2. Wahrscheinlichkeitsrechnung

Einführung in Statistik Übungsaufgaben
Ü5
FH Campus Wien ITTK, SS 2010
Übungsaufgaben zur Einführung in Statistik
2. Wahrscheinlichkeitsrechnung
22. In einem Park stehen 500 Bäume, die sich der folgenden Tabelle entsprechend auf neun
Arten verteilen:
Art
Buche
Tanne
Kiefer
Bergahorn
Zuckerahorn
Esche
Roteiche
Linde
Douglasie
insgesamt
Anzahl
170
80
50
50
15
60
40
30
5
500
Davon sind Tanne, Kiefer und Douglasie Nadelbäume, die anderen sind Laubbäume.
Exotische Bäume sind Zuckerahorn, Roteiche und Douglasie, die anderen sind einheimisch. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein zufällig ausgewählter Baum aus dem
Park (a) ein Nadelbaum, (b) ein Exote, (c) ein einheimischer Laubbaum, (d) kein
exotischer Nadelbaum? Geben Sie für das Zufallsexperiment einen geeigneten
Ereignisraum an und beschreiben Sie die auftretenden Ereignisse mengentheoretisch.
23. Gegeben sind 4 Würfel, deren sechs Seiten wie nachfolgend angegeben mit Zahlen
markiert sind:
0
4
0
3
4
3
3
2
3
2
2
5
2
1
1
4
3
6
5
4
3
6
5
1
Zwei Spieler A und B knobeln auf folgende Weise: A wählt zunächst einen der 4 Würfel,
B daraufhin einen der verbleibenden 3 Würfel. Dann würfelt jeder mit seinem ausgewählten Würfel einmal und der mit der höheren Zahl gewinnt. Man bestimme zu jeder
Würfelwahl von A den optimalen Würfel für B und die dazugehörige Gewinnchance.
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Ü6
24. Aus den Wahrscheinlichkeitsaxiomen von Kolmogoroff leite man ab:
(a) P( A ) = 1 − P(A)
(b) P(∅) = 0
(c) A ⊆ B ⇒ P(A) ≤ P(B)
25. Es werde mit zwei gewöhnlichen Würfeln gewürfelt, sodass man bei jedem Wurf ein
zufälliges Paar von Augenzahlen erhält. Man untersuche die Ereignisse
A: Der erste Würfel zeigt eine ungerade Augenzahl,
B: Der zweite Würfel zeigt die Augenzahl 4, 5 oder 6,
C: Die Summe der Augenzahlen ist 9
paarweise auf Unabhängigkeit.
26. In einer bestimmten Fremdenverkehrsregion Österreichs fahren Einheimische im Winter
erfahrungsgemäß mit 5% Wahrscheinlichkeit mit Sommerreifen, Touristen dagegen mit
20% Wahrscheinlichkeit. An einem schönen Wintertag sei das Verhältnis der einheimischen Autos zu Touristenautos 2:1.
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat dann ein zufällig ausgewähltes Auto Sommerreifen?
(b) Eines der Autos ist wegen Sommerreifen hängen geblieben. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gehört es einem Touristen?
27. Nach dem Picknick vermisst die Familie ihren Hund. Drei Hypothesen werden aufgestellt:
A: Der Hund ist heimgelaufen.
B: Er bearbeitet noch den großen Knochen auf dem Picknickplatz.
C: Er streunt im Wald.
Indem man die Gewohnheiten des Hundes berücksichtigt, schätzt man die a priori
Wahrscheinlichkeiten mit P(A) = 25%, P(B) = 50%, P(C) = 25%. Je ein Kind wird vom
Parkplatz zurück an den Picknickplatz und an den Waldrand geschickt. Ist der Hund noch
am Picknickplatz, ist es leicht, ihn zu finden (nämlich 90%); ist er aber im Wald, dann ist
die Chance nur 50:50.
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird eines der Kinder den Hund im Gelände finden?
(b) Die Kinder kommen mit dem Hund zu den am Parkplatz wartenden Eltern zurück.
