Anhang - an der Universität Duisburg
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62 Zusammenfassung Wir haben viele Module des Bachelor-/Master-Studiums nicht besprochen, z.B. Veranstaltungen, die auf den beiden Grundlagen-Modulen aufbauen wie ’Funktionentheorie’, ’Gewöhnliche Differentialgleichungen’, ’Differentialgeometrie’, ’Algorithmen’, ’CAGD (Computer Aided Geometric Design)’ oder ’Graphen und Digraphen’. Darüberhinaus gibt es viele Module, die neben den beiden Grundlagen-Modulen auch Kenntnisse aus Analysis III voraussetzen. In der folgenden Übersicht habe ich versucht, die am Campus Duisburg lokalisierten Veranstaltungen darzustellen. Eine Trennung zwischen Bachelorund Master-Veranstaltungen kann bei den sog. Vertiefungsmodulen nicht gezogen werden. Module können im Bachelor- und Master-Studium nur einmal belegt werden. Das Diagramm erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit: es fehlen Vorlesungen wie ’Topologie’, ’Berechenbarkeitstheorie’ oder ’Unterteilungsalgorithmen und ihre Anwendungen’. Dies sind Vorlesungen, die unregelmäßig angeboten werden, dann aber wie z.B. ’Topologie’ eher im Bachelor-Studium oder ’Unterteilungsalgorithmen und ihre Anwendungen’ eher im Master-Studium gewählt werden können. Es fehlen einige Module von Dozenten, die die Universität Duisburg-Essen nach Fertigstellung des Modul-Handbuchs verlassen haben bzw. ab dem kommenden Semester nicht mehr zur Verfügung stehen. Grundlagen der Analysis ↔ Grundl. der Lin. Algebra → Alg. u. Diskr. Mathematik I |———– | - | ——————— | -| ——————— | - |———– - ——————— | -|| ——————— - Analysis III CAGD (Grundleg. Techniken) | CA Geometric Design I | | Computer Aided GD II Numer. Math. I Funktionentheorie I | Funktionentheorie II |———– Differentialgeometrie I | Differentialgeometrie II | → Stochastik I | | | -| ———–| Optimierung I ———–| Gewöhnliche Differentialgleichungen (I) | | | | Alg. u. Diskr. Mathematik II Algorithm. u. Datenstrukt. (Angew. Inf.) | ——————— | Algorithmen I | Algorithmen II - ———–| Graphen u. Digraphen | GraphenAlgorithmen Vertiefungsmodule aus dem Bereich der Algebra können am Campus Essen gewählt werden; am Campus Essen gibt es auch die Möglichkeit, noch einen zweiten Teil zum Modul ’Gewöhnliche Differentialgleichungen’ zu besuchen. Die ’Funktionentheorie’ kann dort noch mit Spezialvorlesungen wie ’Riemannsche Flächen’ komplettiert werden. 63 In der folgenden Übersicht sind die Module aufgelistet, die Kenntnisse aus der Analysis III voraussetzen. Für das Modul ’Minimalflächen I’ werden Kenntnisse aus dem Modul ’Differentialgeometrie I’ erwartet. Analysis III |———– - Funktionalanalysis I ——————— | | | | | − ——————— | | Kontrolltheorie II # Nichtlineare Funktionalanalysis ——————— | Partielle Differentialgleichungen I | Partielle Differentialgleichungen II Inverse Probleme ———–| Variationsrechnung I | Minimalflächen II | - Kontrolltheorie I | | | Funktionalanalysis II - Minimalflächen I | |———– | ——————— | Variationsrechnung II $ ———–| Geometrische Analysis I % | Ausgewählte Themen der Geom. u. Anal. Im Bereich ’Stochastik’ sind im Bachelor-Studium sicherlich nur einige Teile des folgenden Baumdiagramms unterzubringen zumal sowohl im Modul ’Finanzmathematik II’ als auch im Modul ’Versicherungsmathematik II’ Kenntnisse aus dem Modul ’Stochastik II’ vorausgesetzt werden. Stochastik I |———– - | ——————— | Stochastik II Finanzmathematik I | | Stochastische Prozesse Finanzmathematik II - ——————— | Versicherungsmathematik I - ———–| Mathematische Statistik | Versicherungsmathematik II | Finanzmathematik