Aufgabensammlung Vorbereitung MSA mit Lösungen
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Beispielaufgaben zur Vorbereitung auf die Mathematikarbeit zum Mittleren Schulabschluss Die Aufgaben wurden zusammengestellt aus folgenden Arbeiten: - Zentraler Vergleichstest 2003 Probearbeit 2004 Vergleichsarbeit 2004 Vergleichsarbeit 2004 (Nachschreiber) Vergleichsarbeit 2005 Vergleichsarbeit 2005 (Nachschreiber) sowie den von LISUM im Oktober 2005 zusammengestellten Aufgaben MSA 2006 Nachschreiber MSA 2006 MSA 2007 Nachschreiber MSA 2007 Sie unterstützen somit eine zielgerichtete, effektive und optimale Vorbereitung auf die Prüfungsarbeit im Fach Mathematik. Entsprechend behandelten Stoffgebieten wurden die Aufgaben wie folgt geordnet: I II III IV V VI VII VIII IX Sachrechnen, Prozentrechnen, Diagramme Potenzen, Wurzeln, Termumformungen Funktionen Gleichungen Gleichungssysteme Trigonometrie Körperberechnungen Geometrie, Pythagoras, Flächenberechnungen Zweitafelprojektion Alle Aufgaben werden mit einer Lösungsskizze und dem entsprechendem Bewertungsmaßstab ergänzt. Es ist vorgesehen diese Aufgabensammlung jährlich zu erweitern. Inhaltsverzeichnis: Seite I Sachrechnen, Prozentrechnen, Diagramme 2 I Sachrechnen, Prozentrechnen, Diagramme- Lösungen 14 II Potenzen, Wurzeln 33 II Potenzen, Wurzeln - Lösungen 37 III Funktionen 44 III Funktionen - Lösungen 54 IV Gleichungen 70 IV Gleichungen - Lösungen 73 V Gleichungssysteme 79 V Gleichungssysteme- Lösungen 81 VI Trigonometrie 85 VI Trigonometrie - Lösungen 89 VII Körperberechnungen 98 VII Körperberechnungen - Lösungen 102 VIII Geometrie, Pythagoras, Flächenberechnungen 112 VIII Geometrie, Pythagoras, Flächenberechnungen – Lösungen 117 IX Zweitafelprojektion 127 IX Zweitafelprojektion - Lösungen 129 Prüfungsvorbereitungen: I. Sachrechnen, Prozentrechnung, Diagramme N 2007 (9 Punkte) 7. Analphabetismus (9 Punkte) Von Analphabetismus spricht man, wenn Menschen nicht lesen bzw. schreiben können. Weltweit betrachtet ist der Analphabetismus in erster Linie ein Problem der so genannten Entwicklungsländer. Aber auch in Deutschland leben ca. vier Millionen Analphabeten, davon sind schätzungsweise 164.000 unter den etwa 2,8 Millionen Erwachsenen Berlins. a) Berechnen Sie, wie hoch der prozentuale Anteil der Analphabeten in Berlin ist. b) Von den 80 Millionen Einwohnern Deutschlands sind 19 % unter 15 Jahre alt. Diese Bevölkerungsgruppe wird bei der statistischen Erfassung der Analphabeten nicht berücksichtigt. Wie viel Prozent der übrigen Bevölkerung besteht aus Analphabeten? Vergleichen Sie diesen Anteil mit dem in Berlin. N 2007 (7 Punkte) 5. Schwimmbad Herr Meier geht in seinem Sommerurlaub an einem Sonntag ins Schwimmbad. a) Wie viel muss er für zwei Stunden bezahlen? b) Ab wie viel Stunden Aufenthaltsdauer lohnt es sich für ihn, eine Tageskarte zu kaufen? Herr und Frau Seiler gehen mit ihren drei Kindern (2 , 3 und 10 Jahre alt) am Freitagnachmittag von 15.00 bis 18.00 zum Schwimmen. c) Frau Seiler sagt: „Es ist egal, ob wir eine Familienkarte, Einzelkarten oder Tageskarten nehmen.“ Hat sie Recht? Begründen Sie mit Hilfe einer Rechnung. 2007 (6 Punkte) _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 2 Prüfungsvorbereitungen: I. Sachrechnen, Prozentrechnung, Diagramme 6. Verkehr a) Personenzüge benötigen für die Strecke von Berlin nach Moskau jetzt 1302 Minuten. Überprüfen Sie das durch eine Rechnung. Notieren Sie ihren Lösungsweg! b) Nach Ausbau der Strecke Berlin – Moskau bis zum Jahr 2010 sollen Personenzüge nur noch 17 Stunden 23 Minuten fahren. Wie viel Zeit wird eingespart? Geben Sie das Ergebnis in Prozent an. Dokumentieren Sie ihren Lösungsweg. 2007 (4 Punkte) 4. Sprachreise René fährt mit einer Jugendgruppe zu einer Sprachreise ins Ausland. Sein Vater entdeckt kurz nach Abfahrt des Kleinbusses, dass René seinen Ausweis vergessen hat. Der Vater weiß, dass der km Kleinbus mit einer Geschwindigkeit von ca. 100 fährt und eine erste Pause von h 30 Minuten an einer Autobahnraststätte nach drei Stunden Fahrzeit machen wird. Der Vater fährt 60 Minuten später mit seinem PKW los, um die Reisegruppe an der Raststätte noch vor deren Abfahrt zu erreichen. Mit welcher Durchschnittsgeschwindigkeit muss er fahren? Schreiben Sie Ihren Lösungsweg auf. _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 3 Prüfungsvorbereitungen: I. Sachrechnen, Prozentrechnung, Diagramme 2007 (6 Punkte) 2. Seilbahn Seilbahn-Tarife Familie Müller (sechs Erwachsene und drei Kinder) möchte mit der Seilbahn fahren. Zwei der Erwachsenen sind Senioren. a) Berechnen Sie, wie viel die Familie für eine Berg- und Talfahrt bezahlen muss. Notieren Sie Ihren Lösungsweg. b) Wie viel muss die Familie bezahlen, wenn alle bergauf fahren, aber nur die beiden Senioren ins Tal fahren und die anderen bergab laufen? c) In den Monaten September und Oktober gibt es für Familien ab vier zahlenden Personen einen Preisnachlass von 20 %. Opa Müller sagt: „Dann können wir ja alle eine Berg- und Talfahrt machen und müssen trotzdem nicht einmal 50 € bezahlen.“ Hat er Recht? Begründen Sie durch Rechnung. N 2006 (4 Punkte) 8. Aufgabe _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 4 Prüfungsvorbereitungen: I. Sachrechnen, Prozentrechnung, Diagramme a) Kreuzen Sie die richtige Antwort an: In der Grafik ist dargestellt, wie sich der Gaspreis in Berlin von dem anderer deutscher Städte unterscheidet. wie viel eine Kilowattstunde in einem durchschnittlichen Haushalt kostet. um wie viel Prozent sich der Gaspreis geändert hat. wie viel ein durchschnittlicher Haushalt im Jahr bezahlen muss. b) Wie viel kostete eine Kilowattstunde in einem durchschnittlichen Haushalt im Juli 2004? c) Wie viel musste ein durchschnittlicher Haushalt in Berlin im Jahr 2003 für Gas bezahlen? N 2006 (9 Punkte) 6. Aufgabe a) Welchen Preis hat eine Gruppe von 5 Personen zu zahlen? b) Wie viel Karten bekommt man für 24 €? c) Für 18 Personen rechnet Yannic einen Preis von 135 € aus. Clara meint, dass die Gruppe noch günstiger fahren kann. Hat Clara Recht? (Begründung) d) Wie viel Euro spart eine einzelne Person, wenn sie in einer Großgruppe von 30 Personen mitfährt gegenüber dem Einzelpreis und gegenüber dem Kleingruppenpreis? e) Entscheiden Sie, ob es sich um eine proportionale Zuordnung handelt. Begründen Sie Ihre Entscheidung! 2006 (6 Punkte) 1. Aufgabe Das Diagramm stellt prozentuale Gewinne während eines Jahres bei verschiedenen Geldanlagen dar: Frau Vorsicht legte 10 000 € für ein Jahr auf dem Sparbuch an, Herr Waghals kaufte für den gleichen Betrag Bundesschatzbriefe und Frau Reich legte 12000 € als Festgeld an. a) „Ich bekomme 3,5 % mehr Zinsen, also bekomme ich 350 € mehr als Sie, Frau Vorsicht“, behauptet Herr Waghals. Ist seine Behauptung richtig? Begründen Sie! _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 5 Prüfungsvorbereitungen: I. Sachrechnen, Prozentrechnung, Diagramme b) Frau Reich sagt:„Ich bekomme 2 % mehr Zinsen, also 200 € mehr als Sie, Frau Vorsicht.“ Begründen Sie, warum Frau Reich nicht so argumentieren kann. 2006 (6 Punkte) 2. Aufgabe Um Wein herzustellen, werden die Trauben vor der Kelterung gemahlen und zerquetscht. Das Ergebnis nennt man Maische. 100 Liter Maische ergeben im Durchschnitt 75 Liter Wein. Handelsübliche Weinflaschen fassen 0,7 Liter. a) Wie viel Liter Wein produziert eine Winzergenossenschaft, die 20000 Liter Maische verarbeitet. b) Wie groß ist der prozentuale Anteil des Abfalls beim Maischen? c) Ein Winzer hat Wein aus einem Fass in 150 Flaschen abgefüllt. Wie viel Liter Wein waren in dem Fass? d) Familie Müller ergänzt ihre Weinvorräte. Frau Müller bevorzugt Weißwein und kauft 6 Flaschen zu einem Preis von jeweils 3,65 €. Herr Müller kauft seinen Lieblingsrotwein für insgesamt 27,54 €. Außerdem legen sie noch drei Flaschen Sekt für einen Preis von jeweils 6,79 € zu ihrem Einkauf. Frau Müller stellt mit Entsetzen fest, dass sie nur noch 70 € im Portmonee hat. Reicht das Geld? Begründen Sie! 2006 (6 Punkte) 10. Aufgabe a) Überprüfen Sie die Aussage im Zeitungsausschnitt, dass sich die Weltbevölkerung bis 2050 fast verdoppeln wird. b) Berechnen Sie aus dem Zeitungsartikel, wie viele US-Bürger 2004 gelebt haben. Vergleichen Sie mit der angegebenen Zahl in der Tabelle. c) Stimmt es, dass in Indien im Jahr 2050 mehr Menschen leben werden als in China? Rechnen Sie nach! _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 6 Prüfungsvorbereitungen: I. Sachrechnen, Prozentrechnung, Diagramme N 2005 ( 3 Punkte) 77. In der Kita gibt es einmal wöchentlich eine Quarkspeise zum Nachtisch. Für 47 Kinder brauchte die Köchin bisher acht Becher mit je 250 g Quark. Anfang August verlassen 15 Kinder die Kita und es kommen 21 Kinder neu hinzu. Wie viele Becher Quark muss die Köchin nun zur Herstellung der Nachspeise einkaufen, wenn die Portionen ungefähr so groß werden sollen, wie im Vorjahr? (Denken Sie an den Lösungsweg!) N 2005 (2 Punkte) 13. Einige Freunde, darunter Erika und Marco, gewinnen im Lotto 4270 €. Der Gewinn wird nach den Einsätzen verteilt: Erika erhält 40 % und Marco 37,5 %. a) Berechnen Sie, wie viel Geld Erika erhält. b) Berechnen Sie, wie viel Geld Marco erhält. N 2005 (1 Punkt) 11. Paul geht ins Schwimmbad. Er weiß, dass er für 3 Stunden 6 € zahlen muss. Wenn er nicht pünktlich aus dem Bad kommt, muss er pro Minute, die er zu spät ist, 5 Cent nachzahlen. Leider hat er heute wieder ziemlich getrödelt; er war 14 Minuten zu spät. Wie viel Euro muss er insgesamt bezahlen? N 2005 (3 Punkte) 1. Ehepaar H. will zu demselben Ort in den Urlaub fahren wie letztes Jahr. Damals haben sie für die Strecke bei einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 100 km/h 6 Stunden gebraucht. Da Ferienbeginn ist, gibt es viele Staus; außerdem machen sie eine halbe Stunde Rast in einer Raststätte. a) Im Urlaub kam leider auf die Rechnung ein Fettfleck. Wie viel kostete der Extra Salat? b) „Kannst du mir erklären, warum 16 % Mehrwertsteuer 2,11 € sind?“ fragt Herr H. seine Frau. Erklären Sie es ihm. c) Auf den ersten 300 km kommt Ehepaar H. wegen der Staus und der Rast nur auf eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 50 km/h. Erläutern Sie, ob sie trotzdem noch in 6 Stunden am Ziel sein können. _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 7 Prüfungsvorbereitungen: I. Sachrechnen, Prozentrechnung, Diagramme N 2005 (5 Punkte) 80. In der Tabelle stehen die Berliner Ergebnisse der vier Bundestagswahlen von 1990 bis 2002. Bundestagswahlen in Berlin (www.statistik-berlin.de) Wahldatum Wahlberechtigte absolut Wahl- CDU beteiligung % % SPD FDP AL/ PDS Grüne REP Sonstige % % % % % % 02.12.1990 2.537.310 80,6 39,4 30,6 9,1 3,9 9,7 2,5 4,8 16.10.1994 2.505.857 78,6 31,4 34,0 5,2 10,2 14,8 1,9 2,5 27.09.1998 2.442.929 81,1 23,7 37,8 4,9 11,3 13,4 2,4 6,5 22.09.2002 2.442.795 77,6 25,9 36,6 6,6 14,6 11,4 0,7 4,3 a) Wie viele Wahlberechtigte haben 2002 nicht gewählt? b) Zu welcher der angegebenen Wahlen passt das untern stehende Kreisdiagramm? Begründen Sie Ihre Meinung! c) Wie viel Prozent aller Wahlberechtigten haben 2002 die REP gewählt? Sonstige REP Sonst. PDS Grüne PDS Grüne CDU CDU FDP FDP SPD SPD 2005 (3 Punkte) 1. Herr Krause muss aus Platzgründen 126 seiner Bücher verschenken. Ein Drittel davon sind Krimis – die bekommt Heike, Irene bekommt die Comic-Sammlung (50 % der 126 Bücher), Jan erhält den Rest. Wie viele Bücher bekommt a) Heike b) Irene c) Jan? _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 8 Prüfungsvorbereitungen: I. Sachrechnen, Prozentrechnung, Diagramme 2005 (1 Punkt) 4. Frau Müller bezahlt für ihr Handy 9,95 € Grundgebühr. Jede Einheit kostet 0,19 €. Im letzten Monat hat sie 124 Einheiten vertelefoniert. Wie viel musste sie bezahlen? 2005 (1 Punkt) 9. Berechnen Sie und runden Sie das Ergebnis auf 2 Stellen nach dem Komma. 3,2 ⋅ 2 2 = 0,2 ⋅ 4,1 2005 (3 Punkte) 10. Im Schaufenster steht ein Werbeplakat: Sonderverkauf nur heute! Alle Hosenpreise wurden um 15 % reduziert! Erika möchte eine Hose kaufen, wenn der Preis wirklich um mindestens 15 % reduziert wurde. Auf dem Preisschild liest sie: 67,85 € Neuer Preis: 57,00 €. Wird Erika die Hose kaufen? Begründen Sie durch Rechnung. 2004 (2 Punkte) 3. Gerda möchte den Computer „Superschnell“ kaufen. Er kostet im ersten Geschäft 2399,99 €, reduziert um 17 % Rabatt, im zweiten Geschäft 1999,99 €. a) Berechne den Endpreis für den Computer im ersten Geschäft. b) Wie viel spart Gerda bei dem günstigeren Angebot? 2004 (4 Punkte) 5. Jahr Einwohner Deutschlands in Millionen 1950 69,184 1970 78,070 1990 79,753 2000 82,183 2001 82,440 2002 82,537 _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 9 Prüfungsvorbereitungen: I. Sachrechnen, Prozentrechnung, Diagramme a. Seit welchem Jahr ungefähr gibt es in Deutschland mehr Menschen, die mindestens 60 Jahre alt sind, als solche, die noch keine 20 Jahre alt sind? b. Wie viel Prozent der Einwohner Deutschlands 1990 waren jünger als 20 Jahre alt? N 2004 (2 Punkte) 6. Gerda möchte den Computer „Superschnell“ kaufen. Er kostet im ersten Geschäft 2349,99 €, reduziert um 15 % Rabatt, im zweiten Geschäft 1989,99 €. a) Berechne den Endpreis für den Computer im ersten Geschäft. b) Wie viel spart Gerda bei dem günstigeren Angebot? 2004 (5 Punkte) 6. Gaststätten verlangen Inklusivpreise. Sie werden so berechnet: Dem Preis der Ware zuzüglich 10 % Bedienungsgeld werden danach noch 16 % Mehrwertsteuer zugeschlagen. Frau Hinz muss eine Rechnung über 63,80 € bezahlen. Wie viel Mehrwertsteuer und wie viel Bedienungsgeld sind in dem Preis enthalten? 2004 (6 Punkte) 7. Inge möchte 1500 € bei der Bank für drei Jahre anlegen. Sie erhält zwei Angebote. A: Im ersten Jahr 2 %, im zweiten Jahr 3,5 % und im dritten Jahr 5 % Zinsen, immer mit Zinseszinsen. B: Gleichbleibend 3,5 % Zinsen über drei Jahre mit Zinseszinsen. _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 10 Prüfungsvorbereitungen: I. Sachrechnen, Prozentrechnung, Diagramme a. Berechne, welches Angebot für Inge besser ist. b. Wenn man die Zinssätze addiert, erhält man bei A und B dasselbe Ergebnis: 10,5 %. Erkläre, warum trotzdem die Angebote verschiedene Ergebnisse haben. Erläutere, ob das immer so ist. N 2004 (6 Punkte) 15. Die Klasse 10a (31 Schülerinnen und Schüler) will mit ihrer Lehrerin Frau Kunz und einem Begleiter eine 14-tägige Reise nach Dänemark unternehmen. Vorher müssen die Kosten kalkuliert werden. In Dänemark wird immer noch mit Dänischen Kronen (dkr) bezahlt. Für 100 dkr muss man zur 13,47 € bezahlen. Die Fahrt mit dem Omnibus kostet insgesamt 1600 €. Frau Kunz und der Begleiter beteiligen sich an den Omnibuskosten. Die 13 Übernachtungen in Kopenhagen kosten je Nacht und Person 96 dkr. Außerdem werden folgende Preise veranschlagt: Für 12 Tage Verpflegung in Kopenhagen rechnet Frau Kunz mit insgesamt 1000 dkr pro Schüler. Für gemeinsamen Reiseproviant, Eintrittsgelder und sonstige Unternehmungen veranschlagt sie insgesamt 4500 dkr. An diesen Kosten beteiligen sich die Lehrer nicht. Wie viel Euro muss jeder Schüler und jede Schülerin bezahlen? N 2004 ( 4 Punkte) 83. Jahr 1990 1993 1996 1999 2000 2001 2002 Einwohnerzahl Deutschlands in Millionen 79,753 81,179 82,012 82,024 82,183 82,440 82,537 _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 11 Prüfungsvorbereitungen: I. Sachrechnen, Prozentrechnung, Diagramme a) Um wie viele Menschen veränderte sich die Bevölkerung in Deutschland 1996 durch Geburten und Sterbefälle? b) Wie viel Prozent der Einwohner Deutschlands starben im Jahr 2002? P 2004 1. Gerda möchte den Computer B 41-250 kaufen. Geschäft 1: Der Preis von 2349,99 Euro wird um 15% reduziert. Geschäft 2: Der Endpreis beträgt 1989,99 Euro. Berate Gerda, welches Angebot sie annehmen soll. P 2004 (7 Punkte) 82. Der Tagesspiegel veröffentlichte am 17.5.2000 folgendes Diagramm: _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 12 Prüfungsvorbereitungen: a) b) c) d) e) I. Sachrechnen, Prozentrechnung, Diagramme Was wird in diesem Diagramm dargestellt? Wie wird es dargestellt? Wie warm war es am 16. Mai 2000? Wie viel hat es am 5.5.2000 geregnet? Vergleiche das Wetter in den beiden Mai-Monaten. Warum ist es bei zwei Graphen sinnvoll, die Werte zu verbinden? 2003 (1 Punkt) 6. Eine Glasfabrik stellt Flaschen her. 2% der Flaschen sind fehlerhaft; dies sind 160 Flaschen. Wie viele Flaschen wurden insgesamt hergestellt? 320 Flaschen 8000 Flaschen 800 Flaschen 12500 Flaschen 3200 Flaschen 2003 (3 Punkte) 15. Karina hat 1000 € in ihrem Ferienjob verdient. Ihre Mutter empfiehlt ihr, das Geld bei einer Bank für zwei Jahre festzulegen. Dafür hat sie zwei Angebote: a. „Plus“-Sparen: Im ersten Jahr 3 % Zinsen, im zweiten Jahr 5 % Zinsen. b. „Extra“-Sparen: Im ersten und zweiten Jahr jeweils 4 %. Karina meint: „Beide Angebote sind gleich gut.“ Was meinst du dazu? Begründe deine Antwort. _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 13 Prüfungsvorbereitungen: I. Sachrechnen, Prozentrechnung, Diagramme - Lösungen N 2007 (9 Punkte) 7. Analphabetismus (9 Punkte) Von Analphabetismus spricht man, wenn Menschen nicht lesen bzw. schreiben können. Weltweit betrachtet ist der Analphabetismus in erster Linie ein Problem der so genannten Entwicklungsländer. Aber auch in Deutschland leben ca. vier Millionen Analphabeten, davon sind schätzungsweise 164.000 unter den etwa 2,8 Millionen Erwachsenen Berlins. a) Berechnen Sie, wie hoch der prozentuale Anteil der Analphabeten in Berlin ist. b) Von den 80 Millionen Einwohnern Deutschlands sind 19 % unter 15 Jahre alt. Diese Bevölkerungsgruppe wird bei der statistischen Erfassung der Analphabeten nicht berücksichtigt. Wie viel Prozent der übrigen Bevölkerung besteht aus Analphabeten? Vergleichen Sie diesen Anteil mit dem in Berlin. N 2007 (7 Punkte) 5. Schwimmbad Herr Meier geht in seinem Sommerurlaub an einem Sonntag ins Schwimmbad. a) Wie viel muss er für zwei Stunden bezahlen? b) Ab wie viel Stunden Aufenthaltsdauer lohnt es sich für ihn, eine Tageskarte zu kaufen? Herr und Frau Seiler gehen mit ihren drei Kindern (2 , 3 und 10 Jahre alt) am Freitagnachmittag von 15.00 bis 18.00 zum Schwimmen. c) Frau Seiler sagt: „Es ist egal, ob wir eine Familienkarte, Einzelkarten oder Tageskarten nehmen.