Mikroökonomik -- 12. Vorlesungswoche

Mikroökonomik – 12. Vorlesungswoche
Tone Arnold
Universität des Saarlandes
21. Januar 2008
Tone Arnold (Universität des Saarlandes)
Mikroökonomik – 12. Vorlesungswoche
21. Januar 2008
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Das von Stackelberg Modell
Annahmen:
Zwei Firmen stellen ein homogenes Gut her und betreiben
Mengenwettbewerb.
Neu: Der Ablauf ist sequenziell: Firma 1 entscheidet zuerst über
ihre Angebotsmenge. Firma 1 ist Stackelberg Führer.
Firma 2 beobachtet die Entscheidung von Firma 1. Erst dann
wählt Firma 2 ihre Angebotsmenge. Firma 2 ist Stackelbergfolger.
Der Marktpreis ergibt sich dann durch die insgesamt (von beiden
Firmen) angebotene Menge.
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Das von Stackelberg Modell
Eine Methode, ein solches zweistufiges Spiel zu lösen, besteht darin,
dieses Spiel vom Ende her aufzurollen. Dies nennt man rückwärtige
Induktion (backwards induction):
Wir beginnen mit der Entscheidung der Firma 2, des Stackelberg
Folgers. Für jede Menge y1 des Stackelberg Führers wählt Firma
2 ihre beste Antwort, die gegeben ist durch ihre Reaktionsfunktion
R2 (y1 ).
Firma 1 berücksichtigt bei ihrer Mengenentscheidung, dass Firma
2 gemäss ihrer Reaktionsfunktion reagieren wird. D.h., Firma 1
maximiert ihren Gewinn unter der Nebenbedingung, dass Firma 2
die Menge R2 (y1 ) anbieten wird.
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Das von Stackelberg Modell
Beispiel:
Die Preis–Absatz Funktion ist p(y ) = 1200 − y , wobei y = y1 + y2 die
Gesamtmenge ist.
Die Kosten sind gleich null.
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Das von Stackelberg Modell
Entscheidung des Stackelbergfolgers
max [1200 − (y1 + y2 )] y2 = 1200y2 − y1 y2 − y22 .
y2
B.1.O.
1200 − y1 − 2y2 = 0 ⇒ y2 = 600 −
y1
.
2
Dies ist die selbe Reaktionsfunktion wie im Cournot Modell:
R2 (y1 ) = 600 −
y1
.
2
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Das von Stackelberg Modell
Entscheidung des Stackelberg Führers
Firma 1 weiss: Wenn sie die Menge y1 anbietet, wird Firma 2 die
y1
anbieten.
Menge R2 (y1 ) = 600 −
2
Firma 1 muss dies in ihrer Gewinnmaximierung berücksichtigen.
Wir setzen die Reaktionsfunktion von Firma 2 in das
Maximierungsproblem von Firma 1 ein.
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Das von Stackelberg Modell
Firma 1 maximiert
h
³
y ´i
max 1200 − y1 − 600 − 1 y1
y1
2
h
³
y1 i
y1 ´
= 1200 − y1 − 600 +
y1 = 600 −
y1 .
2
2
B.1.O.
600 − y1 = 0 ⇒ y1∗ = 600.
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Das von Stackelberg Modell
Einsetzen von y1∗ = 600 in die Reaktionsfunktion von Firma 2 ergibt
die Angebotsmenge von Firma 2:
y2∗ = 600 −
600
= 300.
2
Der resultierende Marktpreis ist
1200 − 600 − 300 = 300.
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Das von Stackelberg Modell
Gewinn von Firma 1:
300 · 600 = 180000.
Gewinn von Firma 2:
300 · 300 = 90000.
Der Gesamtgewinn beträgt 270000.
First–Mover’s Advantage
Der Gewinn des Stackelberg Führers ist höher als der des Stackelberg
Folgers. Der Stackelberg Führer hat einen Vorteil dadurch, dass er
zuerst entscheiden kann. Man nennt dies First–Mover’s Advantage.
