Mathematik 1 - Hochschule Augsburg

Mathematik 1
für Wirtschaftsinformatik
Wintersemester 2012/13
Stefan Etschberger
Hochschule Augsburg
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Argumentationstechniken
Direkter Beweis einer Implikation A ⇒ B (analog Äquivalenz A ⇔ B):
A ⇒ C1 ⇒ C2 ⇒ . . . ⇒ B
1. Grundlegende
Bausteine
Beweis von A 6⇒ B durch Gegenbeispiel
2. Grundlegende
Werkzeuge
Beweisprinzip der vollständigen Induktion für Allaussagen
3. Aussagenlogik
Induktionsanfang: Beweis der Aussage für kleinstmöglichen Wert von n
(oft n = 0 oder n = 1 )
Induktionsvoraussetzung: Annahme, dass die Aussage für n wahr ist
Induktionsschluss: Beweis (unter Ausnutzung der Induktionsvoraussetzung), dass
die Aussage auch für n + 1 gültig ist
Beispiel (vollst. Induktion): A(n) =
n
P
Ind.-Anfang: n = 1 :
i=1
=
i=1
Ind.-Schluss:
n+1
n
P
P
i=
i + (n + 1) =
i=1
i=1
(n+1)(n+2)
2
3.2. Aussagenverknüpfungen
3.3. Argumentieren
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
6. Lineare Programme
i=
i=1
1
P
3.1. Einführung
n(n+1)
2
n(n+1)
2
1·2
2
;n ∈ N
=1
+ (n + 1) =
n(n+1)+2(n+1)
2
=
41
Beispiel: Beweis durch Gegenbeispiel
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Ausgangspunkt: Die ökonomische Gleichung
Gewinn
=
Umsatz − Kosten
Daraus:
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
3.1. Einführung
A: Für zwei Produkte stimmen Umsätze und Kosten überein
B: Für zwei Produkte sind die Gewinne gleich
Damit gilt: A ⇒ B , andererseits aber B 6⇒ A .
3.2. Aussagenverknüpfungen
3.3. Argumentieren
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
6. Lineare Programme
Gegenbeispiel zur Bestätigung von B 6⇒ A:
42
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Beispiel: Beweis durch Gegenbeispiel
Ausgangspunkt: Die ökonomische Gleichung
Gewinn
=
Umsatz − Kosten
Daraus:
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
3.1. Einführung
A: Für zwei Produkte stimmen Umsätze und Kosten überein
B: Für zwei Produkte sind die Gewinne gleich
Damit gilt: A ⇒ B , andererseits aber B 6⇒ A .
3.2. Aussagenverknüpfungen
3.3. Argumentieren
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
6. Lineare Programme
Gegenbeispiel zur Bestätigung von B 6⇒ A:
Für zwei Produkte gegeben:
Umsätze u1 = 2, u2 = 5
Kosten c1 = 1, c2 = 4
Dann ist g1 = u1 − c1 = 2 − 1
u1 6= u2 , c1 6= c2 .
=1=
u2 − c2 = 5 − 4 = g2 , aber
42
Mathematik 1: Gliederung
1
Grundlegende Bausteine
2
Grundlegende Werkzeuge
3
Aussagenlogik
4
Komplexe Zahlen
5
Lineare Algebra
6
Lineare Programme
4
Komplexe Zahlen
Von natürlichen zu komplexen Zahlen
Elementare Algebra
Warum komplexe Zahlen – Historischer
Abriss
Geometrie
Anwendungen
Die reellen Zahlen
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Natürliche Zahlen: N = {1,2,3, . . .}
damit nicht uneingeschränkt lösbar: Gleichung der Form x + n = m, mit
n, m ∈ N
Ganze Zahlen: N = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
damit nicht uneingeschränkt lösbar: Gleichung der Form ax = b, mit
a, b ∈ N und a 6= 0
Rationale Zahlen: Q = m
; m ∈ N, n 6= 0
n
1. Grundlegende
Bausteine
damit (unter anderem) nicht lösbar: Gleichung der Form x2 = a mit a ≥ 0
4. Komplexe Zahlen
Reelle Zahlen: R enthält Q und zusätzlich die irrationalen Zahlen, also
sämtliche endliche und unendliche Dezimalbrüche
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
4.1. Einführung
4.2. Elementare Algebra
4.3. Historie komplexer
Zahlen
4.4. Geometrie
Graphische Repräsentation über Zahlenstrahl:
4.5. Anwendungen
5. Lineare Algebra
6. Lineare Programme
Beispiele von Zahlen aus R:
1/8 = 0,125 endliche Dezimalzahl, rational
1/3 = 0,33333 . . . unendliche, periodische Dezimalzahl; rational
√
2 = 1,414213 . . . unendliche, nichtperiodische Dezimalzahl; irrational
44
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Erweiterung der reellen Zahlen
In den reellen Zahlen u.a. nicht uneinschränkt
lösbar:
Zahlenturm
x2 = −1
√
Formale√Lösungen: x1 = −1 und
x2 = − −1 mit x1 , x2 ∈
/R
Deswegen: Neues Symbol
die imaginäre Einheit
i ,
Eigenschaften: i2 = −1 bzw. i =
Mit a, b ∈ R heißt
komplexe Zahl.
