4. Vorlesungswoche - Universität des Saarlandes

Mikroökonomik – 4. Vorlesungswoche
Tone Arnold
Universität des Saarlandes
12. November 2007
Tone Arnold (Universität des Saarlandes)
4. Vorlesungswoche
12. November 2007
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Auswirkung von Preisänderungen auf die Nachfrage
Beispiel: Senkung des Preises für Gut 1 von p1 = 3 auf p1′ = 2.
x2
m/p2
x∗
3
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x ∗∗
m/p1 7
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m/p1′
x1
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Normale Güter
Nachgefragte Menge von Gut 1 steigt mit einer Preissenkung
von x1∗ auf x1∗∗ bzw.
Wenn der Preis für Gut 1 steigt, dann wird weniger von diesem
Gut nachgefragt.
Normalfall: Güter, die bei steigendem Preis in geringerer Menge
nachgefragt werden, heissen normale Güter
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Giffen Güter
x2
m/p2
x∗∗
x∗
4
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5
m/p1
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m/p1′
x1
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Giffen Güter
Bei einer Preissenkung wird weniger von Gut 1 nachgefragt, bzw.
bei einer Preiserhöhung mehr.
Güter mit solchen Eigenschaften werden nach dem englischen
Statistiker Robert Giffen (1837–1910) als Giffen–Güter
bezeichnet.
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Normale und Giffen Güter
Definition 1 (normale Güter)
Ein Gut heisst normal, wenn eine Erhöhung des eigenen Preises zu
einem Rückgang der nachgefragten Menge dieses Gutes führt, d. h.
∂xi∗ (p1 , p2 , m)
< 0.
∂pi
Definition 2 (Giffen–Güter)
Ein Gut heisst Giffen–Gut, wenn eine Erhöhung des eigenen Preises
zu einer Erhöhung der nachgefragten Menge dieses Gutes führt, d. h.
∂xi∗ (p1 , p2 , m)
> 0.
∂pi
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Optimale Konsumpläne bei verschiedenen Preisen
Preis–Konsum Kurve (PKK)
x2
x1
Die Verbindungslinie aller Optima heisst Preis–Konsum–Kurve (PKK)
oder Offer curve.
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Inverse Nachfragekurve
Im p–x Diagram:
p1
x1
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Preis–Absatz Funktion
Preis–Absatz Funktion
Wenn wir den Preis auf der Ordinate und die Menge auf der Abszisse
abtragen, ist es allerdings näherliegend, die Funktion auch so zu
interpretieren, dass sie uns zu jeder Menge einen Preis liefert. Diese
Funktion heisst inverse Nachfragefunktion. Sie wird auch
Preis-Absatz-Funktion genannt.
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PKK bei Giffen–Gut
Im Fall eines Giffen–Gutes kann die Steigung der PKK in bestimmten
Bereichen negativ sein:
x2
x1
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Inverse Nachfrage nach Giffen–Gut
p1
x1
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Giffen–Gut
In dem Bereich, in dem die Nachfragefunktion eine positive
Steigung hat, wird von dem betrachteten Gut bei steigendem
Preis mehr nachgefragt.
Dieses Phänomen kann jedoch nicht für alle Preise auftreten!
(Wieso nicht?)
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Cobb–Douglas–Präferenzen
Zunächst stellen wir für Cobb–Douglas–Präferenzen die PKK für
Änderungen des Preises von Gut 1 und die Nachfragefunktion nach
Gut 1 grafisch dar.
Die Nachfragefunktion nach Gut 1 hatten wir bereits hergeleitet. Sie
lautet x1 (p1 , p2 , m) = αm
p1 .
Auch die grafische Darstellung kennen wir schon.
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PKK bei Cobb–Duglas Nutzenfunktion
x2
m
p2
x ∗∗
x∗
x1∗
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m
p1
x1∗∗
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m
p1′
x1
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Inverse Nachfrage bei Cobb–Douglas Nutzenfunktion
Die Nachfragefunktion nach Gut 1 lautet x1 = m/(2p1 ). Auflösen nach
p1 ergibt die inverse Nachfragefunktion
p1 (x1 ) = m/(2x1 ).
p1
x1
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PKK für Perfekte Komplemente
Die Nachfragefunktion nach Gut 1 lautet bei perfekten
Komplementen
m
x1 (p1 , p2 , m) =
,
p1 + p 2
wobei wir hier nur Variationen des Preises von Gut 1 betrachten, p2
und m also als Konstante betrachten.
