R - Desy

TEILCHENPHYSIK FÜR
FORTGESCHRITTENE
Die starke Wechselwirkung und Quantenchromodynamik
(Schmüser Kapitel 12)
Caren Hagner
Achim Geiser
Universität Hamburg, IExpPh
Sommersemester 2009
ÜBERBLICK
1. Die quantenmechanische Beschreibung von Elektronen
2. Feynman-Regeln und –Diagramme
3. Lagrange-Formalismus und Eichprinzip
4. QED
Einschub: Beschleuniger und Experimente
5. Starke Wechselwirkung und QCD
5.1 Einleitung: Quarks und Farbe
5.2 Einschub: Gruppentheorie und Anwendungen
5.3 QCD: die Theorie der starken Wechselwirkung: SU(3)-Eichinvarianz,
Gell-Mann-Matrizen, Masselosigkeit der Gluonen, Lagrange-Dichte der QCD,
Renormierung, “running coupling”, asymptotische Freiheit und Confinement
5.4 Anwendung: Jets, Fragmentation, Entdeckung des Gluons, Messung des
Gluonspins
5.5 Perturbative QCD: Wirkungsquerschnitte, Messung von αs, Struktur des
Protons
CH/AG
SS09: Teilchenphysik f. Fortg.
2
5.1 Einleitung: Quarks and Farbe
ƒ
starke Kraft in Kernwechselwirkungen
= „Austausch von massiven Pionen“ zwischen Nukleonen
(Yukawa 1945)
= residuelle Van der Waals-artige Wechselwirkung
Hideki Yukawa
n
π
p
(Nobel 1949)
ƒ modernes Bild:
(Quantenchromodynamik, QCD)
Austausch von masselosen Gluonen
zwischen den Quark-Konstituenten
„ähnlich“ zu Elektromagnetismus
(Quantenelektrodynamik, QED)
zunächst nur drei Quark-Flavour bekannt:
u,d,s
CH/AG
SS09: Teilchenphysik f. Fortg.
3
5.1. Einleitung: Das Quark-Modell (1964)
arrangiere u,d,s - Quarks als Flavour-Triplett
=> SU(3)flavour-Symmetrie
Q=-1/3
Q=2/3
d
(Nobel 1969)
u
S=0
s
CH/AG
Murray
Gell-Mann
1962
(quarks)
S=-1
behandle alle bekannten
Hadronen (Protonen,
Neutrons, Pionen, ...)
als Objekte die aus zwei
oder drei solchen
Quarks (Antiquarks)
zusammengesetzt sind
SS09: Teilchenphysik f. Fortg.
4
5.1 Einleitung: Das Quark-Modell
Baryonen = qqq
CH/AG
Mesonen = qq
SS09: Teilchenphysik f. Fortg.
5
5.1. Einleitung: Das Quark-Modell
Darstellungsdiagramme erlauben leichte Übersicht der
erreichbaren Kombinationen: Z.B. Kombination von
Triplett mit Antitriplett (“Vektoraddition”):
Produktvektorraum der Mesonen gliedert sich
also in 2 Teilräume: ein Oktett und ein Singlett
(gebildet durch das η‘-Teilchen).
Die Teilchen auf dem Rand der Pseudoskalare sind
gut bekannt. Von den drei I3=S=0-Zuständen fallen 2
ins Oktett, eins ins Singlett; sie sind Mischungen:
Pseudoskalar π 0 = 1 (uu − dd ) η = 1 (uu + dd − 2ss ) η ′ = 1 (uu + dd + ss )
Vektor
Je nach Spinzustand ergeben sich Pseudoskalare
Mesonen (JP=0-) oder Vektormesonen (1-):
2
1
ρ0 =
(uu − dd )
2
6
ω0 =
1
(uu + dd )
2
3
φ 0 = ss
Der Mischungscharakter wird experimentell bestimmt;
nicht theoretisch vorhersagbar/verstanden.
Analog kann man Baryonen aus drei Quarks u,d,s
konstruieren. Es zeigt sich:
3 ⊗ 3 ⊗ 3 = 10 ⊕ 8 ⊕ 8 ⊕ 1
Anwendung von Schiebeoperatoren (später) zeigt:
- Dekuplett (∆) total symmetrisch in Quark-Flavour,
Spins alle parallel (J=3/2).
- Oktetts (mit p,n): Symmetrisch bzgl. Vertauschung
zweier Quarks inklusive Spins; keine def. Symmetrie
bei Betrachtung der von Flavour/Spin alleine.
3 ⊗ 3 = 8 ⊕1
CH/AG
SS09: Teilchenphysik f. Fortg.
