¨Ubungsserie 3

Allgemeine Mechanik – WS 05/06 – Prof. M. Gaberdiel
Übungsserie 3
Abgabe: 28.11.2005
Aufgabe 1 [Streuquerschnitt für abstossende Zentralkraft ]:
Ein Teilchen (Energie E) sei einer abstossenden Zentralkraft F = kr −3 unterworfen.
(a) Berechne den Streuwinkel χ als Funktion des Stossparameters b.
(b) Leite daraus den differentiellen Streuquerschnitt her:
1−x
k
dσ
=
,
dΩ
2πE x2 (2 − x)2 sin πx
(x = χ/π) .
(Bezeichnungen der Winkel siehe Abbildung.)
r = rmin
ψ
~e ′
~b
θ
θ χ
~e
Σ
Hinweise: (a)
R∞
1
√ dt
t2 1−t−2
= π/2; (b) x(2 − x) = 1 − (1 − x)2 .
Aufgabe 2 [Differentieller Streuquerschnitt für Stufenpotential ]:
Nun betrachte das Zentralkraftpotential
0
, r>a,
V (r) =
−V0 , r ≤ a , V0 > 0 .
Dieses tritt zum Beispiel in der Kernphysik auf.
Ein Teilchen der Energie E > 0 werde an einem solchen Potential gestreut. Zeige, dass der
differentielle Streuquerschnitt als Funktion vom Streuwinkel χ gegeben ist durch
χ
χ
n2 a2 n cos 2 − 1 n − cos 2
dσ
(χ) =
2 ,
dΩ
4 cos χ2
1 + n2 − 2n cos χ
2
wobei wir die Grösse
n=
eingeführt haben.
r
E + V0
E
Bestimme weiter den totalen Wirkungsquerschnitt
Z
dσ
.
σtot =
dΩ
dΩ
(Bezeichnungen der Winkel analog zu Aufgabe 1, siehe Abbildung.)
Tipps:
R∞
Ra
R∞
• Für r0 < a schreibe r0 dr = r0 dr + a dr.
• Benutze
α = 2 arccos x − 2 arccos
um b = b(χ) zu bestimmen.
R 1 (nt−1)(n−t)
1 1
• 0 dt (1+n
2 −2nt)2 = 2 1+n2
n sin α2
x
→ x = −p
,
n
1 + n2 − 2n cos α2
Aufgabe 3 [Herleitung des Newtonschen Gravitationsgesetz aus den Keplergesetzen ]:
Leite das Newtonsche Gravitationsgesetz
ẍ = −GM
x
|x|3
aus den drei Keplerschen Gesetzen her!
Benutze dabei zunächst die beiden ersten Keplergesetze, um zu zeigen, dass es sich bei der
Gravitationskraft um eine Zentralkraft handelt und dass die Bahn eines Planeten
x
(1)
ẍ = −α 3
|x|
erfüllt, wobei α positiv und konstant ist. (Tipp: Benutze Bahndrehimpuls um Ausdruck für ẍ
zu finden. Dieser lässt sich umschreiben mittels Identitäten, welche aus Ableitungen von er · er
gewonnen werden können.)
Zeige nun mit Hilfe des dritten Keplerschen Gesetzes, dass die Konstante α unabhängig von
der betrachteten Bahn ist (Tipp: Ellipsenfläche, 2. Keplersches Gesetz).
Die Keplergesetze lauten:
(i) Die Planetenbahnen sind (ebene) Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht:
r=a
1 − ǫ2
,
1 + ǫ cos ϕ
(2)
r
(3)
wobei die Exzentrizität gegeben ist durch
ǫ=
1−
b2
a2
(ii) Der Verbindungsvektor von der Sonne zum Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche
Flächen:
1
l
Ḟ (t) = r 2 ϕ̇ =
= const .
(4)
2
2m
(iii) Für alle Planeten verhalten sich die Quadrate der Umlaufzeiten wie die Kuben der grossen
Halbachsen:
T2
= const .
(5)
a3