Mikroökonomik -- 8. Vorlesungswoche

Mikroökonomik – 8. Vorlesungswoche
Tone Arnold
Universität des Saarlandes
11. Dezember 2007
Tone Arnold (Universität des Saarlandes)
Mikroökonomik – 8. Vorlesungswoche
11. Dezember 2007
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Kostenminimierung
Man kann das Gewinnmaximierungsproblem in zwei Schritte zerlegen:
1
Für jedes Outputniveau ȳ werden diejenigen Faktormengen
ermittelt, bei denen die Kosten der Produktion von ȳ minimiert
werden.
2
Dann wird dasjenige Outputniveau bestimmt, bei dem die
Differenz zwischen Erlös und minimalen Kosten am grössten ist.
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Kostenminimierung
Das Problem der Kostenminimierung der Firma ist analog zu dem
der Ausgabenminimierung des Konsumenten.
Ein vorgegebenes Outputniveau ȳ soll mit den geringstmöglichen
Kosten hergestellt werden.
Formal:
Vorgegeben ist die Isoquante zum Outputniveau ȳ.
Gesucht ist die niedrigste Isokostengerade, mit der dieses
Outputniveau erreicht werden kann.
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Kostenminimierung
Entlang einer Isokostengerade sind die Kosten konstant:
w1 x1 + w2 x2 = k .
Auflösen nach x2 ergibt die Gleichung für eine Isokostengerade:
x2 =
w
k
− 1 x1 .
w2 w2
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Kostenminimierung
x2
k∗
w2
x2∗
x1∗
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k∗
w1
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x1
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Kostenminimierung
Das Kostenminimierungsproblem lautet
min w1 x1 + w2 x2
x1 ,x2
unter der Nebenbedingung
ȳ = f (x1 , x2 ).
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Kostenminimierung
Die Lagrangefunktion lautet
L(x1 , x2 , λ) = w1 x1 + w2 x2 + λ (ȳ − f (x1 , x2 )) .
Bedingungen 1.Ordnung:
∂L
∂x1
∂L
∂x2
∂L
∂λ
∂f
= 0 ⇒ w1 = λGP1
∂x1
∂f
= w2 − λ
= 0 ⇒ w2 = λGP2
∂x2
= w1 − λ
= ȳ − f (x1 , x2 ) = 0
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Kostenminimierung
Dividieren der ersten Gleichung durch die zweite ergibt
w1
GP1
=
.
w2
GP2
Das bedeutet: Im Kostenminimum gilt GRTS = Verhältnis der
Faktorpreise, genau wie im Gewinnmaximum!
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Bedingte Faktornachfrage
Die Lösung des Kostenminimierungsproblems sind diejenigen
Mengen x1 und x2 der beiden Inputs, die das Unternehmen
nachfragen muss, um die Kosten der Produktion des Outputniveaus ȳ
zu minimieren.
Dies sind die bedingten Faktornachfragefunktionen x1 (w1 , w2 , y )
und x2 (w1 , w2 , y ).
Sie sind äquivalent zu den kompensierten Nachfragefunktionen aus
der Haushaltstheorie.
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Bedingte Faktornachfrage
Beispiel: f (x1 , x2 ) = x1 x2 . Die Lagrangefunktion lautet
L(x1 , x2 , λ) = w1 x1 + w2 x2 + λ (ȳ − x1 x2 ) .
B.1.O.
∂L
= w1 − λx2 = 0,
∂x1
∂L
= w2 − λx1 = 0,
∂x2
∂L
= ȳ − x1 x2 = 0.
∂λ
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Bedingte Faktornachfrage
Aus den ersten beiden Gleichungen folgt
w1 = λx2
und w2 = λx2 .
