6. Vorlesungswoche - Universität des Saarlandes

Mikroökonomik – 6. Vorlesungswoche
Tone Arnold
Universität des Saarlandes
27. November 2007
Tone Arnold (Universität des Saarlandes)
6. Vorlesungswoche
27. November 2007
1 / 90
Angebot
Die Angebotsfunktion S(p) gibt an, wieviel beim Preis p am Markt
angeboten wird.
Die inverse Angebotsfunktion pS (X ) gibt an, zu welchem Preis die
Menge X am Markt angeboten wird.
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27. November 2007
2 / 90
Marktgleichgewicht
WIr betrachten einen Markt mit vielen Nachfragern und vielen
Anbietern, i.e. einen Wettbewerbsmarkt.
Durch die Vielzahl von Anbietern und Nachfragern hat ein
einzelner keinen Einfluss auf den Marktpreis. Nachfrager und
Anbieter verhalten sich als Preisnehmer, d.h. sie nehmen den
Marktpreis als gegeben hin.
Das Verhalten der Nachfrager wird modelliert durch die
aggregierte Nachfrage, das der Anbieter durch das aggregierte
Angebot.
Der Gleichgewichtspreis, i.e. der Preis im Marktgleichgewicht,
ergibt sich durch den Ausgleich von Angebot und Nachfrage auf
dem Markt.
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3 / 90
Marktgleichgewicht
Beispiel: Das aggregierte Angebot ist
S(p) = 2p,
und die aggregierte Nachfrage ist
D(p) = 60 − 4p.
Um die Angebots– und Nachfragekurve zeichnen zu können,
benötigen wir das inverse Angebot pS (x) = x/2
sowie die inverse Nachfrage pD (x) = 15 − x/4.
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4 / 90
Marktgleichgewicht
p
15
pD (X )
pS (X )
60 X
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5 / 90
Berechnung des Marktgleichgewichts (GG)
GG Preis
S(p) = D(p) ⇒ 2p = 60 − 4p ⇒ p∗ = 10.
Im GG gehandelte Menge
D(10) = 60 − 40 = 20,
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S(10) = 2 · 10 = 20.
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6 / 90
Marktgleichgewicht
p
15
pD (X )
pS (X )
10
20
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60 X
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Komparative Statik: Einführung einer Steuer
Der Staat erhebt eine Stuer von t = 3 e pro ME auf das Gut. Wie
reagieren Angebot und Nachfrage auf die Steuer?
Der Preis, den die Anbieter pro Einheit erhalten, ist den, den die
Nachfrager bezahlen, minus der Steuer, die an den Staat
abgeführt werden muss:
pS = pD − t.
Umgekehrt ist der Preis, den die Nachfrager pro ME zahlen, gleich
pD = pS + t.
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8 / 90
GG mit Steuer
Im GG gilt D(pD ) = S(pS ), wobei pD = pS + t:
60 − 4(pS + t) = 2pS ⇒ 60 − 4t = 6pS .
Auflösen nach pS ergibt den Preis, den die Anbieter pro ME erhalten:
2
pS∗ = 10 − t = 8.
3
Der Preis, den die Nachfrager pro ME zahlen, ist dann
pD∗ = pS∗ + t = 8 + 3 = 11.
Die im GG gehandelte Menge ist
S(pS∗ = 8) = 2 · 8 = 16,
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D(pD∗ = 11) = 60 − 4 · 11 = 16.
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9 / 90
Verteilung der Steuerlast
p
15
pD (X )
pS (X )
10
16
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20
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60 X
27. November 2007
10 / 90
Verteilung der Steuerlast
p
15
pD (X )
pS (X )
pD∗ = 11
10
16
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20
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60 X
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11 / 90
Verteilung der Steuerlast
p
15
pD (X )
pS (X )
pD∗ = 11
10
pS∗ = 8
16
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20
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60 X
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12 / 90
Verteilung der Steuerlast
Die Nachfrager durch die Steuer 1 e mehr pro ME.
