14. Vorlesungswoche

Mikroökonomik – 14. Vorlesungswoche
Tone Arnold
Universität des Saarlandes
7. Februar 2008
Tone Arnold (Universität des Saarlandes)
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Ausgeschlossene Themen
Folgende Themen sind nicht klausurrelevant:
Arbeitsangebot
Intertemporale Konsumentscheidung und Zinsänderungen
Unterschied zwischen lang– und kurzfristigen Kosten (LAC, SAC
etc.)
Preisdiskriminierung 2. und 3. Ordnung (PD 1. Ordnung ist
relevant!)
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Die Edgeworth Box
Es gibt 2 Personen (A und B) und 2 Güter (Gut 1 und Gut 2).
Der Nullpunkt für Person A ist links unten, der für Person B rechts
oben.
Die Breite der Box entspricht der Menge an Gut 1, die insgesamt
verfügbar ist.
Die Höhe der Box entspricht der Menge an Gut 2, die insgesamt
verfügbar ist.
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Die Edgeworth Box
Beispiel:
Die beiden Güter sind Schokolade (Gut 1) und Wein (Gut 2).
Die beiden Personen A und B besitzen jeweils eine
Erstausstattung an den beiden Gütern:
ωA = (7, 3)
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und ωB = (4, 5).
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Die Edgeworth Box
B
4
ω
3
A
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5
7
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Die Edgeworth Box
Definition 1 (Allokation)
Eine Allokation in einer 2 Personen – 2 Güter Ökonomie ist eine
Aufteilung der Mengen der beiden Güter auf die beiden Personen.
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Die Edgeworth Box
Jeder Punkt innerhalb der Box stellt eine erreichbare Allokation
dar. Eine Allokation besteht aus einem Konsumplan für jeden der
beiden Konsumenten.
Beispiel: Die Anfangsausstattung ω A , ω B = ((7, 3), (4, 5)) ist eine
erreichbare Allokation.
Bei gegebener Grösse der Box gilt: Die Mengen beider Güter, die
Konsument A besitzt, bestimmen gleichzeitig die Mengen des
Konsumenten B.
Beispiel: Konsument A besitzt 3 Einheiten von Gut 2. Dann
bleiben für Konsument B 8 − 3 = 5 Einheiten von Gut 2.
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Indifferenzkurven durch die Anfangsausstattung
x2A
x1B
B
ω
x1A
A
x2B
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Indifferenzkurven durch die Anfangsausstattung
x2A
x1B
B
ω
x1A
A
x2B
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Indifferenzkurven durch die Anfangsausstattung
x2A
x1B
B
x
ω
x1A
A
x2B
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Indifferenzkurven durch die Anfangsausstattung
x2A
x1B
B
x
ω
x1A
A
x2B
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Indifferenzkurven durch die Anfangsausstattung
x2A
x1B
B
x
ω
x1A
A
x2B
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Pareto Effizienz
Definition 2 (Pareto Effizienz)
Eine Allokation ist Pareto effizient, wenn es nicht möglich ist, eine
Person besser zu stellen, ohne gleichzeitig eine andere schlechter zu
stellen.
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Pareto Effizienz
Es existiert keine Allokation, die für beide Konsumenten besser ist
als x̂.
Die Indifferenzkurven tangieren sich in x̂, so dass keine
‚Verbesserungslinse‘ entsteht.
Eine solche Allokation heisst nach dem italienischen Soziologen
und Ökonomen Vilfredo Pareto Pareto optimal oder Pareto
effizient.
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Pareto Effizienz
x̂ ist Pareto effizient.
x2A
x1B
B
x̂
x1A
x2B
A
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Pareto optimale Allokationen
Die Pareto optimale Allokation in der Abbildung ist ein
Tangentialpunkt zweier Indifferenzkurven der Konsumenten, d. h.
in dieser Allokation haben beide Indifferenzkurven die selbe
Steigung.
Die Steigung der Indifferenzkurve ist gleich der Grenzrate der
Substitution.
Im Tangentialpunkt gilt: |GRSA | = |GRSB |.
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Pareto optimale Allokationen
Beispiel: u(x1 , x2 ) = x1 x2 .
Die |GRS| lautet
∂u
x
∂x1
= 2.
∂u
x1
∂x2
Im Tangentialpunkt muss also gelten:
x1B
x1A
=
.
x2A
x2B
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17 / 108
Pareto optimale Allokationen
Anfangsausstattung aus unserem Beispiel:
ωA = (7, 3)
und ωB = (4, 5).
Angenommen, beide Personen haben die Nutzenfunktion
u(x1 , x2 ) = x1 x2 . Ist die Anfangsausstattung Pareto effizient?
5
3
6= |GRSB | = .
7
4
Die Anfangsausstattung ist nicht Pareto effizient.
|GRSA | =
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Fixe und variable Kosten
Fixe Kosten sind von der Produktionsmenge unabhängig.
