................................................15
Rechte Handregel.................................................................10
Rechtswelle............................................................................17
Relativität E-Feld,Magnetfeld..................................................11
Relativitätstheorie...................................................................19
Resonanzbedingung ..............................................................16
Resonanzüberhöhung..........................................................16
Ringströme.............................................................................10
Rotation...................................................................................1
Rotationsmotor.....................................................................12
Rotor (Rotationsmotor) ...........................................................12
S
Satz von Gauss....................................................................1, 4
Schichtstrom ........................................................................17
Schichtwiderstand .................................................................9
Schutzdiode..........................................................................13
Schwingkreise ........................................................................16
Selbstinduktion ....................................................................13
Selbstinduktion Spule..........................................................14
Selbstinduktionskoeffizient .....................................................13
SI-Präfixe.................................................................................2
Spannung...........................................................................2, 15
Spannung (elektr.)....................................................................3
Spannung und Strom ...........................................................14
Spannungsabfall.....................................................................15
Spannungsteiler ...................................................................14
Spezifischer Widerstand...........................................................9
Sprungantwort R-L/R-C..........................................................8
Spule .......................................................................................8
Spule (Magnetfeld) ...............................................................10
Spule in Magnetfeld..............................................................12
Stationäre Ströme (Magnetfeld)..............................................10
Stationärer Strom .................................................................14
Stoffmenge .............................................................................2
Stokes ......................................................................................1
Stokes (Wellen) ......................................................................16
Strom.................................................................................9, 15
Stromdichte ......................................................................9, 17
Stromdichte (elektr.)...............................................................9
Strompuls .............................................................................17
Stromschleife........................................................................10
Stromteiler ............................................................................14
Superposition (Magnetfelder) .................................................10
Superpositions-prinzip ..........................................................3
Superpositionsprinzip (Wellenausbreitung).............................17
Suszeptibilität ...........................................................................7
Suzeptibilität (magnetisch) ..................................................14
T
Thermisches Gleichgewicht......................................................5
Thomson-Modell.....................................................................7
V
Van-de-Graf Generator...........................................................9
Vektorableitung ......................................................................1
Vektorpotential .......................................................................11
Verarmungsrandschicht............................................................5
Vorzeichen EMK.....................................................................12
W
Wechselstromgenerator .........................................................12
Wechselstromkreis .................................................................14
Wegintegrale...........................................................................1
Wellenamplitude.....................................................................18
Wellenfelder-Fortpflanzung.....................................................17
Wellenfront Abstand ............................................................17
Wellengeschwindigkeit ...........................................................19
Wellengleichung...................................................................17
Wellengleichung (eindimensional) ......................................18
Wellenlänge .....................................................................18, 19
Wellenvektor ..........................................................................18
Widerstand (elektr.) ................................................................9
Windungszahl .......................................................................10
wirbelfrei .................................................................................1
Z
Zeitdilitation ..........................................................................19
Zentripetalkraft .........................................................................2
Zirkulation (Stokes) ................................................................17
Zylinderkondensator ..............................................................6
05.10.2009 / Luke Pfirti, ETH Masching HS2009