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Das von Stackelberg Modell
Vergleich der Marktformen
y1
y2
p
π1
π2
π1 + π 2
Monopol
600
600 360000
360000
Cournot
400 400 400 160000 160000 320000
Stackelberg 600 300 300 180000 90000 270000
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Das von Stackelberg Modell
Das allgemeine Modell
Firma 2 löst das Problem
max [a − b(y1 + y2 )] y2 − c2 y2
y2
= (a − c2 )y2 − by1 y2 − by22 .
B.1.O.
a − c2 − by1 − 2by2 = 0 ⇒ 2by2 = a − c2 − by1
⇒ y2 =
a − c2 y1
− .
2b
2
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Das von Stackelberg Modell
Die Reaktionsfunktion von Firma 2 lautet
a − c2 y1
− .
2b
2
Wir setzen diese Reaktionsfunktion in das Maximierungsproblem der
Firma 1 ein:
¶¸
·
µ
a − c2 y1
y1 − c1 y1
−
max a − by1 − b
y1
2b
2
y2 =
¸
·
by1
a c2
y1 − c1 y1
− by1 +
= a− +
2
2
2
=
µ
a + c2 − 2c1 − by1
2
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¶
y1 .
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Das von Stackelberg Modell
Gewinn von Firma 1:
µ
a + c2 − 2c1 − by1
2
¶
y1 .
B.1.O.
a + c2 − 2c1 − 2by1 = 0 ⇒ 2by1 = a + c2 − 2c1 .
Auflösen nach y1 ergibt die Angebotsmenge des Stackelberg Führers:
y1∗ =
a + c2 − 2c1
.
2b
Einsetzen in die Reaktionsfunktion von Firma 2 ergibt
y2 =
a − c2 a + c2 − 2c1
a − 3c2 + 2c1
−
=
.
2b
4b
4b
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Das von Stackelberg Modell
Grafische Darstellung
Firma 1 antizipiert, dass Firma 2 gemäss ihrer Reaktionsfunktion
reagieren wird.
D.h., Firma 1 wählt einen Punkt auf der Reaktionsfunktion der
Firma 2.
Welcher Punkt auf der Reaktionsfunktion von Firma 2 maximiert
den Gewinn von Firma 1?
Um diesen Punkt zu ermitteln, führen wir das Konzept der
Isoprofitlinien ein.
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Das von Stackelberg Modell
Definition 1 (Isoprofitlinie)
Eine Isoprofitlinie der Firma 1 gibt alle Mengenkombinationen der
beiden Firmen an, die zu dem selben Gewinn für Firma 1 führen:
π̄1 = a y1 − b y1 y2 − b y12 − c y1 .
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Isoprofitlinie für Unternehmen 1
y2
R1 (y2 )
y1
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Das von Stackelberg Modell
Höhere Gewinne für Unternehmen 1 liegen unterhalb der
Isoprofitlinie, niedrigere Gewinne liegen oberhalb der Isoprofitlinie.
Die Isoprofitlinie erreicht ihr Maximum auf der Reaktionsfunktion
des Unternehmens 1, denn auf dieser Kurve liegt ja die beste
Antwort auf jede Menge y2 .
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Isoprofitlinie für Unternehmen 2
y2
R2 (y1 )
y1
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Die von Stackelberg Lösung
y2
y2S
R2 (y1 )
y1
y1S
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Die von Stackelberg Lösung
Firma 1 sucht die niedrigste erreichbare Isoprofitlinie, die die
Reaktionsfunktion des Unternehmens 2 berührt.
Höhere Isoprofitlinien sind nicht gewinnmaximierend und
niedrigere sind nicht erreichbar.
Das von Stackelberg Gleichgewicht ist grafisch der
Tangentialpunkt der Isoprofitlinie der Firma 1 mit der
Reaktionskurve der Firma 2.
