WHB11 - Mathematik Summierte

WHB11 - Mathematik
Summierte Binomialtabellen
Datum:
Februar 2016
Summierte Binomialtabellen
In der Praxis ist bei Bernoulli –Ketten häufig nicht so interessant, wie viele Treffer man genau erzielt, sondern
wie viele Treffer man höchstens oder mindestens erzielt. Daher finden Sie im Buch auf den Seiten 424 – 430 die
„Summierte Binomialverteilung“. Wenn man dort bei dem Eintrag von n, p und k die Zahl abliest, dann bedeutet das für eine Zufallsvariable X mit der Verteilung X ~ B(n,p) die Wahrscheinlichkeit höchstens k Treffer zu
haben, also P (X ≤ k).
Merke:
Bei der summierten Binomialverteilung kann man nur Wahrscheinlichkeiten für höchstens k Treffer ablesen!
P (X ≤ k)
Beispiel: Lesen Sie auf der Seite 428 die Wahrscheinlichkeit ab, dass man bei 20 Würfen mit einem normalen
Würfel höchstens 5 Sechsen würfelt.
Man schreibt: Zufallsvariable X: Anzahl Sechsen
X~B(20; 1/6)
P (X ≤ 5) = _____________
Aufgabe 1: Es wird 50-mal eine Münze geworfen. Wir untersuchen die Zufallsvariable X: Anzahl Wappen.
Verteilung von X: X ~ B (______ ;________).
a)
b)
c)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit wirft man höchstens 22-mal Wappen? -> P(X ≤ 22) = ___________
Mit welcher Wahrscheinlichkeit wirft man höchstens 28-mal Wappen? -> P(X ≤ __) = ___________
Mit welcher Wahrscheinlichkeit wirft man höchstens 17-mal Wappen? -> P(X ≤ __) = ___________
Andere Formulierungen
Wenn in der Aufgabe nicht die Formulierung „höchstens“ steht, sondern eine andere, dann muss man die
Aufgabe so umformulieren, dass man mit „höchstens“ arbeiten kann.
Formulierung Aufgabe
Höchstens k
Übersetzung
Bemerkung
Beispiel
≤
(kleiner oder
gleich)
<
(kleiner als)
Sofort ablesen
„höchstens 5
Treffer“
P (X ≤ 5)
Die Zahl -1 rechnen, dann ablesen
P (X < 5) = P (X ≤ 4)
Genau k
=
(gleich)
Mit Formel von
Bernoulli arbeiten
*
„weniger als 5
Treffer“
„höchstens 3
Treffer“
„genau 5 Treffer“
Mindestens k
≥
(größer oder
gleich)
Gegenereignis (1 –
höchstens k-1
Treffer
Weniger als k
n
P( X = 5) =   ⋅ p 5 ⋅ (1 − p ) n − 5
5
„mindestens 5
P (X ≥ 5) = 1 – P(X ≤ 4)
Treffer“
1–
„höchstens 4
Treffer“
Mehr als k
>
Gegenereignis (1 – „mehr als 5 TrefP (X > 5) = 1 – P( X ≤ 5)
(größer als)
höchstens k Treffer“
1 – „höchsfer)
tens 5 Treffer)
*Man kann diese Wahrscheinlichkeit auch mit der Tabelle der Summierten Binomialverteilung ermitteln. Einser-Kandidaten
können mal versuchen herauszufinden, wie das geht.
Wenn Sie jetzt in der Aufgabe eine andere Zahl als 5 habe, können Sie die Aufgabe ganz einfach anpassen, z.B.
„mehr als 17 Treffer“ bedeutet dann „1 – höchstens 17 Treffer“ (Gegenereignis).
Probieren Sie es aus und kontrollieren Sie Ihre Ergebnisse selbst mit den Lösungen ganz am Ende!
WHB11 - Mathematik
Summierte Binomialtabellen
Datum:
Februar 2016
Aufgabe 1: Buch Seite 115, Nummer 1 b – Tabelle Seite 428
Zufallsvariable X: „Anzahl der fehlerhaften Glühlampen“
X ~ B (20 ; 0,05)
a)
P (X ≤ 1) = _________________
b)
P (X ≤ 2) = __________________
c)
P (X ≤ 3) = _________________
d)
P (X ≤ ____) = __________________
e)
P (X ≤ _______) = _________________
f)
P (X > 5) = _________________________
Auswertung: Ich habe _________ von 6 Aufgaben richtig!
Aufgabe 2: Buch Seite 115, Nummer 3 – Tabelle Seite 430 (grün)
Zufallsvariable X: „Anzahl Wappen“
X ~ B ( _____ ; _______)
a)
P(X ≥ 40) = 1 – P (X ≤ _______) = 1 - __________ = __________
b)
P(X ____) = 1 – P (X ≤ _______) = 1 - __________ = __________
c)
P (X
d)
bedeutet: „mehr als 40- und weniger als 60-mal: P (X ≤ 59) – P (X ≤ 40) = _______ - ______ = ________
e)
P (X ______) = ________________ = __________________
) = _________
f)
P (X
) = _________
Auswertung: Ich habe _________ von 6 Aufgaben richtig!
Aufgabe 3: Buch Seite 121, Nummer 2 – Tabelle Seite 428 (grün)
Zufallsvariable X: „Anzahl ________________________“
a)
P(X ______) =
b)
P(X ______) =
c)
P (X ______) =
d)
P (X ______) =
e)
bedeutet mehr als 5 und weniger als 7: P (X ______) =
X ~ B ( _____ ; _______)
Auswertung: Ich habe _________ von 5 Aufgaben richtig!
Gesamtauswertung: Ich habe __________ von 17 Aufgaben richtig!
Lösungen zur Selbstkontrolle
1a) 0,7358 1b) 0,9245 1c) 0,9841 1d) 0,9974 1e) 0,9997 1f) 1-P(X≤5)=0,0003
Aufgabe 2: X~B(100;0,5) 2a) P(X ≥ 40) = 1 – P (X ≤ 39) = 1 – 0,0176 =0,9824 2b) P(X ≥ 50) = 1 – P (X ≤ 49) = 1 – 0,4602 =0,5398
2c) P(X≤40) = 0,0284 2d) P (X ≤ 59) – P (X ≤ 40) = 0,9716 – 0,0284 = 0,9432 2e) P (X=40) =0,0108 2f) P(X≤65) = 0,9991
Aufgabe 3: ZV X:“Anzahl richtiger Antworten X~B(20;0,25) 3a) P(X=5)=0,2024 3b) P(X<7)=P(X≤6)=0,7858 3c) P(X≥3)=1-P(X≤2)=10,0913=0,9087 3d) P(X≤8)-P(X≤2)=0,9591-0,0913=0,8678
3e) P(X≤7)-P(X≤5)=0,8982-0,6172=0,2810