4. Vorlesungswoche Fortsetzung

Mikroökonomik – 4. Vorlesungswoche Fortsetzung
Tone Arnold
Universität des Saarlandes
14. November 2007
Tone Arnold (Universität des Saarlandes)
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Slutzky Zerlegung bei Giffen Gut
x2
m/p2
xk
xalt
xneu
GE
EE
SE
2
4
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5
m/p1′
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m/p1
x1
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Giffen–Gut
Bei einem Giffen Gut gilt:
GE ist positiv: Aufgrund der Preiserhöhung steigt die Nachfrage
von 4 auf 5. Daher liegt ein Giffen Gut vor.
SE ist immer negativ: Nachfrage sinkt von 4 auf 2.
EE verläuft entgegen gesetzt zum SE, d.h. Senkung des
Einkommens bewirkt Erhöhung der Nachfrage von 2 auf 5. Daher
ist das Gut inferior.
Giffen Gut
SE und EE gehen in verschiedene Richtungen und EE ist
betragsmässig grösser als SE. Jedes Giffen Gut ist automatisch auch
inferior.
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Drei mögliche Fälle:
1
Das Gut ist normal und superior: SE und EE wirken in die selbe
Richtung. Preiserhöhung und Einkommenssenkung führen zu
Nachfragerückgang.
2
Das Gut ist normal und inferior: SE und EE wirken in
entgegengesetzte Richtungen. SE stärker als EE. Nachfrage sinkt
aufgrund einer Preiserhöhung.
3
Das Gut ist Giffen und inferior: SE und EE wirken in
entgegengesetzte Richtungen. SE schwächer als EE. Nachfrage
steigt aufgrund einer Preiserhöhung.
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Drei mögliche Fälle:
1
Das Gut ist normal und superior: SE und EE wirken in die selbe
Richtung. Preiserhöhung und Einkommenssenkung führen zu
Nachfragerückgang.
2
Das Gut ist normal und inferior: SE und EE wirken in
entgegengesetzte Richtungen. SE stärker als EE. Nachfrage sinkt
aufgrund einer Preiserhöhung.
3
Das Gut ist Giffen und inferior: SE und EE wirken in
entgegengesetzte Richtungen. SE schwächer als EE. Nachfrage
steigt aufgrund einer Preiserhöhung.
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Drei mögliche Fälle:
1
Das Gut ist normal und superior: SE und EE wirken in die selbe
Richtung. Preiserhöhung und Einkommenssenkung führen zu
Nachfragerückgang.
2
Das Gut ist normal und inferior: SE und EE wirken in
entgegengesetzte Richtungen. SE stärker als EE. Nachfrage sinkt
aufgrund einer Preiserhöhung.
3
Das Gut ist Giffen und inferior: SE und EE wirken in
entgegengesetzte Richtungen. SE schwächer als EE. Nachfrage
steigt aufgrund einer Preiserhöhung.
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Drei mögliche Fälle:
1
Das Gut ist normal und superior: SE und EE wirken in die selbe
Richtung. Preiserhöhung und Einkommenssenkung führen zu
Nachfragerückgang.
2
Das Gut ist normal und inferior: SE und EE wirken in
entgegengesetzte Richtungen. SE stärker als EE. Nachfrage sinkt
aufgrund einer Preiserhöhung.
3
Das Gut ist Giffen und inferior: SE und EE wirken in
entgegengesetzte Richtungen. SE schwächer als EE. Nachfrage
steigt aufgrund einer Preiserhöhung.
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Ergebnisse
Beobachtung 1
Jedes superiore Gut ist normal und jedes Giffen–Gut ist inferior. Die
Umkehrung gilt nicht.
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Ausgabenminimierung
Bisher: Nutzenmaximierung u.d.N., dass das Budget nicht
überschritten wird.
Neu: Wir haben ein vorgegebenes Nutzenniveau ū, das mit den
geringst möglichen Ausgaben erreicht werden soll.
Grafisch: Wir suchen die niedrigste Budgetgerade, die die
vorgegebene Indifferenzkurve gerade noch berührt.
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Ausgabenminimierung
x2
ū = 10
x1
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Ausgabenminimierung
x2
ū = 10
x1
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Ausgabenminimierung
x2
ū = 10
x1
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Ausgabenminimierung
x2
ū = 10
x1
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Ausgabenminimierung
x2
k
•x
ū = 10
x1
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Ausgabenminimierung
Das Ergebnis ist die kompensierte Nachfrage (x1k , x2k ).