Im Vergleich zum cournot Nash Gleichgewicht gilt: Der Gewinn
von Firma 1 ist höher und der von Firma 2 ist niedriger.
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Das von Stackelberg Modell
Wir haben gesehen:
Der Stackelberg Führer hat einen Vorteil dadurch, dass er seine
Menge zuerst festlegen kann.
Sein Gewinn ist höher sowohl als der des Stackelberg Folgers als
auch als der eines Cournot Duopolisten.
Achtung:
Die Menge des Stackelberg Führers liegt nicht auf seiner
Reaktionsfunktion. D.h., der Stackelberg Führer spielt keine beste
Antwort!
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Das von Stackelberg Modell
Das bedeutet: Könnte der Stackelberg Führer seine Menge nochmals
ändern, nachdem der Folger seine Menge gewählt hat, so würde er
dies tun.
Unser Beispiel: Die Mengen im Stackelberg GG waren y1∗ = 600 und
y2∗ = 300.
Die beste Antwort von Firma 1 auf die Menge y2∗ = 300 wäre aber
R1 (300) = 600 −
300
= 450.
2
D.h., wenn er könnte, würde der Stackelberg Führer seine Menge von
600 auf 450 senken.
Aber das weiss auch Firma 2.
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Das von Stackelberg Modell
In diesem Fall würde Firma 2 nicht die Menge 300 anbieten, sondern
R2 (450) = 600 −
450
= 375.
2
Doch dann würde Firma 1 die Menge
R1 (375) = 600 −
375
= 412.5
2
anbieten.
Dieses Argument lässt sich fortsetzen, bis das Cournot Nash GG
erreicht ist, in dem jede Firma 400 anbietet. Aber dann wäre der Vorteil
des Stackelbergführers eliminiert!
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Das von Stackelberg Modell
y2
y2S
R2 (y1 )
y1
y1S
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Das von Stackelberg Modell
Der Stackelberg Führer profitiert also davon, dass er seine Menge
nicht im Nachhinein ändern kann.
Selbstbindung
Dadurch, dass der Stackelberg Führer seine Menge zuerst festlegt,
bindet er sich an diese Menge. Ohne diese Selbstbindung hätte
Firma 1 keinen Vorteil, denn dann wäre das Stackelberg Gleichgewicht
nicht erreichbar.
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Das Launhard–Hotelling Modell
Annahmen:
Zwei Firmen betreiben Preiswettbewerb in einem heterogenen
Oligopol, d.h. die Firmen bieten differenzierte Güter an, die
Substitute darstellen.
Die Firmen entscheiden simultan über ihre Preise.
Die Nachfrage nach dem Produkt einer Firma hängt nicht nur vom
Preis dieser Firma ab, sondern auch vom Preis der anderen
Firma.
Beispiel: Wenn Mercedes seine Preise deutlich erhöht, dann wird
die Nachfrage nach BMW und Audi zunehmen.
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Das Launhard–Hotelling Modell
Beispiel: Die Nachfrage nach Gut 1 ist
y1 (p1 , p2 ) = 1200 − 2p1 + p2 ,
und die Nachfrage nach Gut 2 ist
y2 (p1 , p2 ) = 1200 + p1 − 2p2 .
Die Nachfrage hängt
negativ vom eigenen Preis und
positiv vom Preis der anderen Firma ab.
Der Eigenpreiseffekt ist stärker.
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Das Launhard–Hotelling Modell
Maximierungsproblem der Firma 1:
max(120 − 2p1 + p2 )p1 = 120p1 − 2p12 + p1 p2 .
p1
B.1.O.
120 − 4p1 + p2 = 0.
Auflösen nach p1 ergibt die Reaktionsfunktion der Firma 1:
p1 = R1 (p2 ) = 30 +
p2
.