Die Unterscheidung von fixen und variablen Kosten hängt vom
betrachteten Zeitraum ab, z.B. Miete für ein Gebäude, Gehälter
der Angestellten etc.
Kurzfristig sid manche Kosten fix, aber langfristig können alle
Faktoren variiert werden.
Beispiel: C(y ) = 3y 2 + F mit dem Fixkostenterm F > 0.
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Grenzkosten
Frage: Um wieviel steigen die minimalen Kosten, wenn der Output
marginal erhöht wird?
Antwort: Die Grenzkosten (Marginal Cost), MC sind gegeben durch
die Ableitung der Kostenfunktion nach dem Output y :
MC(y ) = C ′ (y ) =
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∂C(y )
.
∂y
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Durchschnittskosten
Frage: Wie hoch sind die Stückkosten?
Antwort: Die Durchschnittskosten (Average Cost) AC sind die
Kosten pro Stück, i.e.
C(y )
.
AC(y ) =
y
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21 / 108
Zusammenhang zwischen Grenz– und
Durchschnittskosten
Die Durchschnittskosten sind
AC(y ) =
C(y )
.
y
Die Ableitung der AC ergibt
·
¸
dAC
C ′ (y )y − C(y )
C(y )
1
′
=
C (y ) −
=
dy
y
y
y2
=
1
[MC(y ) − AC(y )] .
y
Der Ausdruck in eckigen Klammern stellt die Differenz zwischen
Grenz– und Durchschnittskosten dar.
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22 / 108
Zusammenhang zwischen Grenz– und
Durchschnittskosten
1
dAC
= [MC(y ) − AC(y )] .
dy
y
Wenn die Grenzkosten kleiner sind als die Durchschnittskosten,
dann ist MC(y ) − AC(y ) negativ. D.h. die AC nehmen ab.
Wenn die Grenzkosten grösser sind als die Durchschnittskosten,
dann ist MC(y ) − AC(y ) positiv. D.h. die AC nehmen zu.
Wenn die Grenzkosten gleich den Durchschnittskosten sind, dann
ist MC(y ) − AC(y ) gleich null. D.h. die AC sind konstant.
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23 / 108
Grenz– und Durchschnittskosten
AC
MC
ŷ
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y
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Zusammenhang zwischen Grenz– und
Durchschnittskosten
Wenn die Grenzkosten gleich den Durchschnittskosten sind, dann ist
die Änderung der AC ist gleich null. Bezeichne diesen Punkt mit ŷ . D.h.
es gilt
AC(ŷ ) = MC(ŷ ).
Das bedeutet: Die Steigung der AC–Kurve im Punkt ŷ ist gleich
null.
Die AC–Kurve hat ihr Minimum im Punkt ŷ .
Die MC–Kurve schneidet die AC–Kurve im Minimum der AC.
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25 / 108
Grenz– und Durchschnittskosten
Beispiel 1: C(y ) = y 2 + 100.
Die Durchschnittskosten sind AC(y ) = y + 100/y
und die Grenzkosten sind MC(y ) = 2y .
Minimierung der AC:
dAC
100
=1− 2 =0
dy
y
⇒
y 2 = 100
⇒
ŷ = 10.
Es gilt
AC(10) = 10 +
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100
= 20,
10
MC(10) = 2 · 10 = 20.
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26 / 108
Grenz– und Durchschnittskosten
AC
MC
20
y
10
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27 / 108
Grenz– und Durchschnittskosten
Beispiel 2: C(y ) = 2y + 100.
Die Durchschnittskosten sind AC(y ) = 2 + 100/y
und die Grenzkosten sind MC(y ) = 2 und somit konstant.
Ableitung der AC:
100
dAC
= − 2 < 0,
dy
y
d.h. die AC nehmen überall ab. AC und MC treffen sich für y → ∞.
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28 / 108
Grenz– und Durchschnittskosten
AC
MC
y
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29 / 108
Grenz– und Durchschnittskosten
Beispiel 3: C(y ) = y 2 + 2y .
Die Durchschnittskosten sind AC(y ) = y + 2
und die Grenzkosten sind MC(y ) = 2y + 2.
Die MC liegen überall oberhalb der AC. Die AC steigen überall.
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30 / 108
Grenz– und Durchschnittskosten
AC
MC
2
y
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31 / 108
Langfristiges Gleichgewicht
Wir betrachten einen Markt mit 3 Firmen, die über unterschiedliche
Technologien verfügen:
Firma 1 ist am wenigsten effizient, i.e. sie hat die höchsten
Stückkosten von den drei Firmen.
Firma 2 hat etwas geringere Stückkosten.
Firma 3 besitzt die effizienteste Technologie mit den geringsten
Stückkosten.
