Mikroökonomik -- 11. Vorlesungswoche

Mikroökonomik – 11. Vorlesungswoche
Tone Arnold
Universität des Saarlandes
6. Januar 2008
Tone Arnold (Universität des Saarlandes)
Mikroökonomik – 11. Vorlesungswoche
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Oligopoltheorie
Im Fall der vollkommenen Konkurrenz hat ein einzelner Akteur
durch seine Nachfrage– bzw. Angebotsentscheidung keinen
Einfluss auf das Marktergebnis.
Im Fall des Monopols wird die angebotene Menge (und damit der
resultierende Preis) vom einzigen Anbieter festgelegt.
Viele Industrien (z.B. Automobil–, Mineralöl– oder Zigarettenindustrie)
sind jedoch durch eine kleine Zahl von Anbietern gekennzeichnet.
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Oligopoltheorie
Ein oligopolistischer Markt zeichnet sich dadurch aus, dass das
Marktergebnis durch die Interaktion aller Anbieter in diesem Markt
determiniert wird.
Wenn z. B. eine Firma den Preis senkt, dann wird die Nachfrage und
damit der Erlös bei den anderen Unternehmen zurückgehen.
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Oligopoltheorie
Der gewinn eines Unternehmens wird nicht nur durch die
Entscheidungen dieses Unternehmens bestimmt, sondern auch
durch die aller anderen Marktteilnehmer.
Eine Firma sollte also bei ihrer Entscheidung über die
anzubietende Menge bzw. des zu fordernden Preises das
Verhalten der anderen Firmen in diesem Markt bei seiner
Entscheidung mit berücksichtigen.
Es besteht eine strategische Interdependenz zwischen den
Firmen auf einem oligopolistischen Markt.
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Oligopoltheorie
Ein solches Instrument ist die Spieltheorie.
Die Spieltheorie befasst sich mit strategischem Verhalten. Sie erlaubt
Aussagen über rationales Verhalten in strategischen
Entscheidungssituationen sowie über die Resultate dieser
Entscheidungen.
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Oligopolistische Marktstrukturen
Die Variablen, über die die Firmen entscheiden können, sind
der Preis oder
die Menge des hergestellten Produktes.
Diese Entscheidungen können entweder
in Unkenntnis der Entscheidung der anderen Firma getroffen
werden, i.e. simultan, oder
eine der Firmen entscheidet zuerst, und die andere Firma fällt ihre
Entscheidung aufgrund der von der ersten Firma getroffenen
Entscheidung.
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Das Modell von Cournot
Annahmen
1
Es gibt zwei identische Firmen, die ein homogenes Produkt
herstellen.
2
Die strategische Variable ist die Angebots– bzw. Outputmenge.
3
Die Firmen entscheiden simultan über ihre Outputmengen.
4
Die Preis–Absatz Funktion sowie die Kostenfunktionen beider
Firmen sind bekannt.
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Das Modell von Cournot
Beispiel:
Zwei Firmen stellen identische Musikanlagen her.
Die Preis–Absatz Funktion für Musikanlagen ist
p(y ) = 1200 − y ,
wobei y die insgesamt angebotene Menge an Musikanlagen
bezeichnet.
Die variablen Kosten der Produktion von Musikanlagen sind
vernachlässigbar, i.e. gleich null.
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Das Modell von Cournot
Jede der beiden Firmen überlegt sich, welche Menge sie am Markt
anbieten soll, um ihren Gewinn zu maximieren.
Problem: Der Gewinn einer Firma hängt nicht nur von der Menge ab,
die sie selbst anbietet, sondern auch von der Menge, die die andere
Firma anbietet.
Da die Firman simultan entscheiden, weiss keine der Firmen, welche
Menge die jeweils andere Firma anzubieten plant.
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Das Modell von Cournot
Sei y1 die Menge an Musikanlagen, die Firma 1 anbietet, und y2
die von Firma 2 angebotene Menge.
Die inverse Nachfrage (und somit der Gewinn jeder Firma) hängt
von der Gesamtmenge y ab, wobei gilt y = y1 + y2 .
Jede Firma entscheidet sich für eine Menge yi , i = 1, 2.
