Lösung - Uni Bonn

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III
Blatt 1
Aufgabe 1:
WS 2010/11
20.10.2009
Gegeben sei die Parametrisierung


cos(2πφ)
x(φ, h) =  sin(2πφ) 
h
mit φ ∈ [0, 1) und h ∈ [0, 1].
a) Welche Hyperfläche beschreibt diese Parametrisierung?
b) Betrachten Sie die Kurven
0
γ1 (t) =
,
t
t
,
γ2 (t) =
1
t ∈ [0, 1]
t ∈ [0, 1)
2
im Parameterbereich. Beschreiben Sie die Kurven x ◦ γi mit i =
1, 2, die auf der parametrisierten Fläche liegen.
c) Berechnen Sie mit Hilfe dieser beiden Kurven zwei Tangentialvektoren an die Fläche im Punkt x(0, 21 ).
d) Berechnen Sie in diesem Punkt einen Normalenvektor an die
Fläche.
e) Berechnen Sie den metrischen Tensor auf dieser Fläche.
f) Verwenden Sie den metrischen Tensor, um die Länge der beiden
Kurven x ◦ γi mit i = 1, 2 auf der Fläche zu berechnen.
g) In welchem Winkel schneiden sich die beiden Kurven?
Lösung:
a) Die Parametrisierung beschreibt einen Zylindermantel. Der Zylinder hat eine
Grundfläche von Radius 1, die Höhe 1 und die Symmetrieachse des Zylinders
liegt auf der z-Achse des Koordinatensystems.
b)


1
x ◦ γ1 (t) =  0  ,
t ∈ [0, 1]
t


cos(2πt)
t ∈ [0, 1)
x ◦ γ2 (t) =  sin(2πt)  ,
1
2
Bei der Kurve x ◦ γ1 handelt es sich um eine Strecke vom Punkt (1, 0, 0) zum
Punkt (1, 0, 1). Sie verläuft parallel zur Symmetrieachse des Zylinders und steht
senkrecht auf der x − y−Ebene und somit senkrecht auf der Grundfläche des
Zylinders.
Die Kurve x ◦ γ2 ist eine geschlossene Kreiskurve auf dem Zylindermantel. Sie
liegt auf Höhe 12 und verläuft parallel zur Grundfläche des Zylinders.
c) Mit Hilfe der beiden Kurven aus dem vorherigen Aufgabenteil sollen zwei Tangentialvektoren an die Fläche im Punkt
 
1
1

0 
=
x 0,
2
1
2
berechnet werden. Da γ1
d
(x ◦ γ1 (t)) dt
1
2
=
0
1
2
und γ2 (0) =
0
1
2
gilt, berechnen wir

t= 12
d
(x ◦ γ2 (t)) dt
t=0

 
1 0
d  
0 =
= 0 
dt
t= 12
t
1




0
cos(2πt) d 
sin(2πt)  =  2π 
=
dt
1
t=0
0
2
Zwei Tangentialvektoren an die Fläche im Punkt x(0, 12 ) lauten also v1 =
(0, 0, 1)T und v2 = (0, 2π, 0)T . Da diese beiden Vektoren linear unabhängig
sind, spannen sie den ganzen Tangentialraum an die Fläche im Punkt x(0, 21 )
auf.
d) Da die beiden Vektoren v1 und v2 den Tangentialraum an die Fläche im Punkt
x(0, 21 ) aufspannen, berechnet sich der Normalenvektor an die Fläche im Punkt
x(0, 21 ) wie folgt:
v1 × v2
n=
.
kv1 × v2 k

v1 × v2
 
 

0
0
−2π
=  0  ×  2π  =  0 
1
0
0


−1
⇒ n= 0 
0
e) Der metrische Tensor G auf der Mantelfläche des Zylinders berechnet sich wie
folgt
G = (Dx)T Dx
und