4
Analog lautet die Reaktionsfunktion der Firma 2
p2 = R2 (p1 ) = 30 +
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p1
.
4
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Reaktionskurven
p2
R1 (p2 )
R2 (p1 )
40
30
30
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40
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p1
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Das Launhard–Hotelling Modell
Reaktionskurven
Die Reaktionskurven haben eine positive Steigung: Je höher der
Preis meines Konkurrenten, umso höher ist auch mein
gewinnmaximaler Preis.
Im Cournot Modell haben die Reaktionskurven eine negative Steigung:
Wenn mein Konkurrent eine grössere Menge anbietet, wird der Preis
sinken. Um einen Preisverfall zu verhindern, muss ich dann meine
Menge verringern.
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30 / 63
Das Launhard–Hotelling Modell
Strategische Variablen
Die Mengen im Cournot Modell sind strategische Substitute, sie
bewegen sich in entgegengesetzte Richtungen.
Die Preise im Launhard–Hotelling Modell sind strategische
Komplemente, sie bewegen sich in die gleiche Richtung.
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Das Launhard–Hotelling Modell
Um den Schnittpunkt zu berechnen, setzen wir die
Reaktionsfunktionen gleich:
p1∗ = 30 +
p1∗
3
⇒ p1∗ = 30 ⇒ p1∗ = 40.
4
4
Wegen der Symmetrie des Modells gilt: Die Preise im Gleichgewicht
sind p1∗ = p2∗ = 40.
Diese Preise stellen ein Nash Gleichgewicht dar. Sie sind
gegenseitig beste Antworten.
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Das Launhard–Hotelling Modell
Die Nachfrage nach Gut 1 ist dann
y1 (40, 40) = 120 − 80 + 40 = 80.
Der Gewinn der Firma 1 ist 40 · 80 = 3200. Das gleiche gilt für Firma 2.
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Das Launhard–Hotelling Modell
Allgemeines Modell
Die Nachfragefunktionen nach den beiden Gütern sind
y1 (p1 , p2 ) = a − bp1 + dp2 ,
y2 (p1 , p2 ) = a − bp2 + dp1 ,
d < b. Die Kosten sind gleich null.
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34 / 63
Das Launhard–Hotelling Modell
Firma 1:
max ap1 − bp12 + dp1 p2 .
p1
B.1.O.
a − 2bp1 + dp2 = 0 ⇒ 2bp1 = a + dp2 .
Auflösen nach p1 ergibt die Reaktionsfunktion der Firma 1:
p1 = R1 (p2 ) =
a + dp2
.
2b
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Das Launhard–Hotelling Modell
Analog ist die Reaktionsfunktion der Firma 2
p2 = R2 (p1 ) =
a + dp1
.
2b
Aufgrund der Symmetrie gilt p1∗ = p2∗ . Gleichsetzen der
Reaktionsfunktionen ergibt
¶
µ
a
d
d ∗
a
∗
∗
=
+
p ⇒ p1 1 −
p1 =
2b 2b 1
2b
2b
⇒
p1∗
µ
2b − d
2b
¶
=
a
a
.
⇒ p1∗ =
2b
2b − d
Das Nash GG lautet p1∗ = p2∗ =
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a
.
2b − d
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36 / 63
Preisführerschaft
Annahmen:
Preiswettbewerb mit differenzierten Gütern.
Firma 1 ist Preisführer, Firma 2 ist Preisfolger.
Die Nachfragefunktionen sind
yi (p1 , p2 ) = 120 − 2pi + pj .
Die Kosten sind gleich null.
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Preisführerschaft
Rückwärtige Induktion:
Firma 2 setzt ihren Preis gemäss ihrer Reaktionsfunktion
p
R2 (p1 ) = 30 + 1 .
4
Firma 1 berücksichtigt dies. Wir setzen die Reaktionsfunktion der
Firma 2 in das Maximierungsproblem der Firma 1 ein:
³
p1 ´
max 120 − 2p1 + 30 +
p1
p1
4
¶
µ
7
= 150 − p1 p1 .