6
5.1. Einleitung: Farbe
Quark-Modell sehr erfolgreich, aber scheint Fermi-Statistik (Pauli-Prinzip) zu
verletzen:
∆ ++ = uuu ↑↑↑
=> führe neuen Freiheitsgrad ein:
q
q
g
q
g
g
q
q
g
q
ƒ 3 Farben -> SU(3)colour
CH/AG
g
gg
g
qqq = qq = weiss!
SS09: Teilchenphysik f. Fortg.
7
5.1 Farbe (Colour) als physikalisches Konzept
Experiment: e+ e- Æ Hadronen (~ e+ e- Æ Quark + Antiquark)
4πα 2 2 2
σ=
⋅ Qin ⋅ Qout + Z 0 + Re sonanzen
3s
σ (e + e − → Hadronen)
2
=
N
Q
R=
∑
Colour
i
σ (e + e − → µ + µ − )
i =Quarks
q
q
~ Ladung Q
Σ über Quarks mit m > √s/2
Charmschwelle 3.7 GeV
∆R= 4/3 = 3x(2/3)2 Æ
NC=3, QCharm=2/3
Beautyschw. 10.5 GeV
∆R= 1/3 = 3x(1/3)2 Æ
NC=3, QBeauty=1/3
Æ NColour=3
(außerdem Resonanzen
bei Schwellen + Z0)
CH/AG
3x(1+1+4+4)/9 = 10/3
3x(1+1+4)/9 =
3x(1+1+4+1)/9 = 11/3
2
SS09: Teilchenphysik f. Fortg.
8
5.1 Farbe (Colour) – Ladung der starken WW
Weitere Experimente zu Anzahl Farben:
Zerfallsrate des π0:
Zerfall des τ-Leptons:
e2
M =
(Qu2 − Qd2 ) ⋅ N C , τ = (8.4 ± 0.6) ⋅ 10 −17 s
2
4π
- W-Boson koppelt mit gleicher Stärke an
Fermiondubletts Æ
Γ(τ − → ν τ X ) = Γ(τ − → ν τ e −ν e )
- außerdem „Dreiecks-Anomalie“ im SM:
ΣQ(Quarks)+ΣQ(Leptonen)=0; 3x(2/3-1/3)-1=0
+ Γ(τ → ν τ µ ν µ )
−
=> NC=3.06 +- 0.10
−
+ Γ(τ − → ν τ d ' u )
Γ(τ − → ν τ e −ν e )
1
=
= 0.2
Γ(τ − → ν τ X )
2 + NC
exp . : 0.1784 ± 0.0006
- Unterschied: Korrekturen höherer Ordnung
CH/AG
SS09: Teilchenphysik f. Fortg.
9
5.2 Einschub: GRUPPENTHEORIE
Symmetrieprinzip: Invarianz eines physikalischen
Systems unter Transformationen (z.B. Translation).
- Menge der möglichen Transformationen: Gruppe
Gruppe ≡ Menge G der Elementen Ri verknüpft mit
Operation “*” wenn gilt:
– Abgeschlossenheit: Ri, Rj ∈ G Æ Ri*Rj ∈ G
– Existenz des 1-Elements: Ri*1 = Ri
– Existenz des Inversen: R*R-1 = 1
– Assoziativität: Ri*(Rj*Rk) = (Ri*Rj)*Rk.
- Gruppe heisst nicht-abelsch, falls: Ri*Rj ≠ Rj*Ri.
- Diskrete Gruppen: z.B. Gruppe der Permutationen
dreier Objekte “S3” mit 6 Elementen.
1: (123) → (123)
b : antizykl.Vertausch. d : 3 ↔1
a : zykl.Vertauschung
c:2 ↔3
e :1 ↔ 2
- Kontinuierliche (Lie-)Gruppe: unendliche Zahl von
Elementen, die kontinuierlich von d Parametern abhängen (d=Ordnung der Gruppe). z.B. räumliche
Rotation mit d=3 Parametern (3 Euler-Winkel)
- Darstellung einer Gruppe: Wenn es eine isomorphe
Abbildung zwischen den Gruppenelementen Ri und
einer Menge von n×n-Matrizen Γ gibt mit
Γ(R1)Γ(R2)=Γ(R1R2) Æ dann Gruppe der Matrizen
Γ Darstellung der Gruppe (mit Dimension = n)
(z.B. 3dim-Drehgruppe ist isomorph zur Gruppe SO(3)
orthonormaler 3×3-Matrizen mit det=1)
CH/AG
Darstellung reduzibel wenn durch Transformation M
Γ blockweise diagonalisiert werden kann:
⎛ Γ (1) ( R)
0
0⎞
⎜
⎟
−1
( 2)
′
Γ ( R ) = M ΓM = ⎜ 0
Γ ( R) 0 ⎟
⎜ 0
0
...⎟⎠
⎝
Jedes Γ(i) ist auch eine Darstellung der Gruppe!
