4 KomparativeStatik 4 Komparative Statik

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- Kap. 4: Komparative Statik
4 Komparative Statik
Komparative Statik:
Untersuchung der Abhängigkeit einer interessierenden Größe von einem
einzelnen Einflussparameter bei Konstanz aller übrigen
Einflussparameter (c.p.-Klausel)
(c p -Klausel)
In
der Haushaltstheorie: Untersuchung der Abhängigkeit der
Nachfrage(funktionen) von einzelnen Preisen oder vom Budget des
Haushalts
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4.1 Abhängigkeit der indiv. Nachfrage nach einem Gut vom
Preis dieses Gutes
Erhöhung des Preises p1 von Gut 1 und Konstanz aller übrigen
Größen bewirkt Drehung der Budgetgeraden im Uhrzeigersinn:
x2
B/p
p2
0
B/ 1‘‘
B/p
B/ 1‚‘‘
B/p
B/ 1
B/p
x1
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Durch Preissteigerung bei p1 Verschiebung des HH-Optimums von x*
über x*‘ nach x*‘‘:
x2
u(x
( 1,x2) = c‘‘ = kkonst.
t
B/p2
x
x*‘‘
x*‘
0
x1*‘‘
x1*‘ B/p1‘‘ x1*
u(x1,x2) = c = konst.
B/p1‘
B/p1
x1
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⇒ Tendenzielle Abhängigkeit der optimalen Nachfragemengen x1* nur in
Abhängigkeit von p1:
x 1*
p1
⇒ grafische Darstellung von x1* = n1 (p1,p2,B) nur in Abhängigkeit
von p1
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Beispiel: Für die NF u ( x1 , x 2 , x 3 ) = x1α x 2β x 3γ aus dem 3. Kap. war
x1* = n1 (p1 , p 2 , B) :=
α
B
α + β + γ p1
(4.1)
Nachfrage nach Gut 1 hängt nur vom Preis dieses Gutes ab (und vom
Budget): Qualitativ:
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Absolute Stärke der Abhängigkeit der Nachfrage nach Gut i vom
Preis pi gegeben durch die partielle Ableitung:
∂x i ∂n i (p1 ,..., pi ,...p n , B)
=
∂pi
∂pi
≈
n i (p1 ,...pi + 1,..., p n , B) − n i ( p1 ,..., pi ,..., p n , B)
=
( pi + 1) − pi
(4.2)
= n i ( p1 ,...pi + 1,..., p n , B) − n i (p1,..., pi ,..., p n , B)
Sie gibt ungefähr an, um wie viel Einheiten sich die Nachfrage nach Gut
i verändert, wenn der Preis des Gutes i um eine Einheit (z.B. einen
€) erhöht wird (bei Konstanz aller übrigen Größen).
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Normalerweise nimmt Nachfrage nach einem Gut bei steigendem
Preis des Gutes ab.
Es gibt in gewissen Situationen Ausnahmen.
Die Nachfrage nach Gut i (bzw. kurz: Gut i) heißt
⇔
∂x i
≤0
∂pi
anormal (nicht-gewöhnlich) ⇔
∂x i
>0
∂pi
normal (gewöhnlich)
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Relative Stärke der Preisabhängigkeit der Nachfrage wird
beschrieben durch die direkte Preiselastizität ε x i ;p i der Nachfrage:
∂x i
∂x p
∂p
ε x i ; p i (p1 ,..., pi ,...p n , B) := i = i i
xi
∂pi x i
pi
(4.3)
Sie gibt (ungefähr) an, um wie viel Prozent sich die Nachfrage nach
Gut i ändert, wenn der Preis pi dieses Gutes um ein Prozent
erhöht wird.
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Begründung dieser Interpretation durch Approximation
Differentialquotienten durch den Differenzenquotienten:
des
∂x i pi n i (..., pi + ∆pi ,...) − n i (..., pi ,...) pi ∆x i pi
≈
=
=
(pi + ∆pi ) − pi
x i ∆pi x i
∂pi x i
∆x i
prozentuale Veränderung von x i
x
= i =
∆pi prozentuale Veränderung von pi
pi
Daraus auch Möglichkeit zur empirischen Bestimmung der
(direkten) Preiselastizität aus Beobachtungen
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Beispiel:
Für die Nachfragefunktion
g
((4.1)) ist:
∂x1
α
B
=−
<0
2
∂p1
α + β + γ (p1 )
und damit
ε x1 ; p1 =
∂x1 p1
α
B p1 (α + β + γ )p1
=−
= −1
∂p1 x1
α + β + γ ( p1 ) 2
αB
⇒ Eine ein-prozentige Preissteiegrung ruft einen ein-prozentigen
Nachfragerückgang aus.
aus
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Die Nachfrage nach (einem normalen) Gut i heißt
(preis-)elastisch
(p
)
⇔ ε x i ; p i < −1
(preis )unelastisch
(preis-)unelastisch
⇔ ε x i ; p i ≥ −1
I.d.R.:
(Gesamt-)Nachfrage nach hochwertigen Gütern (z.B. Luxusgüter)
elastisch,
(Gesamt-)Nachfrage nach dringend benötigten Gütern (auf die nicht
leicht verzichtet werden kann) unelastisch.