Dividieren der ersten Gleichung durch die zweite ergibt
x2
w1
=
w2
x1
⇒
x2 =
w1
x1 .
w2
Einsetzen in die NB ergibt
ȳ = x1
w
w1
x1 = x12 1 .
w2
w2
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Bedingte Faktornachfrage
ȳ = x12
w1
.
w2
Auflösen nach x1 ergibt die bedingte Faktornachfrage nach Fakktor
1:
¶
µ
ȳw2 0.5
.
x1 (w1 , w2 , ȳ ) =
w1
Analog:
x2 (w1 , w2 , ȳ ) =
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µ
ȳw1
w2
¶0.5
.
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Bedingte Faktornachfrage
Eigenschaften der bedingten Faktornachfragefunktionen
Die bedingte Faktornachfragefunktion xi (w1 , w2 , ȳ ) ist
abnehmend (nichtzunehmend) im Faktorpreis wi :
∂xi (w1 , w2 , y )
≤ 0,
∂wi
zunehmend (nichtabnehmend) im Outputniveau ȳ:
∂xi (w1 , w2 , y )
≤ 0,
∂y
homogen vom Grade null (w1 , w2 ):
x(w1 , w2 , y ) = x(λw1 , λw2 , y ).
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Bedingte Faktornachfrage
Beispiel:
x1 (w1 , w2 , ȳ ) =
µ
ȳw2
w1
¶0.5
.
µ
ȳw1
w2
¶0.5
.
Analog:
x2 (w1 , w2 , ȳ ) =
xi nimmt in wi ab (Faktorpreis steht im Nenner).
xi nimmt in y zu (steht im Zähler).
Null–Homogenität in Faktorpreisen: t > 1
¶
µ
ȳ tw2 0.5
x1 (tw1 , tw2 , ȳ ) =
= x1 (w1 , w2 , ȳ) .
tw1
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Kostenfunktion
Frage: Wie hoch sind die minimalen Kosten, die für die Produktion
des Outputniveaus ȳ aufgewendet werden müssen?
Die Antwort gibt die Kostenfunktion des Unternehmens.
Wir erhalten sie durch Einsetzen der bedingten
Faktornachfragefunktionen in die Zielfunktion w1 x1 + w2 x2 :
C (w1 , w2 , y ) = w1 x1 (w1 , w2 , y ) + w2 x2 (w1 , w2 , y ) .
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Kostenfunktion
Kostenfunktion
Die Kostenfunktion gibt für jedes Outputniveau y die minimalen
Kosten an, die aufgewendet werden müssen, um dieses Outputniveau
zu produzieren.
Da die Kostenfunktion in der Produktionstheorie der Ausgabenfunktion
in der Haushaltstheorie entspricht, sind auch die Eigenschaften die
gleichen.
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Kostenfunktion
Unser Beispiel:
C (w1 , w2 , y ) = w1
µ
yw2
w1
¶0.5
+ w2
µ
yw1
w2
¶0.5
√
= 2 yw1 w2 .
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Eigenschaften der Kostenfunktion
√
C (w1 , w2 , y ) = 2 yw1 w2 .
Eine Kostenfunktion C (w1 , w2 , y ) hat folgende Eigenschaften:
Zunehmend (nichtabnehmend) in wi :
∂C(w1 , w2 , y )
≥ 0.
∂wi
Homogen vom Grade 1 in (w1 , w2 ):
C(λw1 , λw2 , y )
= λw1 x1 (λw1 , λw2 , y ) + λw2 x2 (λw1 , λw2 , y )
= λw1 x1 (w1 , w2 , y ) + λw2 x2 (w1 , w2 , y ) (xi null–homogen)
= λC(w1 , w2 , y ).
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Eigenschaften der Kostenfunktion
Unser Beispiel:
√
C (w1 , w2 , y ) = 2 yw1 w2
p
C (λw1 , λw2 , y ) = 2 y λw1 λw2
√
= 2λ yw1 w2 = λC (w1 , w2 , y ) .
Die Funktion ist linear homogen in den Faktorpreisen.
Das bedeutet: Werden die Faktorpreise beispielsweise verdoppelt,
dann verdoppeln sich auch die minimalen Kosten der Produktion einer
bestimmten Menge.