- Irreduzible Darstellung: wenn die Γ(i) nicht weiter
reduzierbar. Beispiel: Gruppe “S3”:
⎛ ... ... 0 ⎞
Darstellung ist reduzibel:
⎜
⎟
- (x+y+z) bleibt invariant Æ Wahl neuer ⎜ ... ... 0 ⎟
Achsen X,Y,Z, Z ⊥ Ebene (x+y+z=const) ⎜ 0 0 1 ⎟
⎝
⎠
Æ Z invariant
- neue Trafo-Matrizen Æ
Zerlegung 3=2⊕1
(Æ Übungsaufgabe)
SS09: Teilchenphysik f. Fortg.
10
5.2 BEISPIEL: RAUMDREHUNG FÜR SKALAR
U sei die Transformation, die eine Drehung R des
Systems z.B. um Achse z bewirkt (Gruppe SO(3)):
Drehung um
Winkel ε
(x,y),(x’,y’)
infinitesimale
Drehung ε:
x′ ~ x − εy
dx = x − x ′ = ε y
n
y’
Drehung R des phys.
Systems entspricht
Drehung R-1 des
Koordinatensystems.
x
y′ = y + εx
dy = y − y ′ = − ε x
x’
Damit ergibt sich:
Uψ ( x, y, z ) = ψ ( x + dx, y + dy, z )
∂ψ
∂ψ
+ dy
∂x
∂y
∂ψ
∂ψ
− εx
= ψ ( x, y, z ) + εy
∂x
∂y
= (1 − iε ( xp y − yp z ) )ψ ( x, y, z )
= ψ ( x, y, z ) + dx
= (1 − iεJ z )ψ ( x, y, z )
CH/AG
θ ⎤
⎡
U (θ ) = [U (ε )] = ⎢1 − i J z ⎥ → e −iθJ z
n ⎦ n →∞
⎣
… und ebenso für die x,y-Achsen. Dabei gilt die LieAlgebra:
[J k , J l ] = iε klm J m
Anmerkungen:
- die Lie-Algebra beschreibt die Struktur der Gruppe.
- die εklm sind die Strukturkonstanten der Gruppe; sie
alleine legen die physikalischen Konsequenzen fest!
- Dimensionen der Matrizen J hängen vom
physikalischen System ab: e.g. Spin-1/2 Æ n=2.
- im Falle der Dimension n gibt es n2-1 Generatoren.
- Generatoren sind hermitisch mit Spur=0.
- jeder diagonalisierbarer Generator Æ additive
Quantenzahl.
- Multiplett: Invarianter Vektorraum entarteter Eigenfunktionen einer Symmetriegruppe.
- Anzahl gleichzeitig diagonalisierbarer Generatoren:
Rang r Æ r unabhängige (Casimir-)Operatoren mit
gleichen Eigenwerten für alle Multiplett-Zustände
n
ψ ′( x, y, z ) = Uψ ( x, y, z ) = ψ ( R −1 ( x, y, z ))
y
Jz nennt man den Generator der Drehung.
Viele infinitesimale Drehungen hintereinander:
p x = −i ∂
∂x
Unitär: U-1=U+ (herm.konjugiert) … U(n)
Speziell: unitär mit det=1 … SU(n)
Orthogonal: reelle unitär; SO speziell unitär … e.g. SO(3)
SS09: Teilchenphysik f. Fortg.
11
5.2 Beispiele für irreduzible Matrizendarstellungen der Drehgruppe SO(3)=SU(2)
Spin 1 - Darstellung
Spin 1/2 - Darstellung
CH/AG
SS09: Teilchenphysik f. Fortg.
12
5.2 INNERE SYMMETRIEN, SU(2)-ISOSPIN
Bis jetzt räumliche Drehungen; jetzt innere Symmetrien:
Symmetrie bzgl. eines abstrakten Raumes, von dessen
Koordinaten die Wellenfunktion nicht explizit abhängt.
Beispiele:
- SU(2)-Isospin (Heisenberg, entspricht Flavour-SU(2)):
⎛u ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝d ⎠
⎛ p⎞
⎛1⎞
⎛0⎞
⎜⎜ ⎟⎟ : p = ⎜⎜ ⎟⎟ und n = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝n⎠
⎝0⎠
⎝1⎠
- SU(2) schwacher Isospin: Dubletts/
Tripletts:
⎛u ⎞
-SU(3)-Flavour: ⎜ d ⎟
⎜ ⎟
⎜s⎟
⎝ ⎠
- SU(3)-Colour:
⎛ν ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝l⎠
⎛u⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ d ′⎠
⎛W + ⎞
⎜ 3⎟
⎜W ⎟
⎜W − ⎟
⎝
⎠
– Isospin-0: |0,0>, I3=I+=I-=0 Æ “trivial”
⎛0
⎛1 0 0 ⎞
⎜
⎟
⎜
I 3 = ⎜ 0 0 0 ⎟, I + = ⎜ 0
⎜⎜
⎜ 0 0 − 1⎟
⎠
⎝
⎝0
0 ⎞
⎛ 0
⎟
⎜
2 ⎟, I − = ⎜ 2
⎟
⎜ 0
0 ⎟⎠
⎝
2
0
0
0⎞
⎟
0⎟
0 ⎟⎠
0
0
2
Anwendung auf Systeme wie π+π0π-, Σ+Σ0Σ-, etc.
