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1. Mechanik
1.1 Kinematik des Massepunktes
Beschreibung der Bewegung
ohne Rücksicht auf die Ursache
Körper, dessen Lage durch einen
einzigen Punkt beschrieben wird
ohne Rücksicht auf seine Struktur
Bestimmung der zurückgelegten Wegeund der dafür benötigten Zeiten
Längenmessung
Zeitmessung
Einheit der Länge:
1791: Definition des Pariser Urmeters:
10-7-ter Teil eines Erdquadranten
1889: Anfertigung eines verbindlichen Prototyps
(temperaturstabile Invar-Legierung)
heutige Definition: über die Lichtgeschwindigkeit
Zeitmessung:
Augustinus zur Erklärung der Zeit:
Wenn mich niemand fragt, dann weiß ich es;
soll ich es einem Fremden erklären, dann
weiß ich es nicht.
Abzählung periodisch wiederkehrender Ereignisse
astronomische Ereignisse
Tage, Jahre
einfache Instrumente (Sanduhr, Metronom)
elektronische Schwingkreise (Quarzuhr)
sehr schnelle natürliche
periodische Vorgänge (Atomuhr)
Gleichförmige Bewegung eines
Körpers auf einer Luftkissenbahn
(Messdaten vom 21. Oktober 2005)
x [m]
∆x
v=
= const
∆t
4
3
2
∆x
1
0
∆t
0
2
∆x [m]
1
1
1
4
Weg [m] Zeit [s]
1
1,66
2
3,39
3
5,09
4
6,80
6
∆t [s]
1,73
1,70
1,71
t [s]
Gleichförmige Bewegung eines
Körpers auf einer Luftkissenbahn
(Messdaten vom 21. Oktober 2005)
Weg x(t)
Geschwindigkeit v(t)
Bemerkungen: die leichte “Welligkeit” der v(t)-Kurve ist zur Hauptsache
auf kleine Unebenheiten in der Bahn zurückzuführen;
der leichte Abfall der v(t)-Kurve zeigt, dass die Reibung
nicht vollständig beseitigt werden konnte.
Messung einer Geschoß-Geschwindigkeit
∆α
∆l
Zeitmessung: Drehung der 2. Scheibe
während der Flugzeit ∆t
Drehzahl: n
Zeit für eine Umdrehung: T = 1/n
gemessener Winkel: ∆α
∆α = ∆t
360° T
∆α
∆α 1
∆t =
T =
360°
360° n
Gleichförmig beschleunigte Bewegung
eines Körpers auf einer Luftkissenbahn
(Messdaten vom 25. Oktober 2005)
Weg x(t)
B
Geschwindigkeit v(t)
A
Bemerkungen: die leichte “Welle” der v(t)-Kurve bei A ist hauptsächlich
auf eine kleine Unebenheit in der Bahn zurückzuführen;
das Plateau in der v(t)-Kurve bei B deutet auf kurzzeitig
erhöhte Reibungsverluste hin, die vermutlich durch eine
leichte Berührung des Körpers mit der Laufschiene entstanden sind.
Gleichförmig beschleunigte Bewegung
Beschleunigung: a = const
Anfangswerte:
Geschwindigkeit: v = a t
1 2
s= at
2
zurückgel. Weg:
v - t - Diagramm
a - t - Diagramm
a
v0 = 0 und s0= 0
s
v
t
Beschleunigung
0
1
2
3
4
s - t - Diagramm
t
Geschwindigkeit
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
Weg
Sonderfall: freier Fall mit a = g = 9,81 m/s2
t
Häufigkeitsverteilung von Messdaten
(statistische Verteilung)
Quelle: Zabel-Vorlesung: Physik1,
(RUB, WS 04/05)
Mittelwert:
1 N
x = ∑ xi
N i =1
N
Standardabweichung:
σ=
∑ (x − x )
i =1
i
N −1
2
Bewegung in zwei und drei Dimensionen