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Shephard’s Lemma
Shephard’s Lemma
∂C(w1 , w2 , y )
= xi (w1 , w2 , y ).
∂wi
Die partielle Ableitung der Kostenfunktion nach dem Faktorpreis wi
ergibt die bedingte Faktornachfrage nach Faktor i.
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Shephard’s Lemma
Unser Besipiel:
√
C (w1 , w2 , y ) = 2 yw1 w2 .
Ableiten nach w1 ergibt
µ
¶
√
2 yw2
∂C
yw2 0.5
=
= √
.
∂w1
2 w1
w1
Dies ist die bedingte Faktornachfrage nach Inputfaktor 1.
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Fixe und variable Kosten
Fixe Kosten sind von der Produktionsmenge unabhängig.
Die Unterscheidung von fixen und variablen Kosten hängt vom
betrachteten Zeitraum ab, z.B. Miete für ein Gebäude, Gehälter
der Angestellten etc.
Kurzfristig sid manche Kosten fix, aber langfristig können alle
Faktoren variiert werden.
Beispiel: C(y ) = 3y 2 + F mit dem Fixkostenterm F > 0.
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Grenzkosten
Frage: Um wieviel steigen die minimalen Kosten, wenn der Output
marginal erhöht wird?
Die Antwort ist gegeben durch die Grenzkosten.
Grenzkosten (Marginal Cost), MC sind gegeben durch die
Ableitung der Kostenfunktion nach dem Output y :
MC(y ) =
∂C(y )
.
∂y
Die Grenkostenfunktion ist durch die Steigung des Grafen der
Kostenfunktion bestimmt.
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Zusammenhang zwischen Kosten und Grenzkosten
C
C (y )
y
MC
MC(y ) = C ′ (y )
y
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Durchschnittskosten
Frage: Wie hoch sind die minimalen Stückkosten?
Die Durchschnittskosten (Average Cost) AC sind die Kosten
pro Stück, i.e.
AC(y ) =
C(y )
.
y
Die Durchschnittskostenfunktion ist durch die Steigung des
Fahrstrahls (einer Geraden aus dem Ursprung) an den Grafen der
Kostenfunktion bestimmt.
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Durchschnittskosten
C
C (y )
y
AC
AC(y ) =
C(y )
y
y
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Zusammenhang zwischen Grenz– und
Durchschnittskosten
Die Durchschnittskosten sind
AC(y ) =
C(y )
.
y
Die Ableitung der AC ergibt
·
¸
dAC
C ′ (y )y − C(y )
C(y )
1
′
=
C (y ) −
=
dy
y
y
y2
=
1
[MC(y ) − AC(y )] .
y
Der Ausdruck in eckigen Klammern stellt die Differenz zwischen
Grenz– und Durchschnittskosten dar.
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Zusammenhang zwischen Grenz– und
Durchschnittskosten
1
dAC
= [MC(y ) − AC(y )] .
dy
y
Wenn die Grenzkosten kleiner sind als die Durchschnittskosten,
dann ist MC(y ) − AC(y ) negativ. D.h. die AC nehmen ab.
Wenn die Grenzkosten grösser sind als die Durchschnittskosten,
dann ist MC(y ) − AC(y ) positiv. D.h. die AC nehmen zu.
Wenn die Grenzkosten gleich den Durchschnittskosten sind, dann
ist MC(y ) − AC(y ) gleich null. D.h. die AC sind konstant.
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Zusammenhang zwischen Grenz– und
Durchschnittskosten
Wenn die Grenzkosten gleich den Durchschnittskosten sind, dann ist
die Änderung der AC ist gleich null. Bezeichne diesen Punkt mit ŷ . D.h.
es gilt
AC(ŷ ) = MC(ŷ ).
Das bedeutet: Die Steigung der AC–Kurve im Punkt ŷ ist gleich
null.
Die AC–Kurve hat ihr Minimum im Punkt ŷ .
Die MC–Kurve schneidet die AC–Kurve im Minimum der AC.
