P(E,)=j.+=+ {r1):t.t+t.}+

3 Umgangmit Zufallund Wahrscheinlichkeit
.:
3.2.4 MehrstufigeZufallsexperim6nte
oder eiuelne ExpeBei manchen Zufallsexperimenten werden mehrere ExPerime;te entweder hintereinander
rimenrc mehrfach ausgeführr. solche Zufallsexperimente heißen mehrstufige Zufallsexperimente.
1.t
Gl
O{
und ffadregeln
Eaumdiagramme
h ,inem tager stehensechsCompurcrbildschime'
Mehretufrge ZufallsexPerimente können übersichtlich durch Baumdiagmmme d4rgestellt werden. Jeder
Pfad symbolisien dabei ein Ergebnis des Zufallsexperimentes.
l. Pfadregel:
Um die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses zu bestimen,
werden die Wahrscheinlichkeiten
der einzelnen Stufen entlmg eines Pfade multipliziert.
2. Pfadregel:
eines Ereignissa a ermitteln, werden die agehörigen PfadwahrscheinfichUm die Wahncheinlichkeit
keiten addiert.
von denen zwei defekt sind Zwei Bildschime werden
zufällig ausgewählt.
Bsrimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse:
Bildschime sind defekt."
Er:
"Beide
Ez: ,,BeideBildschirme sind intakt."
ein Bildschim ist defekt."
El:
"Genau
Es handelt sich um einen zweistufigen Zufallsversuch, den wir mirhilfe eines Baumdiagranms
können. wir bezeichnen dabei die defekten Bildschime mit d und die intakten mit i.
dantellen
Die Ergebnismenge ist dann gegeben durch'
O = {(d;d);(d; i);(i;d);(iii)}. Die eiuelnen Ergebnisse
besirzen unterschiedliche Wahrscheinlichkeilen, die
shrittweise emittelt werden können.
2.5tute
l.5tute
(d;d)
l. Stufe
Die Wahrscheinlichkeit, in der ersten Stufe einen
zu wählen, beträgt nach der
defekten Bildrhim
Fomel von L:place | = ].
2. Stufe
Da in der ryeircn Stufe nur noch fünf Bildschirme vorhanden sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit emeut
einen defekten Bildschirm zu wählen nur noch t.
Ebenso ergibt
E, = {(i;i)}.
sich
die
Wahrscheinlichkeit
für
E3 besteht aus den Ergebnissen (d;i) und (i;d). Um
die wahrschernlichkeit n emitteln, werden die jeweiligen Pfadwahrscheinlichkeiten addien. Diae Vorgehensweise wird neite Pfadregel genannt.
ffiF
Ein Glückmd hat acht gleich große Felder. Bstimmen Sie die Wahrscheinlichkeit
der Er€ignisseEl und 82.
. E1:
Buchstaben sind gleich." (beim zweimaligen Drehen)
"Beide
. E2:
Buchstabenfolge ist NEIN." (beim viermaligen Drehen)
"Die
Beijedem Durchgang beträgt die Wahrscheinlichkeit
ein N zu treffen $, ein E zu treffen = j und ein
f
I zu trefren $.
Das Ereignis E1 gehön zu einem aeistufigen Zufallsuperiment. Wir müssen für drci Fälle die jeweiligen
Wahmheinlichkeiten bstimmen (2-mal N, 2-mal E,
und 2-mal I).
Das Ercignis E2 gehön zu einem vierstufigen Zufallsuperiment.
Wir bestimmen zunächst die Wahmcheinlichkeit für
Er = {(did)}.
Um die Wahrscheinlichkeit des Ergebnises (d;d) zu
erhalten, werden die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Zweige des agehörigen Pfade multipliziert.
Dies bezeichnet man als erste Pfadregel.
Wahrscheinlichkeiten können auch ohne Baumdiagramm berechnet wrden, wie das folgende Beispiel zeigl
{ r 1 ) : t . t + t . } +ät = i 3
> Er = {(N;N);(E:E);(t;t)}
€inSdaualiagrauu
gdn.
Et
Zu
Mffc
P ()E= 3 . + . ä . e = rschöh
- &vielc
>
Ez={(N;E:l:N)}
Verzwei9uhgen,
Übungen 2u3.2.4
P(E,)=j.+=+
I
11 = {(d:d)}
PG)=4.4:&
> Er = {(i;i)}
P @ ) = + . + + 1r '. 14 +==#€
>
r3={(d;i):(i;d)}
l. Bei einem Glückspiel werden die Zufallsexperimente
einer l-Euro-Müue'und
.Werfen
"Werfen
eins Würfels" hintercinander durchgefühn.
a) Steilen Sie dieses aeistufige Experiment mithilfe
eina Baumdiagramms dar.
b) Bestimmen Sie die Wahrecheinlichkeit für: -Zahl
liegt oben und es wurde eine 5 gewürfelt".
2. Eine l-Euro-Mrinze oird dreimal hintereinander
geworfen. Wie hoch ist die Wahrecheinlichkeit,
dreimal bry. genau rueimalTahl zu rircrfen?
3. Fertigen Sie ein Baumdiagram
fur einen Multiple-Choice-Tst an, bei dem zu drei Fragen vier
mögliche Antwonen, von denen genau eine richiig
ist, angegeben werden. Bestimmen Sie die Wahrscheinliehkeit, den Test ohne lGnntnisse fehlerlos
zu bestehen.
In einer Produktionsstätte arbeiten drei Maschinen unabhängig voneinmder mit eiher Zuverlässigkeit von 95%,90% und 80%. Berechnen Sie
a)
die Wahrscheinlichkeit. dass
alle Maschinen funktionieren;
b) mindesters eine Maschine funktiorofähig
c)
genau aei
Mcchinen
ist;
funktioniercn.
5 . Ein Mathematikbuch
wird von zwei Autorinnen
unabhängig voneinander Konektur gelaen. Autärin A findet 80 % der Fehler, Autorin B 60 %.
a ) Zeichnen Sie dazu ein Baumdiagramm.
Nach den Korekturen der Autorinnen findet die
lektorin weitere 60 % der Fehler.
b) Mit welcher Wahscheinlichkeit
wird ein fetler
entdeckt?
r':
I
r
-