“ Hat sie Recht? Begründen Sie mit Hilfe einer Rechnung. _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 14 Prüfungsvorbereitungen: I. Sachrechnen, Prozentrechnung, Diagramme - Lösungen _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 15 Prüfungsvorbereitungen: I. Sachrechnen, Prozentrechnung, Diagramme - Lösungen 2007 (6 Punkte) 6. Verkehr a) Personenzüge benötigen für die Strecke von Berlin nach Moskau jetzt 1302 Minuten. Überprüfen Sie das durch eine Rechnung. Notieren Sie ihren Lösungsweg! b) Nach Ausbau der Strecke Berlin – Moskau bis zum Jahr 2010 sollen Personenzüge nur noch 17 Stunden 23 Minuten fahren. Wie viel Zeit wird eingespart? Geben Sie das Ergebnis in Prozent an. Dokumentieren Sie ihren Lösungsweg. 2007 (4 Punkte) 4. Sprachreise René fährt mit einer Jugendgruppe zu einer Sprachreise ins Ausland. Sein Vater entdeckt kurz nach Abfahrt des Kleinbusses, dass René seinen Ausweis vergessen hat. Der Vater weiß, dass der Kleinbus mit einer Geschwindigkeit von ca. 100 km h fährt und eine erste Pause von _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 16 Prüfungsvorbereitungen: I. Sachrechnen, Prozentrechnung, Diagramme - Lösungen 30 Minuten an einer Autobahnraststätte nach drei Stunden Fahrzeit machen wird. Der Vater fährt 60 Minuten später mit seinem PKW los, um die Reisegruppe an der Raststätte noch vor deren Abfahrt zu erreichen. Mit welcher Durchschnittsgeschwindigkeit muss er fahren? Schreiben Sie Ihren Lösungsweg auf. 2007 (6 Punkte) 2. Seilbahn Seilbahn-Tarife Familie Müller (sechs Erwachsene und drei Kinder) möchte mit der Seilbahn fahren. Zwei der Erwachsenen sind Senioren. a) Berechnen Sie, wie viel die Familie für eine Berg- und Talfahrt bezahlen muss. Notieren Sie Ihren Lösungsweg. b) Wie viel muss die Familie bezahlen, wenn alle bergauf fahren, aber nur die beiden Senioren ins Tal fahren und die anderen bergab laufen? c) In den Monaten September und Oktober gibt es für Familien ab vier zahlenden Personen einen Preisnachlass von 20 %. Opa Müller sagt: „Dann können wir ja alle eine Berg- und Talfahrt machen und müssen trotzdem nicht einmal 50 € bezahlen.“ Hat er Recht? Begründen Sie durch Rechnung. _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 17 Prüfungsvorbereitungen: I. Sachrechnen, Prozentrechnung, Diagramme - Lösungen N 2006 (4 Punkte) 8. Aufgabe a) Kreuzen Sie die richtige Antwort an: In der Grafik ist dargestellt, wie sich der Gaspreis in Berlin von dem anderer deutscher Städte unterscheidet. wie viel eine Kilowattstunde in einem durchschnittlichen Haushalt kostet. um wie viel Prozent sich der Gaspreis geändert hat. wie viel ein durchschnittlicher Haushalt im Jahr bezahlen muss. b) Wie viel kostete eine Kilowattstunde in einem durchschnittlichen Haushalt im Juli 2004? c) Wie viel musste ein durchschnittlicher Haushalt in Berlin im Jahr 2003 für Gas bezahlen? _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 18 Prüfungsvorbereitungen: I. Sachrechnen, Prozentrechnung, Diagramme - Lösungen N 2006 (9 Punkte) 6. Aufgabe a) Welchen Preis hat eine Gruppe von 5 Personen zu zahlen? b) Wie viel Karten bekommt man für 24 €? c) Für 18 Personen rechnet Yannic einen Preis von 135 € aus. Clara meint, dass die Gruppe noch günstiger fahren kann. Hat Clara Recht? (Begründung) d) Wie viel Euro spart eine einzelne Person, wenn sie in einer Großgruppe von 30 Personen mitfährt gegenüber dem Einzelpreis und gegenüber dem Kleingruppenpreis? e) Entscheiden Sie, ob es sich um eine proportionale Zuordnung handelt. Begründen Sie Ihre Entscheidung! 2006 (6 Punkte) 1. Aufgabe Das Diagramm stellt prozentuale Gewinne während eines Jahres bei verschiedenen Geldanlagen dar: Frau Vorsicht legte 10 000 € für ein Jahr auf dem Sparbuch an, Herr Waghals kaufte für den gleichen Betrag Bundesschatzbriefe und Frau Reich legte 12000 € als Festgeld an. _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 19 Prüfungsvorbereitungen: I. Sachrechnen, Prozentrechnung, Diagramme - Lösungen a) „Ich bekomme 3,5 % mehr Zinsen, also bekomme ich 350 € mehr als Sie, Frau Vorsicht“, behauptet Herr Waghals. Ist seine Behauptung richtig? Begründen Sie! b) Frau Reich sagt:„Ich bekomme 2 % mehr Zinsen, also 200 € mehr als Sie, Frau Vorsicht.“ Begründen Sie, warum Frau Reich nicht so argumentieren kann. 2006 (6 Punkte) 2. Aufgabe Um Wein herzustellen, werden die Trauben vor der Kelterung gemahlen und zerquetscht. Das Ergebnis nennt man Maische. 100 Liter Maische ergeben im Durchschnitt 75 Liter Wein. Handelsübliche Weinflaschen fassen 0,7 Liter. a) Wie viel Liter Wein produziert eine Winzergenossenschaft, die 20000 Liter Maische verarbeitet. b) Wie groß ist der prozentuale Anteil des Abfalls beim Maischen? c) Ein Winzer hat Wein aus einem Fass in 150 Flaschen abgefüllt. Wie viel Liter Wein waren in dem Fass? d) Familie Müller ergänzt ihre Weinvorräte. Frau Müller bevorzugt Weißwein und kauft 6 Flaschen zu einem Preis von jeweils 3,65 €. Herr Müller kauft seinen Lieblingsrotwein für insgesamt 27,54 €. Außerdem legen sie noch drei Flaschen Sekt für einen Preis von jeweils 6,79 € zu ihrem Einkauf. Frau Müller stellt mit Entsetzen fest, dass sie nur noch 70 € im Portmonee hat. Reicht das Geld? Begründen Sie! _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 20 Prüfungsvorbereitungen: I. Sachrechnen, Prozentrechnung, Diagramme - Lösungen 2006 (6 Punkte) 10. Aufgabe a) Überprüfen Sie die Aussage im Zeitungsausschnitt, dass sich die Weltbevölkerung bis 2050 fast verdoppeln wird. b) Berechnen Sie aus dem Zeitungsartikel, wie viele US-Bürger 2004 gelebt haben. Vergleichen Sie mit der angegebenen Zahl in der Tabelle. c) Stimmt es, dass in Indien im Jahr 2050 mehr Menschen leben werden als in China? Rechnen Sie nach! _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 21 Prüfungsvorbereitungen: I. Sachrechnen, Prozentrechnung, Diagramme - Lösungen 2004 (2 Punkte) 3. Gerda möchte den Computer „Superschnell“ kaufen. Er kostet im ersten Geschäft 2399,99 €, reduziert um 17 % Rabatt, im zweiten Geschäft 1999,99 €. a) Berechne den Endpreis für den Computer im ersten Geschäft. b) Wie viel spart Gerda bei dem günstigeren Angebot? BE Lösungsskizze Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) im ersten Geschäft: 2399,99 € – 408,00 € = 1991,99 € b) Gerda spart 8 €. 1 1 L1 II III K2 2004 (4 Punkte) 5. Jahr Einwohner Deutschlands in Millionen 1950 69,184 1970 78,070 1990 79,753 2000 82,183 2001 82,440 2002 82,537 _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 22 Prüfungsvorbereitungen: I. Sachrechnen, Prozentrechnung, Diagramme - Lösungen b. Seit welchem Jahr ungefähr gibt es in Deutschland mehr Menschen, die mindestens 60 Jahre alt sind, als solche, die noch keine 20 Jahre alt sind? c. Wie viel Prozent der Einwohner Deutschlands 1990 waren jünger als 20 Jahre alt? Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) Als richtig gelten die Jahre von 1991 bis 1995. b) Nutzung der korrekt umgestellten Formel Berechnung: p = 21,7 Antwortsatz: 21,7 % waren 1990 jünger als 20 Jahre. 1 1 1 1 II L5 K5 L1 K2 III K4 K6 N 2004 (2 Punkte) 6. Gerda möchte den Computer „Superschnell“ kaufen. Er kostet im ersten Geschäft 2349,99 €, reduziert um 15 % Rabatt, im zweiten Geschäft 1989,99 €. a) Berechne den Endpreis für den Computer im ersten Geschäft. b) Wie viel spart Gerda bei dem günstigeren Angebot? Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) im ersten Geschäft: 2349,99 € – 352,50 € = 1997,49 € b) Gerda spart 7,50 €. 1 1 L1 II III K2 _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 23 Prüfungsvorbereitungen: I. Sachrechnen, Prozentrechnung, Diagramme - Lösungen 2004 (5 Punkte) 6. Gaststätten verlangen Inklusivpreise. Sie werden so berechnet: Dem Preis der Ware zuzüglich 10 % Bedienungsgeld werden danach noch 16 % Mehrwertsteuer zugeschlagen. Frau Hinz muss eine Rechnung über 63,80 € bezahlen. Wie viel Mehrwertsteuer und wie viel Bedienungsgeld sind in dem Preis enthalten? Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I Rechnungsbetrag enthält 16 % MwSt: 116 %= 63,80€ 100 % = 55,00 €. Der Betrag von 55 € setzt sich aus 100 % Warenwert und 10 % Bedienungsgeld zusammen: 110 % = 55 € 100 % = 50 € Antwortsatz: Die Mehrwertsteuer beträgt 8,80 €, das Bedienungsgeld 5 €. 1 1 II III K3 K5 K3 1 1 L1 K5 K6 1 2004 (6 Punkte) 7. Inge möchte 1500 € bei der Bank für drei Jahre anlegen. Sie erhält zwei Angebote. A: Im ersten Jahr 2 %, im zweiten Jahr 3,5 % und im dritten Jahr 5 % Zinsen, immer mit Zinseszinsen. B: Gleichbleibend 3,5 % Zinsen über drei Jahre mit Zinseszinsen. a. Berechne, welches Angebot für Inge besser ist. b. Wenn man die Zinssätze addiert, erhält man bei A und B dasselbe Ergebnis: 10,5 %. Erkläre, warum trotzdem die Angebote verschiedene Ergebnisse haben. Erläutere, ob das immer so ist. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) Ansatz, z. B. K1 = K0 + K0·p/100 (oder K0(1+p/100)) A: K3 = K0·1,02·1,035·1,05 = 1662,73 € B: K3 = K0·1,035³ = 1663,08 € Antwortsatz: Angebot B ist etwas besser. b) Die anfangs geringeren Zinsen werden später durch höhere nicht mehr ausgeglichen. Ja, der gleichbleibende (Durchschnitts-) Zinssatz ist immer vorteilhafter als variable Zinssätze. 1 1 1 1 1 1 II III K3 L1 K5 K6 K1 L4 K2 N 2004 (6 Punkte) 15. Die Klasse 10a (31 Schülerinnen und Schüler) will mit ihrer Lehrerin Frau Kunz und einem Begleiter eine 14-tägige Reise nach Dänemark unternehmen. Vorher müssen die Kosten kalkuliert werden. _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 24 Prüfungsvorbereitungen: I. Sachrechnen, Prozentrechnung, Diagramme - Lösungen In Dänemark wird immer noch mit Dänischen Kronen (dkr) bezahlt. Für 100 dkr muss man zur 13,47 € bezahlen. Die Fahrt mit dem Omnibus kostet insgesamt 1600 €. Frau Kunz und der Begleiter beteiligen sich an den Omnibuskosten. Die 13 Übernachtungen in Kopenhagen kosten je Nacht und Person 96 dkr. Außerdem werden folgende Preise veranschlagt: Für 12 Tage Verpflegung in Kopenhagen rechnet Frau Kunz mit insgesamt 1000 dkr pro Schüler. Für gemeinsamen Reiseproviant, Eintrittsgelder und sonstige Unternehmungen veranschlagt sie insgesamt 4500 dkr. An diesen Kosten beteiligen sich die Lehrer nicht. Wie viel Euro muss jeder Schüler und jede Schülerin bezahlen? B E Lösungsskizze Busfahrt: 1600 € : 33 = 48,48 € Übernachtung: 13 · 12,93 € = 168,09 € Verpflegung: 1000 dkr = 134,70 € Eintrittsgelder usw.: 4500 : 31 = 145,16 dkr = 19,55 € Kosten pro Schüler: 48,48 € + 168,09 € + 134,70 € + 19,55 € = 370,82 € Jede Schülerin und jeder Schüler muss 370,82 € bezahlen. (Kleine Abweichungen durch Rundungsfehler sind möglich.) 1 1 1 1 1 1 N 2004 ( 4 Punkte) 83. Jahr 1990 1993 1996 1999 2000 2001 2002 Einwohnerzahl Deutschlands in Millionen 79,753 81,179 82,012 82,024 82,183 82,440 82,537 _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 25 Prüfungsvorbereitungen: I. Sachrechnen, Prozentrechnung, Diagramme - Lösungen a) Um wie viele Menschen veränderte sich die Bevölkerung in Deutschland 1996 durch Geburten und Sterbefälle? b) Wie viel Prozent der Einwohner Deutschlands starben im Jahr 2002? Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) 883 – 796 = 87, Antwortsatz: Die Bevölkerung verringert sich durch Geburten und Sterbefälle um 87000 Menschen. b) Nutzung der korrekt umgestellten Formel. Berechnung: p ≈ 1,02 2002 starben ca. 1 Prozent der Menschen in Deutschland. II III K5 1 L5 1 1 L1 1 K4 K2 K6 P 2004 1. Gerda möchte den Computer B 41-250 kaufen. Geschäft 1: Der Preis von 2349,99 Euro wird um 15% reduziert. Geschäft 2: Der Endpreis beträgt 1989,99 Euro. Berate Gerda, welches Angebot sie annehmen soll. Lösungsskizze Angebot 1: 2.349,99 Euro – 352,50 Euro = 1.997,49 Euro Angebot 2 ist billiger B E 1 1 _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 26 Prüfungsvorbereitungen: I. Sachrechnen, Prozentrechnung, Diagramme - Lösungen P 2004 (7 Punkte) 82. Der Tagesspiegel veröffentlichte am 17.5.2000 folgendes Diagramm: a) b) c) d) e) Was wird in diesem Diagramm dargestellt? Wie wird es dargestellt? Wie warm war es am 16. Mai 2000? Wie viel hat es am 5.5.2000 geregnet? Vergleiche das Wetter in den beiden Mai-Monaten. Warum ist es bei zwei Graphen sinnvoll, die Werte zu verbinden? Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) Es sind die gemessenen Höchsttemperaturen und die gemessenen Regenmengen der Monate Mai in den Jahren 1999 und 2000 in Berlin dargestellt; die Regenmengen sind jeweils Säulen, die Temperaturen sind Streckenzüge. (Wird nur die Überschrift des Diagramms abgeschrieben, wird nur 1 BE vergeben.) b) 32° C c) gar nicht d) 2000 war es viel wärmer und hat viel weniger geregnet. e) Die Temperatur verändert sich nicht sprunghaft. II III 1 1 K5 L5 1 1 1 1 1 K5 K5 K5 K5 N 2005 ( 3 Punkte) 77. In der Kita gibt es einmal wöchentlich eine Quarkspeise zum Nachtisch. Für 47 Kinder brauchte die Köchin bisher acht Becher mit je 250 g Quark. Anfang August verlassen 15 Kinder die Kita und es kommen 21 Kinder neu hinzu. Wie viele Becher Quark muss die Köchin nun zur Herstellung der Nachspeise einkaufen, wenn die Portionen ungefähr so groß werden sollen, wie im Vorjahr? (Denken Sie an den Lösungsweg!) _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 27 Prüfungsvorbereitungen: I. Sachrechnen, Prozentrechnung, Diagramme - Lösungen Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I 2000 = II III x ; x ≈ 2255,15 ; 47 53 (oder: Für 47 Kinder braucht sie 2000 g Quark. Für 1 Kind braucht sie 2000 g : 47 ≈ 42,55 g Quark. Für 53 Kinder braucht sie 42,55 g · 53 = 2255,15 g Quark.) 2255,15 : 250 ≈ 9,02 Die Köchin muss 9 Becher Quark einkaufen. 1 L4 K3 1 1 N 2005 (2 Punkte) 13. Einige Freunde, darunter Erika und Marco, gewinnen im Lotto 4270 €. Der Gewinn wird nach den Einsätzen verteilt: Erika erhält 40 % und Marco 37,5 %. a) Berechnen Sie, wie viel Geld Erika erhält. b) Berechnen Sie, wie viel Geld Marco erhält. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) Erika: 4270 ⋅ 0,4 € = 1708 € b) Marco: 4270 € · 0,375 = 1601,25 € 1 1 L1 II III K2 N 2005 (1 Punkt) 11. Paul geht ins Schwimmbad. Er weiß, dass er für 3 Stunden 6 € zahlen muss. Wenn er nicht pünktlich aus dem Bad kommt, muss er pro Minute, die er zu spät ist, 5 Cent nachzahlen. Leider hat er heute wieder ziemlich getrödelt; er war 14 Minuten zu spät. Wie viel Euro muss er insgesamt bezahlen? Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I 6 € + 0,05 € · 14 = 6,70 €; er musste 6,70 € bezahlen. 1 L1 II III K2 _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 28 Prüfungsvorbereitungen: I. Sachrechnen, Prozentrechnung, Diagramme - Lösungen N 2005 (3 Punkte) 1. Ehepaar H. will zu demselben Ort in den Urlaub fahren wie letztes Jahr. Damals haben sie für die Strecke bei einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 100 km/h 6 Stunden gebraucht. Da Ferienbeginn ist, gibt es viele Staus; außerdem machen sie eine halbe Stunde Rast in einer Raststätte. a) Im Urlaub kam leider auf die Rechnung ein Fettfleck. Wie viel kostete der Extra Salat? b) „Kannst du mir erklären, warum 16 % Mehrwertsteuer 2,11 € sind?“ fragt Herr H. seine Frau. Erklären Sie es ihm. c) Auf den ersten 300 km kommt Ehepaar H. wegen der Staus und der Rast nur auf eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 50 km/h. Erläutern Sie, ob sie trotzdem noch in 6 Stunden am Ziel sein können. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) 15,30 € – (7,60 € + 2,50 € + 1,7 €) = 3,50 € b) 15,30 € entspricht 116%. (oder 13,19 € entspricht 100%) c) Nein, die 6 Stunden sind schon vorbei. II III 1 1 L1 K1 1 N 2005 (5 Punkte) 80. In der Tabelle stehen die Berliner Ergebnisse der vier Bundestagswahlen von 1990 bis 2002. Bundestagswahlen in Berlin (www.statistik-berlin.de) Wahldatum Wahlberechtigte absolut Wahl- CDU beteiligung % % SPD FDP AL/ PDS Grüne REP Sonstige % % % % % % 02.12.1990 2.537.310 80,6 39,4 30,6 9,1 3,9 9,7 2,5 4,8 16.10.1994 2.505.857 78,6 31,4 34,0 5,2 10,2 14,8 1,9 2,5 27.09.1998 2.442.929 81,1 23,7 37,8 4,9 11,3 13,4 2,4 6,5 22.09.2002 2.442.795 77,6 25,9 36,6 6,6 14,6 11,4 0,7 4,3 a) Wie viele Wahlberechtigte haben 2002 nicht gewählt? b) Zu welcher der angegebenen Wahlen passt das untern stehende Kreisdiagramm? Begründen Sie Ihre Meinung! _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 29 Prüfungsvorbereitungen: I. Sachrechnen, Prozentrechnung, Diagramme - Lösungen c) Wie viel Prozent aller Wahlberechtigten haben 2002 die REP gewählt? Sonstige REP Sonst. PDS Grüne PDS Grüne CDU CDU FDP FDP SPD SPD Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) 100 % - 77,6 % = 22,4 % 2.442.795 · 0,224 = 547.186 Es haben 547.186 Wahlberechtigte nicht gewählt. b) Das Kreisdiagramm passt zur Wahl des Jahres 1990. Nur in diesem Jahr hat die CDU mehr Stimmen bekommen als die SPD bzw. die Grünen weniger als die FDP. c) 0,7 % von 77,6 %: 0,007 · 77,6 % ≈ 0,54 %. II III 1 1 1 L4 K4 1 1 2005 (3 Punkte) 1. Herr Krause muss aus Platzgründen 126 seiner Bücher verschenken. Ein Drittel davon sind Krimis – die bekommt Heike, Irene bekommt die Comic-Sammlung (50 % der 126 Bücher), Jan erhält den Rest. Wie viele Bücher bekommt a) Heike Lösungsskizze b) Irene c) Jan? BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) Heike 126 · 1/3 = 42 b) Irene 50 % von 126 = 63 c) Jan 126 – 42 – 63 = 21 II III 1 1 1 _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 30 Prüfungsvorbereitungen: I. Sachrechnen, Prozentrechnung, Diagramme - Lösungen 2005 (1 Punkt) 4. Frau Müller bezahlt für ihr Handy 9,95 € Grundgebühr. Jede Einheit kostet 0,19 €. Im letzten Monat hat sie 124 Einheiten vertelefoniert. Wie viel musste sie bezahlen? Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I 124 · 0,19 = 23,56 9,95 € + 23,56 € = 33,51 € , Antwortsatz 1 L1 II III K2 2005 (1 Punkt) 9. Berechnen Sie und runden Sie das Ergebnis auf 2 Stellen nach dem Komma. 3,2 ⋅ 2 2 = 0,2 ⋅ 4,1 Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I 15,61 1 L1 II III K5 2005 (3 Punkte) 10. Im Schaufenster steht ein Werbeplakat: Sonderverkauf nur heute! Alle Hosenpreise wurden um 15 % reduziert! Erika möchte eine Hose kaufen, wenn der Preis wirklich um mindestens 15 % reduziert wurde. Auf dem Preisschild liest sie: 67,85 € Neuer Preis: 57,00 €. Wird Erika die Hose kaufen? Begründen Sie durch Rechnung. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I Der Preis wurde reduziert um 67,85 € – 57 € = 10,85 €. 10,85 p = , p = 15,99 67,85 100 Erika wird die Hose kaufen, weil sie um fast 16 % billiger geworden ist. II III 1 1 L1 K1 1 2003 (1 Punkt) 6. Eine Glasfabrik stellt Flaschen her. 2% der Flaschen sind fehlerhaft; dies sind 160 Flaschen. Wie viele Flaschen wurden insgesamt hergestellt? 320 Flaschen 8000 Flaschen 800 Flaschen 12500 Flaschen 3200 Flaschen _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 31 Prüfungsvorbereitungen: I. Sachrechnen, Prozentrechnung, Diagramme - Lösungen Lösungsskizze 8000 Flaschen (Kästchen 4) BE 1 2003 (3 Punkte) 15. Karina hat 1000 € in ihrem Ferienjob verdient. Ihre Mutter empfiehlt ihr, das Geld bei einer Bank für zwei Jahre festzulegen. Dafür hat sie zwei Angebote: a. „Plus“-Sparen: Im ersten Jahr 3 % Zinsen, im zweiten Jahr 5 % Zinsen. b. „Extra“-Sparen: Im ersten und zweiten Jahr jeweils 4 %. Karina meint: „Beide Angebote sind gleich gut.“ Was meinst du dazu? Begründe deine Antwort. Lösungsskizze BE Karina hat unrecht, Angebot b ist geringfügig besser. Begründung z.B. durch Nachrechnen Ka = 1000 · (1 + 0,03) · (1 + 0,05) = 1081,50 Kb = 1000 · (1 + 0,04)² = 1081,60 > Ka 3 _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 32 Prüfungsvorbereitungen: II. Potenzen, Wurzeln, Termumformungen N 2007 (12 Punkte) 1. Kalkül (12 Punkte) a) Berechnen Sie und geben Sie das Ergebnis als echten Bruch an. 0,2 · 3 5 b) Entscheiden Sie jeweils, ob die Aussagen wahr oder falsch sind. A: 1m2 = 100 cm2 B: π = 3,14 C: 40 = 1 D: 5 ist 1 von 100 5 c) Stellen Sie die Gleichung nach x um. z = 2x ; y z y ≠ 0, z ≠ o d) Geben Sie den kürzesten und den längsten Zeitraum an. 1 Jahr; 4 Monate; 100 Tage; 2 376 Stunden 4 e) Berechnen Sie. 211 · (2 + 3)² 29 2007 (9 Punkte) 1. Berechnungen a) Geben Sie den größten und den kleinsten Wert an. b) Kürzen Sie den angegebenen Term und geben Sie anschließend seinen Wert an. 9,6 1,8 2 · 4,8 c) Es seien 1 x = 8 und 4y + 3 = 9. 2 Berechnen Sie die Summe x + y. d) Fassen Sie die Terme so weit wie möglich zusammen. Term I: 17 – 5x – 3x²+ 19 + 7x – 3x² Term II: 6 a – 2 a + 7 12 4 3 _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 33 Prüfungsvorbereitungen: II. Potenzen, Wurzeln, Termumformungen N 2006 (6 Punkte) 1. Aufgabe a) Lösen Sie die Klammern auf und fassen Sie zusammen! 3x (x + 2,6y – 6y2 ) + (x – 6y)2 b) Geben Sie als Dezimalzahl an! 4,2 · 10 -2 c) Berechnen Sie! 4,6 · 10-4 · 1,3 ·108 4 · 10² d) Geben Sie die Summe als Dezimalzahl an! 3+1 8 4 2006 (4 Punkte) 3. Aufgabe a) Berechnen Sie 2,4 · 10³ 8,3 · 10² und runden Sie das Ergebnis auf Zehntel. b) Vereinfachen Sie 16x³ · 25z4 5x² 8x³ soweit wie möglich! c) Lösen Sie die Klammern des Terms (3a + 6x) (8a –6x) auf und fassen Sie so weit wie möglich zusammen. 2006 (4 Punkte) 9. Aufgabe a) Geben Sie einen möglichst einfachen Term für den Flächeninhalt schraffierten Fläche in Figur 1 an. b) Schraffieren Sie eine Fläche in der der Figur 2, die den Flächeninhalt A = (a – b) · (a + b) hat. _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 34 Prüfungsvorbereitungen: II. Potenzen, Wurzeln, Termumformungen 2004 (3 Punkte) 1. Trage jeweils die passende Geschwindigkeit in die Tabelle ein: m m m 1,7 · 101 s 3 · 10–9 s 2,8 · 105 s m 1,5 · 100 s Fußgänger Wachstum des Haares Brieftaube 2004 (1 Punkt) 2. Kennzeichne den richtigen Näherungswert für 5 · a. 4,86 b. 14,22 3 23 . c. 23,98 2004 (4 Punkte) 3 5. Berechne 5 a. 5x · 4x 4 6 b. 24a : 4a 4 16 x 5 z ⋅ 7 c. 25 z 8 x N 2004 (3 Punkte) 8. Welchen Wert hat die Potenz 240 ? Markiere bei jedem Ergebnis, ob es richtig oder falsch ist: richtig falsch 1,099511628 · 1012 12 1,099511628 richtig falsch 10,99511628 · 1011 richtig falsch N 2004 (1 Punkt) 4. Kennzeichne den richtigen Näherungswert für 5 · 3 17 . a. 4,57 b. 12,86 c. 23,78 N 2004 (4 Punkte) 4 8. Berechne a. 7x7 · 3x3 b. 27b6 : 3b c. 5 14 x ⋅ 11z 9 55 z 7 x P 2004 (3 Punkte) 14. Berechne a) 17² = b) 5 · 27 = c) 225.000.000 = _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 35 Prüfungsvorbereitungen: II. Potenzen, Wurzeln, Termumformungen P 2004 (2 Punkte) 10. a) 3,14 · 106 = b) 5,64 · 10-4 = Berechne P 2004 (1 Punkt) 15. 2 ⋅ 125 wird in einen Taschenrechner eingegeben. Er gibt als Ergebnis 5 die Zahl 10 an. Schreibe die notwendigen Umformungsschritte auf, die ohne Taschenrechner erforderlich wären. Der Term 2003 (4 Punkte) 10. Berechne: a) 5,6 · 1024 – 1,8 · 1023 b) 2,7 · 1018 1,8 · 1014 2003 (2 Punkt) 11. Bestimme z: 54 · z4 = 10000 _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 36 Prüfungsvorbereitungen:II. Potenzen, Wurzeln, Termumformungen – Lösungen N 2007 (12 Punkte) 1. Kalkül (12 Punkte) a) Berechnen Sie und geben Sie das Ergebnis als echten Bruch an. 0,2 · 3 5 b) Entscheiden Sie jeweils, ob die Aussagen wahr oder falsch sind. A: 1m2 = 100 cm2 B: π = 3,14 C: 40 = 1 D: 5 ist 1 von 100 5 c) Stellen Sie die Gleichung nach x um. z = 2x ; y ≠ 0, z ≠ o y z d) Geben Sie den kürzesten und den längsten Zeitraum an. 1 Jahr; 4 Monate; 100 Tage; 2 376 Stunden 4 e) Berechnen Sie. 211 · (2 + 3)² 29 2007 (9 Punkte) 1. Berechnungen a) Geben Sie den größten und den kleinsten Wert an. b) Kürzen Sie den angegebenen Term und geben Sie anschließend seinen Wert an. 9,6 1,8 2 · 4,8 _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 37 Prüfungsvorbereitungen:II. Potenzen, Wurzeln, Termumformungen – Lösungen c) Es seien 1 x = 8 und 4y + 3 = 9. 2 Berechnen Sie die Summe x + y. d) Fassen Sie die Terme so weit wie möglich zusammen. Term I: 17 – 5x – 3x²+ 19 + 7x – 3x² Term II: 6 a – 2 a + 7 12 4 3 N 2006 (6 Punkte) 1. Aufgabe a) Lösen Sie die Klammern auf und fassen Sie zusammen! 3x (x + 2,6y – 6y2 ) + (x – 6y)2 b) Geben Sie als Dezimalzahl an! 4,2 · 10 -2 c) Berechnen Sie! 4,6 · 10-4 · 1,3 ·108 4 · 10² d) Geben Sie die Summe als Dezimalzahl an! 3+1 8 4 _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 38 Prüfungsvorbereitungen:II. Potenzen, Wurzeln, Termumformungen – Lösungen 2006 (4 Punkte) 3. Aufgabe a) Berechnen Sie 2,4 · 10³ 8,3 · 10² und runden Sie das Ergebnis auf Zehntel. b) Vereinfachen Sie 16x³ · 25z4 5x² 8x³ soweit wie möglich! c) Lösen Sie die Klammern des Terms (3a + 6x) (8a –6x) auf und fassen Sie so weit wie möglich zusammen. 2006 (4 Punkte) 9. Aufgabe a) Geben Sie einen möglichst einfachen Term für den Flächeninhalt schraffierten Fläche in Figur 1 an. b) Schraffieren Sie eine Fläche in der der Figur 2, die den Flächeninhalt A = (a – b) · (a + b) hat. _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 39 Prüfungsvorbereitungen:II. Potenzen, Wurzeln, Termumformungen – Lösungen 2004 (3 Punkte) 1. Trage jeweils die passende Geschwindigkeit in die Tabelle ein: m m m 1,7 · 101 s 3 · 10–9 s 2,8 · 105 s m 1,5 · 100 s Fußgänger Wachstum des Haares Brieftaube Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I m s m Wachstum des Haares: 3 · 10–9 s m Brieftaube: 1,7 · 101 s 1,5 · 100 Fußgänger: II III 1 L1 1 K3 1 2004 (1 Punkt) 2. Kennzeichne den richtigen Näherungswert für 5 · a. 4,86 b. 14,22 3 23 . c. 23,98 Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I b 1 L1 II III K5 2004 (4 Punkte) 3 5. 5 Berechne a. 5x · 4x 4 6 b. 24a : 4a Lösungsskizze 4 16 x 5 z ⋅ 7 c. 25 z 8 x BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) b) c) 9 20x 6a5 3 2z 4 5x 1 1 Zahlen richtig gekürzt 1 Variable richtig gekürzt 1 L1 II III K2 _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 40 Prüfungsvorbereitungen:II. Potenzen, Wurzeln, Termumformungen – Lösungen N 2004 (3 Punkte) 8. Welchen Wert hat die Potenz 240 ? Markiere bei jedem Ergebnis, ob es richtig oder falsch ist: 1,099511628 · 1012 richtig falsch 12 1,099511628 richtig falsch 10,99511628 · 1011 richtig falsch Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I richtig, falsch, richtig 3x 1 II III L1 K5 Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich N 2004 (1 Punkt) 4. Kennzeichne den richtigen Näherungswert für 5 · 3 17 . a. 4,57 b. 12,86 c. 23,78 Lösungsskizze BE I b II III 1 N 2004 (4 Punkte) 4 8. Berechne 7 a. 7x · 3x 3 6 b. 27b : 3b Lösungsskizze 5 14 x ⋅ 11z c. 9 55 z 7 x BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I 10 a) b) 21x 9b5 c) 2z 5 5x 3 1 1 Zahlen richtig gekürzt 1 Variable richtig gekürzt 1 L1 II III K2 _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 41 Prüfungsvorbereitungen:II. Potenzen, Wurzeln, Termumformungen – Lösungen P 2004 (3 Punkte) 14. Berechne a) 17² = b) 5 · 27 = c) 225.000.000 = Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) 17² = 289 b) 5 * 27 = 5 * 128 = 640 c) 225.000.000 = 15.000 1 1 1 L1 L1 L1 BE Leitidee II III K2 K2 K2 P 2004 (2 Punkte) 10. a) 3,14 · 106 = b) 5,64 · 10-4 = Berechne Lösungsskizze Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) 3 140 000 b) 0,000 564 II III 1 1 P 2004 (1 Punkt) 15. 2 ⋅ 125 wird in einen Taschenrechner eingegeben. Er gibt als Ergebnis 5 die Zahl 10 an. Schreibe die notwendigen Umformungsschritte auf, die ohne Taschenrechner erforderlich wären. Der Term Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I z.B. 2 125 2 ⋅ 5 5 = = 10 5 5 1 L1 II III K2 _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 42 Prüfungsvorbereitungen:II. Potenzen, Wurzeln, Termumformungen – Lösungen 2003 (4 Punkte) 10. a) 5,6 · 1024 – 1,8 · 1023 Berechne: c) 2,7 · 1018 1,8 · 1014 Lösungsskizze 24 a. 5,42 · 10 2P b. 1,5 · 104 2P 2003 (2 Punkt) 11. Bestimme z: 54 · z4 = 10000 Lösungsskizze 4 54 · z = 10000 | : 54 z4 = 104 : 54 | 4 z = 2 (oder z = -2) 2P _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 43 Prüfungsvorbereitungen: III. Funktionen N 2007 (8 Punkte) 8. Funktionen (8 Punkte) Von den Graphen G1 und G2 zweier linearer Funktionen ist bekannt: I) II) III) G1 hat die Steigung 1. G2 schneidet die y-Achse bei y = 7. G1 und G2 schneiden sich im Punkt (2|3). a) Geben Sie die Funktionsgleichungen f1(x) und f2(x) für beide Graphen an. b) Bestimmen Sie den Schnittpunkt von G1 mit der x-Achse. c) Geben Sie die Funktionsgleichung eines Graphen G3 an, der parallel zu G1 verläuft und G2 auf der y-Achse schneidet. 2007 (7 Punkte) 9. Graph Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion. a) Geben Sie die Koordinaten des Schnittpunktes P des Graphen mit der y-Achse an. b) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung zu dem Graphen. c) Der Graph bildet mit den beiden Achsen ein Dreieck. Ermitteln Sie seinen Flächeninhalt und geben Sie ihn in Flächeneinheiten FE an. d) Zeichnen Sie den Graph einer zweiten Funktion ein. Er soll mit den beiden Achsen ein zweites Dreieck mit demselben Flächeninhalt bilden. Bestimmen Sie für diesen Graphen die passende Funktionsgleichung. 2007 (6 Punkte) 5. Auto Der nachfolgende Graph beschreibt ungefähr, wie sich die Geschwindigkeit eines Autos im Laufe einer Stunde ändert. Entscheiden Sie bei den folgenden Aussagen, ob sie richtig oder falsch sind! _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 44 Prüfungsvorbereitungen: III. Funktionen a) b) Schreiben Sie Ihre Einschätzung zu der folgenden Aussage auf: „Nach einer Stunde ist das Auto wieder am Ausgangspunkt angekommen.“ N 2006 (12 Punkte) 5. Aufgabe In dem Diagramm ist das Abbrennen zweier Kerzen dargestellt. a) Welche Höhe haben beide Kerzen nach 3 Stunden? b) Wann sind die Kerzen gleich hoch? c) Geben Sie zwei Bedingungen an, die erfüllt sein müssen, damit diese Fragen überhaupt beantwortet werden können? d) Geben Sie die Zuordnungsvorschrift für Kerze 1 an! e) Schreiben Sie einen Text so, dass Ihre Mitschüler anhand dieses Textes die beiden Graphen zeichnen können. f) Tragen Sie in das vorgegebene Koordinatensystem den Graphen einer kugelförmigen Kerze ein, die innerhalb von 10 Stunden vollständig abbrennt. _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 45 Prüfungsvorbereitungen: III. Funktionen 2006 (9 Punkte) 8. Aufgabe a) Geben Sie die Funktionsgleichung f (x) zu dem abgebildeten Graphen G an. 1 1 b) Zeichnen Sie in das vorgegebene Koordinatenkreuz den Graph G 2 zu der Funktion mit f (x) = 3x – 2. 2 c) Berechnen Sie y so, dass der Punkt P(100|y) auf G liegt. 2 d) Bestimmen Sie die Gleichung des Graphen G , der auf G senkrecht steht 3 1 und denselben y-Abschnitt hat. Beschreiben Sie Ihr Vorgehen bzw. Ihre Überlegungen. N 2005 (7 Punkte) 79. Bei Hitzigs gibt es heute Abend einen Auflauf. Das Temperatur in °C Diagramm zeigt den Backvorgang als Zuordnung: Zeit in Minuten → Temperatur des Backofens in °C. (Die Zimmertemperatur in der Küche beträgt 20° C.) Prüfen Sie, welche Geschichte zu dem Diagramm passt und welche nicht passt. Erläutern Sie jeweils 100 Ihre Meinung. a) Mutter Hitzig stellt den Auflauf in den kalten 40 Backofen und stellt den Temperaturregler des 20 Backofens auf 200° C. Nach ungefähr 7 Minuten öffnet sie kurz die Backofentür und überzeugt Zeit in Minuten 5 10 sich, dass alles in Ordnung ist. Nach insgesamt einer halben Stunde streut sie geriebenen Käse auf den Auflauf. Nach weiteren 10 Minuten schaltet sie den Backofen aus, lässt die Backofentür offen und serviert sie den Auflauf. 5 b) Marco kommt nach Hause und sieht, dass der Backofen bereits eingeschaltet ist. Er guckt hinein, sieht den Auflauf und freut sich. Schnell macht er die Backofentür wieder zu. Nach 20 Minuten guckt er noch einmal und sieht, dass der Käse schon ganz braun ist, Er deckt den Auflauf mit Alufolie ab, damit er nicht verbrennt. Nach insgesamt 40 Minuten schaltet die Mutter den Backofen aus, holt den Auflauf aus dem Backofen und die Familie isst zu Abend. c) Mutter Hitzig stellt den Temperaturregler des Ofens auf 200° C. Nach 10 Minuten öffnet sie die Ofentür und stellt den Auflauf hinein. Nach insgesamt zwanzig Minuten öffnet sie die Tür, bedeckt den Auflauf mit geriebenem Käse und dreht die Temperatur für 10 Minuten auf 120° C. Nach einer Backzeit von 35 Minuten holt sie den Auflauf aus dem Ofen. d) Wie lange hatte der Backofen gemäß dem Diagramm Höchsttemperatur? _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 46 Prüfungsvorbereitungen: III. Funktionen N2005 (4 Punkte) 78. Gegeben sind drei Graphen. a) Entscheiden Sie bei den folgenden Aussagen, welche wahr und welche falsch sind. Schreiben Sie jeweils „w“ oder „f“ an die Aussage. Aussage 1 G1 und G2 haben dieselbe Steigung. Aussage 2 G3 und G2 haben dieselbe Steigung. Aussage 3 G1 und G2 haben denselben y-Abschnitt. b) Geben Sie die Gleichung eines vierten Graphen an, der zu G1 parallel verläuft. 2005 (8 Punkte) 1. Gegeben sind die beiden Funktionen f und g mit f(x) = – (x – 2)2 und g(x) = x + 2 a) Wie groß ist die Steigung des Graphen von g? b) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten beider Graphen in Bezug auf den Ursprung und die y-Achse. c) Beschreiben Sie, wie der Graph von f aus der Normalparabel hervorgeht. d) Bestimmen Sie die Schnittpunkte des Graphen von f mit der x-Achse! e) Untersuchen Sie, ob und ggf. in welchen Punkten sich die beiden Graphen schneiden. (Denken Sie an die Dokumentation Ihres Lösungswegs.) 2005 (5 Punkte) 72. Ordnen Sie den beiden Funktionsgleichungen die Nummer des zugehörigen Funktionsgraphen zu: f 1 ( x ) = −3 x + 2 f 2 (x ) = 2 x − 3 a) Zu f1 gehört Graph Nr. _____ b) Zu f2 gehört Graph Nr. _____ c) Geben Sie die Funktionsgleichung eines Graphen an, der zum Graphen von f1 parallel ist. d) Berechnen Sie den Schnittpunkt der beiden Graphen von f1 und f2. _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 47 Prüfungsvorbereitungen: III. Funktionen 2005 (8 Punkte) 75. Gegeben ist eine Funktion f mit der Funktionsgleichung f (x ) = 9 − x 2 . a) Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich von f an. b) Skizzieren Sie den Graphen zu f sorgfältig. c) Ermitteln Sie den Radius eines Halbkreises, dessen Flächeninhalt 1 von dem des 3 gegebenen Halbkreises beträgt. d) Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn man den Graphen um die x-Achse rotieren lässt. e) Lässt man den Graphen um die y-Achse rotieren, so entsteht ein anderer Körper. In welchem Verhältnis stehen die Volumina der beiden Rotationskörper zueinander? 2005 (7 Punkte) 71. Paul geht morgens zu Fuß zur Schule. In den Diagrammen ist sein Schulweg als Zuordnung dargestellt: Zeit in Minuten → Entfernung von zu Hause in Metern. Entfernung in m Entfernung in m A B 500 500 100 100 1 Zeit in Minuten 1 Zeit in Minuten Entfernung in m Entfernung in m D C 500 500 100 100 1 Zeit in Minuten 1 Zeit in Minuten a) Wie weit ist die Schule von Pauls Wohnung entfernt? b) Welche Geschichte passt zu welchem Diagramm? 