Stochastik (Lösungen) Übungen
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Stochastik (Lösungen) GF MA A6 Übungen 1. Ziehen mit Zurücklegen Ein (symmetrischer) Würfel wird 2-mal geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man genau eine 6? Baum aufzeichnen, zwei Pfade müssen beachtet werden. p= 2. 1 5 5 1 5 ⋅ + ⋅ = 6 6 6 6 18 Ziehen ohne Zurücklegen In einer Kiste befinden sich 5 weisse und 2 schwarze Kugeln. Man zieht 3 Kugeln ohne Zurücklegen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht man zwei weisse und eine schwarze? p= 3. 4 7 Verschieden lange Pfade In einem Behälter befinden sich drei weisse und zwei rote Kugeln. Zwei Spieler ziehen abwechslungsweise eine Kugel ohne Zurücklegen. Wer zuerst eine rote Kugel zieht, gewinnt das Spiel. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt der Spieler, der zuerst zieht? p= 4. 3 5 Wetterprognose Es gelte folgende Wetterregel: auf einen trockenen Tag folgt mit Wahrscheinlichkeit 0.8 ebenfalls ein trockener Tag (und logischerweise mit Wahrscheinlichkeit 0.2 ein nasser). Auf einen Tag mit nassem Wetter folgt jedoch mit Wahrscheinlichkeit 0.6 ein nasser (und mit Wahrscheinlichkeit 0.4 ein trockener) Tag. Am Sonntag ist es trocken und wir wollen eine Prognose für Dienstag und Mittwoch machen. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es am Dienstag nass? p = 0.28 b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es am Mittwoch trocken? p = 0.688 15.09.16 11:23 1/4 gubs / V1.0 Stochastik (Lösungen) GF MA 5. A6 Hoffen auf mindestens einen Erfolg Ein milder Lehrer erteilt seine Noten auf folgende Art: Er würfelt einen Würfel drei Mal und gibt die höchste vorkommende Zahl als Note. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erteilt er eine 6? p= 91 ⎛ 5⎞ ≈ 0.421 entsteht aus 1− ⎜ ⎟ ⎝ 6⎠ 216 3 Die Frage kann umformuliert werden: Mit welcher Wahrscheinlichkeit wirft er mindestens eine 6. Rechne über das Gegenereignis 1-„die Wahrscheinlichkeit, dass er keine 6 wirft“. 6. Erfolgswahrscheinlichkeit Wie oft muss ein Würfel geworfen werden, damit mit 99.9%-iger Wahrscheinlichkeit (mindestens) eine 6 geworfen wird? Vergleiche mit Aufgabe 5! x ⎛ 5⎞ 1− ⎜ ⎟ ≥ 0.999 ⇒ x ≈ 37.89 ⇒ 38 Würfe ⎝ 6⎠ 7. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind von 7 Personen zwei am gleichen Wochentag geboren? Rechne über das Gegenereignis 1-„Wahrscheinlichkeit, dass alle an verschiedene Wochentagen Geburtstag haben“. 6 5 4 3 2 1 p = 1− 1⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≈ 0.994 = 99.4% 7 7 7 7 7 7 Für die 2., 3.,... Person ermittelt man die Wahrscheinlichkeit, dass sie an einem noch nicht verwendeten Wochentag geboren wurde. 8. Übungs- und Schätzaufgabe In einer Klasse befinden sich 23 Schülerinnen und Schüler (aber keine Zwillinge). Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei am gleichen Tag Geburtstag haben? Der Einfachheit halber seien alle 366 Tage gleichwahrscheinlich. Rechne über das Gegenereignis: 1-„Wahrscheinlichkeit, dass alle an verschiedenen Tagen Geburtstag haben“. 366! ( 366 − 23)! ≈ 0.506 = 50.6% p = 1− 366 23 15.09.16 11:23 2/4 gubs / V1.0 Stochastik (Lösungen) GF MA 9. A6 Unendlich lange Pfade Zwei Spieler (A und B) werfen abwechslungsweise einen Würfel. Wer die erste 6 wirft, gewinnt. In welchem Verhältnis stehen die Gewinn-Wahrscheinlichkeiten? Der 1.Spieler gewinnt mit der Wahrscheinlichkeit: 2 pA = 4 1 ⎛ 5⎞ 1 ⎛ 5⎞ 1 + ⎜ ⎟ ⋅ + ⎜ ⎟ ⋅ +… 6 ⎝ 6⎠ 6 ⎝ 6⎠ 6 1 6 6 Dies ist eine Geometrische Reihe ⇒ pA = 2 = 11 5 ⎛ ⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝ 6⎠ pB = 1− pA = 5 11 Verhältnis: 6 : 5 10. Unbekannte Wahrscheinlichkeiten In einem Behälter befinden sich 2 weisse und eine unbekannte Anzahl schwarzer Kugeln. Man zieht 3 Kugeln einzeln und ohne Zurücklegen. Die Wahrscheinlichkeit, dass man dabei genau eine weisse Kugel erwischt, beträgt 22%. Wie viele schwarze Kugeln hat es im Behälter? Baum aufzeichnen: 3 Pfade sind je gleich wahrscheinlich. 3⋅ x x − 1 2 22 14 ⋅ ⋅ = ⇒ x1 = 23; x2 = ⇒ 23 Kugeln x + 2 x + 1 x 100 11 11. Günstige Wette In einem Behälter befinden sich 10 Zettel mit Zahlen, nämlich 5 positive und 5 negative. Man zieht 2 Zahlen ohne Zurücklegen. Ist es günstiger, auf ein positives oder auf ein negatives Produkt zu wetten (oder spielt es keine Rolle)? Baum aufzeichnen. Das negative Produkt ist wahrscheinlicher. Plausible Erklärung: Nach der 1.Ziehung wächst die Wahrscheinlichkeit, das andere Vorzeichen zu ziehen. ⎛ 5 4 5 4⎞ 5 p = 1− ⎜ ⋅ + ⋅ ⎟ = ⎝ 10 9 10 9 ⎠ 9 15.09.16 11:23 3/4 gubs / V1.0 Stochastik (Lösungen) GF MA A6 12. Faires Spiel Ein Glücksrad zeigt „1“ mit der Wahrscheinlichkeit p und „0“ mit der Wahrscheinlichkeit q = 1 − p . Zwei Spieler drehen das Rad gemäss folgenden Regeln: Zuerst dreht A einmal, dann B zweimal, dann wieder A einmal, B zweimal, A einmal, usw. Wer die erste „1“ erhält, gewinnt das Spiel. Wie gross muss p sein, damit das Spiel fair ist? Bemerkung: Ein Spiel ist fair, wenn die Gewinn-Wahrscheinlichkeiten der Spieler gleich gross sind. p + (1− p ) ⋅ p +… ; wie bei Aufgabe 9 3 p 3 = 0.5 ⇒ p1 ≈ 2.62; p2 ≈ 0.382 ⇒ p = 38.2% 1− (1− p ) 15.09.16 11:23 4/4 gubs / V1.0