Im Tangentialpunkt gilt: Steigung der Indifferenzkurve = Steigung der
Budgetgerade: GRS = p1 /p2 .
Dies ist die selbe Bedingung wie bei der Nutzenmaximierung!
Dualität zwischen Nutzenmaximierung und Ausgabenminimierung.
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Ausgabenminimierung
Beispiel:
u(x1 , x2 ) =
√
x1 +
√
x2 .
Das Ausgabenminimierungsproblem lautet
min p1 x1 + p2 x2
x1 ,x2
u.d.N.
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√
x1 +
√
x2 = ū.
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Ausgabenminimierung
Lagrangefunktion:
B.1.O.
¡
√ ¢
√
L(x1 , x2 , λ) = p1 x1 + p2 x2 + λ ū − x1 − x2 .
∂L
λ
= p1 − √ = 0,
∂x1
2 x1
λ
∂L
= p2 − √ = 0,
∂x2
2 x2
√
√ ¢
∂L ¡
= ū − x1 − x2 = 0.
∂λ
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Ausgabenminimierung
Lagrangefunktion:
B.1.O.
¡
√ ¢
√
L(x1 , x2 , λ) = p1 x1 + p2 x2 + λ ū − x1 − x2 .
∂L
λ
= p1 − √ = 0,
∂x1
2 x1
λ
∂L
= p2 − √ = 0,
∂x2
2 x2
√
√ ¢
∂L ¡
= ū − x1 − x2 = 0.
∂λ
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Ausgabenminimierung
Lagrangefunktion:
B.1.O.
¡
√ ¢
√
L(x1 , x2 , λ) = p1 x1 + p2 x2 + λ ū − x1 − x2 .
∂L
λ
= p1 − √ = 0,
∂x1
2 x1
λ
∂L
= p2 − √ = 0,
∂x2
2 x2
√
√ ¢
∂L ¡
= ū − x1 − x2 = 0.
∂λ
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Ausgabenminimierung
Wir bringen die Terme mit λ auf die rechte Seite:
λ
p1 = √ ,
2 x1
λ
p2 = √ .
2 x2
Dividieren der oberen Gleichung durch die untere ergibt
√
√
x
p1
λ
2 x2
= √ ·
= √ 2.
x1
p2
2 x1
λ
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Ausgabenminimierung
Auflösen nach
√
√
p1
x2
=√ .
p2
x1
x2 ergibt
√
x2 =
p1 √
x1 .
p2
Dies setzen wir in die NB ein:
p1 √
x1
p2
µ
¶
√
p1
= x1 1 +
p2
ū =
=
Tone Arnold (Universität des Saarlandes)
√
√
x1 +
x1
µ
p1 + p 2
p2
¶
.
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Ausgabenminimierung
Auflösen nach
√
√
p1
x2
=√ .
p2
x1
x2 ergibt
√
x2 =
p1 √
x1 .
p2
Dies setzen wir in die NB ein:
p1 √
x1
p2
µ
¶
√
p1
= x1 1 +
p2
ū =
=
Tone Arnold (Universität des Saarlandes)
√
√
x1 +
x1
µ
p1 + p 2
p2
¶
.
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16 / 41
Ausgabenminimierung
Auflösen nach
√
√
p1
x2
=√ .
p2
x1
x2 ergibt
√
x2 =
p1 √
x1 .
p2
Dies setzen wir in die NB ein:
p1 √
x1
p2
µ
¶
√
p1
= x1 1 +
p2
ū =
=
Tone Arnold (Universität des Saarlandes)
√
√
x1 +
x1
µ
p1 + p 2
p2
¶
.
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16 / 41
Ausgabenminimierung
ū =
Auflösen nach
√
µ
p1 + p 2
p2
¶
.
x1 ergibt
√
x1 =
ūp2
.
p1 + p 2
Quadrieren beider Seiten ergibt die kompensierte Nachfrage nach
Gut 1:
¶2
µ
ūp2
k
.
x1 (p1 , p2 , ū) =
p1 + p 2
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Kompensierte Nachfrage
Die kompensierten Nachfragefuktionen lauten
x1k (p1 , p2 , ū)
=
Tone Arnold (Universität des Saarlandes)
µ
ūp2
p1 + p 2
¶2
, x2k (p1 , p2 , ū)
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=
µ
ūp1
p1 + p 2
¶2
.