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32 / 108
3 Firmen mit unterschiedlichen Stückkosten
p
p
MC
p
MC
AC
AC
AC
p∗
p∗
p∗
Verlust
(a) Verlust
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MC
y
(b) Nullgewinn
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y
Gewinn
(c) Gewinn
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y
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Kurzfristiges Gleichgewicht
Beim Preis p∗ macht Firma 1 einen Verlust.
Firma 2 realisiert einen Gewinn von null.
Firma 3 erwirtschaftet einen positiven Gewinn.
Diese Situation kann kurzfristig stabil sein, wenn der Preis über den
variablen Stückkosten der Firma 1 liegt.
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34 / 108
Kurzfristiges Gleichgewicht
Falls der Preis über den variablen Stückkosten der Firma 1 liegt:
Firma 1 könnte einen Teil ihrer Fixkosten decken.
Bei Firmen 2 und 3 deckt der Erlös die Kosten.
Firma 3 macht einen Gewinn.
Langfristig muss Firma 1 mit ihrer ineffizienten Technologie aus dem
Markt ausscheiden, da ihre langfristigen Durchschnittskosten nicht
gedeckt sind.
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Markteintritte
Ohne Marktzutrittsschranken werden weitere Firmen mit
effizienter Technologie in den Markt eintreten, um ebenfalls
positive Gewinne zu realisieren.
Dadurch steigt das Angebot, und der Preis sinkt.
Dieser Prozess dauert solange an, bis keine Gewinne mehr
realisiert werden.
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Langfristiges Gleichgewicht
p
MC
AC
p∗
y
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37 / 108
Langfristiges Gleichgewicht
Der langfristige GG–Preis liegt im Minimum der langfristigen
Durchschnittskosten jedes Unternehmens.
Jede Firma hat ihre optimale Betriebsgrösse erreicht.
Die Menge des Produktes, die bei diesem Preis hergestellt wird,
kann nicht mit geringeren Kosten produziert werden.
Jede Firma operiert im Minimum ihrer Durchschnittskosten.
Im langfristigen Gleichgewicht wird effizient produziert.
Jede Firma maximiert ihren Gewinn.
Im langfristigen Gleichgewicht gilt: p = MC = AC.
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Langfristiges Gleichgewicht
Im langfristigen GG gilt
p∗ = MC(y ∗ ) = MinAC.
Der Output (im langfristigen Gleichgewicht) yi∗ einer Firma i ist
diejenige Menge, bei der die Durchschnittskosten minimal sind.
2 Möglichkeiten der Berechnung:
1
Minimierung der Durchschnittskosten, oder
2
Gleichsetzen von Grenz– und Duchschnittskosten.
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39 / 108
Langfristiges Gleichgewicht
Beispiel: C(y ) = y 2 + 100.
Wie lautet der langfristige GG–Preis?
1. Minimierung der AC
AC(y ) = y +
B.1.O.
100
.
y
100
dAC
= 1 − 2 = 0.
dy
y
Auflösen nach y ergibt y ∗ = 10. Der langfristige GG–Preis ist dann
AC(10) = 10 + 10 = 20.
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40 / 108
Langfristiges Gleichgewicht
Beispiel: C(y ) = y 2 + 100.
Wie lautet der langfristige GG–Preis?
2. MC = AC
MC(y ) = 2y
gleichsetzen mit AC(y ) = y + 100/y ergibt
2y = y + 100/y
⇒
y 2 = 100
⇒
y ∗ = 10.
Einsetzen in MC ergibt MC(10) = 2 · 10 = 20.
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41 / 108
Steuern
Eine Mengensteuer von t e pro verkaufte Einheit bedeutet, dass das
Unternehmen pro verkaufter Einheit t e an den Staat zahlen muss.
Der Gewinn des Unternehmens ist dann
π = p y − C(y ) − t y .
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42 / 108
Steuern bei vollkommener Konkurrenz
Beispiel: C(y ) = 0.25y 2 .
Die inverse Angebotsfunktion ist pS (y ) = MC(y ) = y /2 und die
Angebotsfunktion ist S(p) = 2p.
Die Nachfrage ist D(p) = 60 − 4p und die inverse Nachfrage ist
pD (y ) = 15 − y /4.
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43 / 108
Marktgleichgewicht
p
15
pD (y )
pS (y )
60
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y
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44 / 108
Berechnung des Marktgleichgewichts (GG)
GG Preis
S(p) = D(p) ⇒ 2p = 60 − 4p ⇒ p∗ = 10.
Im GG gehandelte Menge
D(10) = 60 − 40 = 20,
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S(10) = 2 · 10 = 20.
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45 / 108
Marktgleichgewicht
p
15
pD (y )
pS (y )
10
20
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60 X
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46 / 108
Berechnung der volkswirtschaftlichen Rente
Konsumentenrente:
KR =
(15 − 10) · 20
= 50.
2
Produzentenrente:
PR =
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10 · 20
= 100.