−2π sin(2πφ) 0
Dx =  2π cos(2πφ) 0  .
0
1
Daraus folgt
G = (Dx)T Dx


−2π sin(2πφ) 0
−2π sin(2πφ) 2π cos(2πφ) 0 
2π cos(2πφ) 0 
=
0
0
1
0
1
2
4π 0
=
0 1
f) Aus dem Skript wissen wir, dass sich die Länger l1 der Kurve x ◦ γ1 auf dem
Zylindermantel wie folgt mit Hilfe des metrischen Tensors berechnen läßt.
Z 1p
G γ̇1 (t) · γ̇1 (t) dt
l1 =
0
Z 1 s 2
4π 0
0
0
=
·
dt
0 1
1
1
0
Z 1 s 0
0
=
·
dt
1
1
0
Z 1
dt
=
0
= 1
Für die Länge l2 der Kurve x ◦ γ2 auf dem Zylindermantel ergibt sich
Z 1p
G γ̇2 (t) · γ̇2 (t) dt
l2 =
0
Z 1 s 2
4π 0
1
1
=
·
dt
0 1
0
0
0
Z 1 s 2 4π
1
=
·
dt
0
0
0
Z 1
=
2π dt
0
= 2π
g) Die beiden Kurven schneiden sich im Punkt x 0, 21 . Um den Winkel α zu berechnen, in dem sie sich schneiden, benötigen wir die beiden Tangentialvektoren
v1 und v2 . Nun gilt
v1 · v2
kv1 k kv2 k
  