Firma i muss zwar in Unkenntnis der von der anderen Firma
geplanten Menge entscheiden, aber sie kann sich aber für jede
mögliche Menge der anderen Firma ihre beste Antwort
überlegen.
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Das Modell von Cournot
Beste Antwort
Die beste Antwort (best reply, best response) der Firma 1 auf die
Menge y2 der Firma 2 ist diejenige Menge y1 , die den Gewinn der
Firma 1 maximiert unter der Annahme, dass Firma 2 die Menge y2
anbietet.
Analog für Firma 2.
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Das Modell von Cournot
Der Erlös der Firma 1 ist p(y ) · y1 bzw. p(y1 + y2 ) · y1 .
Der Gewinn von Firma 1 ist
π1 (y1 , y2 ) = [1200 − (y1 + y2 )] y1 .
Der Gewinn von Firma 2 ist
π2 (y1 , y2 ) = [1200 − (y1 + y2 )] y2 .
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Das Modell von Cournot
Das Gewinnmaximierungsproblem der Firma 1 lautet
max π1 (y1 , y2 ) = [1200 − (y1 + y2 )] y1 .
y1
Analog lautet das Gewinnmaximierungsproblem der Firma 2
max π2 (y1 , y2 ) = [1200 − (y1 + y2 )] y2 .
y2
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Das Modell von Cournot
Wir lösen zuerst das Problem der Firma 1:
max [1200 − (y1 + y2 )] y1 = 1200y1 − y12 − y1 y2 .
y1
B.1.O.
1200 − 2y1 − y2 = 0.
Auflösen nach y1 ergibt
y1 = 600 −
y2
.
2
Dies ist die Reaktionsfunktion der Firma 1. Wir schreiben
y1 = R1 (y2 ) = 600 −
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y2
.
2
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Reaktionsfunktion
Reaktionsfunktion
Die Reaktionsfunktion der Firma 1 gibt für jede mögliche Menge y2 , die
Firma 2 anbieten könnte, die beste Antwort für Firma 1 an.
Beispiel: Bietet Firma 2 z.B. die Menge y2 = 500 Musikanlagen an, so
wäre die beste Antwort der Firma 1 gegeben durch
R1 (500) = 600 −
500
= 350.
2
Das bedeutet: Wüsste Firma 1, dass Firma 2 die Menge von 500
anzubieten plant, dann wäre es optimal für Firma 1, 350 Musikanlagen
anzubieten.
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Reaktionsfunktion
Nun lösen wir das Gewinnmaximierungsproblem der Firma 2:
max [1200 − (y1 + y2 )] y2 = 1200y2 − y1 y2 − y22 .
y2
B.1.O.
1200 − y1 − 2y2 = 0.
Auflösen nach y2 ergibt
y2 = 600 −
y1
.
2
Dies ist die Reaktionsfunktion der Firma 2. Wir schreiben
R2 (y1 ) = 600 −
y1
.
2
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Reaktionsfunktionen
y2
1200
R1 (y2 )
600
R2 (y1 )
600
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1200
y1
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Nash Gleichgewicht
Im Schnittpunkt der Reaktionskurven gilt:
Der Punkt liegt auf der Reaktionsfunktion der Firma 1. Also ist die
Menge der Firma 1 ihre beste Antwort auf die Menge der Firma 2.
Der Punkt liegt ebenfalls auf der Reaktionsfunktion der Firma 2.
Also ist die Menge der Firma 2 ihre beste Antwort auf die Menge
der Firma 1.
Mit anderen Worten: Die Mengen der beiden Firmen sind
gegenseitig beste Antworten.
Eine solche Kombination von Mengen heisst Nash Gleichgewicht,
benannt nach dem Theoretiker John Nash (1954). Er bekam 1994 den
Nobelpreis für Ökonomie (zusammen mit Reinhard Selten und John
Harsanyi).
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Nash Gleichgewicht
Definition 1 (Nash Gleichgewicht)
Ein Nash Gleichgewicht ist eine Kombination von Strategien zweier
Spieler, die gegenseitig beste Antworten darstellen.
Im Rahmen der Oligopoltheorie sind die Spieler die beiden Firmen.
Ihre Strategien sind die angebotenen Mengen.
Im Rahmen des Cournot Modells wird ein solches Gleichgewicht als
Cournot Nash Gleichgewicht
bezeichnet.