Die Anbieter erhalten durch die Steuer 2 e weniger pro ME.
Das Steueraufkommen beträgt 16 × 3 = 48 e.
Die Steuerlast der Nachfrager beträgt davon 1/3, also 16 e
(insgesamt).
Die Steuerlast der Anbieter beträgt davon 2/3, also 32 e.
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13 / 90
Verteilung der Steuerlast
Frage: Wodurch ist die Verteilung der Steuerlast determiniert?
Die Preiselastizität des Angebots ist
¯ ¯ dS p
p
1
¯ εp ¯ =
=1·
= .
S
dp S
2p
2
Die Preiselastizität der Nachfrage ist
|εpD | =
4p
p
dD p
=·
=
.
dp D
60 − 4p
15 − p
Einsetzen von p = 10 (Preis vor Steuer) ergibt
|εpD | =
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10
= 2.
5
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14 / 90
Verteilung der Steuerlast
Die Elastizitäten beim Preis von p = 10 sind
¯ ¯
¯ εp ¯ = = 1 ,
S
2
und
|εpD | = 2.
Beobachtung 1
Bei dem Preis vor der Einführung der Steuer ist die Nachfrage
elastischer als das Angebot.
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15 / 90
Verteilung der Steuerlast
Durch die elastischere Nachfrage sind die Konsumenten eher in der
Lage, sich der Steuer zu entziehen (im Vergleich zu den Anbietern).
Ergebnis 1
Die Marktseite mit der höheren Preiselastizität trägt einen geringeren
Anteil an der Steuerlast als die Marktseite mit der geringeren
Preiselastizität.
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16 / 90
2 Extremfälle
Wir betrachten 2 Extremfälle bezüglich der Preiselastizität des
Angebots:
1
Vollkommen elastisches Angebot: Die Anbieter bieten jede
beliebige Menge des Gutes zu dem gegebenen Preis an, und das
Angebot ist gleich null bei jedem niedrigeren Preis. Bei
vollkommen elastischem Angebot wird der Preis p∗ durch das
Angebot bestimmt und die Menge durch die Nachfrage:
X ∗ = D(p∗ ).
2
Vollkommen unelastisches Angebot: Das Angebot ist fix, z.B.
feste Zahl von Mietwohnungen. Bei vollkommen unelastischem
Angebot wird die Menge durch das Angebot bestimmt: S(p) = X̄ .
Der Preis wird durch die Nachfrage bestimmt: p∗ = pD (X̄ .
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17 / 90
Vollkommen elastisches Angebot
p
pS (X )
p∗
X
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18 / 90
Vollkommen elastisches Angebot
p
pD (X )
pS (X )
p∗
X
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19 / 90
Vollkommen elastisches Angebot
p
pD (X )
pS (X )
p∗
X∗
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X
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20 / 90
Steuer bei vollkommen elastischem Angebot
Wir betrachten die Einführung einer Steuer von t e pro ME auf das
Gut.
Auswirkungen der Steuer:
Da die Anbieter den Preis bestimmen, setzen sie jetzt den Preis
p∗ + t.
D.h., die Anbieter wälzen die gesamte Steuerlast auf die
Nachfrager ab.
Die Nachfrager reagieren, indem bei dem höheren Preis p∗ + t
weniger nachgefragt wird.
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21 / 90
Steuer bei vollkommen elastischem Angebot
p
pD (X )
p∗ + t
pS (X )
p∗
X∗
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X
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22 / 90
Steuer bei vollkommen elastischem Angebot
p
pD (X )
p∗ + t
pS (X )
p∗
X ∗ (p∗ + t)
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X
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23 / 90
Steuer bei vollkommen unelastischem Angebot
Das Angebot ist exogen gegeben: S(p) = X̄ , e.g. Zahl der
Mietwohnungen in einer bestimmten Region.
Der Preis wird durch die Nachfrageseite bestimmt: p∗ = pD (X̄ ).