(Æ Übungsaufgabe)
Kombination von Darstellungen (Teilchen):
bisher nur ein Teilchen betrachtet – Systeme mit
mehrerer Teilchen Æ Rückgriff auf Addition von
Drehimpulsen aus der Quantenmechanik:
SU(2)-Isospin:
Von Heisenberg 1932 zur Beschreibung von n,p in einer
Darstellung entwickelt: Generatoren sind hier die PauliSpin-Matrizen Ji≡Ii=1/2σi; es gilt z.B.:
CH/AG
Anwendung auf andere als Isospin-1/2-Systeme:
– Isospin-1: |1,-1> |1,0> |1,1>
⎛r⎞
⎜ ⎟
⎜g⎟
⎜b⎟
⎝ ⎠
1 ⎛ 1 0 ⎞⎛ 1 ⎞ 1
⎟⎜ ⎟ = p, I 3n =
I 3 p = ⎜⎜
2 ⎝ 0 − 1⎟⎠⎜⎝ 0 ⎟⎠ 2
Auf/Absteige-(Schiebe-)Operatoren
⎛0 1⎞
⎛0 1⎞ ⎛0⎞ ⎛1⎞
1
⎟⎟, I + n = ⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ = p
I + ≡ (σ 1 + iσ 2 ) = ⎜⎜
0
0
0
0
2
⎝
⎠
⎝
⎠ ⎝1⎠ ⎝0⎠
1 ⎛ 1 0 ⎞⎛ 0 ⎞
1
⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = − n
⎜⎜
2 ⎝ 0 − 1⎠⎝ 1 ⎠
2
Teilchen 1 und 2 mit Drehimpulsen J1, J2 und dritten
Komponenten m1, m2:
| J1 − J 2 | ≤ J ≤ | J1 + J 2 | J , m = ∑ m1 , m2 J , m m1 , m2
m ,m
m = m1 + m2
C (m1 , m2 , J , m) ≡ m1 , m2 J , m
1
2
Clebsch-Gordan Koeffizienten geben an, wie sich Zustand
|J M> aus |J1 m1> und |J2 m2> zusammen setzt:
SS09: Teilchenphysik f. Fortg.
13
5.2 CLEBSCH-GORDAN-KOEFFIZIENTEN
- Elemente einer unitären Matrix des Rangs
(2J1+1)(2J2+1).
- Explizit berechenbar; tabelliert.
CH/AG
SS09: Teilchenphysik f. Fortg.
14
5.2 CGK: BEISPIEL, ANWENDUNG
Addition zweier Spin-1/2-Teilchen:
Anwendung auf Isospin I und die Kombination von
n,p zu N-N-Systemen (Analogie zum QM-Spin):
J
m
J1×J2
I =1
I3 = 1
I3 = 0
I 3 = −1
m1×m2
I = 0 I3 = 0
Also:
↑↑
1
(↑↓ + b↑)
2
↓↓
1
(↑↓ − b↑)
2
I 3ges = I 3(1) + I 3( 2 )
I +ges = I +(1) + I +( 2 )
Erster Summand wirkt nur auf “erstes” Teilchen etc.
I 3 (np ) = ( I 3(1) + I 3( 2) )(np ) = ( I 3(1) n) p + n( I 3( 2 ) p ) = ...
Erweiterung auf Antiteilchen:
Es ergeben sich also aus der Kombination von 2
Dubletts 4 Zustände, drei in einem Triplett und einer
in einem Singlett. Symbolisch:
CH/AG
1
( pn + np )
2
nn
1
( pn − np )
2
Erweitere Definition der Auf/Absteige-Operatoren
etc. für Kombinationen von Teilchen, z.B.:
1
1
1,1 = 1 ⋅ m1 = + , m2 = +
2
2
1
1 1
1
1 1
+ ,− +
− ,+
1,0 =
2 2 2
2 2 2
1
1
1,−1 = 1 ⋅ m1 = − , m2 = −
2
2
1
1 1
1
1 1
+ ,− −
− ,+
0,0 =
2 2 2
2 2 2
2 ⊗ 2 = 3 ⊕1
pp
⎛ p⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝n⎠
⎛− n ⎞
⎟⎟
⎜⎜
p
⎠
⎝
1
1
Ii = σ i = σ i
2
2
I 3ges = I 3 + I 3
“-”-Zeichen, weil Ladungskonjugation
und Isospin-Rotation nicht unabhängig voneinander!
