Teil 3 - Universität zu Köln

Outline
1
Funktionen von mehreren Veränderlichen
2
Grenzwert und Stetigkeit
3
Partielle Ableitungen
4
Die verallgemeinerte Kettenregel
5
Das totale Differential
6
Extremstellen
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Definition: Lokale bzw. absolute Extremwerte
Eine Funktion z = f (x, y ) besitzt an der Stelle (x0 , y0 ) ein lokales
Maximum bzw. lokales Minimum, wenn in einer Umgebung von (x0 , y0 )
f (x0 , y0 ) > f (x, y )
bzw.
f (x0 , y0 ) < f (x, y )
(1)
gilt, wobei (x, y ) 6= (x0 , y0 ) .
Die lokalen Minima bzw. Maxima einer Funktion werden unter
dem Begriff lokale Extremwerte zusammengefasst.
Ist eine der beiden Ungleichungen (1) an jeder Stelle des
Definitionsbereichs von z = f (x, y ) erfüllt, dann liegt an der Stelle
(x0 , y0 ) ein absolutes Maximum bzw. ein absolutes Minimum vor.
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Beispiel für ein globales Minimum
Die Funktion z = f (x, y ) = x 2 + y 2 hat an der Stelle (x0 , y0 ) = (0, 0)
ein absolutes oder globales Minimum.
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Beispiel für ein globales Maximum
2
2
Die Funktion z = f (x, y ) = e−(x +y ) hat an der Stelle (x0 , y0 ) = (0, 0)
ein absolutes oder globales Maximum.
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Beispiel für ein globales Maximum
Die Funktionen
g1 (x) = f (x, 0) = e−(x
2 +02 )
2 +y 2 )
bzw. g2 (y ) = f (0, y ) = e−(0
haben an der Stelle x0 = 0 bzw. y0 = 0 ein absolutes oder
globales Maximum.
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Notwendige Bedingung für einen lokalen Extremwert
In einem relativen Extremum (x0 , y0 ) der Funktion z = f (x, y ) besitzt
die zugehörige Bildfläche stets eine zur (x, y )-Ebene parallele
Tangentialebene. Die Bedingungen
fx (x0 , y0 ) = 0
und
fy (x0 , y0 ) = 0
(2)
sind daher notwendige Vorraussetzungen für die Existenz eines
relativen Extremwertes an der Stelle (x0 , y0 ) .
Dieses Kriterium ist zwar notwendig, aber keinesfalls hinreichend.
D.h.: In einem Extremum verläuft die Tangentialebene stets parallel
zur (x, y )−Ebene, jedoch ist nicht jeder Flächenpunkt mit einer zur
(x, y )−Ebene parallelen Tangentielebene auch ein Hoch oder
Tiefpunkt.
Es kann sich auch um einen sogenannten Sattelpunkt handeln.
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Beispiel für einen Sattelpunkt
Die Funktion z = f (x, y ) = x 2 − y 2 hat an der Stelle (x0 , y0 ) = (0, 0)
einen Sattelpunkt.
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Hinreichende Bedingung für einen lokalen Extremwert
Eine Funktion z = f (x, y ) besitzt an der Stelle (x0 , y0 ) einen lokalen
Extremwert, wenn die folgenden Bedingungen zugleich erfüllt sind:
1
Die partiellen Ableitungen 1. Ordung verschwinden in (x0 , y0 ):
fx (x0 , y0 ) = 0
2
und
fy (x0 , y0 ) = 0 .
(3)
Die partiellen Ableitungen 2. Ordnung genügen der Ungleichung
2
4 = fxx (x0 , y0 ) · fyy (x0 , y0 ) − fxy
(x0 , y0 ) > 0 .
(4)
Das Vorzeichen von fxx (x0 , y0 ) entscheidet dann über die Art des
Extremwertes (Maximum oder Minimum):
fxx (x0 , y0 ) < 0 ⇒
lokales Maximum
fxx (x0 , y0 ) > 0 ⇒
lokales Minimum
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Bemerkungen
1
Ähnlich wie bei den Funktionen von einer Veränderlichen
entscheiden also die (partiellen) Ableitungen 1. und 2. Ordnung
über Existenz und Art der lokalen Extremwerte.