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PKK für Perfekte Komplemente
x2
m
p2
m
p1
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m
p1′
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m
p1′′
m
p1′′′
x1
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Inverse Nachfrage bei perfekten Komplementen
Aus der Nachfragefunktion
x1 =
m
(p1 + p2 )
folgt
x1 (p1 + p2 ) = m
⇒
p1 x1 = m − p2 x1 .
Auflösen nach p1 ergibt die inverse Nachfragefunktion
p1 (x1 ) =
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p2 x2
m
−
.
p1
x1
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Inverse Nachfrage bei perfekten Komplementen
p1
x1
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Vollkommene Substitute
Fallunterscheidung:
p1 > p2 : Randlösung mit x1 = 0.
p1 < p2 : Randlösung mit x2 = 0.
p1 = p2 : Alle Punkte auf der Budgetgerade sind mögliche
Nachfragepunkte.
In den beiden folgenden Abbildungen sind die „Preis–Konsum–Kurve“
für Änderungen des Preises von Gut 1 und die
Nachfragekorrespondenz nach Gut 1 für den Fall vollkommener
Substitute grafisch dargestellt.
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PKK bei perfekten Substituten
x2
m
p2
m
p1
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m
p1′
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m
p1′′
m
p1′′′
x1
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p1
p1 = p̄2
m/p̄2
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x1
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Die „Preis–Konsum–Kurve“ besteht entsprechend der bekannten
Fallunterscheidung für vollkommene Substitute aus drei Teilen.
Zunächst dem gemeinsamen linken oberen Punkt der Budgetgeraden,
der für alle Preise p1 > p2 der Nachfragepunkt ist.
Für p1 = p2 gehört jeder Punkt der Budgetgeraden (mit Steigung −1)
zur Nachfragemenge.
Schliesslich folgt für p1 < p2 der einzige Bereich, in dem man von
einer Preis–Konsum–Kurve im eigentlichen Sinne sprechen kann. In
diesem Bereich ist der Nachfragepunkt jeweils der Schnittpunkt von
Budgetgerade und x1 -Achse.
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Auch die Nachfrage besteht korrespondierend zu den oben
betrachteten Fällen aus drei Teilen:
Zunächst bleibt x1 = 0, so lange p1 > p2 ist.
Für p1 = p2 sind alle Mengen 0 ≤ x1 ≤ pm2 mögliche nachgefragte
Mengen von Gut 1 (zu denen jeweils die entsprechende nachgefragte
Menge von Gut 2 gehört, so dass beide zusammen genau pm2
ergeben).
Für p1 < p2 existiert eine Nachfragefunktion im eigentlichen Sinne:
x1 (p1 , p2 , m) = pm1 .
Daraus ergibt sich die inverse Nachfragefunktion
p1 (x1 ) =
Tone Arnold (Universität des Saarlandes)
m
.
x1
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Exkurs: Nachfrage bei Cobb-Douglas Präferenzen
Die Cobb–Douglas Nutzenfunktion hat die Form
u(x1 , x2 ) = x1α x2β
mit α, β > 0.
Nachfragefunktionen
Die Nachfragefunktionen zu dieser Nutzenfunktion lauten
x1 (p1 , p2 , m) =
Tone Arnold (Universität des Saarlandes)
αm
,
(α + β)p1
x2 (p1 , p2 , m) =
4. Vorlesungswoche
βm
.
(α + β)p2
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Beweis
Die Lagrangefunktion lautet
L (x1 , x2 , λ) = x1α x2β + λ (m − p1 x1 − p2 x2 ) .
Die Bedingungen erster Ordnung sind
∂L
(α−1) β
= αx1
x2 − λp1 = 0
∂x1
∂L
(β−1)
= βx1α x2
− λp2 = 0
∂x2
∂L
= m − p1 x1 − p2 x2 = 0.