III Im Bereich ’Numerische Mathematik’ sind die am Campus Duisburg regelmäßig anzubietenden Veranstaltungen aufgelistet, wobei alle Veranstaltungen auch (inhaltlich unabhängig voneinander) zu einem längeren Zyklus zusammengesetzt werden können. Ausserdem gibt es am Campus Essen auch einige Veranstaltungen, die auf der Einführungsvorlesung ’Numerische Mathematik I’ aufbauen, z.B. ’Paralleles Wissenschaftliches Rechnen’, 64 ’Numerik partieller Differentialgleichungen’ oder ’Ausgewählte Kapitel aus der Numerischen Mathematik’. Numerische Mathematik I |———– - Numerische Methoden der Analysis | ——————— | - ——————— | - Numerische Methoden der Signal- und Bildverarb. Anwendungsorientierte Fourier-Analysis ———–| Konstruktive Approximation u. Anwendungen Im Bereich ’Optimierung’ ist auch noch das Modul ’Inverse Probleme’ aufzuführen, das aber auch auf Kenntnisse aus der Funktionalanalysis zurückgreift. Das Modul ’Stochastische Optimierung’ baut auch auf dem Modul ’Stochastik I’ auf. Optimierung I |———– Diskrete und Kombinator. Optimierung - | ——————— | Nichtlineare Optimierung |———– SchedulingTheorie I | SchedulingTheorie II -| ——————— | - ———–| | | | Optimierungssoftware Stochastische Optimierung - ———–| Optimalsteuerung bei partiellen Differentialgl. 65 Zeittafel für Alte Reiche im Zweistromland und Ägypten Zweistromland Ägypten 5900 − 4000 Ubaid-Zeit 4000 − 3000 Uruk-Periode, ca. 3300 Entstehung der Schrift (Tafeln von Uruk) 3000 − 2350 Frühdynastische Periode Stadtmauer von Uruk durch Gilgamesch 2350 − 2150 Akkadische Periode 2150 − 2000 Neosumerische Periode 2000 − 1600 Altbabylonische und Altassyrische Periode 1600 − 1000 Mittelassyrische Periode 1000 − 605 Neuassyrische Periode 605 − 539 Neubabylonische Periode 539 − 126 Persische und Hellinistische Periode 2920 − 2575 Frühzeit 1.-3. Dynastie 2575 − 2134 Altes Reich (4.-8. Dynastie) Cheops, Chephren 2134 − 2040 Erste Zwischenzeit (9.-11. Dynastie) 2040 − 1640 Mittleres Reich (11.-14. Dynastie) Papyrus Moskau Papyrus Rhind, Urschriften 1640 − 1550 Zweite Zwischenzeit (15.-17. Dynastie) 1550 − 1070 Neues Reich (18.-20. Dynastie) 1070 − 712 Dritte Zwischenzeit (21.-25. Dynastie) 712 − 332 Spätzeit (25.-30. Dynastie) Thutmosis III., Echnaton Tutenchamun, Ramses II.-XI. 66 Lebensdaten von ”Mathematikern” aus der Antike Im Jahr 331 v.Chr. wurde an der Mündung eines Nilarmes eine der vielen ”Alexanderstädte”, die Stadt Alexandria gegründet. Alexandria wurde das wissenschaftlich-kulturelle Zentrum der Welt des Hellinismus und der Römerzeit. In Alexandria gab es mit dem ’Museion’ das erste staatlich gegründete und unterhaltene Forschungs- und Lehrzentrum mit Hörsälen, Arbeits- und Speiseräumen, mit einer Bibliothek von ca. 400 000 Papyrusrollen, die zum Teil in späteren kriegerischen Auseinandersetzungen mit den Römern vernichtet wurden. Es ist wahrscheinlich, dass das Museion den Erlass des Ediktes von Theodosius im Jahre 391, alle heidnischen Tempel in der Stadt zu zerstören, nicht lange überlebte. 3500 − 2000 Frühe Bronzezeit 2000 − 1600 Mittlere Bronzezeit um 1900 1600 − 1050 Späte Bronzezeit Errichtung der minoischen Paläste auf Kreta, Linearschrift A Linearschrift B 1050 − 750 Frühzeit um 700 Homer 750 − 500 Archaische Zeit 624 − 548/545 570 − 480 Thales Pythagoras 550 − 323 Klassische Zeit um 500 469 − 399 427 − 348 400 − 347 384 − 322 Heraklit Sokrates Platon Eudoxos Aristoteles 323 − 31 Hellinismus um 300 290 − 210 287 − 212 262 − 190 Euklid Eratosthenes Archimedes Apollonius um 62 n. Chr. um 85 − 105 um 250 um 300 330/340 − 400 Heron (Alexandria) Ptolemaios