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Cobb–Douglas–Nutzenfunktion
u (x1 , x2 ) = x1α x2β mit α + β = 1
Ausgabenminimierungsproblem:
min
x1 ,x2
p1 x1 + p2 x2
u.d.N. x1α x2β = ū.
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Lagrangefunktion:
³
´
L (x1 , x2 , λ) = p1 x1 + p2 x2 + λ ū − x1α x2β .
B.1.O.
∂L
(α−1) β
= p1 − λαx1
x2 = 0
∂x1
∂L
= p2 − λβx1 αx2β−1 = 0
∂x2
∂L
= ū − x1α x2β ; = 0.
∂λ
(1)
(2)
(3)
Division von Gleichung (1) durch Gleichung (2) ergibt
p1
αx2
=
.
βx1
p2
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(4)
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Auflösen nach x2 ergibt:
x2 =
βp1
x1 .
αp2
(5)
Einsetzen in die Nebenbedingung
ū −
x1α
µ
βp1
x1
αp2
¶β
= 0
und Auflösen nach x1
x1k (p1 , p2 , ū) =
µ
αp2
βp1
¶β
ū
(6)
ergibt die kompensierte Nachfragefunktion für Gut 1.
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Für Gut 2 ergibt sich durch Einsetzen in Gleichung (5)
µ
¶
βp1 α
k
x2 (p1 , p2 , ū) =
ū.
αp2
(7)
Achtung:
Anders als im Fall der Marshall Nachfragefunktionen für
Cobb–Douglas–Präferenzen hängen die kompensierten
Nachfragefunktionen jeweils vom eigenen Preis und dem Preis des
anderen Gutes ab.
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Vollkommene Komplemente
u (x1 , x2 ) = min {x1 , x2 }
Grafisch:
x2
xk
x1
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Vollkommene Komplemente
Die ausgabenminimalen Konsumpläne liegen auf der Diagonalen der
Konsummenge: Von beiden Gütern wird die gleiche Menge
x = x1 = x2 nachgefragt.
Der Nutzen eines solchen Konsumplans ist
u (x1 , x2 ) = min{x1 , x2 } = x1 = x2 .
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Für den vorgegebenen Nutzen ū erhalten wir die kompensierte
Nachfragefunktion
¡
¢
x k (p1 , p2 , ū) = x1k (p1 , p2 , ū) , x2k (p1 , p2 , ū) = (ū, ū) .
(8)
Damit lauten die kompensierten Nachfragefunktionen
x1k (p1 , p2 , ū) = x2k (p1 , p2 , ū) = ū.
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(9)
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Vollkommene Substitute
u (x1 , x2 ) = x1 + x2
Drei mögliche Fälle
p1
p2
> 1, d. h., die Budgetgerade verläuft steiler als die
Indifferenzkurven,
p1
p2
< 1, d. h., die Budgetgerade verläuft flacher als die
Indifferenzkurven,
p1
p2
= 1, Budgetgerade und Indifferenzkurven haben die selbe
Steigung.
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Randlösung
x2
xk
x1
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Randlösung
x2
xk
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x1
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x2
ac
N
e
t
nk
pu
ge
ra
hf
x1
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Fall
p1
p2
>1
Es wird nur Gut 2 konsumiert, d. h. sein Nutzen ist gleich x2 .
⇒ kompensierte Nachfrage x k = (0, ū).
Fall
p1
p2
<1
Es wird nur Gut 1 konsumiert, d. h. sein Nutzen ist gleich x2 .
⇒ kompensierte Nachfrage x k = (ū, 0).
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Fall p1 = p2
Die nachgefragte Menge beider Güter ist gegeben durch die
Bedingung x1 + x2 = ū
Achtung! In diesem Fall gibt es keinen eindeutigen Nachfragepunkt,
sondern alle Punkte auf der Budgetgeraden sind mögliche
Nachfragepunkte (kompensierte Nachfragekorrespondenz).
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Kompensierte Nachfragekorrespondenz


(0, ū) ,
falls p1 > p2 ,


k
x (p1 , p2 , ū) = {(x1 , x2 ) ∈ X | x1 + x2 = ū} , falls p1 = p2 ,



(ū, 0) ,
falls p1 < p2 .
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Ausgabenfunktion
Die minimalen Ausgaben zur Erreichung des vorgegebenen
Nutzenniveuas sind gegeben durch die Ausgabenfunktion:
e (p1 , p2 , ū) = p1 x1k (p1 , p2 , ū) + p2 x2k (p1 , p2 , ū) .