r r r  x   x   x − x   ∆x 
∆r = r2 − r1 =  2  −  1  =  2 1  =  
 y2   y1   y2 − y1   ∆y 
Geschwindigkeit:
r
r
r
∆r d r d  x   dx / dt   vx 
v = lim
=
=
=
= 
∆t →0 ∆t
dt dt  y   dy / dt   v y 
Betrag:
r
v = vx2 + v y2
Beschleunigung:
r
r
∆v d v d  vx   dvx / dt   ax 
r
a = lim
=
=  =
= 
∆t →0 ∆t
dt dt  v y   dv y / dt   a y 
Betrag:
r
a = ax2 + a y2
die Bewegungen in den Achsenrichtungen des
Kordinatensystems erfolgen unabhängig voneinander
Horizontaler Wurf
t = 0, x = 0, z = 0
vx = v x0
vz = 0
vz = 0
vx = v x0
r
v = vx2 + vz2
horizontale Bewegung (gleichförmig):
vx (t ) = const = vx 0
t
x(t ) = ∫ vx dt ′ = vx 0 ⋅ t
0
vertikale Bewegung (gleichförmig beschleunigt):
t
vz (t ) = ∫ (− g ) dt ′ = − g ⋅ t
0
t
t
1
z (t ) = ∫ vz dt ′ = − g ∫ t ′ dt ′ = − g ⋅ t 2
2
0
0
Schiefer Wurf
z
z
z
z
z
x
z
Anfangswerte (t = 0):
r
vx 0 = v0 ⋅ cos θ0 = v0 ⋅ cos θ0
r
vz 0 = v0 ⋅ sin θ0 = v0 ⋅ sin θ0
z
horizontale Bewegung (gleichförmig):
vx (t ) = const = v0 ⋅ cos θ0
t
x(t ) = ∫ vx dt ′ = (v0 ⋅ cos θ0 ) ⋅ t
0
vertikale Bewegung (gleichförmig beschleunigt):
t
vz (t ) = vz 0 + ∫ (− g ) dt ′ = v0 ⋅ sin θ0 − g ⋅ t
0
t
t
t
1
z (t ) = ∫ vz dt ′ = ∫ vz 0 dt ′ + ∫ (− g )t ′ dt ′ = (v0 ⋅ sin θ0 ) ⋅ t − g ⋅ t 2
2
0
0
0
Auswertung der Messwerte für die
(halbe) Periodendauer einer Pendelschwingung
(i = lfd. Nummer; xi = i-ter Messwert in [s]; Gesamtzahl N = 35; Messung am 26.10.05;)
i
xi
i
xi
i
xi
i
xi
i
xi
1
2
3
4
5
6
7
2,5
2,4
2,5
2,8
2,3
2,5
2,5
8
9
10
11
12
13
14
2,5
2,5
2,6
2,7
2,4
2,6
3,0
15
16
17
18
19
20
21
2,5
2,6
2,7
2,3
2,6
2,5
2,9
22
23
24
25
26
27
28
2,7
2,6
2,7
2,6
2,7
2,6
2,3
29
30
31
32
33
34
35
2,8
2,4
2,2
2,7
2,3
2,5
2,6
N
Mittelwert: x =
N
1
∑ xi = 2,56
N i =1
Standardabweichung: σ =
∑(x − x )
i =1
2
i
= 0,177
N −1
graphische Darstellung der Messdaten: xi = f(i)
3,0
2,8
Messwert
x
2,6
x
2,4
x
2,2
0
5
10
15
20
25
30
35
40
laufende Nummer
im Bereich x ± σ liegen 26 von 35 Messdaten, entsprechend (26/35)×100% = 74%
Häufigkeitsverteilung und Wahrscheinlichkeit
bei zufällig verteilten Messwerten
(Messdaten für eine Pendelschwingung
vom 26. Oktober 2005)
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
2,0
2,1 2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1 3,2
Messwert T/2 [s]
Balken:
p ( xi ) =
xi: einzelner Messwert
∆xi: Breite des Messintervalls
(hier: Messgenauigkeit von 0.1 s)
ni: Anzahl der Messwerte im
Intervall [xi - ∆xi/2; xi + ∆xi/2]
N: Gesamtzahl der Messungen
(hier: N = 35)
ni
N ⋅ ∆xi
Kurve:
(Gauß-Verteilung)
p( x) =
1
⋅e
2π ⋅ σ
−
( x − x )2
1 N
x = ∑ xi
N i =1
2 σ2
Mittelwert
(hier: x = 2,56)
N
σ=
∑ (x − x )
i =1
i
N −1
2
Standardabweichung
(hier: σ = 0,177)
Fehlerfortpflanzung
F(x)
F(x)
∆F(x)
∆F(x)
∆x
F(x)
∆F(x)
x
∆F ( x ) ≈
∆x
x
∆x
dF ( x )
⋅ ∆x
dx
x
zufällige Fehler von Funktionen mehrerer Variabler