1. Paul ist kaum aus der Wohnung, da stellt er fest, dass er seinen Mathe-Hefter zu Hause hat liegen lassen. Er rennt zurück, greift ihn und geht dann zügig zur Schule. _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 48 Prüfungsvorbereitungen: III. Funktionen 2. Paul läuft bis zur Bushaltestelle. Da kommt gerade ein Bus. Paul fährt eine Station und läuft dann wieder weiter. 3. An der Ecke trifft Paul seinen Freund Karl. Sie bleiben stehen und plaudern ein wenig. Danach muss Paul ein wenig schneller laufen. c) Ein Graph bleibt übrig. Schreiben Sie eine kurze Geschichte zu diesem Diagramm. 2004 (4 Punkte) 46. In der Abbildung siehst du vier Möglichkeiten a bis d, wie die Fahne an ihrem Mast hochgezogen werden kann. a a. Ergänze zu den Sätzen den Buchstaben für die jeweils passende Abbildung: „Die Fahne wird immer langsamer hochgezogen“ gehört zur Abbildung . . . . . . b Höhe „Die Fahne wird immer schneller hochgezogen“ gehört zur Abbildung . . . . . Zeit c Höhe „Die Fahne wird mit gleichbleibender Geschwindigkeit hochgezogen“ gehört zur Abbildung . . . . . b. Bei welcher Möglichkeit wurde die Fahne am schnellsten hochgezogen? Zeit Höhe d ....... Zeit 2004 (4 Punkte) 5. Notiere vor dem jeweiligen Buchstaben der Grafik die Nummer der Funktionsgleichung, die zu dem dargestellten Graphen gehört. 1. f(x) = -2x + 3 2. f(x) = 1 x+3 2 3. f(x) = -x² + 2 4. f(x) = x² - 2 5. f(x) = 1 x-3 2 _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 49 Prüfungsvorbereitungen: III. Funktionen A B C D N 2004 (4 Punkte) 68. Liese fährt mit ihrem Mofa. Die Abbildung zeigt die Geschwindigkeit während der Fahrt. a. Wie lange war sie unterwegs? b. Erzähle, was in der Zeit zwischen 10.10 Uhr und 10.11 Uhr passiert sein könnte. c. Mit welcher Geschwindigkeit fuhr Liese um 10.05 Uhr? d. Gib eine Uhrzeit an, zu der Liese auf dieser Fahrt die höchste Geschwindigkeit hatte. Geschwindigkeit in km/h 50 40 30 20 10 10.00 10.10 10.20 Uhrzeit _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 50 Prüfungsvorbereitungen: III. Funktionen N 2004 (4 Punkte) 5. Notiere vor dem jeweiligen Buchstaben der Grafik die Nummer der Funktionsgleichung, die zu dem dargestellten Graphen gehört. 1. f(x) = -3x + 3 2. f(x) = 1 x+3 3 A C 3. f(x) = 2x² - 2 4. f(x) = 1 x² - 2 2 5. f(x) = 3x - 3 B D P 2004 (11 Punkte) 56. In der Abbildung ist dargestellt, wie sich die Wasserhöhe in einer Badewanne im Laufe der Zeit ändert. Beschreibe den dargestellten Verlauf in Form einer Geschichte. Alternative Aufgabenstellung: Beschreibe den dargestellten Verlauf in Form einer Geschichte, die möglichst alle Änderungen des Zulaufs berücksichtigt. Gib dabei immer den jeweiligen Zeitabschnitt an, den du gerade beschreibst. _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 51 Prüfungsvorbereitungen: III. Funktionen P 2004 (8 Punkte) 61. Ordne die Funktionsgleichungen soweit möglich den dargestellten Graphen zu. 1 3 1. f(x)=3x + 2 2. f(x)= x + 2 3. f(x)=+ x 2 − 2 6. f(x)= - sin x 7. f(x)= 3 x − 2 8. f(x)=cos x 4. f(x)= − 3 x − 2 9. f(x)= 1 x2 5. f(x)= − x 2 + 2 10. f(x)= − A B C D E F G H 1 x 2003 6 Punkte) 12. Notiere zu jedem der sechs Schaubilder den richtigen Buchstaben aus der Liste. (Zu dreien der neun aufgeführten Möglichkeiten gibt es kein Schaubild.) 1.c.1.1 1.c.1.2 1.c.1.3 1.c.1.4 1.c.1.5 1.c.1.6 1.c.1.7 1.c.1.8 1.c.1.9 f(x) = sin f(x) = 1/x f(x) = 0,5x + 2 f(x) = x f(x) = x³ f(x) = x4 f(x) = cos(x) f(x) = -0,5x + 2 keine Funktion _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 52 Prüfungsvorbereitungen: III. Funktionen 1. 2. 3. 4. 5. 6. 2003 (1 Punkt) 9. Die Funktion mit der Gleichung y = 2x – 1 soll untersucht werden. Berechne zu y = 99 den x-Wert. …. (7 Punkte) 59. Gegeben sind die beiden Funktionen f und g mit f(x) = x2 –1 und g(x) = 2x +2 a) b) c) d) e) Bestimme die Schnittpunkte des Graphen von f mit der x-Achse! Überprüfe, ob der Punkt P(16|257) auf dem Graphen von f liegt. In welchen Punkten schneiden sich die beiden Graphen? Wie groß ist die Steigung des Graphen von g? Ist einer der beiden Graphen achsensymmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung? _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 53 Prüfungsvorbereitungen: III. Funktionen - Lösungen N 2007 (8 Punkte) 8. Funktionen (8 Punkte) Von den Graphen G1 und G2 zweier linearer Funktionen ist bekannt: I) II) III) G1 hat die Steigung 1. G2 schneidet die y-Achse bei y = 7. G1 und G2 schneiden sich im Punkt (2|3). a) Geben Sie die Funktionsgleichungen f1(x) und f2(x) für beide Graphen an. b) Bestimmen Sie den Schnittpunkt von G1 mit der x-Achse. c) Geben Sie die Funktionsgleichung eines Graphen G3 an, der parallel zu G1 verläuft und G2 auf der y-Achse schneidet. 2007 (7 Punkte) 9. Graph Gegeben ist der Graph einer linearen Funktion. a) Geben Sie die Koordinaten des Schnittpunktes P des Graphen mit der y-Achse an. b) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung zu dem Graphen. c) Der Graph bildet mit den beiden Achsen ein Dreieck. Ermitteln Sie seinen Flächeninhalt und geben Sie ihn in Flächeneinheiten FE an. d) Zeichnen Sie den Graph einer zweiten Funktion ein. Er soll mit den beiden Achsen ein zweites Dreieck mit demselben Flächeninhalt bilden. Bestimmen Sie für diesen Graphen die passende Funktionsgleichung. _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 54 Prüfungsvorbereitungen: III. Funktionen - Lösungen 2007 (6 Punkte) 5. Auto Der nachfolgende Graph beschreibt ungefähr, wie sich die Geschwindigkeit eines Autos im Laufe einer Stunde ändert. Entscheiden Sie bei den folgenden Aussagen, ob sie richtig oder falsch sind! a) b) Schreiben Sie Ihre Einschätzung zu der folgenden Aussage auf: „Nach einer Stunde ist das Auto wieder am Ausgangspunkt angekommen.“ _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 55 Prüfungsvorbereitungen: III. Funktionen - Lösungen N 2006 (12 Punkte) 5. Aufgabe In dem Diagramm ist das Abbrennen zweier Kerzen dargestellt. a) Welche Höhe haben beide Kerzen nach 3 Stunden? b) Wann sind die Kerzen gleich hoch? c) Geben Sie zwei Bedingungen an, die erfüllt sein müssen, damit diese Fragen überhaupt beantwortet werden können? d) Geben Sie die Zuordnungsvorschrift für Kerze 1 an! e) Schreiben Sie einen Text so, dass Ihre Mitschüler anhand dieses Textes die beiden Graphen zeichnen können. f) Tragen Sie in das vorgegebene Koordinatensystem den Graphen einer kugelförmigen Kerze ein, die innerhalb von 10 Stunden vollständig abbrennt. _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 56 Prüfungsvorbereitungen: III. Funktionen - Lösungen 2006 (9 Punkte) 8. Aufgabe a) Geben Sie die Funktionsgleichung f (x) zu dem abgebildeten Graphen G an. 1 1 b) Zeichnen Sie in das vorgegebene Koordinatenkreuz den Graph G 2 zu der Funktion mit f (x) = 3x – 2. 2 c) Berechnen Sie y so, dass der Punkt P(100|y) auf G liegt. 2 d) Bestimmen Sie die Gleichung des Graphen G , der auf G senkrecht steht 3 1 und denselben y-Abschnitt hat. Beschreiben Sie Ihr Vorgehen bzw. Ihre Überlegungen. _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 57 Prüfungsvorbereitungen: III. Funktionen - Lösungen 2004 (4 Punkte) 46. In der Abbildung siehst du vier Möglichkeiten a bis d, wie die Fahne an ihrem Mast hochgezogen werden kann. a a. Ergänze zu den Sätzen den Buchstaben für die jeweils passende Abbildung: „Die Fahne wird immer langsamer hochgezogen“ gehört zur Abbildung . . . . . . b Höhe „Die Fahne wird immer schneller hochgezogen“ gehört zur Abbildung . . . . . Zeit c Höhe „Die Fahne wird mit gleichbleibender Geschwindigkeit hochgezogen“ gehört zur Abbildung . . . . . b. Bei welcher Möglichkeit wurde die Fahne am schnellsten hochgezogen? Zeit Höhe d ....... Zeit _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 58 Prüfungsvorbereitungen: III. Funktionen - Lösungen Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) Satz 1 Abb. c) b) bei d) Satz 2 Abb. d) Satz 3 Abb. b) 3 1 L4 II III K4 2004 (4 Punkte) 5. Notiere vor dem jeweiligen Buchstaben der Grafik die Nummer der Funktionsgleichung, die zu dem dargestellten Graphen gehört. 1. f(x) = -2x + 3 2. f(x) = 1 x+3 2 3. f(x) = -x² + 2 4. f(x) = x² - 2 A B C D 5. f(x) = Lösungsskizze A3, B2, C5, D1 1 x-3 2 BE je eine Bewertungseinheit 4 _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 59 Prüfungsvorbereitungen: III. Funktionen - Lösungen N 2004 (4 Punkte) 68. Liese fährt mit ihrem Mofa. Die Abbildung zeigt die Geschwindigkeit während der Fahrt. Geschwindigkeit in km/h a. Wie lange war sie unterwegs? b. Erzähle, was in der Zeit zwischen 10.10 Uhr und 10.11 Uhr passiert sein könnte. c. Mit welcher Geschwindigkeit fuhr Liese um 10.05 Uhr? d. Gib eine Uhrzeit an, zu der Liese auf dieser Fahrt die höchste Geschwindigkeit hatte. 50 40 30 20 10 10.00 10.10 Lösungsskizze BE Leitidee 10.20 Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) Antwortsatz: Liese war ca. 20 Minuten unterwegs. b) Plausible Erklärung: Halt an einer Ampel, Pause,... c) Um 10.05 Uhr hatte sie eine Geschwindigkeit von 31 km/h. d) Angabe einer Uhrzeit zwischen 10.14 und 10.18 Uhr 1 1 1 Uhrzeit II III K4 K5 L4 K4 1 N 2004 (4 Punkte) 5. Notiere vor dem jeweiligen Buchstaben der Grafik die Nummer der Funktionsgleichung, die zu dem dargestellten Graphen gehört. 1. f(x) = -3x + 3 2. f(x) = 1 x+3 3 3. f(x) = 2x² - 2 4. f(x) = 1 x² - 2 2 5. f(x) = 3x - 3 _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 60 Prüfungsvorbereitungen: III. Funktionen - Lösungen A B D C Lösungsskizze A2, B4, C1, D5 BE je eine Bewertungseinheit 4 P 2004 (11 Punkte) 56. In der Abbildung ist dargestellt, wie sich die Wasserhöhe in einer Badewanne im Laufe der Zeit ändert. Beschreibe den dargestellten Verlauf in Form einer Geschichte. Alternative Aufgabenstellung: Beschreibe den dargestellten Verlauf in Form einer Geschichte, die möglichst alle Änderungen des Zulaufs berücksichtigt. Gib dabei immer den jeweiligen Zeitabschnitt an, den du gerade beschreibst. _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 61 Prüfungsvorbereitungen: III. Funktionen - Lösungen Lösungsskizze BE Richtige Zeitintervalle und sinnvolle Berücksichtigung der Steigung für 11 Intervalle Beispiel: „In den ersten 10 Minuten lässt Hugo gleichmäßig Wasser einlaufen.“ 11 Leitidee L4 Kompetenzen im Anforderungsbereich I II K4 K6 III P 2004 (8 Punkte) 61. Ordne die Funktionsgleichungen soweit möglich den dargestellten Graphen zu. 1 3 1. f(x)=3x + 2 2. f(x)= x + 2 3. f(x)=+ x 2 − 2 6. f(x)= - sin x 7. f(x)= 3 x − 2 8. f(x)=cos x 4. f(x)= − 3 x − 2 9. f(x)= 5. f(x)= − x 2 + 2 1 x2 10. f(x)= − A B C D E F G H Lösungsskizze BE Leitidee A1, B3, C2, D6, E8, F10, G5, H9 je eine Bewertungseinheit 8 L4 1 x Kompetenzen im Anforderungsbereich I II III K4 _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 62 Prüfungsvorbereitungen: III. Funktionen - Lösungen N 2005 (7 Punkte) 79. Bei Hitzigs gibt es heute Abend einen Auflauf. Das Temperatur in °C Diagramm zeigt den Backvorgang als Zuordnung: Zeit in Minuten → Temperatur des Backofens in °C. (Die Zimmertemperatur in der Küche beträgt 20° C.) Prüfen Sie, welche Geschichte zu dem Diagramm passt und welche nicht passt. Erläutern Sie jeweils 100 Ihre Meinung. a) Mutter Hitzig stellt den Auflauf in den kalten 40 Backofen und stellt den Temperaturregler des 20 Backofens auf 200° C. Nach ungefähr 7 Minuten öffnet sie kurz die Backofentür und überzeugt sich, Zeit in Minuten 5 10 dass alles in Ordnung ist. Nach insgesamt einer halben Stunde streut sie geriebenen Käse auf den Auflauf. Nach weiteren 10 Minuten schaltet sie den Backofen aus, lässt die Backofentür offen und serviert sie den Auflauf. 5 b) Marco kommt nach Hause und sieht, dass der Backofen bereits eingeschaltet ist. Er guckt hinein, sieht den Auflauf und freut sich. Schnell macht er die Backofentür wieder zu. Nach 20 Minuten guckt er noch einmal und sieht, dass der Käse schon ganz braun ist, Er deckt den Auflauf mit Alufolie ab, damit er nicht verbrennt. Nach insgesamt 40 Minuten schaltet die Mutter den Backofen aus, holt den Auflauf aus dem Backofen und die Familie isst zu Abend. c) Mutter Hitzig stellt den Temperaturregler des Ofens auf 200° C. Nach 10 Minuten öffnet sie die Ofentür und stellt den Auflauf hinein. Nach insgesamt zwanzig Minuten öffnet sie die Tür, bedeckt den Auflauf mit geriebenem Käse und dreht die Temperatur für 10 Minuten auf 120° C. Nach einer Backzeit von 35 Minuten holt sie den Auflauf aus dem Ofen. d) Wie lange hatte der Backofen gemäß dem Diagramm Höchsttemperatur? Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) Diagramm 1 ist möglich. Die Temperaturzustände im Graphen entsprechen denen der Geschichte b) Diagramm 2 ist möglich. Die Temperaturzustände im Graphen entsprechen denen der Geschichte. c) Diagramm 3 passt nicht. Die Temperatur fällt bereits bei ca. 7 Minuten ab, d. h. nach 7 Minuten wird die Backofentür geöffnet. Nach insgesamt 30 Minuten wird die Tür ein weiteres Mal geöffnet. Die Verminderung der Heiztemperatur auf 120° C ist aus dem Graphen nicht abzuleiten. d) Der Backofen hatte ca. 24 Minuten lang Höchsttemperatur. II III 1 1 1 1 K4 1 L4 1 1 K4 _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 63 Prüfungsvorbereitungen: III. Funktionen - Lösungen N2005 (4 Punkte) 78. Gegeben sind drei Graphen. a) Entscheiden Sie bei den folgenden Aussagen, welche wahr und welche falsch sind. Schreiben Sie jeweils „w“ oder „f“ an die Aussage. Aussage 1 G1 und G2 haben dieselbe Steigung. Aussage 2 G3 und G2 haben dieselbe Steigung. Aussage 3 G1 und G2 haben denselben y-Abschnitt. b) Geben Sie die Gleichung eines vierten Graphen an, der zu G1 parallel verläuft. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) Aussage 1 ist falsch. Aussage 2 ist wahr. Aussage 3 ist falsch. b) f(x) = 2x + m ; r ∈ R 1 1 1 1 L4 II III K5 2005 (8 Punkte) 1. Gegeben sind die beiden Funktionen f und g mit f(x) = – (x – 2)2 und g(x) = x + 2 a) Wie groß ist die Steigung des Graphen von g? b) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten beider Graphen in Bezug auf den Ursprung und die y-Achse. c) Beschreiben Sie, wie der Graph von f aus der Normalparabel hervorgeht. d) Bestimmen Sie die Schnittpunkte des Graphen von f mit der x-Achse! e) Untersuchen Sie, ob und ggf. in welchen Punkten sich die beiden Graphen schneiden. (Denken Sie an die Dokumentation Ihres Lösungswegs.) Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) m g = 1 b) Weder der Graph zu f noch der Graph zu g sind punktsymmetrisch zum Ursprung bzw. achsensymmetrisch zur y-Achse. c) Die Normalparabel muss um zwei Einheiten nach rechts verschoben und an der x-Achse gespiegelt werden. 1 L4 II III K5 1 1 1 _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 64 Prüfungsvorbereitungen: III. Funktionen - Lösungen d) Begründung entweder durch Lösen der Gleichung 2 0 = − x N − 2 oder über die Verschiebung. N = (2 | 0 ) ( ) e) Die Koordinaten des Schnittpunkts müssen beide Gleichungen erfüllen. Der Ansatz 2 − x S − 2 = x S + 2 führt auf eine nicht lösbare quadratische Gleichung. Es gibt keinen Schnittpunkt. (Es kann auch graphisch argumentiert werden.) ( 1 1 ) 1 1 2005 (5 Punkte) 72 Ordnen Sie den beiden Funktionsgleichungen die Nummer des zugehörigen Funktionsgraphen zu: f 1 ( x ) = −3 x + 2 f 2 (x ) = 2 x − 3 a) Zu f1 gehört Graph Nr. _____ b) Zu f2 gehört Graph Nr. _____ c) Geben Sie die Funktionsgleichung eines Graphen an, der zum Graphen von f1 parallel ist. d) Berechnen Sie den Schnittpunkt der beiden Graphen von f1 und f2. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) b) c) d) Graph Nummer 3 Graph Nummer 1 g(x) = – 3 x + n ; n ∈ R; z. B.: g(x) = – 3 x + 17 –3x + 2 = 2x – 3 x=1 Einsetzen in einen der Funktionsterme liefert S(1| –1). 1 1 1 II L4 III K4 1 1 2005 (8 Punkte) 75. Gegeben ist eine Funktion f mit der Funktionsgleichung f (x ) = 9 − x 2 . a) Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich von f an. b) Skizzieren Sie den Graphen zu f sorgfältig. c) Ermitteln Sie den Radius eines Halbkreises, dessen Flächeninhalt 1 von dem des 3 gegebenen Halbkreises beträgt. _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 65 Prüfungsvorbereitungen: III. Funktionen - Lösungen d) Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn man den Graphen um die x-Achse rotieren lässt. e) Lässt man den Graphen um die y-Achse rotieren, so entsteht ein anderer Körper. In welchem Verhältnis stehen die Volumina der beiden Rotationskörper zueinander? Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) Definitionsbereich: − 3 ≤ x ≤ 3 ; x ∈ R b) Der Graph ist deutlich als Halbkreis erkennbar. Das Koordinatensystem ist richtig beschriftet und die Achsen sind korrekt eingeteilt. 1 1 c) A2 = πr12 = π ⋅ 9 = 3π = πr22 ⇒ r2 = 3 3 3 Der gesuchte Halbkreis hat den Radius 3 . d) Es entsteht eine Kugel mit r = 3 LE. 4 V = π ⋅ r3 V = 36π ≈ 113,1 VE 3 e) Es entsteht eine Halbkugel. Vy-Rot : Vx-Rot = 1 : 2 III K5 1 1 II L4 K3 1 1 1 1 1 1 _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 66 Prüfungsvorbereitungen: III. Funktionen - Lösungen 2005 (7 Punkte) 71. Paul geht morgens zu Fuß zur Schule. In den Diagrammen ist sein Schulweg als Zuordnung dargestellt: Zeit in Minuten → Entfernung von zu Hause in Metern. Entfernung in m Entfernung in m A B 500 500 100 100 Zeit in Minuten 1 Zeit in Minuten 1 Entfernung in m Entfernung in m D C 500 500 100 100 Zeit in Minuten 1 Zeit in Minuten 1 a) Wie weit ist die Schule von Pauls Wohnung entfernt? b) Welche Geschichte passt zu welchem Diagramm? 1. Paul ist kaum aus der Wohnung, da stellt er fest, dass er seinen Mathe-Hefter zu Hause hat liegen lassen. Er rennt zurück, greift ihn und geht dann zügig zur Schule. 2. Paul läuft bis zur Bushaltestelle. Da kommt gerade ein Bus. Paul fährt eine Station und läuft dann wieder weiter. 