R
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
√
−1
Q
4. Komplexe Zahlen
4.1. Einführung
4.2. Elementare Algebra
4.3. Historie komplexer
Zahlen
z = a + ib
4.4. Geometrie
4.5. Anwendungen
N
Bezeichnungen für a, b:
Realteil von z
Imaginärteil von z
1. Grundlegende
Bausteine
5. Lineare Algebra
6. Lineare Programme
Re(z) := a
Im(z) := b
N
Menge der komplexen Zahlen:
C := {a + ib;
a, b ∈ R}
45
Elementare Verknüpfungen komplexer Zahlen
Gegeben: z1 = a + ib;
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z2 = c + id
Addition
Multiplikation
Konjugiert komplexe Zahlen
Division (nur für z2 6= 0):
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
4.1. Einführung
4.2. Elementare Algebra
4.3. Historie komplexer
Zahlen
4.4. Geometrie
4.5. Anwendungen
5. Lineare Algebra
6. Lineare Programme
46
Eigenschaften
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Gegeben: Komplexe Zahl z = a + ib
Gesucht: Betrag, Realteil, Imaginärteil
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
4.1. Einführung
4.2. Elementare Algebra
4.3. Historie komplexer
Zahlen
4.4. Geometrie
4.5. Anwendungen
5. Lineare Algebra
6. Lineare Programme
47
Multiplikative Inversion
Mathematik 1
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Gegeben: z = a + ib und z 6= 0
Gesucht: z−1 mit z · z−1 = 1 (multiplikatives Inverses)
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
4.1. Einführung
4.2. Elementare Algebra
4.3. Historie komplexer
Zahlen
4.4. Geometrie
4.5. Anwendungen
5. Lineare Algebra
6. Lineare Programme
48
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Ursprünge der komplexen Zahlen
Cardanos Ars Magna (erschienen 1545):
Allgemeine Lösung kubischer
Gleichungen
Dadurch: Erste Hinweise auf komplexe
Zahlen
1. Grundlegende
Bausteine
Cardano selbst über seine Entdeckung:
„ So raffiniert wie nutzlos! “
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
Bombellis L’Algebra (1572): Erstes
Rechnen mit komplexen Zahlen
4. Komplexe Zahlen
4.1. Einführung
Girolamo Cardano (1501 – 1576)
Berechnung von kubischen
Gleichungen mit nur einer reellen
Lösung
4.3. Historie komplexer
Zahlen
4.4. Geometrie
4.5. Anwendungen
5. Lineare Algebra
Dazu nötig: Elementare Operationen
mit komplexen Zahlen: Addition,
Multiplikation
Trotzdem: Bombelli über komplexe
Zahlen: „ Die ganze Sache scheint eher
der Sophisterei als der Wahrheit zu
dienen! “
4.2. Elementare Algebra
6. Lineare Programme
Auszug aus L’Algebra (erschienen 1572)
von Rafael Bombelli (1526 – 1572)
49
Bombellis wilder Gedanke
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Kubische Gleichung aus
L’Algebra:
x3 = 15x + 4
Bombellis einzige reelle Lösung
mit Lösungsformel:
√
√
x = 3 2 + 11i + 3 2 − 11i
Bombelli sieht: x muss gleich 4
sein.
