Gauß und Riemann die Vordenker Einsteins

Gauß und Riemann
die Vordenker Einsteins
Max Camenzind
Senioren Uni
Würzburg 2015
Hermann Minkowski
Mathematiker 1864 – 1909
war Einsteins Lehrer ETH
 1907 nach Göttingen
1908
Zur SR: »Ach, der Einstein?
Der schwänzte doch immer die Vorlesungen
– dem hätte ich das gar nicht zugetraut.«
 Einstein: »überflüssige Gelehrsamkeit«
Jeder Raumpunkt trägt eine Uhr
Auch der Mensch ist 4-dimensional
Hermann
Minkowski
prägte 1908 den
Begriff RaumZeit und
erklärte damit
mathematisch die
Spezielle Relativität
Einsteins. Raum und
Zeit bilden eine vierdimensionale Einheit,
eine sog. flache
pseudo-Riemannsche
Mannigfaltigkeit. In
dieser Fläche werden
wie in 2 Dimensionen
Abstände durch
Metrik gemessen.
Hermann Minkowski erklärte 1908
die Spezielle Relativität
Am 21. September 1908 sprach der spröde
wirkende Mathematiker in einem Vortrag vor der
Versammlung Deutscher Naturforscher und Ärzte
in Köln über die drei Jahre zuvor von Einstein
formulierte Spezielle Relativitätstheorie. In seinem
Vortrag sagte er die folgenden, pathetischen und
oft zitierten Worte, die in ihrer Tragweite aber lange
nicht ganz verstanden wurden:
„Die Tendenz ist eine radikale. Von Stund’ an
sollen Raum für sich und Zeit für sich völlig zu
Schatten herabsinken, und nur noch eine Art Union
der beiden soll Selbstständigkeit bewahren.“
Minkowski Linienelement
Ereignis:
(ct, x, y, z)

RaumZeit
= Menge
aller
Ereignisse
Ohne Gravitation  Welt flach
Minkowski 1908  RaumZeit = Welt
Abstände ds in der RaumZeit = {(ct,x,y,z)}
t : Eigenzeit
ds  c dt  c dt  dx  dy  dz
2
2
2
2
2
2
2
2
ds² = hmn dxµ dxn
ds  c dt  dr  r d  r sin d
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Kausale Struktur der RaumZeit
Zeitartig
Lichtartig, Null
Raumartig
3-Raum
In jedem Ereignis
ist ein Lichtkegel
definiert: ds² = 0
ds² ist invariant unter
Lorentz-Transformationen
ds  c dt  c dt  dx  dy  dz
2
2
2
2
2
2
2
 ds '²  c ² dt '²  dx'²  dy '²  dz '²
Verwende dazu die Differentiale aus:
2
Kommunikation mit Raumfahrzeug
Signal
Signal
k: 4er Wellenvektor
kµ = (w/c, kx,ky,kz)
k = (2p/l) n
n: Einheitsvektor
u: 4er Geschwind.
Eigenzeit t längs einer Weltlinie
Was bedeutet: die RaumZeit ist
“gekrümmt” oder “flach” ?
Gleichseitiges Dreieck im flachen Raum
Gleichseitiges Dreieck auf der Sphäre
Was ist Krümmung anschaulich?
Die Ebene (links) ist eine flache Fläche, das Paraboloid
(rechts) ist gekrümmt. Diese Fläche entsteht durch
Einbettung in den drei-dimensionalen Raum.
Die Fläche ist jedoch ein “selbständiges Wesen” (Gauß).
Flächen in der Architektur
Flächen in der Architektur
Flächen in der Architektur
Flächen in der Computergrafik
Flächen in der Computergrafik
Geometrie der Flächen nach Gauß
2-Sphäre
Riemannsche
Fläche
Theorie der 2D Flächen geht auf
Carl Friedrich Gauß zurück
* 30. April 1777 in Braunschweig; † 23. Februar
1855 in Göttingen, lebte seit 1807 in Göttingen.
Doku: Carl Friedrich Gauß
Gauß berechnete die Bahn von Ceres
Wie addiere ich alle Zahlen von 1 … 100?