Diophant (Alexandria) Pappos (Alexandria) Theon von Alexandria, letzter Leiter des Museion 410/411 − 17.4.485 Proklos (Diadochos) 529 Schließung der Akademie in Athen 67 Italien und das Römische Weltreich 753 − 509 v. Chr. Die Königszeit 509 − 264 v. Chr. Die frühe Republik 264 − 146 v. Chr. Die mittlere Republik 1. Punischer Krieg (264 - 241) 2. Punischer Krieg (218 - 201) 3. Punischer Krieg (149 - 146) Makedonien wird röm. Provinz (148) 146 − 30 v. Chr. Die späte Republik Eroberung Galliens durch Cäsar (58 - 51) Brand der Bibliothek in Alexandria (48) Ermordung Cäsars (44) Ägypten wird röm. Provinz (3) 30 v. − 68 n. Chr. Die frühe Kaiserzeit Oktavian (30 v. - 14 n. Chr.) Ehrenname Augustus (der Erhabene) seit 27 v. Chr. Tiberius (14 - 37) Gaius (Caligula) (37 - 41) Nero (54 - 68) Brand Roms (64) 68 − 235 Die Blüte des Imperiums Trajan (98 - 117) Hadrian (117 - 138) 235 − 305 Die Zeit der Wirren Die Goten plündern Athen, Korinth und Sparta (268) Diokletian (284 - 305) 305 − 565 Der Untergang des Westreichs Konstantin der Große wird Alleinherrscher (324) und macht Konstantinopel zur Reichshauptstadt (330). Das Christentum erhält volle Gleichberechtigung. Eroberung Mesopotamiens durch die Perser (363) Einnahme und Plünderung Roms durch die Westgoten unter Alarich (410) Plünderung Roms durch die Vandalen (455) Absetzung des Romulus (Augustulus) durch die Germanen (476) Blüte des Ostreiches (byzantinisches Reich) unter Justinian (527 - 565) Fortbestand des Ostreiches bis 1453 68 Inhalt der 13 Bücher des Euklid Buch I: Vom Punkt bis zum pythagoreischen Lehrsatz Grundlagen, Kongruenzlehre, Fundamentalkonstruktionen, Parallelentheorie, Hauptsätze über das Parallelogramm und Lehre von der Flächengleichheit Buch II: Geometrische Algebra U.a. werden die binomischen Formeln geometrisch bewiesen. Buch III: Kreislehre U.a. wird bewiesen, wie man von einem Punkt eine Tangente an einen vorgegebenen Kreis konstruiert. Buch IV: Ein- und umbeschriebene Vielecke U.a. wird gezeigt, wie man einem gegebenen Kreis ein regelmäßiges Fünfzehneck einbeschreibt. Buch V: Ausdehnung der Größenlehre auf Irrationalitäten Ursprünglich wuden geometrische Probleme mit Hilfe von Proportionen behandelt, wobei sich die Verhältnisse durch ganze Zahlen darstellen ließen. Wegen der Entdeckung des Irrationalen werden hier ”beliebige” Proportionen behandelt. Buch VI: Proportionen und Anwendungen auf die Planimetrie Buch VI enthält die Anwendungen von Buch V, die Ähnlichkeitslehre und die Flächenanlegung; z.B. wird gezeigt, dass in jedem Parallelogramm die Parallelogramme um die Diagonale sowohl dem ganzen als auch einander ähnlich sind. Buch VII: Teilbarkeitslehre, Primzahlen U.a. wird der sog. ”Euklidische Algorithmus” zur Bestimmung des ggT beschrieben. Buch VIII: Quadrat- und Kubikzahlen, geometrische Reihen Buch IX: Lehre von Gerade und Ungerade Buch X: Klassifikation quadratischer Irrationalitäten, Methoden der Flächenanlegung zu geometrischen Lösung aller Typen quadratischer Gleichungen Buch XI: Elementare Stereometrie Buch XII: Pyramide, Kegel, Kugel U.a. wird gezeigt, dass jeder Kegel ein Drittel des Zylinders ist, der mit ihm dieselbe Grundfläche und gleiche Höhe hat. Buch XIII: Reguläre Polyeder Es gibt genau 5 Platonische Körper, d.h. Körper, die von einander gleichen regelmäßigen Polyedern berandet werden (wobei in jeder Ecke gleichviele Kanten zusammentreffen), das sind das Tetraeder mit 4 gleichseitigen Dreiecken, der Würfel mit 6 Quadraten, das Oktaeder mit 8 gleichseitigen Dreiecken, das Dodekaeder mit 12 regelmäßigen Fünfecken und das Ikosaeder mit 20 gleichseitigen Dreiecken. 