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24 / 90
Vollkommen unelastisches Angebot
p
pS (X )
X̄
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X
27. November 2007
25 / 90
Vollkommen unelastisches Angebot
p
pD (X )
pS (X )
X̄
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X
27. November 2007
26 / 90
Vollkommen unelastisches Angebot
p
pD (X )
pS (X )
p∗
X̄
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X
27. November 2007
27 / 90
Steuer bei vollkommen unelastischem Angebot
Eine Steuer von t e pro ME wird eingeführt.
Da die Nachfrage den Preis bestimmt, bleibt der Preis gleich p∗ .
Die Anbieter sind nicht in der Lage, einen Teil der Steuer auf die
Nachfrager abzuwälzen.
Die Anbieter tragen die gesamte Steuerlast.
Sowohl der Preis als auch die am Markt gehandelte Menge
bleiben gleich. Lediglich der Gewinn der Anbieter sinkt.
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28 / 90
Gleichgewicht in einer Tauschökonomie
Einfaches Modell einer Volkswirtschaft, eine so genannte
Tauschwirtschaft, d.h. es findet keine Produktion statt.
Konsumenten verfügen über Anfangsaustattungen an Gütern.
Sie können die Güter untereinander tauschen.
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29 / 90
Die Edgeworth Box
Wir betrachten den einfachsten Fall: Es gibt 2 Personen (A und B) und
2 Güter (Gut 1 und Gut 2).
Grafisch kann diese Situation in einer Edgeworth Box dargestellt
werden.
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27. November 2007
30 / 90
Die Edgeworth Box
Beispiel:
Die beiden Güter sind Schokolade (Gut 1) und Wein (Gut 2).
Die beiden Personen A und B besitzen jeweils eine
Erstausstattung an den beiden Gütern:
ωA = (7, 3)
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und ωB = (4, 5).
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31 / 90
Konstruktion einer Edgeworth Box
x2A
x2B
ωB
5
ωA
3
A
7
(a) Konsument A
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x1A
B
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4
(b) Konsument B
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x1B
32 / 90
Konstruktion einer Edgeworth Box
Wir drehen das x1 –x2 –Diagramm von Person B um 180◦ .
Dann schieben wir das gedrehte Diagramm nach rechts, bis es
das Diagramm von Person A überlappt.
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33 / 90
Drehen der Grafik für Konsument B um 180◦
x1B
4
B
5
x2A
ω2
ωA
A
7
(a) Konsument 1
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x1A
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(b) Konsument 2
x2B
3
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34 / 90
Verschieben des Diagramms von Konsument B nach
links
B
4
ω
3
A
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5
7
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27. November 2007
35 / 90
Ausmasse der Edgeworth Box
Die Breite der Box entspricht der Gesamtmenge an Gut 1:
ω1A + ω1B = 7 + 4 = 11.
Die Höhe der Box entspricht der gesamtmenge an Gut 2:
ω2A + ω2B = 3 + 5 = 8.
Die von Person A konsumierten Mengen zählen von der unteren
linken Ecke nach rechts (Gut 1) und oben (Gut 2).
Die von Person B konsumierten Mengen zählen von der oberen
rechten Ecke nach links (Gut 1) und nach unten (Gut 2).
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36 / 90
Allokationen
Jeder Punkt innerhalb der Box stellt eine erreichbare Allokation
dar. Eine Allokation besteht aus einem Konsumplan für jeden der
beiden Konsumenten.
Beispiel: Die Anfangsausstattung ω A , ω B = ((7, 3), (4, 5)) ist eine
erreichbare Allokation.
Bei gegebener Grösse der Box gilt: Die Mengen beider Güter, die
Konsument A besitzt, bestimmen gleichzeitig die Mengen des
Konsumenten B.
Beispiel: Konsument A besitzt 3 Einheiten von Gut 2. Dann
bleiben für Konsument B 8 − 3 = 5 Einheiten von Gut 2.