Am 30. April 1777 in Braunschweig als Sohn eines
Gassenschlächters geboren, verblüffte Carl Friedrich Gauss
– der von sich selbst sagte, er habe eher rechnen als
sprechen gelernt – schon als Kind seine Lehrer. In der mit
100 Schülern überfüllten Schulstube erteilte der Lehrer die
Aufgabe, alle Zahlen von 1 bis 100 zu addieren. Lange vor
seinen Mitschülern hatte der kleine Carl Friedrich das
richtige Ergebnis parat. Anhand von 50 Zahlenpaaren mit
der Summe von 101 (1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 und so weiter)
löste er die Aufgabe mit 50 x 101 = 5050 als richtiges
Ergebnis. Gauss’ herausragendes Talent wurde durch den
Braunschweiger Herzog mit Stipendien für die höhere
Schule, das Studium in Göttingen von 1795 - 1798 und die
Promotion in Helmstedt gefördert.
Gauß lebte zurückgezogen
1807, im Alter von 30 Jahren, wurde er – bereits mit hohem
wissenschaftlichen Renommee – als Professor für
Astronomie nach Göttingen berufen und zog mit seiner Frau
Johanna und Sohn Joseph in die Groner Straße. Nach der
Geburt zweier weiterer Kinder starb seine Frau schon 1809;
für Gauss war dies ein schwerer Verlust. Mit Minna
Waldeck, Tochter eines Göttinger Professors, fand er aber
schon bald eine neue Mutter für seine Kinder und
Lebensgefährtin, die ihm drei weitere Kinder geschenkt hat.
Gauss pflegte das gesellschaftliche Leben in der kleinen
Universitätsstadt kaum. Er erfreute sich der Natur auf seinen
vielen Spaziergängen und nutzte das reichhaltige Angebot
an Lesestoff in der Bibliothek und dem Zeitschriftenlesesaal
der Universität.
Gauß bleibt in Göttingen, lehnt Berlin ab
Es war eine Zeit der politischen Umbrüche und
wirtschaftlichen Not, aber auch eine Zeit, in der die
Wissenschaften große Faszination ausübten. Universitäten
wurden aufgebaut, internationaler fachlicher Austausch
spielte eine große Rolle, Astronomie wurde zum
Gesellschaftsthema. Wilhelm von Humboldt bemühte sich,
Gauß nach Berlin zu holen. Gauß entschied sich jedoch – wie
bei allen Abwerbeversuchen – in Göttingen zu bleiben. Der
Bau einer neuen Sternwarte vor den Toren der Stadt schritt
voran. Von 1816 bis zu seinem Tode diente sie Gauß als
Wohn- und Arbeitsstätte. Dass mit einem Wohnsitz
außerhalb des Stadtwalles ganz praktische Vorteile
hygienischer Art verbunden waren, verdeutlicht seine
Feststellung während einer Cholera-Epidemie: „Meine
Sternwarte ist wieder der gesündeste Punkt von Göttingen.“
Gauß und die Mathematik
Seine überragenden wissenschaftlichen Leistungen waren
schon seinen Zeitgenossen bewusst. Mit 18 Jahren
entwickelte er die Grundlagen der modernen
Ausgleichungsrechnung und der mathematischen Statistik
(Methode der kleinsten Quadrate), mit der er 1800 die
Wiederentdeckung des ersten Asteroiden Ceres ermöglichte.
Auf Gauß gehen die nichteuklidische Geometrie, zahlreiche
mathematische Funktionen, Integralsätze, die
Normalverteilung, erste Lösungen für elliptische Integrale
und die gaußsche Osterformel zurück. 1807 wurde er zum
Universitätsprofessor und Sternwartendirektor in Göttingen
berufen und später auch mit der Landesvermessung des
Königreichs Hannover betraut. Neben der Zahlen- und der
Potentialtheorie erforschte er u. a. das Erdmagnetfeld.
Gauß und die Deutsche Mark
Gedenktafel auf dem Brocken
Mit diesem Dreieck versuchte Gauß die
Krümmung der Erde zu bestimmen
Vermessungsschiff GAUSS 1980
Das Schiff wurde am 27. November 2006 nach 468 Einsätzen und über 707.000
gefahrenen Seemeilen aufgrund der aus Kostengründen notwendigen
Verkleinerung der Flotte des BSH außer Dienst gestellt. Die Betriebskosten des
Schiffes betrugen rund 3,3 Millionen Euro jährlich.
Mondkrater Gauß / Durchm: 171 km
Die Geometrie der 2-Sphäre
Eine Sphäre (bzw.
Kugeloberfläche)
S² mit dem
Mittelpunkt O und
dem Radius R ist
die Menge aller
Punkte P des
Raumes, die vom
Punkt O den
Abstand R haben.
