0 0HKUVWXILJH H= =XIDOO OOV VH[SHULPHQWH Regeln zum Arbeiten mit Baumdiagrammen: Die Summe der Wahrscheinlichkeiten auf den Ästen eines Baumdiagramms, die von einem Verzweigungspunkt ausgehen, ist stets 1. 1.Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses in einem mehrstufigen Zufallsexperiment ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten auf dem Pfad, der zu diesem Elementarereignis führt. 2.Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pfade, die zu diesem Ereignis führen. Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten verwenden wir die Pfadregel, um die Wahrscheinlichkeitsverteilung festzulegen. Übung: Zeichnen Sie zu allen Aufgaben jeweils ein (einfaches) Baumdiagramm! 1. In einer Gruppe von 8 Touristen schmuggeln 4. Bei der Grenzkontrolle wählt ein Zöllner 3 zufällig aus. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind alle 3 (2, einer, keiner) Schmuggler? 2. Florian geht aufs Oktoberfest. Er möchte sich dort am Schießstand eine Rose schießen. Nüchtern hat er eine Treffsicherheit von 80%. Nach jeder Maß Bier sinkt seine Treffsicherheit um die Hälfte. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird er mindestens einmal treffen, 1) wenn er dreimal schießt, und zwar einmal nüchtern, einmal nach der 1. und einmal nach der 2.Maß, 2) wenn er sechsmal schießt, und zwar einmal nüchtern, zweimal nach der 1.Maß und dreimal nach der 2.Maß. b) Wie oft muss er mindestens schießen, um mit 99% Sicherheit mindestens einmal zu treffen, 1) wenn er nüchtern, noch 2) wenn er eine Maß 3) wenn er zwei Maß getrunken hat, getrunken hat. Viele Zufallsexperimente lassen sich im Urnenmodell darstellen. Dabei beziehen sich beim einstufigen Experiment die Kugelfarben auf die Ergebnisse und die jeweilige Kugelanzahl auf die Wahrscheinlichkeiten. Bei mehrstufigen Experimenten wählt man die Art des Ziehens je nach Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit der Einzelexperimente. 3. In einer Gruppe sind 5 Franzosen, 10 Briten und 6 Deutsche. a) Zwei Personen werden ausgelost. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau ein Brite ausgelost wird? b) Aus der ganzen Gruppe werde zunächst eine Person ausgelost. Die zweite Person wird dann aus den Personen anderer Nationalität ausgelost. Wie wahrscheinlich ist unter den Ausgelosten ein Brite? % %HUHFKQXQJ JY YRQ Q: :DKUVFKHLQOLFKNHLWHQP QPLW W$ $E]lKOYHUIDKUHQ 3 3URGXNWUHJHO Satz: (Produktregel) Aus k nichtleeren Mengen M 1 ,..., M k mit n1 ,..., n k Elementen kann man n1 ⋅ n 2 ⋅ ... ⋅ n k verschiedene k.Tupel ( x1 ;...; x k ) bilden mit x1 ∈ M 1 ,..., x k ∈ M k . Aufgaben: 1. Wie viele Autokennzeichen kann eine Zulassungsstelle vergeben, wenn jedes Kennzeichen nach dem Ortskennzeichen aus 2 Buchstaben und einer vierstelligen Zahl (aus 2 Buchstaben und einer höchstens vierstelligen Zahl) besteht? 2. Ein Ziffernschloss besteht aus 5 Ziffernrädern zu je 10 Ziffern. Wie lange dauert es höchstens, das Schloss zu knacken (ohne Zange!), wenn für jede versuchte Einstellung 3 Sekunden benötigt werden? * *HRUGQ GQH HWH H6 6WLFKSUREH HP PLW W= =XUFNOHJHQ Satz: Einer Gesamtheit von n verschiedenen Elementen kann man n k geordnete Stichproben mit Zurücklegen vom Umfang k entnehmen. Aus einer Urne mit den drei Kugeln M, R und E wird viermal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht man das Wort MEER? * *HRUGQ GQH HWH H6 6WLFKSUREHQR QRKQH H= =XUFNOHJHQ * *HRUGQ GQH HWH H9 9ROOHUKHEXQJHQ Satz 1: Einer Gesamtheit von n verschiedenen Elementen kann man n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2 ) ⋅ ... ⋅ (n − k + 1) geordnete Stichproben ohne Zurücklegen vom Umfang k entnehmen. Satz 2: Bei einer Gesamtheit von n verschiedenen Elementen gibt es 1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ n = n! (= n Fakultät) geordnete Vollerhebungen. Bemerkung: a) Zwei verschiedene Vollerhebungen unterscheiden sich nur in der Reihenfolge der Komponenten; daher spricht man auch von Permutationen (permutatio (lat.) = Veränderung, Tausch) von n Elementen. b) Es gilt 1! = 1 und 0! = 1. c) Satz 1 lässt sich mit dem Zeichen Fakultät folgendermaßen umformen: n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2 ) ⋅ ... ⋅ (n − k + 1) = n ⋅ (n − 1) ⋅ ... ⋅ (n − k + 1) ⋅ (n − k ) ⋅ ... ⋅ 2 ⋅ 1 n! = (n − k )⋅ ... ⋅ 2 ⋅ 1 (n − k )! 1. Der firmeneigene Parkplatz hat für 15 Autos Platz. Auf wie viele Arten können die Plätze besetzt werden, wenn 12 Kunden ihre Autos parken wollen? 2. Ein Ausschuss aus 4 Frauen und 3 Männern wählt einen Vorsitzenden und einen Stellvertreter. Wie viele Möglichkeiten gibt es a) insgesamt, b) wenn beide gleichen Geschlechts sind, c) wenn mindestens eine Frau dabei ist?