Anwendung auf u,d-Quarks statt n,p trivial. Daher
gleich der komplexere Fall Æ SU(3)-Flavour: u,d,s !
SS09: Teilchenphysik f. Fortg.
15
5.2 SU(3)-FLAVOUR
(Gleiches Werkzeug wie im Fall von SU(3)-Colour)
Gell-Mann-Nishijima: (Y=B+S, Baryonzahl B,
Strangeness S)
B+S
Y
Erweiterung auf SU(3)-Flavour:
Hier sind die Generatoren die 8 Gell-Mann-Matrizen, die
auf die Flavour-Tripletts (u,d,s) wirken:
Q = I3 +
2
= I3 +
2
Schiebeoperatoren, die u in d transformieren und
den Isospin abfragen:
3
I+ =
⎛u ⎞
⎜ ⎟
⎜d ⎟
⎜s⎟
⎝ ⎠
Es gilt:
I+d = u
I +u = I + s = 0
I 3u = 1 u
2
I 3d = − 1 u
2
I3s = 0
λ
-i
Formal betrachtet man hier Drehungen im Flavour-Raum
U = exp(i ∑ ωi λi )
i
mit 8 “Winkeln” (Parametern) ωi (Æ Ordnung d=8).
– Es gibt 2 Casimir-Operatoren (Rang 2), z.B.:
1 8 2
C1 = ∑ λi
4 i =1
C2 =
1
∑ f ijk λi λ j λk
8 ijk
Strangeness-Operator: S = 8 3 − 13
Man kann auch Schiebeoperatoren uÆs und sÆd
definieren (mithilfe der Matrizen λ4-λ7), z.B.:
1
(λ4 + iλ5 )s =
2
⎛ ⎛ 0 0 1 ⎞ ⎛ 0 0 − i ⎞ ⎞⎛ 0 ⎞
⎟ ⎟⎜ ⎟
⎟ ⎜
1 ⎜⎜
0
0
0
0
0
0
i
+
⎜⎜
⎟ ⎟⎜ 0 ⎟ =
⎟ ⎜
2 ⎜⎜
⎟ ⎟⎜ ⎟
⎟ ⎜
⎝ ⎝ 1 0 0 ⎠ ⎝ i 0 0 ⎠ ⎠⎝ 1 ⎠
⎛ 0 0 2 ⎞⎛ 0 ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
1⎜
⎜ 0 0 0 ⎟⎜ 0 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ = u
2⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 0 0 0 ⎠⎝ 1 ⎠ ⎝ 0 ⎠
Mit all dem und den Antitripletts/Anti-Generatoren
(Umkehrung aller additiven Quantenzahlen)
−−−−
– λ3, λ8 sind diagonal Æ 2 additive Quantenzahlen,
Eigenwerte von:
I3 = 1 λ3
Isospin
2
Y = 1 λ8
Hyperladung
3
CH/AG
1
(λ1 + iλ2 ) I − = 1 (λ1 − iλ2 ) I 3 = 1 λ3
2
2
2
I3 = −I3
S = −S
B = −B
λ j = −λ*j
−−−−
−−−−
⎛ 0⎞
⎛ 0⎞
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
u = ⎜0⎟ d = ⎜1⎟ s = ⎜ 0⎟
⎜1⎟
⎜ 0⎟
⎜0⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
… Werkzeug, um Quark-Antiquark-Systeme zu bauen.
SS09: Teilchenphysik f. Fortg.
16
5.2 DARSTELLUNGS-DIAGRAMME
Darstellungsdiagramme erlauben leichte Übersicht der
erreichbaren Kombinationen: Z.B. Kombination von
Triplett mit Antitriplett (“Vektoraddition”):
Produktvektorraum der Mesonen gliedert sich
also in 2 Teilräume: ein Oktett und ein Singlett
(gebildet durch das η‘-Teilchen).
Die Teilchen auf dem Rand der Pseudoskalare sind
gut bekannt. Von den drei I3=S=0-Zuständen fallen 2
ins Oktett, eins ins Singlett; sie sind Mischungen:
Pseudoskalar π 0 = 1 (uu − dd ) η = 1 (uu + dd − 2ss ) η ′ = 1 (uu + dd + ss )
Vektor
Je nach Spinzustand ergeben sich Pseudoskalare
Mesonen (JP=0-) oder Vektormesonen (1-):
2
1
ρ0 =
(uu − dd )
2
6
ω0 =
1
(uu + dd )
2
3
φ 0 = ss
Der Mischungscharakter wird experimentell bestimmt;
nicht theoretisch vorhersagbar/verstanden.