4
B.1.O.
7
300
= 42.86.
150 − p1 = 0 ⇒ p1∗ =
2
7
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Preisführerschaft
Einsetzen in die Reaktionsfunktion des Preisfolgers ergibt
p2∗ = 30 +
300
= 40.71.
28
Nash Gleichgewicht
Die Preise im Nash Gleichgewicht sind
p1∗ = 42.86, p2∗ = 40.71.
Der Preisfolger setzt einen niedrigeren Preis. Er kann den
Preisführer unterbieten.
Daduch erhält der Preisfolger einen grössenen Teil der Nachfrage.
Der Preisfolger macht einen höheren Gewinn und ist dadurch im
Vorteil.
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39 / 63
Preisführerschaft
Nachfrage im Nash GG
y1 (42.86, 40.71) = 120 − 85.72 + 40.71 = 75,
y2 (42.86, 40.71) = 120 − 81.42 + 42.86 = 81.44.
Gewinne im Nash GG
π1∗ = 42.86 · 75 = 3214.50, π2∗ = 40.71 · 81.44 = 3315.42.
Fazit:
Im Modell der sequenziellen Preissetzung mit differenzierten Gütern
hat der Preisfolger einen Vorteil.
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40 / 63
Kartellbildung
Beispiel Musikanlagen: p(y ) = 1200 − y , y = y1 + y2 .
Das Gewinnmaximierungsproblem der Firma 1 lautet
max π1 (y1 , y2 ) = [1200 − (y1 + y2 )] y1 .
y1
Analog lautet das Gewinnmaximierungsproblem der Firma 2
max π2 (y1 , y2 ) = [1200 − (y1 + y2 )] y2 .
y2
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41 / 63
Kartellbildung
Wir lösen zuerst das Problem der Firma 1:
max [1200 − (y1 + y2 )] y1 = 1200y1 − y12 − y1 y2 .
y1
B.1.O.
1200 − 2y1 − y2 = 0.
Auflösen nach y1 ergibt die Reaktionsfunktion der Firma 1:
y1 = R1 (y2 ) = 600 −
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y2
.
2
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42 / 63
Kartellbildung
Wegen der Symmetrie gilt y1∗ = y2∗ . Einsetzen in die Reaktionsfunktion
der Firma 1 ergibt
y1 ∗ = 600 −
y1∗
.
2
Auflösen nach y1∗ ergibt y1∗ = 400.
Das Cournot Nash GG lautet y1∗ = y2∗ = 400.
Der Gewinn einer Firma ist 400 · 400 = 160000.
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43 / 63
Kartellbildung
Im Vergleich der Modelle haben wir gesehen, dass die Marktform des
Monopols den höchsten Gewinn beschert.
Zwei Duopolisten könnten den selben Gewinn (insgesamt)
erwirtschaften, indem sie sich zu einem Kartell zusammen schliessen
und ihren gemeinsamen Gewinn maximieren.
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44 / 63
Kartellbildung
y2
R1 (y2 )
y2∗
R2 (y1 )
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y1∗
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y1
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45 / 63
Kartellbildung
In dem linsenförmigen Bereich zwischen den beiden Isogewinnlinien
liegen nun offensichtlich Mengenkombinationen, die für beide Firmen
einen höheren Gewinn bedeuten (niedrigere bzw. weiter links liegende
Isogewinnlinien).
Daher besteht für beide Firmen ein Anreiz, ihren
Ausbringungsmengen zu verringern und dadurch einen höheren
Gewinn zu erzielen, bzw. eine Kartelabsprache zu treffen.