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Grenz– und Durchschnittskosten
AC
MC
ŷ
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y
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Grenz– und Durchschnittskosten
Beispiel 1: C(y ) = y 2 + 100.
Die Durchschnittskosten sind AC(y ) = y + 100/y
und die Grenzkosten sind MC(y ) = 2y .
Minimierung der AC:
dAC
100
=1− 2 =0
dy
y
⇒
y 2 = 100
⇒
ŷ = 10.
Es gilt
AC(10) = 10 +
100
= 20,
10
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MC(10) = 2 · 10 = 20.
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31 / 84
Grenz– und Durchschnittskosten
AC
MC
20
10
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y
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32 / 84
Grenz– und Durchschnittskosten
Beispiel 2: C(y ) = 2y + 100.
Die Durchschnittskosten sind AC(y ) = 2 + 100/y
und die Grenzkosten sind MC(y ) = 2 und somit konstant.
Ableitung der AC:
100
dAC
= − 2 < 0,
dy
y
d.h. die AC nehmen überall ab. AC und MC treffen sich für y → ∞.
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Grenz– und Durchschnittskosten
AC
MC
y
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34 / 84
Grenz– und Durchschnittskosten
Beispiel 3: C(y ) = y 2 + 2y .
Die Durchschnittskosten sind AC(y ) = y + 2
und die Grenzkosten sind MC(y ) = 2y + 2.
Die MC liegen überall oberhalb der AC. Die AC steigen überall.
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35 / 84
Grenz– und Durchschnittskosten
AC
MC
2
y
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36 / 84
Kostenfunktion und Skalenerträge
Es besteht ein Zusammenhang zwischen den Durchschnittskosten
und den Skalenerträgen eines Produktionsprozesses.
Beispiel: Konstante SE, Faktorpreise w1 = w2 = 1.
x1 x2
1 1
2 2
3 3
y C(y ) AC(y )
2
2
1
4
4
1
6
6
1
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37 / 84
Kostenfunktion und Skalenerträge
Beispiel: Abnehmende SE, Faktorpreise w1 = w2 = 1.
x1 x2
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
y C(y )
2
2
3
4
4
6
5
8
6
10
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AC(y )
1
1.3
1.5
1.6
1.7
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38 / 84
Kostenfunktion und Skalenerträge
Beispiel: Zunehmende SE, Faktorpreise w1 = w2 = 1.
x1 x2 y C(y )
1 1
2
2
2 2
5
4
3 3
8
6
4 4 12
8
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AC(y )
1
0.8
0.75
0.67
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Kostenfunktion und Skalenerträge
Wir definieren die Einheitskostenfunktion als die minimalen Kosten,
die aufgewandt werden müssen, um eine Einheit des Outputs
herzustellen: C(w1 , w2 , 1).
Bei konstanten Skalenerträgen der Produktionsfunktion gilt:
Zur Herstellung des doppelten Outputs ist die doppelte Menge an
Inputs erforderlich.
Die Gesamtkosten zur Herstellung des doppelten Outputs sind
dann C(w1 , w2 , 1) · 2.
Für die Produktionsmenge y betragen die Gesamtkosten
C(w1 , w2 , 1) · y .
D.h., die Gesamtkosten sind linear in y.
Die AC sind konstant, z.B. C(y ) = y .
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Kostenfunktion und konstante Skalenerträge
y
C
f (x)
C (w1 , w2 , 1) · y
x
(a) Produktionsfunktion
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y
(b) Kostenfunktion
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41 / 84
Kostenfunktion und zunehmende Skalenerträge
Bei zunehmenden Skalenerträgen muss zur Herstellung des
doppelten Outputs weniger als die doppelte Inputmenge
eingesetzt werden.
Die Kosten steigen unterproportional:
C(w1 , w2 , 2) < C(w1 , w2 , 1) · 2.
Allgemein gilt für Output y :
C(w1 , w2 , y ) < C(w1 , w2 , 1) · y
∀y > 1.