2
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47 / 108
Volkswirtschaftliche Rente
p
15
pD (y )
pS (y )
KR
10
PR
20
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60
y
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48 / 108
Wirkung einer Steuer
Der Staat erhebt eine Steuer von t = 3 e pro ME auf das Gut. Wie
reagieren Angebot und Nachfrage auf die Steuer?
Der Preis, den die Anbieter pro Einheit erhalten, ist der, den die
Nachfrager bezahlen, minus der Steuer, die an den Staat
abgeführt werden muss:
pS = pD − t.
Umgekehrt ist der Preis, den die Nachfrager pro ME zahlen, gleich
pD = pS + t.
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49 / 108
GG mit Steuer
Im GG gilt D(pD ) = S(pS ), wobei pD = pS + t:
60 − 4(pS + t) = 2pS ⇒ 60 − 4t = 6pS .
Auflösen nach pS ergibt den Preis, den die Anbieter pro ME erhalten:
2
pS∗ = 10 − t = 8.
3
Der Preis, den die Nachfrager pro ME zahlen, ist dann
pD∗ = pS∗ + t = 8 + 3 = 11.
Die im GG gehandelte Menge ist
S(pS∗ = 8) = 2 · 8 = 16,
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D(pD∗ = 11) = 60 − 4 · 11 = 16.
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50 / 108
Effekt der Steuer auf die Rente
p
15
pD (y )
pS (y )
pD∗ = 11
10
pS∗ = 8
16
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20
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60
y
7. Februar 2008
51 / 108
Effekt der Steuer auf die Rente
p
15
pD (y )
pS (y )
pD∗ = 11
10
pS∗ = 8
16
Tone Arnold (Universität des Saarlandes)
20
14. Vorlesungswoche
60
y
7. Februar 2008
52 / 108
Effekt der Steuer auf die Rente
p
15
pD∗ = 11
10
pD (y )
pS (y )
KR
Steuern
pS∗ = 8
PR
16
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20
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60
y
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53 / 108
Effekt der Steuer auf die Rente
p
15
pD∗ = 11
pD (y )
pS (y )
KR
Steuern
DWL
pS∗ = 8
PR
16
Tone Arnold (Universität des Saarlandes)
20
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60
y
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54 / 108
Effekt der Steuer auf die Rente
Die Konsumentenrente sinkt von 50 auf 32.
Die Produzentenrente sinkt von 100 auf 64.
Das Steuereinnahmen betragen 16 · 3 = 48.
Die neue volksw. Rente beträgt 32 + 64 + 48 = 144.
Es entsteht ein Verlust (Deadweight Loss, DWL) von
150 − 144 = 6.
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55 / 108
Die Wirkung von Steuern im Monopol
Wir betrachten ein Monopol mit Preis–Absatz Funktion
p(y ) = a − by
und Kostenfunktion C(y ) = cy mit c > 0.
Der Gewinn ist
π(y ) = ay − by 2 − cy .
Die B.1.O. der Gewinnmaximierung ist
a − 2by − c = 0 ⇒ a − 2by = c,
i.e. Grenzerlös = Grenzkosten.
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56 / 108
Die Wirkung von Steuern im Monopol
Auflösen von a − 2by − c = 0 nach y ergibt die Menge
yM =
(a − c)
.
2b
Der Monopolpreis ist dann
pM = a − b
2a − a + c
(a − c)
a+c
=
=
.
2b
2
2
Der resultierende Gewinn des Monopolisten ist
¸
·
(a − c)
a+c
(a − c)2
M
−c
=
π =
.
2
2b
4b
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57 / 108
Die Wirkung von Steuern im Monopol
Nun erhebt der Staat eine Mengensteuer von t GE auf jede verkaufte
Einheit des Gutes.
Frage: Wie wirkt sich die Steuer auf dea Angebotsverhalten und den
Gewinn des Monopolisten aus?
Die Steuer wirkt wie eine Erhöhung der Grenzkosten des
Monopolisten: Jede produzierte Einheit kostet ihn t GE zusätzlich, die
er an den Staat abführen muss.
M.a.W.: Die Grenzkosten sind nun c + t.
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58 / 108
Die Wirkung von Steuern im Monopol
Bei Grenzkosten von c + t sind Menge, Preis und Gewinn des
Monopolisten wie folgt:
y M (t) =
a − c−t
a−c
< yM =
,
2b
2b
pM (t) =
a+c
a + c+t
> pM =
,
2
2
π M (t) =
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(a − c)2
(a − c−t)2
< πM =
.
4b
4b
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59 / 108
Die Wirkung von Steuern im Monopol
Resultat der Mengensteuer
Der Monopolist bietet noch weniger zu einem noch höheren Preis an.
Sein Gewinn sinkt. Die Konsumentenrente sinkt ebenfalls. Somit sinkt
auch die gesamte volkswirtschaftliche Rente.