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Cournot Nash Gleichgewicht
In einem Cournot Nash Gleichgewicht gilt:
Die angebotenen Mengen sind y1∗ = R1 (y2 ) und y2∗ = R2 (y1 ), i.e.
sie sind gegenseitig beste Antworten.
Keine der Firmen bereut ihre Entscheidung, gegeben die
Mengenwahl der jeweils anderen Firma.
Keine der Firmen hat einen Anreiz, von der gewählten Menge
abzuweichen, vorausgesetzt die jeweils andere Firma bleibt
ebenfalls bei ihrer Wahl.
D.h., keine Firma könnte ihren Gewinn erhöhen, indem sie eine
andere als die gewählte Menge anbietet, vorausgesetzt die jeweils
andere Firma ändert ihre Menge nicht.
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Cournot Nash Gleichgewicht
Welche Mengen werden im Cournot Nash GG angeboten?
Da das Modell symmetrisch ist (beide Firmen lösen das gleiche
Optimierungsproblem), werden auch beide die gleichen Mengen
anbieten: y1∗ = y2∗ .
Es gilt also R1 (y2∗ ) = R2 (y1 ∗) bzw.
y1 ∗ = 600 −
y1∗
.
2
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Cournot Nash Gleichgewicht
y1 ∗ = 600 −
y1∗
.
2
Wir bringen die Terme mit y1∗ auf die linke Seite:
3 ∗
y = 600.
2 1
Auflösen nach y1∗ ergibt y1∗ = 400.
Analog gilt: y2∗ = 400.
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22 / 67
Cournot Nash Gleichgewicht
Das Cournot Nash GG lautet y1∗ = y2∗ = 400.
Das heisst:
Jede Firma bietet 400 Musikanlagen an.
Jede Firma maximiert ihren Gewinn unter der Voraussetzung,
dass die jeweils andere Firma 400 Musikanlagen anbietet.
Keine Firma bereut die Wahl ihrer Menge, gegeben die Menge der
anderen Firma.
Die Mengen sind gegenseitig beste Antworten.
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Cournot Nash Gleichgewicht
y2
1200
R1 (y2 )
600
y2∗
R2 (y1 )
y1∗
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600
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1200
y1
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Cournot Nash Gleichgewicht
Um zu zeigen, dass die Mengen im Cournot Nash GG gegenseitig
beste Antworten sind, setzen wir y2∗ = 400 in die Reaktionsfunktion der
Firma 1 ein:
R1 (400) = 600 −
400
= 400.
2
Also ist y1∗ = 400 die beste Antwort auf y2∗ = 400. Umgekehrt genauso.
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Das Cournot Nash Gleichgewicht
Frage: Welche Menge, welcher Preis und welche Gewinne resultieren
im Cournot Nash GG?
1
Die Gesamtmenge ist y1∗ + y2∗ = 800.
2
Der resultierende Marktpreis für eine Musikanlage ist
p(800) = 1200 − 800 = 400.
3
Der Gewinn einer Firma ist 400 · 400 = 1600.
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Das Cournot Modell in allgemeiner Form
Allgemeine Darstellung des Cournot Modells
1
Es gibt zwei identische Firmen, die simultanen
Mengenwettbewerb betreiben. Die angebotenen Mengen sind y1
und y2 .
2
Die Kostenfunktion einer Firma ist C(yi ) = cyi mit c ≥ 0, i = 1, 2.
3
Die Preisabsatzfunktion ist
p(y1 , y2 ) = a − b(y1 + y2 ),
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a, b > 0.
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Das Cournot Modell in allgemeiner Form
Das Maximierungsproblem der Firma 1 ist
max p(y1 , y2 )y1 − C(y1 )
y1
bzw.
max [a − b(y1 + y2 )] y1 − cy1 = (a − c)y1 − by12 − by1 y2 .
y1
B.1.O.
a − c − 2by1 − by2 = 0 ⇒ 2by1 = a − c − by2 .
Auflösen nach y1 ergibt die Reaktionsfunktin der Firma 1:
y1 = R1 (y2 ) =
a − c y2
− .
2b
2
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Reaktinsfunktion
Analog gilt für Firma 2
y2 = R2 (y1 ) =
a − c y1
− .