Die AC nehmen ab, z.B. C(y ) = 2y + F .
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Kostenfunktion und zunehmende Skalenerträge
y
C
f (x)
C (w1 , w2 , y )
x
(c) Produktionsfunktion
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y
(d) Kostenfunktion
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Kostenfunktion und zunehmende Skalenerträge
Bei zunehmenden Skalenerträgen besteht die Tendenz zur
Entstehung einer konzentrierten Industrie, d.h. einer Marktstruktur
mit nur wenigen oder nur einem Anbieter. Wieso?
Wir vergleichen die Herstellung eines bestimmten Outputs ȳ in einer
Firma mit der Herstellung des Output ȳ je zur Hälfte in zwei Firmen.
³
³
y´
y´
+ C w1 , w2 ,
C w1 , w2 ,
2
2
³
y´
> C (w1 , w2 , y ) .
= 2 · C w1 , w2 ,
2
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Kostenfunktion und zunehmende Skalenerträge
Beobachtung 1
Bei zunehmenden SE können grössere Unternehmen mit geringeren
Stückkosten produzieren, so dass sie ihre Konkurrenten unterbieten
und letztlich vom Markt verdrängen können. Es liegt ein natürliches
Monopol vor.
√
Beispiel: C(y ) = 2 y .
√
Die Einheitskosten sind C(1) = 2 1 = 2.
√
Die Kosten für 2 Einheiten sind C(2) = 2 2 < 2 · C(1).
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45 / 84
Kostenfunktion und abnehmende Skalenerträge
Bei abnehmenden Skalenerträgen muss bei einer Verdoppelung
des Outputs mehr als die doppelte Inputmenge eingesetzt
werden.
Kosten steigen überproportional:
C(w1 , w2 , 2) > C(w1 , w2 , 1) · 2
bzw. C(w1 , w2 , y ) > C(w1 , w2 , 1) · y
Die AC nehmen zu, z.B. C(y ) = y 2 + 2y .
∀y > 1.
In diesem Fall produzieren mehrere kleine Unternehmen
günstiger als ein grosses.
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46 / 84
Kostenfunktion und abnehmende Skalenerträge
y
C
f (x)
C (y ; w1 , w2 )
x
(e) Produktionsfunktion
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y
(f) Kostenfunktion
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47 / 84
Kostenfunktion und Skalenerträge
Über die SE besteht ein Zusammenhang zwischen Produktions–
und Kostenfunktion:
Die eine Funktion ist das Spiegelbild der anderen.
Diese Dualität erlaubt einen Rückschluss aus der Kostenfunktion auf
die Technologie und umgekehrt.
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Ertragsgesetzliche Produktionsfunktion
y
C
f (x)
C (y ; w1 , w2 )
x
(g) Produktionsfunktion
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y
(h) Kostenfunktion
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Kurz– und langfristige Kostenfunktion
Kurze Frist: Mindestens ein Input kann in einem bestimmten
Zeitraum nicht variiert werden.
Lange Frist: Alle Produktionsfaktoren können beliebig variiert
werden.
Die kurzfristige Kostenfunktion ist
Cs (y , x1 , x̄2 ) =
+
w2 x̄2
.
w1 x1 (y )
| {z }
| {z }
variable Kosten fixe Kosten
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Kurzfristige Durchschnitts– und Grenzkosten
SAC
SAC
SMC
SAVC
y
SAC: Short–run average cost, kurzfristige Durchschnittskosten.
SMC: Short–run marginal cost, kurzfristige Grenzkosten.
SAVC: Short–run average variable cost, kurzfristige variable
Durchschnittskosten.
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Kurz- und langfristige Kosten
Beziehung zwischen kurz- und langfristigen Kosten und
Durchschnittskosten
Ein Unternehmen hat kurzfristig einen bestimmten festen
Kapitalbestand x̄2 .
Für eine bestimmte Outputmenge y ∗ ist dieser Kapitalbestand
optimal.