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60 / 108
Die Wirkung von Steuern im Monopol
Offensichtlich verschlimmert eine Mengensteuer den
Wohlfahrtsverlust.
Konsequenz: Wenn wir den Monopolisten dazu bringen wollen,
sein Angebot zu erhöhen und seinen Preis zu senken, dann
müssen wir seinen Output subventionieren!
Durch eine Subvention s sinken die Grenzkosten: Jede
produzierte Einheit kostet jetzt s GE weniger. Die GK sind daher
(c − s).
Das Angebot des Monopolisten ist dann
y M (s) =
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a − (c − s)
a−c+s
=
.
2b
2b
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61 / 108
Die Wirkung von Steuern im Monopol
Wir wissen, dass bei Preisnehmerverhalten seitens der Anbieter kein
Wohlfahrtsverlust entsteht.
Frage: Wie hoch müsste die Subvention sein, damit der Monopolist
die selbe Menge anbietet wie ein Preisnehmer?
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62 / 108
Die Wirkung von Steuern im Monopol
Ein Preisnehmer bietet diejenige Menge an, bei der Preis =
Grenzkosten gilt:
p = MC ⇒ a − by = c ⇒ y ∗ =
a−c
.
b
Damit der Monopolist die selbe Menge anbietet, muss gelten:
a−c
a−c+s
=
.
2b
b
Auflösen nach s ergibt s = (a − c).
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63 / 108
Die Wirkung von Steuern im Monopol
Das bedeutet:
Zahlt der Staat dem Monopolisten eine Subvention in Höhe von
s = (a − c), dann bietet der Monopolist die selbe Menge an wie
ein Preisnehmer.
Der Preis ist dann gleich den Grenzkosten c.
Der Gewinn des Monopolisten aus der Produktion ist gleich null
(da Preis gleich Grenzkosten).
Aber: Der Monopolist erhält eine Subvention in Höhe von
insgesamt s · y ∗ .
Dies entspricht den Staatsausgaben.
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Die Wirkung von Steuern im Monopol
Um den Monopolisten zu effizientem Verhalten zu bewegen, muss der
Staat ihm eine Subvention zahlen in Höhe von
s · y∗ =
(a − c)2
.
b
Achtung: Dies ist mehr als der Gewinn des Monopolisten ohne
Steuern und Subventionen
(a − c)2
.
4b
Eine solche Politik wäre in der Realität wahrscheinlich schwer
durchsetzbar.
Trick: Gleichzeitig zur Mengensubvention wird eine Gewinnsteuer T
eingeführt.
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Die Wirkung von Steuern im Monopol
Eine Gewinnsteuer wird unabhängig von der produzierten Menge
erhoben.
Daher hat sie auch keinen Einfluss auf das Angebotsverhalten des
Monopolisten, denn die B.1.O. der Gewinnmaximierung ändert sich
durch die Gewinnsteuer nicht:
π(y , T ) = (a − by )y − cy −T
und die B.1.O. lautet
a − 2by − c = 0,
genau wie im Fall ohne Gewinnsteuer.
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Die Wirkung von Steuern im Monopol
Die optimale Steuer– und Subventionspolitik besteht aus
1
einer Mengensubvention (s) pro Outputeinheit, die den
Monopolisten dazu veranlasst, die effiziente Menge (i.e. die eines
Preisnehmers, y ∗ ) anzubieten, und
2
einer Gewinnsteuer in Höhe der Subventionszahlung s · y ∗ .
Die Staatsausgaben sowie der Gewinn des Monopolisten nach
Steuern sind dann gleich null.
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Berechnung des Nash Gleichgewichts
2 Fälle:
1
Simultane Modelle: Cournot und Preiswettbewerb mit
differenzierten Gütern
2
Sequenzielle Modelle: Von Stackelberg und Preisführerschaft.
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Berechnung des Nash Gleichgewichts
Fall 1: Simultane Modelle
1
Jede Firma maximiert ihren Gewinn. Aus der B.1.O. erhalten wir
die Reaktionsfunktionen.
2
Wir setzen die Reaktionsfunktion von Firma 2 in die
Reaktionsfunktion von Firma 1 ein und lösen nach y1∗ bzw. p1∗ .
3
Das Ergebnis setzen wir in die Reaktionsfunktion der Firma 2 ein
und lösen nach y2∗ bzw. p2∗ .
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Berechnung des Nash Gleichgewichts
Beispiel:
y1 = R1 (y2 ) = 600 − 0.5y2 ,
y2 = R2 (y1 ) = 600 − 0.5y1 .
Einsetzen der zweiten Gleichung in die erste ergibt
y1 = 600 − 0.5 (600 − 0.5y1 ) .
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Berechnung des Nash Gleichgewichts
y1 = 600 − 0.5 (600 − 0.5y1 ) = 300 + 0.25y1 .