69 Pythagoreesche Zahlentheorie Die Pythagoreer brachten Ordnung in die Menge der (ganzen) Zahlen, indem sie sie nach bestimmten Gesichtspunkten in Arten einteilten, z.B. in gerade und ungerade, in Primzahlen und in zusammengesetzte Zahlen. Wir finden die Grundlagen zu den Ergebnissen von Buch IX in Buch VII von Euklid: Definitionen 1. Einheit ist das, wonach jedes Ding eines genannt wird. 2. Zahl ist die aus Einheiten zusammengesetzte Menge. (1 ist also keine Zahl, sondern eine Einheit, aus der die Zahlen 2,3,4, . . . zusammengesetzt sind.) 3. Teil einer Zahl ist eine Zahl, die kleinere von der größeren, wenn sie die größere genau misst. (Wir sagen heute: ’b teilt a’ oder ’b ist ein Teiler von a’, wenn eine (ganze) Zahl c > 1 existiert mit bc = a.) 5. Vielfaches ist die größere Zahl von der kleineren, wenn sie von der kleineren genau gemessen wird. 6. Gerade ist die Zahl, die sich halbieren lässt, 7. und ungerade die, die sich nicht halbieren lässt, oder die sich um die Einheit von einer geraden Zahl unterscheidet. 11. Primzahl ist eine Zahl, die sich nur durch die Einheit messen lässt. (Da 1 keine Zahl ist, kann 1 auch keine Primzahl sein.) 13. Zusammengesetzt ist eine Zahl, die sich durch irgendeine (andere) Zahl messen lässt. Anschließend werden einige Sätze bewiesen, d.h. Ausssagen auf die Definitionen und Postulate zurückgeführt. Wichtig sind die folgenden Ergebnisse: §31 Jede zusammengesetzte Zahl wird von irgendeiner Primzahl gemessen. §32 Jede Zahl ist entweder eine Primzahl oder wird von irgendeiner Primzahl gemesen. (Heute zeigen wir, dass sich jede natürliche Zahl ≥ 2 als Produkt von Primzahlpotenzen darstellen lässt.) Wir finden dann in Buch IX von Euklid: Die Primzahlen sind mehr als jede vorgegebene Menge von Primzahlen. 70 Die Axiome der Euklidischen Geomtrie In den Büchern des Euklid wird zum ersten Mal ”axiomatisch” festgelegt, was unter den Objekten der Geometrie zu verstehen ist. Beginnen wir mit einer Auswahl der 23 Definitionen im I. Buch des Euklid: 1. Ein Punkt ist, was keine Teile hat. 2. Eine Linie (ist) breitenlose Länge. 4. Eine gerade Linie (Strecke ist eine solche, die zu den Punkten auf ihr gleichmäßig liegt. 5. Eine Fläche ist, was nur Länge und Breite hat. 15. Ein Kreis ist eine ebene, von einer einzigen Linie [die Umfang (Bogen) heißt] umfasste Figur mit der Eigenschaft, dass alle von einem innerhalb der Figur gelegenen Punkte bis zur Linie [zum Umfang des Kreises] laufenden Strecken einander gleich sind. 16. Und Mittelpunkt des Kreises heißt dieser Punkt. 20. Von den dreiseitigen Figuren ist ein gleichseitiges Dreieck jede mit drei gleichen Seiten, ein gleichschenkliges jede mit nur zwei gleichen Seiten, ein schiefes jede mit drei ungleichen Seiten. Dann kommen die 5 Postulate, die wir heute als Grundlage der sog. ”Euklidischen Geometrie” wählen. Gefordert soll sein u.a.: 1. Dass man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen, 2. Dass man eine begrenzte gerade Linie zusammenhängend gerade verlängern kann, 3. Dass man mit jedem Mittelpunkt und Abstand den Kreis zeichnen kann, 4. Dass alle rechten Winkel einander gleich sind, 5. Und dass, wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei geraden Linien bewirkt, dass innen auf derselben Seite entstehende Winkel zusammen kleiner als zwei Rechte werden, dann die zwei geraden Linien bei Verlängerung ins Unendliche sich treffen auf der Seite, auf der die Winkel liegen, die zusammen kleiner als zwei Rechte sind. (heutiges Parallelenpostulat)