Für höhere oder geringere Outputniveaus wäre dieser
Kapitalbestand allerdings nicht optimal.
Nur beim Outputniveau y ∗ stimmen kurz– und langfristige
Kapitalbestände überein.
Langfristig gibt es keine Fixkosten, daher entspring die langfristige
Kostenfunktion aus dem Ursprung (kein Output, keine Kosten).
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Kurz- und langfristige Kosten
SC
LC
y1∗
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y2∗
y3∗
y4∗
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y
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53 / 84
Kurz- und langfristige Kosten
An den Punkten yi∗ sind kurz– und langfristige Kosten gleich.
Für alle anderen Outputmengen gilt:
Die kurzfristigen Kosten sind für jedes Outputniveau mindestens
so hoch wie die langfristigen.
Die langfristige Kosten liegen immer unterhalb der kurzfristigen
Kosten.
Bei einem bestimmten Output y ∗ ist der kurzfristige
Kapitalbestand optimal, d.h. an diesem Punkt sind kurz– und
langfristige Kosten gleich.
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Kurz- und langfristige Kosten
Die langfristige Kostenfunktion besteht aus den ‘besten’ Punkten der
kurzfristigen Kostenfunktionen.
Langfristige Kostenfunktion
Die langfristige Kostenfunktion ist die untere Hüllkurve (engl.: lower
envelope) der kurzfristigen Kostenfunktionen.
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Kurz- und langfristige Kosten
Beispiel: Kostenfunktion einer Cobb–Douglas Technologie mit
konstanten Skalenerträgen
SC1
C
SC2
SC3
LC
y1∗
Tone Arnold (Universität des Saarlandes)
y2∗
y3∗
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y
11. Dezember 2007
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Kurzfristige Durchschnittskosten: 3 Kapitalbestände
Frage: Wie sieht die langfristige Durchschnittskostenkurve aus, wenn
das Kapital nicht stetig veränderbar ist, sondern es nur diskrete
Kapitalniveaus gibt?
Beispiele
Ein Taxi–Unternehmen kann entweder 1, 2, 3,... Autos einsetzen,
aber nicht 2.7 Autos.
Ein Unternehmen kauft eine ganzzahlige Anzahl von Maschinen.
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Langfristige Durchschnittskosten: 3 Kapitalbestände
SAC
LAC
k1
k2
k3
LAC
y
Abbildung: Langfristige Durchschnittskosten für diskrete Kapitalniveaus
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Langfristige Durchschnittskosten: 3 Kapitalbestände
SAC
LAC
k1
k2
k3
y1
y2
y
Für Outputniveaus kleiner als y1 ist der Kapitalbestand k1 optimal. Für
Outputniveaus zwischen y1 und y2 ist k2 optimal. Für y > y2 ist k3
optimal.
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Gewinnmaximierung mit Kostenfunktion
Bisher: Für jeden möglichen Output sind die geringstmöglichen
Kosten ermittelt worden.
Jetzt: Ermittlung desjenigen Outputniveaus, das den Gewinn als
Differenz zwischen Erlös und Kosten maximiert.
Kostenminimierung ist notwendige Voraussetzung für
Gewinnmaximierung!
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Gewinnmaximierung mit Kostenfunktion
Das Gewinnmaximierungsproblem der Firma lautet
max π(y ) = py − C(y ).
y
Erster Term: Erlös (Preis mal Menge).
Zweiter Term: Kostenfunktion.
Wähle die Outputmenge so, dass die Differenz zwischen Erlös
und Kosten maximiert wird.
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Gewinnmaximierung mit Kostenfunktion
Gewinnmaximierung
max π(y ) = py − C(y ).
y
Die B.1.O. ist p − C ′ (y ) = 0 bzw. p = MC(y ).
Interpretation:
Der Output soll so gewählt werden, dass gilt:
Grenzerlös = Grenzkosten.
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Gewinnmaximierung mit Kostenfunktion
Lägen die Grenzkosten über dem Grenzerlös, dann würde es sich
nicht lohnen, die letzte Einheit zu produzieren.