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37 / 90
Allokationen
Eine Allokation in einer 2 Personen – 2 Güter Ökonomie ist eine
Aufteilung der Mengen der beiden Güter auf die beiden Personen.
x =
³
x A, x B
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´
=
³³
´´
´ ³
x1A , x2A , x1B , x2B .
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38 / 90
Erreichbare Allokationen
Definition 1 (erreichbare Allokationen)
Eine Allokation ist erreichbar (feasible) genau dann, wenn für die
Summe der von den beiden Personen konsumierten Mengen von Gut
1 der gesamten verfügbaren Menge von Gut 1 entspricht, und
gleichzeitig die Summe der von den beiden Personen konsumierten
Mengen von Gut 2 der gesamten verfügbaren Menge von Gut 2
entspricht:
x1A + x1B = ω1A + ω1B
und x2A + x2B = ω2A + ω2B .
D.h., es wird genau die Menge eines jeden Gutes verteilt, die
insgesamt als Anfangsausstattung vorhanden ist.
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39 / 90
Indifferenzkurven in der Edgeworth Box
Die Indifferenzkurven von Konsument A werden wie üblich
eingezeichnet. Die Besser–Richtung verläuft nach rechts oben.
Die Indifferenzkurven von Konsument B müssen um 180◦
gedreht werden:
Der Ursprung für Konsument B liegt rechts oben.
Seine Menge von Gut A nimmt nach links zu und seine Menge von
Gut 2 nimmt nach unten zu.
Die Besser–Richtung für Konsument B verläuft nach links unten.
Tiefer liegende Indifferenzkurven stellen für ihn ein höheres
Nutzenniveau dar.
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40 / 90
Indifferenzkurven in der Edgeworth Box
x2A
x1B
B
x1A
A
x2B
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41 / 90
Indifferenzkurven durch die Anfangsausstattung
x2A
x1B
B
ω
x1A
A
x2B
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42 / 90
Indifferenzkurven durch die Anfangsausstattung
x2A
x1B
B
ω
x1A
A
x2B
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43 / 90
Indifferenzkurven durch die Anfangsausstattung
x2A
x1B
B
x
ω
x1A
A
x2B
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44 / 90
Indifferenzkurven durch die Anfangsausstattung
x2A
x1B
B
x
ω
x1A
A
x2B
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45 / 90
Indifferenzkurven durch die Anfangsausstattung
x2A
x1B
B
x
ω
x1A
A
x2B
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27. November 2007
46 / 90
Individuell rationale Allokationen
Definition 2 (individuell rationale Allokationen)
Die Allokation x = ((x1A , x2A ), (x1B , x2B )) heisst individuell rational für
Konsument A genau dann, wenn Konsument A diese Allokation
gegenüber der Anfangsausstattung ω präferiert.
Analog für Konsument B.
Die Allokation x heisst individuell rational genau dann, wenn sie für
alle (beide) Konsumenten individuell rational ist.
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47 / 90
Individuell rationale Allokationen
Wären die konsumenten mit der Allokation x zufrieden?
Nein: Es gibt immer noch eine Linse.
Ein weiterer Tausch ist zu erwarten.
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27. November 2007
48 / 90
Pareto Effizienz
Betrachte die Allokation x̂:
x2A
x1B
B
x̂
x1A
x2B
A
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49 / 90
Pareto Effizienz
Es existiert keine Allokation, die für beide Konsumenten besser ist
als x̂.
Die Indifferenzkurven tangieren sich in x̂, so dass keine
‚Verbesserungslinse‘ entsteht.
Eine solche Allokation heisst nach dem italienischen Soziologen
und Ökonomen Vilfredo Pareto Pareto optimal oder Pareto
effizient.
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50 / 90
Pareto Effizienz
Definition 3
Pareto Effizienz Eine Allokation ist Pareto effizient, wenn es nicht
möglich ist, eine Person besser zu stellen, ohne gleichzeitig eine
andere schlechter zu stellen.
Beispiel: Person A besitzt die gesamte Menge an beiden Gütern,
während Person B gar nichts besitzt. Ist diese Allokation Pareto
effizient?
