12 2 1 8_2 1_2_3 pfadregel und abzählverfahren

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H=
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VH[SHULPHQWH
Regeln zum Arbeiten mit Baumdiagrammen:
Die

Summe der Wahrscheinlichkeiten auf den Ästen eines Baumdiagramms, die von einem
Verzweigungspunkt ausgehen, ist stets 1.
1.Pfadregel:

Die
Wahrscheinlichkeit
eines
Elementarereignisses
in
einem
mehrstufigen
Zufallsexperiment ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten auf dem Pfad, der zu diesem
Elementarereignis führt.
2.Pfadregel:

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten
der Pfade, die zu diesem Ereignis führen.
Bei

mehrstufigen
Zufallsexperimenten
verwenden
wir
die
Pfadregel,
um
die
Wahrscheinlichkeitsverteilung festzulegen.
Übung: Zeichnen Sie zu allen Aufgaben jeweils ein (einfaches) Baumdiagramm!
1. In einer Gruppe von 8 Touristen schmuggeln 4. Bei der Grenzkontrolle wählt ein Zöllner 3 zufällig aus.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind alle 3 (2, einer, keiner) Schmuggler?
2. Florian geht aufs Oktoberfest. Er möchte sich dort am Schießstand eine Rose schießen. Nüchtern hat er
eine Treffsicherheit von 80%. Nach jeder Maß Bier sinkt seine Treffsicherheit um die Hälfte.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird er mindestens einmal treffen,
1) wenn er dreimal schießt, und zwar einmal nüchtern, einmal nach der 1. und einmal nach der
2.Maß,
2) wenn er sechsmal schießt, und zwar einmal nüchtern, zweimal nach der 1.Maß und dreimal nach
der 2.Maß.
b) Wie oft muss er mindestens schießen, um mit 99% Sicherheit mindestens einmal zu treffen,
1) wenn
er
nüchtern,
noch
2) wenn er eine Maß
3) wenn er zwei Maß
getrunken hat,
getrunken hat.
Viele Zufallsexperimente lassen sich im Urnenmodell darstellen. Dabei beziehen sich beim einstufigen
Experiment die Kugelfarben auf die Ergebnisse und die jeweilige Kugelanzahl auf die Wahrscheinlichkeiten.
Bei mehrstufigen Experimenten wählt man die Art des Ziehens je nach Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit
der Einzelexperimente.
3. In einer Gruppe sind 5 Franzosen, 10 Briten und 6 Deutsche.
a) Zwei Personen werden ausgelost. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau ein Brite
ausgelost wird?
b) Aus der ganzen Gruppe werde zunächst eine Person ausgelost. Die zweite Person wird dann aus den
Personen anderer Nationalität ausgelost. Wie wahrscheinlich ist unter den Ausgelosten ein Brite?
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Q:
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$E]lKOYHUIDKUHQ
3
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Satz: (Produktregel)
Aus k nichtleeren Mengen M 1 ,..., M k mit n1 ,..., n k Elementen kann man n1 ⋅ n 2 ⋅ ... ⋅ n k verschiedene
k.Tupel ( x1 ;...; x k ) bilden mit x1 ∈ M 1 ,..., x k ∈ M k .
Aufgaben:
1. Wie viele Autokennzeichen kann eine Zulassungsstelle vergeben, wenn jedes Kennzeichen nach dem
Ortskennzeichen aus 2 Buchstaben und einer vierstelligen Zahl (aus 2 Buchstaben und einer höchstens
vierstelligen Zahl) besteht?
2. Ein Ziffernschloss besteht aus 5 Ziffernrädern zu je 10 Ziffern. Wie lange dauert es höchstens, das
Schloss zu knacken (ohne Zange!), wenn für jede versuchte Einstellung 3 Sekunden benötigt werden?
*
*HRUGQ
GQH
HWH
H6
6WLFKSUREH
HP
PLW
W=
=XUFNOHJHQ
Satz: Einer Gesamtheit von n verschiedenen Elementen kann man n k geordnete Stichproben mit
Zurücklegen vom Umfang k entnehmen.
Aus einer Urne mit den drei Kugeln M, R und E wird viermal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. Mit
welcher Wahrscheinlichkeit zieht man das Wort MEER?
*
*HRUGQ
GQH
HWH
H6
6WLFKSUREHQR
QRKQH
H=
=XUFNOHJHQ
*
*HRUGQ
GQH
HWH
H9
9ROOHUKHEXQJHQ
Satz 1: Einer Gesamtheit von n verschiedenen Elementen kann man n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2 ) ⋅ ... ⋅ (n − k + 1)
geordnete Stichproben ohne Zurücklegen vom Umfang k entnehmen.
Satz 2: Bei einer Gesamtheit von n verschiedenen Elementen gibt es 1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ n = n! (= n Fakultät)
geordnete Vollerhebungen.
Bemerkung:
a) Zwei verschiedene Vollerhebungen unterscheiden sich nur in der Reihenfolge der Komponenten; daher
spricht man auch von Permutationen (permutatio (lat.) = Veränderung, Tausch) von n Elementen.
b) Es gilt 1! = 1 und 0! = 1.
c) Satz 1 lässt sich mit dem Zeichen Fakultät folgendermaßen umformen:
n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2 ) ⋅ ... ⋅ (n − k + 1) =
n ⋅ (n − 1) ⋅ ... ⋅ (n − k + 1) ⋅ (n − k ) ⋅ ... ⋅ 2 ⋅ 1
n!
=
(n − k )⋅ ... ⋅ 2 ⋅ 1
(n − k )!
1. Der firmeneigene Parkplatz hat für 15 Autos Platz. Auf wie viele Arten können die Plätze besetzt
werden, wenn 12 Kunden ihre Autos parken wollen?
2. Ein Ausschuss aus 4 Frauen und 3 Männern wählt einen Vorsitzenden und einen Stellvertreter. Wie viele
Möglichkeiten gibt es a) insgesamt, b) wenn beide gleichen Geschlechts sind, c) wenn mindestens eine
Frau dabei ist?
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