Lägen die Grenzkosten unter dem Grenzerlös, dann könnte der
Gewinn gesteigert werden, indem der Output erhöht wird.
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Gewinnmaximierung mit Kostenfunktion
e
C(y )
p·y
π∗
•
y∗
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y
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Gewinnmaximierung mit Kostenfunktion
Der Preis des Produktes ist gegeben, daher ist der Erlös py eine
lineare Funktion der Outputmenge y .
Der Verlauf der Kostenkurve hängt von der Technologie ab.
Hier: Abnehmende Skalenerträge, d.h. die Kostenfunktion ist
konvex (Kosten steigen überproportional zum Output).
Der Gewinn ist der Abstand zwischen den beiden Kurven.
Er ist maximal beim Output y ∗ .
Bei der Menge y ∗ ist die Steigung der Kostenkurve (Grenzerlös)
gleich der Steigung der Erlöskurve (Preis).
Im Gewinnmaximum gilt
Grenzerlös gleich Grenzkosten.
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Gewinnmaximierung mit Kostenfunktion
Zunehmende Skalenerträge
e
p·y
C(y )
y∗
y
Im Punkt y ∗ gilt p = C ′ (y ), aber es liegt kein Gewinnmaximum vor,
sondern Gewinnminimum!
Bei zunehmenden Skalenerträgen existiert kein Gewinnmaximum,
wenn das Unternehmen keiner Kapazitätsbeschränkung
unterliegt.
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Ertragsgesetzliche Produktionsfunktion
e
C(y )
p·y
y1
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y2
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y
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Ertragsgesetzliche Produktionsfunktion
Bei y1 macht das Unternehmen einen Verlust (Bedingung 2.
Ordnung ist nicht erfüllt!)
Bei y2 ist der Erlös grösser als die Kosten, der Gewinn ist positiv
und y2 wäre ein Punkt auf der Angebotsfunktion des
Unternehmens.
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Bedingung 2. Ordnung
Um ein Gewinnmaximum zu garantieren, muss die Kostenfunktion
konvex in y sein, i.e.
C ′ (y ) > 0, C ′′ (y ) > 0.
Ist diese Bedingung 2. Ordnung erfüllt, so gilt im Gewinnmaximum
p = C ′ (y ).
Aus dieser B.1.O. wird die Angebotsfunktion des Unternehmens
hergeleitet.
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Angebotsfunktion
Angebotsfunktion
Das Unternehmen bietet bei jedem Preis diejenige Menge an, bei der
die Grenzkosten diesem Preis entsprechen. Dies ist die
gewinnmaximale Outputmenge.
Beispiel: C(y ) = y 2 + 100.
Die Grenzkosten sind MC(y ) = 2y .
Im Gewinnmaximum gilt p = MC, also p = 2y .
Auflösen nach y ergibt die Angebotsfunktion y (p) = p/2.
Die Angebotsfunktion ist die inverse MC–Funktion, bzw.
die inverse Angebotsfunktion entspricht der MC–Funktion.
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Unterschiede zwischen kurz– und langfristigem
Angebot
e
SMC
SAC
SAVC
p
y1
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y2
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y
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Unterschiede zwischen kurz– und langfristigem
Angebot
Die B.1.O. ist sowohl bei y1 als auch bei y2 erfüllt.
Würde ein Unternehmen beim Preis p die Menge y1 anbieten?
Im Punkt y1 führt eine Outputerhöhung zu einer Senkung der
Grenzkosten, d.h. der Gewinn nimmt zu.
Daher gehört y1 nicht zur Angebotsfunktion des Unternehmens.
Nur der ansteigende Ast der Grenzkostenfunktion ist Teil der
Angebotsfunktion.
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Unterschiede zwischen kurz– und langfristigem
Angebot
Aber: Ein Angebot wird erst dann erfolgen, wenn das
Unternehmen seine Kosten decken kann.