2b
2
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Reaktionsfunktionen
y2
a
R1 (y2 )
a
b
y2∗
R2 (y1 )
y1∗
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a
b
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a
y1
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Cournot Nash Gleichgewicht
Da das Modell symmetrisch ist, können wir das Cournot Nash GG
berechnen, indem wir die Mengen der beiden Firmen gleichsetzen:
y1∗ =
a − c y1
− .
2b
2
Daraus folgt
3 ∗ a−c
y =
.
2 1
2b
Auflösen nach y1∗ ergibt y1∗ =
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a−c
.
3b
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Cournot Nash Gleichgewicht
Die Mengen im Cournot Nash GG sind also
y1∗ = y2∗ =
a−c
.
3b
Das Gesamtangebot ist
y ∗ = y1∗ + y2∗ =
2(a − c)
3b
und der resultierende Marktpreis p∗ beträgt
a + 2c
2
.
a − (a − c) =
3
3
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32 / 67
Cournot Nash Gleichgewicht
Der Gewinn einer Firma (z.B. Firma 1) ist
π1 (y1∗ , y2∗ ) = p(y ∗ )y1∗ − cy1∗ = [p(y ∗ ) − c]y1∗ .
Einsetzen von p(y ∗ ) und y1∗ ergibt
·
¸
a + 2c
(a − c)
π1 (y1∗ , y2∗ ) =
−c
3
3b
=
(a − c)2
.
9b
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33 / 67
Vergleich der Marktformen
Wir vergleichen nun dieses Ergebnis mit
1
der Marktform der vollkommenen Konkurrenz
2
dem Monopol.
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34 / 67
Vergleich der Marktformen
Bei vollkommener Konkurrenz verhalten sich alle Akteure (d.h.
Firmen und Haushalte) als Preisnehmer. Die Auswirkung des eigenen
Angebots auf den Preis wird nicht berücksichtigt.
Die angebotene Menge ist so, dass Preis gleich Grenzkosten gilt:
a − by = c ⇒ y ∗ =
a−b
.
c
Diese Menge ist grösser als die im Duopol angebotene Menge
y1∗ + y2∗ =
2(a − c)
.
3b
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Vergleich der Marktformen
Ein Monopolist berücksichtigt bei seiner Mengenentscheidung den
gesamten Effekt auf den Marktpreis. Die Monopolmenge ist
yM =
a−c
.
2b
Diese Menge ist geringer als die im Duopol angebotene Menge
y1∗ + y2∗ =
2(a − c)
.
3b
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Vergleich der Marktformen
Das Monopol ist diejenige Marktform, bei der die geringste Menge
angeboten wird. Entsprechend ist der Preis im Monopol am
höchsten.
Bei vollkommener Konkurrenz wird die grösste Menge angeboten,
und der Preis ist am niedrigsten.
Das Duopol (oder Oligopol) liegt zwischen den beiden Extremen.
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37 / 67
Vergleich der Marktformen
Fragen:
1
In welchem Verhältnis stehen die Gewinne bei den drei
Marktformen?
2
Ist die Summe der Gewinne zweier Duopolisten grösser oder
kleiner als der Gewinn eines Monopolisten?
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Cournot Wettbewerb mit vielen Firmen
Wir betrachten den Fall einer grossen Zahl n von Oligoolisten in einem
Markt. Die insgesamt angebotene Menge Y ist gegeben durch
Y = y1 + y2 + y3 + . . . yn =
n
X
yi .
i=1
Der Gewinn einer Firma, z.B. Firma 1, ist dann
π1 (Y ) = p(Y )y1 − cy1 .
Die B.1.O. für eine Firma lautet
p(Y ) +
dp(Y )
yi − c = 0.
dY
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Cournot Wettbewerb mit vielen Firmen
Die B.1.O. für eine Firma lautet
p(Y ) +
dp(Y )
yi − c = 0.
dY
Ausklammern von p(Y ) ergibt
¸
·
dp(Y ) Y yi
= c.
p(Y ) 1 +
dY p(Y ) Y
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40 / 67
Cournot Wettbewerb mit vielen Firmen
·
dp(Y ) Y yi
p(Y ) 1 +
dY p(Y ) Y
¸
= c.
Der rote Term ist die Elastizität der aggregierten Nachfragefunktion.
