Vektoren, Vektorräume

Vektorprodukt
Satz: Für ~a, ~b, ~c ∈ V 3 und λ ∈ IR gilt:
1
2
3
~a × ~b = −~b × ~a
~a × ~b + ~c = ~a × ~b + ~a × ~c
~a × λ ~b = λ ~a × ~b
(Anti-Kommutativität)
(Linearität)
(Linearität)
Satz: Die Koordinatendarstellung des Vektorprodukts lautet:
~a × ~b = (a2 b3 − a3 b2 ) ~ex + (a3 b1 − a1 b3 ) ~ey + (a1 b2 − a2 b1 ) ~ez .
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17 / 30
Vektorprodukt und Determinanten
Eine zweireihige Determinante D ist definiert als
a1 b1 := a1 b2 − a2 b1 .
D := a2 b2 Das Vektorprodukt läßt sich somit folgendermaßen darstellen:
a b2 ~ex + a3 b3 ~ey + a1 b1 ~ez .
~a × ~b = 2
a3 b3
a1 b1
a2 b2 Roman Wienands (Universität zu Köln)
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Anwendung: Drehmoment und Drehimpuls
Drehmoment:
Ein starrer Körper werde im Ursprung 0 gehalten, wobei im Punkt P
→
~ ). Gemäß dem
~ angreife. Es sei ~r = −
0P und ϕ = ∠(~r , K
die Kraft K
~ senkrecht zur von den
Hebelgesetz entsteht ein Drehmoment M
~
Vektoren ~r und K aufgespannten Ebene mit
~ = ~r × K
~
M
und
~ = |~r | |K
~ | sin ϕ .
|M|
Drehimpuls:
Ein Teilchen mit der Masse m bewege sich mit der Geschwindigkeit ~v .
−→
Am Punkt P mit ~r = 0P hat das Teilchen bzgl. des Ursprungs 0 den
Drehimpuls:
~` := ~r × ~p = m ~r × ~v ,
wobei ~p = m ~v den Impuls des Teilchens bezeichnet.
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Outline
1
Vektoren im Raum
2
Komponenten und Koordinaten
3
Skalarprodukt
4
Vektorprodukt
5
Analytische Geometrie
6
Lineare Räume, Gruppentheorie
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Analytische Geometrie
Darstellung von Geraden, Ebenen, Kreisen, Abständen und
Schnittpunkten bzw. Schnittebenen zwischen diesen
geometrischen Objekten mit Hilfe der Vektorrechnung.
Wir legen ein kartesisches Koordinatensystem mit Ursprung 0
zugrunde.
−→
Ein Punkt P ist durch seinen Ortsvektor 0P charakterisiert. Für
einen variablen Punkt X bzw. einen fest gewählten Punkt P
bezeichnen
 