Die Ausgabenfunktion e im Ausgabenminimierungsproblem entspricht
der indirekten Nutzenfunktion v im Nutzenmaximierungsproblem.
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33 / 41
Eigenschaften der Ausgaben- und kompensierten
Nachfragefunktionen
Multiplikation beider Preise mit dem gleichen Faktor ändert nichts an
der kompensierten Nachfrage, da sich dadurch nichts an der Steigung
der Budgetgerade ändert.
Beobachtung 2 (0–Homogenität in p)
Für eine kompensierte Nachfragekorrespondenz x k gilt für alle Preise
p1 , p2 , für alle Nutzenniveaus ū und für alle Faktoren a ∈ R++
x1k (ap1 , ap2 , ū) = x k (p1 , p2 , ū) .
d. h., kompensierte Nachfragefunktionen sind homogen vom Grade 0
in den Preisen.
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Eindeutigkeit des Substitutionseffektes
Im Unterschied zu der Marshallschen Nachfrage ist die Änderung der
kompensierten Nachfrage bezüglich einer Preisänderung eindeutig!
Die nachgefragte Menge eines Gutes sinkt mit steigendem Preis des
selben Gutes (oder bleibt gleich).
Beobachtung 3
Sei x k (p1 , p2 , ū) eine kompensierte Nachfragefunktion. Dann gilt, dass
xik (p1 , p2 , ū) nicht steigend in pi ist. Ist xik differenzierbar heisst das
∂xik
≤ 0.
∂pi
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Substitutionseffekt
Die aus einer Preiserhöhung resultierende Änderung der
kompensierten Nachfrage heisst Substitutionseffekt (SE).
Der SE ist immer der Änderung des Preises entgegengesetzt
(oder gleich null).
Bei Senkung des Preises eines Gutes kann die kompensierte
Nachfrage nach diesem Gut nicht sinken und bei einer
Preiserhöhung nicht steigen.
Der SE ist negativ, da die partielle Ableitung
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∂xik (p,ū)
∂pi
≤ 0.
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Grafische Darstellung des Substitutionseffektes
x2
¢
¡
x k p1′ , p2 , ū
x k (p1 , p2 , ū)
x1
SE
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37 / 41
Steigt p1 auf p1′ , so wird die Budgetgerade (BG) steiler.
Die kompensierte Nachfrage nach Gut 1 nimmt mit der Erhöhung
von p1 ab.
Grund: Andernfalls müsste der neue kompensierte
Nachfragepunkt rechts vom alten liegen.
Auf der neuen BG und rechts vom alten Punkt wäre aber
unterhalb der Budgetgerade zu den ursprünglichen Preisen
durch x k (p1 , p2 , ū).
Widerspruch dazu, dass x k (p1 , p2 , ū) die kompensierte
Nachfrage zu den ursprünglichen Preisen ist.
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38 / 41
Eigenschaften der Ausgabenfunktion
Die minimalen Ausgaben, die aufgewendet werden müssen, um ein
vorgegebenes Nutzenniveau zu erreichen, können nicht geringer
werden, wenn einer der Güterpreise steigt – andernfalls wären die
ursprünglichen Ausgaben nicht minimal gewesen.
Beobachtung 4 (Nichtabnehmend im Preis)
Die Ausgabenfunktion ist nichtabnehmend in den Preisen.
Das heisst, falls die Ausgabenfunktion differenzierbar ist, gilt, für alle
i = 1, 2, . . . , n
∂e
(p, ū) ≥ 0.
∂pi
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Ein analoges Argument zeigt, dass die Ausgabenfunktion auch
nichtabnehmend in u ist.
Beobachtung 5 (Streng monoton steigend in ū)
Die Ausgabenfunktion ist streng monoton steigend im Nutzenniveau ū.
Das heisst, falls die Ausgabenfunktion differenzierbar ist, gilt für alle
i = 1, 2, . . . , n
∂e
(p, ū) > 0.
∂ ū
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Wenn alle Preise um den gleichen Faktor steigen, nehmen auch die
Ausgaben um diesen Faktor zu: Für alle λ ∈ R++ gilt:
e (λp, ū) = λp · x k (λp, ū) = λ p · x k (p, ū) = λ e (p, ū) .
Beobachtung 6 (1–Homogenität in p)
Die Ausgabenfunktion ist homogen vom Grade 1 in den Preisen, d. h.,
für alle Preise p, für alle Nutzenniveaus ū und für alle λ ∈ R++ gilt
e (λp, ū) = λ e (p, ū) .
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