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Preiselastizität liefert wichtige Information für Unternehmen über
Umsatzveränderung bei beabsichtigten Preissteigerungen bzw. –
senkungen:
g
Richtung der Umsatzveränderung bei Preiserhöhung bestimmt durch
Vorzeichen der Ableitung der Umsatzfunktion:
U i (pi ) := pi x i = pi n i (..., pi ,...)
⇒
⎛ ∂n pi ⎞
∂U i
∂n
⎟⎟ =
= n i (..., pi ,...) + pi i = n i (...)⎜⎜1 + i
∂pi
∂pi
⎝ ∂pi n i (...) ⎠
= x i (1 + ε p i ; x i )
Also:
∂U i
> 0 ⇔ ε x i ; p i > −1
∂pi
∂U i
≤ 0 ⇔ ε x i ; p i ≤ −1
∂pi
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D.h.:
Unelastische Nachfrage
g ⇒ Preiserhöhung
g führt zu erhöhter
Ausgabe (Umsatz) für dieses Gut.
elastische Nachfrage: ⇒ Preiserhöhung führt zu verringerter
Ausgabe (Umsatz) für dieses Gut.
Gut
Aktuelles Beispiel: Benzinpreiserhöhungen
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4.2 Abhängigkeit der (indiv.) Nachfrage nach einem Gut
vom Preis eines anderen Gutes
Absolute Änderung der (indiv.) Nachfrage nach Gut i auf eine
Änderung des Preises pk des Gutes k gegeben durch
∂x i ∂n i (..., p k ,...)
=
∂p k
∂p k
Interpretation
Güter i und k sind zueinander
substitutiv
:⇔
∂x i
∂x k
> 0 und
>0
∂p k
∂pi
komplementär
p
:⇔
∂x i
∂x k
< 0 und
<0
∂p k
∂pi
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Maß für die relative Stärke der Veränderung der Nachfrage nach Gut i
auf eine Veränderung des Preises p des Gutes k:
Def.: Die Elastizität der Nachfrage nach Gut i bzgl. des Preises pk
von Gut k ist gegeben durch
ε x i ; p k :=
∂x i p k ∂n i (,..., p k ,...)
pk
=
∂p k x i
∂p k
n i (..., p k ,...)
(„Kreuzpreiselastizität“)
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Beispiel:
Für die Nachfragefunktionen aus dem 3. Kap.
hat man sofort
x1* = n1 (p1, p 2 , B) :=
α
B
α + β + γ p1
x 2 * = n 2 (p1, p 2 , B) :=
β
B
α + β + γ p2
x 3 * = n 3 (p1 , p 2 , B) :=
γ
B
α + β + γ p3
i≠k :
∂x i
=0
∂p k
d.h. alle Kreuzpreiselastizitäten sind gleich 0.
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4.3
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Die Abhängigkeit der individ. Nachfrage vom Budget
(Einkommen)
Nachfragemenge nach einem Gut i (also die Nachfragefunktion
x *i = n i (p1 ,..., p n , B) ) nur in Abhängigkeit von B und zeichnet die
zugehörigen Wertepaare (B; x i ) = (B; n i (...,
Koordinaten
( B)) in ein Koordinatensystem ein, so erhält man eine Kurve, die als Engelkurve
bezeichnet wird.
Beispiel:
Für die 1. Nachfragefunktion aus (4.1)
x1* = n1 (p1 , p 2 , B) :=
α
B
=: cB
α + β + γ p1
ist die Engelkurve also eine Gerade durch den 0-Punkt.
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Grafisch:
x1
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Absolute Abhängigkeit der individuellen Nachfrage nach Gut i vom
Budget: beschrieben durch die partielle Ableitung von xi nach B
beschrieben, d.h. durch die Steigung
g g der Engelkurve:
g
∂x i ∂n i (..., B) n i (..., B + 1) − n i (..., B)
=
≈
=
∂B
∂B
(B + 1) − B
= n i (..., B + 1) − n i (..., B)
Sie gibt (ungefähr) an, um wie viel die Nachfrage nach Gut i sich
verändert, wenn das Budget um eine Einheit steigt.