3. An der Ecke trifft Paul seinen Freund Karl. Sie bleiben stehen und plaudern ein wenig. Danach muss Paul ein wenig schneller laufen. c) Ein Graph bleibt übrig. Schreiben Sie eine kurze Geschichte zu diesem Diagramm. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) Die Schule ist 1,1 km (1100 m) von Pauls Wohnung entfernt. b) Geschichte 1 Diagramm C Geschichte 2 Diagramm B Geschichte 3 Diagramm A. 1 L4 II III K4 3 _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 67 Prüfungsvorbereitungen: III. Funktionen - Lösungen c) (D bleibt übrig. 3 Abschnitte müssen vorkommen: langsames Laufen, „Trödeln“, schnelleres Laufen.) Verknüpfende Geschichte, z. B.: Paul läuft los, trifft dann einen Freund mit Fußverletzung, muss sich danach beeilen und schneller laufen. (je 1 BE für jeden Abschnitt. Bei falschem Diagramm, aber richtiger Geschichte, entsprechende Bewertung) K4 3 2003 6 Punkte) 12. Notiere zu jedem der sechs Schaubilder den richtigen Buchstaben aus der Liste. (Zu dreien der neun aufgeführten Möglichkeiten gibt es kein Schaubild.) a) f(x) = sin b) f(x) = 1/x c) f(x) = 0,5x + 2 d) f(x) = x e) f(x) = x³ f) f(x) = x4 g) f(x) = cos x h) f(x) = -0,5x + 2 i) keine Funktion 1. 2. 3. 4. 5. 6. Lösungsskizze 1. c) 2. g) 3. b) 4. i) 5. e) 6. d) Je 1P _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 68 Prüfungsvorbereitungen: III. Funktionen - Lösungen 2003 (1 Punkt) 9. Die Funktion mit der Gleichung y = 2x – 1 soll untersucht werden. Berechne zu y = 99 den x-Wert. Lösungsskizze x = 50 1P …. (7 Punkte) 59. Gegeben sind die beiden Funktionen f und g mit f(x) = x2 –1 und g(x) = 2x +2 a) b) c) d) e) Bestimme die Schnittpunkte des Graphen von f mit der x-Achse! Überprüfe, ob der Punkt P(16|257) auf dem Graphen von f liegt. In welchen Punkten schneiden sich die beiden Graphen? Wie groß ist die Steigung des Graphen von g ? Ist einer der beiden Graphen achsensymmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung? Lösungsskizze BE N1(-1|0) und N2(1|0) 16² –1 = 255 ≠ 257; P ∉ Gf S1(-1|0) und S2(3|8) (Auch grafische Lösung zulässig.) m=2 Gf ist achsensymmetrisch zur y-Achse. 2 1 2 1 1 Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) b) c) d) e) L4 II III K5 K2 K2 K5 K2 _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 69 Prüfungsvorbereitungen: IV. Gleichungen N 2007 (5 Punkte) 2. Gleichungen a) Lösen Sie folgende Gleichung: 4x – 17 +11 – 11x + 8x + 31 = 34 – 2x b) Lösen Sie mit Hilfe einer Gleichung. Wenn man vom Sechsfachen einer Zahl 5 subtrahiert, so erhält man das Achtfache der Zahl. Welche Zahl ist es? 2007 (4 Punkte) 7. Zahlenrätsel Das Sechsfache der um 2 verminderten Zahl ist genauso groß wie das Vierfache der um 3 vermehrten Zahl. a) Welche der Gleichungen gibt den Sachverhalt richtig wieder? (I) (III) 6x – 2 = 4x + 3 6(x – 2) = 4x + 3 (II) 6x + 2 = 4(x + 3) (IV) 6(x – 2) = 4(x + 3) b) Lösen Sie die Gleichung, die Sie ausgewählt haben. Schreiben Sie den Lösungsweg auf. 2006 (3 Punkte) 4. Aufgabe In der Mathematikstunde wird die Gleichung (x + 6)² + 36 – x = (x + 1)(x – 1) – 4 von den Schülern gelöst. Anna und Jens stellen ihre Lösungswege vor: Anna x² +36 +36 –x = x² -1 - 4 Jens x² +12x +36 +36 –x = x² -1 - 4 x² +72 - x = x² - 5 x = 77 x² +11x +72 = x² -5 x = -7 Wer hat richtig gerechnet? Begründen Sie. 2005 (1 Punkt) 12. Uli hat drei CDs weniger als Anja, und Bernd hat viermal so viele CDs wie Uli. Mara sagt: „Egal wie viele CDs Uli hat – wenn er drei weniger als Anja hat und Bernd viermal so viele wie Uli, dann ist die Gesamtzahl der CDs bestimmt ungerade.“ Hat Mara Recht? Begründen Sie Ihre Meinung! _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 70 Prüfungsvorbereitungen: IV. Gleichungen 2005 (2 Punkte) x 24. In der abgebildeten Figur haben zwei Seiten die Länge x. x 8 cm 60 cm² Formulieren Sie zuerst eine Gleichung und rechnen Sie dann x aus! 4 cm N 2005 (2 Punkte) 76. Max formt den linken Term in den rechten um: 2 − (3 x − 7) − 3( x + 2) = 2 − 3 x + 7 − 3 x + 6 a) Kennzeichnen Sie seinen Fehler. b) Vereinfachen Sie den linken Term korrekt, so weit wie möglich. N 2005 (1Punkt) 74. ( ) Kreuzen Sie die richtige Lösung der Gleichung 5x 2 − 3(x + 1)(x − 1) − x = 2 x 2 − 3 an. x=–9 x=5 x= 6 x=9 x=2 N 2005 (1 Punkt) 70. Kreuzen Sie die richtige Lösung der Gleichung 58 − 3 ⋅ (5x − 6) = 40 − (7 x + 20) an. x=–7 x=4 x = – 2,5 x=7 x = 2,5 2004 (1 Punkt) 62. Löse die Gleichung 5z – 3 = 30 – z in der Grundmenge Q. 2 N 2004 (1 Punkt) 63. Löse die Gleichung 5z – 2 = 40 – z in der Grundmenge Q. 4 P 2004 (4Punkte) 57. Löse die Gleichungen. a) 15x + 4 = 5x – 66 2 3 b) 2x = (Rechne mit Brüchen.) 3 4 _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 71 Prüfungsvorbereitungen: IV. Gleichungen …. (2 Punkte) 58. Fritz hat als Lösung der Gleichung z = 6 errechnet. Überprüfe sein Ergebnis. z Gleichung: 5z – 3 = 30 2 2003 (2 Punkt) 2. Multipliziere aus und kreuze die richtige Antwort an: (2x – 3y)² = 4x² – 9y² 4x² – 12xy + 9y² 4x² – 6xy + 9y² 4x² – 12xy – 9y² 4x² – 6xy + 9y² 2003 (3 Punkte) 4. 3 Schülerinnen vereinfachen einen Term: Anna : 2x – 4(x + 1) = 2x – 4x – 1 Dana : 2x – 4(x + 1) = 2x – 4x – 4 Maria : 2x – 4(x + 1) = 2x – 4x + 4 Wer har richtig vereinfacht? Markiere bei den beiden anderen die Fehler! 2003 (7 Punkte) 18. Ein Fußballfeld hat eine Fläche von 7384 m². Die Länge des Feldes ist 33 m größer als die Breite. Berechne, wie lang und wie breit das Feld ist! _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 72 Prüfungsvorbereitungen: IV. Gleichungen - Lösungen N 2007 (5 Punkte) 2. Gleichungen a) Lösen Sie folgende Gleichung: 4x – 17 +11 – 11x + 8x + 31 = 34 – 2x b) Lösen Sie mit Hilfe einer Gleichung. Wenn man vom Sechsfachen einer Zahl 5 subtrahiert, so erhält man das Achtfache der Zahl. Welche Zahl ist es? 2007 (4 Punkte) 7. Zahlenrätsel Das Sechsfache der um 2 verminderten Zahl ist genauso groß wie das Vierfache der um 3 vermehrten Zahl. a) Welche der Gleichungen gibt den Sachverhalt richtig wieder? (I) (III) 6x – 2 = 4x + 3 6(x – 2) = 4x + 3 (II) 6x + 2 = 4(x + 3) (IV) 6(x – 2) = 4(x + 3) b) Lösen Sie die Gleichung, die Sie ausgewählt haben. Schreiben Sie den Lösungsweg auf. _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 73 Prüfungsvorbereitungen: IV. Gleichungen - Lösungen 2006 (3 Punkte) 4. Aufgabe In der Mathematikstunde wird die Gleichung (x + 6)² + 36 – x = (x + 1)(x – 1) – 4 von den Schülern gelöst. Anna und Jens stellen ihre Lösungswege vor: Anna x² +36 +36 –x = x² -1 - 4 Jens x² +12x +36 +36 –x = x² -1 - 4 x² +72 - x = x² - 5 x² +11x +72 = x² -5 x = 77 x = -7 Wer hat richtig gerechnet? Begründen Sie. 2004 (1 Punkt) 62. Löse die Gleichung 5z – 3 = 30 – z in der Grundmenge Q. 2 Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I z=6 1 L4 II III K2 N 2004 (1 Punkt) 63. Löse die Gleichung 5z – 2 = 40 – z in der Grundmenge Q. 4 Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I z=8 1 L4 II III K2 2005 (1 Punkt) 12. Uli hat drei CDs weniger als Anja, und Bernd hat viermal so viele CDs wie Uli. Mara sagt: „Egal wie viele CDs Uli hat – wenn er drei weniger als Anja hat und Bernd viermal so viele wie Uli, dann ist die Gesamtzahl der CDs bestimmt ungerade.“ Hat Mara Recht? Begründen Sie Ihre Meinung! _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 74 Prüfungsvorbereitungen: IV. Gleichungen - Lösungen Lösungsskizze Leitidee BE Kompetenzen im Anforderungsbereich I Mara hat recht. Wenn Uli x CDs hat, dann gilt: x + (x + 3) + 4x = 6x + 3 6x ist für alle x ∈ N eine gerade Zahl; die Summe einer geraden und einer ungeraden Zahl ist stets ungerade. II L1 III K2 1 2005 (2 Punkte) x 24. In der abgebildeten Figur haben zwei Seiten die Länge x. x 8 cm 60 cm² Formulieren Sie zuerst eine Gleichung und rechnen Sie dann x aus! Lösungsskizze 4 cm BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I 60 cm² = x · 4 cm + x · 8 x = 5 cm oder: 60 = 4x + 8x x = 5 (in cm) 1 1 II III K5 L2 N 2005 (2 Punkte) 76. Max formt den linken Term in den rechten um: 2 − (3 x − 7) − 3( x + 2) = 2 − 3 x + 7 − 3 x + 6 a) Kennzeichnen Sie seinen Fehler. b)Vereinfachen Sie den linken Term korrekt, so weit wie möglich. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) 2 – (3x – 7) – 3· (x+2) = 2 – 3x + 7 – 3x + 6 (Vorzeichenfehler) b) … = 2 – 3x + 7 – 3x – 6 = 3 – 6x 1 L4 II III K5 1 P 2004 (4Punkte) 57. Löse die Gleichungen. a) 15x + 4 = 5x – 66 2 3 = (Rechne mit Brüchen.) b) 2x 3 4 _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 75 Prüfungsvorbereitungen: IV. Gleichungen - Lösungen Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) 10x = - 70 x=-7 17 b) 2x = 12 17 x= 24 II III ( ) 1 1 1 L4 K5 1 N 2005 (1Punkt) 74. Kreuzen Sie die richtige Lösung der Gleichung 5x 2 − 3(x + 1)(x − 1) − x = 2 x 2 − 3 an. x=–9 x=5 x= 6 x=9 x=2 Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I x = 9 (viertes Kästchen) 1 L4 II III K5 N 2005 (1 Punkt) 70. Kreuzen Sie die richtige Lösung der Gleichung 58 − 3 ⋅ (5x − 6) = 40 − (7 x + 20) an. x=–7 x=4 x = – 2,5 x=7 x = 2,5 Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I x = 7 (vorletztes Kästchen) 1 L4 II III K5 …. (2 Punkte) 58. Fritz hat als Lösung der Gleichung z = 6 errechnet. Überprüfe sein Ergebnis. z Gleichung: 5z – 3 = 30 2 Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I z wird eingesetzt: 5 · 6 – 3 = 30 – 3 27 = 27 Wahre Aussage; die Lösung ist richtig. (Es ist auch zugelassen die Gleichung zu lösen.) II III 1 1 L4 K2 _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 76 Prüfungsvorbereitungen: IV. Gleichungen - Lösungen 2003 (2 Punkte) 5. Multipliziere aus und kreuze die richtige Antwort an: (2x – 3y)² = 4x² – 9y² 4x² – 12xy + 9y² 4x² – 6xy + 9y² 4x² – 12xy – 9y² Lösungsskizze 4x² – 6xy + 9y² BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I viertes Kästchen 4x² – 12xy + 9y² II III 2 2003 (3 Punkte) 4. 3 Schülerinnen vereinfachen einen Term: Anna : 2x – 4(x + 1) = 2x – 4x – 1 Dana : 2x – 4(x + 1) = 2x – 4x – 4 Maria : 2x – 4(x + 1) = 2x – 4x + 4 Wer har richtig vereinfacht? Markiere bei den beiden anderen die Fehler! Lösungsskizze -1 vor dem zweiten „=“ angestrichen. (Anna hat +1 nicht mit -4 multipliziert.) 1P Dana hat alles richtig gemacht. 1P + vor dem zweiten „=“ angestrichen. (Maria hat +1 falsch mit -4 multipliziert.) 1P _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 77 Prüfungsvorbereitungen: IV. Gleichungen - Lösungen 2003 (7 Punkte) 18. Ein Fußballfeld hat eine Fläche von 7384 m². Die Länge des Feldes ist 33 m größer als die Breite. Berechne, wie lang und wie breit das Feld ist! Lösungsskizze Variablenvergabe: x: kurze Seite x + 33: lange Seite 1P Aufstellen der Gleichung und Normalform erzeugen: x (x + 33) = 7384 x² + 33x = 7384 x² + 33x – 7384 = 0 2P (mit p = 33, q = -7384 und der Lösungsformel) x1,2 = - p p² ±√ -q 2 4 x1,2 = - 33 33² ±√ - 7384 2 4 x1,2 = -16,5 ± 87,5 x1 = 71 x2 = -104 3P x2 kommt nicht in Frage, da negativ. Das Fußballfeld ist 71 m breit und 104 lang. 1P _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 78 Prüfungsvorbereitungen: V. Gleichungssysteme N 2007 (7 Punkte) 3. Eiscafé Im Eiscafé verzehren Susanne und ihre Freundinnen einen Erdbeerbecher und drei Portionen Spaghettieis für insgesamt 21 € . Susanne bezahlt für ihre Freundinnen mit. Als diese ihr das Geld zurückgeben wollen, weiß keine mehr die Einzelpreise. Susanne weiß nur noch, dass der Erdbeerbecher um 50 ct teurer ist als ein Spaghettieis und dass sie 70 ct Trinkgeld gegeben hat. Ermitteln Sie den Preis für einen Erdbeerbecher und den Preis für ein Spaghettieis. Dokumentieren Sie Ihren Lösungsweg. 2006 (6 Punkte) 7. Aufgabe Für ein Klassenfest soll Hans 24 Flaschen Saft und 12 Flaschen Mineralwasser für insgesamt 27,24 € einkaufen. Er verwechselt die Zahlen und kauft stattdessen 12 Flaschen Saft und 4 Flaschen Mineralwasser. Dadurch reduziert sich der Preis um 8,40 €. a) Entscheiden Sie bei jedem der Gleichungssysteme, ob es den Sachverhalt der Aufgabe richtig darstellt! 1) richtig falsch 2) richtig falsch I 24 x + 12 y = 12 x + 24 y I 24 x + 12 y = 27,24 II 27,24 – 8,40 = 18,84 II 12 x + 24 y = 18,84 3) richtig falsch 4) richtig falsch I 24 x + 12 y = 27,24 I 24 x + 12 y = 27,24 II 12 x + 24 y = 27,24 – 8,40 II 12 y + 24 x = 18,84 b) Was haben Sie berechnet, wenn Sie x bzw. y richtig ausgerechnet haben? Schreiben Sie genau auf, wofür die Variablen x und y in dieser Aufgabe stehen. x:___________________________________ y:__________________________________ N 2005 (2 Punkte) 4. Zur Vorbereitung einer Studienfahrt der Klassen des 10. Jahrgangs erkundigen sich die Schülerinnen nach der Anzahl und der Größe der Mädchenzimmer, in denen sie untergebracht werden. Das Jugendhotel teilt mit, dass alle 53 Schülerinnen in genau 20 Zimmern untergebracht werden. Es sind Zweibett- und Dreibettzimmer dabei. a) Kreuzen Sie das Gleichungssystem an, das den Sachverhalt der Aufgabe richtig darstellt! I x + y = 53 II 2x + 3y = 20 I x + y = 20 II 2x + 3y = 53 I x + y = 10 II 20x + 53y = 0 I 2x + 3y = x + y II 53 – 20 = 33 b) Schreiben Sie auf, wofür die Variablen x und y in dieser Aufgabe stehen. _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 08.01.2008 79 Prüfungsvorbereitungen: V. Gleichungssysteme 2005 (4 Punkte) 73. Fritz und Liese kaufen am Schulkiosk für sich und ihre Freunde ein. Fritz kauft sechs belegte Brötchen und vier Schokoriegel und bezahlt 8,10 €. Liese kauft fünf belegte Brötchen und drei Schokoriegel und bezahlt 6,55 €. Berechnen Sie, wie viel Euro Fritz und Liese von den Freunden für ein belegtes Brötchen und wie viel Euro sie für einen Schokoriegel kassieren müssen. 2004 (5 Punkte) 65. Für eine Vereinskasse wird Geld eingesammelt. Die Vereinsmitglieder geben nur 5-€und 10-€-Scheine. Schließlich ist mit 27 Geldscheinen ein Betrag von 210 € zusammen gekommen. Wie viele 5-€-Scheine und wie viele 10-€-Scheine sind in der Kasse? N 2004 (5 Punkte) 69. Auf dem Schulparkplatz wurden Autos und Fahrräder abgestellt, zusammen sind es 52 Fahrzeuge. Kai zählt insgesamt 192 Räder. Reserveräder hat er nicht mitgezählt. Wie viele Autos und wie viele Fahrräder stehen auf dem Parkplatz? P 2004 (7 Punkte) 60. Familie Schmied (2 Erwachsene und drei Kinder) besucht eine Zirkusvorstellung. Sie bezahlen 57 € Eintritt. Familie Meier mit 3 Erwachsenen und einem Kind bezahlt 54 € für Eintrittskarten der gleichen Preisklasse. Wie viel muss Frau Kleine für sich und ihre achtjährige Tochter bezahlen? 2003 (7 Punkte) 17. Familie Meier besucht eine Zirkusveranstaltung. Der Eintritt kostet für zwei Erwachsene und 2 Kinder zusammen 20 €. Herr Schmidt besucht mit seinen Kindern dieselbe Vorstellung. Er bezahlt für sich und seine 3 Kinder in derselben Preisklasse 17 €. Berechne, wie viel der Eintritt für einen Erwachsenen und wie viel der Eintritt für ein Kind kostet. _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 08.01.2008 80 Prüfungsvorbereitungen: V. Gleichungssysteme - Lösungen N 2006 (7 Punkte) 3. Eiscafé Im Eiscafé verzehren Susanne und ihre Freundinnen einen Erdbeerbecher und drei Portionen Spaghettieis für insgesamt 21 € . Susanne bezahlt für ihre Freundinnen mit. Als diese ihr das Geld zurückgeben wollen, weiß keine mehr die Einzelpreise. Susanne weiß nur noch, dass der Erdbeerbecher um 50 ct teurer ist als ein Spaghettieis und dass sie 70 ct Trinkgeld gegeben hat. Ermitteln Sie den Preis für einen Erdbeerbecher und den Preis für ein Spaghettieis. Dokumentieren Sie Ihren Lösungsweg. 2006 (6 Punkte) 7. Aufgabe Für ein Klassenfest soll Hans 24 Flaschen Saft und 12 Flaschen Mineralwasser für insgesamt 27,24 € einkaufen. Er verwechselt die Zahlen und kauft stattdessen 12 Flaschen Saft und 4 Flaschen Mineralwasser. Dadurch reduziert sich der Preis um 8,40 €. a) Entscheiden Sie bei jedem der Gleichungssysteme, ob es den Sachverhalt der Aufgabe richtig darstellt! 1) richtig falsch 2) richtig falsch I 24 x + 12 y = 12 x + 24 y I 24 x + 12 y = 27,24 II 27,24 – 8,40 = 18,84 II 12 x + 24 y = 18,84 3) richtig falsch 4) richtig falsch I 24 x + 12 y = 27,24 I 24 x + 12 y = 27,24 II 12 x + 24 y = 27,24 – 8,40 II 12 y + 24 x = 18,84 b) Was haben Sie berechnet, wenn Sie x bzw. y richtig ausgerechnet haben? Schreiben Sie genau auf, wofür die Variablen x und y in dieser Aufgabe stehen. x:___________________________________ y:__________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 81 Prüfungsvorbereitungen: V. Gleichungssysteme - Lösungen 2004 (5 Punkte) 65. Für eine Vereinskasse wird Geld eingesammelt. Die Vereinsmitglieder geben nur 5-€und 10-€-Scheine. Schließlich ist mit 27 Geldscheinen ein Betrag von 210 € zusammen gekommen. Wie viele 5-€-Scheine und wie viele 10-€-Scheine sind in der Kasse? Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a: Anzahl der 10-€-Scheine, b: Anzahl der 5-€-Scheine Ansatzgleichungen: a + b = 27; 10a + 5b = 210 Bestimmung von a: a = 15 Bestimmung von b: b = 12 Antwortsatz: Es sind 15 10-€- und 12 5-€-Scheine darin. 1 1 1 1 1 II III K3 L4 K5 K6 N 2004 (5 Punkte) 69. Auf dem Schulparkplatz wurden Autos und Fahrräder abgestellt, zusammen sind es 52 Fahrzeuge. Kai zählt insgesamt 192 Räder. Reserveräder hat er nicht mitgezählt. Wie viele Autos und wie viele Fahrräder stehen auf dem Parkplatz? Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I z. B. x: Anzahl der Autos, y: Anzahl der Fahrräder Ansatzgleichungen: x + y = 52; 4x + 2y = 192 Bestimmung von x: x = 44 Bestimmung von y: y = 8 Auf dem Parkplatz sind 44 Autos und 8 Fahrräder. 