Analog kann man Baryonen aus drei Quarks u,d,s
konstruieren. Es zeigt sich:
3 ⊗ 3 ⊗ 3 = 10 ⊕ 8 ⊕ 8 ⊕ 1
Anwendung von Schiebeoperatoren zeigt:
- Dekuplett (∆) total symmetrisch in Quark-Flavour,
Spins alle parallel (J=3/2).
- Oktetts (mit p,n): Symmetrisch bzgl. Vertauschung
zweier Quarks inklusive Spins; keine def. Symmetrie
bei Betrachtung der von Flavour/Spin alleine.
3 ⊗ 3 = 8 ⊕1
CH/AG
SS09: Teilchenphysik f. Fortg.
17
5.2 DARSTELLUNGS-DIAGRAMME
Übersicht aller Baryonen mit u,d,s,c:
Charm-Mesonen:
c=0
c=0
Quelle: Particle Data Group (http://pdg.lbl.gov)
CH/AG
SS09: Teilchenphysik f. Fortg.
18
5.3 Erinnerung: QED: Muster für Quantenfeldtheorie
Wiederholung QED:
- Beschreibung geladener Leptonen durch DiracSpinoren
dσ ∝
- Wirkungsquerschnitt:
|Matrixel.|2 x (1/Flussfaktor) x Phasenraum
- Struktur der WW - Eichboson (masseloses,
neutrales Photon) koppelt an em. Ladung γµ Aµ
folgt aus lokaler Eichinvarianz
(Gruppe U(1): exp(i·q·χ(x))
M
2
ρ (E f )
j ein
e–
u( p3 )
u( p4 )
ieγ µδ 4( p3 − p1 −q)
- Berechnung der Matrixelemente mit Hilfe der
Feynman-Regeln (z.B. aus Lagrangedichte ableitbar)
- Renormierung (renormalisation):
ieγνδ 4 ( p4 − p2 + q)
−i
e– u(p1)
µ–
gµν
q2
u( p2)
µ–
− g µν
M = ie u ( p3 )γ µ u ( p1 ) 2 u ( p4 )γ ν u ( p2 )
q
2
Diagramme höherer Ordnung divergieren !
„behoben“ durch:
- Ladungs-Renormierung Æ laufendes α
(ersetze „nackte“ durch „renormierte“ Ladung
und lasse Schleifendiagramme weg)
- Massen-Renormierung Æ laufendes m
(wie in Festkörperphysik „effektive Massen; in
QED durch WW mit den Vakuumfluktuationen)
http://www.itkp.uni-bonn.de/~hammer/HadronSemWS0506/gross_talk.pdf
CH/AG
SS09: Teilchenphysik f. Fortg.
19
5.3 QCD: SU(3)-Eichinvarianz
Nach dem Erfolg der QED (und EW) + Realität
von Quarks Æ Theorie der starken WW auf
Basis einer Eichtheorie, die invariant unter
lokalen Transformationen im Farbraum ist
Æ QCD = Quanten-Chromo-Dynamik
Æ masselose Feldquanten, die an Farbladungen
koppeln und als Farb-Antifarb-Zustände farbgeladen sind Æ 8 Gluonen
- einfachheitshalber nur ein Quark q:
DGl. freies Quark
(iγ µ ∂ µ − m)ψ = 0
Wellenfunktion
Ψ = ψ ( x) ⋅ χ Farbe
⎛1⎞
⎛ 0⎞
⎛ 0⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
mit:
χ R = ⎜ 0⎟ , χG = ⎜1⎟ , χb = ⎜ 0⎟ ,
⎜0⎟
⎜ 0⎟
⎜1⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
Eichtransf.:
Ψ → Ψ ' = exp(i ( g S / 2)λ j β j ( x) )Ψ
λ1… λ8: Gell-Mann Matrizen der SU(3)
Analogon zu den Pauli-Matrizen der SU(2):
U = exp(i·αj·λj/2) “Drehung” um Winkel αj
⎛1 0
⎛0 − i 0⎞
⎛0 1 0⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
λ1 = ⎜ 1 0 0 ⎟ λ 2 = ⎜ i 0 0 ⎟ λ31 = ⎜ 0 − 1
⎜0 0
⎜0 0 0⎟
⎜0 0 0⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎛0 0 1⎞
⎛0 0 − i⎞
⎛0 0
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
λ 4 = ⎜ 0 0 0 ⎟ λ5 = ⎜ 0 0 0 ⎟ λ 6 = ⎜ 0 0
⎜1 0 0⎟
⎜i 0 0 ⎟
⎜0 1
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎛1 0 0 ⎞
⎛ 0 0 0⎞
⎟
⎟
⎜
1 ⎜
λ7 = ⎜ 0 0 -i1 ⎟ λ8 =
0
1
0
⎟
⎜
3
⎜ 0 0 − 2⎟
⎜ 0 i 0⎟
⎠
⎠
⎝
⎝
Vertauschungsrel. [λ j , λ k ] = λ j λ k − λ k λ j = 2i ⋅
antisymm. Strukturkonst. f 123 = 1,
8
λjβ j ≡ ∑λjβ j
0⎞
⎟
0⎟
0 ⎟⎠
0⎞
⎟
1⎟
0 ⎟⎠
f jkl λl
f 458 = f 678 = 3 / 2
f147 = f 246 = f 257 = f 345 = f 516 = f 637 = 1 / 2
j =1
gS … Kopplungskonstante der starken WW
Invarianz nur wenn mR = mG = mB =m
CH/AG
β1… β8: 8 unabhängige Transformationswinkel,
Æ Struktur QCD sehr komplex,
„nicht-Abelsche“ Eicht., da λj nicht vertauschen
SS09: Teilchenphysik f. Fortg.