Sphärische Dreiecke
Ein sphärisches Dreieck
ist in der sphärischen
Geometrie (Kugelgeometrie) ein Teil
einer Kugeloberfläche,
der von drei Großkreisbögen begrenzt
wird. Als Ecken des
Kugeldreiecks werden
die Punkte bezeichnet,
in denen je zwei dieser
Großkreise einander
schneiden.
 Winkelsumme > 180
Grad.
Erdkugel: Länge und Breite
2-Sphäre – Winkelsumme > 180°
Parallelen schneiden sich in einem Punkt
Lokal ist die 2-Sphäre Euklidisch!
Wie messe ich den Abstand
zwischen zwei Punkten auf Sphäre
Messen auf der Kugelfläche S²
Sphäre mit Radius r
Winkel df (Rektaszension)
rd
Großkreise Winkel 
(Deklination)
r sin() df
Nach Pythagoras:
ds² = r² d² + r²sin² df²
ds² = g11d² + g22df²
Metrische Funktionen:
g11 = r² , g22 = r²sin²
Tangenten und Normale an Fläche
v
Fläche:
u
Gitter (u,v)
u
v
Kurven auf einer Fläche
Beispiele von Flächen
Beispiel: Die Kleinsche Flasche
 nicht orientierbar
1. Fundamentalform der Sphäre
F  ,     x ,  , y  ,  , z  ,  
z
 r sin  cos  , r sin  sin  , r cos  


x
y
X   r cos cos  , r cos sin  ,r sin  
X    r sin  sin  , r sin  cos  ,0
E  X   X   r 2 cos 2  cos 2   r 2 cos 2  sin 2   r 2 sin 2 
 r 2 cos 2   r 2 sin 2   r 2
F  X   X   r 2 sin  cos sin  cos   r 2 sin  cos sin  cos 
0
G  X   X   r 2 sin 2  sin 2   r 2 sin 2  cos 2 
 r 2 sin 2 
Gauß: Erste Fundamentalform
= Linienelement einer Fläche
Allgemein nach Gauß:
Moderne Sprechweise:
Metrik gij (i,j=1,2)
oder Linienelement
Hauptkrümmungen
Hauptkrümmungen k1 & k2
Die Gauß`sche Krümmung K
Konstruktion der Normalen
3 Vektoren bilden ein rechtshändiges System
Normale N
der Sphäre
N
X  X 
X  X 
i
j
k 



X   X    r cos cos  r cos sin   r sin  
  r sin  sin  r sin  cos 

0


 r 2 sin  sin  cos  i  sin  sin   j  cos k 


N  sin  cos  , sin  sin  , cos 
Gauß-Krümmung K der 2-Sphäre
X    r sin  cos  ,r sin  sin  ,r cos  
X    r cos  sin  , r cos  cos  ,0
X    r sin  cos  ,r sin  sin  ,0
e  N  X   r sin 2  cos 2   r sin 2  sin 2   r cos 2   r
f  N  X   r sin  cos  sin  cos   r sin  cos  sin  cos   0
g  N  X   r sin 2  cos 2   r sin 2  sin 2   r sin 2 
eg  f 2
r 2 sin 2  1
K 
 4 2  2
2
EG  F
r sin  r
Formeln nach Gauß
Bogenlänge  
S
0
E du   2 Fdudv  G dv 
2
2
Fläche   EG  F dudv
2

eg  f
Gauss Krümmung 
2
EG  F
1 eG  2 fF  gE
Mittlere Krümmung 
2
EG  F 2
2
Gauß 1827: Theorema Egregium
Während Gauß in den Jahren 1821 bis 1825 das Königreich
Hannover vermessen hatte, vermutete er, dass sich die
Krümmung der Erdoberfläche allein durch die Längen- und
Winkelmessung bestimmen lässt. Tatsächlich brauchte Gauß
noch einige Zeit, um diese Aussage zu beweisen:
Die Gaußsche Krümmung einer Fläche
F ist eine Größe der inneren Geometrie
dieser Fläche F. Sie hängt nur von der
Fundamentalform und Ableitungen ab.
Carl Friedrich Gauß: Disquisitiones generales circa superficies curvas
(Allgemeine Untersuchungen über gekrümmte Flächen; 8. Oktober 1827),
Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis recentiores 6
(classis mathematicae), 1828, S. 99–146
2-Sphäre hat positive Krümmung
K = 1/r²
2-Sattel hat negative Krümmung
K = -1/r²
Wie groß ist die Krümmung ?