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51 / 90
Formale Herleitung der Pareto Optimaität
Ausgehend von der Anfangsausstattung ω betrachten wir einen
Tausch, der beide Konsumenten besser stellt.
Die resultierende Allokation x ist für beide Konsumenten besser
als die Ausgangsallokation ω.
Der Übergang von ω zu x ist eine sogenannte Pareto
Verbesserung. Man sagt auch: x ist Pareto besser als ω.
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52 / 90
Pareto Verbesserung
Definition 4 (Pareto Verbesserung)
Eine Allokation y heisst Pareto besser als eine Allokation x genau
dann, wenn
1
beide Konsumenten y mindestens so gut finden wie x,
2
und mindestens ein Konsument y echt besser findet als x.
Die Allokation y ist also eine Pareto Verbesserung gegenüber der
Allokation x genau dann, wenn sie im Vergleich zu x keinen
Konsumenten schlechter stellt und mindestens einen Konsumenten
echt besser stellt.
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53 / 90
Strikte Pareto Verbesserung
Definition 5 (strikte Pareto Verbesserung)
Eine Allokation y heisst strikt Pareto besser als eine Allokation x
genau dann, wenn y gegenüber x von allen Konsumenten echt
präferiert wird.
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54 / 90
Pareto Verbesserung
x2A
x2A
B x1B
x1B
x
B
x
y ′′
y
y′
A
x1A A
B
(a) strikte Pareto Verbesserung x2
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x1A
B
(b) Pareto Verbesserung, nicht striktx2
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55 / 90
Pareto optimale Allokationen
Definition 6 (Pareto optimale Allokation)
Eine erreichbare Allokation x heisst Pareto optimal oder Pareto
effizient genau dann, wenn es keine erreichbare Allokation y gibt, die
eine Pareto Verbesserung gegenüber x darstellt.
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27. November 2007
56 / 90
Schwach Pareto optimale Allokationen
Definition 7 (Schwach Pareto optimale Allokation)
Eine erreichbare Allokation x heisst schwach Pareto optimal oder
schwach Pareto effizient genau dann, wenn es keine erreichbare
Allokation y gibt, die eine strikte Pareto Verbesserung gegenüber x
darstellt.
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27. November 2007
57 / 90
Pareto optimale Allokationen
Weitere Charakterisierungen Pareto optimaler Allokationen:
Die Pareto optimale Allokation in der Abbildung ist ein
Tangentialpunkt zweier Indifferenzkurven der Konsumenten, d. h.
in dieser Allokation haben beide Indifferenzkurven die selbe
Steigung.
Die Steigung der Indifferenzkurve ist gleich der Grenzrate der
Substitution. Diese kann mittels der Nutzenfunktion ausgedrückt
werden.
Wenn die Nutzenfunktionen bekannt ist, kann man überprüfen, ob
eine gegebene Allokation Pareto optimal ist, indem man die GRS
der Konsumenten berechnet und überprüft, ob sie
übereinstimmen.
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6. Vorlesungswoche
27. November 2007
58 / 90
Pareto optimale Allokationen
Voraussetzungen:
1
Die Grenzrate der Substitution muss für alle Konsumenten
definiert sein.
2
Die fragliche Allokation muss im Innern der Edgeworth Box liegen,
d. h. alle Konsumenten müssen strikt positive Mengen aller Güter
erhalten.
Tone Arnold (Universität des Saarlandes)
6. Vorlesungswoche
27. November 2007
59 / 90
Pareto optimale Allokationen
Beobachtung 2 (Charakterisierung Pareto optimaler
Allokationen)
Wenn die Präferenzen beider Konsumenten differenzierbar sind, und
die Allokation x im Innern der Edgeworth Box liegt, so ist x genau
dann Pareto optimal, wenn die GRS für beide Konsumenten gleich ist:
GRSA (x) = GRSB (x) .