∂λ
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(1)
(2)
(3)
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Wir bringen die Terme mit λ auf die rechte Seite:
(α−1) β
x2
= λp1
(4)
(β−1)
= λp2
(5)
αx1
βx1α x2
Division von Gleichung (4) durch Gleichung (5) ergibt
(α−1) β
x2
(β−1)
α
βx1 x2
αx1
Tone Arnold (Universität des Saarlandes)
=
p1
λp1
=
λp2
p2
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Regel:
xa
= x a−b .
xb
Daraus folgt
(α−1) β
x2
(β−1)
βx1α x2
αx1
=
α (α−1−α) [β−(β−1)]
x
x2
=
β 1
αx2
α −1 1
.
x x2 =
β 1
βx1
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(6)
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Auflösen nach x2 ergibt
x2 =
Tone Arnold (Universität des Saarlandes)
βp1
x1 .
αp2
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(7)
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Cobb–Douglas Nachfragefunktionen
Die Nachfragefunktion erhält man, indem man Gleichung (7) in die
Budgetgleichung (3) einsetzt.
m = p1 x1 + p2
µ
αp1 βp1
+
α
α
= x1
(α + β)p1
.
α
= x1
Tone Arnold (Universität des Saarlandes)
βp1
x1 .
αp2
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¶
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m = x1
(α + β)p1
.
α
Auflösen nach x1 ergibt
x1 (p1 , p2 , m) =
αm
,
(α + β)p1
die Nachfragefunktion für Gut 1.
Wenn wir dies in Gleichung (7) einsetzen und vereinfachen, erhalten
wir die Nachfragefunktion für Gut 2.
x2 (p1 , p2 , m) =
Tone Arnold (Universität des Saarlandes)
βm
.
(α + β)p2
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Substitute und Komplemente
Bisher haben wir Änderungen der Nachfrage aufgrund von
Änderungen des Einkommens bzw. aufgrund von Änderungen des
eigenen Preises eines Gutes betrachtet.
Jetzt betrachten wir Änderungen der Nachfrage eines Gutes aufgrund
von Änderungen des Preises eines anderen Gutes. Dazu verwenden
wir die sogenannten Kreuzableitungen.
Für den Fall zweier Güter sind dies
∂x1 (p1 , p2 , m)
∂p2
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und
∂x2 (p1 , p2 , m)
.
∂p1
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Substitute
Angenommen, der Preis für gut 1 steigt. Wenn daraufhin die
Nachfrage nach Gut 2 zunimmt, dann wird offensichtlich das Gut 1
durch das Gut 2 substituiert, d. h. Gut 2 ist ein Substitut für Gut 1.
Beispiel: Steigt der Preis für Alkopops, trinken die Leute mehr andere
Alkoholika, z.B. Wein und Bier.
Die Kreuzpreisableitung ist dann positiv:
∂x2 (p1 , p2 , m)
> 0.
∂p1
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Komplemente
Werden beide Güter immer zusammen konsumiert, dann wird eine
Erhöhung des Preises bei einem Gut zu einer Verringerung der
Nachfrage nach dem anderen Gut führen, d. h.
∂x2 (p1 , p2 , m)
< 0.
∂p1
Beispiel: Steigt der Preis für Zigaretten, werden tendenziell auch
weniger Feuerzeuge verkauft.
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Definition 3 (Substitute)
Gut i ist ein Substitut zu Gut j, wenn gilt
∂xi (p, m)
> 0.
∂pj
Definition 4 (Komplemente)
Gut i ist ein Komplement zu Gut j, wenn gilt
∂xi (p, m)
< 0.
∂pj
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Die Nachfragefunktion nach einem Gut wird häufig nur in
Abhängigkeit vom eigenen Preis notiert, z.B. x1 (p1 ).
Dies ist sinnvoll, wenn Einkommensänderungen bzw. Änderungen der
anderen Preise nicht untersucht werden.
Beispiel: Wir interessieren uns dafür, wie stark die die Nachfrage
nach Zigaretten bei einer Preiserhöhung reagieren würde.
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Eigenschaften der Nachfragefunktion
Frage: Wie reagiert die Nachfrage auf eine simultane Erhöhung aller
Preise und des Einkommens um den selben Faktor?
Die Budgetmenge ändert sich nicht.
Die Präferenzen ändern sich nicht.
Daher ändert sich die Nachfrage ebenfalls nicht!
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Nachfragefunktion
Beispiel: Nachfragefunktion für Cobb–Douglas–Präferenzen mit
α = β = 1:
µ
¶
m
m
x (p1 , p2 , m) =
,
.
2 p1 2 p2
Daraus folgt
x (ap1 , ap2 , am) =
µ
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am
am
,
2 ap1 2 ap2
¶
=
µ
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m
m
,
2 p1 2 p2
¶
= x (p1 , p2 , m) .