1 1 1 1 1 II III K3 L4 K5 K6 P 2004 (7 Punkte) 60. Familie Schmied (2 Erwachsene und drei Kinder) besucht eine Zirkusvorstellung. Sie bezahlen 57 € Eintritt. Familie Meier mit 3 Erwachsenen und einem Kind bezahlt 54 € für Eintrittskarten der gleichen Preisklasse. Wie viel muss Frau Kleine für sich und ihre achtjährige Tochter bezahlen? _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 82 Prüfungsvorbereitungen: V. Gleichungssysteme - Lösungen Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I Variablen festlegen und Gleichungssystem aufstellen I 2E + 3K = 57 II 3E + 1K = 54 Gleichungssystem lösen, z.B. rechnerisch mit Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren 1. Variable berechnen 2. Variable berechnen E = 15, K = 9 Gesamtpreis für Familien Kleine ausrechnen und Antwortsatz: z.B. Frau Kleine muss 24 € bezahlen. 1 1 L4 II III K3 K2 2 1 1 1 N 2005 (2 Punkte) 4. Zur Vorbereitung einer Studienfahrt der Klassen des 10. Jahrgangs erkundigen sich die Schülerinnen nach der Anzahl und der Größe der Mädchenzimmer, in denen sie untergebracht werden. Das Jugendhotel teilt mit, dass alle 53 Schülerinnen in genau 20 Zimmern untergebracht werden. Es sind Zweibett- und Dreibettzimmer dabei. a) Kreuzen Sie das Gleichungssystem an, das den Sachverhalt der Aufgabe richtig darstellt! I x + y = 53 II 2x + 3y = 20 I x + y = 20 II 2x + 3y = 53 I x + y = 10 II 20x + 53y = 0 I 2x + 3y = x + y II 53 – 20 = 33 b) Schreiben Sie auf, wofür die Variablen x und y in dieser Aufgabe stehen. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) I x + y = 20 (Zweites Kästchen) II 2x + 3y = 53 b) x entspricht der Anzahl der Zweibett-Zimmer y entspricht Anzahl der Dreibett-Zimmer 1 1 II III K3 L4 K3 2005 (4 Punkte) 73. Fritz und Liese kaufen am Schulkiosk für sich und ihre Freunde ein. Fritz kauft sechs belegte Brötchen und vier Schokoriegel und bezahlt 8,10 €. Liese kauft fünf belegte Brötchen und drei Schokoriegel und bezahlt 6,55 €. Berechnen Sie, wie viel Euro Fritz und Liese von den Freunden für ein belegtes Brötchen und wie viel Euro sie für einen Schokoriegel kassieren müssen. _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 83 Prüfungsvorbereitungen: V. Gleichungssysteme - Lösungen Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I Preis für 1 Brötchen → x ; Preis für 1 Schokoriegel → y I 6x + 4y = 8,10, II 5x + 3y = 6,55 Lösen des Gleichungssystems nach beliebiger Methode x = 0,95 y = 0,6 Ein belegtes Brötchen kostet 0,95 €, ein Schokoriegel kostet 0,60 €. II III 1 L4 K3 1 1 1 2003 (7 Punkte) 17. Familie Meier besucht eine Zirkusveranstaltung. Der Eintritt kostet für zwei Erwachsene und 2 Kinder zusammen 20 €. Herr Schmidt besucht mit seinen Kindern dieselbe Vorstellung. Er bezahlt für sich und seine 3 Kinder in derselben Preisklasse 17 €. Berechne, wie viel der Eintritt für einen Erwachsenen und wie viel der Eintritt für ein Kind kostet. Lösungsskizze x: Preis für einen Erwachsenen y: Preis für ein Kind Familie Meier: 2x + 2y = 20 Familie Schmidt : 1x + 3y = 17 1P 1P LGS lösen nach Additionsverfahren: I 2x + 2 y = 20 II x + 3y = 17 I 2x + 2y II -2x - 6y -4y y | · (-2) = 20 + = -34 = -14 = 3,50 → Einsetzen in II x + 3 · 3,50 = 17 x = 17 – 10,50 x = 6,50 Der Eintritt kostet für ein Kind 3,50 € und für einen Erwachsenen 6,50 €. 1P 1P 1P 1P 1P _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 84 Prüfungsvorbereitungen: VI. Trigonometrie N 2007 (5 Punkte) 4. Turm Die Spitze eines Turms befindet sich in einer Höhe von 30 m. In welcher Entfernung x vom Erdboden aus zum Turm sieht man die Spitze unter einem Winkel von 10°? a) Fertigen Sie eine Skizze an und beschriften Sie diese. b) Berechnen Sie x. 2007 (7 Punkte) 8. Hubschrauber Ein Hubschrauber fliegt in gleichbleibender Höhe von 600 Metern mit konstanter Geschwindigkeit über ebenes Gelände. Christian sieht den Hubschrauber erst unter einem Winkel von 40° zur Waagerechten. 15 Sekunden später befindet sich der Hubschrauber direkt über ihm. Christians Körpergröße kann dabei vernachlässigt werden. Fertigen Sie eine Skizze an und berechnen Sie die Geschwindigkeit des Hubschraubers! N 2006 (5 Punkte) 7. Aufgabe Vögel sind unterschiedlich gute Gleitflieger. Ihre Gleitflugfähigkeit wird durch die sogenannte Gleitzahl bewertet. Diese ist das Verhältnis (der Quotient) aus Höhenverlust und geflogener Strecke beim Gleiten ohne Flügelschlag. a) Welcher der angegebenen Vögel ist der beste Gleiter. Begründen Sie mit den Angaben aus der Tabelle! b) Bestimmen Sie für zwei Vogelarten den Gleitwinkel. c) Welche Flugweite (zurückgelegte Entfernung) erreicht eine Möwe, wenn sie während ihres Gleitfluges eine Höhe von 80 m überwindet? N 2006 (8 Punkte) 2. Aufgabe Ein gleichseitiges Dreieck ABC hat die Seitenlänge von 7cm. a) Konstruieren Sie dieses Dreieck. b) Beschreiben Sie eine Möglichkeit, wie man die Höhe hc bestimmen kann. c) Nun wird im Abstand von zwei Zentimetern eine Parallele zur Seite AB gezeichnet, welche die Seite AC im Punkt D schneidet. Berechnen Sie AD . _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 85 Prüfungsvorbereitungen: VI. Trigonometrie N 2005 (2 Punkte) 1. Bestimmen Sie, unter welchem Winkel die Gerade g mit der Gleichung y = 1 x + 1 die 3 x-Achse schneidet. 2005 (2 Punkte) 28. Bestimmen Sie den Steigungswinkel der Straße auf Grund der Prozentangabe. Runden Sie auf volle Grad. 2005 (3 Punkte) 45. Fritz behauptet: „Der Satz des Pythagoras ist nichts anderes als ein Spezialfall des Kosinussatzes.“ Hat er Recht? Begründen Sie Ihre Meinung. 2004 (5 Punkte) 19. Gegeben ist ein Dreieck mit γ = 90°, α = 55° und b = 5 cm. Bestimme die fehlenden Seitenlängen und Winkelgrößen. 2004 (6 Punkte) 20. Von einem Platz gehen unter einem Winkel von 55° zwei geradlinige Sackgassen von 380 m und 490 m Länge aus. Das Ende der Sackgassen soll durch einen geradlinigen Radweg verbunden werden. Fertige eine Skizze an. Welche Länge wird der Weg haben und in welchem Winkel trifft er auf die kürzere Sackgasse? N 2004 (5 Punkte) 25. Von einem gleichschenkligen Trapez ABCD sind gegeben: a = 5,3 cm, b = 7,2 cm und γ = 64,2° D Berechne die Länge der Strecke AF . F C γ d h A b a B _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 86 Prüfungsvorbereitungen: VI. Trigonometrie N 2004 (6 Punkte) 26. Die Ortschaft Althausen (A) ist von den Orten Birnbach (B) und Ceheim (C) durch einen Fluss getrennt. Um die Entfernungen (Luftlinie) von Althausen nach Birnbach und von Althausen nach Ceheim zu bestimmen, misst man die Entfernung von Birnbach nach Ceheim. Sie beträgt 5735 m. Weiter misst man folgende Winkel: ∠ ACB = 50° und ∠ CBA = 74°. Berechne die Entfernung von Althausen zu den beiden anderen Ortschaften. Vergiss die Skizze nicht. P 2004 (3 Punkte) 55. Von einem beliebigen Dreieck sind die Seiten b und c und der eingeschlossene Winkel α gegeben. Beschreibe, wie du vorgehen würdest, um die Seite a und die beiden anderen Winkel (β und γ) zu berechnen. 2003 (4 Punkte) 14. Eine 6 Meter lange Leiter wird so an eine Wand gestellt, dass der Winkel zwischen Leiter und Erdboden zur Wand hin 70° groß ist. Fertige eine Skizze an und berechne, bis zu welcher Höhe die Leiter reicht. 2003 (7Punkte) 19. Berechne die Länge der Höhe h! ….. (5 Punkte) 32. Gegeben sei ein Dreieck mit γ = 90°, α = 55° und c = 7,9 cm. Bestimme die fehlenden Größen (Winkel und Seiten). …. (4 Punkte) 35. Die Holme einer Stehleiter sind 2,50 m lang. Beim Aufstellen bilden die Holme einen Winkel von 45°. Wie hoch reicht die Leiter? _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 87 Prüfungsvorbereitungen: VI. Trigonometrie …. (10 Punkte) 36. Für den Bau eines Skiliftes zwischen den Stationen A und C liegen folgende Vermessungsergebnisse vor: AB hat eine Länge von 762 m, α = 29°, β = 8° und δ = 160° a) Berechne die Länge des Skiliftes ( AC ) und den Höhenunterschied, den der Lift überwindet. b) Der Lift soll in 10 Sekunden durchschnittlich 17 Meter zurücklegen. Wie lange wird eine Fahrt mit dem Lift dauern? Gib das Ergebnis in Minuten an. C α δ A β B …. (4 Punkte) 64. a) Bestimme die Steigung m der Geraden g. b) Begründe: Für den Steigungswinkel α gilt Berechne den Steigungswinkel. tan α = m . y 6 g 5 4 3 2 1 α -4 -3 -2 -1 1 2 x -1 -2 -3 _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 88 Prüfungsvorbereitungen: VI. Trigonometrie - Lösungen N 2007 (5 Punkte) 4. Turm Die Spitze eines Turms befindet sich in einer Höhe von 30 m. In welcher Entfernung x vom Erdboden aus zum Turm sieht man die Spitze unter einem Winkel von 10°? a) Fertigen Sie eine Skizze an und beschriften Sie diese. b) Berechnen Sie x. 2007 (7 Punkte) 8. Hubschrauber Ein Hubschrauber fliegt in gleichbleibender Höhe von 600 Metern mit konstanter Geschwindigkeit über ebenes Gelände. Christian sieht den Hubschrauber erst unter einem Winkel von 40° zur Waagerechten. 15 Sekunden später befindet sich der Hubschrauber direkt über ihm. Christians Körpergröße kann dabei vernachlässigt werden. Fertigen Sie eine Skizze an und berechnen Sie die Geschwindigkeit des Hubschraubers! _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 89 Prüfungsvorbereitungen: VI. Trigonometrie - Lösungen N 2006 (5 Punkte) 7. Aufgabe Vögel sind unterschiedlich gute Gleitflieger. Ihre Gleitflugfähigkeit wird durch die sogenannte Gleitzahl bewertet. Diese ist das Verhältnis (der Quotient) aus Höhenverlust und geflogener Strecke beim Gleiten ohne Flügelschlag. a) Welcher der angegebenen Vögel ist der beste Gleiter. Begründen Sie mit den Angaben aus der Tabelle! b) Bestimmen Sie für zwei Vogelarten den Gleitwinkel. c) Welche Flugweite (zurückgelegte Entfernung) erreicht eine Möwe, wenn sie während ihres Gleitfluges eine Höhe von 80 m überwindet? N 2006 (8 Punkte) 2. Aufgabe Ein gleichseitiges Dreieck ABC hat die Seitenlänge von 7cm. a) Konstruieren Sie dieses Dreieck. b) Beschreiben Sie eine Möglichkeit, wie man die Höhe hc bestimmen kann. c) Nun wird im Abstand von zwei Zentimetern eine Parallele zur Seite AB gezeichnet, welche die Seite AC im Punkt D schneidet. Berechnen Sie AD . _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 90 Prüfungsvorbereitungen: VI. Trigonometrie - Lösungen 2004 (5 Punkte) 19. Gegeben ist ein Dreieck mit γ = 90°, α = 55° und b = 5 cm. Bestimme die fehlenden Seitenlängen und Winkelgrößen. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I β = 180° – (90° +55°) = 35° (oder β = 90° – 55° = 35°) Das Dreieck ist rechtwinklig: cos α = b/c c = 8,7 cm sin α = a/c a = c·sin α = 7,1 cm (Andere Wege sind möglich) 1 1 1 1 1 II III K2 L2 K5 K2 K5 2004 (6 Punkte) 20. Von einem Platz gehen unter einem Winkel von 55° zwei geradlinige Sackgassen von 380 m und 490 m Länge aus. Das Ende der Sackgassen soll durch einen geradlinigen Radweg verbunden werden. Fertige eine Skizze an. Welche Länge wird der Weg haben und in welchem Winkel trifft er auf die kürzere Sackgasse? Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I Skizze Kosinussatz: x² = 380² + 490² – 2 · 380 · 490 · cos 55° x ≈ 413,4 sin 55° sin γ Sinussatz: = 413,4 490 γ ≈ 76° Antwortsatz: Der Radweg hat eine Länge von 413,4 m und trifft in einem Winkel von 76° auf die kürzere Sackgasse. 1 1 1 L2 II III K3 K5 K3 1 1 K5 K6 1 N 2004 (5 Punkte) 25. Von einem gleichschenkligen Trapez ABCD sind gegeben: a = 5,3 cm, b = 7,2 cm und γ = 64,2° Berechne die Länge der Strecke AF . F D C γ d h A b a B _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 91 Prüfungsvorbereitungen: VI. Trigonometrie - Lösungen Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I Es gilt ∠ADF = γ (Das Trapez ist gleichschenklig) Das Dreieck AFD ist rechtwinklig. sin γ = II III 1 1 AF 1 AD AF = AD ⋅ sin γ 1 AF ≈ 6,5 cm 1 L2 K2 N 2004 (6 Punkte) 26. Die Ortschaft Althausen (A) ist von den Orten Birnbach (B) und Ceheim (C) durch einen Fluss getrennt. Um die Entfernungen (Luftlinie) von Althausen nach Birnbach und von Althausen nach Ceheim zu bestimmen, misst man die Entfernung von Birnbach nach Ceheim. Sie beträgt 5735 m. Weiter misst man folgende Winkel: ∠ ACB = 50° und ∠ CBA = 74°. Berechne die Entfernung von Althausen zu den beiden anderen Ortschaften. Vergiss die Skizze nicht. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I Skizze Innenwinkelsatz: α = 180° – ( 50° + 74°) = 56° Berechnungen mit dem Sinussatz sin 56 ° sin 50 ° , AB ≈ 5300 = 5735 AB sin 56° sin 74° , = 5735 AC 1 1 1 III K3 K5 K3 1 L2 AC ≈ 6650 Der Weg von Althausen nach Birnbach beträgt ca. 5300 m und der Weg von Althausen nach Ceheim etwa 6650 m. (Kleine Abweichungen durch Rundungen sind möglich.) II K5 1 K6 1 N 2005 (2 Punkte) 1. Bestimmen Sie, unter welchem Winkel die Gerade g mit der Gleichung y = 1 x + 1 die 3 x-Achse schneidet. _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 92 Prüfungsvorbereitungen: VI. Trigonometrie - Lösungen Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I tan α = 1 1 3 α = 18,4 ° 1 II III L1, L3 K1 Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich 2005 (2 Punkte) 28. Bestimmen Sie den Steigungswinkel der Straße auf Grund der Prozentangabe. Runden Sie auf volle Grad. Lösungsskizze BE I tan α = 23 100 II III 1 L2 ⇒ α ≈ 13° K2 1 2005 (3 Punkte) 45. Fritz behauptet: „Der Satz des Pythagoras ist nichts anderes als ein Spezialfall des Kosinussatzes.“ Hat er Recht? Begründen Sie Ihre Meinung. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I Fritz hat Recht. Der Spezialfall ist das rechtwinklige Dreieck. Ein Winkel ist 90° groß, z. B. γ . Es gilt: cos 90° = 0 . Es ergibt sich im Kosinussatz c 2 = a 2 + b 2 − 2ab ⋅ cos 90° = a 2 + b 2 − 0 , und das ist der Satz des Pythagoras. II III 1 L1, L3 K1 1 1 P 2004 (3 Punkte) 55. Von einem beliebigen Dreieck sind die Seiten b und c und der eingeschlossene Winkel α gegeben. Beschreibe, wie du vorgehen würdest, um die Seite a und die beiden anderen Winkel (β und γ) zu berechnen. _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 93 Prüfungsvorbereitungen: VI. Trigonometrie - Lösungen Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I - Seite a mit Hilfe des Kosinussatzes 1 - zweiter Winkel mit Hilfe des Sinus- oder Kosinussatzes 1 - dritten Winkel über Summe der Innenwinkel im Dreieck oder mit Hilfe des Sinus- oder Kosinussatzes Von den Schülerinnen und Schülern wird nur ein Weg erwartet. 1 L3 II III K2 K6 2003 (4 Punkte) 14. Eine 6 Meter lange Leiter wird so an eine Wand gestellt, dass der Winkel zwischen Leiter und Erdboden zur Wand hin 70° groß ist. Fertige eine Skizze an und berechne, bis zu welcher Höhe die Leiter reicht. Lösungsskizze Skizze 2P h 6m · 70° sin 70° = h 6m h = sin 70° · 6 m h = 5,64 m 2P 2003 (7Punkte) 19. Berechne die Länge der Höhe h! _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 94 Prüfungsvorbereitungen: VI. Trigonometrie - Lösungen Lösungsskizze γ: 3. Winkel im rechten Dreieck x: Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks Berechnung von γ: γ = 180° - 110° - 15° = 55° 1P Sinussatz im nichtrechtwinkligen Dreieck: sin 110° x = sin 55° 200 m x = 229,4 m 3P Definition von Sinus im rechtwinkligen Dreieck: h = sin15° x ≈ 59,4 m Die Höhe hat die Länge von 59,4 m. 3P ….. (5 Punkte) 32. Gegeben sei ein Dreieck mit γ = 90°, α = 55° und c = 7,9 cm. Bestimme die fehlenden Größen (Winkel und Seiten). Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I β = 180° - ( 90° +55°) = 35° oder β = 90° - 55° = 35° sin α = a ; c a = c · sin cos α = α = 6,5; a = 6,5 cm b ; c b = c · cos α = 4,5; b = 4,5 cm diverse andere Wege möglich II III 1 1 1 1 1 L2 K1 …. (4 Punkte) 35. Die Holme einer Stehleiter sind 2,50 m lang. Beim Aufstellen bilden die Holme einen Winkel von 45°. Wie hoch reicht die Leiter? _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 95 Prüfungsvorbereitungen: VI. Trigonometrie - Lösungen Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I cos γ = h 2 II III 1 l h = 2,50 · cos 45° 2 1 h = 2,31 Die Leiter reicht 2,31 m hoch. Lösung auch mit Kosinussatz und Pythagoras möglich. L2 K3 1 1 …. (10 Punkte) 36. Für den Bau eines Skiliftes zwischen den Stationen A und C liegen folgende Vermessungsergebnisse vor: AB hat eine Länge von 762 m, α = 29°, β = 8° und δ = 160° a) Berechne die Länge des Skiliftes ( AC ) und den Höhenunterschied, den der Lift überwindet. b) Der Lift soll in 10 Sekunden durchschnittlich 17 Meter zurücklegen. Wie lange wird eine Fahrt mit dem Lift dauern? Gib das Ergebnis in Minuten an. C α δ A β B Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) Im Dreieck ABC gilt γ = 180° - ( 160° + 8° ) = 12 ° AB sin γ = AC AB sin γ III 1 1 sin β AC = II ⋅ sin β = 510,07 Die Länge des Skiliftes beträgt 510,07 m. sin α = h AC h = AC · sin α Der Lift überwindet einen Höhenunterschied von 247,29 m. b) Der Lift legt in einer Minute 6 · 17 m = 102 m zurück. 510,07 m : 102 m = 5,00. Der Lift benötigt 5 Minuten. 