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60 / 90
Nicht definierte GRS
Grenzrate der Substitution nicht definiert (I):
x2A
x2A
B xB
1
x1B
x̂
A
x̂
x1A
B
(a) Cobb–Douglas und Leontief x2
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B
x1A
A
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(b) Leontief und lineare
x2B
27. November 2007
61 / 90
Grenzrate der Substitution nicht definiert (II):
x2A
x2A
B xB
1
x1B
B
x̂
x1A
A
(c) Leontief und Leontief (1)
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x2B
x1A
A
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(d) Leontief und Leontief (2)
x2B
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62 / 90
Pareto Optima am Rand der Edgeworth Box
Pareto Optima am Rand der Edgeworth Box (I):
x2A
x2A
B xB
1
x1B
x̂
x̂
x1A
A
(a)
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B
x2B
x1A
A
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(b)
x2B
27. November 2007
63 / 90
Pareto Optima am Rand der Edgeworth Box (II):
x2A
x2A
B xB
1
x1B
B
x̂ ′
x̂
x̂
x̂ ′
x1A
A
(c)
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x2B
x1A
A
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(d)
x2B
27. November 2007
64 / 90
Kontraktkurve
Die Menge aller Pareto Optima in einer Edgeworth Box wird als
Kontraktkurve bezeichnet.
x2A
B
x1B
kur
Ko
kt
ntra
ve
x1A
A
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x2B
6. Vorlesungswoche
27. November 2007
65 / 90
Kontraktkurve am Rand der Edgeworth Box
x2A
x2A
B xB
1
x1B
x1A
A
(a)
Tone Arnold (Universität des Saarlandes)
x2B
B
x1A
A
6. Vorlesungswoche
(b)
x2B
27. November 2007
66 / 90
Pareto optimale Allokationen sind unter Effizienzgesichtspunkten
wünschenswert.
Fragen der Verteilung werden dabei völlig ausser acht gelassen.
Die Eckpunkte der Edgeworth Box (einer bekommt ales und der
andere nichts) sind bei streng monotonen Präferenzen Pareto
optimal.
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6. Vorlesungswoche
27. November 2007
67 / 90
Pareto optimale Allokationen
Nicht alle Pareto optimalen Allokationen sind individuell rational.
Individuell rationale Allokationen sind mit Bezug auf die
Anfangsausstattung definiert.
Die Anfangsausstattung wird als gegeben unterstellt.
Allokationen sind wünschenswert, wenn sie Pareto effizient und
individuell rational sind.
Tone Arnold (Universität des Saarlandes)
6. Vorlesungswoche
27. November 2007
68 / 90
Kern der Ökonomie
In einer zwei–Konsumenten–Tauschökonomie gilt:
Alle Allokationen, die individuell rational und Pareto effizient sind,
bilden den Kern der Ökonomie.
Tone Arnold (Universität des Saarlandes)
6. Vorlesungswoche
27. November 2007
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Kern der Ökonomie
x2A
B
x1B
ω
rn
Ke
x1A
A
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x2B
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Das Walras Gleichgewicht
Bisher: Annahme, dass die Konsumenten ihre Güter miteinander
tauschen können.
Implizite Annahme: Konsumenten kommunizieren und einigen
sich schliesslich auf bestimmte Tauschkontrakte.
Die Konsumenten werden eine Allokation auf der Kontraktkurve
realisieren.
Aber: Bei der Vielzahl von Konsumenten in einer realen
Ökononmie ist die Annahme des Verhandelns und Tauschens
nicht realistisch.
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Das Walras Gleichgewicht
Auf Märkten fungiert Geld als Tauschmittel.
Durch Preise sind die Tauschraten zwischen allen Gütern
festgelegt.
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Das Walras Gleichgewicht
Die Edgeworth Box muss um die Budgetgeraden ergänzt
werden.
Die Budgetgerade eines Konsumenten verläuft durch seine
Anfangsausstattung (wieso?). Daher stimmen die Budgetgeraden
der beiden Akteure in der Edgeworth Box zumindest in diesem
Punkt überein.
