Klausur Nr. 2: Prädikatenlogik Musterlösung (1) Übersetzen Sie

Einführung in die formale Logik
Sommersemester 2005
19.7.05
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Klausur Nr. 2: Prädikatenlogik
Musterlösung
(1) Übersetzen Sie folgende normalsprachliche Sätze optimal strukturreich und adäquat in PL
(Interpretation nicht vergessen!). (Je 2 also insgesamt 8 Punkte)
a) Karl May wird von jemandem (einem Menschen) geliebt.
D = Menge aller Menschen
a:
Karl May
2
F : … liebt --∃x F2xa
b) Wenn alle Gelben Säcke recycelt werden, sind einige Müllprobleme gelöst.
D = Menge aller Gelben Säcke und Müllprobleme
F1: … ist ein Gelber Sack
G1: … wird recycelt
H1: … ist ein Müllproblem
J1: … ist gelöst
∀x (F1x → G1x) → ∃y (H1y ∧ J1y)
c) Alle Schalke-Fans hassen alle Dortmund-Fans.
D = Menge aller Menschen
F1: … ist ein Schalke-Fan
G1: … ist ein Dortmund-Fan
H2: … hasst --∀x (F1x → ∀y(G1y → H2xy)) oder
∀x∀y (F1x ∧ G1y → H2xy)
d) Jeder (Mensch), der einen Witz kennt, erzählt ihn.
D = Menge aller Menschen und Witze
F1: … ist ein Mensch
G1: … ist ein Witz
H2: … kennt --J2: … erzählt --∀x (F1x → ∀y (G1y ∧ H2xy→ J2xy)) oder
∀x∀y (F1x ∧ (G1y ∧ H2xy)→ J2xy)
Diese Übersetzung entspricht der natürlichen Lesart: Jeder erzählt jeden Witz, den er kennt,
die insbesondere durch das rückbezügliche Pronomen „ihn“ nahegelegt wird.
Vielleicht kann man den Satz d) aber auch so lesen: Jeder Menschen erzählt einen Witz, den
er kennt, falls er überhaupt einen Witz kennt. (Dazu passt das ‚ihn’ aber nicht sehr gut.) Dann
wäre eine mögliche Übersetzung:
∀x (F1x → (∃y (G1y ∧ H2xy) → ∃y ((G1y ∧ H2xy) ∧ J2xy)).
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(2) Prüfen und weisen Sie nach, dass folgende Sätze in PL logisch wahr bzw. nicht logisch
wahr sind. (Je 4 also insgesamt 12 Punkte)
a) ∀x (F1x → G2xa) → G2aa
Dieser Satz ist nicht logisch wahr, denn er ist z.B. falsch bzgl. der folgenden Interpretation:
D = Menge der natürlichen Zahlen ohne Null
a:
1
F1: … ist gerade.
G2: … ist größer als ---.
b) ∃x ∀y F2xy → ∀y ∃x F2xy
√
1.
¬ (∃x ∀y F2xy → ∀y ∃x F2xy)
A
2.
3.
√
√
∃x ∀y F2xy
¬ ∀y ∃x F2xy
(1)
(1)
4.
√
∃ y ¬ ∃x F2xy
(3)
∀y F2ay
(2)
¬ ∃x F2xb
(4)
7.
∀x ¬ F2xb
(6)
8.
F2ab
(5)
9.
¬ F2ab
X
(7)
5.
6.
√
Der Satz ist also logisch wahr.
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c) ∀x ((F2ax ∨ G1x) ∧ ¬G1x) →∀y F2ay
√
1.
2.
3.
√
4.
√
¬ (∀x ((F2ax ∨ G1x) ∧ ¬G1x) →∀y F2ay)
A
∀x ((F2ax ∨ G1x) ∧ ¬G1x)
¬ ∀y F2ay
(1)
(1)
5.
6.
√
7.
8.
√
9.
∃ y ¬ F2ay
(3)
¬ F2ab
(4)
(F2ab ∨ G1b) ∧ ¬G1b
(2)
F2ab ∨ G1b
¬G1b
F2ab
X
10.
(6)
(6)
G1b
X
(7)
Der Satz ist also logisch wahr.