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Nachfrage nach Gut i (oder einfach Gut i) heißt
superior
:⇔
∂x i
>0
∂B
inferior
:⇔
∂x i
<0
∂B
Typische superiore Güter: höherwertige Güter, die sich ein HH nicht
in dem Umfang leisten kann, wie er es gerne hätte.
Beispiele
Typische inferiore Güter: geringerwertige Güter, die ein HH bei
höherem Budget durch höherwertige ersetzt.
ersetzt
Beispiele
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Relative Stärke der Abhängigkeit der (indiv.) Nachfrage vom
Budget:
Einkommenselastizität der Nachfrage:
ε x i ; B :=
∂x i B
∂B x i
Sie gibt (ungefähr) an, um wie viel Prozent die Nachfrage nach Gut i
sich verändert, wenn das Einkommen (Budget) B sich um ein
Prozent erhöht.
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Beispiel:
Für die 1. Nachfragefunktion aus (4.1)
x1* = n1 (p1 , p 2 , B) :=
α
B
α + β + γ p1
ist
∂x1*
α
1
>0
=
∂B α + β + γ p1
und
∂x1* B
α
1 Bα+β+ γ
ε x1 ; B :=
=
p1 = 1
*
∂B x1 α + β + γ p1 B
α
⇒ Gut 1 (für den HH) ein superiores Gut mit Einkommenselastizität 1.
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In der 1. Situation A gekauft;
B wäre aber auch kaufbar g
gewesen ((B liegt
g unterhalb der Budgetg
geraden der 1. Situation):
⇒ (Schwaches Axiom): A wird mindestens so hoch wie B geschätzt.
C
*
Situation 1
B *
Situation 2
A *
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Ferner:
C ist in beiden Komponenten größer als B
⇒ (Monotonie): C wird echt höher als B geschätzt.
C wäre in der 1. Situation auch kaufbar gewesen; es wurde aber A
gekauft.
gekauft
⇒ (Schwaches Axiom): A wird mindestens so hoch wie C geschätzt.
⇒ (Transitivität): A wird echt höher als B geschätzt.
C
*
Situation 1
B *
Situation 2
A *
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Aber:
Derselbe HH hat in der 2. Situation B gewählt. Hier wäre A aber
ebenfalls wählbar g
gewesen ((A liegt
g unterhalb der Budgetgeraden
g g
der
2. Situation).
⇒ (Schwaches Axiom): B wird mindestens so hoch wie A geschätzt.
Das ist aber inkompatibel mit dem vorigen Ergebnis, dass der HH A
echt höher als B schätzt.
⇒ In mindestens einer der beiden Situationen hat sich der HH nicht
nutzenmaximal verhalten!
C
*
Situation 1
B *
Situation 2
A *
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Anders stellt sich die Situation dar, wenn das in der 1. Situation
ausgewählte Güterbündel A wie in der folgenden Grafik liegt:
A *
1. Situation
B*
2. Situation
⇒ (Schwaches Axiom): A wird mindestens so hoch wie B geschätzt.
In der 2.
2 Situation ist aber A nicht wählbar
⇒ Wahl von B in der 2. Situation kein Widerspruch zur Wahl von A
in der 1. Situation!
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Drei Aspekte hier grundsätzlich nicht berücksichtigt:
Nutzen eines HH hängt
g nicht nur von Konsumgütern
g
ab; z.B. auch von
Freizeit und nicht ökonomischen Gütern/Aspekten.
Ein HH gibt nicht unbedingt sein gesamtes Budget für Konsumgüter aus,
aus
sondern bildet Ersparnisse.
⇒ Nutzen (auch in der Zukunft) durch Zinsen und spätere Verwendung
des Ersparten
⇒ Dynamische Betrachtung (Mehr-Perioden-Modelle) nötig.
Nutzen, Budget und Preise können unsicher sein.