Der blaue Term bezeichnet den Anteil des Outputs der Firma 1 am
Gesamtoutput, i.e. ihren Marktanteil. Wir bezeichnen ihn mit s1 , bzw.
mit si für eine beliebige Firma i. Dann folgt
¸
si
= c.
p(Y ) 1 −
|ǫY |
·
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41 / 67
Cournot Wettbewerb mit vielen Firmen
·
¸
si
p(Y ) 1 −
= c.
|ǫY |
Diese Gleichung ist analog zur Amoroso–Robinson Gleichung
aus der Monopoltheorie.
Der einzige Unterschied besteht in der Berücksichtigung des
Marktanteils der Firma i, si .
Der Term |ǫsYi | ist die Elastizität der individuellen
Nachfragefunktion, der sich Firma i gegenübersieht.
Beim Monopolisten ist dieser Marktanteil si gleich 1. Je geringer
der Marktanteil einer Firma, d.h je mehr Firmen im Markt sind,
desto flacher ist die Nachfragefunktion, der sich eine Firma
gegenübersieht.
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42 / 67
Cournot Wettbewerb mit vielen Firmen
Geht die Zahl der Firmen n gegen unendlich, so resultiert das
Ergebnis bei vollkommener Konkurrenz, denn der Term si /|ǫY | geht
in diesem Fall gegen null und es folgt p(Y ) = c.
Beobachtung 1
Die Marktformen des Monopols und der vollkommenen Konkurrenz
können als Spezialfälle eines Cournot Oligopols aufgefasst werden.
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43 / 67
Unterschiedliche Grenzkosten
Wir betrachten nun den Fall zweier Duopolisten mit unterschiedlichen
Grenzkosten c1 und c2 .
Das Maximierungsproblem der Firma 1 lautet
max π1 (y1 , y2 ) = [a − b(y1 + y2 )] y1 − c1 y1 ,
y1
und das der Firma 2 lautet
max π1 (y1 , y2 ) = [a − b(y1 + y2 )] y2 − c2 y2 .
y1
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44 / 67
Unterschiedliche Grenzkosten
Wir lösen das Problem von Firma 1:
max π1 (y1 , y2 ) = [a − b(y1 + y2 )] y1 − c1 y1 .
y1
B.1.O.
∂π1
= a − 2by1 − by2 − c1 = 0
∂y1
⇒ 2by1 = a − by2 − c1 .
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45 / 67
Unterschiedliche Grenzkosten
2by1 = a − by2 − c1 .
Auflösen nach y1 ergibt die Reaktionsfunktion von Firma 1:
R1 (y2 ) =
a − c1 y2
− .
2b
2
Analog lautet die Reaktionsfunktion der Firma 2
R2 (y1 ) =
a − c2 y1
− .
2b
2
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46 / 67
Unterschiedliche Grenzkosten
R1 (y2 ) =
a − c1 y2
− .
2b
2
Die Reaktionsfunktion der Firma 1 ist eine Gerade mit
Achsenabschnitt
1
a − c1
und Steigung − .
2b
2
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47 / 67
Reaktionskurven
y2
a−c1
b
R1 (y2 )
a−c2
2b
R2 (y1 )
a−c1
2b
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a−c2
b
y1
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48 / 67
Unterschiedliche Grenzkosten
Frage: Wie wirkt sich eine Änderung der Grenzkosten einer Firma
auf ihre Reaktionsfunktion aus?
Angenommen, die Grenzkosten von Firma 1 sinken. Dadurch
verschiebt sich die Reaktionskurve nach rechts: Bei jeder Menge von
Firma 2 kann Firma 1 jetzt eine grössere Menge anbieten.
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49 / 67
Änderung der Grenzkosten
y2
a−c1
b
R1 (y2 )
a−c2
2b
R2 (y1 )
a−c1
2b
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a−c2
b
y1
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50 / 67
Nash GG bei unterschiedlichen Grenzkosten
Um das Nash Gleichgewicht zu berechnen, setzen wir die
Reaktionsfunktion von Firma 2 in die der Firma 1 ein:
µ
¶
a − c1 1 a − c2 y1
y1 =
−
−
2b
2
2b
2
=
a − c1 a − c2 y1
−
+
2b
4b
4
⇒
2a − 2c1 − a + c2
a − 2c1 + c2
3
y1 =
=
.