Salatschüssel und Sattelfläche
K>0
K<0
Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit
= n-dim Fläche, die allein durch ein
Linienelement ds² definiert ist.
 Eine Punktmenge, lokal Euklidisch,
auf der man Abstände messen kann.
 Begriff der Geodäten
Beispiel: 3-Sphäre S³
Hauptkrümmung & Gauß-Krümmung
Flachländler & Krümmung
Krümmung
ist ein lokales
Konzept
Geodäte auf einer Fläche
= kürzeste Verbindung 2 Punkte
Kindheit
Bernhard Riemann
wurde 17. September 1826
in Breselenz bei
Dannenberg geboren.
Sein Vater war dort Pastor.
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, www.mathematik-verstehen.de, Vortrag Johanneum Lüneburg 2006
Studium und Mathematik
für Promotion und Habilitation
kehrt Riemann 1849 zu Gauß zurück
Carl Friedrich Gauß
Bernhard Riemann
undatiert, um 1850
„Fürst der Mathematik“, 1777-1855
Studium und Mathematik
Berlin
• Steiner
• Jacobi
• Dirichlet
dieser folgt 1855 Gauß nach,
ihm folgt 1859 Riemann auf den
Lehrstuhl in Göttingen
1847-49
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Universität Lüneburg, www.mathematik-verstehen.de, Vortrag Johanneum Lüneburg 2006
Gauss schreibt das Gutachten für Riemanns Dissertation
Die von Herrn Riemann eingereichte Schrift legt ein
bündiges Zeugniß ab von den gründlichen und tief
eindringenden Studien des Verf. in demjenigen Gebiete,
welchem der darin behandelte Gegenstand angehört; von
einem strebsamen ächt mathematischen
Forschungsgeiste, und von einer rühmlichen
productiven Selbstthätigkeit. Der Vortrag ist
umsichtig und concis, theilweise selbst elegant: der
größte Theil der Leser möchte indeß wohl in einigen
Theilen noch eine größere Durchsichtigkeit der
Anordnung wünschen. Das Ganze ist eine gediegene
werthvolle Arbeit, das Maaß der Anforderungen,
welche man gewöhnlich an Probeschriften zur
Erlangung der Doctorwürde stellt, nicht bloß
erfüllend, sondern weit überragend.
Das Examen in der Mathematik werde ich übernehmen.
Weg zur Mannigfaltigkeit
Wissenschaftliche Arbeiten bei Gauß
Dissertation 1851
„Grundlagen für eine allgemeine Theorie der
Funktionen einer veränderlichen complexen Größe“
Habilitationsschrift 1853
„Über die Darstellbarkeit einer Funktion durch
eine trigonometrische Reihe“
ein halbes Jahr vor Gauß‘ Tod
Habilitationsvortrag 1854
“Die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde
liegen”.  Erfindung der Riemannschen
Mannigfaltigkeiten.  absolut genial!
 Erst 1876 in den gesammelten Werken publiziert.
Veröffentlicht hat er seine Ideen zur
„riemannschen Geometrie“, d. h.
Differentialgeometrie in beliebig vielen
Dimensionen mit lokal definierter Metrik,
nur in seinem Habilitationsvortrag 1854,
den er noch in Gegenwart des tief
beeindruckten Carl Friedrich Gauß hielt.
Er hatte mehrere Themen vorgeschlagen
und die „Hypothesen, welche der
Geometrie zugrunde liegen“ nur als letztes aufgeführt. Gauß wählte (was eigentlich unüblich ist) gezielt dieses Thema. In
dem Vortrag musste sich Riemann
gezwungenermaßen für einen breiteren
Kreis verständlich ausdrücken, und es
kommen deshalb nur wenige Formeln
darin vor. In einer Pariser Preisschrift
(publiziert erst 1876 in den Gesammelten
Werken) deutet Riemann die konkretere
Ausführung seiner Vorstellungen an (u. a.
Christoffel-Symbole, Krümmungstensor).
Mannigfaltigkeit: Karten & Atlas
Eine Abbildung
einer Umgebung von
nach
heißt eine Karte (chart).
Ein Atlas ist eine Sammlung
von Karten.
Karte
Torus ist lokal Euklidisch
Karten & Atlas
Ein Atlas ist eine
Sammlung von Karten,
die sich überschneiden.
