Lösungen zu Dreieckskonstruktionen 2 DR2 ABC

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Dreieckskonstruktionen 2
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Lösungen zu Dreieckskonstruktionen 2
DR2
Der Thaleskreis
Satz des Thales:
Liegt der Punkt C eines Dreiecks ABC
auf einem Halbkreis über der Strecke AB,
dann hat das Dreieck bei C einen rechten Winkel.
Dieser Kreis (oder Halbkreis) heisst Thaleskreis.
Folgerung:
Ist ein Dreieck rechtwinklig, so ist der
Umkreismittelpunkt der Mittelpunkt der
Hypothenuse.
Beispiel:
Konstruiere ein Dreieck mit Winkel
Skizze:
g = 90°, Seite c = 7 cm und Höhe hc = 3 cm
Konstruktion:
C
C
3
A
B
7
KB:
AB = 7 cm
Höhenstreifen 3 cm
Thaleskreis über AB --> C
•
•
•
M
A
B
Die Mittelparallele
Die Seitenmittelpunkte Ma, Mb und Mc eines Dreiecks
liegen jeweils auf den Mittelpunkten der Höhenstreifen.
C
So liegen etwa Ma und Mb auf der Mittelparallelen m (siehe rechts).
Beispiel:
Konstruiere ein Dreieck mit Seite b = 7 cm, Höhe hc = 4 cm
und Seitenhalbierende sa = 5 cm
Eine Lösung genügt!
Skizze:
A
Mc
7
Ma
C
5
4
A
B
KB:
Höhenstreifen 4 cm
Punkt A; k(A, 7cm) --> C
Von A aus 5 cm abtragen
Mittelparallele --> Ma
CMa verlängern --> B
•
•
•
•
•
Ma
A
S
sa
Konstruktion:
C
sc
Mb
m
B
Ma
sb
B
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Aufgabe 1
Konstruieren Sie ein Dreieck mit Seite b = 2.8 cm, Seitenhalbierende s a = 3.6 cm und
Seitenhalbierende sc = 2.1 cm
Skizze:
Konstruktion:
C
C
Ma
1.4
2.1
2.8
B
S
S
2.4
A
B
A
Mc
KB:
AC = 2.8 cm
•
•
•
•
•
•
2
3
von 3.6 ist 2.4 cm; und
2
3
von 2.1 ist 1.4 cm
k(A, 2.4cm) ∩ k(C, 1.4 cm) = Schwerpunkt = S
AS auf 3.6 cm verlängern --> Ma
CS auf 2.1 cm verlängern --> Mc
Vervollständigen
Aufgabe 2
Konstruieren Sie ein Dreieck mit Seite a = 4.4 cm, Seitenhalbierende s a = 5.4 cm und
Seitenhalbierende sc = 4.8 cm
Skizze:
Konstruktion:
C
C
4.8
4.4
S
3.2
Ma
B
A
3.6
A
KB:
sa = AM a = 5.4 cm
•
Der Schwerpunkt S ist 3.6 cm von A entfernt
•
k(S, 3.2 cm) ∩ k(Ma, 2.2 cm) = C
•
CMa verdoppeln --> B
•
S
B
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Aufgabe 3
Konstruieren Sie ein Dreieck mit Seite c = 7 cm, Höhe h a = 6 cm und Höhe hb = 5 cm
Eine Lösung genügt!
Skizze:
Konstruktion:
C
C
P
P
B
7
A
B
A
M
KB:
Höhenstreifen ha = 6 cm
A wählen, 7 cm abtragen --> B
k(B, 5 cm) ∩ Thaleskreis über AB --> P
AP verlängern = C
Verbinden
•
•
•
•
•
Aufgabe 4
Konstruieren Sie ein Dreieck mit Winkel g = 90°, UKr (Umkreisradius) r = 2.8 cm und Winkel
Skizze:
Konstruktion:
Achtung:
C
die Aufgabe ist recht einfach, wenn man weiss,
dass bei rechtwinkligen Dreiecken der Umkreismittelpunkt auf der Hypothenuse liegt!
2.8
30°
A
M
C
B
A
KB:
M, Umkreis 2.8 cm
A auf dem Kreis wählen, AM verlängern --> B
30° bei A --> C
•
•
•
a = 30°
30°
M
B
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Aufgabe 5
Konstruieren Sie ein Dreieck mit Höhe hc = 4 cm, Seitenhalbierende sa = 7.2 cm und
Seitenhalbierende sc = 4.5 cm
Skizze:
Konstruktion:
C2
C1
C
4 4.5
M
M
S
S
4.8
A
B
N
N1
A
N2
B1
B2
KB:
Höhenstreifen hc = 4 cm
A wählen, Mittelparallele. k(A, 7.2 cm) --> M
2
•
Schwerpunkt S (4.8 =
von 7.2)
3
1
•
von 4.5 cm = 1.5 cm --> k(S, 1.5 cm) --> N1, N2
3
•
NS verlängern --> C
•
2 Lösungen
•
•
Aufgabe 6
Konstruieren Sie ein Dreieck mit Seite a = 5.5 cm, Seite b = 3.7 cm und Seitenhalbierende s c = 4 cm
Skizze:
Konstruktion:
C
Trick: Dreieck zu einem Rhomboid erweitern.
3.7
M
B
A
5.5
C
5.5
4
4
A
D
M
B
KB:
•
CM = 4 cm
•
CM verdoppeln -> D
•
k(C, 3.7) k(D, 5.5) = A
•
AM verdoppeln --> B
D