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46 / 63
Kartellbildung
Angenommen, die beiden Firmen in einem Cournot Duopol
entschliessen sich, ein Kartell zu bilden. Sie wollen ihren
Gesamtgewinn maximieren. Dies wird dadurch erreicht, indem die
Gesamtmenge Y = y1 + y2 so gewählt wird, dass der Gesamtgewinn
π = p(y1 , y2 )(y1 + y2 ) − C1 (y1 ) − C2 (y2 )
maximiert wird.
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47 / 63
Kartellbildung
Beispiel: Die Preis–Absatz Funktion ist
p(y ) = 1200 − y ,
wobei y = y1 + y2 die insgesamt hergestellte Menge ist. Die Kosten
sind gleich null.
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48 / 63
Kartellbildung
Maximierungsproblem des Kartells
max(1200 − y )y .
y
B.1.O.
1200 − 2y = 0 ⇒ y K = 600.
Dies entspricht der Monopolmenge.
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49 / 63
Kartellbildung
Annahme: Die Firmen teilen sich Produktion und Gewinn.
Der Preis ist 600 und der Gesamtgewinn ist 360000.
Kartell
Jede Firma produziert dann die Menge yiK = 300 und macht einen
Gewinn von πiK = 180000.
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50 / 63
Kartellbildung
Problem: Die Mengen y1K = y2K = 300 sind keine gegenseitig besten
Antworten.
Angenommen, Firma 2 hält sich an die Kartellabsprache und bietet die
Menge 300 an. Dann wäre die beste Antwort der Firma 1
R1 (300) = 600 −
300
= 450.
2
Das bedeutet:
Die Kartellmengen stellen kein Nash GG dar. Jede Firma hat einen
Anreiz, von dem Kartell abzuweichen. Das Kartell ist instabil.
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51 / 63
Kartellbildung
Weicht z.B. Firma 2 vom Kartell ab, während sich Firma 1 an die
Absprache hält, so erhält Firma 1 einen höheren Gewinn:
Die Gesamtmenge am Markt ist 300 + 450 = 750.
Der Preis ist dann 1200 − 750 = 450.
Der Gewinn von Firma 2 ist 450 · 450 = 202500.
Der Gewinn von Firma 1 ist dann 450 · 300 = 135000.
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21. Januar 2008
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Wiederholte Interaktion
Realität: Firmen konkurrieren am Markt nicht nur einmal, sondern
wiederholt über längere Zeiträume.
Dann besteht die Möglichkeit, die Verletzung einer Kartellabsprache zu
bestrafen.
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Wiederholte Interaktion
Strategie mit Bestrafung
Annahme: Die Firmen interagieren über einen unbestimmten
Zeitraum. D.h., das Ende der Interaktion ist ungewiss. In jeder
Periode besteht eine positive Wahrscheinlichkeit, dass in der
nächsten Periode wieder interagiert wird.
Wenn eine Firma von der Kartellabsprache abweicht, realisiert sie
kurzfristig einen Gewinn.
Durch die folgende Bestrafung erleidet sie jedoch in der Zukunft
einen Verlust (gegenüber dem Kartellgewinn).
Wenn dieser Velust grösser ist als der kurzfristige Gewinn, dann
lohnt das Abweichen von der Kartellabsprache nicht. Das Kartell
wäre dann langfristig stabil.
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Trigger Strategie
Angenommen, Firma 1 spielt die Trigger Strategie:
1. Periode: Firma 1 beginnt mit der Kartellmenge 300.
2. Periode: Firma 1 bietet wieder die Kartellmenge von 300 an,
falls Firma 2 in Periode 1 auch die Kartellmenge 300 angeboten
hat. Falls Firma 2 in Periode 1 abgewichen ist, bietet Firma 1 für
immer nur noch die Cournot Menge 400 an.
n-te Periode: Firma 1 bietet die Kartellmenge 300 an, falls Firma
2 das selbe in der Vorperiode getan hat. Weicht Firma 2 jedoch
einmal von der Kartellmenge ab, dann bestraft Firma 1 die Firma
2, indem Firma 1 für alle Zukunft die Cournot Menge 400 anbietet.