Wo haben sie den Hund gefunden? Geben Sie die a posteriori Wahrscheinlichkeiten an.
28. An der Kassa eines Supermarkts wird ein Gerät installiert, mit welchem die Echtheit von
100 € - Scheinen geprüft werden soll. Aus Erfahrung weiß man, dass 15 von 10000
Scheinen gefälscht sind. Bei diesem Gerät wird durch Blinken einer Leuchtdiode
angezeigt, dass der Schein als falsch eingestuft wird. Es sei bekannt, dass das Gerät mit
einer Wahrscheinlichkeit von 95% aufblinkt, wenn der Schein falsch ist, und mit einer
Wahrscheinlichkeit von 1%, wenn der Schein echt ist. Wie sicher kann man davon
ausgehen, dass der 100 € - Schein tatsächlich falsch ist, wenn das Gerät aufblinkt? Wie
ändert sich diese Sicherheit, wenn die Wahrscheinlichkeit einer Fehlmeldung des Geräts
bei echten Scheinen nur 0,1% (anstelle von 1%) beträgt?
29. Gegeben sei eine diskrete Zufallsvariable X, welche die Werte 2, 4, 6, 8 und 10 annimmt.
Dabei gelte P(X = 2) = 0,5, P(X = k) = 0,15 für k = 4,6,8 und P(X = 10) = 0,05. Man
skizziere die Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x), die Verteilungsfunktion F(x) und berechne den Erwartungswert E(X) sowie die Varianz Var(X).
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30. Die Anzahl der Knaben in einer Familie mit drei Kindern stellt eine Zufallsvariable dar,
die wir mit X bezeichnen. Welche Werte kann X annehmen, und wie groß sind die
entsprechenden Wahrscheinlichkeiten, falls die Wahrscheinlichkeit für die Geburt eines
Knaben p = 0,51 beträgt? Ferner bestimme man die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es in
dieser Familie (a) wenigstens einen Knaben, (b) wenigstens zwei Mädchen, (c) wenigstens einen Knaben und ein Mädchen gibt.
31. Berechnen Sie (mit Hilfe von Excel) die Wahrscheinlichkeitsfunktionen für eine
Binomialverteilung B(n,p) mit den Parametern n = 10 und p = 0,25, p = 0,5 sowie p =
0,75. Stellen Sie alle drei Verteilungen graphisch dar. Wie groß sind die jeweiligen
Mittelwerte und Varianzen?
32. In einer Reparaturwerkstatt treffen alle 15 Minuten durchschnittlich 1,8 Kunden ein. Mit
welcher Wahrscheinlichkeit sind 0, 1, 2, 3, 4 bzw. mehr als 4 Kunden pro Viertelstunde
zu bedienen? Man ermittle auch die zugehörige Verteilungsfunktion.
(Hinweis: Rechnen Sie mit der Poissonverteilung.)
33. Man berechne nachstehende Wahrscheinlichkeiten für eine standardnormalverteilte
Zufallsvariable X:
•
P(X > 0)
•
P(X < −2)
•
P(−1 < X < 1)
•
P(X > c) = 0,2, c = ?
•
P(− c < X < c) = 0,9, c = ?
34. Eine Fluglinie weiß aus Erfahrung, dass durchschnittlich 5% der Fluggäste, die ein
Ticket gebucht haben, den Flug nicht benützen und verkauft daher 205 Tickets, obwohl
nur 200 Sitzplätze vorhanden sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit einer
Überbuchung?
(Hinweis: Verwenden Sie den Grenzwertsatz von Moivre und Laplace.)
35. Für eine uniforme Verteilung X auf dem Intervall [a,b] mit der Dichtefunktion
 1

f (x) =  b − a
 0
für a ≤ x ≤ b
bestätige man:
b
(a) ∫ f ( x )dx = 1
a
b
(b) µ = E(X) = ∫ x f ( x )dx =
a
b
a+b
2
(c) σ 2 = Var (X) = ∫ x 2 f ( x )dx − µ 2 =
a
(a − b ) 2
12
sonst