Beim Preis p wird die Menge y2 zwar kurzfristig angeboten, nicht
jedoch langfristig.
Beim Preis p und der Menge y2 wird kurzfristig ein Teil der
Fixkosten gedeckt.
Aber: Unternehmen arbeitet mit Verlust.
Wenn der Preis langfristig nicht steigt, könnte es für das
Unternehmen besser sein, aus dem Markt auszuscheiden.
Langfristig muss der Preis oberhalb der Stückkosten liegen.
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Kostendeckung
Langfristig müssen die Durchschnittskosten (DK) gedeckt sein.
Kurzfristig kann es jedoch lohnen, auch dann zu produzieren,
wenn dies nicht der Fall ist, i.e. wenn
π(y ) = py − C(y ) − F < 0.
Dies ist dann der Fall, wenn der Verlust bei Produktion geringer ist
als der Verlust ohne Produktion, wenn zwar die Fixkosten
getragen werden müssen aber kein Erlös erwirtschaftet wird:
−F < py − C(y ) − F .
Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so ist es für die Firma auch
kurzfristig optimal, den Markt zu verlassen.
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Kostendeckung
Beispiel: p = 10, C(y ) = 0.5y 2 und F = 100.
Der Gewinn ist π(y ) = 10y − 0.5y 2 − 100.
B.1.O. für Gewinnmaximierung:
10 − y = 0 ⇒ y ∗ = 10.
Der maximale Gewinn ist π(10) = 100 − 50 − 100 = −50
i.e. die Firma macht einen Verlust von 50 GE.
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Kostendeckung
Frage: Sollte diese Firma die Produktion einstellen?
Kurzfristig nicht, denn die Fixkosten müssten trotzdem getragen
werden. Der Gewinn wäre dann
π(0) = −F = −100.
D.h., die Firma würde einen Verlust von 100 GE machen. Dieser
Verlust ist grösser als der bei Produktion von 10 Outputeinheiten.
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Shut–Down Condition
Falls gilt −F > py − C(y ) − F ,
dann ist der Verlust bei Produktion (y > 0) grösser als bei Einstellung
der Produktion (y = 0).
Dies ist der Fall, wenn py − C(y ) < 0, i.e. wenn
p < AVC(y ).
Shut–Down Condition
Wenn die durchschnittlichen variablen Kosten nicht gedeckt sind, sollte
das Unternehmen den Markt verlassen.
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Gewinn und Produzentenrente
Konsumentenrente in der Haushaltstheorie:
p
Konsumentenrente
p∗ = p (y ∗ )
p(y )
y∗
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y
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Produzentenrente
Die Produzentenrente ist definiert als Erlös minus variable Kosten.
In der Abwesenheit von Fixkosten entspricht dies dem Gewinn.
Grafisch werden die variablen Kosten dargestellt als Fläche unter der
MC–Kurve.
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Grenzkosten als Kosten einer zusätzlichen Einheit
MC
MC
1 2 3
y
Abbildung: Grenzkosten als Kosten einer zusätzlichen Einheit
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Variable Kosten als Fläche unter der
Grenzkostenfunktion
MC
MC
C(y )
y
y
Abbildung: Variable Kosten als Fläche unter der Grenzkostenfunktion
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Angebotsfunktion und Erlös beim Preis p∗
e
MC(y )
p∗ = p (y ∗ )
Produzentenrente
C(y ∗ )
y∗
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y
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Angebotsfunktion und Erlös beim Preis p∗
Der Erlös entspricht dem Rechteck p∗ × y ∗ .
Kosten entsprechen der Fläche unter der Angebotsfunktion.
Differenz zwischen Erlös und Kosten ist die Produzentenrente.
Langfristig ist die Produzentenrente gleich dem Gewinn.
Kurzfristig ist die Produzentenrente gleich Gewinn plus
Fixkosten.
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Produzentenrente
e
MC
AC
p∗

Gewinn



Produzentenrente =
+



Fixkosten
AVC
y∗
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