 
x0
x
−→
−→



0X = ~r = y
bzw.
0P = ~r0 = y0 
z0
z
die zugehörigen Ortsvektoren.
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Geraden
Geradengleichung: Die Gerade g verlaufe durch den Punkt P in
Richtung des Vektors ~a. Die Geradengleichung ergibt sich dann zu
~r − ~r0 × ~a = ~0 .
Parameterform der Geradengleichung:
~r = ~r0 + λ ~a
mit
λ ∈ IR .
−→
Der minimale Abstand d eines Punktes Q mit Ortsvektor 0Q = ~q
zu einer Geraden g ergibt sich zu:
~a × ~q − ~r0 d=
.
~a
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Ebenen
Normalform: Eine Ebene E ist bestimmt durch
 einen Punkt P in
a
der Ebene und einen Normalenvektor ~n = b 6= 0, der
c
~r − ~r0 · ~n = 0 .
senkrecht auf E steht:
Koordinatenform:
ax + by + cz = ax0 + by0 + cz0 =: d .
Hessesche Normalform: Ersetzung des Normalenvektors ~n
durch einen parallelen Einheitsvektor ~e~n liefert:
~r · ~e~n − p = 0
mit
p = ~r0 · ~e~n .
Parameterdarstellung: Zwei nichtparallele Vektoren ~a und ~b in
der Ebene E spannen diese Ebene auf:
~r = ~r0 + λ ~a + µ ~b
mit λ, µ ∈ IR .
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23 / 30
Schnittpunkte, Schnittgeraden
Gerade mit Gerade:
!
~r1 + λ1 ~a1
~r0 + λ0 ~a0 =
mit λ1 , λ2 ∈ IR .
3 Gleichungen mit 2 Unbekannten λ0 , λ1 ; Geraden können
“windschief” sein.
Gerade mit Ebene:
!
~r0 + λ0 ~a0 =
~r1 + λ1 ~a1 + µ1 ~b1
mit λ0 , λ1 , µ1 ∈ IR .
3 Gleichungen mit 3 Unbekannten λ0 , λ1 , µ1 .
Ebene mit Ebene:
!
~r0 + λ0 ~a0 + µ0 ~b0 =
~r1 + λ1 ~a1 + µ1 ~b1
mit
λ0 , λ1 , µ0 , µ1 ∈ IR .
3 Gleichungen mit 4 Unbekannten λ0 , λ1 , µ0 , µ1 .
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Beispiel: Geraden
Gesucht ist die Gerade g durch die Punkte P0 = (1, 0, 1) und
P1 = (0, 1, 1).
 
−1
−−−→
Es gilt ~a = P0 P1 = ~r1 − r0 =  1  .
0
Damit ergibt sich die Geradengleichung zu

   
  
x
−
1
−1
−z
+
1
0
~r − ~r0 × ~a = y − 0 ×  1  =  −z + 1  = 0
z −1
0
x +y −1
0
bzw. die Parameterform der Geraden
 
  
  
1
−1
1−λ
x
~r = ~r0 + λ ~a = 0 + λ  1  =  λ  = y 
1
0
1
z
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(λ ∈ IR) .
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Beispiel: Geraden
Man beachte: Eliminiert man in der Parameterform der Geraden den
Parameter λ durch Addieren der ersten und zweiten Komponente,
dann ergeben sich (gemeinsam mit der dritten Komponente) die
beiden Gleichungen
x +y =1
und
z=1
und damit dieselben beiden Beziehungen wie in der Geradengleichung
darüber.
Der minimale Abstand des Punktes Q = (1, 1, 0) von g berechnet sich
mit Hilfe von
     
 
1
1
0
−1
−−→







~
~
~
~
~
1
P0 Q = q − r0 = 1 − 0 =
und a × q − r0 = −1
0
1
−1
−1
r
~a × ~q − ~r0 3
zu d =
=
.
~a
2
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Beispiel: Ebene
Gesucht ist die Ebene E durch die Punkte Q = (1, 1, 0), P0 = (1, 0, 1)
und P1 = (0, 1, 1), vgl. obiges Beispiel.
Parameterdarstellung der Ebene:
 
 
−1
0
−→
−−−→
~b = −

~a = P0 P1 =  1  ,
1  = ~q − ~r0
P0 Q =
0
−1
 
 
   
1
−1
0
x







~
⇒ r = 0 +λ 1 +µ 1
= y
(λ, µ ∈ IR) .
1
0
−1
z
Koordinatenform der Ebene:
 
−1
~n = ~a × ~b = −1 ,
−1
   
1
−1
d = ~r0 · ~n = 0 · −1 = −2
1
−1
und damit x + y + z = 2 .
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27 / 30
Beispiel: Ebene
Hessesche Normalform:
 
1
1  
1
Verwende ~e~n = √
3 1
⇒
x
y
z
2
~r · ~e~n − ~r0 · ~e~n = √ + √ + √ − √ = 0 .
3
3
3
3
Der minimale Abstand des Punktes R = (1, 1, 1) zur Ebene E
berechnet sich zu
1
1
1
2 1
h = √ + √ + √ − √ = √ .
3
3
3
3
3
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28 / 30