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
4.1. Einführung
4.2. Elementare Algebra
4.3. Historie komplexer
Zahlen
4.4. Geometrie
4.5. Anwendungen
5. Lineare Algebra
6. Lineare Programme
50
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Dornröschenschlaf der komplexen Zahlen
Bis zum Ende des 18. Jahrhunderts:
Keine befriedigende Antwort auf die
Frage:
„ Was ist eine komplexe Zahl? “
1. Grundlegende
Bausteine
Leibniz (1702) über die imaginäre
Einheit i:
„ Dieses Amphib zwischen Existenz und
Nicht-Existenz! “
Noch 1770 verbreitet Euler die
Auffassung, dass
√
√ √
−2 −3 = 6
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
Gottfried Wilhelm von Leibniz
(1646 – 1716)
4.1. Einführung
4.2. Elementare Algebra
4.3. Historie komplexer
Zahlen
4.4. Geometrie
4.5. Anwendungen
5. Lineare Algebra
6. Lineare Programme
und veröffentlicht:
„ ... so ist klar, dass Quadrat-Wurzeln von
Negativ-Zahlen nicht unter die möglichen Zahlen
können gerechnet werden ... und gemeiniglich
Imaginäre Zahlen, oder eingebildete Zahlen
genennt werden, weil sie blos in der Einbildung
statt finden “
Leonard Euler
(1707 – 1783)
51
Mathematik 1
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Der Durchbruch: Geometrische Interpretation
1. Grundlegende
Bausteine
1787
Caspar Wessel
(1745 – 1818)
1806
Jean-Robert Argand
(1768 – 1822)
(Bild: Bruder Johan Herman)
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
4.1. Einführung
4.2. Elementare Algebra
4.3. Historie komplexer
Zahlen
1831
4.4. Geometrie
Geometrische Interpretation
komplexer Zahlen
4.5. Anwendungen
5. Lineare Algebra
6. Lineare Programme
Carl Friedrich Gauß
(1777 – 1855)
52
Mathematik 1
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Komplexe Zahlenebene
Idee: z = a + ib als Punkt im kartesischen xy-Koordinatensystem
mit den Koordinaten (a, b)
Alternativ: a + ib als Vektor, der (0,0) mit (a, b) verbindet
So betrachtet nennt man die Zeichenebene komplexe Zahlenebene
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
Im(z)
3. Aussagenlogik
a + ib
b
360 − α
α
−α
4.1. Einführung
4.2. Elementare Algebra
|z|
◦
4. Komplexe Zahlen
4.3. Historie komplexer
Zahlen
a
Re(z)
4.4. Geometrie
4.5. Anwendungen
5. Lineare Algebra
6. Lineare Programme
|z|
−b
a − ib
Damit: Punkte der Abszisse z = a + i · 0 stellen relle Zahlen dar
53
Komplexe Zahlenebene
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Beispiele
Gegeben: 4 + 3i, 4, 2 − 2i, −2 − 3i, −7 + i, 3i
Konjugiert Komplexes von 4 + 3i
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
4.1. Einführung
4.2. Elementare Algebra
4.3. Historie komplexer
Zahlen
4.4. Geometrie
4.5. Anwendungen
5. Lineare Algebra
6. Lineare Programme
54
Komplexe Zahlenebene: Addition
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Geometrie der komplexen Addition
Gegeben: z1 = 1 + 2i und z2 = 1 + 1i
Gesucht: z1 + z2
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
4.1. Einführung
4.2. Elementare Algebra
4.3. Historie komplexer
Zahlen
4.4. Geometrie
4.5. Anwendungen
5. Lineare Algebra
6. Lineare Programme
55
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Polarform komplexer Zahlen
P
ϕ
1
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
Sinus, Kosinus über Reihen:
4.1. Einführung
4.2. Elementare Algebra
cos ϕ =
∞
X
n=0
2
2n
(−1)
n
ϕ
(2n)!
∞
X
2n+1
n ϕ
sin ϕ =
(−1)
(2n
+ 1)!
n=0
=1−
4
6
ϕ
ϕ
ϕ
+
−
...
2!
4!
6!
ϕ3
ϕ5
ϕ7
=ϕ−
+
−
...
3!
5!
7!
4.3. Historie komplexer
Zahlen
4.4. Geometrie
4.5. Anwendungen
5. Lineare Algebra
6. Lineare Programme
Reihendarstellung der Exponentialfunktion:
iϕ
e
=
∞
X
(iϕ)n
ϕ2
ϕ3
ϕ4
ϕ5
ϕ6
ϕ7
= 1 + iϕ −
−i
+
+i
−
−i
n!
2!
3!
4!
5!
6!
7!
n=0
56