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Trigger Strategie
Frage: Wenn Firma 1 die Trigger Strategie spielt, lohnt sich dann ein
Abweichen von der Kartellabsprache für Firma 2?
Annahme: Zukünftige Gewinne werden mit einem Diskontfaktor
δ = 1/(1 + r ) diskontiert.
Hält sich Firma 2 an die Kartellabsprache, während Firma 1 die Trigger
Strategie spielt, ist der Gewinn beider Firmen in jeder Periode gleich
180000. Der Gegenwartswert (Present Value, PV) dieses
Zahlungsstroms ist
PV K = 180000 + δ 180000 + δ 2 180000 + δ 3 180000 + . . . .
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Trigger Strategie
PV K = 180000 + δ 180000 + δ 2 180000 + δ 3 180000 + . . . .
(1)
Wir multiplizieren beide Seiten mit δ:
δ PV K = δ 180000 + δ 2 180000 + δ 3 180000 + . . . .
(2)
Jetzt subtrahieren wir Gleichung (2) von (1):
PV K (1 − δ) = 180000.
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Trigger Strategie
PV K (1 − δ) = 180000.
Auflösen nach PV K ergibt den Gegenwartswert des Zahlungsstroms:
PV K =
180000
.
1−δ
Dies ist der Gegenwartswert der Gewinne, die Firma 2 erhält, wenn sie
sich an die Kartellabsprache hält.
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Trigger Strategie
Um zu prüfen, ob sich für Firma 2 ein Abweichen lohnt, vergleichen wir
diesen Wert mit dem Gewinn, den Firma 2 bekommt, wenn sie in einer
Periode von der Kartellabsprache abweicht:
Durch das Abweichen von der Kartellmenge 300 auf die Menge
450 erhält Firma 2 einmalig einen Gewinn von 202500.
In der Folgeperiode setzt die Bestrafung ein. Dann bietet Firma 1
die Cournot Menge 400 an. Die beste Antwort der Firma 2 darauf
ist, ebenfalls die Menge 400 anzubieten. Dann erhält sie einen
Gewinn von 160000.
In allen Folgeperioden ist ihr Gewinn ebenfalls 160000.
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Trigger Strategie
Der Gegenwartswert aus dem Abweichen ist
PV A = 202500 + δ 160000 + δ 2 160000 + δ 3 160000 + . . . .
Wir multiplizieren beide Seiten mit δ:
δ PV A = δ 202500 + δ 2 160000 + δ 3 160000 + . . . .
Subtrahieren der unteren Gleichung von der oberen ergibt
PV A (1 − δ) = 202500(1 − δ) + δ 160000.
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Trigger Strategie
PV A (1 − δ) = 202500(1 − δ) + δ 160000.
Auflösen nach PV A ergibt den Gegenwartswert
PV A = 202500 +
δ 160000
.
1−δ
Um zu prüfen, ob sich das Abweichen lohnt, vergleichen wir dies mit
dem Wert PV K . Es gilt
202500 +
180000
δ 160000
≤
1−δ
1−δ
falls
22500 ≤ 42500δ ⇒ δ ≥ 0.53.
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Trigger Strategie
Ergebnis:
Falls der Diskontfaktor mindestens 0.53 beträgt, lohnt das Abweichen
von der Kartellabsprache nicht. Das Kartell ist dann stabil.
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Trigger Strategie
Wenn beide Firmen die Trigger Strategie spielen, dann besteht für
keine Firma ein Anreiz, von dieser Strategie abzuweichen.
Dann werden in jeder Periode die Kartellmengen (300, 300)
angeboten.
Das Kartell ist dann langfristig stabil.
Nash Gleichgewicht
Ein Paar von Trigger Strategien stellt ein Nash Gleichgewicht des
wiederholten Spiels dar, wenn der Diskontfaktor hinreichend gross ist.
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