(3) Was heißt es, dass ein Satz in PL logisch wahr ist? (2 Punkte)
Ein Satz in PL ist genau dann logisch wahr, wenn sich allein aus der Bedeutung der in ihm
enthaltenen logischen Zeichen ergibt, dass er bzgl. aller Interpretationen wahr ist.
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(4) Prüfen und weisen Sie nach, ob bzw. dass Satz A logisch aus den Sätzen A1 und A2 folgt
bzw. nicht folgt. (Je 4 also insgesamt 8 Punkte)
A: ¬∀x ¬F1x ∧ ¬∃x ¬G1x
A1: ∃x F1x
A2: ∀x G1x
a)
1.
2.
3.
∃x F1x
∀x G1x
¬(¬∀x ¬F1x ∧ ¬∃x ¬G1x)
√
√
A
A
A
F1a
4.
5. √
¬¬∀x ¬F1x
7.
∀x ¬F1x
8.
¬F1a
X
(1)
6.
√
¬¬∃x ¬G1x
(5)
9.
√
∃x ¬G1x
(6)
(7)
10.
¬G1b
(9)
11.
G1b
X
(2)
(3)
Der Satz A folgt also logisch aus den Sätzen A1 und A2.
b)
A: ∃x (F1x ∧ G1x)
A1: ∃x F1x
A2: ∃x G1x
Der Satz A folgt nicht logisch aus den Sätzen A1 und A2, denn bzgl. der folgenden Interpretation sind A1 und A2 wahr, A aber falsch:
D = Menge der natürlichen Zahlen
F1: … ist gerade.
G1: … ist ungerade.
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(5) Bringen Sie folgendes Argument in Normalform, übersetzen Sie es in PL und weisen Sie
seine logische Gültigkeit nach. (10 Punkte)
(P1)
(P2)
(P3)
(P4)
(K)
Bongo ist ein Schimpanse.
Alle Schimpansen können jedes Problem lösen.
Es gibt zumindest ein Problem.
Jeder Schimpanse, der ein Problem lösen kann, bekommt eine Banane.
Bongo bekommt eine Banane. (1 Pkt.)
D=
a:
F1:
G1:
H2:
J2 :
K1:
Menge aller Schimpansen, Probleme und Bananen.
Bongo
… ist ein Problem
… ist eine Banane
… kann --- lösen
… bekommt --… ist ein Schimpanse.
(2 Pkte.)
(P1)
(P2)
(P3)
(P4)
(K)
K1a
∀x ∀y (K1x ∧ F1y → H2xy)
∃x F1x
∀x (K1x ∧ ∃y (F1y ∧ H2xy) → ∃z (G1z ∧ J2xz))
∃x (G1x ∧ J2ax)
(3 Pkte.)
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1.
2.
3.
4.
5.
K1a
∀x ∀y (K1x ∧ F1y → H2xy)
∃x F1x
∀x (K1x ∧ ∃y (F1y ∧ H2xy) → ∃z (G1z ∧ J2xz))
¬∃x (G1x ∧ J2ax)
√
√
∀x ¬ (G1x ∧ J2ax)
6.
7.
√
8.
√
9.
√
¬( K1a ∧ F1b)
¬ K1a
X
20. √
21.
¬ F1b
X
(4 Pkte.)
H2ab
11.
K1a ∧ ∃y (F1y ∧ H2ay) → ∃z (G1z ∧ J2az)
¬( K1a ∧ ∃y (F1y ∧ H2ay))
¬ K1a
X
(8)
(9)
13. ¬ F1b (10)
X
14.
19.
(2)
K1a ∧ F1b → H2ab
12.
17.
(3)
∀y (K1a ∧ F1y → H2ay)
√
15. √
(5)
F1b
10.
A
A
A
A
A
∀y ¬ (F1y ∧H2ay)
(18)
¬ (F1b ∧H2ab)
(19)
22. ¬ H2ab
X
∃z (G1z ∧ J2az)
(14)
23.
G1c∧ J2ac
(14)
24.
¬ (G1c∧ J2ac)
X
16. √
18. √ ¬∃y (F1y ∧H2ay) (15)
(20)
(4)
(6)