Wir bringen die Terme mit y1 auf die linke Seite:
0.75y1 = 300.
Auflösen nach y1 ergibt die Menge von Firma 1 im Nash GG:
y1∗ =
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300
= 400.
0.75
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Berechnung des Nash Gleichgewichts
Um die Menge von Firma 2 im Nash GG zu berechnen, setzen wir
y1∗ = 400 in die Reaktionsfunktion von Firma 2 ein:
y2∗ = 600 − 0.5 · 400 = 400.
Das Nash GG lautet y1∗ = y2∗ = 400.
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Berechnung des Nash Gleichgewichts
Ausnahme: Wenn das Modell symmetrisch ist, also wenn beide
Firmen das selbe Maximierungsproblem lösen, dann gilt im Nash GG:
y1∗ = y2∗ .
In diesem Fall ist die Berechnung einfacher. Es gilt
y1∗ = 600 − 0.5y2∗ .
Einsetzen von y1∗ = y2∗ ergibt
y1∗ = 600 − 0.5y1∗ .
Auflösen nach y1∗ ergibt y1∗ = 400. Dann folgt automatisch y2∗ = 400.
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Berechnung des Nash Gleichgewichts
Fall 2: Sequenzielle Modelle
1
Löse das Maximierungsproblem des (Preis– oder Mengen–)
Folgers. Aus der B.1.O. erhält man die Reaktionsfunktion des
Folgers.
2
Diese setzen wir in das Maximierungsproblem des Führers ein.
3
Wir lösen das Maximierungsproblem des Führers und erhalten y1∗
bzw. p1∗ .
4
Dies setzen wir in die Reaktionsfunktion des Folgers ein und
erhalten y2∗ bzw. p2∗ .
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Berechnung des Nash Gleichgewichts
Beispiel: Die Reaktionsfunktion des Stackelbergfolgers ist
R2 (y1 ) = 600 −
y1
.
2
Dies setzen wir ein in das Maximierungsproblem von Firma 1:
h
³
y ´i
max 1200 − y1 − 600 − 1 y1
y1
2
³
h
y1 ´
y1 i
y1 = 600 −
y1 .
= 1200 − y1 − 600 +
2
2
B.1.O.
600 − y1 = 0 ⇒ y1∗ = 600.
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Das von Stackelberg Modell
Einsetzen von y1∗ = 600 in die Reaktionsfunktion von Firma 2 ergibt
die Angebotsmenge von Firma 2:
y2∗ = 600 −
600
= 300.
2
Der resultierende Marktpreis ist
1200 − 600 − 300 = 300.
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Das von Stackelberg Modell
Definition 3 (Isoprofitlinie)
Eine Isoprofitlinie der Firma 1 gibt alle Mengenkombinationen der
beiden Firmen an, die zu dem selben Gewinn für Firma 1 führen:
π̄1 = a y1 − b y1 y2 − b y12 − c y1 .
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Isoprofitlinie für Unternehmen 1
y2
R1 (y2 )
y1
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Isoprofitlinie für Unternehmen 1
y2
R1 (y2 )
y1
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Isoprofitlinie für Unternehmen 1
y2
R1 (y2 )
y1
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Isoprofitlinie für Unternehmen 1
y2
R1 (y2 )
y1
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Isoprofitlinie für Unternehmen 2
y2
R2 (y1 )
y1
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Die von Stackelberg Lösung
y2
y2S
R2 (y1 )
y1
y1S
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Die von Stackelberg Lösung
Firma 1 sucht die niedrigste erreichbare Isoprofitlinie, die die
Reaktionsfunktion des Unternehmens 2 berührt.
Höhere Isoprofitlinien sind nicht gewinnmaximierend und
niedrigere sind nicht erreichbar.
Das von Stackelberg Gleichgewicht ist grafisch der
Tangentialpunkt der Isoprofitlinie der Firma 1 mit der
Reaktionskurve der Firma 2.
Im Vergleich zum cournot Nash Gleichgewicht gilt: Der Gewinn
von Firma 1 ist höher und der von Firma 2 ist niedriger.
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Das von Stackelberg Modell
y2
y2S
R2 (y1 )
y1
y1S
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Das von Stackelberg Modell
Der Stackelberg Führer profitiert also davon, dass er seine Menge
nicht im Nachhinein ändern kann.
Selbstbindung
Dadurch, dass der Stackelberg Führer seine Menge zuerst festlegt,
bindet er sich an diese Menge. Ohne diese Selbstbindung hätte
Firma 1 keinen Vorteil, denn dann wäre das Stackelberg Gleichgewicht
nicht erreichbar.
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Kartellbildung
Angenommen, die beiden Firmen in einem Cournot Duopol
entschliessen sich, ein Kartell zu bilden.
