Trigonometrie - Mathematik, TU Dortmund

Vorkurs Mathematik B
Dr. Thorsten Camps
Fakultät für Mathematik
TU Dortmund
12. September 2011
Trigonometrie
Schenkel
Scheitel S
Winkelbereich
α
Winkel werden in Grad oder im Bogenmaß angegeben: 360◦ =
b 2π
(TU Dortmund)
Vorkurs Mathematik B
12. September 2011
2 / 13
Trigonometrie
y
cot α
1
r =1
sin α
tan α
α
cos α
1
x
Dadurch werden vier Funktionen definiert:
(TU Dortmund)
Vorkurs Mathematik B
12. September 2011
3 / 13
Trigonometrie
Definition
Name
D
W
Sinus
sin
R
[−1, 1]
Cosinus
cos
R
[−1, 1]
Tangens
tan R \ (2k+1)π
R
|k∈Z
2
Cotangens cot
R \ { kπ | k ∈ Z }
R
y
y = sin x
π
(TU Dortmund)
Vorkurs Mathematik B
y = cos x
2π x
12. September 2011
4 / 13
Trigonometrie
y
y = tan x
y = cot x
1
π
4
(TU Dortmund)
π
2
3π
4
π
Vorkurs Mathematik B
5π
4
3π
2
x
12. September 2011
5 / 13
Trigonometrie
Satz (Interpretation am rechtwinkligen Dreieck)
C
Für den Winkel α heißen die Seiten
c: Ankathete,
b
a: Gegenkathete und
a
b: Hypothenuse.
α
A c B
a
c
a
sin α = , cos α = , tan α =
b
b
c
Definition (Periodische Funktion)
Sei p > 0. Eine Funktion f : R → R heißt (p-)periodisch, falls für alle
x ∈ R gilt: f (x + p) = f (x).
(TU Dortmund)
Vorkurs Mathematik B
12. September 2011
6 / 13
Trigonometrie
Satz (Eigenschaften)
1
sin(x + π) = − sin x, cos(x + π) = − cos x
2
Sinus und Cosinus sind 2π-periodisch.
3
Tangens und Cotangens sind π-periodisch.
4
tan x =
sin x
cos x
und cot x =
cos x
sin x .
Definition
Sei I ein symmetrisch zum Nullpunkt liegendes Intervall, f : I → R. f
heißt
1
gerade, falls stets f (x) = f (−x) gilt
2
ungerade, falls stets f (x) = −f (−x) gilt
Satz
Der Cosinus ist eine gerade Funktion; Sinus, Tangens und Cotangens sind
ungerade.
(TU Dortmund)
Vorkurs Mathematik B
12. September 2011
7 / 13
Trigonometrie
Satz (Trigonometrischer Pythagoras)
sin2 x + cos2 x = 1.
Folgerung (Eigenschaften)
1
Für alle x ∈ R gilt
2
sin x = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z,
cos x = 0 ⇔ x = kπ + π2 , k ∈ Z.
3
4
5
6
| sin x| ≤ 1,
| cos x| ≤ 1.
Der Sinus ist auf [− π2 , π2 ] streng monoton steigend mit der Bildmenge
[−1, 1].
Der Cosinus ist auf [0, π] streng monoton fallend mit der Bildmenge
[−1, 1].
Der Tangens ist auf ] − π2 , π2 [ streng monoton steigend mit der
Bildmenge R.
Der Cotangens ist auf ]0, π[ streng monoton fallend mit der
Bildmenge R.
(TU Dortmund)
Vorkurs Mathematik B
12. September 2011
8 / 13
Trigonometrie
Definition (Arcusfunktionen)
Die Umkehrfunktionen von Sinus und Cosinus:
Arcussinus: arcsin : [−1, 1] → [− π2 , π2 ],
Arcuscosinus: arccos : [−1, 1] → [0, π].
Die Umkehrfunktionen von Tangens und Cotangens:
Arcustangens: arctan : R →] − π2 , π2 [,
Arcuscotangens: arccot : R →]0, π[.
(TU Dortmund)
Vorkurs Mathematik B
12. September 2011
9 / 13
Trigonometrie
y
y = arccos x
y = arcsin x
π
2
x
− π2
(TU Dortmund)
Vorkurs Mathematik B
12. September 2011
10 / 13
Trigonometrie
y
π
y = arccot x
π
2
x
y = arctan x
− π2
(TU Dortmund)
Vorkurs Mathematik B
12. September 2011
11 / 13
Trigonometrie
Satz (Additionstheoreme)
1
sin(x ± y ) = sin x cos y ± cos x sin y
2
cos(x ± y ) = cos x cos y ∓ sin x sin y
3
tan(x ± y ) =
tan x±tan y
1∓tan x tan y
Als Beweisskizze“:
”
sin x cos y
cos x sin y
x
x y
sin x sin y
sin y
cos y
cos x cos y
1
x +y
cos (x + y )
sin (x + y )
(TU Dortmund)
Vorkurs Mathematik B
12. September 2011
12 / 13
Trigonometrie
Folgerung (Doppelte Winkel)
1
sin 2x = 2 sin x cos x
2
cos 2x = cos2 x − sin2 x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x
3
sin2 x =
4
tan 2x
1−cos 2x
,
2
2 tan x
= 1−tan2 x
cos2 x =
1+cos 2x
2
Satz (Eselsbrücke)
0◦
α
sin α
(TU Dortmund)
30◦ 45◦ 60◦ 90◦
0
π
6
π
4
π
3
π
2
√
√
√
√
√
0
2
1
2
2
2
Vorkurs Mathematik B
3
2
4
2
12. September 2011
13 / 13