0
0
 0  ·  2π 
1
0

=   
0 0
 0   2π 
1 0
= 0
cos α =
Daraus folgt die beiden Kurven schneiden sich im Winkel α = π2 .
Aufgabe 2:
Berechnen Sie das Integral
Z x3
y3
· N dl
∂K
über den Rand des Kreises K = {(x, y) | x2 + y 2 ≤ 1} einmal direkt
mit Hilfe einer geeigneten Parametrisierung von ∂K als Kurve und
einmal, indem Sie es mit Hilfe des Satz von Gauß in ein Integral über
K umschreiben. Dabei bezeichnet N die äußere Normale.
Lösung:
a) Um das Integral auf direktem Weg zu berechnen, geben wir als erstes eine
Parametrisierung von ∂K als Kurve an:
cos t
2
γ : [0, 2π) → R ,
γ(t) =
.
sin t
Bei der Kurve handelt es sich um eine geschlossene Kreiskurve um denUrsprung
N1
mit Radius 1. Der Normalenvektor an die Kurve ist der Vektor N =
=
N2
cos t
. Somit ergibt sich
sin t
Z 3 Z 2π cos t − sin t x
cos3 t
dt
· N dl =
·
3
3
y
sin
t
sin
t
cos
t
∂K
0
Z 2π
=
(cos4 t + sin4 t)dt
Z0 2π 1
3
=
cos 4t +
dt
4
4
0
3
=
π
2
Bemerkung: Mit Hilfe von
sin t =
eit − e−it
2i
und
cos t =
eit + e−it
2
kann man ausrechnen, dass
cos4 t + sin4 t =
1
3
cos 4t +
4
4
gilt.
b) Alternativ kann man das Integral auch mit Hilfe des Satz von Gauß berechnen.
Danach gilt
3 Z 3 Z
x
x
· N dl =
div
dx dy
3
y
y3
∂K
K
Z
=
3x2 + 3y 2 dx dy
K
Unter Verwendung von Polarkoordinaten folgt
Z 3 Z 1 Z 2π
x
· N dl =
3 (r cos ϕ)2 + 3 (r sin ϕ)2 r dr dϕ
3
y
∂K
0
0
Z 1 Z 2π
=
3r3 dϕ dr
0
Z 01
= 6π
r3 dr
0
3
π
=
2
Aufgabe 3:
Sei γ : [0, 2π] → R2 mit
γ(ϕ) =
r(ϕ) cos ϕ
r(ϕ) sin ϕ
eine Kurve in R2 mit r(0) = r(2π) und r(ϕ) > 0, d.h. es ist eine
geschlossene Kurve, die gegen den Uhrzeigersinn einmal um den Ursprung verläuft und zu einem Winkel ϕ den Abstand r(ϕ) zum Ursprung hat. Zeigen Sie mit Hilfe des Gauß’schen Integralsatzes, dass
die eingeschlossene Fläche gegeben ist durch
1
F =
2
Z2π
(r(ϕ))2 dϕ.
0
r(ϕ) cos ϕ
γ1 (ϕ)
Lösung: Kurve Γ : γ(ϕ) =
=
r(ϕ)
0 γ2 (ϕ)
sin0 ϕ
1
1
γ2 (ϕ)
r (ϕ) sin ϕ + r(ϕ) cos ϕ
Normale N = 0
= 0
||γ (ϕ)|| −γ10 (ϕ)
||γ (ϕ)|| −r0 (ϕ) cos ϕ + r(ϕ) sin ϕ
Sei Ω die von Γ eingeschlossene
Fläche.
Z
Gesucht: Vol2 (Ω) =
1dx dy
Ω
1
Setze F (x, y) =
2
Z
x
y
. Dann gilt div F = 1 und der Gaußsche Integralsatz liefert:
Z
1dx dy =
Ω
divF dx dy
ZΩ
=
F · N dl
0
Z 1 2π r(ϕ) cos ϕ
1
r (ϕ) sin ϕ + r(ϕ) cos ϕ
· 0
kγ 0 (ϕ)kdϕ
r(ϕ) sin ϕ
2 0
kγ (ϕ)k −r0 (ϕ) cos ϕ + r(ϕ) sin ϕ
Z
1 π
(r(ϕ)cos ϕ(r0 (ϕ)sin ϕ + r(ϕ)cos ϕ)
2 −π
+r(ϕ)sin ϕ(−r0 (ϕ)cos ϕ + r(ϕ)sin ϕ))dϕ
Z
1 π 2
r (ϕ) cos2 ϕ + r2 (ϕ) sin2 ϕdϕ
2 −π
Z
1 π 2
r (ϕ) dϕ
2 −π
Γ
=
=
=
=
Aufgabe 4:
Berechnen Sie das Volumen des Torus, der durch Rotation des Dreieckes
∆ = { (x, y, z) ∈ R3 | 2 ≤ x ≤ 3, y = 0, 2 − x ≤ z ≤ x − 2 }
um die z-Achse entsteht,
a) indem Sie die Formel zur Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers (aus der Vorlesung) benutzen.
b) indem Sie die Schnittflächen berechnen, die sich durch Schneiden
des Torus mit Ebenen (im R3 ) ergeben, die senkrecht zur z-Achse
sind, und über diese Schnittflächen (auf-) integrieren.
Lösung:
a) Das Dreieck ∆ liegt in der x, z-Ebene. Der hier betrachtete Torus ergibt sich
durch Rotation dieses Dreiecks um die z-Achse.
Die Formel zur Berechnung des Volumens V eines Rotationskörpers, der um die
z-Achse rotiert, lautet
Z
z1
f 2 (z) dz ,
V =π
z0
wobei f (z) der Radius der Kreisscheibe ist, der durch die Rotation um die
z-Achse entsteht.
Hier ist: z0 = −1, z1 = 1 Dies erkennt man sehr leicht an Hand einer Skizze
oder man überprüft dies auf Grund der Definition von ∆.
Sowie: fa (z) = 3 für − 1 ≤ z ≤ 1 für den Rotationskörper, der durch Rotation der äußeren Kante des Dreiecks entsteht und
2 − z für −1 ≤ z ≤ 0,
für den Rotationskörper, der durch Rota2 + z für
0 ≤ z ≤ 1.
tion der inneren Kanten des Dreiecks entsteht.
Z 1
Z 1
2
fa (z) dz − π
fi2 (z) dz
⇒ V =π
−1
−1
Z 0
Z 1
Z 1
2
2
3 dz − π
(2 − z) dz − π
(2 + z)2 dz
=π
−1
−1
0
Z 1
Z 0
(4 + 4z + z 2 ) dz
(4 − 4z + z 2 ) dz − π
= 18π − π
0
−1
(
1 )
0
z 3 z 3 2
2
= 18π − π ·
4z − 2z +
+ 4z + 2z +
3 −1
3 0
1
7
+ 4+
= 18π − π · − −4 − 2 −
3
3
38
·π
= 18π −
3
16
= π.
3
fi (z) =
b) Die Schnittfläche des Dreiecks“-Torus mit Ebenen senkrecht zur z-Achse liefert
”
für z = −1 und z = 1 jeweils einen Kreis von Radius 3 und für −1 < z < 1
ergeben sich Kreisringe von unterschiedlicher Dicke. Die Schnittflächen F (z)
sind also gegeben durch
F (z) = πra2 (z) − πri2 (z),
wobei ra (z) den Radius des äußeren Kreises und ri (z) den Radius des inneren
Kreises bezeichnet.
Integriert man diese Schnittflächen für −1 ≤ z ≤ 1 auf, so erhält man die in
Aufgabenteil a) verwendete Formel.