Beide Akteure sehen sich den gleichen Preisen gegenüber, so
dass ihre Budgetgeraden auch die selbe Steigung haben müssen.
Durch die Drehung des Koordinatensystems von Konsument B
um 180◦ ändert sich nichts an der Steigung
⇒ Daher fallen die Budgetgeraden beider Konsumenten in der
Edgeworth Box zusammen.
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Das Walras Gleichgewicht
x2A
B
¯ 2¯
¯e ¯
1
ω21
x̂21
x̃12
ω12
x1B
¯ ¯
¯e 1 ¯
2
ω
ω22
x̂
¯ 2¯
¯e ¯
2
x̃
x̃22
¯ 1¯
¯e ¯
1
A
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ω11
x̂11
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x1A
x2B
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Das Walras Gleichgewicht
Konsument A fragt das Güterbündel x̂ 1 nach, d. h. er strebt die
Allokation x̂ an.
Konsument B fragt das Güterbündel x̃ 2 nach, d. h. er strebt die
Allokation x̃ an.
⇒ Beides ist aber nicht kompatibel, die gezeigte Situation ist nicht
erreichbar und nicht gleichgewichtig.
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Das Walras Gleichgewicht
x2A
ω12
x1B
x ∗21
B
¯ 2¯
¯e ¯
1
ω21
ω
¯ ¯
¯e 1 ¯
2
ω22
¯ 2¯
¯e ¯
2
x∗
x ∗12
x ∗22
¯ 1¯
¯e ¯
1
A
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ω11
x ∗11
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x1A
x2B
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Das Walras Gleichgewicht
Konsument A fragt bei der gegebenen Budgetsituation das
Güterbündel x ∗ 1 nach, d. h. er strebt die Allokation x ∗ an.
Konsument B fragt bei der gegebenen Budgetsituation das
Güterbündel x ∗ 2 nach, d. h. auch er strebt die Allokation x ∗ an.
⇒ Die beiden individuellen Entscheidungen sind miteinander
kompatibel.
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Überschussnachfrage
Die Überschussnachfrage von Konsument A nach Gut 1 ist definiert
als die Differenz zwischen seiner Nachfrage nach Gut 1 und seiner
Anfangsausstattung an Gut 1. Sie wird mit e1A bezeichnet.
Analog bezeichnen wir die Überschussnachfrage eines Konsumenten j
nach Gut i mit eij .
Die Überschussnachfrage ist positiv, wenn mehr als die
Anfangsausstattung nachgefragt wird.
Eine negative Überschussnachfrage entspricht einem
Überschussangebot.
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Formale Darstellung eines Gleichgewichts
In einem Gleichgewicht ist die Überschussnachfrage gleich null.
Ein solches Gleichgewicht wird nach dem französischen Ökonomen
Leon Walras als Walras Gleichgewicht bezeichnet. Synonyme sind
Marktgleichgewicht oder Wettbewerbsgleichgewicht oder
allgemeines Gleichgewicht.
Achtung: Es reicht, die Überschussnachfrage nur nach einem Gut zu
betrachten – die Überschussnachfrage nach dem anderen Gut ist
dann automatisch null.
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Das Walras Gleichgewicht
Definition 8 (Walras Gleichgewicht)
Das
bestehend aus einem Preissystem
¡ ∗ Paar
¢ von Preisen und Mengen
∗
∗
p1 , p2 und einer Allokation x heisst Walras Gleichgewicht genau
dann, wenn gilt
Gegeben diese Preise und die Anfangsausstattung maximieren
alle Konsumenten ihren Nutzen bei x ∗ ,
und die Allokation x ∗ ist erreichbar.
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Das Gesetz von Walras
Beobachtung 3 (Walras Gesetz für die Überschussnachfrage)
Für alle positiven Preise gilt: Die Summe der mit den Preisen
bewerteten Überschussnachfrage ist gleich null. Dies folgt aus den
Budgetbeschränkungen der Konsumenten.