1 1 K2 L2 1 1 1 1 1 1 L3 K5 K5 K2 _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 96 Prüfungsvorbereitungen: VI. Trigonometrie - Lösungen …. (4 Punkte) 64. a) Bestimme die Steigung m der Geraden g. b) Begründe: Für den Steigungswinkel α gilt Berechne den Steigungswinkel. tan α = m . y 6 g 5 4 3 2 1 α -4 -3 -2 -1 1 2 x -1 -2 -3 Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I II III K5 a) m = 3 1 2 b) m ist im Steigungsdreieck definiert als y − ya m = ∆y = b . ∆x xb − x a Und im rechtwinkligen Dreieck ABC gilt tan α = y b − y a . xb − x a tan α = 3 ⇒ α = 56,3° K1 1 1 L4 1 K5 2 _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 97 Prüfungsvorbereitungen: VII. Körperberechnungen N 2007 (12 Punkte) 6. Umkleidekabinen (12 Punkte) In einem Einkaufscenter werden Umkleidekabinen benötigt. Man entscheidet sich für nebenstehende Form und lässt die Hülle aus Stoff nähen. Der Durchmesser jeder Kabine soll 1,20 m, ihre Gesamthöhe 2,50 m betragen. Der aufgesetzte Kegel ist aber nur 0,60 m hoch. a) Wie viel Raum nimmt eine aufgestellte Kabine insgesamt ein? b) Wie viel m² Stoff werden für zwei Kabinen benötigt, wenn mit 20 % Verschnitt gerechnet werden muss? 2007 (8 Punkte) 10. Würfel Die Volumina von drei würfelförmigen Kartons verhalten sich wie 1 : 2 : 3. Das Volumen des kleinsten Kartons beträgt 15625 cm³. Schreiben Sie jeweils den Lösungsweg auf. a) Berechnen Sie die Kantenlänge des kleinsten Kartons. b) Berechnen Sie das Volumen des mittleren Kartons. c) Berechnen Sie die Oberfläche des größten Kartons. Runden Sie auf ganze cm². d) Ist die Zuordnung „Kantenlänge eines Würfels → Volumen eines Würfels“ eine Funktion? Begründen Sie. N 2006 (7 Punkte) 4. Aufgabe Der Kelch des abgebildeten Glases ist 11 cm hoch und hat einen oberen Durchmesser von 5,5 cm. a) Eine Flasche Orangensaft (Inhalt 0,7 l ) soll in 8 der Gläser verteilt werden. Passt der gesamte Inhalt der Flasche in 8 derartige Gläser hinein, wenn nichts überlaufen soll? Begründen Sie! b) Berechnen Sie, wie viel Liter Orangensaft in ein solches Glas passt, wenn es bis 1 cm unter den Rand gefüllt wird. _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 98 Prüfungsvorbereitungen: VII. Körperberechnungen 2006 (6 Punkte) 5. Aufgabe Um die Heizkosten zu schätzen, wird ermittelt, wie groß der „umbaute Raum“, d. h. das Volumen eines Gebäudes ist. Das abgebildete „Nur-Dach-Haus“ ist 6 m breit, 10 m lang und bis zur Spitze des Daches 7,30 m hoch. a) Wie groß ist der umbaute Raum, wenn die Dicke der Wände nicht berücksichtigt wird? b) Berechnen Sie die Größe des Winkels an der Spitze des Daches. 2005 (3 Punkte) 30. Ein Tennisverein baut für den Spielbetrieb in den Wintermonaten eine Traglufthalle in Form eines halben Zylinders. Die Halle ist 10 m breit und 60 m lang. Berechnen Sie die Größe des Innenraumes. 2005 (4 Punkte) 27. In einer Großküche gibt es zum Verteilen von Suppe eine halb-kugelförmige Schöpfkelle mit einem Durchmesser von 13 cm. a) Wie viel Kubikzentimeter Suppe passen annähernd in diese Kelle? Runden Sie auf eine ganze Zahl. b) Geben Sie Ihr Ergebnis in Litern an. 2005 (3 Punkte) 3. Skizzieren Sie alle Möglichkeiten, wie ein quaderförmiges Stück Butter mit einem Schnitt in zwei gleich große Quader geteilt werden kann. 2004 (5 Punkte) 17. Ein Würfel aus Knetmasse mit der Kantenlänge a = 10 cm wird vollständig zu einer Kugel umgeformt. Wie groß ist der Radius der entstehenden Kugel und wie groß sind die Oberflächen der beiden Körper? _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 99 Prüfungsvorbereitungen: VII. Körperberechnungen 2004 (6 Punkte) 18. Suse wird in die erste Klasse eingeschult. Die Schultüte will ihre Mutter selber aus Pappe basteln. Die kegelförmige Tüte soll eine Höhe von 70 cm und oben an der Öffnung einen Durchmesser von 20 cm haben. Fertige eine Skizze an. Wie viel Quadratmeter Pappe werden ohne Berücksichtigung von Klebeflächen benötigt? N 2004 (5 Punkte) 21. Die Theater-AG will das Märchen „Der Froschkönig“ aufführen. Dafür wird eine Goldkugel gebraucht. Fritz soll deshalb eine Holzkugel (d = 15 cm) mit goldener Farbe anstreichen. Damit die Farbe richtig deckt, muss er sie zweimal auftragen. Im Farbengeschäft gibt es Dosen, deren Inhalt für 20 dm² reicht, zum Preis von 14,95 € und Dosen für 5 dm² zum Preis von 4,95 €. Berechne und gib eine Kaufempfehlung ab. N 2004 (6 Punkte) 23. Eine rechtwinklige Treppe mit drei gleich hohen Stufen und den angegebenen Maßen wird in einem Stück aus Beton gefertigt. a) Wie schwer ist die Treppe, wenn die Dichte g des verwendeten Betons ρ = 2,1 3 beträgt. cm b) Die Treppe wird mit einem Teppich belegt. Berechne die Fläche des Teppichs. (Skizze nicht maßstäblich) 51 90 cm 1m P 2004 (4Punkte) 22. Im Märchen „Der Froschkönig“ spielt eine Königstochter Fangen mit einer Kugel aus g Gold (Dichte ρ = 19,3 ). Ist das möglich, wenn es sich dabei um eine massive cm ³ Kugel mit einem Durchmesser von 10 cm handelt. Begründe! P 2004 (3 Punkte) 31. Eine Regenrinne aus Blech hat die Form eines halben Zylinders. Der innere Durchmesser beträgt 15 cm. a) Wie viel Liter Wasser fasst die Rinne pro 1 m Länge? b) Um wie viel Prozent erhöht sich die Aufnahmefähigkeit der Rinne pro 1 m Länge, wenn der Durchmesser um 5 cm vergrößert wird? _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 100 Prüfungsvorbereitungen: VII. Körperberechnungen P 2004 (4 Punkte) 50. a) Welcher Körper entsteht beim Zusammenfalten der Abwicklung? b) Welche weiteren Größen brauchst du zur Berechnung des a Volumens und wie erhältst du sie? a (Alle Strecken haben die Länge a.) a 2003 (7 Punkte) 13. Eine Grundfläche einer Pyramide ist ein Quadrat, jede Kante der skizzierten Pyramide misst 12 cm. a) Berechne den Flächeninhalt der Grundfläche ABCD. b) Bestimme den Flächeninhalt einer der dreieckigen Seitenflächen. Erkläre, wie du deine Antwort gefunden hast. 2003 (6 Punkte) 16. Aus einem Stahlkegel mit dem Durchmesser 20 cm und der Höhe 2 m werden durch Umschmelzen Kugeln von 5 cm Radius hergestellt. Berechne, wie viele Kugeln man erhält. (Zur Erinnerung: 1 4 VKegel = πr²h, VKugel = πr³ ) 3 3 …. (4 Punkte) 52. a) Aus welchen Körpern besteht ein zusammengesetzter Körper, dessen Volumen mit der 1 2 Formel V = πr 2 h + πr 3 berechnet wurde? 3 3 b) Skizziere einen solchen zusammengesetzten Körper (mehrere Möglichkeiten). c) Nenne einen Gegenstand, der diese Form hat. _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 101 Prüfungsvorbereitungen: VII. Körperberechnungen - Lösungen N 2007 (12 Punkte) 6. Umkleidekabinen (12 Punkte) In einem Einkaufscenter werden Umkleidekabinen benötigt. Man entscheidet sich für nebenstehende Form und lässt die Hülle aus Stoff nähen. Der Durchmesser jeder Kabine soll 1,20 m, ihre Gesamthöhe 2,50 m betragen. Der aufgesetzte Kegel ist aber nur 0,60 m hoch. a) Wie viel Raum nimmt eine aufgestellte Kabine insgesamt ein? b) Wie viel m² Stoff werden für zwei Kabinen benötigt, wenn mit 20 % Verschnitt gerechnet werden muss? 2007 (8 Punkte) 10. Würfel Die Volumina von drei würfelförmigen Kartons verhalten sich wie 1 : 2 : 3. Das Volumen des kleinsten Kartons beträgt 15625 cm³. Schreiben Sie jeweils den Lösungsweg auf. a) Berechnen Sie die Kantenlänge des kleinsten Kartons. b) Berechnen Sie das Volumen des mittleren Kartons. c) Berechnen Sie die Oberfläche des größten Kartons. Runden Sie auf ganze cm². d) Ist die Zuordnung „Kantenlänge eines Würfels → Volumen eines Würfels“ eine Funktion? Begründen Sie. _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 102 Prüfungsvorbereitungen: VII. Körperberechnungen - Lösungen N 2006 (7 Punkte) 4. Aufgabe Der Kelch des abgebildeten Glases ist 11 cm hoch und hat einen oberen Durchmesser von 5,5 cm. a) Eine Flasche Orangensaft (Inhalt 0,7 l ) soll in 8 der Gläser verteilt werden. Passt der gesamte Inhalt der Flasche in 8 derartige Gläser hinein, wenn nichts überlaufen soll? Begründen Sie! b) Berechnen Sie, wie viel Liter Orangensaft in ein solches Glas passt, wenn es bis 1 cm unter den Rand gefüllt wird. 2006 (6 Punkte) 5. Aufgabe Um die Heizkosten zu schätzen, wird ermittelt, wie groß der „umbaute Raum“, d. h. das Volumen eines Gebäudes ist. Das abgebildete „Nur-Dach-Haus“ ist 6 m breit, 10 m lang und bis zur Spitze des Daches 7,30 m hoch. a) Wie groß ist der umbaute Raum, wenn die Dicke der Wände nicht berücksichtigt wird? b) Berechnen Sie die Größe des Winkels an der Spitze des Daches. _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 103 Prüfungsvorbereitungen: VII. Körperberechnungen - Lösungen 2004 (5 Punkte) 17. Ein Würfel aus Knetmasse mit der Kantenlänge a = 10 cm wird vollständig zu einer Kugel umgeformt. Wie groß ist der Radius der entstehenden Kugel und wie groß sind die Oberflächen der beiden Körper? Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I Ansatz VW = VKu: 1000 = 4 ·πr³ 3 Auflösen: r ≈ 6,2 cm OKu = 4πr² ≈ 483 cm² OW = 6a² = 600 cm² Antwortsatz: Die Oberfläche des Würfels beträgt 600 cm², die der Kugel mit r ≈ 6,2 cm beträgt ca. 483 cm². 1 1 1 1 1 II III K3 K5 L2 K5 K6 2004 (6 Punkte) 18. Suse wird in die erste Klasse eingeschult. Die Schultüte will ihre Mutter selber aus Pappe basteln. Die kegelförmige Tüte soll eine Höhe von 70 cm und oben an der Öffnung einen Durchmesser von 20 cm haben. Fertige eine Skizze an. Wie viel Quadratmeter Pappe werden ohne Berücksichtigung von Klebeflächen benötigt? _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 104 Prüfungsvorbereitungen: VII. Körperberechnungen - Lösungen Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I Skizze Die Fläche des Kegelmantels muss berechnet werden: M = π · r · s, gegeben: h, d = 2r Berechne s mit dem Satz des Pythagoras: s² = r² + h² s = 70,7 cm M ≈ π · 10 cm · 70,7 cm ≈ 2221 cm² Antwortsatz: Zur Herstellung der Schultüte benötigt die Mutter ungefähr 0,22 m² Pappe. II III 1 K3 1 1 1 1 L2 K5 K6 1 N 2004 (5 Punkte) 21. Die Theater-AG will das Märchen „Der Froschkönig“ aufführen. Dafür wird eine Goldkugel gebraucht. Fritz soll deshalb eine Holzkugel (d = 15 cm) mit goldener Farbe anstreichen. Damit die Farbe richtig deckt, muss er sie zweimal auftragen. Im Farbengeschäft gibt es Dosen, deren Inhalt für 20 dm² reicht, zum Preis von 14,95 € und Dosen für 5 dm² zum Preis von 4,95 €. Berechne und gib eine Kaufempfehlung ab. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I Kugeloberfläche: O = 4πr² ≈ 706,9 cm² Zwei Anstriche: 2 · O = 1413,8 cm² 1413,8 cm² = 14,138 dm² Möglichkeit 1: eine große Dose für 14,95 € Möglichkeit 2: 3 · 5 dm² = 15 dm², drei kleinen Dosen für 3 · 4,95 € = 14,85 € Antwortsatz: Fritz soll die große teuere Dose kaufen. Sie kostet nur 10 Cents mehr und die Farbe ist nicht so knapp. Oder: Fritz soll drei kleine Dosen kaufen.. 1 1 1 II III K3 K2 L2 1 K5 1 K6 N 2004 (6 Punkte) 23. Eine rechtwinklige Treppe mit drei gleich hohen Stufen und den angegebenen Maßen wird in einem Stück aus Beton gefertigt. a) Wie schwer ist die Treppe, wenn die Dichte g des verwendeten Betons ρ = 2,1 3 beträgt. cm b) Die Treppe wird mit einem Teppich belegt. Berechne die Fläche des Teppichs. (Skizze nicht maßstäblich) 51 90 cm 1m _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 105 Prüfungsvorbereitungen: VII. Körperberechnungen - Lösungen Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) Lösungsansatz: Zerlegung des Körpers in Teilkörper z. B. V1=100 · 90 · 17, V2 =100 · 60 · 17, V3 =100 · 30 · 17 Gesamtvolumen V = 306000 cm³ (≈ 0,31 m³) Masse m = 306000 · 2,1 g = 642600 g Antwortsatz: Die Treppe wiegt 642,6 kg. b) Treppenfläche: A = 1 · (0,9 + 0,51) m² ≈ 1,41 m² 1 1 1 1 1 1 II III K3 K5 L2 K6 K6 P 2004 (4 Punkte) 22. Im Märchen „Der Froschkönig“ spielt eine Königstochter Fangen mit einer Kugel aus g Gold (Dichte ρ = 19,3 ) . Ist das möglich, wenn es sich dabei um eine massive cm ³ Kugel mit einem Durchmesser von 10 cm handelt. Begründe! Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I Kugelvolumen mit r = 5 cm berechnen V = 523,600 cm³ Masse berechnen und in kg angeben: Masse = 10,105 kg Entscheidung und Begründung: Es ist nicht möglich, weil die Kugel zu schwer ist. 1 1 1 1 II III L2 K2 K1 P 2004 (3 Punkte) 31. Eine Regenrinne aus Blech hat die Form eines halben Zylinders. Der innere Durchmesser beträgt 15 cm. a) Wie viel Liter Wasser fasst die Rinne pro 1 m Länge? b) Um wie viel Prozent erhöht sich die Aufnahmefähigkeit der Rinne pro 1 m Länge, wenn der Durchmesser um 5 cm vergrößert wird? Lösungsskizze BE a) Volumen des halben Zylinders (r=7,5 cm , h=100 cm) in Liter angeben V1 = 8,836 l b) Volumen des halben Zylinders (r=10 cm, h=100 cm) in Liter angeben V2 = 15,708 l 1 Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I Berechnung des Prozentsatzes (z.B. 15,708 ≈ 1,78 ) 8,836 Erhöhung der Aufnahmefähigkeit um 78% 1 1 1 L2 II III K3 K3 1 1 _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 106 Prüfungsvorbereitungen: VII. Körperberechnungen - Lösungen P 2004 (4 Punkte) 50. a) Welcher Körper entsteht beim Zusammenfalten der Abwicklung? b) Welche weiteren Größen brauchst du zur Berechnung des Volumens und wie erhältst du sie? (Alle Strecken haben die Länge a.) a a a Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) Es entsteht eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche. b) Benötigt wird die Körperhöhe. Satz von Pythagoras zweimal anwenden! Höhe hs in der Seitenfläche – gleichseitiges Dreieck – bestimmen Körperhöhe mit hs und 1 a bestimmen 2 1 1 1 1 Muss nicht ange- II III K4 K2 L3 geben werden. 2005 (3 Punkte) 30. Ein Tennisverein baut für den Spielbetrieb in den Wintermonaten eine Traglufthalle in Form eines halben Zylinders. Die Halle ist 10 m breit und 60 m lang. Berechnen Sie die Größe des Innenraumes. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I Die Halle hat die Form eines halben Zylinders mit r = 5 m und h = 60 m. 1 1 VHZ = ⋅ π ⋅ r 2 ⋅ h ; VHZ = ⋅ π ⋅ 5 2 ⋅ 60 ; 2 2 VHZ ≈ 2356,19 Die Halle hat ein Volumen von ungefähr 2356 m³. 1 L2 II III K3 1 1 _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 107 Prüfungsvorbereitungen: VII. Körperberechnungen - Lösungen 2005 (4 Punkte) 27. In einer Großküche gibt es zum Verteilen von Suppe eine halb-kugelförmige Schöpfkelle mit einem Durchmesser von 13 cm. a) Wie viel Kubikzentimeter Suppe passen annähernd in diese Kelle? Runden Sie auf eine ganze Zahl. b) Geben Sie Ihr Ergebnis in Litern an. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) Volumen der Halbkugel VHK mit r = d 2 = 6,5 cm 2 2 VHK = ⋅ π ⋅ r 3 ; VHK = ⋅ π ⋅ 6,5 3 ; VHK ≈ 575,17 3 3 In die Schöpfkelle passen ungefähr 575 cm³ Suppe. b) 575 cm³ = 0,575 dm³ = 0,575 l II III 1 1 L2 1 1 K3 K5 2005 (3 Punkte) 3. Skizzieren Sie alle Möglichkeiten, wie ein quaderförmiges Stück Butter mit einem Schnitt in zwei gleich große Quader geteilt werden kann. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I (Je 1 Punkt für einen richtigen Schnitt.) Eine Skizze reicht aus. Die drei Schnitte können auch in drei einzelne Quader gelegt werden. Es kann eine andere Perspektive gewählt werden L3 II III K4 3 _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 108 Prüfungsvorbereitungen: VII. Körperberechnungen - Lösungen 2003 (7 Punkte) 13. Eine Grundfläche einer Pyramide ist ein Quadrat, jede Kante der skizzierten Pyramide misst 12 cm. a) Berechne den Flächeninhalt der Grundfläche ABCD. b) Bestimme den Flächeninhalt einer der dreieckigen Seitenflächen. Erkläre, wie du deine Antwort gefunden hast. Lösungsskizze a. G = 144 cm² b. Der Satz des Pythagoras in einem Dreieck mit den Katheten a/2 = 6 cm und der gesuchten Seitenhöhe ha und der Hypothenuse s = 12 cm liefert zuerst ha: 144 = 36 + ha² | - 36 108 = ha² |√ 10,4 = ha (in cm) 1P 2P 2P Dreiecksfläche: F = 0,5 · a · ha F = 62,4 cm² 2P _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 109 Prüfungsvorbereitungen: VII. Körperberechnungen - Lösungen 2003 (6 Punkte) 16. Aus einem Stahlkegel mit dem Durchmesser 20 cm und der Höhe 2 m werden durch Umschmelzen Kugeln von 5 cm Radius hergestellt. Berechne, wie viele Kugeln man erhält. (Zur Erinnerung: 1 4 VKegel = πr²h, VKugel = πr³ ) 3 3 Lösungsskizze n: Anzahl der Kugeln Alles wird in cm gerechnet. 1 1 VKegel = πr²h = · π ·100 · 200 3 3 20000 π = 20944 = 3 VKugel = n = 2P 4 4 πr³ = n· · π ·125 3 3 500 · n · π = 523,6 3 Gleichsetzen und nach n auflösen: 20000 500 π= · n · π ⇔ n = 40 3 3 2P 2P (Kürzere Alternative: …. (4 Punkte) 52. a) Aus welchen Körpern besteht ein zusammengesetzter Körper, dessen Volumen mit der 1 2 Formel V = πr 2 h + πr 3 berechnet wurde? 3 3 b) Skizziere einen solchen zusammengesetzten Körper (mehrere Möglichkeiten). c) Nenne einen Gegenstand, der diese Form hat. _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 110 Prüfungsvorbereitungen: VII. Körperberechnungen - Lösungen Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) Kegel und Halbkugel mit gleichem Radius b) Handskizze genügt, Kegel und Halbkugel mit gleichgroßen Radien müssen erkennbar sein. c) Stehaufmännchen, Senklot, Boje, Eistüte mit Eishalbkugel .... (Ein Gegenstand genügt.) II III 1 2 L3 K4 1 _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 111 Prüfungsvorbereitungen: VIII. Geometrie, Pythagoras, Flächenberechnungen 2007 (8 Punkte) 3. Laser Auf einer Baustelle werden Vermessungsarbeiten mit einem Laser durchgeführt. Dabei steht der Laser in 15 m Entfernung von einem 8 m hohen Schornstein auf einem Gestell in 1,60 m Höhe. In welchem Winkel zur Waagerechten muss der Laserstrahl ausgerichtet werden, damit er genau die Spitze des Schornsteins trifft? Fertigen Sie eine beschriftete Skizze an, konstruieren Sie das Dreieck in einem geeigneten Maßstab und ermitteln Sie durch Messen die gesuchte Größe. N 2006 (5 Punkte) 3. Aufgabe Für Dekorationszwecke werden Quadrate mit der Seitenlänge von 12,5 cm und Kreise mit gleichen Flächeninhalten benötigt. a) Ermitteln Sie den Durchmesser der Kreise. b) Die rechteckigen Blätter, aus denen die Flächen ausgeschnitten werden sollen, haben eine Größe von 42 x 30 cm. Wie viele solcher Blätter sind mindestens nötig, um 10 Quadrate auszuschneiden? Skizzieren Sie. 2006 (6 Punkte) 6. Aufgabe Gegeben sind die Punkte A(–2|2) und B(4|2). a) Tragen Sie die Punkte in ein Koordinatensystem ein. b) Bestimmen Sie einen Punkt C mit ganzzahligen Koordinaten so, dass ein rechtwinkliges Dreieck ABC entsteht. c) Berechnen Sie die Länge der Hypotenuse und die Länge einer der beiden Katheten des entstandenen Dreiecks. N 2005 (3 Punkte) 29. Bei einem Sturm wurde eine Kiefer 3,5 m über dem Boden abgeknickt, wobei die Baumspitze 11,9 m vom Stamm entfernt aufschlug. Berechnen Sie, wie hoch die Kiefer war. N 2005 (4 Punkte) 44. Gegeben sind die Punkte A (–3|3) und B (5|3). a) Bestimmen Sie einen Punkt C so, dass die Punkte A, B und C ein gleichschenkliges Dreieck ergeben. b) Berechnen Sie alle Innenwinkel des entstandenen Dreiecks. _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 112 Prüfungsvorbereitungen: VIII. Geometrie, Pythagoras, Flächenberechnungen N 2005 (3 Punkte) 47. In welchem Verhältnis stehen der Flächeninhalt eines Quadrates zu dem eines Kreises, wenn ihre Umfänge übereinstimmen? Begründen Sie. 2005 (2 Punkte) 6. Der Durchmesser des großen Kreises beträgt 4 cm. Berechnen Sie den Flächeninhalt der grau gefärbten Figur. Geben Sie das Ergebnis auf ganze cm² gerundet an. M1 M2 M 2005 (4 Punkte) 43. Von einem Dreieck sind die Koordinaten der Eckpunkte gegeben: A (–1|3), B (3|3), C (3|6). Berechnen Sie (also bitte nicht messen!) a) den Flächeninhalt des Dreiecks, b) den bei A liegenden Winkel α . c) Geben Sie die Gleichung der Funktion an, deren Graph den Winkel bei B im Dreieck ABC halbiert. 