Sie maximieren ihren Gesamtgewinn:
max π(y1 , y2 ) = p(y1 , y2 )(y1 + y2 ) − C1 (y1 ) − C2 (y2 ).
y1 ,y2
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Kartellbildung
Beispiel Musikanlagen: Die Preis–Absatz Funktion ist
p(y ) = 1200 − y ,
wobei y = y1 + y2 die insgesamt hergestellte Menge ist. Die Kosten
sind gleich null.
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Kartellbildung
Maximierungsproblem des Kartells
max(1200 − y )y .
y
B.1.O.
1200 − 2y = 0 ⇒ y K = 600.
Dies entspricht der Monopolmenge.
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Kartellbildung
Annahme: Die Firmen teilen sich Produktion und Gewinn.
Der Preis ist 600 und der Gesamtgewinn ist 360000.
Kartell
Jede Firma produziert dann die Menge yiK = 300 und macht einen
Gewinn von πiK = 180000.
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Kartellbildung
Problem: Die Mengen y1K = y2K = 300 sind keine gegenseitig besten
Antworten.
Angenommen, Firma 2 hält sich an die Kartellabsprache und bietet die
Menge 300 an. Dann wäre die beste Antwort der Firma 1
R1 (300) = 600 −
300
= 450.
2
Das bedeutet:
Die Kartellmengen stellen kein Nash GG dar. Jede Firma hat einen
Anreiz, von dem Kartell abzuweichen. Das Kartell ist instabil.
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Kartellbildung
Weicht z.B. Firma 2 vom Kartell ab, während sich Firma 1 an die
Absprache hält, so erhält Firma 1 einen höheren Gewinn:
Die Gesamtmenge am Markt ist 300 + 450 = 750.
Der Preis ist dann 1200 − 750 = 450.
Der Gewinn von Firma 2 ist 450 · 450 = 202500.
Der Gewinn von Firma 1 ist dann 450 · 300 = 135000.
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Wiederholte Interaktion
Realität: Firmen konkurrieren am Markt nicht nur einmal, sondern
wiederholt über längere Zeiträume.
Dann besteht die Möglichkeit, die Verletzung einer Kartellabsprache zu
bestrafen. Dies erfolgt z.B. durch die Trigger Strategie.
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Trigger Strategie
Angenommen, Firma 1 spielt die Trigger Strategie:
1. Periode: Firma 1 beginnt mit der Kartellmenge 300.
2. Periode: Firma 1 bietet wieder die Kartellmenge von 300 an,
falls Firma 2 in Periode 1 auch die Kartellmenge 300 angeboten
hat. Falls Firma 2 in Periode 1 abgewichen ist, bietet Firma 1 für
immer nur noch die Cournot Menge 400 an.
n-te Periode: Firma 1 bietet die Kartellmenge 300 an, falls Firma
2 das selbe in der Vorperiode getan hat. Weicht Firma 2 jedoch
einmal von der Kartellmenge ab, dann bestraft Firma 1 die Firma
2, indem Firma 1 für alle Zukunft die Cournot Menge 400 anbietet.
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Trigger Strategie
Frage: Wenn Firma 1 die Trigger Strategie spielt, lohnt sich dann ein
Abweichen von der Kartellabsprache für Firma 2?
Annahme: Zukünftige Gewinne werden mit einem Diskontfaktor
δ = 1/(1 + r ) diskontiert.
Hält sich Firma 2 an die Kartellabsprache, während Firma 1 die Trigger
Strategie spielt, ist der Gewinn beider Firmen in jeder Periode gleich
180000. Der Gegenwartswert (Present Value, PV) dieses
Zahlungsstroms ist
PV K = 180000 + δ 180000 + δ 2 180000 + δ 3 180000 + . . . .
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Trigger Strategie
PV K = 180000 + δ 180000 + δ 2 180000 + δ 3 180000 + . . . .
(1)
Wir multiplizieren beide Seiten mit δ:
δ PV K = δ 180000 + δ 2 180000 + δ 3 180000 + . . . .
(2)
Jetzt subtrahieren wir Gleichung (2) von (1):
PV K (1 − δ) = 180000.
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Trigger Strategie
PV K (1 − δ) = 180000.
Auflösen nach PV K ergibt den Gegenwartswert des Zahlungsstroms:
PV K =
180000
.
1−δ
Dies ist der Gegenwartswert der Gewinne, die Firma 2 erhält, wenn sie
sich an die Kartellabsprache hält.
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Trigger Strategie
Um zu prüfen, ob sich für Firma 2 ein Abweichen lohnt, vergleichen wir
diesen Wert mit dem Gewinn, den Firma 2 bekommt, wenn sie in einer
Periode von der Kartellabsprache abweicht:
Durch das Abweichen von der Kartellmenge 300 auf die Menge
450 erhält Firma 2 einmalig einen Gewinn von 202500.