Erdoberfläche durch Atlas definiert
Fläche in E³ ist Mannigfaltigkeit
Kleinsche Flasche
 nicht-orientierbare Mannigfaltigkeit
Kugel S²: Stereografische Projektion
Wie kann ich Kugel ohne Einbettung definieren
Höherdimensionale Mannigfaltigkeit
Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit
= n-dim Fläche, die allein durch ein
Linienelement ds² definiert ist.
 Eine Punktmenge, lokal Euklidisch,
auf der man Abstände messen kann.
 Begriff der Geodäten
Beispiel: 3-Sphäre
Das Universum ist eine 4D Fläche
Konstruktion Tangenten-Ebene
durch Tangenten an alle möglichen Kurven
Kurve in der
Mannigfaltigkeit
Transport von Vektoren
längs Kurven  Parallelverschiebung
Transport
von Vektoren
soll metrisch
sein
 Winkel
zwischen 2
Vektoren
ändert sich
nicht!
 Sonst hätte
man Torsion.
Affine Struktur der Kugel
Tangentenebenen in verschiedenen Punkten haben a priori
nichts miteinander zu tun.
 Zur Deckung gebracht durch Rotation  2 Rotationsmatrizen A
 Dies definiert affinen Zusammenhang: V(x+n) = V(x) + AnV(x)
Affine Struktur Mannigfaltigkeit
e2
t
g`(t)
e1
e2
Kurve g(t) in M
t+dt
e1
Basis-Vektoren ei in TM werden rotiert:
ei(g(t+dt)) = ei(g(t)) +
[ w1i(g`(t))e1 + … + wni(g`(t))en] dt
n Rotationsmatrizen: wki(em) = Gkmi
i,k,m = 1, … ,n; n = Dim (M)
Hauptsatz der Riemann Geometrie
Es existiert genau ein Zusammenhang (affine Struktur) auf
einer Riemannschen Mannigfaltigkeit, der längentreu und
winkeltreu (keine Torsion) ist – der Levi-Civita Zusammenhang. Er ist durch die Christoffel-Symbole gegeben, die aus
der Geodätengleichung folgen.
Die Aussage, dass ein solcher Zusammenhang existiert und
auch eindeutig ist, wird in der Literatur häufig Hauptsatz
der Riemannschen Geometrie genannt. Der Levi-CivitaZusammenhang ist nämlich ein wesentliches Hilfsmittel
zum Aufbau der Riemannschen Krümmungstheorie. Denn
der Krümmungstensor wird mit Hilfe eines Zusammenhangs definiert, daher bietet es sich an, in der Riemannschen Geometrie den eindeutig ausgezeichneten LeviCivita-Zusammenhang für die Definition des Riemannschen
Krümmungstensors zu verwenden.
Effekt der
Krümmung
auf Transport
von Vektoren
auf Kugel
Vektoren
werden gedreht
 Winkel a Maß
der Krümmung
Riemann-Krümmung in 3D
E2
V
E1
TV
Riemann:  3 Rotationsmatrizen
a
a
TV = R
b
bcd
c
d
V [E1 x E2 ]
ab, cd = 12, 13, 23
Einstein Summationskonvention
Riemann- & Gauß-Krümmung
Wir betrachten in x 2 nicht-parallele
Vektoren S und T. Diese definieren einen
2D Fläche auf. Dann ergibt sich folgende
Beziehung zwischen Riemann-Tensor
und Gauß-Krümmung K(x)
Rabcd (x) SaTbScTd = K(x) Area²(S,T)
mit Einstein Summation a,b,c,d=1,…,n
Zusammenfassung
• Gauß entwickelte die Theorie der Flächen in zwei
Dimensionen.
•  Er fand, dass die Krümmung einer Fläche nur von der
ersten Fundamentalform und ihren Ableitungen
abhängt  Theorema Egregium.
• Riemann verallgemeinerte das Konzept der Flächen auf
beliebige Dimensionen, zunächst als Einbettung, später
als selbständige Wesen ohne Einbettung. Eine
Mannigfaltigkeit ist sozusagen allein durch die erste
Fundamentalform ds² bestimmt, die wir heute
metrisches Element oder einfach Metrik nennen.
• Zusätzlich beschreibt affine Struktur Transport Vektoren
•  Die Krümmung (Riemann Tensor) lässt sich eindeutig
aus den Ableitungen dieser Metrik berechnen.