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Homogenität
Beobachtung 1 (Homogenität vom Grade 0)
Für eine Nachfragefunktion gilt für alle Preise p, für alle Einkommen m
und für alle Faktoren a ∈ R
x (ap1 , ap2 , am) = x (p1 , p2 , m) .
d. h., Nachfragefunktionen sind homogen vom Grade 0 in Preisen
und Einkommen.
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Indirekte Nutzenfunktion
Aus der Lösung des Nutzenmaximierungsproblems haben wir die
optimalen Gütermengen, d. h. die Nachfragefunktionen ermittelt.
Zu Vergleichszwecken ist es aber auch sinnvoll festzustellen, wie hoch
der maximale Nutzen ist, den ein Konsument bei gegebenem
Einkommen und bei gegebenen Preisen erreichen kann.
Diesen Nutzen erhält man, indem man die Nachfrage in die
Nutzenfunktion einsetzt:
u (x1∗ (p1 , p2 , m) , x2∗ (p1 , p2 , m))
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Dieser maximal erreichbare Nutzen hängt ab von den Preisen und
vom Einkommen, wir können dementsprechend eine Funktion dieser
Parameter definieren, die als indirekte Nutzenfunktion bezeichnet
wird und die wir mit v (p1 , p2 , m) bezeichnen.
Definition 5 (Indirekte Nutzenfunktion)
Die indirekte Nutzenfunktion ist definiert als
v (p1 , p2 , m) = u (x1∗ (p1 , p2 , m) , x2∗ (p1 , p2 , m)) .
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Beispiel: Indirekte Nutzenfunktion für die
Cobb–Douglas–Nutzenfunktion u(x1 , x2 ) = x1 x2 :
v (p1 , p2 , m) =
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m m
m2
=
.
2p1 2p2
4 p 1 p2
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Positiv monotone Transformationen
Die indirekte Nutzenfunktion ist invariant bezüglich positiv
monotoner Transformationen der Nutzenfunktion.
1
1
Beispiel: û(x1 , x2 ) = x12 x22 stellt die selben Präferenzen dar. Die
indirekte Nutzenfunktion ist
v (p1 , p2 , m) =
µ
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m
2p1
¶1 µ
2
m
2p2
¶1
2
=
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µ
m2
4 p 1 p2
¶ 12
=
m
1
1
.
2 p12 p22
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Die Slutzky–Zerlegung
Die Slutzky–Zerlegung — komparative Statik von
Preisänderungen: Einkommens- und Substitutionseffekt
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Preisänderung
x2
m
p2
x∗
x2∗
x2∗∗
x ∗∗
x1∗∗
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x1∗
m
p1′
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m
p1
x1
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Zwei Effekte
Zwei verschiedene Effekte einer Preiserhöhung auf die Nachfrage:
1
Das Preisverhältnis p1 /p2 ändert sich, da die Steigung der
Budgetgeraden steiler wird. Die daraus resultierende Änderung
der Nachfrage heisst Substitutionseffekt.
2
Die Budgetmenge wird kleiner, d. h., die Kaufkraft des
Einkommens, das nominal das gleiche geblieben ist, ändert sich.
Die daraus resultierende Änderung der Nachfrage heisst
Einkommenseffekt.
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Substitutionseffekt
Ziel: Der Kaufkrafteffekt soll eliminiert werden, so dass der
Konsument vor und nach der Preisänderung das selbe
Nutzenniveau erreichen kann. D.H., vor und nach der
Preisänderung befindet er sich auf der selben Indifferenzkurve.
Gedankenexperiment: Wir ersetzen das tatsächliche Einkommen
durch ein fiktives Einkommen, dass gerade ausreicht, um den
Konsumenten für die Preiserhöhung zu entschädigen.
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47 / 59
Substitutionseffekt
x2
xk
x alt
x neu
x1
x1∗∗ x1k SE x1∗
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48 / 59
Substitutionseffekt
Der Substitutionseffekt stellt den Teil des Effektes der Preiserhöhung
auf die Nachfrage dar, der aus der Änderung des Relativpreises
p1 /p2 resultiert. Er wird isoliert, indem
eine neue, fiktive Budgetgerade gezeichnet wird.
Diese verläuft 1. parallel zur tatsächlichen neuen Budgetgerade.