In der Folgeperiode setzt die Bestrafung ein. Dann bietet Firma 1
die Cournot Menge 400 an. Die beste Antwort der Firma 2 darauf
ist, ebenfalls die Menge 400 anzubieten. Dann erhält sie einen
Gewinn von 160000.
In allen Folgeperioden ist ihr Gewinn ebenfalls 160000.
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Trigger Strategie
Der Gegenwartswert aus dem Abweichen ist
PV A = 202500 + δ 160000 + δ 2 160000 + δ 3 160000 + . . . .
Wir multiplizieren beide Seiten mit δ:
δ PV A = δ 202500 + δ 2 160000 + δ 3 160000 + . . . .
Subtrahieren der unteren Gleichung von der oberen ergibt
PV A (1 − δ) = 202500(1 − δ) + δ 160000.
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99 / 108
Trigger Strategie
PV A (1 − δ) = 202500(1 − δ) + δ 160000.
Auflösen nach PV A ergibt den Gegenwartswert
PV A = 202500 +
δ 160000
.
1−δ
Um zu prüfen, ob sich das Abweichen lohnt, vergleichen wir dies mit
dem Wert PV K . Es gilt
202500 +
180000
δ 160000
≤
1−δ
1−δ
falls
22500 ≤ 42500δ ⇒ δ ≥ 0.53.
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Trigger Strategie
Ergebnis:
Falls der Diskontfaktor mindestens 0.53 beträgt, lohnt das Abweichen
von der Kartellabsprache nicht. Das Kartell ist dann stabil.
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101 / 108
Trigger Strategie
Wenn beide Firmen die Trigger Strategie spielen, dann besteht für
keine Firma ein Anreiz, von dieser Strategie abzuweichen.
Dann werden in jeder Periode die Kartellmengen (300, 300)
angeboten.
Das Kartell ist dann langfristig stabil.
Nash Gleichgewicht
Ein Paar von Trigger Strategien stellt ein Nash Gleichgewicht des
wiederholten Spiels dar, wenn der Diskontfaktor hinreichend gross ist.
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102 / 108
Preisführerschaft
Annahmen:
Preiswettbewerb mit differenzierten Gütern.
Firma 1 ist Preisführer, Firma 2 ist Preisfolger.
Die Nachfragefunktionen sind
yi (p1 , p2 ) = 120 − 2pi + pj .
Die Kosten sind gleich null.
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Preisführerschaft
Rückwärtige Induktion:
Firma 2 setzt ihren Preis gemäss ihrer Reaktionsfunktion
R2 (p1 ) = 30 +
p1
.
4
Firma 1 berücksichtigt dies. Wir setzen die Reaktionsfunktion der
Firma 2 in das Maximierungsproblem der Firma 1 ein:
³
p ´
max 120 − 2p1 + 30 + 1 p1
p1
4
¶
µ
7
= 150 − p1 p1 .
4
B.1.O.
7
300
150 − p1 = 0 ⇒ p1∗ =
= 42.86.
2
7
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Preisführerschaft
Einsetzen in die Reaktionsfunktion des Preisfolgers ergibt
p2∗ = 30 +
300
= 40.71.
28
Nash Gleichgewicht
Die Preise im Nash Gleichgewicht sind
p1∗ = 42.86, p2∗ = 40.71.
Der Preisfolger setzt einen niedrigeren Preis. Er kann den
Preisführer unterbieten.
Daduch erhält der Preisfolger einen grössenen Teil der Nachfrage.
Der Preisfolger macht einen höheren Gewinn und ist dadurch im
Vorteil.
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105 / 108
Preisführerschaft
Nachfrage im Nash GG
y1 (42.86, 40.71) = 120 − 85.72 + 40.71 = 75,
y2 (42.86, 40.71) = 120 − 81.42 + 42.86 = 81.44.
Gewinne im Nash GG
π1∗ = 42.86 · 75 = 3214.50, π2∗ = 40.71 · 81.44 = 3315.42.
Fazit:
Im Modell der sequenziellen Preissetzung mit differenzierten Gütern
hat der Preisfolger einen Vorteil.
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Preisführerschaft
Frage: Warum setzt der Preisfolger seinen Preis nicht auf 42,85 e?
Dadurch wäre er noch unter dem Preis der Konkurrenz, könnte aber
seinen Gewinn pro Stück um fast 2 e steigern.
Antwort: Was zählt, ist nicht der Gewinn pro Stück, sondern der
Gesamtgewinn. Dieser würde sinken, da die Nachfrage bei dem
höheren Preis zurückgehen würde.
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Preisführerschaft
Die Nachfrage für Firma 2 beim Preis von p2 = 42, 85 wäre
y2 = 120 − 85, 70 + 42, 86 = 77, 16.
Der Gewinn für Firma 2 wäre dann
π2 = 42, 85 · 77, 16 = 3306, 31.
Zum Vergleich: Beim Preis von 40,71 e war der Gewinn von Firma 2
gleich 3315.42.
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