20
5.3 QCD: SU(3)-Eichinvarianz + Lagrangedichte
Insgesamt gibt es 9-1=8 Gluonfelder Gjµ
(eine Kombination ist farbneutral *) !)
Feldstärketensor und Lagrangedichte:
F jµν = ∂ µ Gνj − ∂ν G µj − g S f jkl Gkµ Glν
Æ kovariante Ableitung**) D µ = ∂ µ + i g S λ j G µj
2
QED : D µ = ∂ µ + iqAµ
(
L = Ψ (iγ µ D µ − m)Ψ − 1 / 4 ⋅ F j , µν F jµν
)
⎛ QED : F µν = ∂ µ Aν − ∂ν Aµ
⎞
⎜
⎟
µ
µν
⎜ L = Ψ (iγ D − m)Ψ − 1 / 4 ⋅ F F ⎟
µ
µν
⎝
⎠
Invarianz ist gewährleistet wenn (Übung):
Dreh. im 3-d
Farbraum
Ψ → Ψ ' = exp(i ( g S / 2)λ j β j ( x) )Ψ
G µj → G 'µj = G µj − ∂ µ β j − g S f jkl β k Glµ
für > 1 Quark: 1terTerm Σ Quarksorten
⎛ QED : Ψ → Ψ ' = exp(iqχ )Ψ ⎞
⎜
⎟
µ
µ
µ
µ
⎜
A → A' = A − ∂ χ ⎟⎠
⎝
Feynmanregeln – analog zur QED:
Quark-Gluon-V.
Zusatzterm (Konsequenz der Nicht-Vertauschbarkeit der SU(3)-Transformation ~gS Æ gleiche
3-Gluon-Vertex
Kopplung für alle Quarksorten u,d,s,c,b,t und
alle Farbladungen R,G,B [em.: verschiedene
− g S f jkl λα γ µ [ g µν (q1 − q2 ) λ +
Kopplungen (1/3, 2/3, 1, Z)·e !]
−i
gs α µ
λγ
2
gνλ (q2 − q3 ) µ − g λµ (q1 + q3 )ν ]
farbneutrales Gluon würde Kernkräfte mit
Reichweite ∞ zur Folge haben;
Gruppe SU(3) hat nur acht λ-Matrizen
**) j … Farbindex – µ … Lorentz-index
*)
CH/AG
4-Gluon-Vertex
kompliziert
SS09: Teilchenphysik f. Fortg.
21
5.3 Die QCD-Lagrangedichte, (fast) wie QED
Gluon-Feld-Term
Quark+Wechselwirkungsterm
Quark-Massen-Term:
Farb-Index (1-8)
(jetzt a,b,c statt i,j.k)
Gluon-Selbstwechselwirkung !
ƒ sieht “harmlos” aus (fast wie QED),
aber hat es in sich!
CH/AG
SS09: Teilchenphysik f. Fortg.
22
5.3 QCD: Renormierung und laufende Kopplung
Wie in der QED divergieren Schleifendiagramme
und die ∞-en Werte werden in den Massen und
Kopplungen „absorbiert“.
Gluonschleifen (wegen Selbstkopplung):
Quarkschleifen:
α S (Q ) gg
2
g S2 = 4π α S
+ Æ – Verstärkung „Ladung“ mit Abstand
Summe über Nf Quark-Anti-Quark-Paare
α S (Q ) qq
2
⎛ Nf
Q2 ⎞
2
α S (Q0 ) ln( 2 ) ⎟⎟
= α S (Q )⎜⎜1 +
Q0 ⎠
π
6
⎝
2
0
Abschirmung der „Ladung“ bei wachsendem
Abstand durch Farbdipole (wie bei der QED)
2
QED: α em (Q ) e e =
+ −
CH/AG
⎛ 11
Q2 ⎞
2
α S (Q0 ) ln( 2 ) ⎟⎟
= α S (Q )⎜⎜1 −
Q0 ⎠
π
4
⎝
2
0
Addition und Summierung über alle Ordnungen:
α S (Q02 )
α S (Q ) =
(33 − 2 N f ) ⋅ α S (Q02 )
QCD:
1+
ln(Q 2 / Q02 )
12π
2
mit:
Λ2 = Q02 exp( −12π /((33 − 2 N f )α S (Q02 ))
α S (Q 2 ) =
α (Q )
2
0
α (Q02 )
1−
ln(Q 2 / Q02 )
3π
SS09: Teilchenphysik f. Fortg.