Anders ausgedrückt: Wenn einer von zwei Märkten im Gleichgewicht
ist, dann ist auch der andere im Gleichgewicht.
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Der erste Hauptsatz der Wohlfahrtstheorie
Satz 1 (Erster Hauptsatz der Wohlfahrtstheorie)
Sind die Präferenzen aller Konsumenten monoton, so ist jedes Walras
Gleichgewicht Pareto effizient. Genauer: Ist (p∗ , x ∗ ) ein Walras
Gleichgewicht, dann ist x ∗ eine Pareto effiziente Allokation.
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Der erste Hauptsatz der Wohlfahrtstheorie
Interpretation:
Eine Marktwirtschaftliche Organisation der Wirtschaft führt zu
einem effizienten Ergebnis.
Wenn die Konsumenten sich zusammensetzen würden, um
gemeinsam zu versuchen, eine Pareto Verbesserung gegenüber
dem Walras Gleichgewicht zu finden, oder wenn ein zentraler
Planer sich diese Aufgabe stellen würde, wäre dies nicht möglich.
Ausprägung von Adam Smiths berühmter Idee der ‚unsichtbaren
Hand‘.
Achtung: Pareto Efifizienz hat nichts mit Fairness oder
Gerechtigkeit zu tun!
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Der erste Hauptsatz der Wohlfahrtstheorie
x2A
ω12
x1B
x ∗21
B
¯ 2¯
¯e ¯
1
ω21
ω
¯ ¯
¯e 1 ¯
2
ω22
¯ 2¯
¯e ¯
2
x∗
x ∗12
x ∗22
¯ 1¯
¯e ¯
1
A
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ω11
x ∗11
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x1A
x2B
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Der 2. Hauptsatz der Wohlfahrtstheorie
Satz 2 (Zweiter Hauptsatz der Wohlfahrtstheorie)
Sind die Präferenzen aller Konsumenten monoton und konvex, so
können wir jedes Pareto Optimum als Walras Gleichgewicht erreichen,
vorausgesetzt die Anfangsausstattungen werden vorher geeignet
umverteilt.
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Der 2. Hauptsatz der Wohlfahrtstheorie
Jede Pareto effiziente Allokation kann als Walras Gleichgewicht
erreicht werden.
Wenn die Allokation im ursprünglichen Walras Gleichgewicht aus
normativen Gründen (z.B. Gerechtigkeitsaspekten) nicht
akzeptabel erscheint, kann man eine Umverteilung der
Anfangsausstattugen vornehmen.
Ein Marktwirtschaftliches System führt dann zur gewünschten
Pareto effizienten Allokation.
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Nicht–konvexe Präferenzen
Hier gilt der 2. HS nicht!
x2A
B
x1B
y
x̂
x1A
A
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x2B
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Nicht–konvexe Präferenzen
Bei nicht–konvexen Präferenzen gilt der 2. HS nicht:
Punkt x̂ stellt eine Pareto effiziente Allokation dar.
Dieser Punkt kann aber nicht als Walras GG realisiert werden, da
Person A den Punkt y auf der Budgetgerade bevorzugt.
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Illustration des zweiten Hauptsatzes
x2A
B
x1B
ω′
ω
x̂
x∗
x1A
A
x2B
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Der 2. Hauptsatz der Wohlfahrtstheorie
Wir befinden uns im Walras Gleichgewicht (WG) x ∗ .
Wir möchten die Pareto effiziente Allokation x̂ realisieren. Sie liegt
jedoch nicht auf der Budgetgeraden der Konsumenten und kann
daher nicht erreicht werden.
Dazu nehmen wir eine Umverteilung der Anfangsausstattung von
ω nach ω ′ vor.
Die Steigung der neuen Budgetgerade entspricht dem gegebenen
Preisverhältnis von vor der Umverteilung.
Jetzt kann die gewünschte Allokation x̂ von den Konsumenten
erreicht werden (liegt auf der Budgetgeraden).
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