D.h. das Preisverhältnis entspricht dem nach der Preiserhöhung.
2. berührt die fiktive Budgetgerade die Indifferenzkurve durch den
ursprünglichen Nachfragepunkt x ∗ .
Der neue Nachfragepunkt wird mit x k bezeichnet, die sog.
kompensierte Nachfrage (Kompensationseffekt).
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49 / 59
Substitutionseffekt
Es gilt:
Die Differenz zwischen x1k und x1∗ ist der Substitutionseffekt
(SE).
Der SE ist immer eindeutig: Bei einer Preiserhöhung geht die
kompensierte Nachfrage nach diesem Gut zurück, und bei einer
Preissenkung steigt die kompensierte Nachfrage.
D.h., Preis und kompensierte Nachfrage bewegen sich in
entgegen gesetzte Richtungen. Dies gilt auch für
Giffen–Güter!
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50 / 59
Einkommenseffekt
x2
xk
x alt
x neu
x1
x1∗∗EEx1k SE x1∗
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51 / 59
Einkommenseffekt
Wir machen die Parallelverschiebung der neuen Budgetgerade
wieder rückgängig.
Dies entspricht einer Senkung des Einkommens ausgehend
vom Punkt x k hin zum Punkt x ∗∗ .
Durch diese Senkung des Einkommens fragt der Konsument von
einem normalen Gut weniger nach.
Die Verringerung der Nachfrage aufgrund des gesunkenen
Einkommens heisst Einkommenseffekt (EE).
Der EE stellt die reale Änderung der Kaufkraft dar.
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52 / 59
Slutzky–Zerlegung
Im Gegensatz zum SE sind EE und damit der Gesamteffekt (GE) nicht
eindeutig.
Die Richtung von EE und GE hängt davon ab, ob es sich um ein
superiores oder inferiores Gut handelt, bzw. um ein normales oder ein
Giffen–Gut.
Slutzky–Zerlegung
Die gedankliche Zerlegung des Effekts einer Preisänderung in SE und
EE erlaubt uns, einen Zusammenhang zwischen superior und normal
bzw. zwischen inferior und Giffen herzustellen.
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Superiores Gut
x2
xk
x alt
x neu
x1
x1∗∗EEx1k SE x1∗
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54 / 59
Superiores Gut
Bei einem superioren Gut gehen SE und EE in die selbe Richtung:
Durch die relative Erhöhung von p1 gegenüber p2 sinkt die
Nachfrage von Gut 1 von x1∗ auf x1k . Dies ist der SE.
Aufgrund der Senkung des Einkommens (Rückverschiebung der
Budgetgeraden) sinkt die Nachfrage nach Gut 1 nochmals von x1k
auf x1∗∗ . Dies ist der EE. Einkommen und Nachfrage gehen in die
selbe Richtung: das Gut ist superior.
GE: Aufgrund der Preiserhöhung sinkt die Nachfrage nach Gut 1.
Das Gut ist normal.
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55 / 59
Superiores Gut
Superiore Güter
Jedes superiore Gut ist gleichzeitig normal. Die Umkehrung gilt nicht.
Der SE ist negativ: Preis steigt ⇒ Nachfrage sinkt.
Der EE ist positiv: Einkommen sinkt ⇒ Nachfrage sinkt
ebenfalls.
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Normales, inferiores Gut
x2
xk
x alt
x neu
EE
x1
∗
x1k SE x1
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Normales, inferiores Gut
Ist ein Gut gleichzeitig normal und inferior, so gilt:
GE ist negativ: Aufgrund der Preiserhöhung sinkt die Nachfrage
von x1alt auf x1neu . Daher ist das Gut normal.
SE ist immer negativ: Nachfrage sinkt von x1alt auf x1k .
EE verläuft entgegen gesetzt zum SE, d.h. Senkung des
Einkommens bewirkt Erhöhung der Nachfrage von x1k auf x1neu .
Wichtig: SE und EE gehen in verschiedene Richtungen und SE ist
betragsmässig grösser als EE.
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58 / 59
Giffen–Gut
Falls SE und EE in verschiedene Richtungen gehen, aber SE
betragsmässig kleiner ist als EE, dann handelt es sich um ein
Giffen–Gut.
Der GE ist dann positiv: Preissenkung bewirkt Erhöhung der
Nachfrage.
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