12π
(33 − 2 N f ) ln(Q 2 / Λ2 )
(Nf … Flavours mit 2mq < |Q|)
23
1
CH/AG
SS09: Teilchenphysik f. Fortg.
24
5.3 QED: Abschirmung der elektrischen Ladung
ƒ
elektrische Ladung polarisiert Vakuum
-> virtuelle Elektron-Positron-Paare
ƒ
Positronen schirmen Elektron-Ladung
teilweise ab
ƒ
effektive Ladung/Kraft
ƒ nimmt bei groβen Abständen/niedriger
Energie ab
ƒ nimmt bei kleinen Abständen/groβer
Energie zu
(Nobel 1965)
Sin-Itoro Julian
Richard P.
CH/AG Tomonaga Schwinger Feynman SS09: Teilchenphysik f. Fortg.
25
5.3 QCD: Anti-Abschirmung der Farbladung!
confinement
ƒ Quark-Antiquark-Paare -> Abschirmung
ƒ Gluonen tragen Farbe -> gg-Paare -> anti-Abschirmung!
asymptotic
freedom
1/r2~E2,
CH/AG
SS09: Teilchenphysik f. Fortg.
26
5.3 QCD: Laufende Kopplung – perturbative QCD
α S (Q 2 ) =
12π
(33 − 2 N f ) ln(Q 2 / Λ2 )
für Q2 (» Λ2) Æ ∞ αS Æ 0: Asymptotische Freiheit
(1972 - D.Green, D.Politzer, F.Wilczek Nobelpreis 2004)
αS Messung in e+e—WW: Λ≈0.2 GeV
Λ ≈ 0.2 GeV = “Energieskala,
bei der αs->∞”
da r = ℏc/|Q| entspricht großes Q kleinen Abständen
Æ „perturbative QCD“ – Störungstheorie anwendbar,
(ein Gluon-Austausch mit mg=0 Æ „Coulomb“ V~1/r)
Æ Präzisionstests der starken Kraft möglich (mehr später)
CH/AG
SS09: Teilchenphysik f. Fortg.
27
5.3 Vergleich QED / QCD
Elektromagnetismus
Starke Wechselwirkung
QED
1 Ladung (q)
Kraft vermittelt durch Photonen
Photonen sind neutral
α ist fast konstant
QCD
3 verschiedene Ladungen (r,g,b)
Kraft vermittelt durch Gluonen
Gluonen sind geladen (eg. rg, bb, gb)
αs hängt stark vom Abstand ab
confinement limit:
ƒ
CH/AG
Die zugrundeliegenden Theorien sind formal sehr ähnlich!
SS09: Teilchenphysik f. Fortg.
28
5.3 Das effektive Potential für qq -Wechselwirkungen
confinement
asymptotic freedom
CH/AG
SS09: Teilchenphysik f. Fortg.
29
Burton
Richter
5.3 Spektroskopie schwerer Quarks
Positronium = gebundenes
e+e- - System
Charmonium = gebundenes
System eines cc Quark-Paares
(Nobel
1976)
Samuel
C.C.
Ting
1974
CH/AG
SS09: Teilchenphysik f. Fortg.
30
5.3 QCD: Laufende Kopplung – nicht-pert. QCD
für Q2 (< 1 GeV2) Æ Λ2: αS Æ groß
Æ Multi-Gluonenaustausch
Æ „nicht-perturbativer“ Bereich, Rechnungen mit
Gittereichtheorie oder phänomenologische
Modelle (z.B- Kernphysik)
QED
QCD
Æ Selbstwechselwirkung der Gluonen (farbmagnetische Anziehung) analog zu „Expander“
bildet sich „String“ aus
V (r ) = −
4 α eff
3⋅ r
+ σ ⋅ r mit σ ≈ 0.9 GeV / fm
Æ Confinement (keine freien Quarks/Gluonen),
Æ Kernkräfte = QCD-RestWW (van der Waals)
Æ komplexe (z.Zt. nicht berechenbar) Struktur
der Hadronen
Æ sobald (z.B. in hochenergetischer WW) Abstand Quark-Antiquark > 1 fm bilden sich neue
Quark-Antiquark-Paare Æ Quarks und Gluonen
fragmentieren Teilchenbündel „Jets“
QCD-Potential aus
Gitterrechnungen
nicht-pert. Problem tritt immer bei Hadronen auf
CH/AG
SS09: Teilchenphysik f. Fortg.
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