2004 (1 Punkt) 39. Begründe, warum es nicht möglich ist, Dreiecke mit Winkeln der Größe α = 73,5°, β = 30° und γ = 81,5° zu konstruieren. 2004 (2 Punkte) 41. Ein gleichschenkliges Dreieck soll den Winkel α = 28° und die Grundseite c = 7 cm haben. Fritz und Liese sollen das Dreieck konstruieren. Liese sagt: „Wir bekommen keine eindeutige Lösung. Uns fehlt die Angabe eines Winkels.“ „Stimmt nicht“, erwidert Fritz, „wir haben alle notwendigen Angaben.“ Wer hat Recht? Begründe! _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 113 Prüfungsvorbereitungen: VIII. Geometrie, Pythagoras, Flächenberechnungen 2004 (2 Punkte) 16. Berechne die Länge der Strecke AB mit A (–1| 2) und B (2 | –3). y 6 5 4 3 A 2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 x -1 -2 -3 B N 2004 (1 Punkt) 40. Begründe, warum es nicht möglich ist, ein Dreieck mit den Seitenlängen a = 10 cm, b = 3 cm und c = 4 cm zu konstruieren. N 2004 (2Punkte) 13. Berechne die Länge der Strecke AB mit A (–3| 1) und B (2 | –2). N 2004 (2 Punkte) 42. Fritz und Liese üben für die Mathematikarbeit. Fritz fordert Liese auf: „Konstruiere ein Parallelogramm mit α = 70° und β = 85° und …“ „Halt!“, ruft Liese, „das geht doch nicht.“ Hat Liese Recht? Begründe! _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 114 Prüfungsvorbereitungen: VIII. Geometrie, Pythagoras, Flächenberechnungen P 2004 (5 Punkte) 48. Die Seitenlängen eines Quadrats bzw. die Kantenlängen eines Würfels werden jeweils mit a bezeichnet. 6a2 a4 a2 4a a3 12a Welcher der oben angegebenen Terme passt für • das Volumen des Würfels ....................... • den Flächeninhalt des Quadrats ....................... • den Umfang des Quadrats ....................... • die Oberfläche des Würfels ....................... • die Gesamtlänge der Würfelkanten? ....................... P 2004 (6 Punkte) 53. a) Ordne jeder Gleichung ein entsprechendes Dreieck zu! b) Begründe deine Entscheidung! 3 1 2 γ b γ γ α c a b a c α a β β α c Es gilt α = β. Gleichung 4 β b a β c b α Dreieck c² = a² + b² u = 2a + c a b = sin α sin β _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 115 Prüfungsvorbereitungen: VIII. Geometrie, Pythagoras, Flächenberechnungen P 2004 (5 Punkte) 54. Gegeben ist ein Rechteck mit den Seiten a = 24 cm und b = 7 cm. Fritz und Liese sollen die Diagonalen und die Winkel berechnen, die die Diagonalen mit den Seiten a und b bilden. b a Skizze nicht maßstabsgerecht a) Fritz und Liese kommen bei der Berechung einer Diagonalen zu verschiedenen Ergebnissen. Wer rechnet richtig? Begründe! Fritz d = 24² + 7² d = 625 d = 25 Liese d² = 24² + 7² d = 24 + 7 d = 31 b) Fritz stöhnt: „Das ist ja eine lange Aufgabe. Wir müssen zwei Diagonalen und acht Winkel berechnen!“ Liese meint, dass nur eine Diagonale und zwei Winkel berechnet werden müssen. Wer hat Recht? Begründe! …. (7 Punkte) 33. Beim Umzug soll eine Gardinenstange von 3,75 m Länge in einem Transportfahrzeug untergebracht werden. Das Fahrzeug hat einen quaderförmigen Laderaum mit den Innenmaßen: Länge 2,50m, Breite 1,90 m und Höhe 1,90 m. Passt die Stange in den Aufbau? Vergiss die Skizze nicht. …. (3 Punkte) 51. Begründe, dass es nicht möglich ist, ein Dreieck mit den Seitenlängen a = 10 cm, b = 3 cm und c = 4 cm zu konstruieren. _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 116 Prüfungsvorbereitungen: VIII. Geometrie, Pythagoras, Flächenberechnungen – Lösungen 2007 (8 Punkte) 3. Laser Auf einer Baustelle werden Vermessungsarbeiten mit einem Laser durchgeführt. Dabei steht der Laser in 15 m Entfernung von einem 8 m hohen Schornstein auf einem Gestell in 1,60 m Höhe. In welchem Winkel zur Waagerechten muss der Laserstrahl ausgerichtet werden, damit er genau die Spitze des Schornsteins trifft? Fertigen Sie eine beschriftete Skizze an, konstruieren Sie das Dreieck in einem geeigneten Maßstab und ermitteln Sie durch Messen die gesuchte Größe. N 2006 (5 Punkte) 3. Aufgabe Für Dekorationszwecke werden Quadrate mit der Seitenlänge von 12,5 cm und Kreise mit gleichen Flächeninhalten benötigt. a) Ermitteln Sie den Durchmesser der Kreise. b) Die rechteckigen Blätter, aus denen die Flächen ausgeschnitten werden sollen, haben eine Größe von 42 x 30 cm. Wie viele solcher Blätter sind mindestens nötig, um 10 Quadrate auszuschneiden? Skizzieren Sie. 2006 (6 Punkte) 6. Aufgabe Gegeben sind die Punkte A(–2|2) und B(4|2). a) Tragen Sie die Punkte in ein Koordinatensystem ein. b) Bestimmen Sie einen Punkt C mit ganzzahligen Koordinaten so, dass ein rechtwinkliges Dreieck ABC entsteht. _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 117 Prüfungsvorbereitungen: VIII. Geometrie, Pythagoras, Flächenberechnungen – Lösungen c) Berechnen Sie die Länge der Hypotenuse und die Länge einer der beiden Katheten des entstandenen Dreiecks. 2004 (1 Punkt) 39. Begründe, warum es nicht möglich ist, Dreiecke mit Winkeln der Größe α = 73,5°, β = 30° und γ = 81,5° zu konstruieren. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I Die Winkelsumme in Dreiecken beträgt 180°, hier aber nicht, denn: 73,5° + 30° + 81,5° > 180°. 1 L3 II III K1 2004 (2 Punkte) 41. Ein gleichschenkliges Dreieck soll den Winkel α = 28° und die Grundseite c = 7 cm haben. Fritz und Liese sollen das Dreieck konstruieren. Liese sagt: „Wir bekommen keine eindeutige Lösung. Uns fehlt die Angabe eines Winkels.“ „Stimmt nicht“, erwidert Fritz, „wir haben alle notwendigen Angaben.“ Wer hat Recht? Begründe! Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I Fritz hat Recht (ggf. auch per Zeichnung ersichtlich) Im gleichschenkligen Dreieck sind Basiswinkel gleich. Das Dreieck ist eindeutig konstruierbar. II III 1 L3 K6 1 _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 118 Prüfungsvorbereitungen: VIII. Geometrie, Pythagoras, Flächenberechnungen – Lösungen 2004 (2 Punkte) 16. Berechne die Länge der Strecke AB mit A (–1| 2) und B (2 | –3). y 6 5 4 3 A 2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 x -1 -2 -3 B Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I Verdeutlichen, dass der Satz des Pythagoras benutzt werden kann, z. B. durch Ergänzung der Zeichnung um C(2|2) bzw. C’(-1|-3) oder durch korrekte Erläuterung. 2 2 2 AB = AC + BC = 3² + 5² = 34; AB ≈ 5,8 II III 1 L2 K2 1 N 2004 (1 Punkt) 40. Begründe, warum es nicht möglich ist, ein Dreieck mit den Seitenlängen a = 10 cm, b = 3 cm und c = 4 cm zu konstruieren. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I Anschauliche, geometrische Begründung, Skizze und Text oder Dreiecksungleichung ist nicht erfüllt 3 + 4 < 10 o. ä. 1 L3 II III K1 _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 119 Prüfungsvorbereitungen: VIII. Geometrie, Pythagoras, Flächenberechnungen – Lösungen N 2004 (2Punkte) 13. Berechne die Länge der Strecke AB mit A (–3| 1) und B (2 | –2). Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I Verdeutlichen, dass der Satz des Pythagoras benutzt werden kann, z. B. durch Ergänzung der Zeichnung um C(2|2) bzw. C’(-3|-2) oder durch korrekte Erläuterung. 2 2 2 AB = AC + BC = 5² + 3² = 34; AB ≈ 5,8 II III 1 L2 K2 1 N 2004 (2 Punkte) 42. Fritz und Liese üben für die Mathematikarbeit. Fritz fordert Liese auf: „Konstruiere ein Parallelogramm mit α = 70° und β = 85° und …“ „Halt!“, ruft Liese, „das geht doch nicht.“ Hat Liese Recht? Begründe! Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I Liese hat Recht Nebenwinkel im Parallelogramm ergänzen sich zu 180°. 70° + 85° = 155° < 180° II III 1 L3 K6 1 P 2004 (5 Punkte) 48. Die Seitenlängen eines Quadrats bzw. die Kantenlängen eines Würfels werden jeweils mit a bezeichnet. 6a2 a4 4a a2 a3 12a _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 120 Prüfungsvorbereitungen: VIII. Geometrie, Pythagoras, Flächenberechnungen – Lösungen Welcher der oben angegebenen Terme passt für • das Volumen des Würfels ....................... • den Flächeninhalt des Quadrats ....................... • den Umfang des Quadrats ....................... • die Oberfläche des Würfels ....................... • die Gesamtlänge der Würfelkanten? ....................... Lösungsskizze Leitidee BE Kompetenzen im Anforderungsbereich I 3 2 2 a , a , 4a , 6a , 12a je eine Bewertungseinheit 5 L3 II III K5 P 2004 (6 Punkte) 53. a) Ordne jeder Gleichung ein entsprechendes Dreieck zu! b) Begründe deine Entscheidung! 1 2 γ 3 γ b α b α a a c β c α β c Es gilt α = β. Gleichung 4 γ β b a a β c b α Dreieck c² = a² + b² u = 2a + c a b = sin α sin β _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 121 Prüfungsvorbereitungen: VIII. Geometrie, Pythagoras, Flächenberechnungen – Lösungen Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) 1) c² = a² + b² gilt im Dreieck 4 2) u = 2a + c gilt im Dreieck 1 a b gilt im Dreieck 2 oder 1 oder 4 3) = sin α sin β b) zu 1) Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck zu 2) Im gleichschenkligen Dreieck gilt a = b. zu 3) a und α , b und β liegen sich gegenüber, also gilt der Sinussatz. 1 1 1 II III K4 1 L3 K1 1 1 P 2004 (5 Punkte) 54. Gegeben ist ein Rechteck mit den Seiten a = 24 cm und b = 7 cm. Fritz und Liese sollen die Diagonalen und die Winkel berechnen, die die Diagonalen mit den Seiten a und b bilden. b a Skizze nicht maßstabsgerecht a) Fritz und Liese kommen bei der Berechung einer Diagonalen zu verschiedenen Ergebnissen. Wer rechnet richtig? Begründe! Fritz d = 24² + 7² Liese d² = 24² + 7² d = 24 + 7 d = 31 d = 625 d = 25 b) Fritz stöhnt: „Das ist ja eine lange Aufgabe. Wir müssen zwei Diagonalen und acht Winkel berechnen!“ Liese meint, dass nur eine Diagonale und zwei Winkel berechnet werden müssen. Wer hat Recht? Begründe! Lösungsskizze Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich 1 1 L1 K5 1 2 L3 BE I a) Fritz rechnet richtig. Begründung: Liese löst die Gleichung falsch auf. (zieht gliedweise aus einer Summe die Wurzel) b) Liese hat Recht. Begründung z.B. durch: „Im Rechteck sind die Diagonalen gleichlang. Eine Diagonale teilt das Rechteck in zwei kongruente Dreiecke.“ II III K5 K2 K2 _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 122 Prüfungsvorbereitungen: VIII. Geometrie, Pythagoras, Flächenberechnungen – Lösungen N 2005 (3 Punkte) 29. Bei einem Sturm wurde eine Kiefer 3,5 m über dem Boden abgeknickt, wobei die Baumspitze 11,9 m vom Stamm entfernt aufschlug. Berechnen Sie, wie hoch die Kiefer war. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I x² = (3,5m)² + (11,9m)² x = 12,4 m Die Kiefer war 15,9 Meter hoch. 1 1 1 L2 II III K3 N 2005 (4 Punkte) 44. Gegeben sind die Punkte A (–3|3) und B (5|3). a) Bestimmen Sie einen Punkt C so, dass die Punkte A, B und C ein gleichschenkliges Dreieck ergeben. b) Berechnen Sie alle Innenwinkel des entstandenen Dreiecks. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) (Alle Punkte auf der Geraden zu x = 1 bis auf (1|3) sind möglich. Es ergeben sich jeweils verschiedene Winkelgrößen) Wahl einer korrekten Lösung, z. B. C (1|0). b) Rechnung für C(1|0): tan α = II III 1 3 4 α ≈ 36,9° β = α ≈ 36,9° γ ≈ 180° − 36,9° − 36,9° = 106,2° (Mit C (1|7) oder C (1|–1) ergeben sich rechtwinkliggleichschenklige Dreiecke, was die Winkelberechnung vereinfacht. Trotzdem ist die volle Punktzahl zu vergeben.) L3 K2 1 1 1 _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 123 Prüfungsvorbereitungen: VIII. Geometrie, Pythagoras, Flächenberechnungen – Lösungen N 2005 (3 Punkte) 47. In welchem Verhältnis stehen der Flächeninhalt eines Quadrates zu dem eines Kreises, wenn ihre Umfänge übereinstimmen? Begründen Sie. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a: Seitenlänge des Quadrats, r: Radius des Kreises. πr Bei Umfangsgleichheit gilt: 4a = 2πr ⇒ a = 2 Mit Hilfe dieses Zwischenergebnisses ergibt das Verhältnis der Flächeninhalte von Quadrat und Kreis: a 2 π 2r 2 = = r ²π 4r ²π π 0,785 = ≈ 4 1 II III 1 L3 K2 1 1 2005 (2 Punkte) 6. Der Durchmesser des großen Kreises beträgt 4 cm. Berechnen Sie den Flächeninhalt der grau gefärbten Figur. Geben Sie das Ergebnis auf ganze cm² gerundet an. M2 M1 Lösungsskizze BE Leitidee M Kompetenzen im Anforderungsbereich I Die grau eingefärbte Figur entsteht dadurch, dass die Fläche des Halbkreises mit Radius r rechts durch einen r Halbkreis mit Radius ergänzt, links aber um einen 2 r reduziert wird. Halbkreis mit Radius 2 Der Flächeninhalt der Figur ist also genau so groß wie der Flächeninhalt des Halbkreises. 1 L3 A1 ist der Flächeninhalt des Halbkreises mit dem Radius 1 r = 2 cm: A1 = π · 2² ≈ 6,28 2 Der Flächeninhalt der Figur beträgt 6 cm². 1 L2 II III K2 _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 124 Prüfungsvorbereitungen: VIII. Geometrie, Pythagoras, Flächenberechnungen – Lösungen 2005 (4 Punkte) 43. Von einem Dreieck sind die Koordinaten der Eckpunkte gegeben: A (–1|3), B (3|3), C (3|6). Berechnen Sie (also bitte nicht messen!) a) den Flächeninhalt des Dreiecks, b) den bei A liegenden Winkel α . c) Geben Sie die Gleichung der Funktion an, deren Graph den Winkel bei B im Dreieck ABC halbiert. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I 1 ⋅ AB ⋅ BC = b) tan(α ) = BC = AB III 1 ⋅4⋅3 = 6 , 2 2 denn das Dreieck ABC ist rechtwinklig. a) A = II K4 1 3 4 1 ⇒ α ≈ 36,9° L2, L3 K4 1 1 c) m = –1, f(x) = –x + 6 K2 …. (7 Punkte) 33. Beim Umzug soll eine Gardinenstange von 3,75 m Länge in einem Transportfahrzeug untergebracht werden. Das Fahrzeug hat einen quaderförmigen Laderaum mit den Innenmaßen: Länge 2,50m, Breite 1,90 m und Höhe 1,90 m. Passt die Stange in den Aufbau? Vergiss die Skizze nicht. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I Skizze: Schrägbild eines Quaders mit Flächendiagonale und Körperdiagonale d b a und den erforderlichen Beschriftungen. a Handskizze genügt. Berechnung der Länge von d1 mit dem Satz von d2 c II 2 III K4 1 Pythagoras: d1 = a +b 2 d1 = 2,5 2 + 1,9 2 d1 = 3,14 Berechnung der Länge von d2 mit dem Satz des Pythagoras: d2 = 1 K2 2 1 L2 1 2 d1 + c 2 d2 = 3,14 2 + 1,9 2 d2 = 3,67 Die Stange passt nicht in den Aufbau des Autos. 1 1 _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 125 Prüfungsvorbereitungen: VIII. Geometrie, Pythagoras, Flächenberechnungen – Lösungen ….. (3 Punkte) 51. Begründe, dass es nicht möglich ist, ein Dreieck mit den Seitenlängen a = 10 cm, b = 3 cm und c = 4 cm zu konstruieren. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I Mehrere Begründungen sind möglich: - eine anschaulich, geometrische Begründung, Skizze und Text („Die Seiten treffen sich nicht.“) __________________________________________ oder: - Dreiecksungleichung gilt nicht, z.B. 3 cm + 4 cm < 10 cm _________________________________________ oder: - Begründung über den Kosinussatz, z.B. 10² = 3² + 4² - 12 cos α - 75 = cos α II III 1 2 L3 K1 12 - 75 gehört nicht zum Wertebereich der 12 Kosinusfunktion. _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 126 Prüfungsvorbereitungen: IX. Zweitafelprojektion 2004 (1 Punkt) 37. Familie Meiers Grundstück mit Haus, Bäumen, Hecke usw. wurde von oben gezeichnet. Markiere den Buchstaben der Ansicht (a, b oder c), die zum Grundstück von Familie Meier gehört. N 2004 (1 Punkt) 38. Eine Gruppe von drei Pyramiden wird von oben betrachtet. Welche Pyramidengruppe (a, b oder c) ist es? Markiere den Buchstaben. _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 127 Prüfungsvorbereitungen: IX. Zweitafelprojektion P 2004 (1 Punkt) 49. Ein Haus wurde von oben fotografiert (Draufsicht). Um welches Haus (a, b, c, oder d) handelt es sich? a c b d 2003 (3 Punkte) 7. Ein Körper ist in zwei Ansichten gegeben. Von der Seite (Seitenansicht): Von oben (Draufsicht): Skizziere ein Schrägbild. _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 128 Prüfungsvorbereitungen: IX. Zweitafelprojektion – Lösungen 2004 (1 Punkt) 37. Familie Meiers Grundstück mit Haus, Bäumen, Hecke usw. wurde von oben gezeichnet. Markiere den Buchstaben der Ansicht (a, b oder c), die zum Grundstück von Familie Meier gehört. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I b 1 L3 II III K4 N 2004 (1 Punkt) 38. Eine Gruppe von drei Pyramiden wird von oben betrachtet. Welche Pyramidengruppe (a, b oder c) ist es? Markiere den Buchstaben. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I c 1 L3 II III K4 _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 129 Prüfungsvorbereitungen: IX. Zweitafelprojektion – Lösungen P 2004 (1 Punkt) 49. Ein Haus wurde von oben fotografiert (Draufsicht). Um welches Haus (a, b, c, oder d) handelt es sich? a b d c Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich L3 K4 I Haus d wurde fotografiert. 1 II III 2003 (3 Punkte) 7. Ein Körper ist in zwei Ansichten gegeben. Von der Seite (Seitenansicht): Von oben (Draufsicht): Skizziere ein Schrägbild. Lösungsskizze - Objekt als quadratische Pyramide auf einem Quader erkennbar 1P - unsichtbare Kanten gestrichelt, Größenverhältnisse stimmen in etwa 1P - Anstellwinkel ca. 45°, nach hinten weisende Kanten verkürzt 1P _________________________________________________________________________________________________________________ Zusammengestellt: K. Pirschel 31.12.2007 130