⇒ Berücksichtigung von Erwartungen,
Erwartungen Risiko etc.
etc nötig
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4.4 Nochmals: Nachfrageänderungen durch Preisänderung:
Die Slutsky-Gleichung
(Isolierte) Erhöhung (Senkung) des Preises p1 von Gut 1 bewirkt
Verschiebung der nutzenoptimalen Nachfrage nach Gut 1 von
x1* zu x1*’:
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Durch Preissteigerung bei p1 Verschiebung des HH-Optimums von x*=A
nach x*‘=D:
x2
u(x
( 1,x2) = c‘‘ = kkonst.
t
B/p2
D=x*‘
u(x1,x2) = c = konst.
x*=A
0
x1*‘
x 1*
B/p1‘
B/p1
x1
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Gesamt-Preiseffekt von x1* zu x1*‘ der Größe x1*‘ – x1* kann gedanklich
zerlegt werden in zwei Einzel-Effekte:
1. Substitutionseffekt:
Preisänderung von p1 ⇒ Änderung des Preisverhältnisses p1/p2, also
der relativen Preise (⇒ Änderung des Realeinkommens):
Bei Erhöhung von p1: Gut 1 wird gegenüber Gut 2 relativ teurer.
(⇒ Realeinkommensverlust (bei konstantem B))
Bei Sinken von p*1 : Gut 1 wird gegenüber Gut 2 relativ billiger.
(⇒ Realeinkommenssteigerung (bei konstantem B))
⇒ Auch bei Ausgleich des Realeinkommensverlustes wird bei
Erhöhung von p1 von Gut 1 weniger gekauft,
gekauft weil es relativ zum
Gut 2 teurer wird.
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Grafisch:
Substitutionseffekt: A
C (= Nutzenoptimum
Preisverhältnis p1‘/p
p2 und Budgetausgleich)
g
g
)
beim
neuen
x2
B/p2
Substitutionseffekt
C
D=x*‘
0
x1*‘
x*=A
x1C* x1*
B/p1‘
B/p1
Höhe des Substitutionseffektes: x1C* - x1* < 0 (immer negativ!)
x1
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2. Einkommenseffekt:
Änderung
g des Preises p1 ⇒ Veränderung
g der Konsummöglichkeiten
g
durch Veränderung des Realeinkommens:
Erhöhung von p1 ⇒ Einschränkung der Konsummöglichkeiten
Absenkung von p1 ⇒ Erweiterung der Konsummöglichkeiten
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Einkommenseffekt: C
D
Bei Konstanthalten des neuen relativen Preises wird Budget wieder auf
Bg
gebracht ((hier: abgesenkt)
g
)
x2
B/p2
Substitutionseffekt
C
Einkommenseffekt
0
D=x*‘
x1*‘
x*=A
x1C* x1*
B/p1‘
B/p1
x1
Höhe des Einkommenseffekts: x1*‘ - x1C* (kann positiv oder negativ
sein)
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Gesamt-Preiseffekt:
A
D
=
Substitutionseffekt
A
C (immer negativ!)
+
Einkommenseffekt
C
D
bzw.
x1*‘ – x1*
=
(x1C* - x1*)
+
(x1*‘ – x1C*)
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Grafisch:
x2
B/p2
Substitutionseffekt
C
Einkommenseffekt
D=x*‘
x*=A
Gesamt-Preiseffekt
0
x1*‘
x1C* x1*
B/p1‘
B/p1
x1
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Analytische (und quantitative) Beschreibung dieser Zerlegung durch
sogenannte Slutsky-Gleichung(en)
Betrachte dazu
(Marshallsche) Nachfragefunktion:
x1* = n1(p1,p2,B)
als Lösung von
u(x1,xx2) → max
u.d.N.
p1x1+ p2x2 = B
(P1)
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und andererseits die kompensierte Nachfragefunktion
x1** = n1komp (p1, p2, u )
als Lösung von
p1x1 + p2x2 → min
u.d.N.
(P2)
u(x1,x2) = u
Man kann zeigen, dass für u = u* (= Nutzenoptimum von (P1)) die kompensierte Nachfragemenge x1** gerade gleich der nutzenmaximalen
Nachfragemenge x * ist; d.h. es gilt:
x1* = n1(p1,p
p2,B)
B) = x1** = n1komp (p1, p2,u
u*))
(+)
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Einsetzen von B = p1x1* + p2x2 * in (+) liefert:
n1(p1,p
p2,p
p1x1* + p2x2*)) = n1komp (p1, p2,u*))
Differentiation dieser Gleichung partiell nach p1liefert mit Kettenregel
∂n1 (p1, p 2 , B) ∂n1 (p1 , p 2 , B)
∂n1komp (p1 , p 2 , u*)
+
⋅ x1* =
∂p1
∂B
∂p1
oder
komp
∂n1 (p1 , p 2 , B) ∂n1
=
∂p1
(p1 , p 2 , u*)) ∂n1 ( p1 , p 2 , B)
−
⋅ x1 *
∂B
∂p1
Gesamt-Preiseffekt = Substitutionseffekt + Einkommenseffekt
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