2
Die Bedingungen (3) und (4) sind hinreichend. In den Fällen
4 < 0 und 4 = 0 gilt:
4 < 0: Es liegt kein Extremwert, sondern ein Sattelpunkt vor.
4 = 0: Das Kriterium versagt, d.h. es ermöglicht in diesem Fall
keine Entscheidung darüber, ob an der Stelle (x0 , y0 ) ein lokaler
Extremwert vorliegt oder nicht.
3
Der Begriff des lokalen Extremwertes läßt sich ganz analog auf
Funktionen von n Veränderlichen (n > 2) erweitern.
Eine notwendige Bedingung für die Existenz eines lokalen
Extremwertes ist dann wieder das Verschwinden aller partiellen
Ableitungen 1. Ordnung an der betreffenden Stelle.
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Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen
Aufgabenstellung:
Gesucht ist ein Extremwert der Funktion z = f (x, y ), wobei die
Variablen x, y einer Einschränkung der Form
ϕ(x, y ) = 0
unterworfen sind.
Man unterscheidet hierbei zwei Fälle:
1
ϕ(x, y ) läßt sich nach y bzw. nach x auflösen:
y = ϕ1 (x) bzw. x = ϕ2 (y ) .
Einsetzen gemäß
z = f (x, ϕ1 (x)) = g1 (x) bzw.
z = f (ϕ2 (y ), y ) = g2 (y )
liefert dann eine Extremwertaufgabe in einer Varänderlichen.
2
Ein Auflösen der Funktion ϕ nach x bzw. y ist nicht möglich bzw.
zu unpraktisch oder aufwändig.
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Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren
Die Extremwerte einer Funktion z = f (x, y ) unter der Nebenbedingung
ϕ(x, y ) = 0 lassen sich wie folgt berechnen:
1
Bilde die Hilfsfunktion
F (x, y , λ) := f (x, y ) + λ · ϕ(x, y ) .
Den Faktor λ bezeichnet man als Lagrangeschen Multiplikator.
2
Die partiellen Ableitungen 1. Ordnung dieser Hilfsfunktion werden
gleich Null gesetzt:
Fx (x, y , λ) = fx (x, y ) + λ · ϕx (x, y ) = 0
Fy (x, y , λ) = fy (x, y ) + λ · ϕy (x, y ) = 0
(5)
Fλ (x, y , λ) = ϕ(x, y ) = 0
Aus diesem Gleichungssystem lassen sich die Extremwerte und
der Lagrangesche Multiplikator berechnen.
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Bemerkungen
Beim Lagrangeschen Multiplikator handelt es sich um eine
Hilfsgröße, die i.a. keine physikalische Bedeutung hat.
Die Bedingungen (5) sind notwendig aber nicht hinreichend.
Existenz und Art eines Extremwertes unter Nebenbedingungen
sind also ggf. zu überprüfen. Häufig sind sie aufgrund der
(physikalischen) Fragestellung vorgegeben.
Bei Funktionen von n Veränderlichen u = f (x1 , . . . , xn ) mit m
Nebenbedingungen (m < n) ϕi (x1 , . . . , xn ) = 0 (i = 1, . . . , m)
bildet man analog zum zweidimensionalen Fall eine Hilfsfunktion
F (x1 , . . . , xn , λ1 , . . . , λm ) = f (x1 , . . . , xn ) +
m
X
λi · ϕi (x1 , . . . , xn )
i=1
und setzt die (n + m) partiellen Ableitungen 1. Ordnung dieser
Funktion gleich Null. Dies liefert (n + m) Gleichungen für die
(n + m) Unbekannten x1 , . . . , xn , λ1 , . . . , λm .
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Anwendungen
Fehlerrechnung
Methode der kleinsten Quadrate
Ausgleichsgeraden
Statistische Thermodynamik
Quantenmechanik
Lösung der Schrödingergleichung im LCAO-Formalismus
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