4
4b
4b
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51 / 67
Nash GG bei unterschiedlichen Grenzkosten
a − 2c1 + c2
3
y1 =
4
4b
Auflösen nach y1 ergibt die angebotene Menge von Firma 1 im
Cournot Nash Gleichgewicht (CNG):
y1∗ =
a − 2c1 + c2
.
3
Analog ist die angebotene Menge von Firma 2
y2∗ =
a − 2c2 + c1
.
3
Diese Mengen hängen negativ von den eigenen Grenzkosten und
positiv von den Grenzkosten der jeweils anderen Firma ab.
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52 / 67
Nash GG bei unterschiedlichen Grenzkosten
CNG mit unterschiedlichen Grenzkosten
Die Firma mit den niedrigeren Grenzkosten bietet im CNG die
grössere Menge an.
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53 / 67
Cournot Nash Gleichgewicht
y2
a−c1
b
R1 (y2 )
a−c2
2b
y2∗
R2 (y1 )
y1∗
Tone Arnold (Universität des Saarlandes)
a−c1
2b
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a−c2
b
y1
6. Januar 2008
54 / 67
Das Modell von Bertrand
Annahmen:
1
Es gibt zwei identische Firmen, die beide ein homogenes
Produkt herstellen.
2
Jede Firma wählt einen Preis für ihr Produkt.
3
Es gibt 100 Nachfrager, die jeweils eine Einheit des Produktes
kaufen wollen.
4
Diejenige Firma, die den niedrigeren Preis setzt, bekommt die
gesamte Marktnachfrage.
5
Beide Firmen produzieren mit konstanten Grenzkosten c.
6
Jede Firma kann die gesamte Nachfrage bedienen, d.h. es gibt
keine Kapazitätsbeschränkungen.
Tone Arnold (Universität des Saarlandes)
Mikroökonomik – 11. Vorlesungswoche
6. Januar 2008
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Das Modell von Bertrand
Gesucht: Eine Strategienkombination, die ein Gleichgewicht darstellt,
d.h. eine Kombination von Preisen, die wechselseitig beste Antworten
sind.
Überlegung:
Die Preise können nicht unterhalb der Grenzkosten liegen, sonst
würde jede Firma einen Verlust machen. Diesen Verlust könnte sie
verringern, wenn sie einen höheren Preis verlangen würde.
Tone Arnold (Universität des Saarlandes)
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Das Modell von Bertrand
Beispiel: c = 10.
Angenommen, beide Firmen setzen den Preis p1 = p2 = 12. Dieser
Preis liegt oberhalb der Grenzkosten von 10. Jede Firma erwirtschaftet
einen Gewinn von 50 · 12 = 600.
Frage: Stellen diese Preise ein Nash Gleichgewicht dar?
Nein. Wir zeigen, dass z. B.Firma 1 ihren Gewinn erhöhen kann,
indem sie ihren Preis senkt.
Angenommen, Firma 1 senkt ihren Preis auf p1 = 11.99, während
Firma 2 ihren Preis p2 = 12 beibehält.
Dann erhält Firma 1 die gesamte Marktnachfrage.
Dadurch steigt ihr Gewinn von 600 auf 100 · 11.99 = 1199.
Die ursprünglichen Preise von 12 stellen kein Nash GG dar, da
z. B.Firma 1 ein Interesse hat, davon abzuweichen.
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Das Modell von Bertrand
Aber dieses Argument gilt für alle Preise, die oberhalb der
Grenzkosten liegen!
Das Bertrand Modell
Das einzige Nash Gleichgewicht bei Bertrand Wettbewerb besteht
darin, dass beide Firmen Preis gleich Grenzkosten setzen, i.e.
p1 = p2 = c.
Nur dann hat keine Firma einen Anreiz zum Abweichen. Geringere
Preise führen zu einem Verlust, höhere Preise zu einem Gewinn von
null.
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Das Modell von Bertrand
Beobachtung 2
Das Ergebnis des Bertrand Wettbewerbs führt zum gleichen Resultat
wie die vollkommene Konkurrenz!
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Unterschiedliche Grenzkosten
Nun betrachten wir den Fall, dass sich die Grenzkosten der Firmen
unterscheiden: c1 = 10 und c2 = 14.