 ∂F ( x, y )
  ∂F ( x, y )
∆ F ( x, y ) = 
⋅ ∆x  + 
⋅ ∆y 
 ∂x
  ∂y

2
2
Beispiel 1: Ergebnis = Summe von zwei Messgrößen
2

 ∂( x + y )
  ∂( x + y)
F ( x , y ) = x + y ⇒ ∆ F ( x, y ) = 
⋅ ∆x  + 
⋅ ∆y  = ∆x 2 + ∆y 2
 ∂x
  ∂y

2
Beispiel 2: Ergebnis = Produkt von zwei Messgrößen
2

 ∂( x ⋅ y)
  ∂( x ⋅ y)
⋅ ∆x  + 
⋅ ∆y  =
F ( x , y ) = x ⋅ y ⇒ ∆F ( x , y ) = 
 ∂x
  ∂y

2
∆F ∆( x ⋅ y )
⇒
=
=
F
x⋅ y
( y ⋅ ∆x ) + (x ⋅ ∆y )
2
( x ⋅ y)2
2
( y ⋅ ∆x ) + (x ⋅ ∆y )
2
 ∆x   ∆y 
=   + 
 x   y 
2
2
2
Bahnkurve der Wurfbewegung (I)
Anfangswerte (t = 0):
r x 
Ort: r0 =  0 
 z0 
r  vx 0   v0 cos θ 
Geschw.: v0 =   = 

 vz 0   v0 sin θ 
r a   0 
Beschl.: a0 =  x 0  =  
 az 0   − g 
z
x
Werte zu einem Zeitpunkt t > 0 :
x0 + vx 0 ⋅ t


r
Ort: r (t ) = 
2
(1/
2)
z
v
t
g
t
+
⋅
−
⋅
z0
 0

 vx 0   v0 cos θ 
r
Geschw.: v (t ) = 
 =  v sin θ − g ⋅ t 
v
g
t
−
⋅
 z0
  0

a   0 
r
Beschl.: a (t ) =  x 0  =  
 az 0   − g 
Bahnkurve z = f (x) durch Eliminieren von t aus x(t) und z(t):
x(t ) = x0 + vx 0 ⋅ t ⇒ t =
x − x0
vx 0
z (t ) = z0 + vz 0 ⋅ t − (1/ 2) g ⋅ t 2
z ( x ) = z0 +
vz 0
g
2
⋅ ( x − x0 ) −
⋅
(
x
−
x
)
0
vx 0
2 ⋅ vx20
= z0 + tan θ ⋅ ( x − x0 ) −
g
2
⋅
(
x
−
x
)
0
2v02 ⋅ cos 2 θ
Bahnkurve der Wurfbewegung (II)
vz 0
g
g
2
2
⋅x−
⋅
x
=
θ
⋅
x
−
⋅
x
tan
vx 0
2 ⋅ vx20
2v02 ⋅ cos 2 θ
( x0 = 0; z0 = 0) ⇒ z ( x ) =
Horizontale Reichweite R:
g
2 v02
2
⋅R ⇒ R=
z ( R ) = 0 ⇒ 0 = tan θ ⋅ R − 2
2
g
2v0 ⋅ cos θ
v02
R = ⋅ sin 2θ
g
 sin θ 
2
⋅
 ⋅ cos θ
 cos θ 
1
 sin θ 
2

 ⋅ cos θ = ⋅ sin 2θ
2
 cos θ 
(maximale Reichweite: Rmax= v0 /g für θ = 45°)
2
Höhe der Bahnkurve H:
 v02 ⋅ sin θ cos θ 
 v02 ⋅ sin θ cos θ 
g
z ( R / 2) = H ⇒ H = tan θ ⋅ 
⋅
− 2

2
g
2
v
⋅
cos
θ
g




0
v02
H=
⋅ sin 2 θ
2g
(maximale Höhe: Hmax= v0 /2g für θ = 90°)
2
2
gleichförmige Kreisbewegung (I)
Winkel
im Bogenmaß
∆s
∆ϕ =
r
∆ϕ
∆s
r
Bahngeschwindigkeit:
Winkelgeschwindigkeit:
vB =
∆s (r ⋅ ∆ϕ)
∆ϕ
=
=r
= r ⋅ω
∆t
∆t
∆t
ω=
∆ϕ vB
=
∆t
r
voller Umlauf (∆ϕ=360° A 2π):
⇒ Umlaufzeit: T =
ω=
2π
T
2π
1
; Drehzahl: n =
ω
T
gleichförmige Kreisbewegung (II)
r
r
R = r ⋅ sin θ
r
ω
r
R
r
ω
θ
r
vB
r ∆ϕ r
r
vB = R ⋅
= r ⋅ ω ⋅ sin θ
∆t
r r r r
r
vB = ω× r = ω× R
r
r
der Betrag der Bahngeschwindigkeit ist konstant,
aber: die Richtung der Bahngeschwindigkeit ist nicht konstant
r
r
d r
r dR r r
r
⇒ Beschleunigung: aR = (ω× R) = ω ×
= ω× vB
dt
dt
ω = const
r r
r
∆R = R2 − R1
R2
∆ϕ
R1
Zentripetalbeschleunigung :
r r
r
aR = ω× vB = ω⋅ vB = ω2 ⋅ r = vB2 / r