Annahme: Die kleinste Geldeinheit ist ein Cent.
Frage: Welche Preisstrategien bilden ein Nash Gleichgewicht?
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Unterschiedliche Grenzkosten
Betrachten wir die Strategiekombination p1 = 13.99, p2 = 14 als
Kandidaten für ein Nash GG.
Stellen diese Preise ein Nash GG dar?
Wir müssen untersuchen, ob sich eine der beiden Firmen durch
Abweichen von ihrem Preis verbessern kann, wenn sich die jeweils
andere Firma an ihren Preis hält.
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Unterschiedliche Grenzkosten
Bei der Strategiekombination p1 = 13.99, p2 = 14 erhält Firma 1 die
gesamte Nachfrage und somit einen Gewinn von
π1 = 100 · 13.99 = 1399. Firma 2 erhält einen Gewinn von null.
Kann sich Firma 1 durch Erhöhung ihres Preises verbessern?
Nein, denn bei p1′ = 14 müsste sie den Markt mit Firma 2 teilen,
wodurch ihr Gewinn auf 50 · 14 = 700 sinken würde. Bei einem
Preis grösser als 14 würde der Gewinn von Firma 1 auf null
sinken.
Kann sich Firma 1 durch Senkung ihres Preises verbessern?
Nein, denn dies würde weniger Erlös pro Einheit bedeuten.
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Unterschiedliche Grenzkosten
Kandidat für Nash GG: Strategiekombination p1 = 13.99, p2 = 14.
Kann sich Firma 2 durch Erhöhung ihres Preises verbessern?
Nein, ihr Gewinn wäre weiterhin gleich null.
Kann sich Firma 2 durch Senkung ihres Preises verbessern?
Nein. Bei Senkung von p2 auf 13.99 bekäme Firma 2 die Hälfte
der Marktnachfrage. Bei diesem Preis sind aber ihre Grenzkosten
nicht gedeckt. Sie würde einen Verlust machen. Bei einem noch
geringeren Preis wäre dieser Verlust noch grösser.
Fazit: Die Strategiekombination p1 = 13.99, p2 = 14 stellt ein Nash
Gleichgewicht dar.
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Unterschiedliche Grenzkosten
Frage: Ist dies das einzige Nash GG, oder gibt es weitere?
Betrachten wir als Kandidaten für ein weiteres Nash GG die
Strategiekombination p1 = 12 und p2 = 12.01. Wieder erhält Firma 1
die gesamte Nachfrage. Ihr Gewinn ist π1 = 1200 und der Gewinn von
Firma 2 ist gleich null.
Stellen diese Preise ein Nash GG dar?
Wir prüfen, ob sich eine der beiden Firmen durch Abweichen
verbessern kann.
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Unterschiedliche Grenzkosten
Kann sich Firma 1 durch eine Erhöhung ihres Preises
verbessern?
Nein. Bei Erhöhung auf 12.01 müsste sie die Nachfrage mit Firma
2 teilen. Ihr Gewinn würde sinken auf 50 · 12.01 = 600.50. Bei
einer Erhöhung von p1 über 12.01 hinaus würde der Gewinn von
Firma 1 auf null sinken.
Kann sich Firma 1 durch eine Senkung ihres Preises verbessern?
Nein, denn dadurch würde der Erlös pro Stück sinken.
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Unterschiedliche Grenzkosten
Kann sich Firma 2 durch eine Erhöhung ihres Preises
verbessern?
Nein, ihr Gewinn wäre nach wie vor gleich null.
Kann sich Firma 2 durch eine Senkung ihres Preises verbessern?
Nein. Bei Senkung von p2 auf 12 bekäme Firma 2 die Hälfte der
Nachfrage. Ihre Stückkosten von 14 wären aber nicht gedeckt, so
dass sie einen Verlust machen würde. Bei Senkung des Preises
unter 12 wäre der Verlust noch grösser.
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Unterschiedliche Grenzkosten
Fazit: Die Strategiekombination p1 = 12, p2 = 12.01 stellt ebenfalls ein
Nash GG dar!
Ergebnis 1
Die Menge aller Nash Gleichgewichte ist charakterisiert durch
p1 ∈ [10, 13.99] und p2 = p1 + 0.01.
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